É legal entender as propriedades de potenciação, como produto e divisão de potências da mesma base.

Função exponencial

De onde partir

✓ É legal entender as propriedades de potenciação, como produto e divisão de potências da mesma base.

Onde você vai chegar

✓ Compreender o domínio de uma função exponencial

✓ Entender o que influencia o comportamento gráfico de uma função exponencial

✓ Perceber as aplicações desas função no cotidiano

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Teoria

Função exponencial

A função exponencial é uma aplicação de 𝑅 em 𝑅 que associa a todo número real x ao resultado da potência 𝑎^𝑥, em que a, chamada base da função exponencial é um número real positivo e diferente de 1.

𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑥→𝑎^𝑥

Cuidado! Precisamos tomar alguns cuidados em relação à base 𝑎.

• Se a base fosse negativa, nem sempre o resultado da função seria um número real. Observe o exemplo:

𝑓(𝑥) = (−2)^𝑥 𝑓(0,5) = (−2)^0,5= √−2

Sabemos que esse resultado não existe no conjunto dos números reais.

• Se a base for igual a zero, também poderá nos trazer problemas. Observe o exemplo:

𝑓(𝑥) = 0^𝑥 𝑓(−1) = (0)⁻¹=1

0 Sabemos que divisão por 0 é indeterminado.

● Se a base for igual a 1, o resultado da função seria sempre 1, o que a tornaria uma função constante e não exponencial.

2 Gráfico

Sendo respeitadas todas as restrições, construiremos o gráfico da função exponencial. Dividiremos em casos:

𝟏º caso:

𝑎 > 1.

Ex: 𝑓(𝑥) = 2^𝑥

Podemos observar algumas coisas importantes:

• A função é crescente, pois a base é maior do que 1.

• A curva nunca corta o eixo x, pois é impossível que uma potência de base positiva dê 0.

• A curva corta o eixo y em y = 1, pois, quando x = 0, temos que 𝑓(0) = 2⁰= 1.

𝟐º caso: 0 < 𝑎 < 1 Ex: 𝑓(𝑥) = (¹₂)^𝑥

Podemos observar algumas coisas importantes:

• A função é decrescente, pois a base está entre 0 e 1.

• A curva nunca corta o eixo 𝑥, pois é impossível que uma potência de base positiva dê 0.

• A curva corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 1, pois, quando 𝑥 = 0, temos que 𝑓(0) = (¹

2)⁰= 1.

Se liga!

Diversos são os conteúdos de outras áreas do conhecimento que usam a função exponencial. Por exemplo, na função que determine o tempo para que átomos radioativos se desintegrem (𝑓(𝑥) = 𝑛₀⋅ 𝑒^{−𝑐⋅𝑥} onde 𝑥 é o tempo decorrido desde início da radiação, 𝑛₀ é o número inicial de elementos radioativos e 𝑐 é a constante de decaimento).

Na Cultura

Muitas vezes escutamos pela mídia que algumas coisas crescem exponencialmente. Uma delas seria a população humana. Porém, é importante ressaltar que diversos fatores interferem no crescimento da população mundial, ora acelerando-o, ora reduzindo essa taxa de crescimento. Um exemplo é a oferta de comida. Conforme a Teoria Malthusiana, o crescimento populacional superaria a oferta de alimentos. O que essa teoria não previu foi a revolução tecnológica que atingiu esse setor, fazendo com que a produção de comida fosse dada em maior escala. Assim, podemos, sim, de forma simplificada, comparar diversos crescimentos populacionais a comportamentos exponenciais.

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Exercícios

1.

(Enem – adaptado)

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor 𝑋, o segundo √𝑋, o terceiro 𝑋¹³ , o quarto 𝑋² e o último 𝑋³.

Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

a) O primeiro.

b) O segundo.

c) O terceiro.

d) O quarto.

e) O quinto.

● Por que é importante que o enunciado afirme que: “Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo”?

● Caso os valores do IDH pudessem ser maiores que 1 e esse fosse o caso do valor 𝑋, qual país teria o maior IDH?

2.

Uma fatura de cartão de crédito pode ser paga da seguinte forma: o cliente deve pagar no mínimo 20%

da sua dívida e, sobre o saldo devedor, incidirá uma taxa de juros de 10% ao mês a cada mês que ele não pagar este saldo devedor. Isto é, o valor da sua dívida aumenta em 1,1 vezes a cada mês de dívida não quitada.

Assinale a função 𝑃 que determina o valor da dívida 𝐷 em função do número de meses 𝑚 que se passam desde o momento do pagamento mínimo inicial:

a) 𝑃(𝑚) = 𝐷 ∙ (0,9)^𝑚 b) 𝑃(𝑚) = 𝐷 ∙ (0,88)^𝑚 c) 𝑃(𝑚) = 0,8𝐷 ∙ (1,1)^𝑚 d) 𝑃(𝑚) = 0,8𝐷 + 1,1𝑚 e) 𝑃(𝑚) = 0,9𝐷 ∙ (1,2)^𝑚

Gabaritos

1. E

Como 0 < 𝑋 < 1, temos auqi uma função exponencial decrescente. Quando menor o expoente, maior será o valor da potência de 𝑋. Com isso, o maior IDH é o igual a 𝑋¹³. O enunciado deve eleminar as possibilidades de 𝑋 = 0 e 𝑋 = 1 pois elas não estão no domínio das condições que impomos à base da função exponencial. Nesses casos, se 𝑋 = 0 ou 𝑋 = 1, todas as potências teriam mesmo valor e nenhuma seria a maior.

2. C

Ao pagar 20% da dívida, resta (100% − 20%)𝐷 = 80%𝐷 = 0,8𝐷 dela. A partir daí, inicia-se um sucessivo processo de aumento de 10% a cada mês. Como aumentar 10% equivale à multiplicar por 1,1, temos que a função pedida é 𝑃(𝑚) = 0,8𝐷 ∙ (1,1)^𝑚.