SUAVIZAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE ALVOS EM DEA
João Carlos C. B. Soares de Mello
Departamento de Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense Rua Passo da Pátria 156, 24240-240, Niterói, RJ, Brasil. - [email protected]
Eliane Gonçalves Gomes
Programa de Engenharia de Produção – Universidade Federal do Rio de Janeiro Caixa Postal: 68543, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. - [email protected]
Marcos P. Estellita Lins
Programa de Engenharia de Produção – Universidade Federal do Rio de Janeiro
Cidade Universitária, Centro de Tecnologia, F-105, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. [email protected]
Abstract: The multipliers DEA model has multiple optimal solutions in the
extreme-efficient DMUs. This fact is a drawback in several applications, particularly when we need to know the tradeoffs and in Cross-Evaluation. We propose a solution using the geometric representation of DEA envelope model. In this representation the frontier is piece-wise linear, meaning that for the extreme-efficient DMUs there is no tangent plan to the DEA frontier, as these DMUs are the cusps of the faces. The solution consists in changing the original frontier by another with continuous partial derivatives in every point and being as close as possible to the original one. We obtained a smoothed frontier with similar properties to the original, but with tangent plans at all points. The multipliers are obtained from the tangent plans equations. We present the general case theoretical development and the particular case of the three-dimensional DEA BCC model is presented. Models for target determination on the smoothed frontier are purposed.
Keywords: DEA, Smoothed Frontier, Targets
1. INTRODUÇÃO
A Análise de Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis – DEA) foi desenvolvida por Charnes, et al (1978) para determinar a eficiência de unidades produtivas (Decision Making Units – DMUs), onde não seja predominante ou não se deseja considerar somente o aspecto financeiro. A metodologia DEA permite avaliar a eficiência de cada DMU considerando-se os recursos de que dispõe (inputs) e os resultados alcançados (outputs).
Existem, assim, duas formulações equivalentes para os modelos DEA clássicos (Cooper et al., 2000). De forma simplificada, pode-se dizer que uma das formulações (modelo do Envelope) define uma região viável de produção e trabalha com a distância de cada DMU à fronteira desta região. A outra formulação (modelo dos Multiplicadores) trabalha com a razão de somas ponderadas de produtos e recursos, sendo a ponderação escolhida de forma mais favorável a cada DMU, respeitando-se determinadas condições.
não permite um cálculo das taxas de substituição (tradeoffs) entre diversos inputs ou o quanto a variação de um input influi na variação de um determinado output, o que é uma informação vital em administração da produção. Este problema é comumente ignorado nas análises ou, quando muito, é referenciado, mas mesmo assim são usados os valores da 1a solução ótima encontrada pelo algoritmo usado (Thanassoulis, 1993; Chilingerian, 1995).
O problema de determinar-se um conjunto único de pesos no modelo dos multiplicadores eqüivale a determinar um hiperplano tangente no modelo do envelope. Ou seja, calcular as derivadas em todos os pontos da fronteira. Mas, essa fronteira tem derivadas descontínuas, já que é linear por partes, impossibilitando o cálculo de valor único para os multiplicadores. Segundo Rosen et al. (1998), no caso bidimensional, os valores dos multiplicadores podem variar entre o valor calculado com base na derivada à esquerda e o calculado com base na derivada à direita. Esses autores afirmam ser impossível contornar esta multiplicidade de valores e fazem a proposta de um quadro SIMPLEX modificado para calcular os limites de variação dos multiplicadores, em problemas de dimensão superior.. Charnes et al. (1985) já haviam, implicitamente, reconhecido esta impossibilidade quando propuseram o uso arbitrário de um valor único para as derivadas através do cálculo de uma média ponderada, baseado nos baricentros das hipersuperfícies concorrentes.
Este método apresenta várias desvantagens. Entre elas a necessidade de conhecer as equações de todas as faces (o que exige um algoritmo de complexidade NP – Fukuda, 1993), a existência de variações bruscas devido à descontinuidade das derivadas e a impossibilidade de ser aplicado em DMUs que marquem o início da região Pareto ineficiente.
Uma forma alternativa e menos arbitrária de resolver o problema, apresentada por Soares de Mello et al. (2001), consiste em substituir a fronteira calculada no modelo DEA, por uma outra que admita hiperplano tangente em todos os seus pontos, mas que mantenha a maior parte das propriedades da fronteira DEA original, tal como possuir as mesmas DMUs eficientes. Como os únicos pontos da fronteira onde não existe gradiente são as DMUs extremo-eficientes (Charnes et al., 1988), que representam “cantos” da hipersuperfície, o que se procura é suavizar esses cantos. Esta abordagem, embora reconhecendo a impossibilidade da determinação de valores únicos nos modelos DEA originais, propõe um novo modelo DEA que elimina a impossibilidade mencionada por Rosen et al. e Charnes et al.
