PONTO DE EQUILÍBRIO E ESTABILIDADE NO SENTIDO DE LYAPUNOV
Joelma Iamac Nomura1; Drª Diva Marília Flemming2 (orientadora)
RESUMO: Neste trabalho temos como proposta evidenciar e investigar a Teoria de Estabilidade de Lyapunov e, em particular, o método direto, em pesquisas que evidenciam a função de Lyapunov para a análise da estabilidade de sistemas de controle. Para tanto, apresentamos os principais conceitos relacionados a esta teoria como estabilidade, instabilidade, ponto de equilíbrio, comportamento assintótico, e outros. Como metodologia de investigação apresentamos aspectos da Modelagem Matemática na análise de uma situação- problema em pesquisas acadêmicas como a de Barbazelli (2005). Nesta pesquisa, a autora anteriormente citada tem como proposta compreender o problema de estabilidade em um sistema de energia elétrica a partir da aplicação de métodos diretos e/ou automáticos que constituem as funções de Lyapunov desses sistemas. A análise deste trabalho foi baseada conforme as seis etapas constituintes da Modelagem Matemática (Bassanezi, 1988) . Para tanto, faz-se necessário apontar para o rigor matemático inerente às equações explicitadas pelo método direto de Lyapunov, tido como nossa fundamentação teórica. Como resultado de nossa investigação, identificamos que todas as etapas da Modelagem Matemática foram cumpridas, sendo a primeira a etapa de experimentação. Nesta primeira etapa houve a identificação e entendimento das variáveis e parâmetros inerente à função energia transitória de cada modelo proposto por Barbazelli (2005). E por último, a etapa de Aplicação, em que após sucessivas simulações, a autora pode identificar o tempo crítico de um sistema não conservativo em um regime pós-falta que considerou o decaimento da energia ao longo de toda a trajetória.
PALAVRAS-CHAVE: Teoria da Estabilidade, Método Direto de Lyapunov, Sistemas Elétricos de Potência, Modelagem Matemática
INTRODUÇÃO
O estudo de sistemas dinâmicos e, em particular, a necessidade de aprofundar o conhecimento sobre questões relacionadas à sua estabilidade tem motivado pesquisadores na busca dos conceitos relacionados às suas diversas teorias (Bessa (2011), Barbazelli (2005), Bonomo (2008)). Dentre tais teorias, encontra-se a Teoria da Estabilidade e o segundo método de Lyapunov, também conhecido como método direto. Destacamos que o método direto de Lyapunov é um método mais geral para se determinar a estabilidade de sistemas não lineares e/ou variantes no tempo.
Diante desse contexto inicial, fez-se necessário um maior aprofundamento de questões relacionadas à estabilidade de um sistema e análise do comportamento das soluções de sua vizinhança, levando ao estudo de conceitos como estabilidade, instabilidade, ponto de equilíbrio, comportamento assintótico, e outros, que serão, inicialmente, apresentados
Também serão apresentados os conceitos relacionados ao estudo de sistemas dinâmicos, a equações diferenciais ordinárias autônomas, o primeiro e o segundo método de Lyapunov e suas diferenças, pois estes farão parte das discussões e análises dos resultados obtidos no trabalho de Barbazelli (2005)
1 Estudante de graduação em Matemática (Bacharelado) da Unisul.
2 Professora orientadora da graduação em Matemática (Bacharelado) da Unisul.
Para compreensão da teoria exposta, primeiramente,apresentamos o conceito de um sistema dinâmico. De acordo com Felício (2010, p.5), o estudo da Dinâmica de Sistemas pode ser entendido como o estudo do comportamento, em função do tempo, de grandezas que estão relacionadas com parte do universo que foi imaginariamente separada para este fim.
Outro conceito de fundamental importância para nosso estudo é o de estabilidade que apresentamos brevemente de acordo com as palavras de Monteiro (2011, p. 71).
Estabilidade é uma palavra usada para caracterizar tanto uma solução, quanto uma equação diferencial (ou uma equação de diferença). A estabilidade de uma solução é determinada pelo comportamento das soluções cujas condições iniciais pertencem à sua vizinhança.
Monteiro (2011) ressalta que para encontrar uma solução para um conjunto de equações que representam o comportamento de um sistema dinâmico é necessário que se conheçam os parâmetros das equações e os valores das condições iniciais. Outro assunto a ser discutido em nossa pesquisa é o ponto de equilíbrio x* que, conforme explica Monteiro (2011), representa a solução estacionária em que o sistema para de se mover no espaço de fases3. A partir daí, temos x x*, que significa f (x*)0 e o sistema permanece indefinidamente para xx*.
Os métodos de Lyapunov também podem descrever sistemas não lineares de tempo contínuo que regem a maioria das situações do mundo real, com suas saturações ou seus limites. Em determinadas condições, um sistema não linear pode ser aproximado de um sistema linear em torno de um ponto de equilíbrio, sendo este processo conhecido como linearização.
Dessa maneira, nosso objetivo é evidenciar e investigar a Teoria de Estabilidade de Lyapunov e, em particular, o método direto, em pesquisas que apresentam a função de Lyapunov para a análise da estabilidade de sistemas de controle. No método direto de Lyapunov a estabilidade de um ponto de equilíbrio é determinada sem que haja a necessidade de se realizar a linearização ou o cálculo de autovalores, pois se trabalha diretamente com as equações originais, por isso, a denominação de método direto. Assim, destacaremos em nosso estudo, será destacado o trabalho de Barbazelli (2005) que teve no método direto de Lyapunov a fundamentação teórica para análise de sistemas elétricos de potência. Nesta pesquisa, Barbazelli (2005) objetiva compreender o problema de estabilidade em um sistema de energia elétrica a partir da aplicação de métodos diretos e/ou automáticos que constituem as funções de Lyapunov desses sistemas.
A análise de nossa investigação foi realizada a partir de aspectos da Modelagem Matemática de acordo com Bassanezi (1988), na qual enfatizamos a análise conforme as seis etapas descritas pelo autor, que são: experimentação, abstração, resolução, validação, modificação e aplicação.
No entanto, para que possamos iniciar esta discussão, começaremos com a apresentação de alguns conceitos que fundamentam toda a discussão e análise dos resultados desta investigação.
1. SISTEMAS DINÂMICOS E A CRIAÇÃO DE UM MODELO
3O espaço de fases corresponde a um espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são x1, x2, x3, ...
xn e em que cada estado é dado pelas coordenadas x1(t), x2(t), x3(t), ... xn(t) nesse espaço.
Para responder a esta questão, trabalhamos com as ideias apresentadas por Monteiro (2011) que apresenta a definição de um sistema e, em seguida, o que o caracteriza como um sistema dinâmico. Assim, para o autor
Um sistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por alguma interação ou interdisciplinaridade, de modo que existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos desse conjunto [...]. Um sistema é dinâmico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos constituintes variam no tempo (p. 41).
