Uma breve discussão sobre os possíveis estados ligados para uma classe de potenciais singulares

Uma breve discuss˜ ao sobre os poss´ıveis estados ligados para uma classe de potenciais singulares

(A brief discussion on the possible bound states for a class of singular potentials)

Douglas R.M. Pimentel, Antonio S. de Castro ¹

Departamento de F´ısica e Qu´ımica, Universidade Estadual Paulista “J´ ulio de Mesquita Filho”, Guaratinguet´ a, SP, Brasil Recebido em 23/5/2013; Aceito em 19/7/2013; Publicado em 6/2/2014

Investiga-se a equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional com uma classe de potenciais V ( | x | ) que se anulam no infinito e apresentam singularidade dominante na origem na forma α/|x|

(0 < β ≤ 2). A hermiticidade dos operadores associados com quantidades f´ısicas observ´ aveis ´ e usada para determinar as condi¸ c˜ oes de contorno apropriadas. Dupla degenerescˆ encia e exclus˜ ao de solu¸ c˜ oes sim´ etricas, consoante o valor de β, s˜ ao discutidas.

Solu¸ c˜ oes expl´ıcitas para o ´ atomo de hidrogˆ enio e o potencial de Kratzer s˜ ao apresentadas.

Palavras-chave: potencial singular, degenerescˆ encia, ´ atomo de hidrogˆ enio unidimensional, potencial de Krat- zer, colapso para o centro.

The one-dimensional Schrodinger equation for a class of potentials V ( | x | ) which vanish at infinity and present dominant singularity at the origin in the form α/ | x |

(0 < β ≤ 2) is investigated. The hermiticity of the ope- rators related to observable physical quantities is used to determinate the proper boundary conditions. Double degeneracy and exclusion of symmetric solutions, depending on the value of β, are discussed. Explicit solutions for the hydrogen atom and the Kratzer potential are presented.

Keywords: singular potential, degeneracy, one-dimensional hydrogen atom, Kratzer potential, collapse to the center.

1. Introdu¸ c˜ ao

O problema geral de espalhamento e estados ligados em potenciais singulares ´ e um tema antigo e recorrente em mecˆ anica quˆ antica (veja, e.g., a Ref. [1]). Recen- temente, o oscilador harmˆ onico singular foi esmiu¸cado nesta revista [2], e revelou-se uma opulˆ encia de concei- tos e t´ ecnicas que s˜ ao da maior importˆ ancia para os estudantes e instrutores de mecˆ anica quˆ antica e f´ısica matem´ atica.

O problema com o potencial V ( | x | ) = −| α | / | x | , co- nhecido como ´ atomo de hidrogˆ enio unidimensional, tem recebido consider´ avel aten¸c˜ ao na literatura por mais de cinquenta anos (para uma ampla lista de referˆ encias re- lacionadas com celeumas e aplica¸c˜ oes em f´ısica atˆ omica, f´ısica molecular e em f´ısica da mat´ eria condensada veja, e.g., Refs. [3, 4]). O problema tamb´ em tem sido objeto de investiga¸ c˜ ao em diversos contextos relativ´ısticos [5- 8]. O potencial da forma α ₁ / | x | +α ₂ /x ² , com x ∈ [0, ∞ ) e α ₁ < 0 e α ₂ > 0, conhecido como potencial de Krat- zer, tem sido usado na descri¸c˜ ao do espectro molecu- lar [9], e tamb´ em no estudo de transferˆ encia de ener- gia vibracional de mol´ eculas poliatˆ omicas [10]. O pro-

blema de estados ligados da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger com o potencial de Kratzer ´ e um problema analitica- mente sol´ uvel, e sua solu¸c˜ ao pode ser encontrada em livros-texto (Refs. [11, 12], por exemplo). O caso unidi- mensional, com parˆ ametros α 1 e α 2 arbitr´ arios, tamb´ em

´ e um problema analiticamente sol´ uvel, e tem sido inves- tigado no ˆ ambito de equa¸c˜ oes relativ´ısticas [6, 13].

Na esteira pedag´ ogica da Ref. [2], abordamos neste trabalho o problema de estados ligados no ˆ ambito da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional para uma classe de potenciais V ( | x | ) que se anulam no infinito e apre- sentam singularidade dominante na origem na forma α/ | x | ^β (0 < β ≤ 2). Visto que x = 0 ´ e um ponto singular da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger, a determina¸c˜ ao de suas solu¸c˜ oes requer uma an´ alise cuidadosa na vi- zinhan¸ ca da origem. A hermiticidade dos operadores associados com quantidades f´ısicas observ´ aveis p˜ oe ` a mostra as condi¸c˜ oes de contorno apropriadas. Demons- tramos que o espectro do problema definido no semi- eixo ´ e n˜ ao-degenerado e que n˜ ao h´ a estados ligados se o potencial com comportamento dominante na origem do tipo inversamente quadr´ atico for fortemente atra- tivo. A extens˜ ao do problema para todo o eixo re-

1

E-mail: castro@pq.cnpq.br.

Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil.

vela um espectro n˜ ao-degenerado se β < 2, e degene- rado se β = 2. Revela-se tamb´ em que somente auto- fun¸ c˜ oes antissim´ etricas ocorrem no caso 1 ≤ β < 2, e que autofun¸c˜ oes sim´ etricas e antissim´ etricas ocorrem no caso β < 1. A seguir investigamos as solu¸c˜ oes para V ( | x | ) com formas bem definidas. Come¸camos com o problema definido no semieixo, e depois de fatorar o comportamento da autofun¸c˜ ao na origem e no infi- nito, a equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger se transmuta em uma equa¸ c˜ ao diferencial hipergeom´ etrica confluente para a classe de potencias de interesse. Demonstramos que um conjunto infinito de estados ligados tem presen¸ ca no caso do potencial singular atrativo do tipo 1/ | x | , ainda que o potencial seja fortemente atrativo. Tamb´ em mostramos que no caso da adi¸c˜ ao de um termo sin- gular fracamente atrativo do tipo 1/x ² n˜ ao h´ a cabi- mento em se falar em colapso para a origem (como afirmado na Ref. [11]) ou inexistˆ encia de estado fun- damental, e que h´ a um conjunto infinito de estados li- gados. Dentro da classe de potenciais investigados neste trabalho, demonstramos a inexistˆ encia de estados liga- dos com o potencial V ( | x | ) = α/x ² , e apresentamos a solu¸ c˜ ao expl´ıcita dos estados ligados com o potencial V ( | x | ) = α 1 / | x | + α 2 /x ² , com α 1 ̸ = 0.

2. Potenciais singulares na origem

A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional independente do tempo para uma part´ıcula de massa m sujeita a um potencial externo V (x) ´ e dada por

Hψ = Eψ, (1)

onde H ´ e o operador hamiltoniano H = − ~ ²

2m d ²

dx ² + V. (2)

Aqui, ψ (x) ´ e a autofun¸ c˜ ao que descreve o estado es- tacion´ ario, E ´ e a autoenergia, e ~ ´ e a constante de Planck reduzida ( ~ = h/(2π)). A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odin- ger tamb´ em pode ser escrita na forma

d ² ψ dx ² −

(

k ² + 2mV

~ ² )

ψ = 0, (3)

com

k ² = − 2mE

~ ² . (4)

A quantidade

ρ = | ψ | ² (5)

´

e interpretada como sendo a densidade de probabili- dade. Com condi¸ c˜ oes de contorno apropriadas, o pro- blema se reduz ` a determina¸c˜ ao do par caracter´ıstico (E, ψ) de uma equa¸ c˜ ao do tipo Sturm-Liouville (veja,

e.g., Ref. [14]). Todas as quantidades f´ısicas observ´ aveis correspondem a operadores hermitianos. Para auto- fun¸c˜ oes definidas no intervalo [x 1 , x 2 ], o operador O ´ e dito ser hermitiano se

∫ x

x

dx ( O ψ 1 ) ^∗ ψ 2 =

∫ x

x

dx ψ ₁ ^∗ ( O ψ 2 ) , (6) onde ψ 1 e ψ 2 s˜ ao duas autofun¸c˜ oes quaisquer que fazem

∫ x

x

dx ψ ^∗ ₁ ( O ψ 2 ) < ∞ . Em particular, as autofun¸c˜ oes devem ser quadrado-integr´ aveis, viz. ∫ x

x

dx | ψ | ² < ∞ . Neste trabalho focalizamos nossa aten¸c˜ ao nos esta- dos ligados com potenciais que tˆ em o comportamento

V ( | x | ) ∼

 



| x α |

, 0,

| x | → 0

| x | → ∞ ,

(7)

com 0 < β ≤ 2, e consideramos autofun¸c˜ oes definidas no intervalo [0, ∞ ). Neste caso, a equa¸c˜ ao de Schr¨ odin- ger ´ e uma equa¸c˜ ao diferencial singular e a autofun¸c˜ ao pode manifestar algum comportamento patol´ ogico. Tal sequela poderia comprometer a existˆ encia de integrais do tipo ∫ _∞

0 dx ψ ^∗ ₁ ( O ψ 2 ), e assim comprometer a her- miticidade dos operadores associados com as quanti- dades f´ısicas observ´ aveis. Por isto, o comportamento das solu¸c˜ oes da Eq. (3) na vizinhan¸ca da origem exige muita aten¸c˜ ao. Visto que os estados ligados constituem uma classe de solu¸c˜ oes da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger que representam um sistema localizado numa regi˜ ao finita do espa¸co, devemos procurar autofun¸ c˜ oes que se anulam

`

a medida que | x | → ∞ . Tamb´ em, neste caso podemos normalizar ψ fazendo ∫ _∞

0 dx | ψ | ² = 1.

Na vizinhan¸ca da origem a Eq. (3) passa a ter a forma

d ² ψ

dx ² − 2mα

~ ² | x | ^β ψ ≃ 0, (8) e no semieixo positivo podemos escrever a solu¸c˜ ao geral da Eq. (8) como

ψ ≃

 



A | x | ^s

+ B | x | ^s

, para s + ̸ = s ₋ C | x | ^1/2 + D | x | ^1/2 log | x | , para s ₊ = s ₋ ,

(9) onde A, B, C e D s˜ ao constantes arbitr´ arias, e s _± ´ e solu¸ c˜ ao da equa¸c˜ ao indicial

s _± (s _± − 1) − 2mα

~ ² | x | ^{β − 2} ≃ 0. (10) A equa¸c˜ ao indicial resulta da considera¸c˜ ao dos ter- mos de mais baixa ordem da expans˜ ao em s´ eries de potˆ encias. Note que esta equa¸c˜ ao faz sentido somente

