For¸ ca Eletromotriz

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NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 9 (vers˜ao 02/12/2013)

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For¸ ca Eletromotriz

For¸ca Eletromotriz Indu¸c˜ao Eletromagn´etica

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Similarmente à uma bateria, o gerador é também uma fonte de for¸ca

eletromotriz. Neste tipo de dispositivo, a fem é gerada à partir do movimento de uma espira em uma região com campo magnético, portanto trata-se de uma fem de movimento.

■ A figura abaixo mostra um model primitivo de um gerador: uma espira com resistência R, sendo puxada com velocidade v, onde na região sombreada existe um campo magnético uniforme B, apontando para dentro da página.

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Como a espira como um todo ´e puxada para a direita com velocidade v horizontal, as cargas no segmento devem sentir uma for¸ca magn´etica para cima, dada por

F_mag = qvB yˆ

Essa for¸ca magnética por unidade de carga é a responsável pela origem de uma fem na espira, pois

E = I

f_mag · dl = vB

Z _y+h y

dy = vBh

◆ as for¸cas nos segmentos dc e ad n˜ao contribuem para a integral, visto que elas s˜ao perpendiculares a esses segmentos.

◆ Observe que a integral é realizada com a espira “congelada” (tempo fixo), ou seja, a integral não é realizada com a espira em movimento, pois a fem é definida dessa forma. Portanto, usamos que dl = dy yˆ, que

´e vertical.

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ A for¸ca magnética é a responsável pelo estabelecimento de uma fem, que por sua vez gera uma corrente elétrica I. Por outro lado, existe a dissipa¸cão da energia elétrica no resistor, cuja potência é RI².

■ Se v não vai a zero, algum agente deve fornecer energia ao sistema, para compensar a dissipa¸cão no resistor. Como a for¸ca magnética não realiza trabalho, quem deve ser o responsável pelo fornecimento da energia?

◆ Esta questão remete à discussão realizada na Aula 2, Ex. 1 (pág. 6).

■ Neste exemplo da espira, a energia ´e provida pela pessoa que est´a puxando a espira.

Para verificar isto, observe que com o estabelecimento de uma corrente, a carga em movimento ter´a uma velocidade

w = u + v onde u ´e a velocidade vertical no segmento ab.

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Como a velocidade da carga é w, a for¸ca magnética que atua no segmento ab não é de fato horizontal, mas faz um ângulo θ com o eixo negativo de x. A componente horizontal é quB, para à esquerda.

■ Para que v seja constante, uma for¸ca externa por unidade de carga, f_ext, que puxa o fio, deve cancelar a for¸ca magn´etica por unidade de carga:

f_ext

f_ext = uB xˆ

■ O trabalho infinitesimal realizado pela for¸ca externa sobre uma carga que se move na dire¸c˜ao wˆ ´e f_ext · dl = f_ext sen θdl, pois dl = dlwˆ . Portanto, o

trabalho por unidade de carga realizado pelo agente externo para mover a carga da por¸cão inferior da espira até a por¸cão superior é (observando que l = h/ cosθ). Z

f_ext · dl = f_extlsen θ = uB h

cosθ sen θ

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Como tg θ = v/w, segue que Z

f_ext · dl = vBh = E

Logo, Z

f_mag · dl = Z

f_ext · dl = E

ou seja, as for¸cas acima são diferentes e as duas integrais são realizadas tomando-se caminhos diferentes (veja figura abaixo). No entanto, as integrais dão o mesmo resultado.

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Observe que

◆ f_ext n˜ao contribui para a fem, pois ´e perpendicular ao segmento ab;

◆ f_mag n˜ao contribui para o trabalho, pois ´e perpendicular ao movimento da carga.