Para tanto, devem ser realizados estudos teóricos e de simulações baseados nas equações que representam a dinâmica do sistema. O autor complementa que um dos objetivos dos estudos teóricos é prever o futuro (ou explicar o passado) de modo científico, sendo necessário conhecer e compreender as regras que governam como as mudanças ocorrerão. Dessa maneira, o estudo matemático da variação de uma grandeza , num tempo t contínuo, ocorre a partir da análise de sua derivada
dt t dx( )
sendo, portanto, baseado no estudo das equações diferenciais. Para sistemas que evoluem de maneira discreta, ou seja, é afetado em determinados instantes, este mesmo estudo é baseado nas equações de diferenças.
Assim, torna-se necessário que julguemos a adequação de um modelo que estará relacionado ao propósito e à precisão dos resultados esperados sendo que, em geral, não há um único modelo “correto”. Nesse sentido, o estudo teórico de um sistema dinâmico pode ser dividido em duas etapas que constituem, primeiramente, na construção de um modelo adequado e, em seguida, por uma análise aprofundada do mesmo.
Já de acordo com Felício (2010), é dentro do contexto de “soluções aproximadas” que encontramos o significado de modelagem, pois engenharia é um conjunto de modelos, em que se busca retratar o mundo real a partir da seleção de determinadas características, sendo esta a essência da arte de modelar - saber selecionar somente as características, dentre muitas disponíveis, que são necessárias e suficientes para descrever o processo com precisão satisfatória (p. 2). Para o autor, os modelos matemáticos envolvem a aplicação criteriosa de leis físicas e julgamento da engenharia para obtenção de um conjunto de equações que irão, dentro de certa aproximação, descrever adequadamente o comportamento do sistema.
Modelos matemáticos são tratados dentro da dinâmica de sistemas, portanto, entendemos por modelagem o processo de obtenção de equações matemáticas e chamamos de modelo matemático o conjunto de equações. Para obtenção de tais modelos torna-se necessário compreender a definição de fronteira do sistema que determina quais (dimensões) elementos do mundo real e do processo serão estudados, sendo que todos os demais componentes que não pertencem ao sistema são chamados de meio externo. A escolha da fronteira do sistema constitui em fator crítico para limitar os detalhes considerados irrelevantes e que não estão intimamente relacionados ao estudo pretendido.
Felício (2010) acrescenta que em engenharia, a palavra Dinâmica sempre está atrelada à relação que se estabelece entre as variáveis ou parâmetros do sistema ao tempo. Monteiro (2011) estabelece a distinção entre os termos variável e parâmetro a partir do exemplo de um pêndulo simples, cujo comportamento é descrito pela equação diferencial
0 ) ) (
(
2
2 sen t
l g dt
t
d
, em que g é a ação da gravidade, l é o comprimento e θ é a posição angular. Nessa equação são definidas as seguintes variáveis: o tempo t como variável independente, pois evolui livremente e não interfere na sua velocidade, e o ângulo θ que varia com o tempo e é chamado de variável dependente. Como exemplo, temos o cálculo para determinação do movimento do pêndulo a partir do ângulo θ em função do tempo (t), ou seja, encontrar a função θ(t). Já os parâmetros l e g são quantidades que influenciam o
comportamento do sistema, porém independem dos valores de θ ou de t, sendo considerados constantes.
Figura 1- O Pêndulo Simples
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de Monteiro, 2011)
Dessa maneira, Felício (2010) conclui que o estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como o estudo do comportamento, em função do tempo, de grandezas que estão relacionadas com parte do universo que foi imaginariamente separada para este fim (p.5).
Assim, sob o ponto de vista de modelos, o problema de análise corresponde à busca de soluções de equações diferenciais.
1.1 O modelo matemático e sua classificação
De acordo com Felício (2010), não há um único modelo matemático para o sistema real, mas vários, cada um com diferente grau de aproximação.
À medida que modelos simples, com suas limitações, se tornam inadequados, torna-se necessária a adição de efeitos e aspectos mais complicados à modelagem, com o objetivo de melhorar e aproximar os resultados ao comportamento real. Esse aumento planejado e gradual de complexidade dos modelos tem sido admitido como um método lógico e sistemático de tratar problemas complexos (p.11).
Portanto, de acordo com o autor, não há uma única maneira de classificar os modelos, porém o primeiro passo é separá-los em dois grupos: os analíticos e os computacionais. O autor entende que para se formar um projetista, o aprendizado do modelo analítico deve ocorrer antes do emprego dos modelos computacionais. A discussão sobre os modelos analíticos fundamenta-se no exame dos tipos de equações, na natureza das equações diferenciais (que são normalmente utilizadas em aplicações práticas e adotadas do ponto de vista da engenharia e não da matemática) cuja ênfase recai sobre as ordinárias e as parciais. A resolução de modelos que reproduzem com grande aproximação o comportamento real envolvem poucas hipóteses simplificadoras, sendo estabelecidos por modelos matemáticos bastante complexos e que exigem técnicas matemáticas sofisticadas, quando for de fato possível de resolvê-las.
Modelos de sistemas contínuos são expressos por meio de equações diferenciais parciais e têm como variáveis independentes x, y, z, tem um meio contínuo, e também são chamados de modelos de campo ou modelos de parâmetros distribuídos. Tais modelos são classificados de acordo com hipóteses que levam em conta a direcionalidade das propriedades do meio, sua uniformidade e linearidade. Os parâmetros podem variar ou ser constantes no tempo. Felício (2010) explica que o conceito de direcionalidade está relacionado à observação
θ g l
mg -mgsenθ
das propriedades do material nas diferentes direções de um ponto no corpo, o de uniformidade se refere às propriedades de um ponto para outro e o da linearidade da natureza do meio se refere ao tipo de relação matemática entre as variáveis, por exemplo, a relação entre a deformação de uma mola e a força aplicada sobre ela. Quanto à variação de parâmetros em função do tempo, citamos: a variação aleatória, a determinística e a constante. Os parâmetros variam em função da localização, da direção e do tempo.
Quando o assunto abrange um sistema discreto linear ou não linear, as saídas não dependem da posição (coordenadas x, y e z) dentro da fronteira de uma parte, ou de um elemento, ou de todo o sistema. Assim, por hipótese, dentro de cada elemento não haverá variações em relação à posição, mas somente em relação ao tempo, sendo que a representação de todo o sistema passa a ser feita por um número finito de elementos em relação à posição.
Como exemplo, o autor anterior cita o modelo matemático do sistema massa-mola- amortecedor descrito pela equação:
f x t Ks B x t
M x
2 .
2
Conforme aponta Felício (2010), neste exemplo, todos os elementos do sistema são considerados ideais, ou seja, a massa é rígida (M), a mola não possui massa e sua força é proporcional (linear) à velocidade, sendo observados, uma equação diferencial ordinária, relações entre as grandezas lineares, a apresentação da natureza do meio, conforme modelado:
discreto, linear e a variação do parâmetro, sendo este uma constante. Em geral, quando o objetivo é resolver um problema prático, o método do meio contínuo é abandonado e a discretização é utilizada.
