UFPE – MA989 (ELEMENTOS DE MATEM ´ ATICA) – 2019.1 ALGUMAS ATIVIDADES DO 3
oEXERC´ICIO ESCOLAR v. 1.0
Orienta¸ c˜ ao:
• Entreguem um trabalho por equipe, contendo as resolu¸c˜ oes leg´ıveis e completamente justificadas por escrito ou digitadas (tanto faz), ou ao pro- fessor em m˜ aos ou na Secretaria do Dept. de Matem´atica para que ponham no escaninho do professor;
• Ao utilizarem um resultado de alguma lista do professor, identifique a lista e o item. Para cada item que vier de uma lista ou tiver um an´ alogo nela (mudando os dados), vocˆes s´ o poder˜ ao usar justificativas de listas anteriores e, dentro de uma mesma lista, dos itens anteriores ao item pedido;
• As listas para este trabalho s˜ ao as de n´ umero 06 a 10, e “operacoes binarias 1”, mencionadas nos avisos e em sala-de-aula;
• N˜ao se identifiquem no trabalho, mas informem a cor que rotula a equipe nos enunciados e na carta eletrˆ onica que receber˜ ao;
• Prazo: sexta-feira, 05 de julho de 2019, ` as 17:30.
Quest˜ ao 1. Resolvam os seguintes itens das listas indicadas:
Amarelo:
Lista 6, Item 8.c;
Lista 7, Itens 1.c.i (primeiro dos quatro), 5.e.iv;
Lista 8, Item 7.d para a ordem sem nome;
Lista 9, Itens 2.c–2.d para as duas fun¸c˜ oes j e ℓ.
Azul:
Lista 6, Itens 8.g, 8.i;
Lista 7, Itens 1.c.ii (segundo dos quatro), 5.e.vii;
Lista 8, Item 7.d para a ordem lexicogr´afica;
Lista 9, Itens 2.c–2.d para as duas fun¸c˜ oes f e m.
Branco:
Lista 6, Itens 8.h, 8.j;
Lista 7, Itens 1.c.iii (terceiro dos quatro), 5.e.iii;
Lista 8, Item 7.d para a ordem colexicogr´afica;
Lista 9, Itens 2.c–2.d para as duas fun¸c˜ oes h e q.
Roxo:
Lista 6, Item 8.l;
Lista 7, Itens 1.e, 5.e.v;
Lista 8, Item 7.d para a ordem produto;
Lista 9, Itens 2.c–2.d para as duas fun¸c˜ oes h e r.
Verde:
Lista 6, Item 8.m;
Lista 7, Itens 1.c.iv (quarto dos quatro), 5.e.x;
Lista 8, Item 7.f para a ordem sem nome;
Lista 9, Itens 2.c–2.d para as duas fun¸c˜ oes g e p.
Vermelho:
Lista 6, Itens 9.c, 9.d;
Lista 7, Itens 1.d, 5.e.viii;
Lista 8, Item 7.f para a ordem produto;
Lista 9, Itens 2.c–2.d para as duas fun¸c˜ oes i e n.
Quest˜ ao 2. Dado o conjunto C = {a, b, c, d, e, f}, seja o CPO (C, ≤), onde a rela¸c˜ ao de ordem parcial ≤ ´e a ´ unica cuja rela¸c˜ ao de cobertura est´ a descrita con- cisamente abaixo:
Amarelo: a ≺ e ≺ f , b ≺ e, c ≺ f , d ≺ f ; Azul: a ≺ d ≺ e ≺ f , b ≺ d, c ≺ e;
Branco: a ≺ b ≺ c ≺ d, e ≺ c, f ≺ d;
Roxo: a ≺ d ≺ e, b ≺ d ≺ f, c ≺ d;
Verde: a ≺ b ≺ c, d ≺ e;
Vermelho: a ≺ b ≺ d, a ≺ c ≺ d, c ≺ e.
