Mais Sobre Valores Extremos

Mais Sobre Valores Extremos

Kuruvilla Joseph Abraham (abraham@fmrp.usp.br)

Aula 15 5950253

Plano da Aula

• Valores Extremos de Funções

• Teorema de Rolle

• Funções Crescentes e Decrescentes

• Teste de Primeira Derivada

• Exercícios Referências

James StewartCálculoVolume I (Cengage Learning) George B. ThomasCálculoVol. I (Pearson)

Valores Extremos I

Aula Anterior: Ponto Crítico definido como valor dex em que f⁰(x) =0 ou não definida. Os únicos locais (valores dex) em que a funçãof o pode ter valores extremos

(locais ou globais) são

• Extremidades do domínio def

• pontos críticos def(x)

Valores Extremos II

Cuidado: Ponto Crítico não significa valor extremo !!!

Casoy =f(x) =x³no domínio[−3,3]

f⁰(x) =3x²ef⁰(x) =0 casox =0 f(x)tem um valor extremo emx =0 ?

Valores Extremos III

x y

●

●

●

A funçãoy =x³tem um valor extremo em(0,0)?

Valores Extremos IV

A primeira derivada da funçãoy =f(x) =x^(1/3) =√³ x

é dado pelo 1 3

1

x^2/3

= 1 3

1

√3

x²

f⁰(x =0)não esta definido. x =0 é um ponto crítico.

A função não apresenta nenhum valor extremo nesse ponto.

Valores Extremos V

x y

●

●

●

A funçãoy =x^1/3tem um valor extremo em(x =0,y =0)?

Valores Extremos VI

Nos exemplos anteriores:

y =f(x) =x^1/3em um intervalo aberto ao redor dex =0 f(x =0) =0 ef(x >0)>0 ef(x <0)<0

Alguns pontosx ao redor dox =0 tem valores f(x)>0 e outros pontos tem valoresf(x)<0.

Não consistente com o requerimento de ser um máximo (ou mínimo) local. A função y =f(x) =x³casox =0 é semelhante.

Valores Extremos VII

As vezes um ponto crítico pode ser crítico por causa

da primeira derivada não definida. Esse ponto também pode um valor extremo. Por exemplo a funçãoy =f(x) =x^2/3 tem primeira derivadaf⁰(x) = ²₃x^−1/3. O valorf⁰(x =0) não é definida. Masx =0 é um mínimo absoluto de funçãof(x) =x^2/3

Valores Extremos VIII

x y

●

●

●

A funçãoy =x^2/3tem um valor extremo em(x =0,y =0)?

Valores Extremos IX

A funçãoy =f(x) =x^(2/3)= ³

√ x²

tem um mínimo absoluto e mínimo local emx =0 porque para qualquer valor dox (positivo ou negativo)

ao redor do zero os valores dof(x)são maior do que o valorf(0). O comportamento da função

y =f(x) =x³ao redor do 0 é diferente. Por causa disso f(x) =x³não possui um mínimo local emx =0 mas a funçãof(x) =x^2/3possui um mínimo local emx =0 (e também um mínimo global).

Valores Extremos X

A funçãoy =f(x) =x^(2/3)= ³

√

x² tem um ponto crítico emx =0 porquef⁰(x)não existe emx =0.

A funçãoy =f(x) =x²tem um ponto crítico emx =0 porquef(x =0) =0

Em ambos casos o ponto crítico é um mínimo local e também um mínimo absoluto.

Valores Extremos XI

Como determinar os valores máximo e mínimo absoluto de funçãof(x) =10x(2−ln(x))no intervalo fechado

1,e²

?

• Os valores def(x)nas extremidades são 20 e 0

• A primeira derivadaf⁰(x)é igual(10−10ln(x))

• O domínio def⁰(x)é(0,∞) abrange 1,e²

• f(Ponto Crítico) =f(e) =10e; 10(e)>0 10e>20 Máximo Absoluto ocorre emx =e

Mínimo Absoluto ocorre emx =e²

Valores Extremos XII

x y

●

●

●

x=e

A funçãoy =f(x) =10x(2−ln(x))tem um valor extremo (máximo absoluto) em(e,f(e))

Teorema de Rolle I

Suponha quey =f(x)seja contínua em todos os pontos do intervalo fechado[a,b]e é derivável em todos

os pontos de(a,b). Sef(a) =f(b)então há

pelo menos um númeroc em(a,b)no qualf⁰(c) =0

Teorema de Rolle II

A equaçãox³+3x+1=0 não tem duas soluções distintos.

Como comprovar ? Vamos supor quef(x) =x³+3x+1 e f(a) =0 ef(b) =0 ea6=b. Segundo a teorema de Rolle existe um valorc em(a,b)tais quef⁰(c) =0.

f⁰(x) =3x²+3 ef⁰(x)>0 independente do valor dox. Conclusão ?

Teorema de Rolle III

A equaçãoy =x²−4=0 tem raízesx =±2

Segundo a teorema de Rolle há um valorc (−2<c<2)tais que o valor de primeira derivada de funçãof(x) =x²−4 emx =c é igual 0. É assim mesmo ?

Sim.f⁰(x)=2x f⁰(x)=0=⇒ x=0 c=0 (−2<c<2)

Teorema de Rolle IV

A equaçãoy =x³−33x²+216x =0 tem raízesx =0,9 e 24 A primeira derivada de funçãof(x) =x³−33x²+216x é igual 3x²−66x+216 f⁰(x) =0 parax =?

Esses resultados são consistentes com a teorema de Rolle ?