2. SISTEMAS AUTÔNOMOS E ESTABILIDADE
Inicialmente, iremos considerar um sistema autônomo geral de segunda ordem dado pelo sistema
Supomos que as funções e são contínuas com derivadas parciais contínuas em algum domínio de D no plano xy. Assumindo que o ponto é um ponto de equilíbrio isolado deste sistema, temos que e e se existe tal que e para todo par , em que pertence ao círculo de centro e raio .
Temos que e é uma solução constante do sistema anteriormente apresentado. Para que seja possível analisar o comportamento das trajetórias nas vizinhanças dos pontos de equilíbrio, consideremos e (para e .
Muitas vezes, o problema de valor inicial é escrito na forma vetorial e , sendo . Nessa situação, a solução é expressa por , em que . Consideramos que a solução é uma curva traçada por um ponto se movendo no plano xy que corresponde ao plano de fase.
Observe que as equações F e G não dependem da variável independente t, contudo dependem unicamente das variáveis dependentes x e y. Sistemas com esta característica são denominados de sistemas autônomos e são descritos pela relação , em que A é uma matriz 2 (para um sistema autônomo bidimensional). No entanto, se considerarmos que
um ou mais elementos da matriz de coeficientes for uma função de variável independente t, podemos considerar que o sistema não será autônomo. Considerando a distinção entre um sistema autônomo e um não autônomo, geometricamente, distingui-se que o sistema autônomo tem um campo de direções associado que é independente do tempo, que leva à existência de uma única trajetória passando por cada ponto em que o retrato de fase nos leva a uma importante informação qualitativa sobre as soluções do sistema.
Com frequência, os sistemas autônomos envolvem várias aplicações e correspondem a sistemas cuja configuração é independente do tempo, incluindo parâmetros físicos e forças ou efeitos externos, sendo sua resposta, a condições iniciais dadas, independente do instante em que as condições são impostas.
A seguir, definiremos alguns conceitos que norteiam esta teoria que correspondem ao de estabilidade e instabilidade, a partir de uma definição matemática para sistemas autônomos da forma
2.1 Estabilidade e Instabilidade
Nesta seção iremos apresentar alguns conceitos inerentes a esta investigação que são o de estabilidade, estabilidade assintótica e instabilidade a partir de uma definição matemática para sistemas autônomos da forma Conforme expõe Boyce e DiPrima (2018), os pontos em que são chamados de pontos críticos do sistema autônomo e nestes pontos temos , de modo que os pontos críticos correspondem a soluções constantes, ou de equilíbrio, do sistema de equações diferenciais. Um ponto crítico do sistema é dito estável se, dado qualquer , existe um em que toda solução do sistema satisfaz a condição , em , existe para todo t positivo e satisfaz para todo . Assim, soluções que começam “suficientemente próximas” de , ou seja, a uma distância menor do que e do que , permanecem próximas a . Temos que em , e, embora, saia desse círculo, permanece em seu interior para todo . Se , a trajetória da solução não precisa se aproximar do ponto crítico
,basta que ele permaneça dentro do círculo de raio . É o que evidencia a Figura 2.
Figura 2 - (a) Estabilidade assintótica; (b) Estabilidade (Boyce e DiPrima, 2018, p. 423)
Assim, apontamos para a importância dos pontos críticos que correspondem às soluções de equilíbrio, ou seja, soluções para as quais e são constantes, ou seja, o sistema descrito por x e y permanece em seu estado inicial para sempre. Todo sistema que não for estável é considerado instável.
Já um ponto crítico é dito assintoticamente estável se é estável e existe um , com , tal que, se uma solução satisfaz , então , o que nos leva a entender que as trajetórias que começam
“suficientemente próximas” de , além de permanecerem próximas de , acabam tendendo
a quando . Portanto, conforme aponta Boyce e DiPrima (2018), a estabilidade assintótica é uma propriedade mais forte que a estabilidade, pois o ponto crítico já é dito estável desde o início para que depois seja afirmado que seja assintoticamente estável. No entanto, a condição de que , que corresponde a uma propriedade essencial para a estabilidade assintótica, quando considerada de maneira isolada, não implica em estabilidade do sistema.
Tais definições são independentes do tamanho do sistema, sendo que tais conceitos são aplicados a vetores com dimensão n.
3. TEORIA DE ESTABILIDADE – MÉTODO DE LYAPUNOV
As funções de Lyapunov são motivadas pelo próprio conceito de energia em osciladores não conservativos, ou seja, aqueles em que a energia não é preservada pela trajetória. Nesse sentido, o oscilador assume um comportamento monótono, decrescente, em um processo dissipativo ou crescente quando ocorre a absorção de energia, sendo estas características fundamentais para o estudo da estabilidade do sistema. Como exemplo, Bassanezi (1988) apresenta a análise de um oscilador harmônico linear. Considerando , escrevemos na forma:
ou
A energia total do sistema ( ) é dada pela soma da energia cinética que depende, unicamente, da velocidade, e da energia potencial, , que depende, unicamente da posição da partícula, sendo constante sobre a trajetória.
Já se , teremos um oscilador harmônico amortecido, em que não será constante sobre as trajetórias. Assim, quando , temos que E , em que o sistema amortecido irá perder energia devido à viscosidade representada pelo termo . A absorção de energia ocorre quando , levando à relação crescente ao longo da trajetória. Assim, a função de energia deve satisfazer as propriedades:
1.
2. (positiva definida)
3. a. é não crescente sobre as trajetórias e o sistema é estável
b. é estritamente decrescente sobre as trajetórias e o sistema é assintoticamente estável
c. é estritamente crescente sobre as trajetórias e o sistema é instável ( ) (Bassanezi, 1988, p. 363).
As funções de Lyapunov generalizam os conceitos expostos a respeito do conceito de energia e sobre estabilidade para sistemas gerais, sendo que a demonstração rigorosa do Teorema de Lyapunov faz uso dos métodos topológicos e analíticos. Esta discussão será iniciada a partir da apresentação de um sistema autônomo , , em que o campo f é continuamente diferenciável, definido em uma região em torno da origem em que a função f tem um ponto crítico. O tratamento local nos permite analisar o problema apenas em um disco (bola) cuja circunferência está em Ω.
Contudo, antes de apresentarmos o Teorema de Lyapunov seguiremos para a Definição 1, de acordo com Bassanezi (1988), que embasará a continuidade deste estudo.
Definição 1: Seja U uma função continuamente diferenciável definida em Ω⊂ com valores reais.Dizemos que U é uma função de Lyapunov se:
1. ;
2. se (isto é, U é positiva definida);
3. U satisfaz uma das seguintes condições:
a. U é não crescente sobre qualquer trajetória em Ω;
b. U é estritamente decrescente sobre qualquer trajetória em Ω;
c. U é estritamente crescente sobre qualquer trajetória em Ω.
