• Nenhum resultado encontrado

Transporte de partículas em sistemas mesoscópicos

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "Transporte de partículas em sistemas mesoscópicos"

Copied!
141
0
0

Texto

(1)

Transporte de partíulas em sistemas

mesosópios

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

Petruio

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

Barrozo

✿✿✿✿✿✿

da

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

Silva

Orientador: José Soaresde AndradeJúnior

Co-orientador: André Auto Moreira

(2)

Transporte de partíulas em sistemas

mesosópios

Tese submetida à Coordenação do Curso de

Pós-Graduação em Físia, da Universidade

FederaldoCeará,omorequisitoparialpara

aobtenção do grau de Doutor emFísia

Orientador:

José Soares Andrade Júnior

Co-orientador:

André Auto Moreira

universidade federal do eara - Departamento de Físia

Fortaleza

(3)

Transporte de partíulas em sistemas

mesosópios

Tese submetida à Coordenação do Curso de

Pós-Graduação em Físia, da Universidade

FederaldoCeará,omorequisitoparialpara

aobtenção do grau de Doutor emFísia

Aprovada em25 de março de 2009

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. José Soares de Andrade Júnior (Orientador)

Universidade Federaldo Ceará

Prof. Dr. André Auto Moreira

Universidade Federaldo Ceará

Prof. Dr. José Albino Oliveira de Aguiar

Universidade Federal de Pernambuo

Prof. Dr. Gilde Aquino Farias

Universidade Federaldo Ceará

Prof. Dr. Roberto Fernandes SilvaAndrade

(4)
(5)

Ao meu orientador Prof. José Soares, pela orientação e dediação fundamentais

para arealização deste trabalho.

Ao Prof. André Moreirapela o-orientação.

Ao Prof. Hans Herrmannpelosuporte durante aminha estadiano ETH Zürih.

Ao Prof. J. Albino Aguiar pela amizade,ompreensãoe ensinamentos.

AosamigoseprofessoresCleioClemente, ErivaldoMontarroyoseLeonardoCabral.

Ao Prof. Asânio etodos osProf. do Departamento de Físia daUFC que

olabo-raramdireta ouindiretamentepara o desenvolvimento deste trabalho.

Aos amigosdo grupo de uido dinâmiadaUFC.

Aos amigos do ETH Zürih, pelo apoio e suporte dado durante minha estadia na

Suíça.

Ao Prof. Jasom Gallas, Prof. Eudenilson e ao Prof. Roberto Andrade pela

om-panhiadurante asrefeições noETH Zürih.

Atodos osintegrantes do Departamento de Físia daUFC.

À minha esposa, Adna, pela ompanhia e ompreensão fundamental para o

desen-volvimentodeste trabalho.

Aos meus pais Elzanirae Valter.

(6)

Neste trabalho, estudamos as propriedades do transporte de partíulas em sistemas

mesosópios. Na primeira parte, usamos o modelo proposto anteriormente por Zapperi

et al. (Phys. Rev. Lett. 86, 3622 (2001)) para desrever o transporte de partíulas

superamorteidaseinteragentes noestadoestaionário,napresençade umobstáulopara

o uxo, e onnadas em um anal om largura da ordem do omprimentoaraterístio

do sistema. Com este modelo, obtivemos uma equação diferenial de primeira ordem

não-linear, uja solução em 1D é apaz de desrever a densidade ao longo de um anal

2D para diferentes sistemas de partíulas (e.g., vórties em superondutores, olóides e

pedestres, todos simuladospordinâmiamoleular)ediferentes tiposde obstáulos (e.g.,

uma barreira de energia, um anal om uma onstrição e uma rede de pinos no entro

doanal). Observamos que este modelo pode ser usado para desrever o esoamento de

qualquersistemadepartíulassuperamorteido,desdequeasinteraçõesentreelaspossam

alançardistânias maioresque os primeirosvizinhos.

Na segunda parte deste trabalho, estudamos o esoamento de partíulas interagentes

(nãoneessariamente superamorteidas) onnadaspor paredes assimétrias. Aqui o

ob-jetivo é desrever a dinâmia de pedestres e a dinâmia de vórties emsuperondutores.

Em ambos os sistemas, as paredes assimétrias são responsáveis pela introdução de um

sentido preferenial para o uxo. No aso da dinâmia de pedestres, estudamos as

pro-priedades do sistema quando os pedestres andam em sentidos opostos. Veriamos que

este onnamento induz uma ordem responsável pelamaximizaçãodo esoamento. Esta

ordem pode ser destruída quando variamos a densidade, a veloidade, a razão entre a

largura do anal e a sua rugosidade, o ruído externo e a assimetria do anal.

Veri-amostambémqueastransiçõesde ordem-desordemneste sistemasão aompanhadasde

metaestabilidades e ilos de histerese. No aso de vórties em superondutores,

veri-amos que, para pequenos ampos de omensurabilidade entre o número de atraas e

(7)

Inthisworkweinvestigatethetransportpropertiesofpartilesinmesosopisystems.

Inthe rstpart,weusethemodeloriginallyproposedbyZapperietal. (Phys. Rev. Lett.

86, 3622 (2001)) to desribe the steady-state transport of overdamped partiles in the

presene of an obstaleand onned to a hannel with width of the order of the

hara-teristisize ofthe system. Withthismodel,we obtainanon-linearrst-order dierential

equation,whosesolution in1D isapabletodesribe the behaviorof the partiledensity

alonga 2D hannel for dierent partilesystems (e.g., superonduting vorties, olloids

andpedestrians, allsimulatedwith moleulardynamis)and obstaletypes (e.g,one

en-ergy barrier, a hannel onstrition and a network of pinning enters). We observe that

suh a model an be used to represent the ow of any system of overdamped partiles,

aslong as the interations between them an reaha distane greater than onlythe rst

neighbors.

In the seond part of this work, we investigate the ow of interating partiles (not

neessarilyoverdamped) onned toa hannel of asymmetrial walls. Here the main

ob-jetiveistodesribethrough moleulardynamistehniquesboththe owofpedestrians

as wellas the transport of superonduting vorties through irregularhannels. In both

ases, weobserve that the asymmetry of the onning wallsan induea preferential

di-retiontothe ow. Inthe ase ofpedestrians,our resultsindiatethat, whentwogroups

of people move in opposite diretions in a ratheted type of orridor,this indued order

isalsoresponsiblefor owmaximization. Thisorder anbedestroyed, however, when we

hange the total number of partiles in the system, their target speed, the amplitude of

theexternal addednoise orthe degree ofthe asymmetry of the hannel. Wealsoobserve

thattheorder-disordertransitionsinthissystemareusuallyfollowedbymetastabilityand

hysteresis yles. In the ase of superonduting vorties, multipledepinning transitions

are observed when there is a smallomensurability eld between the number of rathets

(8)

Lista de Figuras

INTRODUÇO p.24

1 CONCEITOS GERAIS p.27

1.1 Sistemas mesosópios . . . p.27

1.2 Vórties emsuperondutores . . . p.29

1.2.1 Propriedades da redede vórties . . . p.30

1.3 Colóides . . . p.34

1.4 Pedestres . . . p.40

1.5 Efeito atraaRathet eet . . . p.48

2 TRANSPORTEDE PARTÍCULASEM MEIOS SUPERAMOR

TE-CIDOS p.55

2.1 Transporte de vórties em superondutores . . . p.56

2.1.1 Modelo. . . p.56

2.1.2 Propriedades marosópiasdo sistema . . . p.57

2.1.3 Equação marosópia para otransporte . . . p.58

2.1.4 Propriedades estátias(sistema fehado) . . . p.62

2.1.5 Propriedades dinâmias . . . p.66

2.1.5.1 Barreira de energia . . . p.66

2.1.5.2 Transporte de vórties através de um anal om uma

(9)

2.1.5.4 Rede de pinos om potenialinnito . . . p.72

2.1.5.5 Rede de pinos om potenialnito . . . p.75

2.2 Colóides . . . p.78

2.2.1 Modelo. . . p.78

2.2.2 Sistema fehado . . . p.79

2.2.3 Barreira de energia . . . p.82

2.2.4 Constrição . . . p.83

2.3 Movimento de pedestres napresença de obstáulos . . . p.86

2.3.1 Modelo. . . p.86

2.3.2 Sistema fehado . . . p.87

2.3.3 Constrição . . . p.89

3 TRANSPORTE DE PARTÍCULAS CONFINADAS POR P

ARE-DES ASSIMÉTRICAS p.91

3.1 Movimento de pedestres . . . p.91

3.2 Transporte de vórties . . . p.98

3.2.1 Modelo. . . p.98

3.2.2 Paredes assimétrias . . . p.100

3.2.3 Substrato assimétrio . . . p.103

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS p.104

Apêndie A -- Um Breve Histório da superondutividade p.106

Apêndie B -- Teorias para o estado superondutor p.112

B.1 Teorias fenomenológias . . . p.112

B.1.1 Teoria de London . . . p.112

(10)

