Transporte de partíulas em sistemas
mesosópios
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Petruio
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Barrozo
✿✿✿✿✿✿
da
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Silva
Orientador: José Soaresde AndradeJúnior
Co-orientador: André Auto Moreira
Transporte de partíulas em sistemas
mesosópios
Tese submetida à Coordenação do Curso de
Pós-Graduação em Físia, da Universidade
FederaldoCeará,omorequisitoparialpara
aobtenção do grau de Doutor emFísia
Orientador:
José Soares Andrade Júnior
Co-orientador:
André Auto Moreira
universidade federal do eara - Departamento de Físia
Fortaleza
Transporte de partíulas em sistemas
mesosópios
Tese submetida à Coordenação do Curso de
Pós-Graduação em Físia, da Universidade
FederaldoCeará,omorequisitoparialpara
aobtenção do grau de Doutor emFísia
Aprovada em25 de março de 2009
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. José Soares de Andrade Júnior (Orientador)
Universidade Federaldo Ceará
Prof. Dr. André Auto Moreira
Universidade Federaldo Ceará
Prof. Dr. José Albino Oliveira de Aguiar
Universidade Federal de Pernambuo
Prof. Dr. Gilde Aquino Farias
Universidade Federaldo Ceará
Prof. Dr. Roberto Fernandes SilvaAndrade
Ao meu orientador Prof. José Soares, pela orientação e dediação fundamentais
para arealização deste trabalho.
Ao Prof. André Moreirapela o-orientação.
Ao Prof. Hans Herrmannpelosuporte durante aminha estadiano ETH Zürih.
Ao Prof. J. Albino Aguiar pela amizade,ompreensãoe ensinamentos.
AosamigoseprofessoresCleioClemente, ErivaldoMontarroyoseLeonardoCabral.
Ao Prof. Asânio etodos osProf. do Departamento de Físia daUFC que
olabo-raramdireta ouindiretamentepara o desenvolvimento deste trabalho.
Aos amigosdo grupo de uido dinâmiadaUFC.
Aos amigos do ETH Zürih, pelo apoio e suporte dado durante minha estadia na
Suíça.
Ao Prof. Jasom Gallas, Prof. Eudenilson e ao Prof. Roberto Andrade pela
om-panhiadurante asrefeições noETH Zürih.
Atodos osintegrantes do Departamento de Físia daUFC.
À minha esposa, Adna, pela ompanhia e ompreensão fundamental para o
desen-volvimentodeste trabalho.
Aos meus pais Elzanirae Valter.
Neste trabalho, estudamos as propriedades do transporte de partíulas em sistemas
mesosópios. Na primeira parte, usamos o modelo proposto anteriormente por Zapperi
et al. (Phys. Rev. Lett. 86, 3622 (2001)) para desrever o transporte de partíulas
superamorteidaseinteragentes noestadoestaionário,napresençade umobstáulopara
o uxo, e onnadas em um anal om largura da ordem do omprimentoaraterístio
do sistema. Com este modelo, obtivemos uma equação diferenial de primeira ordem
não-linear, uja solução em 1D é apaz de desrever a densidade ao longo de um anal
2D para diferentes sistemas de partíulas (e.g., vórties em superondutores, olóides e
pedestres, todos simuladospordinâmiamoleular)ediferentes tiposde obstáulos (e.g.,
uma barreira de energia, um anal om uma onstrição e uma rede de pinos no entro
doanal). Observamos que este modelo pode ser usado para desrever o esoamento de
qualquersistemadepartíulassuperamorteido,desdequeasinteraçõesentreelaspossam
alançardistânias maioresque os primeirosvizinhos.
Na segunda parte deste trabalho, estudamos o esoamento de partíulas interagentes
(nãoneessariamente superamorteidas) onnadaspor paredes assimétrias. Aqui o
ob-jetivo é desrever a dinâmia de pedestres e a dinâmia de vórties emsuperondutores.
Em ambos os sistemas, as paredes assimétrias são responsáveis pela introdução de um
sentido preferenial para o uxo. No aso da dinâmia de pedestres, estudamos as
pro-priedades do sistema quando os pedestres andam em sentidos opostos. Veriamos que
este onnamento induz uma ordem responsável pelamaximizaçãodo esoamento. Esta
ordem pode ser destruída quando variamos a densidade, a veloidade, a razão entre a
largura do anal e a sua rugosidade, o ruído externo e a assimetria do anal.
Veri-amostambémqueastransiçõesde ordem-desordemneste sistemasão aompanhadasde
metaestabilidades e ilos de histerese. No aso de vórties em superondutores,
veri-amos que, para pequenos ampos de omensurabilidade entre o número de atraas e
Inthisworkweinvestigatethetransportpropertiesofpartilesinmesosopisystems.
Inthe rstpart,weusethemodeloriginallyproposedbyZapperietal. (Phys. Rev. Lett.
86, 3622 (2001)) to desribe the steady-state transport of overdamped partiles in the
presene of an obstaleand onned to a hannel with width of the order of the
hara-teristisize ofthe system. Withthismodel,we obtainanon-linearrst-order dierential
equation,whosesolution in1D isapabletodesribe the behaviorof the partiledensity
alonga 2D hannel for dierent partilesystems (e.g., superonduting vorties, olloids
andpedestrians, allsimulatedwith moleulardynamis)and obstaletypes (e.g,one
en-ergy barrier, a hannel onstrition and a network of pinning enters). We observe that
suh a model an be used to represent the ow of any system of overdamped partiles,
aslong as the interations between them an reaha distane greater than onlythe rst
neighbors.
In the seond part of this work, we investigate the ow of interating partiles (not
neessarilyoverdamped) onned toa hannel of asymmetrial walls. Here the main
ob-jetiveistodesribethrough moleulardynamistehniquesboththe owofpedestrians
as wellas the transport of superonduting vorties through irregularhannels. In both
ases, weobserve that the asymmetry of the onning wallsan induea preferential
di-retiontothe ow. Inthe ase ofpedestrians,our resultsindiatethat, whentwogroups
of people move in opposite diretions in a ratheted type of orridor,this indued order
isalsoresponsiblefor owmaximization. Thisorder anbedestroyed, however, when we
hange the total number of partiles in the system, their target speed, the amplitude of
theexternal addednoise orthe degree ofthe asymmetry of the hannel. Wealsoobserve
thattheorder-disordertransitionsinthissystemareusuallyfollowedbymetastabilityand
hysteresis yles. In the ase of superonduting vorties, multipledepinning transitions
are observed when there is a smallomensurability eld between the number of rathets
Lista de Figuras
INTRODUÇO p.24
1 CONCEITOS GERAIS p.27
1.1 Sistemas mesosópios . . . p.27
1.2 Vórties emsuperondutores . . . p.29
1.2.1 Propriedades da redede vórties . . . p.30
1.3 Colóides . . . p.34
1.4 Pedestres . . . p.40
1.5 Efeito atraaRathet eet . . . p.48
2 TRANSPORTEDE PARTÍCULASEM MEIOS SUPERAMOR
TE-CIDOS p.55
2.1 Transporte de vórties em superondutores . . . p.56
2.1.1 Modelo. . . p.56
2.1.2 Propriedades marosópiasdo sistema . . . p.57
2.1.3 Equação marosópia para otransporte . . . p.58
2.1.4 Propriedades estátias(sistema fehado) . . . p.62
2.1.5 Propriedades dinâmias . . . p.66
2.1.5.1 Barreira de energia . . . p.66
2.1.5.2 Transporte de vórties através de um anal om uma
2.1.5.4 Rede de pinos om potenialinnito . . . p.72
2.1.5.5 Rede de pinos om potenialnito . . . p.75
2.2 Colóides . . . p.78
2.2.1 Modelo. . . p.78
2.2.2 Sistema fehado . . . p.79
2.2.3 Barreira de energia . . . p.82
2.2.4 Constrição . . . p.83
2.3 Movimento de pedestres napresença de obstáulos . . . p.86
2.3.1 Modelo. . . p.86
2.3.2 Sistema fehado . . . p.87
2.3.3 Constrição . . . p.89
3 TRANSPORTE DE PARTÍCULAS CONFINADAS POR P
ARE-DES ASSIMÉTRICAS p.91
3.1 Movimento de pedestres . . . p.91
3.2 Transporte de vórties . . . p.98
3.2.1 Modelo. . . p.98
3.2.2 Paredes assimétrias . . . p.100
3.2.3 Substrato assimétrio . . . p.103
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS p.104
Apêndie A -- Um Breve Histório da superondutividade p.106
Apêndie B -- Teorias para o estado superondutor p.112
B.1 Teorias fenomenológias . . . p.112
B.1.1 Teoria de London . . . p.112
B.2 Teoria de vórties emsuperondutores . . . p.120
B.2.1 Superondutores dotipo II . . . p.120
B.2.2 Energia numa interfae normal-superondutor . . . p.120
B.2.3 A quantização douxo magnétio . . . p.121
B.2.4 Camposrítios
H
c1
eH
c2
. . . p.123 B.2.5 Campomagnétio de um vórtie isolado . . . p.124B.2.6 Energia de um vórtie isolado . . . p.126
B.2.7 Energia de interaçãovórtie-vórtie . . . p.127
B.2.8 Equação de movimentodos vórties . . . p.127
Apêndie C -- Prinipais propriedades mesosópias no transporte de
elétrons p.129
C.0.8.1 Loalizaçãofraa . . . p.129
C.0.8.2 Efeito Ahanorov-Bohm . . . p.131
C.0.8.3 Flutuaçõesuniversais daondutânia . . . p.132
C.0.8.4 Quantizaçãoda ondutânia . . . p.132
1 Diferentes regimes para o transporte de elétrons em estruturas
mesos-ópias. Estes regimes de transporte são desritos pelos omprimentos
araterístiosdosistema. Osefeitosmesosópiospodemserveriados
quandoumdosomprimentosdosistema(
L
)émenorqueoomprimentode oerêniade faseeletrnio
L
Φ
. . . p.28 2 Visualização da rede de vórties obtida por U. Essmann e H. Traublepubliado na Physis Letters, 24A 526 (1967). Esta visualização foi
