SÉRIES DE POTÊNCIA E SUA APLICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE EDO’S

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE ANGICOS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS E

TECNOLOGICAS DA INFORMAÇÃO

CURSO INTERDISCIPLINAR EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

MAYKE SOMBRA BARBOSA

SÉRIES DE POTÊNCIA E SUA APLICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE EDO’S

ANGICOS – RN

2019

SÉRIES DE POTÊNCIA E SUA APLICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE EDO’S

Monografia apresentada à Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA, Campus Angicos, para a obtenção do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia.

Orientador: Prof. Me. Jakcney Luan Azevedo de Sousa, UFERSA-Angicos.

ANGICOS – RN

2019

que regulamentam a Propriedade Intelectual, respectivamente, Patentes: Lei n° 9.279/1996 e Direitos Autorais: Lei n°

9.610/1998. O conteúdo desta obra tomar-se-á de domínio público após a data de defesa e homologação da sua respectiva ata. A mesma poderá servir de base literária para novas pesquisas, desde que a obra e seu (a) respectivo (a) autor (a) sejam devidamente citados e mencionados os seus créditos bibliográficos.

B228s Barbosa, Mayke.

SÉRIES DE POTÊNCIA E SUA APLICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE EDO?S / Mayke Barbosa. - 2019.

76 f. : il.

Orientador: Jakcney Sousa.

Monografia (graduação) - Universidade Federal Rural do Semi-árido, Curso de Ciência e Tecnologia, 2019.

1. Séries de Potências. 2. Equações Diferenciais.

3. Séries Numéricas. I. Sousa, Jakcney , orient. II.

Título.

O serviço de Geração Automática de Ficha Catalográfica para Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC´s) foi desenvolvido pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo (USP) e gentilmente cedido para o Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal Rural do Semi-Árido (SISBI-UFERSA), sendo customizado pela Superintendência de Tecnologia da Informação e Comunicação (SUTIC) sob orientação dos bibliotecários da instituição para ser adaptado às necessidades dos alunos dos Cursos de Graduação e Programas de Pós-Graduação da Universidade.

A Deus, pela sua infinita proteção, amor e saúde.

A Marcos Antônio Pereira Barbosa, meu pai, a quem tenho uma grande admiração.

A Maria Dorinha Lopes Sombra, minha mãe, a quem tenho um forte carinho e amor.

E aos meus familiares e amigos, pelo constate

incentivo e ajuda durante a conquista deste

projeto de vida.

Aos meus familiares por acreditarem nos meus sonhos e no meu potencial mesmo diante de todas as dificuldades diárias, pelo constante incentivo e preocupação.

Agradeço imensamente a Jeane Vitoria por me auxiliar em algumas medidas realizadas para o desenvolvimento do mesmo.

A Jakcney Luan Azevedo de Sousa, meu orientador, que com seu grande empenho e ajuda, contribuiu significativamente para o desenvolvimento deste trabalho.

A Tony Kleverson Nogueira e a Isabelly Camila Diniz de Oliveira Farias, membros avaliadores de meu Trabalho de Conclusão de Curso, que com os seus desempenhos ajudaram bastante na melhoria do mesmo.

Agradeço aos meus amigos Clailton Mateus e João Marcos por me apoiarem e ajudarem com o Trabalho de Conclusão de Curso.

As demais pessoas a quem tenho um forte apreço, que aqui não foram citados,

deixo os meus sinceros agradecimentos, pois tenho a plena certeza que ambos torceram

pela conquista.

“A menor semente de uma ideia pode crescer para definir ou destruir você”.

A Origem

O referente trabalho apresenta como principal propósito um meio alternativo para resolução e Equações Diferenciais através das Séries de Potências. A pesquisa é baseada em sequência de caráter bibliográfico. Foram utilizados como fonte de pesquisa livros e Trabalho de Conclusão de Curso de outros autores para a complementação bibliográfica.

Antecedendo o objetivo principal do mesmo foi retratado uma pouco da história das Sequências e Séries e das Equações Diferenciais. Recordamos alguns conceitos tidos como pré-requisitos ao nosso tema de estudo, foram definidos e demonstrados todos os teoremas sobre Sequências e Séries, Série de Potências além de alguns de suma importância sobre Equações Diferencias destinados ao entendimento destas para melhor compreensão do trabalho. O intuito do mesmo não é somente a obtenção do diploma, mas também de servir como material de estudo para futuros leitores da área. Conclui-se então que o método apresentado é eficaz pois trata-se de uma maneira alternativa para resolução de equações convencionais e de outras não podem ser resolvidas pelos métodos comuns do Cálculo Diferencial e Integral.

Palavras-Chave: Equações Diferenciais. Sequências e Séries. Séries de Potência.

The work referent presents as main goal an alternative means for resolution and Differential Equations through the Potency Séries. The research is based on a bibliographic sequence. We used as source of books research and Work of Conclusion of Course of other authors for the bibliographical complementation. In advance of the main goal of the same was portrayed a little of the history of the Sequences and Series of Differential Equations. We recall some concepts considered as prerequisite to our study topic, all the theorems on Sequences and Séries, Potency Séries and some of the most important on Equations were defined and demonstrated. Differences intended to understand these to better understand the work. The goal of this is not only to obtain a diploma, but also to serve as study material for future readers of the area. It is concluded that the presented method is effective because it is an alternative way to solve conventional equations and others it can not be solved by the common methods of Differential Calculus and Integral.

Keywords: Differential Equations. Potency Séries. Sequences and Séries.