B.2 Teoria de vórties emsuperondutores . . . p.120

B.2.1 Superondutores dotipo II . . . p.120

B.2.2 Energia numa interfae normal-superondutor . . . p.120

B.2.3 A quantização douxo magnétio . . . p.121

B.2.4 Camposrítios

H

c1

e

H

c2

. . . p.123 B.2.5 Campomagnétio de um vórtie isolado . . . p.124

B.2.6 Energia de um vórtie isolado . . . p.126

B.2.7 Energia de interaçãovórtie-vórtie . . . p.127

B.2.8 Equação de movimentodos vórties . . . p.127

Apêndie C -- Prinipais propriedades mesosópias no transporte de

elétrons p.129

C.0.8.1 Loalizaçãofraa . . . p.129

C.0.8.2 Efeito Ahanorov-Bohm . . . p.131

C.0.8.3 Flutuaçõesuniversais daondutânia . . . p.132

C.0.8.4 Quantizaçãoda ondutânia . . . p.132

(11)

1 Diferentes regimes para o transporte de elétrons em estruturas

mesos-ópias. Estes regimes de transporte são desritos pelos omprimentos

araterístiosdosistema. Osefeitosmesosópiospodemserveriados

quandoumdosomprimentosdosistema(

L

)émenorqueoomprimento

de oerêniade faseeletrnio

L

Φ

. . . p.28 2 Visualização da rede de vórties obtida por U. Essmann e H. Trauble

publiado na Physis Letters, 24A 526 (1967). Esta visualização foi

obtidapelaténiadedeoraçãomagnétia,omprovandoqueosvórties

formam umarede triangularnaausênia de forças externasede defeitos

no material. . . p.30

3 Diagrama de fase obtido numeriamente por A. E. Koshelev and V. M.

Vinokur publiado emPRL,733580 (1994). Neste trabalhofoiprevista

umatransiçãodefasedinâmia,ondeumaristalizaçãopodeserobtida

para valores da orrenteexterna maior que zero. . . p.31

4 (a) Diagrama de fase experimental obtido por S. Bhattaharya e M. J.

Higgins publiado em PRL, 70 2617 (1993),mostrando as fases darede

de vórties. Comopodemosverhátrêsfasesdistintasparaaredede

vór-tie: vórties pinados (fase estátia), esoamento plástio e esoamento

elástio. (b) Diagramade faseexperimentalobtidoporM.C.Hellerqvist

et al.,publiado em PRL,76 4022 (1996). Este diagrama de fase

possi-bilitou uma omparaçãodireta omos resultados numériosobtidos por

(12)

deste gráo mostra o olapso das urvas obtidas para diferentes

valo-res daforça externa. (b) Perl de densidade emfunção daposição para

diferentes forças externas. No inset é mostrado o olapso destas

ur-vas. Osgráosmostradosem(a)e(b) foramobtidosporsimulaçõesde

dinâmiamoleular . . . p.33

6 Gráosobtidos porZapperiet al. publiadosemPRL 86,3622 (2001).

O inset desta gura mostraa densidade obtidapor integração numéria

da equaçãoontínua. Ográo prinipalmostra aontagem donúmero

de aixas oupadas em função dotamanhodaaixa. Adimensão fratal

medida para este sistema foi

D

f

= 4/3

(linha sólida). A mudança de omportamento para dimensão fratal

D

f

= 1

é obtida para grandes

esalas de omprimento. . . p.34

7 Conguração nal para umamisturabinária de partíulassuspensas em

um sistema bi-dimensional movimentando em sentidos opostos, gura

obtida porJ. Dzubiella et al. (15). (a)Sistema no estado desordenado,

onguração obtidapara um ampo externo nulo. (b) Sistemaainda no

estadodesordenado,masagoraomumampoexternoapliadopróximo

do ampo rítio

f

1

f

c

. () O sistema no estado ordenado, formando leiras. Esta onguração foi obtida para um ampo externo

f

2

> f

1

. Nesta situação,oparâmetro de ordem obtido é(

φ

0.99

). Como pode-mos ver o sistema apresenta uma transição de ordem-desordem

depen-dendo do ampo força externa. Esta transição de fase é onheida

omo transição de ordenamento dinâmio. Maiores detalhes sobre esses

(13)

σ

κ

. Estes resultados foram obtidos através de simulações de dinâmia Browniana por J. Dzubiella et al. (15). O parâmetro de ordem mede

o grau de organização do sistema. a) Parâmetro de ordem obtido para

as partíulas iniialmente distribuídas aleatoriamentee om a força

ex-terna sendo aumentada. (b) Parâmetro de ordem para as partíulas

iniialmente organizadas em duas leiras e om a força externa sendo

diminuídagradualmente. Estes resultados mostrama existêniade uma

metaestabilidade, veriada através de ilosde histerese, indiando que

esta transição é uma transição de fase de primeira ordem. Maiores

de-talhes sobre estes resultados podem ser enontrados em (15). . . p.36

9 Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para

umamisturabináriadeolóidesarregados,movimentando-seemsentido

ontrário devido à ação de um ampo elétrio externo. Os resultados

foram obtidos por simulaçõesde dinâmiaBrowniana.

κ

é o alane do potenial e

φ

é a fração volumétria das partíulas. Maiores detalhes

deste gráo podem ser obtidosem (67). . . p.37

10 Gráoobtido porM. Köpplet al. (45)mostrando operl de densidade

aolongodeumanalestreitoquandoaspartíulasestãoesoandodevido

a um gradiente de onentração. . . p.38

11 Perlde densidade obtidoporG.Piaentet al. (61) paraum sistemade

partíulasinteragindoomopotenialde Yukawaparadiferentesvalores

da forçaexterna. . . p.38

12 Gráos obtidos por C. Marquet et al. (53) mostrando a retiação de

partíulasmirométriasesoandoatravésde umanalassimétrioomo

mostradoem(a),aspartíulassãosubmetidasaumampoelétrioa de

baixafreqüêniaeommédiazero. (a)Designdoanalassimétriousado

para retiaro movimento de partíulas onnadas em um anal usado

por C. Marquet et al. (53). (b) Resultados enontrados por C. Marquet

et al. (53), mostrando a dependênia da veloidade de transporte om

freqüênia daforça alternadaa apliadaeom a intensidade doampo

(14)

20

se daesquerda para direita(bolaspretas) interagindo om

20

partíulas

movendo-se da direita para esquerda (bolas branas) om ondições de

ontorno periódias nadireção

x

eonnadas nadireção

y

para diferen-tes valores do ruído externo. (a) Para pequenos ruídos

θ

= 1

formação de leiras om movimento uniforme pode ser obtido. (b) Estado

in-termediário entre a ristalização obstrução do anal e a formação de

leiras om transporte uniforme. () Estado ristalizado obtido para

grandes intensidades doruído (

θ

= 1000

). . . p.42 14 Gráo obtidoporD. Helbing et al. publiado naPRL84, 1240 (2000),

mostrando a transição de ordenamento dinâmio, hamada freezing by

heating,paradiferentesvaloresdotamanhodosistemamantendoarazão

L

x

/L

y

= 4 : 1

onstante. No inset é mostrada a média da energia

potenial, inétiae total. . . p.43

15 Gráo obtido por D. Helbing et al. publiado na Nature 407, 487

(2000). Este resultado mostra o tempo que 200 pedestres gastam para

sair de uma sala sob ondições normais (sem pânio). O tempo que os

pedestres levamparasairdasala, diminuiomoaumentodaveloidade

desejada

v

0

. No entanto, quando aveloidade rese aima de um valor rítio

v

0

1.5ms

1

otempodesaídavoltaaresernovamenteatéque,

em veloidades mais elevadas aima de

5.0ms

1

, o número de pessoas

feridas omeça a reser de formaaproximadamente linear. . . p.44

16 GráoobtidoporD.Helbingetal. (Nature407,487(2000)). Simulação

parapedestresmovimentando-seemumarotadefugaomumaavidade.