obtidapelaténiadedeoraçãomagnétia,omprovandoqueosvórties
formam umarede triangularnaausênia de forças externasede defeitos
no material. . . p.30
3 Diagrama de fase obtido numeriamente por A. E. Koshelev and V. M.
Vinokur publiado emPRL,733580 (1994). Neste trabalhofoiprevista
umatransiçãodefasedinâmia,ondeumaristalizaçãopodeserobtida
para valores da orrenteexterna maior que zero. . . p.31
4 (a) Diagrama de fase experimental obtido por S. Bhattaharya e M. J.
Higgins publiado em PRL, 70 2617 (1993),mostrando as fases darede
de vórties. Comopodemosverhátrêsfasesdistintasparaaredede
vór-tie: vórties pinados (fase estátia), esoamento plástio e esoamento
elástio. (b) Diagramade faseexperimentalobtidoporM.C.Hellerqvist
et al.,publiado em PRL,76 4022 (1996). Este diagrama de fase
possi-bilitou uma omparaçãodireta omos resultados numériosobtidos por
deste gráo mostra o olapso das urvas obtidas para diferentes
valo-res daforça externa. (b) Perl de densidade emfunção daposição para
diferentes forças externas. No inset é mostrado o olapso destas
ur-vas. Osgráosmostradosem(a)e(b) foramobtidosporsimulaçõesde
dinâmiamoleular . . . p.33
6 Gráosobtidos porZapperiet al. publiadosemPRL 86,3622 (2001).
O inset desta gura mostraa densidade obtidapor integração numéria
da equaçãoontínua. Ográo prinipalmostra aontagem donúmero
de aixas oupadas em função dotamanhodaaixa. Adimensão fratal
medida para este sistema foi
D
f
= 4/3
(linha sólida). A mudança de omportamento para dimensão fratalD
f
= 1
é obtida para grandesesalas de omprimento. . . p.34
7 Conguração nal para umamisturabinária de partíulassuspensas em
um sistema bi-dimensional movimentando em sentidos opostos, gura
obtida porJ. Dzubiella et al. (15). (a)Sistema no estado desordenado,
onguração obtidapara um ampo externo nulo. (b) Sistemaainda no
estadodesordenado,masagoraomumampoexternoapliadopróximo
do ampo rítio
f
1
≃
f
c
. () O sistema no estado ordenado, formando leiras. Esta onguração foi obtida para um ampo externof
2
> f
1
. Nesta situação,oparâmetro de ordem obtido é(φ
≃
0.99
). Como pode-mos ver o sistema apresenta uma transição de ordem-desordemdepen-dendo do ampo força externa. Esta transição de fase é onheida
omo transição de ordenamento dinâmio. Maiores detalhes sobre esses
σ
κ
. Estes resultados foram obtidos através de simulações de dinâmia Browniana por J. Dzubiella et al. (15). O parâmetro de ordem medeo grau de organização do sistema. a) Parâmetro de ordem obtido para
as partíulas iniialmente distribuídas aleatoriamentee om a força
ex-terna sendo aumentada. (b) Parâmetro de ordem para as partíulas
iniialmente organizadas em duas leiras e om a força externa sendo
diminuídagradualmente. Estes resultados mostrama existêniade uma
metaestabilidade, veriada através de ilosde histerese, indiando que
esta transição é uma transição de fase de primeira ordem. Maiores
de-talhes sobre estes resultados podem ser enontrados em (15). . . p.36
9 Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para
umamisturabináriadeolóidesarregados,movimentando-seemsentido
ontrário devido à ação de um ampo elétrio externo. Os resultados
foram obtidos por simulaçõesde dinâmiaBrowniana.
κ
é o alane do potenial eφ
é a fração volumétria das partíulas. Maiores detalhesdeste gráo podem ser obtidosem (67). . . p.37
10 Gráoobtido porM. Köpplet al. (45)mostrando operl de densidade
aolongodeumanalestreitoquandoaspartíulasestãoesoandodevido
a um gradiente de onentração. . . p.38
11 Perlde densidade obtidoporG.Piaentet al. (61) paraum sistemade
partíulasinteragindoomopotenialde Yukawaparadiferentesvalores
da forçaexterna. . . p.38
12 Gráos obtidos por C. Marquet et al. (53) mostrando a retiação de
partíulasmirométriasesoandoatravésde umanalassimétrioomo
mostradoem(a),aspartíulassãosubmetidasaumampoelétrioa de
baixafreqüêniaeommédiazero. (a)Designdoanalassimétriousado
para retiaro movimento de partíulas onnadas em um anal usado
por C. Marquet et al. (53). (b) Resultados enontrados por C. Marquet
et al. (53), mostrando a dependênia da veloidade de transporte om
freqüênia daforça alternadaa apliadaeom a intensidade doampo
20
se daesquerda para direita(bolaspretas) interagindo om
20
partíulasmovendo-se da direita para esquerda (bolas branas) om ondições de
ontorno periódias nadireção
x
eonnadas nadireçãoy
para diferen-tes valores do ruído externo. (a) Para pequenos ruídosθ
= 1
formação de leiras om movimento uniforme pode ser obtido. (b) Estadoin-termediário entre a ristalização obstrução do anal e a formação de
leiras om transporte uniforme. () Estado ristalizado obtido para
grandes intensidades doruído (
θ
= 1000
). . . p.42 14 Gráo obtidoporD. Helbing et al. publiado naPRL84, 1240 (2000),mostrando a transição de ordenamento dinâmio, hamada freezing by
heating,paradiferentesvaloresdotamanhodosistemamantendoarazão
L
x
/L
y
= 4 : 1
onstante. No inset é mostrada a média da energiapotenial, inétiae total. . . p.43
15 Gráo obtido por D. Helbing et al. publiado na Nature 407, 487
(2000). Este resultado mostra o tempo que 200 pedestres gastam para
sair de uma sala sob ondições normais (sem pânio). O tempo que os
pedestres levamparasairdasala, diminuiomoaumentodaveloidade
desejada
v
0
. No entanto, quando aveloidade rese aima de um valor rítiov
0
≥
1.5ms
−
1
otempodesaídavoltaaresernovamenteatéque,
em veloidades mais elevadas aima de
5.0ms
−
1
, o número de pessoas
feridas omeça a reser de formaaproximadamente linear. . . p.44
16 GráoobtidoporD.Helbingetal. (Nature407,487(2000)). Simulação
parapedestresmovimentando-seemumarotadefugaomumaavidade.