ED Equação Diferencial

EDO Equação Diferencial Ordinária EDP Equação Diferencial Parcial PVI Problema de Valor Inicial

UFERSA Universidade Federal Rural do Semi - Árido

𝛴 Somatório

ℕ Conjunto dos números naturais

∞ Infinito

≤ Menor que

≥ Maior que

∀ para todos

∈ Pertence

∫ Integral 𝑓 Função 𝑓(𝑥) Função de 𝑥

ℝ Conjunto dos números reais

1. INTRODUÇÃO ... 13

2. HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENÇIAIS ORDINÁRIAS E DAS SEQUÊNCIAS E SÉRIE ... 15

2.1 Sequências e Séries ... 15

2.2 Equações diferenciais ... 18

3 CONCEITOS BÁSICOS ... 22

3.1 Sequência e séries ... 22

3.1.2 Progressão geométrica de razão de Q ... 22

3.1.3 Limite de uma sequência ... 24

3.2 Séries Numéricas ... 27

3.3 Equações Diferençiais ... 39

3.3.1. Solução de uma equação diferencial (ED) ... 40

3.3.2 Problemas de valor inicial e problemas de valores no contorno ... 41

3.3.3 Equações Lineares ... 41

3.3.4 Aplicações de Equações Diferenciais de primeira ordem ... 43

3.3.5 Equações Diferenciais lineares de segunda ordem ... 45

3.3.6 Equações Lineares homogêneas com coeficientes constantes ... 47

3.3.7 Equações características com raízes reais diferentes ... 48

3.3.8 Equações Características com raízes iguais... 49

3.3.9 Equações Características com raízes complexas ... 51

3.3.10 Equações Lineares não-homogêneas com coeficientes constantes ... 52

4. SÉRIES E POTÊNCIAS E APLICAÇÕES ... 55

4.1 Séries e potências... 55

4.2 Representação de funções com séries de potências ... 59

4.3 Série de Taylor e de Maclaurin... 62

4.4 Aplicação na resolução das EDO’s ... 65

5. CONCLUSÃO ... 74

6. BIBLIOGRAFIA ... 75

1. INTRODUÇÃO

Na área de exatas, observamos diversos tipos de problemas matemáticos. Para alguns deles, existem estratégias para resolvê-los. As séries de potência surgem para resolução de vários destes problemas, ou seja, auxilia na resolução de algumas equações, com a ajuda das séries podemos expressar as soluções destas equações com coeficientes variáveis.

As sequências e séries em passou por vários desenvolvimentos para chegar ao que ela é hoje. Alguns dos matemáticos que contribuíram para sua formação são: Fibonacci (1170--1240); Oresme (1325--1382); Pascal (1623--1662); Newton (1642--1727); Brook Taylor (1685--1731); Euler (1707--1783); entre outros tão quão importantes como esses citados.

Uma série de potências de x é uma série da forma:

∑ =

+∞

𝑛=0

𝑎

+ 𝑎

(𝑥 − 𝑥

) + 𝑎

(𝑥 − 𝑥

)

+ ⋯

Observe que esta série pode ser vista como a generalização de um polinômio. O principal objetivo de estudar essas séries é a possibilidade de representar uma função dada como uma série de potências. Estamos interessados em saber, se para certo n muito grande, o termo fica próximo de algum número real. Esta é a noção de uma sequência que damos a seguir. Veremos que essa estratégia é útil para integrar funções que não têm anti- derivadas elementares e para aproximar as funções por polinômios.

O presente trabalho busca, através de revisões bibliográficas e pequenas pesquisas demonstrar a importância da aplicação das séries de potências no âmbito educacional da UFERSA - campus Angicos. Juntamente com todo o embasamento teórico e o aproveitamento também de teoremas matemáticos, a apresentação de exemplos na resolução de EDO’s pelo meio de série de potência, integrais, série de Taylor e MacLaurin.

No final elas envolvem a soma de um número infinito de termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de números.

Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das Equações Diferencias e suas

soluções. Por esta razão estamos buscando uma forma alternativa para expressar as soluções, como soma de série de potências.

Através da utilização das séries de potencias buscaremos resolver problemas de

engenharia, física, matemática e entre outras áreas, que fazem uso das Equações

Diferenciais, estas com soluções indeterminadas.

2. HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENÇIAIS ORDINÁRIAS E DAS SEQUÊNCIAS E SÉRIE

A Matemática, criada a milhares de anos, tem desempenhado um papel fundamental em nosso cotidiano, desde sua descoberta até os dias atuais. A princípio, criada pelo homem por meio de sua necessidade de contar e medir, mas que, com o passar dos anos, vem evoluindo com novos conceitos e técnicas desenvolvidos por seus vários estudiosos.

O conhecimento matemático tem seu destaque histórico na evolução da humanidade. A Matemática como ciência está na importância de se pensar em como a humanidade pode se apropriar desse conhecimento para fazer uso dele. Ela tem um papel histórico importante no desenvolvimento da sociedade.

Neste capitulo falaremos um pouco sobre a história das EDO’s e das Sequências e série explanando um pouco o tema desde antiguidade até os dias atuais, onde utiliza-se destas para resoluções de diversos problemas.

2.1 Sequências e Séries

A aparição de uma sequência na história da humanidade é muito antiga. Um dos primeiros registros aparece no conhecido Papiro de Rhind. O Papiro de Rhind (ou Ahmes), aproximadamente 1650 a.C., é um texto matemático na forma de um manual prático que contém 85 problemas, sendo uma fonte primária rica sobre a Matemática egípcia antiga (EVES, 2004, p. 69). Em seu 79º problema, cuja interpretação não é tão precisa, aparecem os seguintes dados:

Bens

Casas 7

Gatos 49

Ratos 343

Espigas de trigo 2401

Hectares de grãos 16807

19607

Esse conjunto de dados foi interpretado por um historiador da Matemática, o

alemão Moritz Cantor, em 1907, como sendo a formulação de algo do tipo: “Uma relação

de bens consistia em sete casas; cada casa tinha sete gatos; cada gato comeu sete ratos;

cada rato comeu sete espigas de trigo; cada espiga de trigo produzia sete hectares de grãos. Casas, gatos, ratos, espigas de trigo e hectares de grãos, quanto havia disso tudo?”

(EVES, 2004, p. 76). Podemos perceber que esses números caracterizam uma sequência finita que, com a notação de sequência que utilizamos atualmente, se escreve como a

= 7

, em que n representa a ordem dos fatos ocorridos no problema. A pergunta “quanto havia disso tudo?” nos permite estabelecer uma relação com a soma dos termos da sequência, ou seja, com a série de finitos termos.