■ Há uma forma bastante interessante de se expresar a fem gerada por uma espira em movimento. Se B~ é uniforme, temos que o o fluxo do campo magnético sobre a espira, Φ, é

Φ ≡ Z

B · da = Bhx

■ Se a espira se move para a direita, x diminui e portanto o fluxo magn´etico diminui:

dΦ

dt = Bhdx

dt = −Bhv

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For¸ ca eletromotriz de movimento

Logo, podemos escrever

E = Bhv = −dΦ dt

■ Conforme mostraremos à seguir, o resultado acima vale para qualquer formato de espira movendo-se em uma dire¸cão arbitrária, através de um

campo magnético não necessariamente uniforme. Além disto, nem é preciso manter a forma da espira constante.

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ A figura abaixo mostra uma espira no instante t e no instante logo depois, dado por t + dt.

Superf´ıcie S

Fita

Espira no instante t

Espira no instante t+ dt Amplia¸c˜ao da ´area da

■ Suponha que Φ(t) seja o fluxo do campo magnético no instante t através da superf´ıcie S, enquanto que Φ(t + dt) o fluxo no instante t + dt através da superf´ıcie S mais a da fita.

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Temos que

dΦ(t) = Φ(t + dt) − Φ(t) = Φ_fita = Z

fita

B · da

■ Vamos concentrar a nossa aten¸c˜ao no ponto P da figura da p´ag. anterior.

Observe que no intervalo de tempo dt, ele se move para P^′. Se v for a velocidade da espira e u a velocidade da carga atrav´es do fio, temos que

da = (v × dl)dt

onde dl = dl uˆ. Observe que |da| ´e a ´area infinitesimal sombreada no destaque.

■ Portanto,

dΦ dt =

Z

fita

B · da dt =

Z

fita

B · (v × dl)

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Como dl = dl dˆu, temos que v × dl = w × dl, onde w = v + u., Logo, dΦ

dt = I

B · (w × dl)

onde agora a integral se d´a ao longo da espira.

■ Utilizando a identidade vetorial A · (B × C) = C · (A × B) para o produto triplo, temos que

B · (w × dl) = −(w × B) · dl Portanto,

dΦ

dt = − I

(w × B) · dl

■ Como w × B ´e a for¸ca magn´etica por unidade de carga, tem-se que dΦ

dt = − I

f_mag · dl ⇒ dΦ

dt = −E

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For¸ ca eletromotriz de movimento

■ Observe que existe uma ambiguidade na defini¸cão da fem, dada pela última Eq. na pág. 28 da aula 8, reproduzida aqui:

E ≡ I

f · dl = I

f_f · dl

Qual deve ser o sentido para a integra¸c˜ao ao longo da espira?

■ Similarmente, há uma ambiguidade na determina¸cão do fluxo magnético,

Φ = Z

B · da

pois qual deveria ser o sentido positivo de da?

■ No caso do c´alculo do fluxo, utilize sempre a regra da m˜ao direita. Se os

quatro dedos definem o sentido positivo da corrente, ent˜ao o polegar indica o sentido de da.

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For¸ ca eletromotriz de movimento – exemplo

Ex. 1 Um disco metálico de raio a gira com velocidade angu- lar ω em torno de um eixo vertical, numa região onde existe um campo magnético uniforme B apontando para cima. Um circuito é obtido conectando-se uma extremidade do resistor ao eixo e a outra em um contato deslizante, que toca na borda do disco. Encontre a corrente no resistor.

Contato deslizante

Solu¸c˜ao

■ A velocidade de um ponto do disco a uma distância s do eixo é v = ωs, portanto a for¸ca por unidade de carga nesse ponto é

f_mag = v × B = ωsB ˆs

■ A for¸ca eletromotriz ´e dada por E =

Z

f_mag · dl =

Z a 0

f_magds = ωB

Z a 0

s ds = ωBa² 2

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For¸ ca eletromotriz de movimento – exemplo

■ Logo, a corrente ´e

I = E

R ⇒ I = ωBa² 2R

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Indu¸ c˜ ao Eletromagn´ etica

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A lei de Faraday

■ Em 1831 Faraday relatou uma série de experimentos eletromagnéticos. Sem tomar cuidado com a precisão na história, podemos resumir três deles:

Experimento 1. Ele puxou uma espira para a direita, afastando-a de um ´ım˜a.

Uma corrente apareceu na espira.