(a) Posição dos pedestres obtida num orredor de
3m
de largura e15m
de omprimento omo rota de fuga, om os pedestres saindo om uma
veloidadealvode
v
0
= 2ms
−
1
. Aavidadetemaformade umtriângulo
isóseles om base de
6m
. (b) Eiênia para a saída omo função doângulo
φ
para aestrutura mostrada em(a), alinha traejadarepresenta a eiênia para uma avidade irregular. A eiênia ai nos doisa-sos, sendo um pouo mais pronuniada quando o orredor possui uma
hos. . . p.46
18 GráoobtidoporW.G.Weng (82),(a)Veloidademédiaemfunçãodo
tempopara diferentes densidades nosistemaom ondiçõesde ontorno
abertas. (b) Conguração nal para o sistema om
P
0
= 0.2
e um timestep de
800
para um sistema om ondição de ontorno aberta. . . p.4719 Diagrama de fase obtido por T. Nagatani (Physia A 300, 558 (2001)),
mostrando os diferentes regimes de esoamento dos pedestres em um
orredor om uma onstrição. . . p.48
20 DispositivotipoatraaidealizadoporFeymannnatentativade violara
segundaleidatermodinâmia. Estedispositivoonsistededuasaixasde
gás mantidas à temperatura
T
1
=
T
2
=
T
. Numa aixa temos uma roda om paletas e na outra temos um dispositivo tipo atraa, ligados porum eixoquepossui umapolialigadaaum peso. Aquestão proposta por
Feymann era se este dispositivo poderia realizar um trabalho meânio
apazdelevantaropesopresoàpolia. SegundoahipótesedeCarnotisto
seria impossível. Noentanto, àprimeira vistavemos queisto épossível,
mas seolharmosmais de perto podemosver uma série de ompliações,
(para maioresdetalhes onsultar Letureof Feymann Vol1, apítulo46.) p.49
21 Diagrama ilustrando omeanismo doefeitoatraa reverso tirado de C.
C.S.Silvaetal. (Nature440,651(2006)). (a)Diagramadaonguração
de equilíbriopara
n
= 1
−
4
(n
é onúmero de vórtie porpotenialtipo atraa). Podemosveraalternâniaentreosmínimosde energiaquandon
é par ou ímpar. (b) Esquema demonstrando o meanismo atraa quandoarededevórtiesésubmetidaaumaforçaa. Assetasvermelhasindiam a direção da força, os quadros om or de fundo indiam onde
oorreo movimentomarosópio das partíulas vórties. . . p.50
22 Diagrama de fase experimental obtido por C. C. S. Silva et al. (Nature
440, 651 (2006)) mostrando as fases dinâmias da rede de vórtie, bem
omo as regiões onde o uxo da rede de vórties é direto (verde) ou
reverso (vermelho). Podemos notar que o efeito atraa oorre próximo
massivasom diferentes tamanhos. Oproesso de transporte nesses
sis-tema depende muito darazãoentre otamanhodaaberturaeotamanho
da partíula. Ajustando o tamanho da abertura, este sistema pode ser
usadonaseparaçãodepartíulasdediferentestamanhos. (b)Fotoobtida
por mirosopia eletrnia de varredura dos poros assimétrios emuma
amostra de silione.() Mirosopia eletrnia de varredura obtida em
um poro daamostra em (b). . . p.52
24 FiguraobtidadeS.Matthiasetal. (Nature424,54(2003)),mostrandoa
dependêniadaorrentedobtidaporapliarumapressãoa nosistema
da Fig. 23. Este gráo mostra uma lara reversão do efeito atraa
nestes sistemas. . . p.52
25 FiguraobtidaporI.Derényi(Appl. Phys. A75,217(2002)),mostrando
(a)opotenialqueum átomosenteaodifundir poruma superfíie
irreg-ular omo mostrado em (b). . . p.53
26 Figura obtida originalmentepor P. J. Pablo (Surf. Interfae Anal. 30,
278 (2000)) e adquirida de I. Denényi (Appl. Phys. A 75,217 (2002)),
mostrando a evolução da superfíie de uma ta de ouro.(a) Uma
estru-tura laramente granular pode ser observada emgrãos om tamanhode
aproximadamente
25
nm
, (b) superfíiedata de ouroapós40h
subme-tida auma densidade de orrente d om1.6
×
10
11
A m
−
2
om
25
mA
, osgrãos tiveramum resimentode aproximadamente100
nm
, () a su-perfíie da ta de ouro após24
h
de orrente a sob os mesmo valores de (b), neste aso pode se observar o resimento dos grãos, formandoF
x
= 0
. Este resultado foi obtido por simulações de dinâmiamoleular após o sistema atingir o estado de equilíbrio meânio. Os resultadosmostrados nesta gura são para uma rede om
N
= 576
vórties em um anal om larguraL
= 4.0
λ
, submetidos a uma força externaF
= 1.0f
0
ontra a parede emx
0
. (b) Perl de densidade ao longo do anal para diferentes valores da forçaexterna e diferentes número devórties. Podemos notar que os pers de densidade olapsam em uma
mesmaurva,mostrandoqueoparâmetro
a
éinvarianteparaumgrandeintervalode valores dadensidade e daforça externa. . . p.63
28 Parâmetro
a
emfunção dalargura do anal para diferentes valores da densidade e da força externa. A linha preta ontínua desreve o ajustedas urvasobtidasatravésdesimulaçõesdedinâmiamoleularporuma
função ontínua. Os parâmetros do ajuste são
A
= 2.74
B
= 0.19
. A linha preta traejada representa o valor obtido por Zapperi et al. paraum sistema aberto. . . p.64
29 Conguração nal para uma rede om
N
= 216
de vórties, onnados emtodas asdireções, emumanal de larguraL
= 4λ
sofrendoaação de umaforçaexternaF
= 1.0
f
0
. Podemosnotarqueexistemdoisdiferentes omportamentosparaaonguraçãodosvórtiesnestesistema: umparao interior da amostra, onde o meanismo de redução de amadas pode
ser veriado, e outro para as borda domaterial, onde háum gradiente
da onentraçãode vórties na direção
x
. . . p.65 30 (a) Modelo usado para estudar o omportamento dinâmio da rede devórties esoando porum anal om uma barreira de energia omo
obs-táulo para o uxo. A força devido ao obstáulo
F
S
só atua sobre os
vórties numa pequena faixa de omprimento loalizadaem
x
1
ex
2
. (b)Densidade aolongo doanal é mostrada em ódigo de ores. . . p.66
31 Comparação dos resultados obtidos por dinâmia moleular, para um
anal om uma barreira de energia omoobstáulo para ouxo, om os
resultadosobtidosporintegraçãonumériadaEq.(2.31). Paradiferentes
33 Modelodoanalom umaonstrição, usadaomo obstáulopara ouxo. p.69
34 (a) Ajuste das urvas obtidas por dinâmia moleular om a solução
analítia de nosso modelo, em um anal om uma onstrição para duas
forças diferente. Os írulos representam os resultados obtidos por
si-mulações de dinâmia moleular e as linhas traejadas representam os
ajustes analítiosfeitosom a Eq. (2.32). Osresultados aquimostrados
são para um anal om
N
= 1333
e om seção transversaly
1
= 8.0
ey
2
= 5.5
. (b) Curvas obtidas para a seção transversal efetiva do anal para duasforças diferentes eom operl de densidade mostradonaFig.34(a). A seção transversal efetiva enontrada foi
y
1
= 9.76
ey
2
= 7.41
paraF
= 1.0
ey
1
= 9.82
ey
2
= 7.40
paraF
= 0.10
. Os valoresenon-trados são maiores quea seção transversal doanal
y
1
= 8.0
ey
2
= 5.5
. p.70 35 Modelodeumanalomumarededepinosomoobstáuloparaouxo.Consideramos opotenial de interaçãoentre ospinos e osvórtiesomo
sendo: 1) um potenial de atração innito, 2) um potenial de atração
nito. . . p.72
36 Gráosobtidosparaumaredede vórtiesesoando atravésdeumanal
om uma rede de pinos om potenial de interação innito. As urvas
são obtidas para um anal om largura
L
= 8.7λ
omN
= 300
vórties emmovimento e210
vórties pinados. (a)Perl de densidade para umarede de vórties paradiferentes valoresda forçaexterna. (b) Fluxopara
uma rede de vórties para diferentes valores da forçaexterna. ()Ajuste
do perl de densidade obtido para uma rede de vórties. Os írulos
pretos representam os valores obtidos por simulação de dinâmia
mo-leular para um anal de largura
L
= 8.7λ
om uma força externa deF
= 1.0f
0
. Alinhavermelhaontínuaéoperl dedensidadeobtidopela soluçãoanalítiadonosso modelo. Osparâmetros usadosnoajusteon-ordamaté a segunda asa deimalomos valoresobtidos pordinâmia
innito para diferentes valores da força externa, a)
F
= 0.05f
0
, b)F
=
0.10f
0
, )F
= 0.50f
0
, d)F
= 1.0f
0
, e)F
= 5.00f
0
ef)F
= 10.00f
0
. . . . p.7438 (a) Fluxo da rede de vórties através de um anal om uma rede de
pinosompotenialnitodistribuídosperiodiamentenoentrodoanal.