Na obra de Arquimedes (287-212 a.C) encontramos estudos relacionados às ideias de sequências. Boyer (2012, p.s 99 – 110) relata que um deles buscou determinar a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo para obtenção do valor de π. O processo usado por Arquimedes foi inscrever e circunscrever polígonos regulares no círculo, calculando seus perímetros. Iniciando com o hexágono, Arquimedes foi dobrando sucessivamente o número de lados dos polígonos, até chegar a noventa e seis lados. Nesse processo iterativo chegou ao algoritmo de Arquimedes escrevendo a sequência P

, p

, P

, p

, P

, p

, ... em que P

e p

são, respectivamente, os perímetros dos polígonos regulares circunscritos e inscritos de n lados. Com isso, Arquimedes chegou a uma aproximação para o valor de π expressa na desigualdade 223/71 < π < 220/70. No entanto, ele não falava de processos infinitos, pois os mesmos eram mal vistos em seu tempo. Embora Boyer não fale em convergência das sequências, interpretamos que no caso descrito esse conceito está implícito.

Outro exemplo de sequência na História são os números triangulares e os números quadrados, que são atribuídos aos membros mais antigos da escola pitagórica, por volta dos anos 500 a.C. a 400 a.C.. Podemos ver suas construções na Figura 01 e na Figura 02, respectivamente.

Figura 01: Números triangulares Fonte: Elaborada pela autora.

Figura 02: Números quadrados Fonte: Elaborada pela autora.

Esses números, “que expressam o número de pontos em certas configurações geométricas, representam um elo entre a geometria e a aritmética” (EVES, 2004, p. 100).

Com eles, conseguimos dois tipos de sequências infinitas: nos números triangulares temos uma sequência recursiva do tipo a

= a

+ n e nos números quadrados temos a sequência a

= n

, sendo a

o número de pontos em cada figura e n a ordem da figura.

As sequências também aparecem na obra de Leonardo de Pisa (1180-1250), mais conhecido como Fibonacci. Segundo Boyer (2012, p.s 181 – 183), Fibonacci escreveu um livro em 1202, intitulado Liver abaci (ou Livro do Ábaco). Esse livro trata de métodos e problemas algébricos em que o uso de numerais indo-arábicos é recomendado. Outro, talvez um dos mais conhecidos, era: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?” (BOYER, 2012, p. 182). Esse problema deu origem à sequência de Fibonacci, {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an, ...} em que an = a

+ a

. Sobre essa sequência pode-se provar que dois termos consecutivos.

É possível observar, por meio de toda história relatada, que ideias relativas a

sequências e séries estão presentes na história da Matemática por mais de três mil anos e

que esses dois conteúdos foram ferramentas importantes para o desenvolvimento do

Cálculo. A aprendizagem desses conceitos nos cursos superiores é de extrema

importância, uma vez que conceitos relacionados aos processos infinitos e convergência

constituem fundamentos para os conteúdos de Cálculo.

2.2 Equações diferenciais

O estudo das Equações Diferenciais começou durante o século XVII com o conhecimento do cálculo por meio dos matemáticos Newton e Leibniz. A pesquisa classifica-se como sendo de natureza qualitativa, em razão de nossos objetivos, e como método adotamos a análise bibliográfica.

De várias maneiras, Equações Diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que Equações Diferenciais são importantes tanto para matemáticas puras enquanto para a aplicada.

Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento.

Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das ideias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram ideias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século 18 de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa.

A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton e Leibniz. A

partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e

notação para derivada, logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo,

descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações

simbólicas simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (anti-

derivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu ajuda direta

apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método

de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por

Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século XVII focalizaram estes casos

especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para aqueles

que os seguiram.

Ao redor do início do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de Equações Diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas da astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu Equações Diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as Equações Diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e o princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos, contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das Equações Diferenciais.

No início do século XVIII, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de Equações Diferenciais. Contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinquenta anos de Equações Diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das Equações Diferenciais precisava de um mestre para

consolidar generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas para

atacar grandes famílias de equações. Muitas equações pareciam amigáveis, mas tornaram-

se decepcionantemente difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram

perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das Equações

Diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu

entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler entendeu o papel e a

estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidamente achou que

funções eram a chave para entender Equações Diferenciais e desenvolver métodos para

suas resoluções. Usando seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de Equações Diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados fora etapas fundamentais para desenvolver este assunto.

Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todas as equações.

Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele foi o mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna. Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das ideias de Euler. Em 1748, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as Equações Diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu Equações Diferenciais Parciais (EDP) e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações.

Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e

estendendo resultados em mecânica, especialmente equações de movimento (problema

dos três corpos) e energia potencial. As maiores contribuições de Lagrange foram

provavelmente na definição de função e propriedades, o que manteve o interesse em

generalizar métodos e analisar novas famílias de equações diferenciais. Lagrange sendo,

provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico ferramentas suficientes

para ser um verdadeiro analista de Equações Diferenciais. Em 1788, ele introduziu

equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações

de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais

avanços, incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento de

integração. Em 1799, introduziu as ideias de um laplaciano de uma função. Laplace

claramente reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler,

ele é nosso mestre". O trabalho de Lagrange sobre Equações Diferenciais foi motivado

pelo movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades iniciais.

À medida que o final do século XIX se aproximava, os principais esforços em

Equações Diferenciais se moveram para um plano teórico.

3. CONCEITOS BÁSICOS

Neste capítulo, faremos um estudo dos conceitos básicos que nos auxiliarão em nosso objetivo, que é a resolução de EDO’s por séries e potências. Para tanto, explicitaremos a teoria básica das Equações Diferenciais, das sequências e séries numéricas possam nos ajudar.

Todas as definições apresentadas no capitulo foram tomadas como base de sustentação as obras dos autores Anton, Bivens e Davis (2007), Flemming e Leithold (1994).