De acordo com o autor, as condições (a), (b) e (c) de 3 podem ser testadas mesmo sem conhecermos as trajetórias, pois um dos objetivos desta teoria é analisar o comportamento do fluxo sem dispor das trajetórias explicitamente. Para tanto, é usada a Regra da Cadeia para estabelecermos a seguinte relação:
Esta relação permite que as condições anteriores sejam expressas da seguinte maneira:
4. a. para todo b. para todo c. para todo ,
isto é,
(Bassanezi, 1988, p. 364).
Assim, conforme expõe Bassanezi (1988), o Teorema de Lyapunov repete as conclusões obtidas para o oscilador harmônico quanto à estabilidade do ponto crítico, desde que sejam respeitadas as condições de (3) correspondentes àquelas da função energia.
TEOREMA DE LYAPUNOV. Seja ⊂ um campo continuamente diferenciável com um ponto crítico na origem, , e considere o sistema dinâmico .
Suponha que existe uma função U de Lyapunov satisfazendo uma das condições (a), (b) ou (c) da definição. Então, o ponto crítico será respectivamente:
a. estável;
b. assintoticamente estável;
c. instável (Bassanezi, 1988, p. 364).4
Para que possamos demonstrar, inicialmente, (a) e (b) necessitamos saber se os conjuntos formam um sistema de vizinhanças “decrescentes”
da origem de tal maneira que quando se aproxima de zero com , possamos garantir que se aproxima da origem.
Lema: Os conjuntos formam um sistema de vizinhanças da origem satisfazendo as seguintes propriedades.
1. é uma vizinhança da origem para todo .
2. Para todo disco , existe tal que ⊂ 5.
4 A demonstração do Teorema de Lyapunov é encontrada em Bassanezi, 1989, p. 366.
5 A demonstração do Lema é encontrada em Bassanezi, 1989, p. 366.
Figura 3 - Vizinhança V (Bassanezi, 1988, p. 365)
(a) (b) (c)
Figura 4 - (a) : . As trajetórias estão sobre as curvas de níveis (elipses); (b) : O campo é dirigido no sentido do interior da região limitada pela curva de nível ; (c) : O campo é dirigido no sentido do exterior à região limitada pela curva de nível (Bassanezi, 1988, p. 365).
Em geral, as funções de Lyapunov são caracterizadas como funções quadráticas como, por exemplo, a do oscilador harmônico, dadas pela equação , em que é uma matriz simétrica positiva definida e, portanto, as linhas , ou superfícies de nível de são as familiares elipses, também conhecidas como elipsoides. Dessa maneira, Bassanezi (1988) considera que as funções de Lyapunov quadráticas constituem a regra geral das aplicações.
3.1. O MÉTODO DIRETO DE LYAPUNOV
Em algumas situações também é importante que se investigue a bacia de atração, ou seja, o domínio em que todas as soluções que começam nele tendem ao ponto crítico. Assim, uma nova abordagem conhecida como o método direto ou segundo método de Lyapunov permite chegar a conclusões sobre a estabilidade ou instabilidade de um sistema sem que se conheça a solução do sistema de equações diferenciais. Tal conhecimento é obtido a partir de uma função auxiliar apropriada que fornece uma estimativa da extensão da bacia de atração de um ponto crítico.
Teorema 1: Suponha que o sistema autônomo
tenha um ponto crítico isolado na origem. Se existir uma função V contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, que seja positiva definida e para a qual a função dada por
, seja negativa definida em algum domínio D no plano xy semidefinida, então a origem será um ponto crítico estável.
Teorema 2: Suponha que a origem é um ponto crítico isolado do sistema autônomo
. Seja V uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Suponha que e que, em toda vizinhança da origem, existe pelo menos um ponto no qual V é positiva (negativa). Se existir um domínio D contendo a origem tal que a função V, dada por , seja positiva definida (negativa definida) em D, então a origem será um ponto crítico instável (Boyce e DiPrima, 2018, p. 463).
A função V apresentada em ambos os teoremas é denominada de função de Lyapunov, contudo não há referências dadas por estes teoremas a respeito de sua construção (Boyce e DiPrima, 2018). Determinados sistemas autônomos representam um sistema físico em que é considerada, primeiramente, a energia total do sistema como uma função de Lyapunov possível. No entanto, ambos os teoremas anteriormente expostos podem ser aplicados quando o conceito de energia física não é pertinente.
A segunda parte do Teorema 1 afirma que para , consideramos uma curva no plano xy dada por , com uma constante. É possível considerar duas situações, sendo a primeira em que , que reduz a curva a um único ponto e a segunda em que , sendo que a curva contém a origem e está contida em .
Figura 5 - (a) As curvas e , com . (b) Interpretação geométrica do segundo método de Lyapunov (Adaptado de Boyce e
DiPrima, 2018, p. 464)
De acordo com a Figura 5, a partir de um círculo de raio ϵ, escolhendo c suficientemente grande é possível afirmar que toda trajetória que começa no interior da curva fechada permanece no interior desta mesma curva, ou seja, dentro de
, sendo a origem considerada como um ponto crítico estável.
C1
C=0 x
0<c1<c2 C2
C1
x=Ø(t)
(x1,y1) y
x V(x,y)=c
y=ψ(t)
Para aprofundar tal explicação, consideramos o vetor , denominado gradiente de V, é normal à curva e aponta na direção do crescimento de V. Na Figura 5(b), aponta para longe da origem pois V se afasta da origem. Considerando a trajetória , do sistema e que o vetor é tangente à trajetória em cada ponto. Observe que na Figura 5 (a), e é um ponto de intersecção da trajetória com uma curva fechada e que, nesse ponto, e que nos permite obter a partir de a relação
, sendo o produto escalar do vetor com o vetor . Considera-se que e, portanto, o cosseno do ângulo entre também é menor ou igual a zero e está no interior de , o que acarreta em um movimento da trajetória em relação a para dentro. Isso nos leva a entender que trajetórias suficientemente próximas da origem se aproximam da mesma que é assintoticamente estável.
Já se considerarmos positiva definida e supondo que dado um círculo em torno da origem, existe um ponto interior em que . Em uma trajetória que comece neste ponto , V cresce, pois , sendo também possível afirmar que para , a trajetória não se aproximará da origem, pois . Dessa maneira, a origem não pode ser considerada como um ponto assintoticamente estável, sendo, portanto, um ponto instável. Do ponto de vista prático, o interesse está no estudo da bacia de atração.
4. METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO
Como metodologia de investigação desta pesquisa, trabalharemos com as ideias apontadas por Bassanezi (1988) frente à Modelagem Matemática. Para o autor, a elaboração de um modelo matemático deve envolver a concepção da estrutura abstrata com símbolos e regras bem definidas, a partir de motivações de ordem prática, isto é, a construção de uma teoria matemática que deve ser aplicada no estudo de inúmeros problemas. Assim, características básicas do processo de matematização de um problema devem ser apontadas, de maneira a facilitar a obtenção dos resultados. Para tanto, o estudo do processo de intermediação entre o problema original e o modelo matemático é uma atividade que podemos classificar de típica da matemática aplicada, sendo que este processo é o que nos irá fornecer a validade ou não do modelo proposto.