Podemosverqueouxoénuloquandoaforçaexternaésuientemente
pequena
F
= 0.05f
0
. Os resultados mostrados são para um anal omN
= 510
vórties. O anal tem uma seção transversal dey
= 8.7λ
. (b) Perlde densidadeobtidoparaanalom umaredede pinosompoten-ial nito distribuídos periodiamente no entro do anal. Os pers de
densidade aqui mostrados são equivalentes aos uxos mostrados naFig.
38(). Podemos verque o perl de densidade é linear desde que
Φ
→
0
.() Perl de densidadeparaanal omuma redede pinos,om potenial
nito, distribuídos periodiamente no entro do anal. Podemos notar
que para forças externas suientemente grandes
F >
10f
0
os obstáu-los não podem produzir nenhum gradiente de onentração ao longo doanal, fazendo om que o perl de densidade seja onstante e dado pela
razão
J/F
. (d) Comparação entre os resultados obtidos por dinâmia moleular om a solução analítia dada pela Eq. (2.32). Podemos verboa onordânia entre os resultados. Os parâmetros orrente de
vór-tie edensidade iniial, usadospara fazeraurva analítia,onordam
até segunda asa deimalom osvaloresobtidos pordinâmiamoleular. p.76
39 Perl de densidade emódigo de ores para a rede de vórties esoando
através de um anal om uma rede de pinos om potenial de interação
nito para diferentes valores da força externa, a)
F
= 0.05f
0
, b)F
=
r
é dada pela função de Bessel modiada de primeira ordem
F
vv
(r)
∝
K
1
(r)
, para olóides a força é dada pelo potenial de YukawaF
cc
(r)
∝
(1
−
κ)
exp(
−
κr)/r
2
, ondeκ
= 0.8
é o inverso do alane do potenial e para pedestres a força é dada por uma função exponenial segundo omodelo de D. Helbing (31, 32)
F
pp
(r) =
A exp(d
−
r)
, onde
A
= 10
éuma onstante e
d
= 0.5
éo diâmetrodopedestre. . . p.78 41 (a) Perl de densidade obtido para um sistema oloidal onnado emum anal em todas as direções. O perl de densidade mostrado aqui é
para um anal om
N
= 630
e larguraL
= 3.0
om uma força externaF
= 1.0
. (b) Pers de densidade para diferentes valores do número departíulas e diferentes valores da forçaexterna. . . p.80
42 Parâmetro
a
em função da largura doanal para diferentes números de partíulas e diferentes valores da força externa. A linha ontínua pretarepresenta o ajustefeito nas urvasobtidas por simulações de dinâmia
moleular, Osparâmetros obtidosno ajuste foram
A
= 0.78
,B
= 1.86
eC
= 0.33
. A linha traejadarepresenta ovalordoparâmetroa
para umsistema aberto. . . p.81
43 Conguração nal para as partíulassendo forçadas ontraa paredeem
x
= 0
num anal fehado em todas as direções. . . p.8244 Perl de densidade para partíulas suspensas, esoando em um anal
e na presença de uma barreira de energia om força
F
B
= 1.0
omo obstáulo, para um sistema omN
= 600
partíulas onnadas em um anal de larguraL
= 5.0
sendo forçada poruma forçaF
= 4.0
. A linha ontínuarepresentaaurvadedensidadeobtidaporintegraçãonumériada Eq.(2.31). Oparâmetro
a
usadonesta equação foiobtido através doajuste feitonaFig. 42. . . p.83
45 Perldedensidadeparapartíulas suspensas esoandoemumanalom
uma onstrição. Os símbolos (írulos pretos) foram obtidos por
simu-lações de dinâmia moleular, a linha ontínua vermelha representa o
perl de densidade obtido pela Eq. 2.32, e as linhas ontínuas em azul
ção. Assetasindiamosentidodouxo. Assimulaçõesforamfeitaspara
um sistema om
N
= 1250
partíulas onnadas emum anal om uma onstrição,ujasseçõesdapartelargaeestreitasãoy
1
= 10.0
ey
2
= 2.5
,respetivamente. As partíulas são forçadas poruma força
F
= 1.0
. . . p.85 47 (a)Perl de densidade obtidopara pedestres emum analonnado emtodas asdireções. Ossímbolos(írulos)representam osresultados
obti-dos porsimulaçõesdedinâmiamoleular, ealinhatraejadarepresenta
o ajustelinear desta urva, usandoa Eq. (2.33). (b) Colapso das urvas
dedensidadeobtidasparadiferentesvaloresdonúmerodepartíulaseda
força externa. mostrando que o valor do parâmetro
a
é invariante parauma grande faixa de valores do número de partíulas e daforçaexterna. p.88
48 Valor do parâmetro
a
em função da largura do analL
, obtido para pedestres onnados emum orredor estreito,om tendênia a semovi-mentarem em direção à parede em
x
= 0
. As diferentes urvas foram obtidasparadiferentes valoresdarazãoN/A
edaforçaexterna. Alinha ontínuavermelharepresentao ajustefeitonas urvasobtidasporsimu-lações de dinâmia moleular, Os parâmetros obtidos no ajuste foram
A
= 6.08
,B
= 4.06
eC
= 0.20
. . . p.8949 Perl de densidade para
N
pedestres esoando através de um anal de larguraL
= 10m
e om uma onstrição de largurah
= 2.5m
. A urva ontínua desreve o ajuste da urva obtida por simulação de dinâmiamoleularom a Eq. 2.32. . . p.90
50 Geometriade umorredor responsávelporinduzirumadireção
preferen-ialparaoesoamento. Osparâmetrosusadosnestagurasão:
L
= 10.0
,b
=
−
3.0
,w
= 4.0
,v
= 3.0
,ρ
= 0.6
,ξ
= 0.0
andH
= 1.0
. . . p.9251 Parâmetro de ordem omo função do parâmetro
b
. Vemos que o or-denamento preferenial do sistema oorre apenas para altos valores de|
b
|
. Os parâmetros usados nestas simulações foram:w
= 4.0
,H
= 1.0
,L
= 10.0
,ρ
= 0.6
,ξ
= 0.0
ev
= 3.0
. OsresultadosobtidosaquisãoparaL
= 10.0
,b
=
−
4.0
,ξ
= 0.0
andv
= 3.0
. Os resultados obtidos aqui sãopara 10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.95
53 Parâmetro de ordem omo função do parâmetro
H/w
omw
= 4.0
,L
= 10.0
,b
=
−
4.0
,ξ
= 0.0
andv
= 3.0
. Os resultados obtidosaqui sãopara 10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.96
54 Parâmetrodeordemomofunçãodoruídoexterno
ξ
i
presentenosistema, paraw
= 4.0
omH
= 1.0
,L
= 10.0
,b
=
−
4.0
ev
= 3.0
. Osresultadosobtidos aquisão para 10diferentes realizações dosistema. . . p.97
55 Dependênia do parâmetro de ordem om a veloidade, para
w
= 4.0
omH
= 1.0
,L
= 10.0
eb
=
−
4.0
. Osresultados obtidosaqui são para10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.98
56 Design doanal usado para onnar as partíulas. Este anal é
respon-sável por introduzir um potenial tipoatraa, dando um sentido
prefe-renial paraoesoamentoquando osistemaé submetidoa umaforçaa
om média zero.
L
éo omprimentodaatraa,L1
é oomprimentodo eixo difíildaatraa,L2
é oomprimentodoeixofáil daatraa,H
éa altura daatraae
d
é oespaçamentoentre asatraas.. . . p.100 57 Veloidade média da rede de vórties na direçãox
em função da forçaexterna apliada para diferentes valores da omensurabilidade entre o
númerodeatraaeonúmerodevórties. Estesresultadosforamobtidos
para uma atraa de omprimento
L
= 12
, omL1 = 3
eL2 = 9
, omaltura
H
= 3.0
eespaçamentod
= 0.9
. . . p.101 58 Veloidade média das partíulas em função da força externa apliada,paraaltosamposdeomensurabilidade. Estegráomostraque,quando
oampodeomensurabilidadeéaumentado,asmúltiplastransições
plás-tiasqueoorremembaixosamposdeomensurabilidadedesapareem.