3.1 Sequência e séries

Definição: Uma sequência de números reais é uma função a: ℕ→𝑅 que associa, a cada número natural n, um número real a(

), indicado por a

, o qual chamaremos de n-ésimo termo ou termo geral da sequência. Usamos a notação (a

)

para representar a sequência de números reais (a

, a

, a

, ..., a

, ...).

Observação: Assim como o conjunto dos números naturais, uma sequência possui infinitos termos.

Exemplo: A função 𝑎(𝑛) = 2

representa a sequência dos números pares.

(a

)

= (0, 2, 4, 6, 8 ...).

Observação: Como toda função, a cada regra distinta obtemos uma sequência diferente.

Exemplo: A função 𝑎(𝑛) =

𝑛

nos fornece a sequência (

𝑛

) 𝑛 ∈ ℝ =(1,

2

,

3

,

4

, …).

Exemplo: A função 𝑎(𝑛) = q

, com 𝑞 ∈ ℝ, representa a sequência (q

)

∈

= (1, q, q²,..., q

).

3.1.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE RAZÃO Q

Observação: Quando convergente, começamos a aplicar o dos naturais pelo número 1.

Observação: É importante não confundimos a sequência numérica (infinito termos) com

o conjunto formado pelos termos da sequência.

Exemplo: A sequência cujo termo geral é a

= (−1)

é dado por ((−1)

)

∈

= (1, - 1, 1, -1,...) enquanto o conjunto dos termos dessa sequência é {-1,1} (imagem da função que define a sequência) que é um conjunto finito.

Vejamos algumas definições importantes

Definição: Seja (a

)

∈

uma sequência, dizemos que (a

)

∈

é não-crescente (decrescente) gerando, para todo n∈ ℕ, tivermos a

≥ a

+1(a

> a

). (a

)n∈ ℕ é dita não-decrescente (crescente) se a

≤ a

+1(a

< a

) para todo n∈ ℕ. Se (a

)

∈

é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente, dizemos que ela é monótona.

Exemplo: A sequência (a

) =

𝑛

é monótona decrescente, pois (a

) =

𝑛

>

𝑛+1

→ a

Definição: uma sequência (a

)

∈

é dita limitada se o conjunto dos pontos da sequência é limitado, isto é, se existe o número real M>0 tal que:

|a

| ≤ M ; ∀ n ∈ ℕ Exemplo: A sequência (a

) =

𝑛

é limitada, pois |

𝑛

| ≤ 1 para todo n∈ ℕ.

Exemplo: A sequência de Fibonacci, definida como decorrência a

, a

e a

= a

+ a

, para n≥2 é limitada.

De fato, note que a sequência é estritamente crescente para n≥2.

(a

)

= (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)

Definição: Uma sequência de uma sequência (a

) é a restrição da mesma a um subconjunto infinito ℕ

= {n

<n

< ...< n

<...} ∈ ℕ .

Escrevemos (a

)

∈

= ( a

, a

, a

, ..., a

, ... ) para denotar uma subsequência.

Exemplo: Consideramos a sequência ((−1)

)

∈

= (1, -1, 1, -1, ...).

ℙ= {0, 2, 4, 6, ...} o subconjunto infinito de ℕ formado pelos naturais pares e 𝐼= {1,3,5,7, ...} o subconjunto de ℕ formado pelos números ímpares.

Para estes subconjuntos temos as seguintes subsequências de ((−1)

)

∈

((−1)

)

∈ ℙ = (1, 1, 1, ...,1, ...) e ((−1)

)

∈ 𝐼 = (-1, -1, -1, -1, ...).

A partir de agora, estamos interessados em saber se, para n suficientemente grande, os termos a

, de uma sequência estão arbitrariamente próximos de algum número real. Essa aproximação se dá através de um limite.

Vejamos, formalmente, como funciona essa aproximação e sob quais condições podemos garantir uma margem aproximada, arbitrária, dos termos de uma sequência a um número real.

3.1.3 LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA

Definição: Dizemos que um número real L é o limite de uma sequência (a

)

∈

se, para cada ε >0 existir n

∈ ℝ, tal que

| an – L| < 𝜀 , ∀ n>n

Neste caso, dizemos que o limite da função a

é L e denotamos por lim

𝑛→∞

an = L.

Quando existe lim

𝑛→∞

an = L, dizemos que a sequência (a

)

converge para o valor L. Caso contrário, dizemos que (a

)

∈

diverge.

Exemplo: A sequência (a

)

∈

=

𝑛

converge para o número 0.

De fato, dado ε >0, temos que

|a

– 0| < ε ⇔ |

𝑛

- 0 | < ε

⇔ |

𝑛

| < ε

⇔

< ε

⇔ n> |

| Assim, tomando n

>

ε

, temos satisfeita a definição de sequência é nesse caso converge para zero.

Após entendido a definição de limite de uma sequência, vejamos alguns resultados que caracterizam ainda mais a convergência.

Teorema: (Unidade do limite) O limite de uma sequência, quando existe, é único.

Demonstração: Suponhamos que (a

)

∈

é uma sequência de números tal que

𝑛→∞

lim 𝑎

= L e lim

𝑛→∞

𝑎

= L′, com L ≠ L’.

Assim, dado ε >0, existe em n

, n

∈ ℕ tais que n > n

⇔ |a

- L| e n > n

⇔ |a

– L’|.

Tomando n

= máx {n

, n

}, segue que, para todo n > n

:

|L - L’| = |(L- an) + (a

– L’) | ≤ |L- a

| + | a

– L’)| <

2

+

2

= ε

O que implica em L = L', portanto, o limite de uma sequência convergente é único.

De fato, ε >0, temos L − ε >L. Mas ainda, o número L - ε não é cota superior do conjunto dos a

. Assim, existe n

∈ ℕ tal que, L − ε <a n

. Como a sequência é monótona não- decrescente segue que:

n>n

⇒ a

≥ a n

> L - ε.

Por outro lado, a

> L, para todo n. Logo, se n>n

, vem que:

L - ε < a

< L + ε , ou, | a

- L| < ε.

Portanto (a

)

∈

é convergente.

Exemplo: A sequência a

=

𝑛

é monótona e limitada, logo convergente.