(a) Posição dos pedestres obtida num orredor de

3m

de largura e

15m

de omprimento omo rota de fuga, om os pedestres saindo om uma

veloidadealvode

v

0

= 2ms

1

. Aavidadetemaformade umtriângulo

isóseles om base de

6m

. (b) Eiênia para a saída omo função do

ângulo

φ

para aestrutura mostrada em(a), alinha traejadarepresenta a eiênia para uma avidade irregular. A eiênia ai nos dois

a-sos, sendo um pouo mais pronuniada quando o orredor possui uma

(15)

hos. . . p.46

18 GráoobtidoporW.G.Weng (82),(a)Veloidademédiaemfunçãodo

tempopara diferentes densidades nosistemaom ondiçõesde ontorno

abertas. (b) Conguração nal para o sistema om

P

0

= 0.2

e um time

step de

800

para um sistema om ondição de ontorno aberta. . . p.47

19 Diagrama de fase obtido por T. Nagatani (Physia A 300, 558 (2001)),

mostrando os diferentes regimes de esoamento dos pedestres em um

orredor om uma onstrição. . . p.48

20 DispositivotipoatraaidealizadoporFeymannnatentativade violara

segundaleidatermodinâmia. Estedispositivoonsistededuasaixasde

gás mantidas à temperatura

T

1

=

T

2

=

T

. Numa aixa temos uma roda om paletas e na outra temos um dispositivo tipo atraa, ligados por

um eixoquepossui umapolialigadaaum peso. Aquestão proposta por

Feymann era se este dispositivo poderia realizar um trabalho meânio

apazdelevantaropesopresoàpolia. SegundoahipótesedeCarnotisto

seria impossível. Noentanto, àprimeira vistavemos queisto épossível,

mas seolharmosmais de perto podemosver uma série de ompliações,

(para maioresdetalhes onsultar Letureof Feymann Vol1, apítulo46.) p.49

21 Diagrama ilustrando omeanismo doefeitoatraa reverso tirado de C.

C.S.Silvaetal. (Nature440,651(2006)). (a)Diagramadaonguração

de equilíbriopara

n

= 1

4

(

n

é onúmero de vórtie porpotenialtipo atraa). Podemosveraalternâniaentreosmínimosde energiaquando

n

é par ou ímpar. (b) Esquema demonstrando o meanismo atraa quandoarededevórtiesésubmetidaaumaforçaa. Assetasvermelhas

indiam a direção da força, os quadros om or de fundo indiam onde

oorreo movimentomarosópio das partíulas vórties. . . p.50

22 Diagrama de fase experimental obtido por C. C. S. Silva et al. (Nature

440, 651 (2006)) mostrando as fases dinâmias da rede de vórtie, bem

omo as regiões onde o uxo da rede de vórties é direto (verde) ou

reverso (vermelho). Podemos notar que o efeito atraa oorre próximo

(16)

massivasom diferentes tamanhos. Oproesso de transporte nesses

sis-tema depende muito darazãoentre otamanhodaaberturaeotamanho

da partíula. Ajustando o tamanho da abertura, este sistema pode ser

usadonaseparaçãodepartíulasdediferentestamanhos. (b)Fotoobtida

por mirosopia eletrnia de varredura dos poros assimétrios emuma

amostra de silione.() Mirosopia eletrnia de varredura obtida em

um poro daamostra em (b). . . p.52

24 FiguraobtidadeS.Matthiasetal. (Nature424,54(2003)),mostrandoa

dependêniadaorrentedobtidaporapliarumapressãoa nosistema

da Fig. 23. Este gráo mostra uma lara reversão do efeito atraa

nestes sistemas. . . p.52

25 FiguraobtidaporI.Derényi(Appl. Phys. A75,217(2002)),mostrando

(a)opotenialqueum átomosenteaodifundir poruma superfíie

irreg-ular omo mostrado em (b). . . p.53

26 Figura obtida originalmentepor P. J. Pablo (Surf. Interfae Anal. 30,

278 (2000)) e adquirida de I. Denényi (Appl. Phys. A 75,217 (2002)),

mostrando a evolução da superfíie de uma ta de ouro.(a) Uma

estru-tura laramente granular pode ser observada emgrãos om tamanhode

aproximadamente

25

nm

, (b) superfíiedata de ouroapós

40h

subme-tida auma densidade de orrente d om

1.6

×

10

11

A m

2

om

25

mA

, osgrãos tiveramum resimentode aproximadamente

100

nm

, () a su-perfíie da ta de ouro após

24

h

de orrente a sob os mesmo valores de (b), neste aso pode se observar o resimento dos grãos, formando

(17)

F

x

= 0

. Este resultado foi obtido por simulações de dinâmiamoleular após o sistema atingir o estado de equilíbrio meânio. Os resultados

mostrados nesta gura são para uma rede om

N

= 576

vórties em um anal om largura

L

= 4.0

λ

, submetidos a uma força externa

F

= 1.0f

0

ontra a parede em

x

0

. (b) Perl de densidade ao longo do anal para diferentes valores da forçaexterna e diferentes número de

vórties. Podemos notar que os pers de densidade olapsam em uma

mesmaurva,mostrandoqueoparâmetro

a

éinvarianteparaumgrande

intervalode valores dadensidade e daforça externa. . . p.63

28 Parâmetro

a

emfunção dalargura do anal para diferentes valores da densidade e da força externa. A linha preta ontínua desreve o ajuste

das urvasobtidasatravésdesimulaçõesdedinâmiamoleularporuma

função ontínua. Os parâmetros do ajuste são

A

= 2.74

B

= 0.19

. A linha preta traejada representa o valor obtido por Zapperi et al. para

um sistema aberto. . . p.64

29 Conguração nal para uma rede om

N

= 216

de vórties, onnados emtodas asdireções, emumanal de largura

L

= 4λ

sofrendoaação de umaforçaexterna

F

= 1.0

f

0

. Podemosnotarqueexistemdoisdiferentes omportamentosparaaonguraçãodosvórtiesnestesistema: umpara

o interior da amostra, onde o meanismo de redução de amadas pode

ser veriado, e outro para as borda domaterial, onde háum gradiente

da onentraçãode vórties na direção

x

. . . p.65 30 (a) Modelo usado para estudar o omportamento dinâmio da rede de

vórties esoando porum anal om uma barreira de energia omo

obs-táulo para o uxo. A força devido ao obstáulo

F

S

só atua sobre os

vórties numa pequena faixa de omprimento loalizadaem

x

1

e

x

2

. (b)

Densidade aolongo doanal é mostrada em ódigo de ores. . . p.66

31 Comparação dos resultados obtidos por dinâmia moleular, para um

anal om uma barreira de energia omoobstáulo para ouxo, om os

resultadosobtidosporintegraçãonumériadaEq.(2.31). Paradiferentes

(18)

33 Modelodoanalom umaonstrição, usadaomo obstáulopara ouxo. p.69

34 (a) Ajuste das urvas obtidas por dinâmia moleular om a solução

analítia de nosso modelo, em um anal om uma onstrição para duas

forças diferente. Os írulos representam os resultados obtidos por

si-mulações de dinâmia moleular e as linhas traejadas representam os

ajustes analítiosfeitosom a Eq. (2.32). Osresultados aquimostrados

são para um anal om

N

= 1333

e om seção transversal

y

1

= 8.0

e

y

2

= 5.5

. (b) Curvas obtidas para a seção transversal efetiva do anal para duasforças diferentes eom operl de densidade mostradonaFig.

34(a). A seção transversal efetiva enontrada foi

y

1

= 9.76

e

y

2

= 7.41

para

F

= 1.0

e

y

1

= 9.82

e

y

2

= 7.40

para

F

= 0.10

. Os valores

enon-trados são maiores quea seção transversal doanal

y

1

= 8.0

e

y

2

= 5.5

. p.70 35 Modelodeumanalomumarededepinosomoobstáuloparaouxo.

Consideramos opotenial de interaçãoentre ospinos e osvórtiesomo

sendo: 1) um potenial de atração innito, 2) um potenial de atração

nito. . . p.72

36 Gráosobtidosparaumaredede vórtiesesoando atravésdeumanal

om uma rede de pinos om potenial de interação innito. As urvas

são obtidas para um anal om largura

L

= 8.7λ

om

N

= 300

vórties emmovimento e

210

vórties pinados. (a)Perl de densidade para uma

rede de vórties paradiferentes valoresda forçaexterna. (b) Fluxopara

uma rede de vórties para diferentes valores da forçaexterna. ()Ajuste

do perl de densidade obtido para uma rede de vórties. Os írulos

pretos representam os valores obtidos por simulação de dinâmia

mo-leular para um anal de largura

L

= 8.7λ

om uma força externa de

F

= 1.0f

0

. Alinhavermelhaontínuaéoperl dedensidadeobtidopela soluçãoanalítiadonosso modelo. Osparâmetros usadosnoajuste

on-ordamaté a segunda asa deimalomos valoresobtidos pordinâmia

(19)

innito para diferentes valores da força externa, a)

F

= 0.05f

0

, b)

F

=

0.10f

0

, )

F

= 0.50f

0

, d)

F

= 1.0f

0

, e)

F

= 5.00f

0

ef)

F

= 10.00f

0

. . . . p.74

38 (a) Fluxo da rede de vórties através de um anal om uma rede de

pinosompotenialnitodistribuídosperiodiamentenoentrodoanal.