Estesresultadosforamobtidosparaumaatraadeomprimento
L
= 12
,om
L1 = 3
eL2 = 9
, om alturaH
= 3.0
e espaçamentod
= 0.9
. . . . p.102 59 Veloidade média das partíulas em função da força externa paradife-rentes largura do anal. Os resultados aqui mostrados são para uma
desobeta da superondutividade. Isto só foi possível porque em 1908
Onnes onseguiu liqüefazer o hélio pela primeira vez, possibilitando
al-ançar temperaturas extremamente baixas jamais alançada
anterior-mente(51). Posteriormente, OnnesVeriouqueestefenmenotambém
oorriaom outros elementos químiosda tabelaperiódia. . . p.106
61 Comportamento de um superondutor e de um metal normal quando
submetidos asseqüênias de medidas magnétiasZFC(zeroeld ooled)
eFC(eldooled). Podemosverqueamagnetizaçãodeum material
su-perondutorindependedahistóriamagnétiadosistema,istonãooorrer
om um metalnormal. . . p.107
62 Este gráomostraosavanços naspesquisasembusade materiaisom
temperatura rítia ada vez mais elevada. podemos ver o aumento
ex-plosivo natemperatura rítiados materiaissuperondutores após a
de-soberta da superundutividade no sistema La-Ba-Cu-O, este trabalho
rendeu o prêmio nobel aos pesquisadores J. G. Bednorz e K. A. Muller
em1987 . . . p.110
63 Tabelamostrando osvaloresdatemperaturarítia
T
c
,doomprimento de penetraçãoλ
, do omprimento de oerêniaξ
e do parâmetro de Ginzburg-Landauκ
. Osvaloresdeλ
eξ
paraoMgB
2
não foramenon-trados naliteratura. . . p.114
64 (a) Pers do ampo,
h
(azul), e do parâmetro de ordem superondutor|
ψ
|
2
(vermelho). (b)Linhasdeontornodasuperorrente(azul)emtorno
do núleo do vórtie. Nesta gura temos
λ
= 10ξ
. Figura obtida de L.E. Cabral. . . p.118
65 Figura obtida de G. Bergmann publiado em phys. rev. 107, 1 (1984).
Estegráomostraumamedidademagneto-resistêniaemumlmeno
de Cu om espessura de
80
om resistêniaR
= 98Ω
eum auto grau de desordem, olivreaminhomédionestaamostraédaordemde10
. Nestegráo podemos ver a supressão do efeito de loalizaçãofraa quando a
amostraéexpostaaum ampomagnétiovemostambémqueeste efeito
imentos numérios para ambas as ondutânias, lássia e quântia. A
ondutâniaquântiaéaluladaporombinarmatrizesdeespalhamento
parasuessivasseções, adaumaontendoumaimpureza,assumindo
o-erêniaompleta. A ondutividadelássiaé alulada ombinando
ma-trizesde probabilidadeeassumindoinoerêniaompleta. Osresultados
são para um ondutor om 30modos eom 600 impurezas. . . p.132
67 Gráo obtido por B. J. van Wees (PRL,60 848 (1988) ). Este gráo
mostra um esboço do sistema usado para fazer as medidasbemomo o
gráo da resistênia em função da tensão apliada, esta urva é
aom-panhada de vários platores que são resultados da quantização da
on-dutânia. . . p.133
68 Gráo obtido por B. J. van Wees (PRL,60 848 (1988) ). para a
INTRODUÇO
Oestudo das propriedadesde transporte emsistemasmesosópioséde fundamental
importâniapara o desenvolvimento de oneitos have naFísia Básia e para o
desen-volvimentode novas tenologias. Em geral,o meanismo de transporte destes sistemasé
muito omplexo,sua ompreensãopode ajudara desrever aspropriedadesdinâmiasde
sistemasfora doequilíbrio (11, 25,26,66,76, 80).
Em meados de 1980 foram iniiados os estudos das propriedades de transporte em
estruturas artiiaisde metais e materiaissemiondutores fabriados pelas ténias hoje
usadas na nanofabriação. Estes estudos revelaram que o transporte eletrnio nestes
materiais são aompanhados de efeitos de loalização fraa (7), efeitos de interferênia
efeito Ahanarov-Bohm (81), utuações universais (49) e quantização da ondutânia
(79). Hoje emdiaas propriedadesmesosópias tem sido observadas emoutros sistemas
om diferentes esalasde omprimentos, omo no transporte de olóides, materiais
gran-ulares,uidos e nomovimentode pedestres (10, 25, 32).
Reentemente foi veriado que o transporte de partíulas onnadas em um anal
mesosópio, movendo-se em sentidos opostos e interagindo entre si por um potenial
repulsivo, exibe um novo estado de ristalização, obtido quando aumentamos o ruído
externo ao sistema (32). Tal efeito foi denominado Freezing by Heating, tendo sido
veriado pelaprimeiravez porD. Helbinget al. (32) noestudodadinâmiade sistemas
oloidaise nomovimentode pedestres.
Nesta tese, estudamos as propriedades do esoamento de partíulas interagentes e
onnadasemsistemasmesosópios,om ênfase nadesrição doomportamentode
vór-tiesemsuperondutores, sistemasoloidais,ondas dedensidadede arga,anaisinios,
mirouidos, sistemas granulares e o movimento de pedestres. Por possuir um
ompor-tamento fortemente oletivo estes sistemas apresentam muitas araterístias omplexas
queserão disutidas a seguir.
Em geral, as partíulas dos sistemas estudados interagem através de um potenial
repulsivo e desrevem uma dinâmia superamorteida. Nossos estudos estão foados na
O modelo proposto anteriormente por Zapperi et al. (87) será utilizado para desrever
taissistemas. Como resultado, obtemosuma equaçãodiferenial de primeiraordem
não-lineartambém onheida omo equação diferenialde Abel de segundo tipo. Mostramos
que a solução desta equação diferenial em uma dimensão (1D) é apaz de desrever o
omportamentodadensidadede partíulasaolongode umanalbi-dimensional(2D).Os
obstáulosempregadosemnossosestudos foramuma barreirade energia,uma onstrição
eumarede de defeitosperiódios (empregadaapenasnoestudo dotransportede vórties
em superontudores), ou seja, uma rede de pinos. Consideramos dois limites para a
interaçãoentre os vórties eos pinos. No primeiroos pinos apresentam um potenialde
atraçãoinnitodeformaqueosvórtiespinadosnunaentramemmovimento. Nesteaso,
onsideramos que os pinos se omportam omo uma rede de vórties xos. No segundo
limite,onsideramosquea interaçãoentre osvórties eospinos édada porum potenial
nito, ou seja, os vórties podem ser depinados, dependendo apenas da onentração de
vórties e daforçaexterna.
Na segunda parte deste trabalho, estudamos o transporte de partíulas onnadas
geometriamente por paredes assimétrias que introduzem um potenial tipo atraa
responsávelporinduziruma direçãopreferenial aoesoamento. Estudamos iniialmente
o movimento de pedestres em sentidos opostos em um anal estreito, onde medimos o
parâmetro de ordem em função dadensidade, veloidade, assimetria, ruído externo e da
razão entre a largura do anal e a profundidade da assimetria. Investigamos também
as propriedades de esoamento da rede de vórtie onnada por paredes assimétrias.
Neste aso todos os vórties esoam no mesmo sentido. Calulamos a veloidade média
dosistemaemfunçãodaforçaexternaapliadanosdois sentidosde movimentos,ouseja,
nosentido doeixo fáile doeixo difíilda atraa.
Esta tese está organizada daseguinteforma. No Capítulo1, apresentamos uma
des-rição geral dos sistemas mesosópios e desrevemos os sistemas aqui estudados. No
Capítulo2,mostramososresultadosobtidosparaotransportede partíulasemmeios
su-peramorteidos, esoando emum analmesosópio napresença de um obstáulo para o
uxo. Osresultadosmostrados nesse Capítuloforamobtidos porsimulaçõesde dinâmia
moleular,integração numériadaequaçãodiferenialresponsávelpeladesriçãodo
om-portamentodosistema, bem omo por álulosanalítios. No Capítulo3,desrevemos a
dinâmiade partíulas onnadasgeometriamenteporparedes assimétrias. Estes
estu-dos são feitos para desrever a dinâmiade vórties em superondutores e o movimento
de pedestres esoando em um anal, e onnados por paredes assimétrias no limite de
moleular. Finalmenteapresentamos nossas onlusões nais e perspetivas para futuros
1 CONCEITOS GERAIS
Neste Capítulofazemosumarevisãobibliográados problemasestudadosnestatese,
mostrando os prinipais resultados já obtidos para sistemas mesosópios, vórties em
superondutores e movimentode pedestres.
