A. Requisitos de L´ ogica e Fundamentos da Matem´ atica
Este apˆ endice serve para recordarmos alguns requisitos para o nosso estudo da geometria anal´ıtica, ganhando vis˜ ao a respeito deles. Cobriremos sele¸ c˜ oes da metodologia da matem´ atica (Se¸ c˜ ao A.1) e da teoria dos conjuntos (Se¸ c˜ ao A.2), especialmente constru¸c˜ oes auxiliares com conjuntos e rela¸ c˜ oes. In- troduziremos alguns conceitos, termos, s´ımbolos, frases t´ıpicas, m´ etodos e aspectos da matem´ atica que ser˜ ao utilizados nesta disciplina, e discutiremos apenas o que for necess´ ario a ela. Por um lado, isto significa que diversos temas muito importantes para a compreens˜ ao de outras disciplinas e o trabalho ao longo delas n˜ ao ser˜ ao tratados aqui (Ex.: demonstra¸c˜ oes por indu¸ c˜ ao e defini¸c˜ oes por recurs˜ ao;
um estudo mais detalhado dos n´ umeros naturais, inteiros e racionais; e v´ arios aspectos de conjuntos e fun¸ c˜ oes). Por outro lado, o material deste apˆ endice ´ e ´ util ` a forma¸c˜ ao inicial dos novi¸ cos com rela¸ c˜ ao a um n´ umero de disciplinas. E por falar em come¸ co, uma das primeiras coisas a serem notadas ´ e: as disciplinas de matem´ atica superior costumam ter uma quantidade enorme de assuntos, e cada um destes depender bastante dos assuntos anteriores. Logo, n˜ ao d´ a para adquirirmos uma base s´ olida passando a vista rapidamente pelo texto. Outra coisa: pratiquem muito ! Aprendemos matem´ atica atrav´ es de exemplos diversificados, dos quais inferimos e demonstramos resultados, e a respeito dos quais formamos intui¸ c˜ ao para abstrairmos e generalizarmos propriedades e conceitos.
Nosso material preliminar tem um duplo car´ ater: revis˜ ao e referˆ encia. Alguns estudantes precisar˜ ao
estudar uma (sub)se¸ c˜ ao mais do que outros, considerando as varia¸c˜ oes e poss´ıveis lacunas na educa¸c˜ ao
b´ asica. V´ arias (sub)se¸c˜ oes tamb´ em podem servir para repetidas consultas ao longo do curso. Entre-
tanto, recomendamos a leitura imediata das subse¸ c˜ oes A.1.5, A.2.3, A.2.4, A.2.5, A.2.7 e A.2.8, e a
tentativa de alguns dos exerc´ıcios referentes a estes assuntos para uma maior fixa¸ c˜ ao deles. Daremos
nossa vis˜ ao geral desta disciplina no Cap´ıtulo ??. Na Se¸ c˜ ao ??, discutiremos a natureza da geometria
anal´ıtica e seu contraste com a geometria euclidiana. A partir da Se¸ c˜ ao ??, ou seja, depois de estudar-
mos sistemas de coordenadas no plano, introduziremos os seguintes temas: gr´ aficos de fun¸ c˜ oes, linhas
de n´ıvel, parametriza¸c˜ oes e regi˜ oes.
A.1. Breve Introdu¸ c˜ ao ` a Metodologia da Matem´ atica
A.1.1. Nota¸ c˜ ao, Nomenclatura e Defini¸ c˜ ao em Matem´ atica
Como toda ´ area do conhecimento, a matem´ atica possui nomenclatura pr´ opria. No come¸ co, a ter- minologia matem´ atica pode ser um pouco dif´ıcil para muitas pessoas porque est´ a atrelada ao rigoroso m´ etodo l´ ogico-dedutivo seguido pela matem´ atica. Outra dificuldade para o iniciante ´ e a nota¸ c˜ ao, a simbologia matem´ atica, utilizada para expressar bastante conte´ udo de forma muito breve, concisa. A seguir, amarramos o significado de alguns s´ımbolos:
Nota¸ c˜ ao A.1. O s´ımbolo = denota igualdade: um objeto o ´ e igual a si mesmo, ou seja, o = o ; 1 + 1 = 2 nos n´ umeros naturais. Isto pode ser mais sutil do que parece: um n´ umero racional expresso como d´ızima peri´ odica ´ e igual ` a sua fra¸ c˜ ao geratriz; dois polinˆ omios s˜ ao iguais se, e somente se, possuem os mesmos coeficientes; dois conjuntos s˜ ao iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos; e duas fun¸ c˜ oes s˜ ao iguais se, e somente se, tˆ em o mesmo dom´ınio, o mesmo contradom´ınio, e valores iguais (no contradom´ınio) para cada valor no dom´ınio.