2

A origem ´ e uma singularidade n˜ ao-essencial (ou regular) se x

V ( | x | ) for finita no limite | x | → 0. Caso contr´ ario, a origem ´ e uma

singularidade essencial (ou irregular). No caso de singularidade n˜ ao-essencial, o teorema de Fuchs (veja, e.g. Ref. [14]) garante que a

solu¸ c˜ ao geral da equa¸ c˜ ao diferencial ´ e a combina¸ c˜ ao linear de duas solu¸ c˜ oes linearmente independentes c

S

(x) + c

S

(x), onde S

(x)

e S

(x) s˜ ao express´ıveis como s´ eries de potˆ encias em torno da origem, ou c

S

(x) + c

(S

(x) log | x | + S

(x)).

se β ≤ 2, i.e., se a origem for uma singularidade n˜ ao- essencial. ² Assim sendo, os estados ligados em poten- ciais com singularidade mais forte que 1/x ² est˜ ao ex- clu´ıdos de nossa considera¸c˜ ao. A equa¸c˜ ao indicial tem as solu¸c˜ oes

s _± = 1 2

( 1 ±

√

1 + 8mα

~ ² )

, para β = 2, (11) e

s + = 1 e s ₋ = 0, para β < 2. (12) Na vizinhan¸ ca da origem, o comportamento do termo

V ˜ nn = ψ ^∗ _{˜ n} α

| x | ^β ψ n

amea¸ ca a hermiticidade do operador associado com a energia potencial. Para β = 2 e s ₊ ̸ = s ₋ , podemos escrever

V _{nn ˜} ≃ α

| x | ^β [

A ^∗ _{n ˜} A _n | x | ^{2 Re s}

+ B _n ^∗ _˜ B _n | x | ^{2 Re s}

(13) + A ^∗ _{n ˜} B _n | x | ^s

^+s

+ B _n ^∗ _˜ A _n | x | ^s

^+s

]

,

e para β = 2 e s + = s ₋ V _{nn ˜} ≃ α

| x | ^β

[ C _n ^∗ _˜ C _n + D _n ^∗ _˜ D _n log ² | x |

(14) + (C _n ^∗ _˜ D n + D _n ^∗ _˜ C n ) log | x | ] .

Vemos destas ´ ultimas rela¸c˜ oes que a hermiticidade do operador associado com a energia potencial ´ e verificada somente se Re s _± > 1/2, o que equivale a dizer que o sinal negativo defronte do radical da Eq. (11) deve ser descartado e α deve ser maior que α _c , com

α c = − ~ ²

8m . (15)

Note que a solu¸c˜ ao expressa pela segunda linha da Eq.

(9), correspondente ` a raiz dupla da equa¸c˜ ao indicial, perde sua serventia. Para β < 2 temos que V nn ˜ ´ e in- tegr´ avel somente se ψ na primeira linha da Eq. (9) tiver B = 0 para 1 ≤ β < 2. Porque a equa¸c˜ ao de Schr¨ odin- ger ´ e linear e sua solu¸c˜ ao pode envolver apenas uma constante de integra¸ c˜ ao multiplicativa, a ser determi- nada por interm´ edio da condi¸c˜ ao de normaliza¸ c˜ ao, de- vemos ter A = 0 ou B = 0 para β < 1.

Diante do exposto, podemos afirmar que ψ se com- porta na vizinhan¸ca da origem como

F | x | ^s , (16)

onde F ´ e uma constante arbitr´ aria, e s ´ e uma quan- tidade real com os valores poss´ıveis segregados como

segue:

s =

 

 

 



 

 

 

1 2

( 1 +

√

1 + ^8mα _~

)

,

1, 0 ou 1,

para β = 2 e α > α c

para 1 ≤ β < 2 para β < 1.

(17) O crit´ erio de hermiticidade do operador associado com a energia potencial ´ e l´ıcito e suficiente para descartar solu¸c˜ oes esp´ urias. A ortonormalizabilidade das auto- fun¸c˜ oes (relacionada com a hermiticidade do operador hamiltoniano) e a hermiticidade do operador momento s˜ ao crit´ erios mais fr´ ageis porque envolvem o comporta- mento de ψ _n ^∗ _˜ ψ n e ψ ^∗ _{˜ n} dψ n /dx na vizinhan¸ca da origem, respectivamente. O requerimento da hermiticidade do operador energia cin´ etica ´ e t˜ ao r´ıgido quanto o reque- rimento da hermiticidade do operador energia poten- cial para β = 2, por´ em ´ e mais fr´ agil para β < 2. A bem da verdade, a hermiticidade do hamiltoniano tem sido usada com sucesso na descri¸c˜ ao do espectro do

´

atomo de hidrogˆ enio unidimensional [3] tanto quanto para desmascarar o hidrino (estado estramb´ otico do hi- drogˆ enio com energia mais baixa que aquela de seu es- tado fundamental normal) [7]. ´ E instrutivo notar que o comportamento da autofun¸c˜ ao na vizinhan¸ca da ori- gem independe da intensidade do potencial, caracte- rizada pelo parˆ ametro α, no caso em que o potencial

´ e menos singular que 1/x ² , e que a condi¸c˜ ao de Diri- chlet homogˆ enea (ψ (0 + ) = 0) ´ e essencial sempre que 1 ≤ β ≤ 2 (s > 1/2), contudo ela tamb´ em ocorre para β < 1 quando s = 1 mas n˜ ao para s = 0. Estes resul- tados est˜ ao sumarizados na Tabela 1.