Este artigo expande os resultados obtidos por Soares de Mello et al. (2001), que trataram apenas de casos bidimensionais. O objetivo é estudar o caso de suavização da fronteira DEA para o modelo BCC tridimensional, que considera retornos variáveis de escala (Banker et al, 1984),. fazendo uso do mesmo referencial teórico. Com os resultados obtidos sugere-se um novo método de determinar alvos para as DMUs ineficientes.
2. FORMULAÇÃO GERAL DO MODELO DE SUAVIZAÇÃO
resolução fornece uma função dos inputs que representa a totalidade da fronteira eficiente.
( )
( )
{
}
j i j j j j R i i X X x F X X X E X X output X F dS x F L ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = ∂ ∂ ∃ ∀ = ∈ ∀ = ∂ ∂ + =∫ ∑
eficiente Pareto DMU é : , sa 1 min 2 (I)Na última restrição de (I) é particularmente importante garantir a existência das derivadas nos pontos correspondentes às DMUs extremo-eficientes, por serem estes os pontos de descontinuídade das derivadas na fronteira original. Isto pode ser conseguido com a imposição de derivadas laterais iguais no caso de se usar aproximantes diferentes em cada região da fronteira ou escolhendo um único aproximante para toda fronteira que tenha derivadas em todo seu domínio.
Este é um problema de Cálculo das Variações. A sua solução é dada resolvendo a
equação de Euler–Lagrange, que neste caso é
∑
=∂ ∂ = ∇ i xi F F 22 0 2 (Elsgolts, 1980).
Esta é a bem conhecida equação de Laplace n-dimensional (Farlow, 1993), que deve ser resolvida, se possível, com as condições de contorno adequadas e mais a condição de convexidade da fronteira DEA, no caso de modelos BCC (com retornos
variáveis de escala). Esta restrição obriga a que 2 0
2 ≤ ∂ ∂ i x F
o que conduz ao Teorema da Inexistência de Solução Ótima.
Teorema da Inexistência de Solução Ótima
O problema de suavização da fronteira com uma topologia baseada no comprimento de arco em um modelo BCC com um output ou não tem sentido, ou não tem solução.
A demonstração deste teorema é encontrada em Soares de Mello et al (2001) É necessário interpretar o que significa a impossibilidade do problema. O problema proposto é determinar a fronteira suave que melhor se aproxima da fronteira original, usando uma topologia baseada no comprimento de arco. Afirmar que o problema é impossível significa dizer que não existe solução que “melhor se aproxima”. Dada uma fronteira suave, sempre será possível determinar uma outra (e, portanto, uma infinidade) que seja uma melhor aproximação da original. O fato de não ter a melhor aproximação não impede que existam boas aproximações, que poderão ser calculadas usando métodos variacionais, em especial uma adaptação do método de Ritz (Smith, 1998). Este método consiste em substituir a procura da melhor função de todas pela procura da melhor função de uma classe particular de funções chamadas aproximantes.
3. SUAVIZAÇÃO DO MODELO DEA BCC TRIDIMENSIONAL (2 inputs e 1 output)
Em Soares de Mello et al. (2001) usou-se um aproximante polinomial de 2o grau para cada região da fronteira (caso bidimensional), ou seja, havia uma correspondência biunívoca entre aproximantes e faces Pareto eficientes. Isto foi possível graças à determinação geométrica das faces eficientes. Em casos de maior dimensão, a determinação das faces exige um algoritmo de complexidade NP, o que pode inviabilizar o uso de aproximantes específicos.
Mesmo em problemas em que a inviabilidade prática não ocorra, outras razões não recomendam o uso de aproximantes específicos para cada face:
A dificuldade de garantir a continuidade da fronteira nas arestas, mesmo que esteja garantida a continuidade nos vértices.
A geometria da fronteira pode acarretar um número de restrições de igualdade maior que o número de variáveis de decisão, fornecidas por um polinômio de 2o grau.
A existência de faces de dimensão não completa pode impedir o cálculo de derivadas nos vértices, o que impede a imposição de restrições de suavidade. Assim, adotou-se um aproximante polinomial único para toda fronteira. Com isso, pode ocorrer a necessidade de trabalhar com funções polinomiais de grau mais elevado. Por exemplo, se houver a necessidade do uso de um polinômio de grau 4, ter-se-ia a equação (II), na qual x e y são os inputs e Z é o output.