1.1 Sistemas mesosópios
Osestudosdaspropriedadesdetransporteemsistemasmesosópios,ouseja,sistemas
onde pelo menos uma de suas dimensões é da mesma ordem de grandeza de algum de
seusomprimentosaraterístios, têm reveladonovaspropriedadesfísiasextremamente
peuliares. Tais estudos tiveram iníio por volta de 1980 e proporionaram inúmeros
avanços tenológios, omo a miniaturização de omponentes eletrnios, possibilitando
odesenvolvimentode omputadores e dispositivoseletrnios mais eientes.
Os primeiros resultados obtidos para estes sistemas mostraram que o transporte
eletrnio é aompanhado por efeitos de loalização fraa (7), interferênia (81)
tam-bémonheido omo efeito Ahanorov-Bohm, utuações universais (81) equantização da
ondutânia(79).
No transporte de elétronsoprinipalomprimentoaraterístio,é oomprimento
deoerênia defase eletrnio
L
Φ
,dadopeladistâniaqueumelétronpodeperorrer sem perder sua fase memória,Este omprimento rese om a diminuição datempera-tura, hegando a dimensões da ordem de mírons. Outros omprimentos araterístios
importantes nadesrição de sistemas mesosópiossão:
•
oomprimentode loalizaçãoeletrniaξ
: medeaextensãoespaialdafunção de onda. Em ondutores, este omprimento é do tamanho da amostra, enquanto•
olivreaminhomédioelástioL
e
: medeadistâniaqueoselétronspodemviajar sem sofrer olisões. Este omprimento depende fortemente do grau de impurezasdasamostras, de defeitosristalinosedatemperatura. Variandode algunsmírons
aalguns angströms.
•
o omprimento de onda de Fermiλ
F
,está relaionado om aenergia donível deFermidomaterialdadoporλ
F
=
h
√
2mε
F
.Emgeralesteomprimentoédaordem
de angströms.
Estesomprimentosaraterístiossãoresponsáveispordistinguirosdiferentesregimes
de transporte em sistemas mesosópios, usualmente identiados omo: balístio,
difu-sivo ou loalizado. A Fig. 1 ilustra a relação entre os omprimentos araterístios e os
regimesde transporte.
difusivo localizado
balistico
l
F
l
e
x
L
F
L
quântico
mesoscópico
clássico
Figura 1: Diferentes regimes para o transporte de elétrons em estruturas mesosópias.
Estes regimes de transporte são desritos pelos omprimentosaraterístios dosistema.
Osefeitos mesosópios podem ser veriados quando um dos omprimentos do sistema
(
L
) é menorque o omprimentode oerêniade faseeletrnioL
Φ
.Podemos ver na Fig. 1 que, em sistemas eletrnios, as propriedades mesosópias
podem ser medidas em uma faixa de omprimento intermediária entre o marosópio,
ondeotransporteéregidopelasleisdaFísiaClássia,eonanosópio,omotransporte
regidopelas leisda MeâniaQuântia. Sendo
L
o menor omprimento dosistema estu-dado,paraL >> L
Φ
as propriedadesde transporte são puramente difusivase podem ser desritaspelaequaçãode Boltzmann. QuandoL << L
Φ
aspropriedadesdos sistemassão quantizadas e desritas pela equação de Shrödinger e pela equação de Liouville. ParaO termo mesosópio não faz nenhuma referênia ao tamanho do sistema, e sim à
razão entre suas dimensões e seus omprimentos araterístios, devendo portanto ser
usado para desrever um regime de transporte e não uma esala de omprimento. As
propriedades de transporte emsistemas mesosópios são de grande importânia para o
desenvolvimento de novos dispositivosnanoestruturados,
Reentemente, aspropriedadesdetransporteemsistemasmesosópiostêm sido
veri-adasemmaioresesalasde omprimento,omonotransportede partíulasemolóides
enomovimentodepedestres. Dentre estas propriedadespodemositaroefeitoFreezing
by Heating, que onsiste emuma ristalizaçãoinduzida por um ruído externo no
trans-porte de partíulas onnadas movimentando-se em sentidos opostos (32). Vale itar
também a presença de um omprimento araterístio induzido pela não-loalidade do
uxo, efeito este que pode ser observado em materiais vítreos (glassy materials), em
olóidese em sistemas granulares emgeral (25).
1.2 Vórties em superondutores
A dinâmia de vórties em superondutores omeçou a ser estudada após A. A.
Abrikosov(Nobel2003)terveriadoqueasuperondutividadepodeoexistiromo
mag-netismo em alguns materiais (superondutores do tipo-II). Em seu trabalho, Abrikosov
(1)mostrouqueo ampo magnétio apliadopode penetrarnaamostrasuperondutora,
na forma de linhas quantizadas de uxo magnétio hamadas de vórties. Os vórties
apresentam um quantum de uxo magnétio dado por
Φ
0
=
h/2e
, ondeh
é a onstante de Plank ee
é a arga elementar do elétron. Eles possuem um núleo om raio igual aoomprimentode oerêniaξ
,ondeoampomagnétioé máximo. Oampomagnétio donúleodovórtie,porsuavez, deaiemumomprimentoaraterístioonheidoomomprimento de penetração de London
λ
. No Apêndie A apresentamos as prinipais teoriasfenomenológias usadaspara desrever oestado superondutor.Osvórtiesem superondutorespodemalançardiferentes níveisdeinteraçãoquando
variamos o ampo magnétio externo. Isto faz om que este sistema seja ideal para o
estudos das propriedades de sistemas oletivos. O estudo da dinâmia de vórties tem
mostradonos últimosanosaexistêniade muitas formasomplexasde movimento,omo
desritonaSeção 1.2.1.
Oestudodadinâmiade vórtiesemmateriaissuperondutores foiintensiadoapós
fortemente do tipo-II e permitem que a fase superondutora e os vórties oexistam em
uma ampla faixa de ampo magnétio. Durante muito tempo estes estudos prouraram
entender omo os vórties poderiam ser aprisionados, pois quando submetidos a forças
externasosvórtiespodementraremmovimento,fazendoomqueaenergiasejadissipada
nestesistema.
A ompreensão da dinâmia de vórties em superondutores é fundamental para o
desenvolvimento de oneitos físios em outras áreas do onheimento, e.g., olóide e
ondadedensidade dearga,tendotambémimportâniaparaodesenvolvimentodenovos
dispositivos. Os vórties em superondutores se omportam omo uma rede ristalina
-rede de Bragg também onheida omo rede de vórties - que apresentaaraterístias
típiasde uma fasetermodinâmia,omo fusãoe alorespeio.
1.2.1 Propriedades da rede de vórties
A primeirapropriedadeobservada nos vórtiesemsuperondutores foi aformaçãode
uma rede periódia e triangular. Isto pode ser veriado desde que o material
super-ondutor esteja livre de impurezas e/ou defeitos e os vórties não estejam onnados em
estruturas mesosópias,esta rede é onheida omo rede de Abrikosov.
Figura2: Visualizaçãodaredede vórtiesobtidaporU.EssmanneH.Traublepubliado
naPhysisLetters,24A526(1967). Estavisualizaçãofoiobtidapelaténiadedeoração
magnétia,omprovandoqueosvórtiesformamumaredetriangularnaausêniadeforças
externase de defeitos no material.
As propriedades estátias e dinâmias da rede de vórties são alteradas quando o
sistema é onnado. O onnamento dos vórties em regiões da ordem do omprimento
uxo magnétio. Quando os vórties são onnados em regiões da mesma ordem do
omprimentodepenetraçãodeLondon
λ
,aspropriedadesestátiassãoalteradasfazendo omqueaonguraçãotriangularnão sejaamaisestávelparaaredede vórties(88). Aspropriedadesdinâmias também são alteradas omo veriado em trabalhos anteriores e
nesta tese.
Na presença de uma orrente externa, os vórties podem entrar em movimento
in-duzindo perdas de energia. Para que a orrente superondutora ua sem que haja
dissi-pação de energia, faz-se neessário aprisionar os vórties. Isto pode ser feito usando as
própriasnão-homogeneidade e defeitos na estrutura ristalina do material ou através de
estruturas artiiais,onheidas omorede de pinos.