Tabela 1 - Autofun¸ c˜ ao e sua primeira derivada na vizinhan¸ ca da origem em fun¸ c˜ ao dos parˆ ametros do potencial.

ψ|

x=0₊

β = 2 e α > 0 0 0

β = 2 e α < 0 0 ∞

1 ≤ β < 2 0 < ∞

β < 1 e s = 0 < ∞ 0 β < 1 e s = 1 0 < ∞

A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo para o nosso problema, Eq. (3), tem o comportamento para grandes valores de | x | dado por d ² ψ/dx ² − k ² ψ ≃ 0, e da´ı sucede que a forma assint´ otica da solu¸c˜ ao quadrado-integr´ avel ´ e dada por

ψ ≃ e ^{− k | x |} , k ∈ R , (18) onde k est´ a definido pela Eq. (4). Portanto, podemos afirmar que os poss´ıveis estados ligados tˆ em espectro negativo.

3. Solu¸ c˜ ao no semieixo

As condi¸c˜ oes de contorno impostas sobre a autofun¸c˜ ao

nos extremos do intervalo nos permite tirar conclus˜ oes

acerca da degenerescˆ encia. Com esta finalidade, segui- mos os passos da Ref. [12]. Sejam ψ ₁ e ψ ₂ duas auto- fun¸ c˜ oes correspondentes ` a mesma energia. A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger (3) implica que

ψ 1

d ² ψ 2

dx ² − ψ 2

d ² ψ 1

dx ² = 0. (19)

Nesta circunstˆ ancia, a integral da Eq. (19) resulta em ψ 1

dψ 2

dx − ψ 2

dψ 1

dx = W (ψ 1 , ψ 2 ) = W 0 = constante, (20) onde W (ψ 1 , ψ 2 ) designa o wronskiano de ψ 1 e ψ 2 . O comportamento assint´ otico de ψ 1 e ψ 2 faz W 0 = 0, e assim o wronskiano ´ e nulo em todo o semieixo, tendo como consequˆ encia imediata a dependˆ encia linear en- tre ψ 1 e ψ 2 . Conclui-se, ent˜ ao, que o espectro ´ e n˜ ao- degenerado. No entanto, tal conclus˜ ao ´ e fidedigna so- mente se a Eq. (19) for integr´ avel. Na vizinhan¸ ca da origem, cada parcela do lado esquerdo de (19) ´ e pro- porcional a s (s − 1) | x | ^{2s − 2} , sendo integr´ avel somente se s = 0 ou s > 1/2. Destarte, a ado¸ c˜ ao do bem- afortunado crit´ erio de hermiticidade do operador asso- ciado com a energia potencial garante a inexistˆ encia de degenerescˆ encia ainda que os potenciais sejam singula- res.

Note que para o problema definido no semieixo mas limitado por uma barreira infinita no semieixo comple- mentar, a solu¸ c˜ ao com s = 0 deve ser banida por causa da continuidade da autofun¸ c˜ ao em x = 0.

4. Solu¸ c˜ ao em todo o eixo

Com potenciais pares sob a troca de x por − x, as auto- fun¸ c˜ oes em todo o eixo, com paridades bem definidas, podem ser obtidas das autofun¸c˜ oes definidas no semi- eixo por meio de extens˜ oes sim´ etricas e antissim´ etricas.

A autofun¸c˜ ao definida para todo o eixo X pode ser es- crita como

ψ ^(p) (x) = [θ (x) + p θ ( − x)]ψ ( | x | ) , (21) onde p = ± 1 e θ (x) ´ e a fun¸c˜ ao degrau de Heaviside (1 para x > 0, e 0 para x < 0). Estas duas autofun¸ c˜ oes linearmente independentes possuem a mesma energia, ent˜ ao, em princ´ıpio, existe uma dupla degenerescˆ encia.

Observe que, apesar da nulidade do wronskiano de ψ ⁽⁺⁾ e ψ ^{( − )} , como pode ser inferido pelo comportamento as- sint´ otico, est´ a claro que ψ ⁽⁺⁾ n˜ ao pode ser expressa em termos de ψ ^{( − )} , e vice-versa. Entretanto, temos de con- siderar as condi¸c˜ oes de conex˜ ao entre a autofun¸c˜ ao, e tamb´ em sua derivada primeira, ` a direita e ` a esquerda da origem.

A autofun¸c˜ ao deve ser cont´ınua na origem, do contr´ ario o valor esperado da energia cin´ etica n˜ ao seria finito. ´ E assim porque

ψ ^∗ d ² ψ dx ² = d

dx (

ψ ^∗ dψ dx

)

− dψ ^∗ dx

dψ

dx , (22) e uma descontinuidade de salto de ψ em x = 0 faria dψ/dx ser proporcional ` a fun¸c˜ ao delta de Dirac δ (x).

Portanto, a ´ ultima parcela do lado direito da Eq. (22) contribuiria para o valor esperado da energia cin´ etica com uma parcela proporcional ` a

ε lim → 0

∫ +ε

− ε

dx δ ² (x) = ∞ . (23) Note que a demanda por continuidade da autofun¸c˜ ao em x = 0 exclui a possibilidade de uma extens˜ ao antis- sim´ etrica no caso de β < 1 e s = 0.