Nota¸ c˜ ao A.2. J´ a ∶= ´ e um dos s´ımbolos usados para denotar a defini¸ c˜ ao
1do objeto simbolizado ` a esquerda de ∶= como sendo aquilo que vem ` a direita de ∶= . Por exemplo, dado um n´ umero real x , definimos seu valor absoluto (ou m´ odulo) ∣ x ∣ por ∣ x ∣ ∶= ⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪
⎩
x, se x ≥ 0;
− x, se x < 0. O valor absoluto ser´ a discutido bastante na Se¸ c˜ ao ??.
Nota¸ c˜ ao A.3. O s´ımbolo = ˆ n˜ ao tem um significado r´ıgido em matem´ atica, mas ser´ a utilizado, ao longo desta disciplina, para indicar que o s´ımbolo ` a esquerda est´ a, temporariamente, denotando aquilo que vem ` a direita. Tal escolha de nota¸ c˜ ao ´ e, pois, arbitr´ aria (outro s´ımbolo ainda n˜ ao utilizado poderia ter sido escolhido) e n˜ ao constitui um padr˜ ao na matem´ atica. Por exemplo, vamos discutir um exemplo de uma constru¸ c˜ ao envolvendo um conjunto qualquer, digamos, { 1,2,5,7, 8 } . Nesta circunstˆ ancia, dir´ıamos algo parecido com “Por exemplo, denotando C ˆ = { 1,2, 5, 7, 8 } , temos que C satisfaz ( . . . )”.
Outra situa¸ c˜ ao que exemplifica nosso uso de ˆ = ´ e quando vamos definir algo em termos de um objeto auxiliar e denotamos tal objeto por algum s´ımbolo arbitr´ ario para economizarmos espa¸ co no restante da reda¸c˜ ao daquele procedimento de defini¸ c˜ ao.
Sendo esta disciplina inicial, manteremos a linguagem um pouco informal, trabalhando gradativa- mente o vocabul´ ario. Neste apˆ endice, lidaremos com termos t´ ecnicos que se aplicam ` a matem´ atica como um todo porque se referem ou ` a metodologia da matem´ atica ou a conte´ udos auxiliares bem gerais (Ex.:
conjuntos e fun¸c˜ oes). Deixaremos termos geom´ etricos para os demais cap´ıtulos e apˆ endices.
As referˆ encias sobre nota¸ c˜ ao e nomenclatura matem´ aticas feitas ao longo deste livro-texto vieram de fontes consagradas. Para a etimologia da l´ıngua portuguesa, nossa fonte principal foi o Dicion´ ario Houaiss da L´ıngua Portuguesa (2001), o qual recomendamos sem reservas.
1Em geral, uma defini¸c˜ao ´e uma determina¸c˜ao exata de um conceito ou objeto. Do latimdefinitio(nis), ‘a¸c˜ao de definir limite ou fim’.