Uma das primeiras teorias sobre o movimento da rede de vórties foi elaborada por
Anderson e Kim (2). Esta teoria, onheida tambémomo teoria de ux reep, prevê a
existêniade paotesde vórtiesquesemovemindependentementeuns dos outrosdevido
à variação loal da densidade de pinos. Larkin e Ovhinnikov (47) demonstraram que a
ordemristalina de longo alane darede de vórties é destruída napresença de entros
deaprisionamento,não importandoquãofraoseles sejam. Esta teoriaéonheida omo
teoriado pinningoletivo.
Figura3: DiagramadefaseobtidonumeriamenteporA.E.Koshelevand V.M.Vinokur
publiado em PRL, 73 3580 (1994). Neste trabalho foi prevista uma transição de fase
dinâmia,ondeumaristalizaçãopodeserobtidaparavaloresdaorrenteexternamaior
quezero.
A rede de vórties apresenta um diagramade fase dinâmiomuito omplexo, om a
Vinokur em 1994 (46) prevêo movimentode um ristalde vórtie movingrystal para
forças maiores que
f
t
. Para forças menores quef
t
e maiores que a forçade depinningf
c
(forças onde os vórties omeçam a se movimentar) os vórties se movimentam em umregime plástio.Abaixo de
f
c
, os vórties estão pinados e apresentam uma onguração quase homogênea, mas sem ordemristalina de longo alane. Para temperaturas aimade
T
m
a redede vórties seomporta omo umlíquido, sendoT
m
a temperaturade fusão darede de vórties.As medidas de transporte em superondutores na presença de um ampo magnétio
deram iníio às investigações das fases dinâmias da rede de vórties. Bhattaharya e
Higgins (8) estudaram a dependênia da orrente de transição om o ampo magnétio
separando omovimentodos vórties emdois regimes,omo mostrado naFig. 4(a).
(a) (b)
Figura4: (a)Diagrama de faseexperimentalobtidoporS.Bhattaharyae M.J. Higgins
publiadoem PRL,70 2617 (1993),mostrando asfases darede de vórties. Como
pode-mos ver há três fases distintas para a rede de vórtie: vórties pinados (fase estátia),
esoamentoplástioeesoamento elástio. (b)Diagramade faseexperimentalobtidopor
M.C. Hellerqvist et al., publiado emPRL, 76 4022 (1996). Este diagrama de fase
pos-sibilitouuma omparaçãodiretaom osresultados numériosobtidosporA.E.Koshelev
and V. M.Vinokur.
Hellerqvist et al. (33) zeram outro trabalho experimental, medindo desta vez a
orrenteemfunçãodatemperaturaparaumaamostrabidimensionalde
Mo
77
Ge
23
. Estas medidas possibilitaram uma omparação direta om o trabalho de Koshelev e Vinokur(46). Hellerqvistetal. (33)observaramumaumentodaorrelaçãodarededevórtiespara
orrentes altas. Para baixas temperaturas, eles enontraram que os vórties iniiam seu
movimentomuito abruptamente quando a orrente elétriaé aumentada e o movimento
iniialdarede devórtiesexibearaterístiade umuxo plástio. Osresultadosobtidos
GiamarhieLe Doussal (21), usando ténias de renormalização, mostraram que, ao
ontrário do previsto por Koshelev e Vinokur (46), alguns modos de desordem não são
afetadospelomovimento,mesmoemaltas veloidades. Sendoassim, arede devórtiesse
omporta omo um vidro em movimento(moving glass) e não omo um ristal perfeito.
Omoving glass possui as seguintes propriedades: (i) deaimentoda ordem translaional
delongoalane, (ii)aspartíulasuematravésde anaisestátios,(iii)padrãode anais
altamente orrelaionado ao longo da direção transversa ao movimento, devido à
om-pressãoelástia,e (iv) existêniade barreirasao movimento transverso.
Zapperi et al. (87) mostraram numeriamente que a frente de penetração do uxo
magnétiovórtie eoperl dedensidade obedeema umaleideesala. Neste trabalho,
uma equação de difusão não-linear é obtida através do oarse graining da equação de
Fokker-Plankparaumsistemadepartíulassuperamorteidasemummeiodesordenado.
Estes autoresobservaramque talequaçãoéapaz de desrever adinâmiade penetração
devórtieemsuperondutores. OsresultadosobtidosporZapperietal. (87)mostrandoo
olapsodasurvasparafrentedepenetraçãoeparaoperlde densidadesãoreproduzidos
naFig. 5.
0
1
2
3
4
5
Log
10
t
1
2
3
Log
1
0
x
p
f
0
= 0.01
f
0
= 0.02
f
0
= 0.04
f
0
= 0.06
f
0
= 0.10
−
3
−
2
−
1 0
1
2
Log
10
f
0
3/2
t
0
1
Log
10
f
0
1/2
x
p
(a)0
50
100
150
x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ρ
f
0
= 0.01
f
0
= 0.02
f
0
= 0.04
f
0
= 0.06
f
0
= 0.10
0
5
10 15 20
xf
0
1/2
0
1
2
3
ρ
f
0
−
1/2
(b)
Figura 5: Gráos obtidos por Zapperi et al. publiados em PRL 86, 3622 (2001).(a)
Posiçãomédiadafrentedepenetraçãoemfunçãodotempo. Oinset destegráomostrao
olapsodasurvasobtidasparadiferentesvaloresdaforçaexterna. (b)Perldedensidade
emfunçãodaposiçãoparadiferentesforçasexternas. Noinset émostradooolapsodestas
urvas. Os gráos mostrados em (a) e (b) foram obtidos por simulações de dinâmia
moleular
A integração numéria da equação de difusão não-linear mostrou que a frente de
penetração do uxo magnétio tem uma estrutura fratalom dimensão que variaentre
(ver Fig, 6). A dimensão fratal é obtida usando o método da ontagem de aixas. O
sistemaédivididoemaixasde tamanho
b
eontamosentãoonúmerodeaixasoupadasN(b)
,que deai omb
−
D
f
,onde
D
f
éa dimensão fratal.Figura6: GráosobtidosporZapperietal. publiadosemPRL86,3622(2001). Oinset
desta guramostra a densidade obtida porintegração numéria daequação ontínua. O
gráoprinipalmostraaontagemdonúmerodeaixasoupadasemfunçãodotamanho
da aixa. A dimensão fratal medida para este sistema foi
D
f
= 4/3
(linha sólida). A mudançade omportamentopara dimensão fratalD
f
= 1
éobtida para grandesesalas de omprimento.Quando aredede vórtieséexposta aalgumtipode assimetriaespaialoutemporal,
podemos observar uma direção preferenial para o esoamento quando apliamos uma
força externa alernada a om média zero. Esta simetria é responsável por induzir um
efeitode retiação onheido omo efeitoatraa (48).
1.3 Colóides
Os estudos da dinâmia em sistemas oloidais na presença de uma força externa
exemplo,aquelesempregadosnoproessodemigraçãodepartíulassobainuêniadeum
ampoelétrio(eletroforese)enoproesso deeletro-osmose(55). Dispositivosproduzidos
om estas ténias são utilizadosemgrandeesala naseparação de proteínas e DNA.
A dinâmiade olóidesarregados napresença de um ampo elétrioexterno oorre
através de proessos de não-equilíbrio. Estes sistemassão ideais para se estudaras
tran-siçõesde fase. Estudos reentes (15), baseados em simulações de dinâmiade Langevin,
mostraram que estes sistemas apresentam uma transição ordem-desordem (formação de
leiralanes)quando as partíulas são submetidas a altos valores de amposexternos e
densidades. Esta transição paree ser de primeiraordem, apresentando uma
metaestabi-lidadequepode ser veriada devido àpresença de ilos de histerese neste sistema(15).