Algumas convergências de sequência não são simples de serem determinadas por aplicações direta a definição de limite. Vejamos alguns resultados que não avaliarão na obtenção de alguns limites de sequência.

Teorema: Sejam (a

)

∈

e (b

)

sequência tal que 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

an = 0 e (b

)

∈

é limitado. Então 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

a

b

= 0.

Demonstração: Sendo (b

) limitada, temos que existe M > 0 tal que |b

| ≤ M, para todo n∈ ℕ. Agora, para ε >0 desde que 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

a

= 0, temos que. Existe n

∈ ℕ satisfazendo:

n>n

⇒

| a

| = | a

|<

𝑀

Logo, para n>n

, vem que:

|a

b

- 0| = | a

b

|, ou seja, |a

| . |b

| <

𝑀

. M = ε

Portanto, 𝑥 ∈ ℝ.

Exemplo: A sequência (a

)

∈

=

𝑛

converge para zero, para todo 𝑥 ∈ ℝ.

De fato,

𝑛

= sin(𝑛𝑥)

𝑛

Temos que (b

) = sin(𝑛𝑥) é limitado com |sin(𝑛𝑥)|≤ 1 para todo n∈ ℕ. Já vimos também que (c

)=

𝑛

converge para zero segue então, do teorema anterior, que

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚

sin(𝑛𝑥)

𝑛

e (a

)

∈

converge para zero.

Teorema:: se (a

)

∈

é uma sequência tal que 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

a

= L, então toda subsequência de a

converge para L.

Demonstração: Seja ( a n

a n

..., a n

....) uma subsequência de (a

)

∈

. Desde que (a

) converge para L, temos que, para todo ε >0, existe n

∈ ℕ tal que

|a

– L| < 𝜀, ∀ n>n

Como os índices da subsequência é um conjunto infinito, segue que existe entre eles n

> n

. Assim n

> n

⇒ | a n

- L|< ε e (an

)

∈

para L.

O teorema acima é uma boa ferramenta para garanti a divergência de alguns tipos de sequências.

Exemplo: A sequência (a

)

∈

= (-1)

diverge.

De fato, consideramos os subconjuntos infinitos dos naturais ℙ= {0, 2, 4, ..., 2n, ....} e 𝐼= {1, 3, 5, ...,2n + 1, ...}.

Com esses domínios, temos duas subsequências de (a

) dado por:

((−1)

)

ℙ = (1, 1, 1, ...,1, ...) e ((−1)

)

∈ 𝐼 = (-1, -1, -1, -1,...).

Note que os subsequência dadas converge para 1 e -1, respectivamente. Portanto (a

)

∈

diverge.

Teorema: Toda sequência convergente é limitada.

Demonstração: Seja, (a

)

∈

uma sequência tal que 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

a

= L. Assim tomando ε = 1

na definição do limite, temos que existe n

∈ ℕ tal que:

∀ n>n

⇒ |a

– L| < 1 Com isso,

|a

| = |a

– L + L| ≤ |a

– L| + |L| < 1 + |L|, ∀ n>n

. Agora considere M = máx {|a

|, |a

|, |an

|, 1+ |L|},

então |a

| ≤ M, ∀ n∈ 𝑁.

Portanto, a sequência (a

)

∈

é limitada.

Observação: A recíproca do teorema anterior não é válida

Exemplo: A sequência cujo termo geral é dado por (an)= (-1)

é limitada, pois |a

| ≤ 1 para todo n∈ ℕ. No entanto, ela é divergente.

Observação: A contra positiva do resultado garante que toda sequência ilimitada diverge.

Exemplos:

- A sequência an = n.

- A sequência do Fibonacci diverge.

- A sequência an = ln 𝑛 diverge.

- A sequência an = ⅇ

diverge.

3.2 Séries Numéricas

Dada uma sequência numérica a partir de agora, estaremos interessados em

estabelecer um sentido para a soma de todos os seus termos. A título de motivação,

consideramos um quadrado da área igual a 1:

Figura 02: Quadrado de somas infinitas Fonte: Elaborado Mayke Sombra.

Dividimos o quadrado em dois triângulos, traçando uma de suas diagonais.

Obtemos assim, dois triângulos de área 1/2 cada. Em seguida, dividimos um dos triângulos em dois novos, traçando a bissetriz do seu ângulo reto. Obtemos assim, dois triângulos de área 1/4 cada. Tomemos um dos triângulos obtidos anteriormente e dividimos de igual maneira, obtendo assim dois novos triângulos de área igual a 1/8 cada.

Continuando esse processo, obtemos uma infinidade de triângulos, cada um com a metade da área do anterior e tal que a soma das áreas vale a área do quadrado original.

Podemos dizer e então, que a área do quadrado se expressa como "soma infinita" das áreas dos triângulos. Assim temos

1 2

+

4

+

8

+

16

+

32

+ ... = 1

Somas desse tipo levam o nome de série numéricas, a qual definiremos formalmente agora.

Dada uma sequência numérica (an), podemos formar, a partir delas uma nova sequência (s

) da seguinte forma

S

= a

,

S

= a

a

,

S

= a

a

a

,

...

S

= a

a

a

an

S

= a

a

a

an

a

…

O termo geral da sequência (s

) de n-ésima soma parcial de (a

). A sequência (s

) é chamada de série infinita ou simplesmente série associada a (a

) e é denotada por

∑ 𝑎

∞

𝑛=1

Exemplos:

1)(a

) =

𝑛

⇒ ∑

𝒏

∞ 𝒏=𝟏

= 1 +

2

+

3

+ ⋯ +

𝑛

+

𝑛+1

+ ... (Série Harmônica).

2) (a

) = q

, com 𝑞 ∈ ℝ ⇒ ∑

q

= q + q

+ q

+ ... (Série Geométrica).

3) (a

) =

𝑛(𝑛+1)

⇒ ∑

𝑛(𝑛+1)

∞ 𝑛=1

=

2

+

6

+

12

+… (Série Telescópica).