A.1.2. Existˆ encia e Unicidade
Examinemos, um pouco, a defini¸ c˜ ao e a determina¸ c˜ ao de entes (coisas, objetos) em matem´ atica. Temos defini¸ c˜ oes de classes de objetos especiais. Ex.: n´ umeros inteiros; n´ umeros reais; matrizes e polinˆ omios a coeficientes reais; e superf´ıcies de v´ arios tipos. Temos defini¸ c˜ oes de conjuntos munidos (dotados) de estruturas. Ex.: grupos, an´ eis e espa¸ cos vetoriais, que s˜ ao munidos de opera¸c˜ oes alg´ ebricas; espa¸ cos m´ etricos, que s˜ ao munidos de uma no¸c˜ ao abstrata de distˆ ancia entre seus elementos; e espa¸cos topol´ ogi- cos, que s˜ ao munidos de uma no¸c˜ ao abstrata de proximidade entre seus elementos. Temos defini¸c˜ oes de propriedades que certos entes matem´ aticos podem ter ou n˜ ao, algumas com nomes bonitos, tais como associatividade, injetividade, simetria e compacidade. Tamb´ em fazemos referˆ encia a objetos atrav´ es de caracter´ısticas que os individualizam. Ex.: o ponto em que duas retas concorrentes se interceptam; o semi-plano definido por uma reta dada no qual est´ a um ponto (fora da reta) dado; a dimens˜ ao de um espa¸ co vetorial (Seja l´ a o que isto for); e o n´ umero de elementos de um conjunto. Observemos que estes objetos vˆ em acompanhados do artigo definido “o”(“a”), indicando que aquele objeto ´ e ´ unico, est´ a bem determinado:
Defini¸ c˜ ao A.4. Em matem´ atica, algo est´ a bem definido quando existe e ´ e ´ unico. A unicidade significa que, se existirem dois objetos com as caracter´ısticas desejadas, ent˜ ao os dois s˜ ao iguais.
Obs. A existˆ encia e a unicidade daqueles objetos no universo de discurso em quest˜ ao podem n˜ ao ser imediatamente claras, exigindo uma demonstra¸ c˜ ao (prova) para cada uma. De fato, estas provas costumam vir separadas: uma mostrando que a aquele ente existe; e outra mostrando que, se existirem dois deles, ent˜ ao os dois s˜ ao iguais. Tal separa¸ c˜ ao pode ser mesmo necess´ aria: h´ a situa¸c˜ oes em que apenas uma ´ e garantida ! Por um lado, se garantimos apenas a existˆ encia, abrimos a possibilidade de termos exatamente um ou mais de uma coisa que atende as especifica¸ c˜ oes desejadas. Ex.: Existe, ao menos, uma raiz real para qualquer polinˆ omio de grau 3 a coeficientes reais, mas pode ser que ele tenha duas ou trˆ es ra´ızes reais distintas. Por outro lado, se garantirmos apenas a unicidade, podemos ter um ou nenhum ente com as caracter´ısticas desejadas. Ex.: Vistas como conjuntos de pontos, duas retas distintas no plano euclidiano podem ter, no m´ aximo, um ponto em comum. Em outras palavras, ou elas tem um e apenas um ponto em comum (retas concorrentes) ou nenhum (retas paralelas).
A boa defini¸c˜ ao pode aparecer de forma relativamente complexa. Ex.: Um objeto b´ asico na sub-´ area chamada ´ algebra linear s˜ ao os espa¸ cos vetoriais, os quais generalizam a ideia de vetor (veremos esta no Cap. ??). Pois bem, h´ a os conceitos centrais de base e dimens˜ ao de espa¸cos vetoriais. Sem nos preo- cuparmos com o que uma base ´ e, definimos dimens˜ ao de um espa¸ co vetorial como sendo o n´ umero de elementos em qualquer base sua. O que significaria a afirma¸c˜ ao de que esta dimens˜ ao est´ a bem definida ? Ora, ela quer dizer que existe uma base B e que todas as bases tˆ em o mesmo n´ umero de elementos que B .
Atentemos para a precis˜ ao da linguagem matem´ atica no di´ alogo abaixo:
− Fernando, tu tens cinco biscoitinhos ?
− Sim, mam˜ ae !
− Mas, Fernando ! Tu tens vinte biscoitinhos !
− Mam˜ ae, como tenho vinte biscoitinhos, tenho, em particular, cinco. O primeiro fato n˜ ao invalida o segundo !
− E... Est´ ´ a bem. E chocolates ? Tens cinco chocolates ?
− Sim, mam˜ ae !
− Mas, Fernando ! Tu tens apenas trˆ es !