Ainda segundo o autor, na Modelagem Matemática, a proposta de estudo pode envolver tanto modelos clássicos como modelos alternativos que agreguem novas hipóteses ou dados experimentais.
Para Bassanezi (1988), este processo dinâmico é definido em seis etapas, sendo elas:
(1) Experimentação: esta etapa envolve um processo essencialmente laboratorial e/ou estatístico baseado na obtenção de dados experimentais ou empíricos; (2) Abstração: nesta etapa ocorre a seleção das variáveis essenciais e a formulação em linguagem natural do problema ou da situação real; (3) Resolução: ocorre a construção do modelo matemático a partir da substituição da linguagem natural por uma linguagem matemática; (4) Validação: é o processo de aceitação ou não do modelo inicial a partir de uma comparação entre a solução obtida via resolução do modelo matemático e os dados reais; (5) Modificação: ocorre a alteração das variáveis ou da lei de formação, caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do modelo não seja aceita; (6) Aplicação: nesta etapa temos uma modelagem
eficiente que nos permite fazer mudanças, explicar, entender, influenciar e estudar as variações dadas pelas equações diferenciais em situações reais.
Assim, a partir da identificação das variáveis essenciais do fenômeno observado, o modelo matemático criado levará a soluções bastante próximas daquelas observadas na realidade. No entanto, é necessário que obtenhamos as equações que envolvam as “variações”
das quantidades (ou variáveis). Uma importante observação é apontada por Bassanezi (1988) quanto aos tipos de variações. Para ele, quando as variações são instantâneas, o fenômeno se desenvolve continuamente e são caracterizados por equações diferenciais, sendo que se as variáveis envolvidas forem discretizadas, isto é, são estabelecidas por funções de uma rede de pontos, o fenômeno é descrito por equações de diferenças.
A seguir apresentaremos a pesquisa de Barbazelli (2005), objeto de nossa investigação.
4.1. A INVESTIGAÇÃO
Em nossa pesquisa, encontramos artigos e trabalhos acadêmicos que tiveram como proposta discutir a estabilidade de sistemas a partir da Teoria de Estabilidade de Lyapunov.
Dentre essas pesquisas, encontramos o trabalho de Barbazelli (2005) cuja proposta foi estudar o problema de estabilidade do sistema de energia elétrica com vistas à metodologia de análise pelo método direto de Lyapunov. Seu trabalho remete a uma metodologia para análise de estabilidade direta de sistemas de potência que consideram as funções de de Lyapunov, sendo apresentado que os extremos da energia potencial acontecem nos pontos de equilíbrio dos sistemas em tempos críticos. Este método considera a análise de sistemas não lineares e não conservativos a partir de métodos diretos e/ou automáticos que constituem as funções de Lyapunov de sistemas de potência, incluindo um modelo detalhado para a representação de máquinas e efeitos de controle e dispositivos de compensação. O interesse da autora está, primeiramente, em
entender o efeito de cada elemento/dispositivo no desempenho dinâmico/transitório do sistema, notadamente com respeito à sua influência na função energia e sua derivada e, consequentemente, utilizar esse conhecimento para analisar o desempenho dinâmico e transitório do sistema via função energia (Barbazelli, 2005, p.5).
Conforme expõe a autora, após a ocorrência de determinadas perturbações no sistema, deve-se observar se ele encontra um novo ponto de equilíbrio que o leva a um funcionamento estável ou torna-se instável, afastando-se indefinidamente de um ponto de operação. Neste mesmo trabalho, faz-se a distinção entre estabilidade dinâmica e estabilidade transitória, sendo que na primeira, o sistema é afetado por pequenas perturbações que provocam flutuações normais das condições das operações e na segunda, estuda-se a capacidade que o sistema tem em manter o sincronismo após grandes perturbações que, por consequência, têm grande impacto sobre todo o sistema. Frente a esses conceitos, ressaltamos que o estudo da autora dedica-se a esta última situação, o estudo da estabilidade transitória, sob o enfoque do segundo método de Lyapunov.
No início da discussão Barbazelli (2005) apresenta a representação do sistema elétrico de potência, dividido em rede elétrica, máquina síncrona, cargas e reguladores, dentre eles, o Regulador de Velocidade (RV) e o Regulador Automático de Tensão (RAT). De maneira a apresentar os métodos de análise empregados, ela explica que, em geral, a análise da estabilidade de sistemas elétricos de potência envolve o estudo de soluções de equações diferenciais não lineares que descrevem o movimento do sistema - equação de oscilação de máquina síncrona – e análise da posição angular de cada máquina síncrona ao longo do tempo
(simulação), podendo incluir também o estudo de representações gráficas dadas por curvas de oscilação (ou oscilogramas). Métodos como os descritos anteriormente são denominados de método passo-a-passo, porém envolvem grande quantidade de tempo para realização de cálculos, exigindo o uso de computadores modernos.
Para que possamos inimizar estas dificuldades de cálculo, métodos diretos são mais adequados a aplicações em tempo real, pois permitem que se analise a estabilidade do sistema sem que haja a necessidade de resolver as equações diferenciais, baseando-se na agregação de informações sobre o desempenho dinâmico a partir da chamada função de Lyapunov. Assim, a estabilidade/instabilidade do sistema passa a ser estudada a partir da verificação das condições sobre esta função e sua derivada temporal. Para análise da estabilidade transitória em sistemas elétricos de potência é considerada a função de Lyapunov com forma de energia transitória. De acordo com Barbazelli (2005), nos modelos clássicos, somente a dinâmica mecânica é efetivamente considerada, sendo o sistema conservativo, já os métodos de análise diretos vão além da dinâmica mecânica do sistema, pois em sistemas reais as máquinas têm outras dinâmicas além da anterior. Devido a essa nova dinâmica, o sistema não é conservativo e aspectos adicionais devem ser considerados quando trabalhamos com sistemas reais não conservativos. Para tanto, é considerada a metodologia de análise por método direto ou automático para a análise de estabilidade de sistemas não lineares e não conservativos, por meio das funções de Lyapunov que incluem a interpretação física dos termos de dissipação e dispositivos de controle e compensação.
Conforme expõe a autora, em sistemas de potência caracterizados como sistemas não lineares, o principal objetivo é encontrar o conjunto de condições iniciais, contido no Rn, que origina trajetórias que convergem para o ponto de equilíbrio estável. Em consequência, os métodos diretos buscam analisar este conjunto que é denominado de área de atração ou região de estabilidade, definido por
Os métodos diretos, além de estarem relacionados à estabilidade de pontos de equilíbrio também estão relacionados à região de estabilidade a partir de funções de Lyapunov definidas no espaço de estado considerando seu sinal e o de sua derivada temporal (Barbazelli, 2005, p. 30).