Notemos que calcular a soma de todos os termos de uma sequência (∑

𝑎

) é o mesmo que calcular o limite lim

𝑛→∞

𝑠

. Quando (s

) converge para o limite S, dizemos que a série ∑

𝑎

é convergente, e escrevemos ∑

𝑎

= 𝑆. Quando uma série não é convergente dizemos que é divergente.

Exemplo: A série geométrica ∑

q

é convergente para |q| < 1.

De fato, (an) = (q, q

, q

,..., q

) é uma progressão geométrica de razão q e a

= q. Assim, usando soma de P.G. temos

Sn =

1−𝑞

⇒ Sn =

1−𝑞

Sn =

1−𝑞

(1 − 𝑞

) Logo,

𝑛→∞

lim 𝑠

⇒

1−𝑞

lim

𝑛→∞

(1 − 𝑞

) =

1−𝑞

, pois, |q| < 1 e lim

𝑛→∞

q

= 0.

Exemplo: A série telescópica ∑

𝑛(𝑛+1)

∞ 𝑛=1

converge para 1.

De fato, note que

𝑛(𝑛+1)

=

𝑛

−

𝑛+1

. Assim,

s

= a

+ a

+ a

+ .... + a

+ an

1 +

2) + (1 2

+

3) + (1 3

+

4) + (1 4

+

5) + ( 1 𝑛−1

+

𝑛) +( 1 𝑛

+

1 𝑛+1

) logo,

𝑛→∞

lim 𝑠

1 +

𝑛+1

= 1 Por tanto, ∑

𝑛(𝑛+1)

∞ 𝑛=1

converge para 1.

Determinar o número real na qual uma soma infinita se aproxima não é um trabalho fácil, na maioria das vezes. A partir de agora, estaremos interessados em determinar se uma série converge ou diverge, sem nos preocuparmos com o valor de sua soma caso convergência. Para isto, veremos alguns resultados que funcionarão como testes para convergência ou divergência de uma série.

Teorema: 1: Se ∑

𝑎

for convergente então lim

𝑛→∞

a

= 0.

Demonstração: Suponha que ∑

𝑎

converge para S. Assim a sequência (S

) de suas somas parciais e tal que lim

𝑛→∞

S

= S. Notando que a

= S

– S

, observa-se que

𝑛→∞

lim a

⇒ lim

𝑛→∞

(S

– S

) ⇒ lim

𝑛→∞

S

− lim

𝑛→∞

S

S-S = o

A partir do teorema, conseguimos o seguinte teste.

3.2.1 TESTE 1 (TESTE DA DIVERGÊNCIA): SE LIM

𝑛→∞

A

≠ 0 ENTÃO A SÉRIE

∑

𝒂

É DIVERGENTE.

Exemplo: A série ∑

𝑛²−𝑛

∞ 𝑛=2

é divergente.

De fato, lim

𝑛→∞

a

⇒ lim

𝑛→∞

𝑛²

𝑛²−𝑛

= 1 ≠ 0 Logo, pelo teste 1, a série ∑

𝑛²−𝑛

∞ 𝑛=2

diverge.

Observação: A recíproca do teorema 1 não é verdadeira. A série harmônica ∑

𝑛

∞ 𝑛=1

é

tal que lim

𝑛→∞

a

= 0 mas a série, ainda assim, diverge.

3.2.2 TEOREMA: 2 (TESTE 2- TESTE DE INTEGRAL): Seja a

uma sequência de termos positivos. Suponha que existe f(n) = a

, uma função real na variável x, contínua, decrescente e positiva para todo x ≥ 1. Nessas condições, temos:

1) Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

converge, então ∑

𝑎

converge.

2) Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

diverge, então ∑

𝑎

diverge.

Exemplo: A série ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

converge.

De fato, consideramos a função real f(x)

𝑥²

definida em [1, ∞). Assim

∫

𝑥²

𝑑𝑥

∞ 1

⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

∫

𝑥²

𝑑𝑥

𝑏 1

⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

∫ 𝑥

𝑑𝑥 =

𝑏→∞

𝑙𝑖𝑚 [

𝑥

]|

1 𝑏

= 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

(

𝑏

− (−1))

𝑏→∞

𝑙𝑖𝑚 (

𝑏

+ 1) = 1

Como a integral converge, segue do teste 2 (teste de integral) que a série

∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

converge.

Exemplo: A série geométrica ∑

𝑛

∞ 𝑛=1

converge.

De fato, considerando a função f(x) =

𝑥

, temos

∫

𝑥

𝑑𝑥

∞ 1

⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

∫

𝑥

𝑑𝑥

𝑏 1

= 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

(ln 𝑥)|

=

𝑏→∞

𝑙𝑖𝑚 (𝑙𝑛 𝑏 − 𝑙𝑛 1) = 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

𝑙𝑛 𝑏 = ∞

Portanto, a série harmônica ∑

𝑛

∞ 𝑛=1

diverge.

Exemplo: Estude a convergência da série ∑

𝑛²+1

∞ 𝑛=1

. Considere a função f(x) =

𝑥²+1

contínua é decrescente.

Assim,

∫

𝑥²+1

𝑑𝑥

∞ 𝑙

⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

∫

𝑥²+1

𝑑𝑥

∞ 1

= 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞

[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ]|

=

𝑏→∞

𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1)) =

2

+

4

=

4

Portanto, a série converge.

Corolário (série - p) A série ∑

𝑛^𝑝

∞ 𝑛=1

denominada p-série ou série-p converge para p>1 e diverge para p ≤ 1.

3.2.3 TEOREMA: 3 (TESTE - TESTE DE COMPARAÇÃO): Sejam ∑

𝑎

e

∑

𝑏

de termos positivos, tais que

∑

𝑎

≤ ∑

𝑏

∀ n>n

Nestas condições,

1) Se ∑

𝑎

converge, então ∑

𝑏

converge.

2) Se ∑

𝑎

diverge, então ∑

𝑏

diverge.

Exemplo: Estude a convergência a série ∑

2+3^𝑛

∞ 𝑛=1

3

< 2 + 3

Note que

2 + 3n

+

3n

e assim,

∑

2+3^𝑛

∞ 𝑛=1

< ∑

3^𝑛

∞ 𝑛=1

Por outro lado, a série ∑

3^𝑛

∞ 𝑛=1

é uma série geométrica com q =

3

∈ (-1,1) e, portanto, converge.