− Mam˜ ae, tenho exatamente trˆ es chocolates distintos. Posso dizer que tenho cinco: o quarto e o quinto s˜ ao iguais ao terceiro !
− Cinco, vinte, trˆ es... Assim n˜ ao d´ a ! N˜ ao posso nem perguntar quais os n´ umeros de chocolates e biscoitinhos que tu tens !
− Claro que podes, mam˜ ae ! Tais n´ umeros s˜ ao trˆ es e vinte, respectivamente ! E que obsess˜ ao com cinco ´ e esta ?
Conclus˜ ao: Fernando nasceu para ser matem´ atico.
H´ a v´ arias formas equivalentes de falarmos na unicidade de um ente matem´ atico e, mais geralmente, no n´ umero de entes matem´ aticos satisfazendo certas condi¸c˜ oes. Por exemplo, todo polinˆ omio de grau 1 a coeficientes reais tem uma e apenas uma raiz real, isto ´ e, ele tem exatamente uma raiz real, isto
´
e, o n´ umero de ra´ızes reais dele ´ e (igual a) um. O n´ umero de ra´ızes reais distintas de qualquer polinˆ omio de grau 2 a coeficientes reais ´ e, no m´ aximo, dois, isto ´ e, ele tem n˜ ao mais que duas ra´ızes reais distintas. J´ a o n´ umero de ra´ızes reais distintas de um polinˆ omio de grau ´ımpar a coeficientes reais ´ e, no m´ ınimo, um, isto ´ e, ele tem, pelo menos, uma raiz real, isto ´ e, existe (alg)uma raiz real dele. Finalmente, o n´ umero de semi-planos distintos determinados por qualquer reta r no plano euclidiano ´ e (igual a) dois, isto ´ e, h´ a exatamente dois semi-planos distintos determinados por r , isto
´
e, h´ a dois e n˜ ao mais que dois semi-planos distintos determinados por r , isto ´ e, h´ a dois e apenas dois semi-planos distintos determinados por r .
A.1.3. Sobre Proposi¸ c˜ oes e Predicados
A l´ ogica estuda dedu¸ c˜ ao, inferˆ encia, ju´ızo, enfim, regras sobre como podemos chegar a conclus˜ oes a partir de fatos e suposi¸c˜ oes. H´ a diferentes tipos de l´ ogica. Eles podem serem diferentes quanto a:
abordagem, objetos, graus de incerteza envolvidos, prop´ osito, etc. Aqui, n˜ ao faremos uma discuss˜ ao
exaustiva de l´ ogica e fundamentos da matem´ atica, at´ e porque isto ´ e um assunto para um curso inteiro
(ou mais de um). Apenas real¸ caremos os aspectos b´ asicos que aparecer˜ ao ao longo desta disciplina,
alguns com maior importˆ ancia do que outros, e que ` as vezes est˜ ao impl´ ıcitos (escondidos, subentendi-
dos) numa explica¸c˜ ao.
Como sistema dedutivo, a matem´ atica usa uma l´ ogica muito r´ıgida (rigorosa, inflex´ıvel), evitando d´ uvidas e imprecis˜ ao. Num primeiro n´ıvel, esta l´ ogica lida com proposi¸ c˜ oes
2, isto ´ e, senten¸ cas que s˜ ao ou verdadeiras ou falsas (princ´ ıpio da bivalˆ encia) mas n˜ ao os dois ao mesmo tempo (princ´ ıpio da contradi¸ c˜ ao). Ex.: “ 1 + 1 = 2 ” e “ 1 = 1 ” s˜ ao proposi¸c˜ oes verdadeiras, enquanto “ 1 + 1 = 3 ” ´ e uma proposi¸ c˜ ao falsa. “4 ´ e um inteiro par” ´ e uma proposi¸ c˜ ao verdadeira, enquanto “3 ´ e um inteiro par” ´ e uma proposi¸ c˜ ao falsa. J´ a “ x
2> 1 ” n˜ ao ´ e uma proposi¸ c˜ ao: ela nem ´ e verdadeira nem ´ e falsa porque depende da associa¸ c˜ ao de um valor a x . Tamb´ em n˜ ao s˜ ao proposi¸c˜ oes “Gostas de banana ?” e “Seja A um ponto do plano”.