A autora apresenta o Teorema de Lyapunov para sistemas autônomos em que o estudo da estabilidade é apontado sem perda de generalidade, pois a translação pode transformar um problema qualquer em um problema em que o ponto de equilíbrio esteja na origem.
Teorema: Considera-se um sistema dinâmico
(a origem é o ponto de equilíbrio). Se existe uma função positiva definida (negativa definida), isto é, com derivada nas trajetórias do sistema dinâmico então o sistema é assintoticamente estável em torno de . Se existir com , a origem é ponto de equilíbrio estável L (no sentido de Lyapunov) (Barbazelli, 2005, p. 30).
Nesse contexto, a função é conhecida como função de Lyapunov, sendo que na região em que é semi definida negativa, o sistema é estável e na região em que é definida negativa, o sistema é assintoticamente estável.
Conforme aponta a autora, não existem procedimentos sistemáticos para determinar tais funções, no entanto, as funções energia advindas dos conceitos da física são boas tentativas para determiná-las. Na maioria das abordagens, as funções de Lyapunov são chamadas de energia transitória do sistema, sendo dividida em energia cinética e energia potencial. A mudança de velocidade caracterizada em função do desvio da velocidade em relação à sua operação normal promove o armazenamento da energia cinética na massa
inercial dos rotores das máquinas. Já a energia potencial é armazenada em campos magnéticos (por exemplo, em sistemas de transmissão) e em campos elétricos (por exemplo, em capacitores de compensação), sendo que o ponto ideal de operação é alcançado em função dos desvios das variáveis que definem o torque de restauração do equilíbrio. Tais variáveis constituem os ângulos de defasagem dos rotores das máquinas e magnitudes de tensões internas das mesmas, e possíveis outras variáveis constituem um subespaço do espaço de estado, sendo chamado de espaço de torque. Neste espaço existe um campo de forças que lhe confere a qualificação de estável ou instável aos pontos de equilíbrio, sendo restaurativas em relação a determinados pontos ou anti-restaurativas em relação a outros. Neste mesmo espaço, a energia potencial é definida-positiva em uma vizinhança em torno de pontos de equilíbrio estável, sendo considerada como trabalho necessário para deslocar o sistema do ponto de equilíbrio até outro ponto no espaço de torque.
Conforme expõe a autora, “a estabilidade é considerada em termos da função energia transitória, sendo a energia potencial utilizada para estimar uma região (ou domínio) de estabilidade em torno do ponto de operação estável” (Barbazelli, 2005, p. 31), sendo que os extremos de energia potencial são localizados em pontos de equilíbrio do sistema.
Verifica-se que no ponto de equilíbrio estável se localiza um mínimo local da energia potencial do sistema e nos pontos de equilíbrio instável são localizados outros extremos (máximo ou mín-max) locais da mesma energia.
Ainda de acordo com a autora
sendo a energia potencial uma (hiper-) superfície, existe em torno do ponto de equilíbrio estável uma depressão energética, cuja fronteira contém pontos extremos da energia potencial, que são pontos de equilíbrio instável do sistema. No interior desta região o torque é restaurativo e a conclusão de estabilidade é obtida quando se assegura que a trajetória do sistema não abandona esta região. O critério utilizado consiste em determinar se o sistema tem energia suficiente para superar a barreira da energia potencial na fronteira da região de torque restaurativo (p. 31).
Barbazelli (2005) prossegue com afirmação de que o grande interesse está em determinar o valor da energia crítica que é calculada após uma comparação entre o valor da energia do sistema em uma determinada condição inicial e o valor da energia potencial na fronteira. Dessa maneira, algumas metodologias foram desenvolvidas no sentido de determinar o valor da energia crítica a partir da identificação dos pontos de equilíbrio instável ou da determinação de uma fronteira da região de estabilidade denominada de superfície limite de energia potencial (SLEP ou PEBS do original Potential Energy Boundary Surface).
Quanto à obtenção da função de Lyapunov, a autora apresenta o método dos sistemas de Persidskii que visa determinar a função de Lyapunov para diversas formulações de sistemas de potência, incluindo controladores e compensadores.
A obtenção da função de Lyapunov para sistema Persidskii generalizado
Conforme aponta Colvara (1988), a aplicação do método direto de Lyapunov à análise de estabilidade de sistemas de potência já atingiu certa maturidade, considerando o modelo mais simples (clássico) da máquina síncrona. No entanto, foi necessário buscar modelos mais realistas que incluem os efeitos do Regulador Automático de Tensão (RAT), considerado como elemento de resposta exponencial. Assim, o autor buscou uma melhor aproximação da tensão terminal com valores mais realistas de ganho na análise da estabilidade, o que permitiu a obtenção de uma função de Lyapunov construída a partir da generalização do método de determinação de FL´s para sistemas de Persidskii (1969) generalizado. Dessa maneira, observou-se a obtenção de um domínio de estabilidade determinado pelo valor da função em
um determinado ponto de equilíbrio instável (PEI). Colvara (1988) descreve um sistema de Persidskii perturbado conforme a equação
(1)
considerada como perturbação de , sendo , e sendo a origem o ponto de equilíbrio. Para esse sistema, propõe-se uma função de Lyapunov da forma
(2)
em que é uma matriz singular.
O gradiente de V(x) é dado por (3) sendo
com
, com . (4)
A derivada temporal de (2) com respeito a (1) é dada por que poderá ser escrita na forma
(5)
em que e
(6)
Em algumas situações é possível estabelecer P tal que
(7)
e, para ou é suficiente obter simultaneamente ou .
Função Energia Transitória
De acordo com Barbazelli (2005), a estabilidade é estudada a partir de uma função de Lyapunov (FL) que descreve o comportamento do sistema de acordo com suas relações. A função de Lyapunov é chamada de energia transitória do sistema, composta por energia cinética e energia potencial . Para tanto, em seu trabalho a autora descreve a função de Lyapunov a partir de diversos modelos como, por exemplo, o modelo clássico e o modelo de dois eixos de MS considerando o sistema máquina contra barra infinita (MBI). Assim, o interesse está no estudo da estabilidade transitória focada no torque de sincronização e não no torque de amortecimento, levando a questões de amortecimento de oscilações sob o enfoque de estabilidade dinâmica do sistema.