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2
2 exy fy gx hx y ixy jy kx lx y mx y nxy oy
dx cy bx a Z= + + + + + + + + + + + + + + (II) A Tabela 1 mostra a relação que deve existir entre o número de DMUs extremo-eficientes e o grau do polinômio para a escolha do aproximante em cada caso real, de modo que seja garantido que o número de restrições de igualdade seja inferior ao número de variáveis de decisão (coeficientes do polinômio). As restrições de igualdade garantem que a fronteira suavizada contenha todas as DMUs extremo-eficientes, embora possa não conter DMUs eficientes que não sejam "cantos" da fronteira. A exclusão dessas DMUs é para diminuir o risco de inviabilidades no problema de suavização (Soares de Mello et al, 2001) .
Número de DMUs extremo-eficientes Grau do polinômio
A formulação (III) representa o modelo DEA tridimensional suavizado. A função objetivo dada pela integral dupla onde ymin, xmin, ymax e xmax representam o menor e o
maior valor de cada input. A restrição (III.1) garante que as DMUs extremo-eficientes estão contidas na fronteira suavizada. As restrições (III.2) e (III.3) garantem a monotonicidade crescente da fronteira. A convexidade é garantida por (III.4) e (III.5). Estas seriam desnecessárias caso todas as DMUs fossem projetadas, no modelo DEA BCC clássico, em região Pareto eficiente, caso contrário, torna-se necessário garantir que nenhuma DMU seja projetada em região decrescente da fronteira.
(III.5) , , 0 (III.4) , , 0 (III.3) 0 ) , ( (III.2) 0 ) , ( (III.1) ) , ( sa 1 min 2 2 2 2 max max max max 2 2 max min max min y x y Z y x x Z y x y Z y x x Z Z y x Z dydx y Z x Z efi efi efi x x y y ∀ ≤ ∂ ∂ ∀ ≤ ∂ ∂ ≥ ∂ ∂ ≥ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ +
∫
∫
(III)Dependendo do grau do polinômio pode ser impossível determinar os valores mais gerais possíveis dos coeficientes que garantam o cumprimento das restrições (III.4) e (III.5) para todos os valores de x e y. É possível garantir o cumprimento destas restrições impondo-se uma restrição ainda mais forte, a saber, todos os termos do polinômio devem ser convexos. Isto é garantido na equação (IV.4), que substitui as equações (IV.4) e (IV.5). O modelo (IV) representa a formulação geral do modelo DEA BCC tridimensional suavizado, com garantia de convexidade.
4. DETERMINAÇÃO DE ALVOS
A forma clássica de determinar alvos em DEA considera a possibilidade de orientação a outputs ou de orientação a inputs. Estas orientações consideram, respectivamente, que a DMU atinge a fronteira eficiente mantendo os inputs constantes e aumentando os outputs, ou congelando os outputs com a diminuição dos inputs. Estas orientações são extremamente rígidas e, muitas vezes, não naturais. Existem casos em que alguma das variáveis não é controlada pela DMU (por exemplo, população da cidade onde uma DMU está instalada), o que impede a aplicação dos modelos clássicos. Em outros casos, as alterações determinadas pelos modelos pode não ser aceitável pelos decisores. Ou ainda, pode haver caminhos mais fáceis para a fronteira.
O uso de modelos que incorporem as considerações acima leva a modelos extremamente complicados, devido à natureza linear por partes da fronteira. Essa característica impede a descrição da fronteira por uma só equação, o que facilitaria a formulação de modelos alternativos.
Ora, no modelo DEA suavizado, a fronteira eficiente é descrita por uma única equação. Deste modo, a determinação de alvos, ou seja, dos valores de input e output para cada DMU se tornar eficiente, recai num simples problema de minimização de uma função diferenciável, com várias variáveis independentes.
No caso tridimensional em tela, o output Z é função dos inputs x e y, tendo-se na fronteira Z=F(x,y).
Seja uma DMU ineficiente, de coordenadas (xo,yo,zo). Calcular um alvo, é determinar uma DMU virtual, de coordenadas (xa,ya,za) que obedeça a certas condições de proximidade.