A l´ ogica (ou c´ alculo) proposicional (ou sentencial
3) trata das propriedades de proposi¸ c˜ oes em geral e das rela¸ c˜ oes entre elas que dependem apenas da veracidade ou falsidade daquelas proposi¸ c˜ oes (ou seja, as rela¸ c˜ oes que n˜ ao dependem do significado contextual daquelas proposi¸ c˜ oes). Nesta l´ ogica, formamos proposi¸ c˜ oes mais complexas a partir de outras, aplicando conectivos a elas (alguns conectivos s˜ ao discutidos um pouco na Subse¸ c˜ ao A.1.4). Ex.: A proposi¸c˜ ao “4>1 e 9>1 e 16>1 e 25>1 e 36>1”
combina cinco proposi¸ c˜ oes simples (ditas atˆ omicas
4) atrav´ es do conectivo “e”. A partir da veracidade ou falsidade das proposi¸c˜ oes, a l´ ogica proposicional fornece regras de dedu¸ c˜ ao que podem ser aplicadas diretamente ao racioc´ınio com proposi¸ c˜ oes.
O exemplo anterior poderia ser expresso de maneira mais concisa atrav´ es da seguinte proposi¸c˜ ao:
“ x
2> 1 para todo x no conjunto { 2, 3, 4, 5, 6 } ”. Esta ´ e equivalente a “4>1 e 9>1 e 16>1 e 25>1 e 36>1”
no sentido de que uma ´ e verdadeira precisamente quando a outra ´ e (no caso, ambas s˜ ao verdadeiras.) Como j´ a observamos, a senten¸ ca “ x
2> 1 ”, isoladamente, n˜ ao ´ e uma proposi¸c˜ ao. Ela ´ e um predicado
5, ou seja, uma frase que expressa uma propriedade que objetos podem ter ou n˜ ao. Neste caso, a pro- priedade ´ e “ser maior que 1”, e os objetos est˜ ao representados por x : dizemos que este ´ e um predicado na vari´ avel (livre) x . Predicados tamb´ em podem expressar uma rela¸c˜ ao entre objetos, os quais podem fazˆ e-la valer ou n˜ ao. Ex.: o predicado em x e y dado por “ x
2> y ” expressa uma rela¸c˜ ao entre x e y , podendo ser verdadeira ou falsa (isto se limitarmos x e y a um contexto no qual fa¸cam sentido a compara¸c˜ ao > e o quadrado x
2). Apesar de “ x
2> 1 ser uma proposi¸ c˜ ao para cada x no conjunto { 2, 3, 4, 5, 6 } ”, ela n˜ ao pode ser formada a partir do predicado “ x
2> 1 ” dentro da l´ ogica proposicional, precisando de um recurso adicional ` aqueles dispon´ıveis nesta l´ ogica, a saber, o quantificador “para todo”. Quantificadores s˜ ao discutidos um pouco na Subse¸c˜ ao A.1.4. “Para todo” permite-nos dar valores a x sistematicamente, e falar da veracidade ou falsidade de “ x
2> 1 ” para aqueles valores. Em particular, isto nos permite formar proposi¸ c˜ oes que d˜ ao conta de um n´ umero infinito de instˆ ancias (ocorrˆ encias) de x ! Ex.: “ x
2> 1 para todo n´ umero real x tal que x > 1 ”. Observemos que nem “ x ´ e um n´ umero real tal que x > 1 ” nem “ x
2> 1 ” s˜ ao proposi¸ c˜ oes (n˜ ao s˜ ao ou verdadeiras ou falsas, pois dependem do valor de x ), mas sim predicados. Observemos tamb´ em a express˜ ao “ ( . . . ) tal que ( . . . )”. Ela ´ e parte do
2Do latimpropositio, deproponere, ‘pˆor diante’, ‘expor `a vista’.
3Alguns autores usam o nome “senten¸ca” como sinˆonimo de “proposi¸c˜ao” ao inv´es de vˆe-lo com significado mais amplo.