Obtenham:
• Um diagrama de Hasse para o CPO;
• Os elementos minimais e maximais do CPO, explicitando qual ´e o m´ aximo
do CPO e qual ´e o m´ınimo do CPO quando for o caso;
• As cadeias maximais do CPO; e
• As anticadeias maximais do CPO.
Quest˜ ao 3. Considerando as composi¸c˜ oes abaixo, onde as fun¸c˜ oes originais est˜ ao na Quest˜ao 2 da Lista 9:
• Calculem o valor da primeira composi¸c˜ ao em cada elemento de seu dom´ınio;
• Calculem e simplifiquem a lei de forma¸c˜ ao da segunda composi¸c˜ ao; e
• Calculem a imagem inversa, pela segunda composi¸c˜ ao, do intervalo real [1, 9).
Amarelo: j ◦ i; n ◦ m ◦ ℓ. Azul: i ◦ f; m ◦ n ◦ q. Branco: h ◦ j; n ◦ q ◦ m.
Vermelho: i ◦ h; q ◦ m ◦ n. Roxo: h ◦ h; r ◦ q ◦ m. Verde: h ◦ g; p ◦ r ◦ n.
Quest˜ ao 4. Dados o conjunto X = {a, b, c} e a opera¸c˜ ao bin´ aria ∗ apresentada pela tabela de Cayley abaixo (x ∗ y na linha x e coluna y), determinem:
• Se ∗ ´e ou n˜ ao ´e comutativa;
• Quais elementos s˜ ao neutros pela esquerda, e quais o s˜ ao pela direita;
• Quais elementos s˜ ao absorventes pela esquerda, e quais o s˜ ao pela direita;
• Se ∗ satisfaz a lei de cancelamento pela esquerda ou n˜ ao, e se a satisfaz pela direita ou n˜ ao; e
• Se ∗ ´e ou n˜ ao ´e associativa.
Amarelo:
a b c a a a a b c c c c b b b
Azul:
a b c a a a a b a b b c a c c
Branco:
a b c a c a b b a b c c b c a
Vermelho:
a b c a a c b b a b c c a a a
Roxo:
a b c a a b c b a b c c c a b
Verde:
a b c
a a b c
b a b c
c c b a
Quest˜ ao 5. Utilizando a associatividade e a comutatividade da adi¸c˜ ao, podemos bem definir somat´ orios (sem o uso de parˆenteses e sem a necessidade de ordenar- mos os termos a serem operados) sobre um n´ umero (natural) n˜ ao-nulo de parcelas.
Utilizamos o elemento neutro 0 como valor do somat´ orio sobre nenhuma parcela (ou seja, sobre um n´ umero nulo de parcelas).
Demonstrem as duas proposi¸c˜ oes abaixo utilizando, apenas, indu¸c˜ ao finita, as propriedades das opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao, multiplica¸c˜ ao e exponencia¸c˜ ao em N e da ordem usual em N (cf. Quest˜oes 3 e 4 da Lista 10), inclusive as de monotonici- dade estrita daquelas opera¸c˜ oes (cf. Itens 4.h e 4.j–4.l da Lista 10) e, se realmente acharem necess´arias, as propriedades da opera¸c˜ ao parcial de subtra¸c˜ ao em N (cf.
Itens 5.a–5.i da Lista 10).
Amarelo: 6 X
n=0
( + 2) = n(n + 1)(2n + 7) e n
3< 4
nAzul: 3 X
n=0
( + 1) = n(n + 1)(n + 2) e n
2≤ 1 + 2
nBranco: 6 X
n=0
2= n(n + 1)(2n + 1) e n ≥ 1 = ⇒ n
2+ 1 < 3
nRoxo: 3 X
n=0
(2 + 1)
2= (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) e n ≥ 4 = ⇒ n
3+ n < 3
nVerde:
X
n=0
(2 + 1)
3= (n + 1)
2[2(n + 1)
2− 1] e n ≥ 10 = ⇒ n
3< 2
nVermelho:
X
n=0