Segue então, do teste da comparação que a ∑

𝑏

converge.

Exemplo: estude a convergência da série ∑

√𝑛

∞ 𝑛=1

n ≥ √𝑛 ⇒

𝑛

+

√𝑛

Daí,

∑ 1

𝑛

∞

𝑛=1

≤ ∑ 1

√𝑛

∞

𝑛=1

Como a série harmônica ∑

𝑛

∞ 𝑛=1

diverge, segue pelo teste da comparação que

∑

√𝑛

∞ 𝑛=1

diverge.

3.2.4 TEOREMA: 4 (TESTE 4 DA COMPARAÇÃO DO LIMITE): Sejam ∑

𝑎

e

∑

𝑏

dessas séries de termos positivos se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎_𝑛

𝑏𝑛,

onde L>0 é finito, então ambas as séries convergem, ou ambas as séries divergem.

Exemplo: estude a convergência da série∑

2^𝑛−1

∞ 𝑛=1

. Seja o termo geral an =

2^𝑛−1

e consideremos o termo b

=

2^𝑛

, no geral a série converge.

Notemos que:

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚

𝑎𝑛

𝑏𝑛

⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

1

2^𝑛−1

. 2

= 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

2n 2^𝑛−1

= 1 Portanto, pelo teste de comparação do limite, a série ∑

2^𝑛−1

∞ 𝑛=1

converge.

Exemplo: use o teste do limite (teste 4), para mostrar que a série ∑

√𝑛+2

∞ 𝑛=1

é divergente.

Vamos considerar a série harmônica ∑

𝑛

∞ 𝑛=1

o geral sabemos que diverge.

Consideramos agora o seguinte limite.

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚

1 𝑛+2

1 𝑛

⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

1

𝑛+2

⋅ 𝑛 ⇒ 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑛 𝑛+2

= 1

Logo, pelo teste da comparação, a série ∑

√𝑛+2

∞ 𝑛=1

diverge.

3.2.5 SÉRIES ALTERNADAS

Definição: Se a

> 0 para todo n inteiro, então a série ∑

(−1)

an = a

– a

+ a

– a

+...+ (-1)

an +... e a série ∑

(−1)

an = – a

+ a

– a

+ a

+...+ (-1)

an +...

são chamadas de séries alternadas.

Exemplo: A série ∑ (−1)

𝑛

∞ 𝑛=1

= 1 −

2

+

3

−

4

+ ⋯ + (−1)

𝑛

e ∑ (−1)

𝑛!

∞ 𝑛=1

=

− 1 +

2

−

6

+

24

+ ⋯ + (−1)

𝑛!

são séries alternadas.

3.2.5.1 TEOREMA: 5 (TESTE 5 - TEOREMA: DE LEIBNIZ): Se a série alternada

∑

(−1)

an = a

– a

+ a

– a

+...+ (-1)

na +... com an > 0 é tal que 1. a

≤ 0, para todo an

2. lim

𝑛→∞

an = 0

Então a série não é convergente.

Exemplo: A série harmônica alternada ∑

(−1)

𝑛

é convergente.

De fato, an =

𝑛

, é tal que lim

𝑛→∞

1

𝑛

e an =

𝑛+1

<

𝑛

(decrescente).

Portanto, pelo teste 5 a série∑

(−1)

converge.

Exemplo: A série∑

(−1)

é convergente.

De fato, estamos com uma série alternada com a

=

𝑛²+1

Temos, lim

𝑛→∞

𝑛

𝑛²+1

= lim

𝑛→∞

1 2𝑛

e

a

≤ a

⟨=⟩

(𝑛+1)²+1

≤

𝑛²+1

⟨=⟩

𝑛²+2𝑛+2

≤

𝑛²+1

⟨=⟩ (n +1) (n²+1) ≤ n(n

+ 2n + 2)

⟨=⟩ n³+ n

+ n + 1 ≤ n

+ 2n² + 2n)

⟨=⟩ -n² - n ≤ -1

⟨=⟩ n² + n ≥ 1

⟨=⟩ n ≥ 1

Portanto, a

≤ a

, ∀∈ ℕ e o termo geral, a

é não-crescente.

Portanto, pelo teste de Leibniz, a série é convergente.

3.2.6 Séries absolutamente convergentes e condicionalmente convergentes

Definição: Dizemos que uma série ∑

𝑎

é absolutamente convergente. Se a série de valores absolutos correspondentes, ∑

|𝑎

| ∑ (−1)

3^𝑛

∞ 𝑛=1

é absolutamente convergente.

De fato, ∑ |(−1)

3^𝑛

|

∞ 𝑛=1

= ∑

3^𝑛

∞ 𝑛=1

que é uma série geométrica convergente.

Portanto, ∑

3^𝑛

∞

𝑛=1

absolutamente convergente.

Exemplo: A série ∑ |

𝑛²+2𝑛+1

|

∞ 𝑛=1

é absolutamente convergente.

Temos,

∑ |

𝑛²+2𝑛+1

|

∞ 𝑛=1

= ∑

𝑛²+2𝑛+1

∞ 𝑛=1

Note que,

𝑛²+2𝑛+1

≤

𝑛²

O que implica em

∑

𝑛²+2𝑛+1

∞ 𝑛=1

≤ ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

Como a série ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

é convergente, segue do teorema da comparação que

∑

𝑛²+2𝑛+1

∞ 𝑛=1

é convergente. Com isso, a série ∑ |

𝑛²+2𝑛+1

|

∞ 𝑛=1

é absolutamente

convergente.

Exemplo: A série ∑

𝑛

∞ 𝑛=1

não é absolutamente convergente.

Já vimos que a série harmônica alternada é convergente, agora note que ∑ |

𝑛

|

∞ 𝑛=1

e∑

𝑛

∞ 𝑛=1

que é divergente. Portanto essa não é absolutamente convergente.