Nas Fig. 7 e Fig. 8 mostramos os resultados obtidos por Dzubiella et al. (15) através
desimulaçõesde dinâmiaBrowniana,para umamisturaoloidalsubmetida aumaforça
externa. Na Fig. 7 mostramos a onguração nal das partíulas para diferentes forças
Figura 7: Conguração nal para uma mistura binária de partíulas suspensas em um
sistemabi-dimensionalmovimentandoemsentidos opostos,guraobtidaporJ.Dzubiella
et al. (15). (a) Sistema no estado desordenado, onguração obtida para um ampo
externonulo. (b)Sistemaaindanoestadodesordenado, masagoraomumampoexterno
apliadopróximodoamporítio
f
1
≃
f
c
. () O sistemano estadoordenado, formando leiras. Esta onguração foi obtida para um ampo externof
2
> f
1
. Nesta situação, o parâmetro de ordem obtido é (φ
≃
0.99
). Como podemos ver o sistema apresenta uma transição de ordem-desordem dependendo do ampo força externa. Esta transição defase éonheida omo transição de ordenamento dinâmio. Maiores detalhes sobre esses
resultados podem ser enontrados em(15).
externas e na Fig. 8 mostramos a variação do parâmetro de ordem em função da força
externapara diferentes valores de
κσ
, ondeσ
éo diâmetrodas partíulas eκ
é o inverso do alane do potenial de interação entre as partíulas. Em 8(a) as medidas são feitasaumentando-seaforçaexterna,omaspartíulasiniialmentedistribuídasaleatoriamente
elar muitos aspetos importantes, válidos na desrição do movimento de pedestres (41),
de partíulas granulares(12, 16) eda interfae entre uidos (84).
Figura 8: Parâmetro de ordem em função do ampo externo, para diferentes valores do
diâmetrodas partíulas
σ
edo inverso doalanedopotenialκ
. Estes resultados foram obtidos através de simulações de dinâmia Browniana por J. Dzubiella et al. (15). Oparâmetro de ordem mede o grau de organização do sistema. a) Parâmetro de ordem
obtido para as partíulas iniialmentedistribuídas aleatoriamentee om a força externa
sendo aumentada. (b) Parâmetro de ordem para as partíulas iniialmente organizadas
em duas leiras e om a força externa sendo diminuída gradualmente. Estes resultados
mostrama existênia de uma metaestabilidade, veriada através de ilos de histerese,
indiandoqueestatransição éumatransiçãode fasedeprimeiraordem. Maioresdetalhes
sobre estes resultados podem ser enontrados em(15).
A formação de leiras na dinâmia de misturas binárias de partíulas arregadas
em olóides, que se movimentam em direções opostas devido à apliação de um ampo
elétrio,foi onrmadaexperimentalmentepormeio de visualizaçãoda dinâmiaatravés
de mirosópios onfoais (50). Na ausênia de ampos elétrios externos, as partíulas
emsuspensãoformamumristalbinário(36). Quandooampoelétrioexedeumampo
rítio,aestruturaristalinaédestruídaeaspartíulasformamleirasparalelasaoampo
apliado. Para ampos ainda maiores, as leiras são destruídas e as partíulas entram
em um estado de transporte desordenado, que pode levar a uma obstrução do anal,
impedindootransporte.
NaFig. 9,mostramosodiagramadefasedenão-equilíbrio,ondepodemoslassiaros
diferentes estadosestaionáriosdadinâmiadesistemasoloidaisemfunçãodadensidade
e do alane do potenial de interação (67). A transição observada para altos ampos
externos e para altas onentrações de partíulas paree ser de primeira ordem om a
Figura 9: Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para uma
mistura binária de olóides arregados, movimentando-se em sentido ontrário devido
à ação de um ampo elétrio externo. Os resultados foram obtidos por simulações de
dinâmiaBrowniana.
κ
éoalanedopotenialeφ
éafração volumétriadas partíulas. Maioresdetalhes deste gráopodem ser obtidos em(67).Estudosdotransporte deolóidessuperparamagnétiosatravésde anaisestreitos
re-velam que o gradientede onentração está relaionado om o meanismode redução de
amadasno anal (layer redution) (45). Quando a força externa domina o esoamento,
o meanismo de redução de amadas não pode ser enontrado. No entanto, quando o
transporte oorrer devido a um gradiente de onentração, podemos veriar um
mea-nismo de redução de amadas eas partíulas se organizando emuma rede hexagonal. O
ordenamentohexagonalé atribuídoàinteração das partíulas omváriosvizinhos aoseu
redor, sendo que o alane da interação entre as partíulas é determinado pelo ampo
magnétio externo. Este sistema é ideal para estudarmos o omportamento de sistemas
oletivos,poisvariandooampomagnétioexternomudamosoalanedainteraçãoentre
as partíulas e, onsequentemente, as propriedades estátias e dinâmias deste sistema.
Estes estudos são de fundamental importânia para a ompreensão do meanismo de
transporte em sistemas biológios,omo emanais inios(68).
Na Fig.10 mostramos o perl de densidade e os parâmetros da rede na direção
x
e na direçãoy
, obtidos por Köppl et al. (45), para sistemas oloidais de partíulas su-perparamagnétias forçadas a esoar através de um anal estreito. Podemos ver que oaolongo dadireção
x
.Figura 10: Gráo obtido por M. Köppl et al. (45) mostrando o perl de densidade ao
longode umanal estreitoquandoaspartíulas estãoesoando devidoa umgradientede
onentração.
O meanismode layer redution foiobservado iniialmenteporGlassonet al. (23).
A mudança do número de amadas nas proximidades de uma onstrição foi prevista
por simulações da dinâmiade Langevin para partíulas interagindo om o potenial de
Yukawa(61), omo mostra aFig. 11.
Figura 11: Perl de densidade obtido por G. Piaent et al. (61) para um sistema de
partíulasinteragindoomopotenialdeYukawaparadiferentesvaloresdaforçaexterna.
Osestudos daspropriedades de transporte emolóidesemuma estrutura assimétria
indiamummeanismoderetiaçãodomovimentodaspartíulas(efeitoatraa)quando
o movimento dela é induzido por uma força a (53). O meanismo de transporte neste
sistemaéfortementedependente daaberturadoanal e dotamanhodas partíulas (44).
Foiveriado que aveloidade das partíulas rese linearmenteom a freqüênia e om
(a)
(b)
Figura12: GráosobtidosporC.Marquetet al. (53)mostrandoaretiaçãode
partíu-las mirométrias esoando através de um anal assimétrio omo mostrado em (a), as
partíulassão submetidasa um ampo elétrioa de baixafreqüênia eom média zero.
(a)Designdoanalassimétriousadopararetiaromovimentode partíulasonnadas
em um anal usado por C. Marquet et al. (53). (b) Resultados enontrados por C.
Mar-quetet al. (53), mostrandoadependênia daveloidadede transporte omfreqüêniada
1.4 Pedestres
Nos últimos anos, a dinâmia de pedestres tem despertado grande interesse na
o-munidade ientía. O aumentoda populaçãonos grandes entros urbanos faz om que
inidentes, omo inêndios, possam se transformar emdesastres se o loal não puder ser
evauado em tempo hábil. Na tentativa de evitar estes desastres, muitos estudos têm
sidofeitosparaviabilizarformas deevauarregiõesdensasefehadas emum intervalode
tempomínimo. Estesestudossãorealizadospormeiosdesimulaçõesnumérias,
analitia-menteeempiriamenteouexperimentalmentepormeio de análisede vídeos. Osmodelos
usadospara estudar adinâmia de pedestres podem ser divididosem duas lasses:
mod-elos ontínuos e modelos disretos. O modelo ontínuo é baseado no modelo de força
soial proposto por Helbing (32). O modelo disreto é baseado na dinâmia onheida
omoautmato elularesuasvariações: oor eldmodel elattie gas model (82,86). Em
geral,adinâmiade pedestres émuitoomplexaedifíilde sermodeladanumeriamente,
poisospedestres estãosujeitosaumgrandenúmerodeinterações. Modelarestessistemas
representa um grande desaopara os pesquisadores desta área.
A modelagemdadinâmia de pedestres é um dos mais exitantes ampos daiênia
e da engenharia. Compreender omo os pedestres se movimentam é de fundamental
importâniaparapodermos nos anteipar evitandodesastres, e para melhoraro uxo de
pessoas em loais públios omo em estações de trens, auditórios, teatros, inemas, et
(35). Foiobservadoquetaissistemasapresentamumatransiçãode faseinduzidaporuma
quebraespontânea dasimetria(85). Os efeitos oletivos nesses sistemassão responsáveis
pelas seguintes fases (57, 82):
•
ordenada - movimentonaforma de amadasbem denidas lanes•
desordenado -movimento turbulento, altamenteresistivo jamming•
obstruída- as partíulas estão paradasloggingAspropriedadesdadinâmiadepedestres,inluindoosfenmenosdeauto-organização,
têmsido observadasereproduzidasporváriosmétodosfísios. Éimportanteressaltarque
aevauação de pedestresénarealidademuitomais omplexaqueosmodelosusadospara
desreveresta dinâmia. Asirunstânias de perigo epânio sãomuitodifíeisde serem
reproduzidas numeriamente, sendo quase impossíveis de serem veriadas na vida real.