4Do gregoatomos, ‘que n˜ao pode ser cortado’, ‘indivis´ıvel’, relativo ao gregotom´e, ‘corte’, ‘separa¸c˜ao’, ‘se¸c˜ao’, ‘incis˜ao’, do verbo gregot´emno, ‘cortar’
5Significa ‘propriedade’, ‘caracter´ıstica’, ‘qualidade’, ‘atributo’. Tal termo tamb´em ocorre em an´alise sint´atica. Ele vem do latimpraedicatum, ’o que se diz do tema’, que vem do verbo latinopraedicare, ‘proclamar’, ‘declarar’; em l´ogica, ‘sustentar’.
cotidiano dos matem´ aticos, e serve para dizer que um objeto possui certa propriedade, satisfaz certa condi¸ c˜ ao: ”seja x ∈ C tal que P ( x ) significa, exatamente, que x ´ e um objeto na classe de objetos C e que a propriedade P ´ e v´ alida para este x (“tal” x ).
Muitos resultados matem´ aticos referem-se aos objetos de um certo tipo, isto ´ e, a todos os objetos de uma certa classe. Ex.: “toda reta”, “dado um ponto (qualquer)”, “seja t um triˆ angulo (qualquer)”, “se C ´ e um conjunto n˜ ao-vazio”. Muitos resultados tratam da existˆ encia ou n˜ ao de objetos que satisfazem certas condi¸ c˜ oes. Ex.: “existe uma reta s paralela ` a reta r pelo ponto P ”. Estes tipos de express˜ oes costumam envolver vari´ aveis e predicados que expressam algo sobre elas. A l´ ogica (ou c´ alculo) de predicados de primeira ordem estende a l´ ogica proposicional, adicionando-lhe os quantificadores “para todo” (discutido acima) e “existe”. Ela considera proposi¸c˜ oes e predicados formados pela aplica¸ c˜ ao de conectivos a outros predicados e proposi¸ c˜ oes, e pela aplica¸c˜ ao de quantificadores a vari´ aveis. Ela fornece regras de dedu¸ c˜ ao que permitem racioc´ınios com predicados e proposi¸c˜ oes. Ela tem poder expressivo suficiente para lidar com a maior parte dos resultados na matem´ atica (e, em particular, nas geometrias euclidiana e anal´ıtica).
A.1.4. Sobre Conectivos nesta Disciplina
Em l´ ogica e seu uso, senten¸ cas complexas podem ser formadas a partir de senten¸ cas simples atrav´ es dos conectivos l´ ogicos (portas l´ ogicas). Eles podem ser aplicados a proposi¸ c˜ oes e a predicados, desde que se respeite a devida sintaxe, resultando em express˜ oes cuja veracidade ou falsidade depende apenas da veracidade ou falsidade de cada uma das express˜ oes ` as quais eles foram aplicados. As express˜ oes e f´ ormulas sintaticamente corretas s˜ ao ditas bem formadas. Para sermos mais concisos, n´ os nos re- feriremos a vari´ aveis proposicionais Q , R , S etc., as quais representam proposi¸c˜ oes quaisquer. Mais precisamente, estas vari´ aveis est˜ ao livres para assumir valor l´ ogico V (“verdadeiro”) ou F (“falso”). Ao substituirmos uma vari´ avel proposicional por uma proposi¸c˜ ao, a vari´ avel assume o respectivo valor V ou F associado ` aquela proposi¸ c˜ ao.
A seguir, discutimos os conectivos mais conhecidos. A nega¸ c˜ ao, a conjun¸c˜ ao e a disjun¸ c˜ ao s˜ ao bem conhecidas daqueles que j´ a tiveram algum contato com portas l´ ogicas em computa¸ c˜ ao eletrˆ onica. Eles n˜ ao s´ o s˜ ao capazes de reproduzir todos os conectivos poss´ıveis, mas tamb´ em s˜ ao generalizados atrav´ es de uma estrutura alg´ ebrica: as ´ algebras booleanas. Assim, poder´ıamos fazer nossa discuss˜ ao apenas com eles, mas h´ a outros conectivos que s˜ ao muito utilizados. Em particular, a condicional e a bicondi- cional s˜ ao conectivos diretamente utilizados na express˜ ao e demonstra¸c˜ ao de resultados.