O exemplo anterior motiva uma nova classe de séries convergentes.

Definição: uma série convergente, mas não absolutamente convergente, é denominado condicionalmente convergente.

Vejamos outro exemplo que envolve uma convergência condicional.

Exemplo: A série ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

é condicionalmente convergente.

De fato, a série alternada dada é tal que an =

𝑛²

é decrescente e 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

0. Portanto, pelo teste de Leibniz a série converge.

Note agora que:

∑ |(−1)

𝑛²

|

∞ 𝑛=1

⇒ ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

= ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

+

𝑛

Observe ainda que:

∑ 1

𝑛

∞

𝑛=1

≤ ∑ 1 𝑛²

∞

𝑛=1

+ 1

𝑛

Sendo a série harmônica divergente, temos pelo teste de comparação que a série

∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

é divergente.

Concluirmos então, que a série ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

é condicionalmente convergente.

3.2.6.1 TEOREMA: 6: Toda série absolutamente convergente é convergente.

Exemplo: A série ∑

𝑛𝜋 3) 𝑛²

∞

𝑛=1

é convergente.

∑

𝑛𝜋 3) 𝑛²

∞

𝑛=1

=

1²

-

2²

-

3²

-

4²

+ ...=

2

-

8

...

|

𝑛𝜋 3) 𝑛²

| ≤

𝑛²⇒ ∑ |^{𝑐𝑜𝑠(}

𝑛𝜋 3) 𝑛² |

∞

𝑛=1

≤ ∑

𝑛²

∞ 𝑛=1

Que por sua vez, é convergente. Logo pelo teste da comparação ∑ |

𝑛𝜋 3) 𝑛²

|

∞

𝑛=1

é convergente.

Portanto, ∑

𝑛𝜋 3) 𝑛²

∞

𝑛=1

é absolutamente convergente, e pelo teorema anterior,

converge.

Vejamos importantes critérios que garante a convergência absoluta e consequentemente, a convergência de séries.

3.2.7 TEOREMA: 7 (TESTE 6 - TESTE DA RAZÃO): seja ∑

𝑎

uma série de termos não-nulos. Então,

I) Se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

|

𝑎𝑛

| = L<1, a série é absolutamente convergente.

II) Se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

|

𝑎𝑛

| = L>1 ou 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

|

𝑎𝑛

| = ∞, a série diverge.

III) Se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

|

𝑎𝑛

| = 1, nada pode-se concluir do teste.

Exemplo: estude a convergência da série ∑ (−1)

2^𝑛

∞ 𝑛=1

Temos que a

= (−1)

2^𝑛

, a

= (−1)

2^𝑛+1

Assim,

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚 |

𝑎𝑛

|

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

|

𝑛+1 𝑛+1 2𝑛+1 (−1)^{𝑛 𝑛}_2𝑛

|

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚

𝑛+1 2^𝑛+1

.

𝑛 ⇒

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

2^𝑛(𝑛+1)

2^𝑛(2𝑛) ⇒

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑛+1 2^𝑛

=

2

< 1 Portanto, pelo teste da razão a série ∑ (−1)

2^𝑛

∞ 𝑛=1

é absolutamente convergente, logo, convergente.

3.2.8 TEOREMA: 8 (TESTE 8 - TESTE DA RAIZ): Seja ∑

𝑎

uma série de termos não-nulos então:

I) Se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞^𝑛

√|𝑎

| = L < 1, a série é absolutamente convergente.

II) Se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞^𝑛

√|𝑎

| = L > 1 ou 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞^𝑛

√|𝑎

| = ∞, a série diverge.

III) Se 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞^𝑛

√|𝑎

| = 1, nada podemos afirmar com resposta a convergência da série.

Exemplo: estude a convergência da série ∑

𝑛^𝑛

∞ 𝑛=1

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚 √|

𝑛^𝑛

|

𝑛 ⇒

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√(

𝑛

)

𝑛

⇒

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

1

𝑛

= 0 < 1 Pelo teste da raiz, a série converge.

Exemplo: A série ∑ (−1)

[ln(𝑛+1)^𝑛]

∞ 𝑛=1

converge?

𝑛→∞

𝑙𝑖𝑚 √|(−1)

(

𝑙𝑛(𝑛+1)

)

|

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√(

𝑙𝑛(𝑛+1)

)

𝑛 ⇒

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

1

ln (𝑛+1)

= 0 < 1

Logo, a série converge.

As Seções a seguir terão como base de sustentação dos conceitos, proposições,

teoremas, aplicações e exemplos abordados os autores Bassanezi e Ferreira Júnior (1988),

Boyce e Diprima (2010), Bronson (1976), Bronson e Costa (2008),

3.3 Equações Diferenciais

Definição: Uma Equação Diferencial (ED) é uma equação que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As Equações Diferenciais podem ser classificadas de três diferentes maneiras, são elas: pelo tipo, pela ordem ou pela linearidade. As mesmas serão definidas na sequência.

Quanto ao seu tipo as Equações Diferenciais podem ser classificadas de duas diferentes formas, são elas: Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações Diferenciais Parciais (EDP).

• Equação Diferencial Ordinária (EDO): é aquela que contém unicamente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes que tenham relação somente com uma única variável independente. De modo geral, escrevemos uma equação diferencial ordinária de ordem 𝑛 da seguinte forma

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦

, ⋯ , 𝑦

) = 𝑔(𝑥).

Exemplo: A seguir temos, respectivamente, EDO’s de 1ª e 2ª ordens 𝑦

− 5𝑦 = 1

𝑦

+ 2𝑦

+ 𝑦 = 0

• Equação Diferencial Parcial (EDP): é aquela que contém as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes que relacionem duas ou mais variáveis independentes.

Exemplo: A seguir temos, respectivamente, EDP’s de 2ª e 1ª ordens

𝜕

𝑢

𝜕𝑥

= 𝜕

𝑢

𝜕𝑡

− 2 𝜕𝑢

𝜕𝑡

𝜕𝑢

𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣

𝜕𝑦

Para classificar Equações Diferenciais pela ordem precisamos da seguinte

definição.