Podemosverqueouxoénuloquandoaforçaexternaésuientemente

pequena

F

= 0.05f

0

. Os resultados mostrados são para um anal om

N

= 510

vórties. O anal tem uma seção transversal de

y

= 8.7λ

. (b) Perlde densidadeobtidoparaanalom umaredede pinosom

poten-ial nito distribuídos periodiamente no entro do anal. Os pers de

densidade aqui mostrados são equivalentes aos uxos mostrados naFig.

38(). Podemos verque o perl de densidade é linear desde que

Φ

0

.

() Perl de densidadeparaanal omuma redede pinos,om potenial

nito, distribuídos periodiamente no entro do anal. Podemos notar

que para forças externas suientemente grandes

F >

10f

0

os obstáu-los não podem produzir nenhum gradiente de onentração ao longo do

anal, fazendo om que o perl de densidade seja onstante e dado pela

razão

J/F

. (d) Comparação entre os resultados obtidos por dinâmia moleular om a solução analítia dada pela Eq. (2.32). Podemos ver

boa onordânia entre os resultados. Os parâmetros orrente de

vór-tie edensidade iniial, usadospara fazeraurva analítia,onordam

até segunda asa deimalom osvaloresobtidos pordinâmiamoleular. p.76

39 Perl de densidade emódigo de ores para a rede de vórties esoando

através de um anal om uma rede de pinos om potenial de interação

nito para diferentes valores da força externa, a)

F

= 0.05f

0

, b)

F

=

(20)

r

é dada pela função de Bessel modiada de primeira ordem

F

vv

(r)

K

1

(r)

, para olóides a força é dada pelo potenial de Yukawa

F

cc

(r)

(1

κ)

exp(

κr)/r

2

, onde

κ

= 0.8

é o inverso do alane do potenial e para pedestres a força é dada por uma função exponenial segundo o

modelo de D. Helbing (31, 32)

F

pp

(r) =

A exp(d

r)

, onde

A

= 10

é

uma onstante e

d

= 0.5

éo diâmetrodopedestre. . . p.78 41 (a) Perl de densidade obtido para um sistema oloidal onnado em

um anal em todas as direções. O perl de densidade mostrado aqui é

para um anal om

N

= 630

e largura

L

= 3.0

om uma força externa

F

= 1.0

. (b) Pers de densidade para diferentes valores do número de

partíulas e diferentes valores da forçaexterna. . . p.80

42 Parâmetro

a

em função da largura doanal para diferentes números de partíulas e diferentes valores da força externa. A linha ontínua preta

representa o ajustefeito nas urvasobtidas por simulações de dinâmia

moleular, Osparâmetros obtidosno ajuste foram

A

= 0.78

,

B

= 1.86

e

C

= 0.33

. A linha traejadarepresenta ovalordoparâmetro

a

para um

sistema aberto. . . p.81

43 Conguração nal para as partíulassendo forçadas ontraa paredeem

x

= 0

num anal fehado em todas as direções. . . p.82

44 Perl de densidade para partíulas suspensas, esoando em um anal

e na presença de uma barreira de energia om força

F

B

= 1.0

omo obstáulo, para um sistema om

N

= 600

partíulas onnadas em um anal de largura

L

= 5.0

sendo forçada poruma força

F

= 4.0

. A linha ontínuarepresentaaurvadedensidadeobtidaporintegraçãonuméria

da Eq.(2.31). Oparâmetro

a

usadonesta equação foiobtido através do

ajuste feitonaFig. 42. . . p.83

45 Perldedensidadeparapartíulas suspensas esoandoemumanalom

uma onstrição. Os símbolos (írulos pretos) foram obtidos por

simu-lações de dinâmia moleular, a linha ontínua vermelha representa o

perl de densidade obtido pela Eq. 2.32, e as linhas ontínuas em azul

(21)

ção. Assetasindiamosentidodouxo. Assimulaçõesforamfeitaspara

um sistema om

N

= 1250

partíulas onnadas emum anal om uma onstrição,ujasseçõesdapartelargaeestreitasão

y

1

= 10.0

e

y

2

= 2.5

,

respetivamente. As partíulas são forçadas poruma força

F

= 1.0

. . . p.85 47 (a)Perl de densidade obtidopara pedestres emum analonnado em

todas asdireções. Ossímbolos(írulos)representam osresultados

obti-dos porsimulaçõesdedinâmiamoleular, ealinhatraejadarepresenta

o ajustelinear desta urva, usandoa Eq. (2.33). (b) Colapso das urvas

dedensidadeobtidasparadiferentesvaloresdonúmerodepartíulaseda

força externa. mostrando que o valor do parâmetro

a

é invariante para

uma grande faixa de valores do número de partíulas e daforçaexterna. p.88

48 Valor do parâmetro

a

em função da largura do anal

L

, obtido para pedestres onnados emum orredor estreito,om tendênia a se

movi-mentarem em direção à parede em

x

= 0

. As diferentes urvas foram obtidasparadiferentes valoresdarazão

N/A

edaforçaexterna. Alinha ontínuavermelharepresentao ajustefeitonas urvasobtidaspor

simu-lações de dinâmia moleular, Os parâmetros obtidos no ajuste foram

A

= 6.08

,

B

= 4.06

e

C

= 0.20

. . . p.89

49 Perl de densidade para

N

pedestres esoando através de um anal de largura

L

= 10m

e om uma onstrição de largura

h

= 2.5m

. A urva ontínua desreve o ajuste da urva obtida por simulação de dinâmia

moleularom a Eq. 2.32. . . p.90

50 Geometriade umorredor responsávelporinduzirumadireção

preferen-ialparaoesoamento. Osparâmetrosusadosnestagurasão:

L

= 10.0

,

b

=

3.0

,

w

= 4.0

,

v

= 3.0

,

ρ

= 0.6

,

ξ

= 0.0

and

H

= 1.0

. . . p.92

51 Parâmetro de ordem omo função do parâmetro

b

. Vemos que o or-denamento preferenial do sistema oorre apenas para altos valores de

|

b

|

. Os parâmetros usados nestas simulações foram:

w

= 4.0

,

H

= 1.0

,

L

= 10.0

,

ρ

= 0.6

,

ξ

= 0.0

e

v

= 3.0

. Osresultadosobtidosaquisãopara

(22)

L

= 10.0

,

b

=

4.0

,

ξ

= 0.0

and

v

= 3.0

. Os resultados obtidos aqui são

para 10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.95

53 Parâmetro de ordem omo função do parâmetro

H/w

om

w

= 4.0

,

L

= 10.0

,

b

=

4.0

,

ξ

= 0.0

and

v

= 3.0

. Os resultados obtidosaqui são

para 10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.96

54 Parâmetrodeordemomofunçãodoruídoexterno

ξ

i

presentenosistema, para

w

= 4.0

om

H

= 1.0

,

L

= 10.0

,

b

=

4.0

e

v

= 3.0

. Osresultados

obtidos aquisão para 10diferentes realizações dosistema. . . p.97

55 Dependênia do parâmetro de ordem om a veloidade, para

w

= 4.0

om

H

= 1.0

,

L

= 10.0

e

b

=

4.0

. Osresultados obtidosaqui são para

10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.98

56 Design doanal usado para onnar as partíulas. Este anal é

respon-sável por introduzir um potenial tipoatraa, dando um sentido

prefe-renial paraoesoamentoquando osistemaé submetidoa umaforçaa

om média zero.

L

éo omprimentodaatraa,

L1

é oomprimentodo eixo difíildaatraa,

L2

é oomprimentodoeixofáil daatraa,

H

é

a altura daatraae

d

é oespaçamentoentre asatraas.. . . p.100 57 Veloidade média da rede de vórties na direção

x

em função da força

externa apliada para diferentes valores da omensurabilidade entre o

númerodeatraaeonúmerodevórties. Estesresultadosforamobtidos

para uma atraa de omprimento

L

= 12

, om

L1 = 3

e

L2 = 9

, om

altura

H

= 3.0

eespaçamento

d

= 0.9

. . . p.101 58 Veloidade média das partíulas em função da força externa apliada,

paraaltosamposdeomensurabilidade. Estegráomostraque,quando

oampodeomensurabilidadeéaumentado,asmúltiplastransições

plás-tiasqueoorremembaixosamposdeomensurabilidadedesapareem.