No mesmo trabalho, a autora apresenta o Sistema Máquina contra Barra Infinita (MBI) e seus modelos, dentre eles, o modelo clássico, modelo com decaimento de fluxo (DF), modelo com decaimento de fluxo e regulador automático de tensão (RAT), modelo com decaimento de fluxo e regulador de velocidade (RV) e modelo com inclusão de dispositivos FACTS. Em cada modelo são apresentadas as relações que descrevem a função energia e consideram a energia do sistema para afastamento do ponto de equilíbrio. Ela é dividida entre energia cinética (Ec) que trata da energia armazenada na massa girante do(s) rotor(es) da(s) máquina(s) e energia potencial (Ep) que corresponde a energia armazenada no campo
magnético das linhas de transmissão e transformadores, sendo posteriormente denominadas de Funções de Lyapunov (FL)
A seguir, apresentamos o modelo aplicado por Colvara (1988), considerando o sistema MBI com RAT, sendo que a estrutura de Persidskii generalizada é dada por:
(8)
sendo,
: velocidade angular;
σ: variação da posição angular em relação ao equilíbrio (σ- σ0);
e: variação da tensão interna da máquina síncrona (E´- E´0);
ɛ: variação da tensão de excitação (Efd – E0 fd) D: constante de amortecimento
M: constante de inércia (2H/2Πf)
em que:
xe: reatância da linha de transmissão;
xd: reatância do eixo direto;
x´d: reatância transitória do eixo direto;
T´do: constante de tempo de circuito aberto de eixo direto;
KR: ganho transitório (modelo reduzido RAT);
Ke: ganho de excitatriz;
TR: constante de tempo do RAT.
Alguns modelos estudados por Barbazelli (2005)
(I) Modelo Clássico
No modelo clássico a função energia (Colvara, 1988) é dada pela relação:
(9)
sendo,
M = constante de inércia ( : velocidade angular
Neste caso, temos que corresponde à energia armazenada na massa gigante do(s) rotore(s) da(s) máquina(s), e é a integral representa a parcela relativa ao sistema de transmissão, ou seja, a energia armazenada no campo magnético das linhas de transmissão e transformadores. Nesse caso, o sistema de transmissão é o único responsável pela barreira de energia potencial a ser vencida para o sistema tornar-se instável.
A matriz Q é dada por
= (10)
de modo que a taxa de decaimento da energia total do sistema depende unicamente do amortecimento da própria máquina síncrona. Lembramos que D é a constante de amortecimento.
(II) Modelo com Decaimento de Fluxo (DF)
No modelo com Decaimento de Fluxo (DF) a função de Lyapunov é dada por:
(11)
e
(12)
expressa-se, por intermédio do maior decaimento da função energia, o reforço de amortecimento proporcionado pelo decaimento de fluxo no amortecimento das oscilações eletromecânicas.
(III) Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) e Regulador Automático de Tensão (RAT)
No modelo com Decaimento de Fluxo (DF) e Regulador Automático de Tensão (RAT) a função de Lyapunov é dada por:
(13)
em que
Neste modelo temos a inclusão dos efeitos do RAT, além daqueles que se manifestam nas variações mais acentuadas da tensão interna, que corresponde à parcela , sendo que o efeito da ação do RAT na energia potencial é expresso por p4 e em , com em adição aos efeitos da dinâmica própria do campo. Também vale ressaltar que temos uma parcela adicionada à energia potencial, proporcionada pelo campo, dada por e2, dependendo do ganho do regulador. Uma elevação substancial na barreira da energia potencial a ser vencida pelo sistema para ir à instabilidade é dada com RAT de alto ganho.
A matriz Q é igual a
(14)
Observe que no modelo com decaimento de fluxo (DF), a energia transitória tem a mesma energia cinética que o modelo clássico, porém sua energia potencial é afetada pelas variações da tensão interna da máquina com relação ao valor de equilíbrio, evidenciando os efeitos das variações da tensão interna da máquina (do decaimento de fluxo de campo) na energia transitória do sistema. No modelo com decaimento de fluxo e regulador automático de tensão (RAT) a função desenvolvida considera os efeitos do RAT na energia potencial (Ep) do sistema, adicionando mais uma parcela à energia potencial, proporcionada pelo campo e depende do ganho do regulador. Caso tenhamos um RAT com alto ganho, maior é a parcela a ser vencida para o sistema ir à instabilidade, pois temos uma elevação substancial na barreira da energia potencial.
Funções Potenciais
Conforme expõe Barbazelli (2005), uma das maneiras de estudar a estabilidade transitória de Sistemas de Energia Elétrica é a partir do método da região de Sincronização Positiva (RSP), que utiliza o conceito da função de Lyapunov e, por consequência, a energia potencial como auxiliar no processo. Como análise é observada a evolução da trajetória pós- falta do sistema em relação às fronteiras da RSP, pois caso a trajetória do sistema abandone a RSP conclui-se por uma instabilidade e, em caso contrário, pela estabilidade. Na análise da autora são apresentados os resultados obtidos no estudo do sistema MBI desde o modelo clássico até os modelos com inclusão de dispositivos FACTS, sendo apresentada a capacidade de sincronização e amortecimentos das oscilações a partir da simulação de uma falta do tipo curto-circuito, eliminado em determinado tempo de chaveamento . Além disso, analisa-se o comportamento transitório do sistema de acordo com a função potencial e no comportamento da trajetória pós-falta do mesmo, sendo possível identificar os extremos da função potencial dado pela nulidade do gradiente da função de Lyapunov . Observa-se que quando são reproduzidas as relações dos pontos de equilíbrio do sistema. Perceba que esta relação já foi apresentada quando discorremos sobre a obtenção da função de Lyapunov para sistema Persidskii generalizado e reproduzem as relações dos pontos de equilíbrio do sistema. Todas as simulações apresentadas pela autora utilizaram o programa Simulink versão 6.1 (toolbox do Matlab®). Esta análise foi representada a partir das curvas de nível da função potencial.
Foi apresentado o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio instável de menor energia, ou seja, a energia potencial crítica do sistema em cada modelo exposto pela autora.
Além disso, foi analisado o comportamento das trajetórias pós-falta alcançado pelo sistema, identificando se o mesmo permaneceu, ou não, na região da RSP e, em consequência, identificar se o sistema é estável ou instável.
Ainda a respeito deste contexto, a autora apresentou o estudo do comportamento dinâmico do sistema MBI e todos seus modelos, estabelecendo uma comparação entre a capacidade de amortecimento e de sincronização. Com resultado desta pesquisa, mostrou-se que a melhor capacidade de sincronização e de amortecimentos das oscilações eletromecânicas foi dada pelo modelo com CSC (Controlador de Série Controlado). Quanto ao estudo do comportamento transitório do sistema MBI e seus modelos, fez-se uma comparação entre os tempos críticos de chaveamento (tch), determinados com as simulações e
as energias potenciais. Com a introdução do decaimento de fluxo (DF) no sistema ocorre uma diminuição do tempo crítico em decorrência da diminuição de sua energia potencial. Além disso, o DF contribui para o amortecimento das oscilações eletromecânicas responsáveis pela perda de energia durante o movimento do sistema acarretando em um melhor tempo crítico.