A conex˜ ao entre dψ/dx ` a direita e dψ/dx ` a esquerda da origem pode ser avaliada pela integra¸ c˜ ao da Eq. (3) numa pequena regi˜ ao em redor da origem, e para um potencial com o comportamento ditado pela Eq. (7) pode ser sumarizada por

ε lim → 0

dψ dx

^x=+ε

x= − ε

= 2mα

~ ² lim

ε −→ 0

∫ +ε

− ε

dx ψ

| x | ^β . (24) Adotando o valor principal de Cauchy ³ como prescri¸ c˜ ao l´ıcita para atribuir significado ` a representa¸c˜ ao integral cujo integrando ´ e singular no interior da regi˜ ao de in- tegra¸ c˜ ao, pode-se concluir que a derivada primeira de uma autofun¸c˜ ao ´ımpar ´ e sempre cont´ınua. Entretanto, a autofun¸c˜ ao par requer aten¸c˜ ao. Nesta ´ ultima cir- cunstˆ ancia, temos

dψ dx

x=0

− dψ dx

x=0

=

 

 0,

∞ ,

para β = 2 e α > 0, ou β < 2 para β = 2 e α < 0,

(26) resultando na exclus˜ ao das extens˜ oes sim´ etricas dos ca- sos 1 ≤ β < 2, e β < 1 com s = 1.

Um resumo das extens˜ oes poss´ıveis est´ a transcrito na Tabela 2.

Tabela 2 - Poss´ıveis extens˜ oes sim´ etricas e antissim´ etricas em fun¸ c˜ ao dos parˆ ametros do potencial.

Extens˜ oes poss´ıveis

β = 2 par e ´ımpar

1 ≤ β < 2 ´ımpar

β < 1 e s = 0 par β < 1 e s = 1 ´ımpar

3

Para f (x) singular na origem, pode-se atribuir um sentido proveitoso ` a representa¸ c˜ ao integral ∫

−∞

dx f (x) por meio da receita que se segue:

P

∫

−∞

dx f (x) = lim

δ→0

(∫

−∞

dx f (x) +

∫

dx f (x) )

. (25)

Tal prescri¸ c˜ ao ´ e conhecida como valor principal de Cauchy de ∫

−∞

dx f (x).

A hermiticidade do operador associado com a ener- gia potencial, por causa da singularidade em x = 0, depende da existˆ encia do valor principal de Cauchy da integral ∫ + ∞

−∞ dx V _{nn ˜} ^{( ˜ pp)} . Obviamente, o valor princi- pal de Cauchy poderia consentir um afrouxamento das condi¸c˜ oes de contorno impostas sobre as autofun¸c˜ oes.

Autofun¸c˜ oes mais singulares que essas anteriormente definidas no semieixo seriam toleradas se na vizinhan¸ca da origem os sinais de V _{nn ˜} ^{( ˜ pp)} ` a direita e ` a esquerda da origem fossem diferentes para quaisquer p e ˜ p. Por´ em, temos V _{nn ˜} ^{( ˜ pp)} (x < 0) = ˜ pp V _{˜ nn} (x > 0), de modo que a integral de V _{nn ˜} ^{( ˜ pp)} n˜ ao seria finita ao se considerar duas autofun¸ c˜ oes com a mesma paridade. Somos assim con- duzidos a preservar a rigidez do crit´ erio de hermitici- dade j´ a estabelecido no problema definido no semieixo.

O crit´ erio de n˜ ao-degenerescˆ encia estabelecido na Se¸c˜ ao 3 para o problema definido no semieixo torna-se um fiasco para o problema definido em todo o eixo no caso em que β = 2. Por causa das condi¸c˜ oes de conex˜ ao entre a autofun¸ c˜ ao e sua derivada primeira ` a direita e

`

a esquerda da origem, e tamb´ em por causa da hermiti- cidade do operador associado com a energia potencial, os estados ligados da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger com um potencial que se comporta como a Eq. (7) apresentam um espectro degenerado se β = 2, n˜ ao-degenerado e somente com autofun¸c˜ oes ´ımpares se 1 ≤ β < 2, e n˜ ao- degenerado com autofun¸c˜ oes pares (s = 0) e ´ımpares (s = 1) se β < 1. O espectro n˜ ao-degenerado no caso em que o potencial dominante na origem tem singu- laridade 1/ | x | ^β com β < 1 ´ e habitual para sistemas unidimensionais. ´ E curioso a ausˆ encia de autofun¸c˜ oes pares no caso em que o potencial dominante na origem possui singularidade 1/ | x | ^β com 1 ≤ β < 2. Outrossim,

´

e surpreendente que a degenerescˆ encia s´ o apresente sua assinatura no caso em que o potencial dominante na origem tem singularidade 1/x ² .

5. Dois modelos exemplares

At´ e o momento, temos exclu´ıdo classes de potenciais e classes de solu¸ c˜ oes, contudo, as classes de potenciais e classes de solu¸c˜ oes que sobejam carecem de modelos espec´ıficos para a verifica¸ c˜ ao da concretiza¸c˜ ao de suas possibilidades. Nesta Se¸ c˜ ao, investigaremos as solu¸c˜ oes para V ( | x | ) com formas bem definidas.