Estesresultadosforamobtidosparaumaatraadeomprimento

L

= 12

,

om

L1 = 3

e

L2 = 9

, om altura

H

= 3.0

e espaçamento

d

= 0.9

. . . . p.102 59 Veloidade média das partíulas em função da força externa para

dife-rentes largura do anal. Os resultados aqui mostrados são para uma

(23)

desobeta da superondutividade. Isto só foi possível porque em 1908

Onnes onseguiu liqüefazer o hélio pela primeira vez, possibilitando

al-ançar temperaturas extremamente baixas jamais alançada

anterior-mente(51). Posteriormente, OnnesVeriouqueestefenmenotambém

oorriaom outros elementos químiosda tabelaperiódia. . . p.106

61 Comportamento de um superondutor e de um metal normal quando

submetidos asseqüênias de medidas magnétiasZFC(zeroeld ooled)

eFC(eldooled). Podemosverqueamagnetizaçãodeum material

su-perondutorindependedahistóriamagnétiadosistema,istonãooorrer

om um metalnormal. . . p.107

62 Este gráomostraosavanços naspesquisasembusade materiaisom

temperatura rítia ada vez mais elevada. podemos ver o aumento

ex-plosivo natemperatura rítiados materiaissuperondutores após a

de-soberta da superundutividade no sistema La-Ba-Cu-O, este trabalho

rendeu o prêmio nobel aos pesquisadores J. G. Bednorz e K. A. Muller

em1987 . . . p.110

63 Tabelamostrando osvaloresdatemperaturarítia

T

c

,doomprimento de penetração

λ

, do omprimento de oerênia

ξ

e do parâmetro de Ginzburg-Landau

κ

. Osvaloresde

λ

e

ξ

parao

MgB

2

não foram

enon-trados naliteratura. . . p.114

64 (a) Pers do ampo,

h

(azul), e do parâmetro de ordem superondutor

|

ψ

|

2

(vermelho). (b)Linhasdeontornodasuperorrente(azul)emtorno

do núleo do vórtie. Nesta gura temos

λ

= 10ξ

. Figura obtida de L.

E. Cabral. . . p.118

65 Figura obtida de G. Bergmann publiado em phys. rev. 107, 1 (1984).

Estegráomostraumamedidademagneto-resistêniaemumlmeno

de Cu om espessura de

80

om resistênia

R

= 98Ω

eum auto grau de desordem, olivreaminhomédionestaamostraédaordemde

10

. Neste

gráo podemos ver a supressão do efeito de loalizaçãofraa quando a

amostraéexpostaaum ampomagnétiovemostambémqueeste efeito

(24)

imentos numérios para ambas as ondutânias, lássia e quântia. A

ondutâniaquântiaéaluladaporombinarmatrizesdeespalhamento

parasuessivasseções, adaumaontendoumaimpureza,assumindo

o-erêniaompleta. A ondutividadelássiaé alulada ombinando

ma-trizesde probabilidadeeassumindoinoerêniaompleta. Osresultados

são para um ondutor om 30modos eom 600 impurezas. . . p.132

67 Gráo obtido por B. J. van Wees (PRL,60 848 (1988) ). Este gráo

mostra um esboço do sistema usado para fazer as medidasbemomo o

gráo da resistênia em função da tensão apliada, esta urva é

aom-panhada de vários platores que são resultados da quantização da

on-dutânia. . . p.133

68 Gráo obtido por B. J. van Wees (PRL,60 848 (1988) ). para a

(25)

INTRODUÇO

Oestudo das propriedadesde transporte emsistemasmesosópioséde fundamental

importâniapara o desenvolvimento de oneitos have naFísia Básia e para o

desen-volvimentode novas tenologias. Em geral,o meanismo de transporte destes sistemasé

muito omplexo,sua ompreensãopode ajudara desrever aspropriedadesdinâmiasde

sistemasfora doequilíbrio (11, 25,26,66,76, 80).

Em meados de 1980 foram iniiados os estudos das propriedades de transporte em

estruturas artiiaisde metais e materiaissemiondutores fabriados pelas ténias hoje

usadas na nanofabriação. Estes estudos revelaram que o transporte eletrnio nestes

materiais são aompanhados de efeitos de loalização fraa (7), efeitos de interferênia

efeito Ahanarov-Bohm (81), utuações universais (49) e quantização da ondutânia

(79). Hoje emdiaas propriedadesmesosópias tem sido observadas emoutros sistemas

om diferentes esalasde omprimentos, omo no transporte de olóides, materiais

gran-ulares,uidos e nomovimentode pedestres (10, 25, 32).

Reentemente foi veriado que o transporte de partíulas onnadas em um anal

mesosópio, movendo-se em sentidos opostos e interagindo entre si por um potenial

repulsivo, exibe um novo estado de ristalização, obtido quando aumentamos o ruído

externo ao sistema (32). Tal efeito foi denominado Freezing by Heating, tendo sido

veriado pelaprimeiravez porD. Helbinget al. (32) noestudodadinâmiade sistemas

oloidaise nomovimentode pedestres.

Nesta tese, estudamos as propriedades do esoamento de partíulas interagentes e

onnadasemsistemasmesosópios,om ênfase nadesrição doomportamentode

vór-tiesemsuperondutores, sistemasoloidais,ondas dedensidadede arga,anaisinios,

mirouidos, sistemas granulares e o movimento de pedestres. Por possuir um

ompor-tamento fortemente oletivo estes sistemas apresentam muitas araterístias omplexas

queserão disutidas a seguir.

Em geral, as partíulas dos sistemas estudados interagem através de um potenial

repulsivo e desrevem uma dinâmia superamorteida. Nossos estudos estão foados na

(26)

O modelo proposto anteriormente por Zapperi et al. (87) será utilizado para desrever

taissistemas. Como resultado, obtemosuma equaçãodiferenial de primeiraordem

não-lineartambém onheida omo equação diferenialde Abel de segundo tipo. Mostramos

que a solução desta equação diferenial em uma dimensão (1D) é apaz de desrever o

omportamentodadensidadede partíulasaolongode umanalbi-dimensional(2D).Os

obstáulosempregadosemnossosestudos foramuma barreirade energia,uma onstrição

eumarede de defeitosperiódios (empregadaapenasnoestudo dotransportede vórties

em superontudores), ou seja, uma rede de pinos. Consideramos dois limites para a

interaçãoentre os vórties eos pinos. No primeiroos pinos apresentam um potenialde

atraçãoinnitodeformaqueosvórtiespinadosnunaentramemmovimento. Nesteaso,

onsideramos que os pinos se omportam omo uma rede de vórties xos. No segundo

limite,onsideramosquea interaçãoentre osvórties eospinos édada porum potenial

nito, ou seja, os vórties podem ser depinados, dependendo apenas da onentração de

vórties e daforçaexterna.

Na segunda parte deste trabalho, estudamos o transporte de partíulas onnadas

geometriamente por paredes assimétrias que introduzem um potenial tipo atraa

responsávelporinduziruma direçãopreferenial aoesoamento. Estudamos iniialmente

o movimento de pedestres em sentidos opostos em um anal estreito, onde medimos o

parâmetro de ordem em função dadensidade, veloidade, assimetria, ruído externo e da

razão entre a largura do anal e a profundidade da assimetria. Investigamos também

as propriedades de esoamento da rede de vórtie onnada por paredes assimétrias.

Neste aso todos os vórties esoam no mesmo sentido. Calulamos a veloidade média

dosistemaemfunçãodaforçaexternaapliadanosdois sentidosde movimentos,ouseja,

nosentido doeixo fáile doeixo difíilda atraa.

Esta tese está organizada daseguinteforma. No Capítulo1, apresentamos uma

des-rição geral dos sistemas mesosópios e desrevemos os sistemas aqui estudados. No

Capítulo2,mostramososresultadosobtidosparaotransportede partíulasemmeios

su-peramorteidos, esoando emum analmesosópio napresença de um obstáulo para o

uxo. Osresultadosmostrados nesse Capítuloforamobtidos porsimulaçõesde dinâmia

moleular,integração numériadaequaçãodiferenialresponsávelpeladesriçãodo

om-portamentodosistema, bem omo por álulosanalítios. No Capítulo3,desrevemos a

dinâmiade partíulas onnadasgeometriamenteporparedes assimétrias. Estes

estu-dos são feitos para desrever a dinâmiade vórties em superondutores e o movimento

de pedestres esoando em um anal, e onnados por paredes assimétrias no limite de

(27)

moleular. Finalmenteapresentamos nossas onlusões nais e perspetivas para futuros

(28)

1 CONCEITOS GERAIS

Neste Capítulofazemosumarevisãobibliográados problemasestudadosnestatese,

mostrando os prinipais resultados já obtidos para sistemas mesosópios, vórties em

superondutores e movimentode pedestres.

1.1 Sistemas mesosópios

Osestudosdaspropriedadesdetransporteemsistemasmesosópios,ouseja,sistemas

onde pelo menos uma de suas dimensões é da mesma ordem de grandeza de algum de

seusomprimentosaraterístios, têm reveladonovaspropriedadesfísiasextremamente

peuliares. Tais estudos tiveram iníio por volta de 1980 e proporionaram inúmeros

avanços tenológios, omo a miniaturização de omponentes eletrnios, possibilitando

odesenvolvimentode omputadores e dispositivoseletrnios mais eientes.