Nega¸ c˜ ao (complemento l´ ogico, “n˜ ao”): Dada uma proposi¸c˜ ao S , a proposi¸ c˜ ao “n˜ ao S ” (nega¸ c˜ ao de S , denotada ¬ S ou S ou S
′ou − S ) tem valor l´ ogico complementar ao de S : quando S ´ e falsa,
¬ S ´ e verdadeira e vice-versa. Ex.: Se S
1ˆ = “ 0 possui inverso multiplicativo em R ” (que ´ e falsa – cf.
Defini¸ c˜ ao A.28 e Subse¸ c˜ ao A.2.7), ent˜ ao sua nega¸ c˜ ao ¬ S
1´ e a proposi¸c˜ ao verdadeira “ 0 n˜ ao possui
inverso multiplicativo em R ”. ´ E comum combinarmos nega¸ c˜ ao e s´ımbolo de rela¸ c˜ ao atrav´ es de
uma barra cortando aquela rela¸ c˜ ao. Ex.: Se S
2ˆ = “ 3, 5 pertence
6a R ”, isto ´ e, S
2= “ 3, 5 ∈ R ” (que
´
e verdadeira), ent˜ ao sua nega¸ c˜ ao ¬ S
2´ e a proposi¸ c˜ ao falsa “ 3, 5 n˜ ao pertence a R ”, tamb´ em escrita como “ 3, 5 ∉ R ”. Da mesma forma, como a defini¸ c˜ ao de “diferente” ´ e “n˜ ao-igual”, temos ≠ como a nega¸ c˜ ao de = . Ex.: A proposi¸ c˜ ao falsa “ S
3= ˆ 1 = 2 ” tem, por nega¸ c˜ ao, a proposi¸c˜ ao verdadeira
“ 1 ≠ 2 ” (isto ´ e “ ¬( 1 = 2 ) ”). Tamb´ em temos a nega¸ c˜ ao ⊈ de “est´ a contido em” ( ⊆ , cf. Defini¸ c˜ ao A.8), e a nega¸ c˜ ao ≰ de “´ e menor que ou igual a” ( ≤ ; cf. Defini¸c˜ ao A.30), que nem sempre
7equivale a > . Conjun¸ c˜ ao (“e”): Dadas as proposi¸ c˜ oes R e S , a proposi¸c˜ ao “ R e S ” (conjun¸ c˜ ao, denotada R ∧ S ou RS ) ´ e verdadeira exatamente quando ambas o s˜ ao. Ex.: Com S
1e S
2acima, S
1∧ S
2´ e a proposi¸ c˜ ao “ 0 possui inverso multiplicativo em R e 3, 5 pertence a R ”, a qual ´ e falsa porque S
1o
´
e. Da´ı, ¬ S
1∧ S
2(a qual significa (¬ S
1) ∧ S
2) ´ e verdadeira: “ 0 n˜ ao possui inverso multiplicativo em R e 3, 5 pertence a R ”. Por sua vez, “ 0 < 1 e 1 < 2 ” (abreviada por “ 0 < 1 < 2 ”) ´ e verdadeira porque ambas as proposi¸ c˜ oes separadas por “e” s˜ ao verdadeiras. J´ a “0 < 1 e 3 < 2 ” ´ e falsa porque
“ 3 < 2 ” o ´ e.