Em sua análise, a autora identificou que o regulador automático de tensão (RAT) atua no sentido oposto ao decaimento de fluxo (DF), sobretudo quando são consideradas faltas do tipo curto-circuito, com consequências positivas para a estabilidade, contribuindo para o amortecimento das oscilações eletromecânicas, ou seja, promovendo um aumento da energia dissipada do sistema e, consequentemente, uma melhoria do tempo crítico. Em sua análise, foi identificado que o aumento da energia potencial acarretou uma modificação na fronteira da região de estabilidade. Outra análise evidenciou o papel dos dispositivos FACTS no sistema, levando a uma significativa melhoria no tempo crítico devido à perda de energia transitória em sua trajetória, contribuindo com o ganho de amortecimento e tornando-se mais robusto.
Energia dissipada
Em um sistema real é necessário que seja adicionado aos modelos em estudo outras dinâmicas, além da mecânica, de maneira a retratar a realidade de um sistema. Assim, tais sistemas passam a ser não conservativos, ou seja, em um modelo real considera-se a dissipação de energia total do sistema. De maneira a retratar essa nova realidade, a Função de Lyapunov (FL) passa a ter um comportamento de decaimento no tempo, sendo que a energia cinética e energia potencial continuam a existir, preservando a forma e o significado. Outros termos passam a integrar aditivamente a energia do sistema e têm papel fundamental no desempenho do mesmo. Supõe-se que as outras parcelas, seja a energia cinética ou aqueles que se dissipam ao longo da trajetória, relacionam-se mais com a trajetória do que com a região de estabilidade.
Assim, a energia que desaparece ao longo da trajetória do sistema, ou seja, a energia dissipada (Ed) passa a integrar a equação que rege a energia total (Et) do sistema que passa a ser:
(15)
Considera-se que a energia total do sistema, incluindo a dissipação é constante, portanto, temos:
(16) e, portanto,
(17)
como
(18)
então
(19) mas, como
(20)
Conforme expõe a autora, a função (19) não pode ser integrada analiticamente, devendo ser efetuada numericamente.
Assim, conclui-se que
(21) Em resumo, a energia dissipada é a integral de no tempo, ou seja, vale a expressão
(22)
Assim, é calculada a derivada temporal de para cada modelo do sistema apresentado e a integral numericamente.
Lembre-se que apresentamos a derivada temporal de a partir do sistema de Persidskii generalizado, que mostrou-nos que
(23)
A partir desta expressão são determinados os coeficientes da função de Lyapunov de maneira a assegurar que a segunda parcela do segundo membro seja nula, temos que é semi-definida negativa, na forma
(24)
A autora apresenta a derivada temporal de e suas energias dissipadas para cada modelo, iniciando pelo modelo clássico até os modelos com a inclusão dos dispositivos FACTS. Não será objeto de este artigo apresentar os resultados da análise de cada um dos modelos, deixamos a cargo do leitor seu estudo em caso de interesse.
Barbazelli (2005) trabalha com quatro casos que validam a aproximação exponencial para o decaimento da função de Lyapunov. São eles:
caso 1 apresenta os dados padrão do trabalho presente;
caso 2 há uma modificação no valor de T´d0 para testar a validade da função exponencial que é influenciada por ;
caso 3 é proposto para ver o efeito do RAT, quando o ganho é grande, na função exponencial; e
caso 4 é proposto para ver como o ganho pequeno do RAT e o alto valor do amortecimento próprio da máquina influenciam na validade da função exponencial (Barbazelli, 2005, p. 86)
Tabela 1 - Dados para Simulação (Barbazelli, 2005, p. 86)
Estimativas de Tempos Críticos
Conforme expõe Barbazelli (2005), no segundo método de Lyapunov, a estabilidade de um sistema não linear é condicionada ao pertencimento do ponto a uma região denominada de Domínio de Estabilidade, sendo que este é definido em torno de um ponto de equilíbrio estável de interesse. Este domínio é formado por um conjunto de pontos em que a função de Lyapunov tem valor inferior a um valor limite que, em geral, é calculado sobre um ponto de equilíbrio instável A partir desta definição, enuncia-se o critério de estabilidade, como segue.
Considera-se o ponto de equilíbrio (estável) de interesse, determinada a Função de Lyapunov em uma vizinhança do ponto ), calcula-se o valor limite . Dada um condição inicial , se uma vizinhança de e então o movimento do sistema a partir de é estável e assintoticamente estável se (Barbazelli, 2005, p. 92).
Evidencia-se que a condição assegura estabilidade, contudo se não implica em instabilidade, além disso, acrescenta-se que em um sistema conservativo é razoável assumir a instabilidade no caso de , com . Se , assumir instabilidade nos casos em que , teremos resultados conservativos ou pessimistas, indicando instabilidade quando, na verdade, deveria indicar o contrário, ou seja, uma estabilidade.
É considerada a avaliação de tempos críticos de eliminação de curto-circuito em um sistema de potência, sendo evidenciando que ocorre a elevação da energia transitória do sistema quando a falta está instalada.
Em um sistema conservativo de um sistema de potência, durante o tempo em que a falta provocada pelo curto-circuito está instalada ocorre a elevação da energia transitória do sistema. Neste instante o tempo crítico (tcr(cons)) de eliminação da falta corresponde ao valor em que energia alcança o valor crítico. Assim, a energia se conserva após a eliminação da
falta em tch e caso o sistema não tenha energia suficiente para vencer a barreira da energia potencial neste instante, ele não deixará o Domínio de Estabilidade em nenhum outro momento. É o que mostra a Figura 6.
Figura 6 – FL e determinação de tempo crítico em sistema conservativo (Barbazelli, 2015, p.
93)
Já em um sistema não conservativo, o valor crítico é obtido de maneira semelhante ao exposto no sistema conservativo levando a um resultado pessimista. Em sua análise, evidencia-se que o tempo crítico real tcr(não cons) considera o decaimento de energia no regime pós-falta, após a eliminação do defeito imediatamente antes de tcr(não cons). É o que mostra a ilustração da Figura 7.
Figura 7 – FL para o sistema não conservativo (Barbazelli, 2015, p. 94)
Conforme expõe a autora, o regime pós falta inicia com energia total superior à critica e decai a um valor inferior antes de vencer a barreira da energia potencial. Assim, o sistema não abandonará a região do Domínio de Estabilidade.
Considera-se que a determinação do tempo crítico de eliminação do defeito em um sistema não conservativo leve em conta o decaimento da energia ao longo da trajetória pós- falta. No entanto, por não ser conhecido o valor desta energia, propõe-se a utilização de uma aproximação exponencial da função de Lyapunov que evidencie uma estimativa de tempos críticos. A estimativa de tempos críticos segue os passos: “(1) durante a falta mantida do sistema, traça-se a Função de Lyapunov (FL) e a energia potencial (Ep); (2) monitora-se a aproximação exponencial da FL, sem a influência da energia cinética, que passa pelo ponto máximo da Ep; e (3) a estimativa do tempo crítico (tcri) proposto é dada pela intersecção entre a FL e sua aproximação exponencial.
A seguir, evidenciaremos os resultados analisados dos casos 1, 2, 3 e 4 por Barbazelli (2015).