Os primeiros resultados obtidos para estes sistemas mostraram que o transporte

eletrnio é aompanhado por efeitos de loalização fraa (7), interferênia (81)

tam-bémonheido omo efeito Ahanorov-Bohm, utuações universais (81) equantização da

ondutânia(79).

No transporte de elétronsoprinipalomprimentoaraterístio,é oomprimento

deoerênia defase eletrnio

L

Φ

,dadopeladistâniaqueumelétronpodeperorrer sem perder sua fase memória,Este omprimento rese om a diminuição da

tempera-tura, hegando a dimensões da ordem de mírons. Outros omprimentos araterístios

importantes nadesrição de sistemas mesosópiossão:

oomprimentode loalizaçãoeletrnia

ξ

: medeaextensãoespaialdafunção de onda. Em ondutores, este omprimento é do tamanho da amostra, enquanto

(29)

olivreaminhomédioelástio

L

e

: medeadistâniaqueoselétronspodemviajar sem sofrer olisões. Este omprimento depende fortemente do grau de impurezas

dasamostras, de defeitosristalinosedatemperatura. Variandode algunsmírons

aalguns angströms.

o omprimento de onda de Fermi

λ

F

,está relaionado om aenergia donível deFermidomaterialdadopor

λ

F

=

h

2mε

F

.Emgeralesteomprimentoédaordem

de angströms.

Estesomprimentosaraterístiossãoresponsáveispordistinguirosdiferentesregimes

de transporte em sistemas mesosópios, usualmente identiados omo: balístio,

difu-sivo ou loalizado. A Fig. 1 ilustra a relação entre os omprimentos araterístios e os

regimesde transporte.

difusivo localizado

balistico

l

F

l

e

x

L

F

L

quântico

mesoscópico

clássico

Figura 1: Diferentes regimes para o transporte de elétrons em estruturas mesosópias.

Estes regimes de transporte são desritos pelos omprimentosaraterístios dosistema.

Osefeitos mesosópios podem ser veriados quando um dos omprimentos do sistema

(

L

) é menorque o omprimentode oerêniade faseeletrnio

L

Φ

.

Podemos ver na Fig. 1 que, em sistemas eletrnios, as propriedades mesosópias

podem ser medidas em uma faixa de omprimento intermediária entre o marosópio,

ondeotransporteéregidopelasleisdaFísiaClássia,eonanosópio,omotransporte

regidopelas leisda MeâniaQuântia. Sendo

L

o menor omprimento dosistema estu-dado,para

L >> L

Φ

as propriedadesde transporte são puramente difusivase podem ser desritaspelaequaçãode Boltzmann. Quando

L << L

Φ

aspropriedadesdos sistemassão quantizadas e desritas pela equação de Shrödinger e pela equação de Liouville. Para

(30)

O termo mesosópio não faz nenhuma referênia ao tamanho do sistema, e sim à

razão entre suas dimensões e seus omprimentos araterístios, devendo portanto ser

usado para desrever um regime de transporte e não uma esala de omprimento. As

propriedades de transporte emsistemas mesosópios são de grande importânia para o

desenvolvimento de novos dispositivosnanoestruturados,

Reentemente, aspropriedadesdetransporteemsistemasmesosópiostêm sido

veri-adasemmaioresesalasde omprimento,omonotransportede partíulasemolóides

enomovimentodepedestres. Dentre estas propriedadespodemositaroefeitoFreezing

by Heating, que onsiste emuma ristalizaçãoinduzida por um ruído externo no

trans-porte de partíulas onnadas movimentando-se em sentidos opostos (32). Vale itar

também a presença de um omprimento araterístio induzido pela não-loalidade do

uxo, efeito este que pode ser observado em materiais vítreos (glassy materials), em

olóidese em sistemas granulares emgeral (25).

1.2 Vórties em superondutores

A dinâmia de vórties em superondutores omeçou a ser estudada após A. A.

Abrikosov(Nobel2003)terveriadoqueasuperondutividadepodeoexistiromo

mag-netismo em alguns materiais (superondutores do tipo-II). Em seu trabalho, Abrikosov

(1)mostrouqueo ampo magnétio apliadopode penetrarnaamostrasuperondutora,

na forma de linhas quantizadas de uxo magnétio hamadas de vórties. Os vórties

apresentam um quantum de uxo magnétio dado por

Φ

0

=

h/2e

, onde

h

é a onstante de Plank e

e

é a arga elementar do elétron. Eles possuem um núleo om raio igual aoomprimentode oerênia

ξ

,ondeoampomagnétioé máximo. Oampomagnétio donúleodovórtie,porsuavez, deaiemumomprimentoaraterístioonheidoom

omprimento de penetração de London

λ

. No Apêndie A apresentamos as prinipais teoriasfenomenológias usadaspara desrever oestado superondutor.

Osvórtiesem superondutorespodemalançardiferentes níveisdeinteraçãoquando

variamos o ampo magnétio externo. Isto faz om que este sistema seja ideal para o

estudos das propriedades de sistemas oletivos. O estudo da dinâmia de vórties tem

mostradonos últimosanosaexistêniade muitas formasomplexasde movimento,omo

desritonaSeção 1.2.1.

Oestudodadinâmiade vórtiesemmateriaissuperondutores foiintensiadoapós

(31)

fortemente do tipo-II e permitem que a fase superondutora e os vórties oexistam em

uma ampla faixa de ampo magnétio. Durante muito tempo estes estudos prouraram

entender omo os vórties poderiam ser aprisionados, pois quando submetidos a forças

externasosvórtiespodementraremmovimento,fazendoomqueaenergiasejadissipada

nestesistema.

A ompreensão da dinâmia de vórties em superondutores é fundamental para o

desenvolvimento de oneitos físios em outras áreas do onheimento, e.g., olóide e

ondadedensidade dearga,tendotambémimportâniaparaodesenvolvimentodenovos

dispositivos. Os vórties em superondutores se omportam omo uma rede ristalina

-rede de Bragg também onheida omo rede de vórties - que apresentaaraterístias

típiasde uma fasetermodinâmia,omo fusãoe alorespeio.

1.2.1 Propriedades da rede de vórties

A primeirapropriedadeobservada nos vórtiesemsuperondutores foi aformaçãode

uma rede periódia e triangular. Isto pode ser veriado desde que o material

super-ondutor esteja livre de impurezas e/ou defeitos e os vórties não estejam onnados em

estruturas mesosópias,esta rede é onheida omo rede de Abrikosov.

Figura2: Visualizaçãodaredede vórtiesobtidaporU.EssmanneH.Traublepubliado

naPhysisLetters,24A526(1967). Estavisualizaçãofoiobtidapelaténiadedeoração

magnétia,omprovandoqueosvórtiesformamumaredetriangularnaausêniadeforças

externase de defeitos no material.

As propriedades estátias e dinâmias da rede de vórties são alteradas quando o

sistema é onnado. O onnamento dos vórties em regiões da ordem do omprimento

(32)

uxo magnétio. Quando os vórties são onnados em regiões da mesma ordem do

omprimentodepenetraçãodeLondon

λ

,aspropriedadesestátiassãoalteradasfazendo omqueaonguraçãotriangularnão sejaamaisestávelparaaredede vórties(88). As

propriedadesdinâmias também são alteradas omo veriado em trabalhos anteriores e

nesta tese.

Na presença de uma orrente externa, os vórties podem entrar em movimento

in-duzindo perdas de energia. Para que a orrente superondutora ua sem que haja

dissi-pação de energia, faz-se neessário aprisionar os vórties. Isto pode ser feito usando as

própriasnão-homogeneidade e defeitos na estrutura ristalina do material ou através de

estruturas artiiais,onheidas omorede de pinos.

Uma das primeiras teorias sobre o movimento da rede de vórties foi elaborada por

Anderson e Kim (2). Esta teoria, onheida tambémomo teoria de ux reep, prevê a

existêniade paotesde vórtiesquesemovemindependentementeuns dos outrosdevido

à variação loal da densidade de pinos. Larkin e Ovhinnikov (47) demonstraram que a

ordemristalina de longo alane darede de vórties é destruída napresença de entros

deaprisionamento,não importandoquãofraoseles sejam. Esta teoriaéonheida omo

teoriado pinningoletivo.

Figura3: DiagramadefaseobtidonumeriamenteporA.E.Koshelevand V.M.Vinokur

publiado em PRL, 73 3580 (1994). Neste trabalho foi prevista uma transição de fase

dinâmia,ondeumaristalizaçãopodeserobtidaparavaloresdaorrenteexternamaior

quezero.