Para potenciais com os comportamentos ditados pela Eq. (7), o comportamento assint´ otico de ψ ex- presso pela Eq. (18) convida-nos a definir y = 2k | x | de forma que a autofun¸c˜ ao para todo y ∈ [0, ∞ ) pode ser escrita como

ψ (y) = y ^s e ^{− y/2} w (y) . (27) Por causa do comportamento j´ a prescrito para ψ, a fun¸ c˜ ao w deve convergir para uma constante n˜ ao-nula quando y → 0, e n˜ ao deve crescer mais rapidamente do que exp (c ₁ y ^c

), onde c ₁ ´ e uma constante arbitr´ aria

e c ₂ < 1, quando y → ∞ . Isto ´ e necess´ ario para ga- rantir que o expoente da exponencial na Eq. (27), viz.

− y/2 + c 1 y ^c

, se comporte como − y/2 quando y → ∞ . Veremos mais adiante que as equa¸c˜ oes obedecidas por w para os problemas pass´ıveis de solu¸c˜ oes anal´ıticas recaem em equa¸c˜ oes diferenciais hipergeom´ etricas con- fluentes (tamb´ em chamada de equa¸c˜ ao de Kummer) [15]

y d ² w (y)

dy ² + (b − y) dw (y)

dy − a w (y) = 0. (28) Buscaremos solu¸c˜ oes particulares da Eq. (28) que sa- tisfa¸ cam as condi¸c˜ oes de contorno apropriadas, esta- belecidas no final do par´ agrafo anterior. Afortunada- mente, veremos tamb´ em que tais solu¸ c˜ oes particulares requerem b > 1. A solu¸ c˜ ao geral da Eq. (28) ´ e dada por [15]

w (y) = C ₁ M (a, b, y) + C ₂ y ^{1 − b} M (a − b + 1, 2 − b, y), (29) onde C ₁ e C ₂ s˜ ao constantes arbitr´ arias, e M (a, b, y), tamb´ em denotada por 1 F 1 (a, b, y), ´ e a fun¸c˜ ao hiper- geom´ etrica confluente (tamb´ em chamada de fun¸c˜ ao de Kummer) expressa pela s´ erie [15]

M (a, b, y) = Γ (b) Γ (a)

∑ ∞ j=0

Γ (a + j) Γ (b + j)

y ^j

j! , (30) onde Γ (z) ´ e a fun¸c˜ ao gama. A fun¸c˜ ao gama n˜ ao tem ra´ızes e seus polos s˜ ao dados por z = − n, onde n ´ e um inteiro n˜ ao-negativo [15]. A fun¸c˜ ao de Kummer con- verge para todo y, ´ e regular na origem (M (a, b, 0) = 1) e tem o comportamento assint´ otico prescrito por [15]

M (a, b, y) _≃ Γ (b)

Γ (b − a) e ^{− iπa} y ^{− a} + Γ (b)

Γ (a) e ^y y ^{a − b} . (31) Haja vista que b > 1, e estamos em busca de solu¸c˜ ao regular na origem, devemos tomar C ₂ = 0 na Eq. (29).

A presen¸ca de e ^y na Eq. (31) estraga o bom com- portamento assint´ otico da autofun¸c˜ ao j´ a ditado pela Eq. (18). Esta situa¸c˜ ao pode ser remediada pela con- sidera¸c˜ ao dos polos de Γ (a), e assim preceituar que um comportamento aceit´ avel para M (a, b, y) ocorre so- mente se a = − n, com n ∈ N . Neste caso, M ( − n, b, y) exibe o comportamento assint´ otico M ( − n, b, y) ∼ y ⁿ , e a s´ erie (30) ´ e truncada em j = n de tal forma que o polinˆ omio de grau n resultante ´ e proporcional ao polinˆ omio de Laguerre generalizado L ^(b n ^{− 1)} (y) [15].

O polinˆ omio de Laguerre generalizado ´ e definido pela f´ ormula

L ^(b _n ^{− 1)} (y) = y ^{− (b+1)} e ^y d ⁿ dy ⁿ

( y ^{b+n − 1} e ^{− y} )

, b > 0,

(32)

e possui n zeros distintos. Quando b = 1 o polinˆ omio de

Laguerre generalizado ´ e denotado por L _n (y), e ´ e cha-

mado simplesmente de polinˆ omio de Laguerre. Haja

vista que nosso interesse recair´ a nos casos com b > 1,

podemos assegurar que a autofun¸c˜ ao do problema ter´ a a forma

ψ (y) = N _n y ^s e ^{− y/2} L ^(b _n ^{− 1)} (y) , (33) com n nodos no intervalo (0, ∞ ). N n ´ e uma constante de normaliza¸c˜ ao.

Vale a pena observar que o comportamento de w (y) nos extremos do intervalo, consoante o que foi exposto no final do par´ agrafo que envolve a Eq.(27), garante a existˆ encia de sua transformada de Laplace (veja, e.g., Ref. [14])

F (σ) =

∫ _∞

0

dy e ^{− σy} w (y) , (34) e assim a solu¸c˜ ao particular da Eq. (28) poderia ter sido obtida pelo met´ odo da transformada de Laplace de w (y), em concordˆ ancia com o que foi apregoado na Ref. [16].