Experimento 2. Ele moveu o ´ım˜a para a esquerda, afastando-o da espira.

Novamente, uma corrente apareceu na espira.

Experimento 3. Com ambos em repouso, ´ım˜a e espira, ele mudou a

intensidade do campo magnético (ele usou um eletro´ımã e variou a corrente na bobina). De novo, apareceu uma corrente elétrica na espira.

Vari´avel Magn´etico Campo

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A lei de Faraday

■ O experimento 1 ´e um exemplo de uma fem de movimento,

convenientemente expressa em termos da mudan¸ca do fluxo magn´etico:

E = −dΦ dt

■ O experimento 2 produz o mesmo fluxo do experimento 1, mostrando que o que de fato importa ´e o movimento relativo entre a espira e o ´ım˜a.

◆ Em termos da teoria da relatividade, este resultado ´e totalmente esperado.

◆ Na eletrodinâmica clássica, parece que o resultado é uma mera

coincidência, com uma notável implica¸cão: se a espira se move, então é a for¸ca magnética que dá origem à fem. Contudo, se a espira está em repouso, não há for¸ca magnética atuando nela. Neste caso, quem é o responsável pela fem? Em princ´ıpio, o campo elétrico atua em cargas em repouso, mas aparentemente, não há campo elétrico no sistema.

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A lei de Faraday

■ Faraday inferiu que um campo magnético variável induz um campo elétrico. Faraday encontrou empiricamente a equa¸cão

E = I

E · dl = −dΦ

dt ⇒

I

E · dl = −

Z ∂B

∂t · da

que ´e a chamada lei de Faraday na forma integral.

■ Utilizando-se o teorema de Stokes, podemos encontrar a forma diferencial da lei de Faraday:

∇ × E = −∂B

∂t

◆ Observe que a lei de Faraday se resume `a forma

∇ × E = 0

no caso em que o campo magnético é constante, como na eletrostática.

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A lei de Faraday

■ No experimento 3 o campo magnético muda por um outro motivo, mas de acordo com a lei de Faraday, haverá novamente a indu¸cão de um campo elétrico.

■ Podemos explicar todos os três casos através da expressão

E = −dΦ dt

qualquer que seja o motivo da varia¸c˜ao do fluxo magn´etico com o tempo.

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A lei de Faraday – exemplo

Ex. 2 Um longo ´ımã cil´ındrico de comprimento L e raio a possui uma magnetiza¸cão M uniforme paralela ao seu eixo. Ele passa à velocidade constante através de um anel circular com um diâmetro ligeiramente maior do que o do cilindro (veja figura ao lado). Fa¸ca o gráfico da fem induzida no anel em fun¸cão do tempo.

Solu¸c˜ao

■ Dada a magnetiza¸cão, podemos obter as densidades de corrente volumétrica e superficial de magnetiza¸cão através das expressões:

J_m = ∇ × M e K_m = M × nˆ

■ Como M ´e uniforme, tem-se que

J = 0 e K = M φˆ

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A lei de Faraday – exemplo

■ Ou seja, o campo magnético é similar ao de um solenóide longo com n voltas por comprimento, conduzindo uma corrente I. O campo magnético fora é zero e dentro possui valor constante (exceto na borda), dado por

B = µ⁰nI

Neste caso, nI = K_m = M. Logo, B = µ0M para s ≤ a. Na borda, as linhas do campo magn´etico se divergem.

■ O fluxo através do anel é zero quando o ´ımã está longe, aumenta até um valor máximo quando a borda do ´ımã passa pelo anel, permanece constante até que a outra extremidade passe pelo anel e à seguir cai para zero. O valor máximo é

Φ_m´_ax = Z

B · da = Bπa² = µ⁰M πa²

■ Como E = −dΦ/dt, podemos obter graficamente o comportamento da fem em fun¸c˜ao do tempo, se tivermos o gr´afico de Φ versus t.

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A lei de Faraday – exemplo

■ Os gráficos abaixo reproduzem o comportamento do fluxo magnético e a fem em fun¸cão do tempo.

t Φ

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Referˆ encias

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.