A rede de vórties apresenta um diagramade fase dinâmiomuito omplexo, om a

(33)

Vinokur em 1994 (46) prevêo movimentode um ristalde vórtie movingrystal para

forças maiores que

f

t

. Para forças menores que

f

t

e maiores que a forçade depinning

f

c

(forças onde os vórties omeçam a se movimentar) os vórties se movimentam em um

regime plástio.Abaixo de

f

c

, os vórties estão pinados e apresentam uma onguração quase homogênea, mas sem ordemristalina de longo alane. Para temperaturas aima

de

T

m

a redede vórties seomporta omo umlíquido, sendo

T

m

a temperaturade fusão darede de vórties.

As medidas de transporte em superondutores na presença de um ampo magnétio

deram iníio às investigações das fases dinâmias da rede de vórties. Bhattaharya e

Higgins (8) estudaram a dependênia da orrente de transição om o ampo magnétio

separando omovimentodos vórties emdois regimes,omo mostrado naFig. 4(a).

(a) (b)

Figura4: (a)Diagrama de faseexperimentalobtidoporS.Bhattaharyae M.J. Higgins

publiadoem PRL,70 2617 (1993),mostrando asfases darede de vórties. Como

pode-mos ver há três fases distintas para a rede de vórtie: vórties pinados (fase estátia),

esoamentoplástioeesoamento elástio. (b)Diagramade faseexperimentalobtidopor

M.C. Hellerqvist et al., publiado emPRL, 76 4022 (1996). Este diagrama de fase

pos-sibilitouuma omparaçãodiretaom osresultados numériosobtidosporA.E.Koshelev

and V. M.Vinokur.

Hellerqvist et al. (33) zeram outro trabalho experimental, medindo desta vez a

orrenteemfunçãodatemperaturaparaumaamostrabidimensionalde

Mo

77

Ge

23

. Estas medidas possibilitaram uma omparação direta om o trabalho de Koshelev e Vinokur

(46). Hellerqvistetal. (33)observaramumaumentodaorrelaçãodarededevórtiespara

orrentes altas. Para baixas temperaturas, eles enontraram que os vórties iniiam seu

movimentomuito abruptamente quando a orrente elétriaé aumentada e o movimento

iniialdarede devórtiesexibearaterístiade umuxo plástio. Osresultadosobtidos

(34)

GiamarhieLe Doussal (21), usando ténias de renormalização, mostraram que, ao

ontrário do previsto por Koshelev e Vinokur (46), alguns modos de desordem não são

afetadospelomovimento,mesmoemaltas veloidades. Sendoassim, arede devórtiesse

omporta omo um vidro em movimento(moving glass) e não omo um ristal perfeito.

Omoving glass possui as seguintes propriedades: (i) deaimentoda ordem translaional

delongoalane, (ii)aspartíulasuematravésde anaisestátios,(iii)padrãode anais

altamente orrelaionado ao longo da direção transversa ao movimento, devido à

om-pressãoelástia,e (iv) existêniade barreirasao movimento transverso.

Zapperi et al. (87) mostraram numeriamente que a frente de penetração do uxo

magnétiovórtie eoperl dedensidade obedeema umaleideesala. Neste trabalho,

uma equação de difusão não-linear é obtida através do oarse graining da equação de

Fokker-Plankparaumsistemadepartíulassuperamorteidasemummeiodesordenado.

Estes autoresobservaramque talequaçãoéapaz de desrever adinâmiade penetração

devórtieemsuperondutores. OsresultadosobtidosporZapperietal. (87)mostrandoo

olapsodasurvasparafrentedepenetraçãoeparaoperlde densidadesãoreproduzidos

naFig. 5.

0

1

2

3

4

5

Log

10

t

1

2

3

Log

1

0

x

p

f

0

= 0.01

f

0

= 0.02

f

0

= 0.04

f

0

= 0.06

f

0

= 0.10

3

2

1 0

1

2

Log

10

f

0

3/2

t

0

1

Log

10

f

0

1/2

x

p

(a)

0

50

100

150

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ρ

f

0

= 0.01

f

0

= 0.02

f

0

= 0.04

f

0

= 0.06

f

0

= 0.10

0

5

10 15 20

xf

0

1/2

0

1

2

3

ρ

f

0

1/2

(b)

Figura 5: Gráos obtidos por Zapperi et al. publiados em PRL 86, 3622 (2001).(a)

Posiçãomédiadafrentedepenetraçãoemfunçãodotempo. Oinset destegráomostrao

olapsodasurvasobtidasparadiferentesvaloresdaforçaexterna. (b)Perldedensidade

emfunçãodaposiçãoparadiferentesforçasexternas. Noinset émostradooolapsodestas

urvas. Os gráos mostrados em (a) e (b) foram obtidos por simulações de dinâmia

moleular

A integração numéria da equação de difusão não-linear mostrou que a frente de

penetração do uxo magnétio tem uma estrutura fratalom dimensão que variaentre

(35)

(ver Fig, 6). A dimensão fratal é obtida usando o método da ontagem de aixas. O

sistemaédivididoemaixasde tamanho

b

eontamosentãoonúmerodeaixasoupadas

N(b)

,que deai om

b

D

f

,onde

D

f

éa dimensão fratal.

Figura6: GráosobtidosporZapperietal. publiadosemPRL86,3622(2001). Oinset

desta guramostra a densidade obtida porintegração numéria daequação ontínua. O

gráoprinipalmostraaontagemdonúmerodeaixasoupadasemfunçãodotamanho

da aixa. A dimensão fratal medida para este sistema foi

D

f

= 4/3

(linha sólida). A mudançade omportamentopara dimensão fratal

D

f

= 1

éobtida para grandesesalas de omprimento.

Quando aredede vórtieséexposta aalgumtipode assimetriaespaialoutemporal,

podemos observar uma direção preferenial para o esoamento quando apliamos uma

força externa alernada a om média zero. Esta simetria é responsável por induzir um

efeitode retiação onheido omo efeitoatraa (48).

1.3 Colóides

Os estudos da dinâmia em sistemas oloidais na presença de uma força externa

(36)

exemplo,aquelesempregadosnoproessodemigraçãodepartíulassobainuêniadeum

ampoelétrio(eletroforese)enoproesso deeletro-osmose(55). Dispositivosproduzidos

om estas ténias são utilizadosemgrandeesala naseparação de proteínas e DNA.

A dinâmiade olóidesarregados napresença de um ampo elétrioexterno oorre

através de proessos de não-equilíbrio. Estes sistemassão ideais para se estudaras

tran-siçõesde fase. Estudos reentes (15), baseados em simulações de dinâmiade Langevin,

mostraram que estes sistemas apresentam uma transição ordem-desordem (formação de

leiralanes)quando as partíulas são submetidas a altos valores de amposexternos e

densidades. Esta transição paree ser de primeiraordem, apresentando uma

metaestabi-lidadequepode ser veriada devido àpresença de ilos de histerese neste sistema(15).

Nas Fig. 7 e Fig. 8 mostramos os resultados obtidos por Dzubiella et al. (15) através

desimulaçõesde dinâmiaBrowniana,para umamisturaoloidalsubmetida aumaforça

externa. Na Fig. 7 mostramos a onguração nal das partíulas para diferentes forças

Figura 7: Conguração nal para uma mistura binária de partíulas suspensas em um

sistemabi-dimensionalmovimentandoemsentidos opostos,guraobtidaporJ.Dzubiella

et al. (15). (a) Sistema no estado desordenado, onguração obtida para um ampo

externonulo. (b)Sistemaaindanoestadodesordenado, masagoraomumampoexterno

apliadopróximodoamporítio

f

1

f

c

. () O sistemano estadoordenado, formando leiras. Esta onguração foi obtida para um ampo externo

f

2

> f

1

. Nesta situação, o parâmetro de ordem obtido é (

φ

0.99

). Como podemos ver o sistema apresenta uma transição de ordem-desordem dependendo do ampo força externa. Esta transição de

fase éonheida omo transição de ordenamento dinâmio. Maiores detalhes sobre esses

resultados podem ser enontrados em(15).

externas e na Fig. 8 mostramos a variação do parâmetro de ordem em função da força

externapara diferentes valores de

κσ

, onde

σ

éo diâmetrodas partíulas e

κ

é o inverso do alane do potenial de interação entre as partíulas. Em 8(a) as medidas são feitas

aumentando-seaforçaexterna,omaspartíulasiniialmentedistribuídasaleatoriamente

(37)

elar muitos aspetos importantes, válidos na desrição do movimento de pedestres (41),

de partíulas granulares(12, 16) eda interfae entre uidos (84).

Figura 8: Parâmetro de ordem em função do ampo externo, para diferentes valores do

diâmetrodas partíulas

σ

edo inverso doalanedopotenial

κ

. Estes resultados foram obtidos através de simulações de dinâmia Browniana por J. Dzubiella et al. (15). O

parâmetro de ordem mede o grau de organização do sistema. a) Parâmetro de ordem

obtido para as partíulas iniialmentedistribuídas aleatoriamentee om a força externa

sendo aumentada. (b) Parâmetro de ordem para as partíulas iniialmente organizadas

em duas leiras e om a força externa sendo diminuída gradualmente. Estes resultados

mostrama existênia de uma metaestabilidade, veriada através de ilos de histerese,

indiandoqueestatransição éumatransiçãode fasedeprimeiraordem. Maioresdetalhes

sobre estes resultados podem ser enontrados em(15).