Sim3x²−66x+216=0 =⇒x=4 ou x=18 0<4<9; 9<18<24

Funções Crescentes e Decrescentes I

Suponha quef seja contínua em[a,b]e derivável em(a,b)

• Sef⁰(x)>0 em cada pontox em(a,b) entãof e crescente em[a,b]

• Sef⁰(x)<0 em cada pontox em(a,b) entãof e decrescente em[a,b]

A funçãof(x) =x³−x é decrescente em[(−1/√ 3),(1/√

3)]

Funções Crescentes e Decrescentes II

Determine os ponto críticos de funçãof(x) =x³−12x −5 e identifique os intervalos em quef e crescente e

f é decrescente.

f⁰(x) =3x²−12 ef⁰(x) =0 casox =±2.

f⁰(x)<0 =⇒ |x |<2 f⁰(x)>0 =⇒ |x |>2 f(x)é crescente no intervalo(−2,2)

Teste de primeira derivada para extremos locais I

Suponha quec seja um ponto crítico de uma função contínuaf e quef seja derivável em qualquer ponto de um interval

que contenhac, exceto possivelmente no próprio pontoc.

Deslocando-se ao longo desse intervalo da esquerda para a direita,

1. sef⁰ passa de negativa a positiva emc significaf possui mínimo local emc 2. sef⁰ passa de positiva a negativa emc significaf possui máximo local emc 3. sef⁰ não muda de sinal emc significaf não tem extremo local emc

Exemplo I

f(x) =x²→f⁰(x) =2x f⁰(x) =0 casox =0 f⁰(x)casox <0 é negativa f⁰(x)casox >0 é positiva

Entãof(x)possui mínimo local emx =0 Função decrescente casox <0

Função crescente casox >0

Exemplo II

f(x) =−x²→f⁰(x) =−2x f⁰(x) =0 casox =0 f⁰(x)casox <0 é positiva f⁰(x)casox >0 é negativa

Entãof(x)possui máximo local emx =0 Função decrescente casox >0

Função crescente casox <0

Exemplo III

f(x) =x³→f⁰(x) =3x² f⁰(x) =0 casox =0 f⁰(x)casox <0 é positiva

f⁰(x)casox >0 é também positiva

A sinal não muda,f não tem extremo local emx =0 Função crescente

Exemplo IV

f(x) = (x²−3)e^x →f⁰(x) = (x²+2x−3)e^x = (x+3)(x−1)e^x f(x) =0 casox =−3 oux =1 (os únicos pontos críticos) f⁰(x)<0 (0<x <1)e;f⁰(x)>0(x >1)

então mínimo local emx =1

f⁰(x)>0 (x <−3)ef⁰(x)<0 (−3<x <0) então máximo local emx =−3

Função decrescente(−3<x <1)

Exemplo V

x y

●

●

f(x) = (x²−3)e^x (x =−3) (x =1)

Exemplo VI

Próximo Exemplo:f(x) =x^1/3(x−4) f⁰(x) = ⁴₃x^1/3−⁴₃x^−2/3 f⁰(x) = 4

3(x^(−2/3)x−x^(−2/3)) = 4x^(−2/3)

3 (x −1) = 4(x−1) 3x^2/3 Sef⁰(x) = 4(x−1)

3x^(2/3) os pontos críticos def(x) sãox =1 ex =0.

Casox <0 f⁰(x)<0 função decrescente Caso 0<x <1 f⁰(x)<0 função decrescente Casox >1 f⁰(x)>0 função crescente A função tem um mínimo local emx =1

Exemplo VII

x y

●

●

f(x) =x^1/3(x−4) (x =0) (x =1)

Exercícios I

Mostre que as funções em seguir tem exatamente uma raiz (f(x) =0)no intervalo dado

Se há uma mudança no sinal nas extremidades do intervalo há pelo menos uma raiz pelo

Teorema de Valor Intermediario. Se tem 2 (ou mais) raízes no intervalo, tem várias valores dexcomf(x)iguais.

Então pelo Teorema de Rolle 2 ou mais raízes significa pelo menos um valor dox no intervalo com f0(x)=0

• f(x) =x⁴+3x+1 [−2,−1]

f(−2)>0 f(−1)<0 Com certeza pelo menos uma raíz no intervalo. f0

(x)=(4x3+3) f0(x)sempre negativo no intervalo, nunca igual 0. Mais que uma raiz impossível

• f(x) =x³+4/x²+7 (−∞,0)

f(−∞)<0 f(0)>0 Com certeza pelo menos uma raíz no intervalo. f0(x)=(3x2−8/x) f0(x)sempre positivo no intervalo, nunca igual 0. Mais que uma raiz impossível

• f(x) =√ t+√

1+t−4 (0,∞,)

f(0)<0 f(∞)>0 Com certeza pelo menos uma raíz no intervalo. f0(x)= 1 2√

t+ 1

2√ 1+t f0(x)sempre positivo no intervalo, nunca igual 0. Mais que uma raiz impossível

Exercícios II

Quais são os pontos críticos das funções cujas primeiras derivadas são dados abaixo

• f⁰(x) =x^−1/3(x +2)Pontos críticosx=0 x=−2

Crescentex>0 x<−2;Decrescente−2<x<0

• f⁰(x) =x^−1/2(x −3)Pontos críticosx=0 x=3

Crescentex>3Decrescente0<x<3

• f⁰(x) =3−6/√

x (x 6=0)Pontos críticosx=0 x=4

Crescentex>4Decrescente0<x<4

• f⁰(x) =x(x −1) Pontos críticosx=0 x=1

Crescentex>1 x<0;Decrescente0<x<1

• f⁰(x) = (x −1)(x+2) Pontos críticosx=1 x=−2

Crescentex>1 x<−2;Decrescente−2<x<1

Em quais intervalos são as funções acima crescente ou decrescente ?