5.1. V (x) = α/ | x | ^β

Neste caso, a substitui¸c˜ ao de ψ (y) dado pela Eq. (27) na Eq. (3) resulta que w (y) ´ e solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao

y d ² w (y)

dy ² + (2s − y) dw (y) dy −

[

s − s (s − 1) y ^{− 1} + 2mα

~ ² (2k) ^{β − 2} y ^{1 − β} ]

w (y) = 0. (35)

Nota-se que a Eq. (35) se reduz a equa¸c˜ oes hiper- geom´ etricas caso β seja igual a 2 ou 1:

y d ² w (y)

dy ² + (2s − y) dw (y)

dy − s w (y) = 0,

para β = 2, (36)

e

y d ² w (y)

dy ² + (2 − y) dw (y) dy − (

1 + mα

~ ² k )

w (y) = 0,

para β = 1. (37)

Encontramos que solu¸c˜ oes bem comportadas requerem

− n =

 

 s, 1 + ^mα _~

k ,

para β = 2 para β = 1.

(38) Da´ı podemos concluir que n˜ ao h´ a solu¸c˜ ao se β = 2, pois s > 1/2. Entretanto, se β = 1 h´ a solu¸c˜ oes somente no caso em que α < 0, como esperado. Tais solu¸c˜ oes, com b = 2, s˜ ao expressas em termos de L ⁽¹⁾ n (y) por

E n = − mα ² 2 ~ ² (n + 1) ²

(39) ψ n ( | x | ) = N n | x | exp

(

− m | α |

~ ² (n + 1) | x | )

× L ⁽¹⁾ _n

( 2m | α |

~ ² (n + 1) | x | )

.

Para V (x) = −| α | / | x | , encontramos um conjunto infi- nito de estados ligados. N˜ ao h´ a limite inferior imposto sobre α, basta que α seja negativo.

5.2. V (x) = α 1 / | x | + α 2 /x ² , α 1 ̸ = 0 Neste caso,

y d ² w (y)

dy ² + (2s − y) dw (y) dy − (

s + mα ₁

~ ² k )

w (y) = 0, (40) e as solu¸c˜ oes bem comportadas demandam

− n = s + mα 1

~ ² k . (41)

Necessariamente com α 1 < 0, as solu¸c˜ oes com s > 1/2 (b > 1) s˜ ao expressas em termos de L ^(2s n ^{− 1)} (y) por:

E n = − mα ² ₁ 2 ~ ² (n + s) ²

(42) ψ n ( | x | ) = N n | x | ^s exp

(

− m | α 1 |

~ ² (n + s) | x | )

× L ^(2s _n ^{− 1)}

( 2m | α 1 |

~ ² (n + s) | x | )

.

Aqui,

s = 1 2

( 1 +

√

1 + 8mα 2

~ ² )

, α 2 > α c . (43)

Para V (x) = −| α 1 | / | x | + α 2 /x ² , com α 1 ̸ = 0, encon- tramos um conjunto infinito de estados ligados com nenhum limite inferior imposto sobre α 1 , basta que α 1 < 0. Para α 2 = 0, os resultados coincidem com aqueles encontrados na subse¸ c˜ ao anterior, como deve- ria acontecer. Qualquer que seja α ₂ > α _c , as solu¸c˜ oes s˜ ao fisicamente aceit´ aveis, ainda que no intervalo α _c <

α ₂ < 0 as autofun¸c˜ oes possuam derivadas primeiras singulares na origem. E mesmo assim, contanto que ´ o parˆ ametro α ₂ seja maior que α _c , o par caracter´ıstico (E n , ψ n ) constitui uma solu¸c˜ ao permiss´ıvel do problema proposto. Visto como fun¸c˜ ao de α 2 , ao passar por α 2 = 0, a forma do potencial sofre uma mudan¸ ca dr´ astica: passa de um po¸co sem fundo com singula- ridade negativa na origem quando α c < α 2 ≤ 0 para um po¸co com fundo com singularidade positiva na ori- gem quando α 2 > 0. As autofun¸c˜ oes sempre satisfa- zem ` a condi¸c˜ ao homogˆ enea de Dirichlet na origem. As derivadas primeiras das autofun¸c˜ oes s˜ ao infinitas na origem se α c < α 2 < 0. Para α 2 ≥ 0, contudo, as de- rivadas primeiras s˜ ao finitas, sendo nulas caso α ₂ > 0.

E instrutivo observar que esta transi¸c˜ ´ ao de fase n˜ ao se

manifesta no espectro.

Nas Figs. 1 e 2 ilustramos o comportamento da au- tofun¸ c˜ ao (Ψ = √

λ ψ) para o estado fundamental em fun¸ c˜ ao de ζ = | x | /λ, onde

λ = ~

mc (44)

´

e o comprimento de onda Compton da part´ıcula (c ´ e a velocidade da luz). A normaliza¸c˜ ao foi realizada por m´ etodos num´ ericos mas poderia ter sido obtida por meio de f´ ormulas envolvendo os polinˆ omios de Laguerre generalizados constantes na Ref. [15]. Na Fig. 1, fixa- mos α ₁ e consideramos cinco valores ilustrativos de α ₂ . Na Fig. 2, fixamos α ₂ na vizinhan¸ ca do valor cr´ıtico α _c e consideramos dois valores ilustrativos de α ₁ .

A compara¸c˜ ao entre as cinco curvas da Fig. 1 mos- tra que a part´ıcula tende a evitar a origem mais e mais

`

a medida que α 2 aumenta. A part´ıcula nunca colapsa para o ponto x = 0 (em contradi¸ c˜ ao com a afirma¸c˜ ao patente na Ref. [11]), e certamente h´ a um estado fun- damental com energia igual a E ₀ = − 2mα ² ₁ / (2 ~ s) ² .