Um método de determinação de alvo, não explorado pelos modelos tradicionais, é o alvo euclideano. Entende-se como alvo euclideano o ponto da fronteira eficiente de menor distância à DMU ineficiente. A determinação deste alvo é realizada pelo modelo de programação matemática (V)
(
) (
) (
)
[
]
0 , , ) , ( min 2 2 2 ≥ − − + − + − a a a a a a v a v a v a z y x y x F z sa z z y y x x (V)Modelos com restrições adicionais podem incorporar preferências de decisores. Por exemplo, a imposição de que o output da DMU ineficiente seja igual ao output do alvo conduz a um modelo orientado a inputs, sem a necessidade da sua redução equiproporcional. É ainda possível incluir restrições sobre a relação entre as variações de
inputs e outputs, o que corresponde a uma restrição aos pesos.
(
)
[
]
0 , , ) , ( , , min ≥ − − − − a a a a a a o a o a o a z y x y x F z sa z z y y x x Máx (VI)Tal como no caso euclideano, é possível a adição de restrições adicionais, que podem expressar preferências de decisores, ao modelo (VI).
5. CONCLUSÕES
Foi apresentada neste artigo uma metodologia inovadora para resolver o problema de determinação de pesos únicos em modelos DEA. A metodologia proposta tem como base a substituição da fronteira DEA original (linear por partes) por outra suavizada (com derivadas contínuas).
O modelo de suavização apresenta cálculos relativamente simples para problemas de pequena dimensão (número de inputs, outputs e DMUs extremo-eficientes). O aumento da dimensão leva a um aumento da complexidade dos cálculos algébricos. Isto sugere a necessidade de automatização dos procedimentos aqui apresentados.
Vários modelos de determinação de alvos para DMUs ineficientes foram apresentados, não sendo a lista exaustiva. O uso de outras métricas, bem como a introdução de restrições adicionais conduzem a diferentes modelos de determinação de alvos.
Por fim, embora o caso estudado a suavização tenha sido aplicada apenas no cálculo de alvos, outras aplicações, tais como a determinação da participação de cada
input no input virtual, avaliação cruzada e cálculo de taxas de substituição, podem
incorporar a metodologia aqui proposta. As restrições do modelo de suavização permitem eliminar dois dos grandes problemas em DEA: regiões Pareto ineficientes e faces de dimensão não completa.
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BANKER, R.D., CHARNES, A., COOPER, W.W.,1984, Some models for
estimating technical scale inefficiencies in Data Envelopment Analysis, Management Science, 30 (9), pp. 1078-1092.
CHARNES, A., COOPER, W.W., GOLANY, B., SEIFORD, L., STUTZ, J., 1985, Foundations of data envelopment analysis for Pareto-Koopmans efficient
empirical production functions, Journal of Econometrics, 30, pp. 91-107.
CHARNES, A., COOPER, W.W., RHODES, E., 1978, Measuring the Efficiency
of Decision-Making Units, European Journal of Operational Research, 2, pp. 429-444.
CHARNES, A., COOPER, W.W., THRALL, R.M., 1988, Classifying and
characterizing efficiencies in data envelopment analysis, Operations Research Letters, 5
(3), pp. 105-110.
CHILINGERIAN, J.A., Evaluating physician efficiency in hospitals: a
multivariate analysis of best practices, European Journal of Operational Research, 80,
pp. 548-574.
COOPER, W.W., SEIFORD, L.M., TONE, K., 2000, Data Envelopment
ELSGOLTS, L., 1980, Differential Equations and the Calculus of Variations, Mir Publishers, Moscow .
FARLOW, S.J., 1993, Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers, Dover Books on Advanced Mathematics, Dover Publications .
FUKUDA, K., 1993, cdd.c: C Implementation of the Double Description method
for computing all vertices and extremal rays of a convex polyhedron given a system of linear inequalities, Department of Mathematics, Swiss Federal Institute of Technology,
Lausanne, Switzerland
REDDY, J.N., 1993, Introduction to the Finite Element Method, McGraw-Hill, . ROSEN, D., SCHAFFNIT, C., PARADI, J.C., 1998, Marginal rates and two
dimensional level curves in DEA, Journal of Productivity Analysis, 9 (3), pp. 205-232.
SMITH, D.R., 1998, Variational Methods in Optimization, Dover Books on Mathematics, Dover Publications .
SOARES DE MELLO, J.C.C.B., LINS, M.P.E., GOMES, E.G., 2001, Estimativa
de planos tangentes à fronteira DEA em DMUs extremo-eficientes, Anais do XXXIII
Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional–SBPO, Campos do Jordão, SP, Novembro . THANASSOULIS, E., 1993, A comparison of regression analysis and data