A formação de leiras na dinâmia de misturas binárias de partíulas arregadas

em olóides, que se movimentam em direções opostas devido à apliação de um ampo

elétrio,foi onrmadaexperimentalmentepormeio de visualizaçãoda dinâmiaatravés

de mirosópios onfoais (50). Na ausênia de ampos elétrios externos, as partíulas

emsuspensãoformamumristalbinário(36). Quandooampoelétrioexedeumampo

rítio,aestruturaristalinaédestruídaeaspartíulasformamleirasparalelasaoampo

apliado. Para ampos ainda maiores, as leiras são destruídas e as partíulas entram

em um estado de transporte desordenado, que pode levar a uma obstrução do anal,

impedindootransporte.

NaFig. 9,mostramosodiagramadefasedenão-equilíbrio,ondepodemoslassiaros

diferentes estadosestaionáriosdadinâmiadesistemasoloidaisemfunçãodadensidade

e do alane do potenial de interação (67). A transição observada para altos ampos

externos e para altas onentrações de partíulas paree ser de primeira ordem om a

(38)

Figura 9: Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para uma

mistura binária de olóides arregados, movimentando-se em sentido ontrário devido

à ação de um ampo elétrio externo. Os resultados foram obtidos por simulações de

dinâmiaBrowniana.

κ

éoalanedopoteniale

φ

éafração volumétriadas partíulas. Maioresdetalhes deste gráopodem ser obtidos em(67).

Estudosdotransporte deolóidessuperparamagnétiosatravésde anaisestreitos

re-velam que o gradientede onentração está relaionado om o meanismode redução de

amadasno anal (layer redution) (45). Quando a força externa domina o esoamento,

o meanismo de redução de amadas não pode ser enontrado. No entanto, quando o

transporte oorrer devido a um gradiente de onentração, podemos veriar um

mea-nismo de redução de amadas eas partíulas se organizando emuma rede hexagonal. O

ordenamentohexagonalé atribuídoàinteração das partíulas omváriosvizinhos aoseu

redor, sendo que o alane da interação entre as partíulas é determinado pelo ampo

magnétio externo. Este sistema é ideal para estudarmos o omportamento de sistemas

oletivos,poisvariandooampomagnétioexternomudamosoalanedainteraçãoentre

as partíulas e, onsequentemente, as propriedades estátias e dinâmias deste sistema.

Estes estudos são de fundamental importânia para a ompreensão do meanismo de

transporte em sistemas biológios,omo emanais inios(68).

Na Fig.10 mostramos o perl de densidade e os parâmetros da rede na direção

x

e na direção

y

, obtidos por Köppl et al. (45), para sistemas oloidais de partíulas su-perparamagnétias forçadas a esoar através de um anal estreito. Podemos ver que o

(39)

aolongo dadireção

x

.

Figura 10: Gráo obtido por M. Köppl et al. (45) mostrando o perl de densidade ao

longode umanal estreitoquandoaspartíulas estãoesoando devidoa umgradientede

onentração.

O meanismode layer redution foiobservado iniialmenteporGlassonet al. (23).

A mudança do número de amadas nas proximidades de uma onstrição foi prevista

por simulações da dinâmiade Langevin para partíulas interagindo om o potenial de

Yukawa(61), omo mostra aFig. 11.

Figura 11: Perl de densidade obtido por G. Piaent et al. (61) para um sistema de

partíulasinteragindoomopotenialdeYukawaparadiferentesvaloresdaforçaexterna.

Osestudos daspropriedades de transporte emolóidesemuma estrutura assimétria

indiamummeanismoderetiaçãodomovimentodaspartíulas(efeitoatraa)quando

o movimento dela é induzido por uma força a (53). O meanismo de transporte neste

sistemaéfortementedependente daaberturadoanal e dotamanhodas partíulas (44).

Foiveriado que aveloidade das partíulas rese linearmenteom a freqüênia e om

(40)

(a)

(b)

Figura12: GráosobtidosporC.Marquetet al. (53)mostrandoaretiaçãode

partíu-las mirométrias esoando através de um anal assimétrio omo mostrado em (a), as

partíulassão submetidasa um ampo elétrioa de baixafreqüênia eom média zero.

(a)Designdoanalassimétriousadopararetiaromovimentode partíulasonnadas

em um anal usado por C. Marquet et al. (53). (b) Resultados enontrados por C.

Mar-quetet al. (53), mostrandoadependênia daveloidadede transporte omfreqüêniada

(41)

1.4 Pedestres

Nos últimos anos, a dinâmia de pedestres tem despertado grande interesse na

o-munidade ientía. O aumentoda populaçãonos grandes entros urbanos faz om que

inidentes, omo inêndios, possam se transformar emdesastres se o loal não puder ser

evauado em tempo hábil. Na tentativa de evitar estes desastres, muitos estudos têm

sidofeitosparaviabilizarformas deevauarregiõesdensasefehadas emum intervalode

tempomínimo. Estesestudossãorealizadospormeiosdesimulaçõesnumérias,

analitia-menteeempiriamenteouexperimentalmentepormeio de análisede vídeos. Osmodelos

usadospara estudar adinâmia de pedestres podem ser divididosem duas lasses:

mod-elos ontínuos e modelos disretos. O modelo ontínuo é baseado no modelo de força

soial proposto por Helbing (32). O modelo disreto é baseado na dinâmia onheida

omoautmato elularesuasvariações: oor eldmodel elattie gas model (82,86). Em

geral,adinâmiade pedestres émuitoomplexaedifíilde sermodeladanumeriamente,

poisospedestres estãosujeitosaumgrandenúmerodeinterações. Modelarestessistemas

representa um grande desaopara os pesquisadores desta área.

A modelagemdadinâmia de pedestres é um dos mais exitantes ampos daiênia

e da engenharia. Compreender omo os pedestres se movimentam é de fundamental

importâniaparapodermos nos anteipar evitandodesastres, e para melhoraro uxo de

pessoas em loais públios omo em estações de trens, auditórios, teatros, inemas, et

(35). Foiobservadoquetaissistemasapresentamumatransiçãode faseinduzidaporuma

quebraespontânea dasimetria(85). Os efeitos oletivos nesses sistemassão responsáveis

pelas seguintes fases (57, 82):

ordenada - movimentonaforma de amadasbem denidas lanes

desordenado -movimento turbulento, altamenteresistivo jamming

obstruída- as partíulas estão paradaslogging

Aspropriedadesdadinâmiadepedestres,inluindoosfenmenosdeauto-organização,

têmsido observadasereproduzidasporváriosmétodosfísios. Éimportanteressaltarque

aevauação de pedestresénarealidademuitomais omplexaqueosmodelosusadospara

desreveresta dinâmia. Asirunstânias de perigo epânio sãomuitodifíeisde serem

reproduzidas numeriamente, sendo quase impossíveis de serem veriadas na vida real.

Imagem

Figura 3: Diagrama de fase obtido numeriamente por A. E. Koshelev and V. M. Vinokur
Figura 6: Gráos obtidos por Zapperi et al. publiados em PRL 86, 3622 (2001). O inset
Figura 9: Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para uma
Figura 14: Gráo obtido por D. Helbing et al. publiado na PRL 84, 1240 (2000),
+7

Referências

Documentos relacionados

Depois da auge dos métodos de pantos interiores na resoluç~o do problema de progi.maçEa linear, 6 natural a seguinte pergunta: possfvel cmstnùr urna boa metoddagia

Como o predomínio de consumo energético está no processo de fabricação dos módulos fotovoltaicos, sendo os impactos da ordem de 50 a 80% nesta etapa (WEISSER,

Despite seeds germinated more rapidly at temperatures of 30 and 35 °C, there were no big variations between treatments in the germination index, due to great germination

The main objectives of this data analysis are divided into two classes: i) General Statistics: give an overview of structured information on Wikipedia as a whole, showing raw numbers

Therefore, the analysis of suitability of the existing transportation network for riding bicycle in Coimbra should address two important aspects: (i) identifying

Nossos resultados confirmam a presença de subdivisões no complexo pulvinar em núcleo pulvinar anterior (APul), núcleo pulvinar medial (MPul), núcleo pulvinar lateral

Os espectros de absorção obtidos na faixa do UV-Vis estão apresentados abaixo para as amostras sintetizadas com acetato de zinco e NaOH em comparação com a amostra ZnOref. A Figura

Esta zona é a correspondente às indentações realizadas no perfil 2 da amostra com temper bead apresentando valores de dureza semelhantes ao do metal base mesmo com uma