A compara¸c˜ ao entre as duas curvas da Fig. 2, para

α ₂ & α _c , mostra que a part´ıcula tende a evitar a origem

mais e mais ` a medida que α ₁ aumenta.

No caso das extens˜ oes para todo o eixo, a forma do potencial V (x) = −| α 1 | / | x | + α 2 /x ² (com α 1 ̸ = 0), ao passar por α 2 = 0, troca de um po¸ co sem fundo com sin- gularidade negativa em x = 0 quando α c < α 2 ≤ 0 para um po¸ co duplo com singularidade positiva em x = 0 quando α 2 > 0. Autofun¸c˜ oes possuem derivadas pri- meiras finitas na origem se α 2 ≥ 0. Para α c < α 2 < 0, contudo, as derivadas primeiras s˜ ao infinitas na origem.

Esta transi¸c˜ ao de fase em α 2 = 0 tamb´ em se manifesta no grau de degenerescˆ encia do espectro.

Figura 1 - Autofun¸ c˜ ao normalizada do estado fundamental de- finido no semieixo em fun¸ c˜ ao de ζ = | x | /λ, para α

/( ~ c) =

− 10. As linhas cont´ınua espessa, pontilhada, tracejada, ponto- tracejada e cont´ınua delgada para os casos com mα

/ ~

igual a

− 0,124999, − 0, 1, 0, +0, 1 e 0, 3, respectivamente.

Figura 2 - Autofun¸ c˜ ao normalizada do estado fundamental de- finido no semieixo em fun¸ c˜ ao de ζ = | x | /λ, para mα

/ ~

=

− 0,124999. As linhas cont´ınua e pontilhada para os casos com α

/( ~ c) igual a − 10 e − 5, respectivamente.

6. Coment´ arios finais

Dissertamos sobre o problema de estados ligados no ˆ

ambito da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional para uma classe de potenciais V ( | x | ) que se anulam no infi- nito e apresentam singularidade dominante na origem na forma α/ | x | ^β (0 < β ≤ 2) por meio dos comporta- mentos das autofun¸c˜ oes na vizinhan¸ca da origem e seus comportamentos assint´ oticos. Armados com o crit´ erio de hermiticidade dos operadores associados com quan- tidades f´ısicas observ´ aveis, e com o valor principal de Cauchy para atribuir significado ` a representa¸c˜ ao inte- gral cujo integrando ´ e singular no interior da regi˜ ao de integra¸c˜ ao, conclu´ımos que:

• o espectro ´ e negativo;

• n˜ ao h´ a estados ligados se o potencial com com- portamento dominante na origem do tipo inver- samente quadr´ atico for fortemente atrativo (α/x ² com α ≤ α _c );

• o espectro do problema definido no semieixo ´ e n˜ ao-degenerado;

• o espectro do problema definido em todo o eixo ´ e n˜ ao-degenerado se β < 2, e duplamente degene- rado se β = 2;

• somente autofun¸c˜ oes antissim´ etricas ocorrem no caso 1 ≤ β < 2;

• autofun¸c˜ oes sim´ etricas e antissim´ etricas ocorrem

no caso β < 1.

Em seguida, tratamos de modelos exatamente sol´ uveis. Consideramos potenciais da forma V ( | x | ) = α 1 / | x | + α 2 /x ² , e recorrendo ao conhecimento de solu¸ c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais hipergeom´ etricas con- fluentes, demonstramos que inexistem solu¸c˜ oes no caso em que α 1 = 0, e que h´ a um n´ umero infinito de esta- dos ligados no caso em que α 1 < 0 e α 2 > −~ ² / (8m).

Em particular, reafirmamos as conclus˜ oes obtidas na Ref. [3] referentes ao ´ atomo de hidrogˆ enio unidimensio- nal definido em todo o eixo: todo o espectro tem energia finita e autofun¸c˜ oes antissim´ etricas.

Nossos resultados para o problema definido no semi- eixo podem ser generalizados para o problema tridimen- sional por meio do acr´ escimo de l (l + 1) ~ ² / (

2mx ² ) ao potencial e pela substitui¸c˜ ao de ψ ( | x | ) por | x | R ( | x | ), onde l ´ e o n´ umero quˆ antico orbital e R ( | x | ) ´ e a fun¸ c˜ ao radial. Desta forma, α deve ser substitu´ıdo por α + l (l + 1) ~ ² / (2m) se β = 2, e α ₂ por α ₂ + l (l + 1) ~ ² / (2m) na Se¸c˜ ao 5.1. Entretanto, deve-se ob- servar que a parcela l (l + 1) ~ ² / (

2mx ² )

representar´ a a singularidade dominante na origem se β < 2 e l ̸ = 0, em vez de α/ | x | ^β . Al´ em disto, a solu¸c˜ ao que n˜ ao satisfaz ` a condi¸ c˜ ao de Dirichlet homogˆ enea na origem, essa com s = 0 para β < 1, torna-se uma solu¸c˜ ao esp´ uria para o caso tridimensional. Isto se d´ a porque a existˆ encia de uma fun¸c˜ ao radial com o comportamento na vizinhan¸ca da origem ditado por 1/ | x | requeriria a presen¸ca de uma fun¸ c˜ ao delta de Dirac no potencial [17].

Agradecimentos

Os autores s˜ ao gratos ` a CAPES, ao CNPq e ` a FAPESP pelo apoio financeiro.

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