Disjun¸ c˜ ao (“ou”): Dadas as proposi¸ c˜ oes R e S , a proposi¸c˜ ao “ R ou S ” (disjun¸ c˜ ao de R e S , denotada R ∨ S ou R + S ) ´ e verdadeira exatamente quando ao menos uma delas ´ e verdadeira. Ex.: Com S
1e S
2acima, S
1∨ S
2´ e a proposi¸ c˜ ao “ 0 possui inverso multiplicativo em R ou 3, 5 pertence a R ”, a qual ´ e verdadeira porque S
2o ´ e. J´ a S
1∨ S
3´ e falsa porque ambas o s˜ ao. Por sua vez, “ 0 < 1 ou 1 < 2 ” ´ e verdadeira porque “ 0 < 1 ” o ´ e. “ 0 < 1 ou 3 < 2 ” ´ e verdadeira pelo mesmo motivo (embora isto pare¸ ca estranho porque, no uso cotidiano de “ou”, n˜ ao ´ e comum a forma¸c˜ ao de express˜ oes separadas por “ou” quando j´ a se sabe que uma delas ´ e falsa.) J´ a “ 1 < 0 ou 3 < 2 ” ´ e falsa porque nem “ 1 < 0 ” nem “ 3 < 2 ” ´ e verdadeira.
Disjun¸ c˜ ao exclusiva (“ou exclusivo”): Dadas as proposi¸ c˜ oes R e S , a proposi¸c˜ ao “ R ou exclusivo S ” (disjun¸ c˜ ao exclusiva de R e S , denotada R ∨ ˙ S ou R ⊕ S ) ´ e verdadeira exatamente quando uma e apenas uma delas ´ e verdadeira. Ex.: Com S
1e S
2acima, S
1∨ ˙ S
2´ e verdadeira porque S
1´
e falsa e S
2´ e verdadeira. J´ a S
1∨ ˙ S
3´ e falsa porque ambas o s˜ ao. Por sua vez, “ 0 < 1 ˙ ∨ 1 < 2 ” ´ e verdadeira porque ambas s˜ ao verdadeiras. “ 0 < 1 ˙ ∨ 3 < 2 ” ´ e verdadeira porque 0 < 1 ´ e verdadeira mas 3 < 2 ´ e falsa. J´ a “ 1 < 0 ˙ ∨ 3 < 2 ” ´ e falsa porque ambas s˜ ao falsas. Observemos que a aplica¸c˜ ao repetida da disjun¸ c˜ ao exclusiva n˜ ao ´ e (dois a dois) exclusiva: ( Q ∨ ˙ R ) ∨ ˙ S ´ e verdadeira exatamente quando apenas uma das vari´ aveis proposicionais ´ e verdadeira ou todas as trˆ es o s˜ ao !
Condicional (implica¸ c˜ ao material, “se... ent˜ ao”): Dadas as proposi¸ c˜ oes R e S , a proposi¸c˜ ao “Se R , ent˜ ao S ” (condicional de R e S , denotada R → S )
8´ e falsa exatamente quando R ´ e verdadeira mas S ´ e falsa. Assim, R → S ser verdadeira significa que, quando R for verdadeira, S tem que ser verdadeira tamb´ em. Alternativamente, R → S ser verdadeira significa que, quando S for falsa, R tamb´ em tem que ser falsa. Observemos que, na situa¸c˜ ao em que R → S ´ e verdadeira mas R ´ e falsa, nada concluimos a respeito de S . Ex.: “Se 1 < 2 ent˜ ao 3 = 3 ” e “Se 1 < 2 ent˜ ao 1 + 3 < 2 + 3 ” s˜ ao
6S2n˜ao ´e necessariamente o mesmo que dizer “3,5 ´e um n´umero real”. Para identificarmos uma proposi¸c˜ao como a outra, precisamos, primeiro, aceitar a identifica¸c˜ao do “ser um n´umero real” com uma rela¸c˜ao a n´ıvel de classes e conjuntos, a saber,
“pertencer ao conjuntoR”. Em matem´atica, costumamos fazer isto. Vide mais sobre aquela rela¸c˜ao na Subse¸c˜ao A.2.1.
7Existem estruturas parcialmente ordenadas em que nem todos os elementos s˜ao compar´aveis entre si.
8As vezes, escreveremos` RÐ→Spor comodidade visual.
ambas verdadeiras porque S
4ˆ = “ 3 = 3 ” e S
5ˆ = “ 1 + 3 < 2 + 3 ” s˜ ao ambas verdadeiras. O(a) leitor(a) pode estar confuso(a) com, pelo menos, duas coisas. Primeiro, a economia com que justificamos a veracidade desta condicional. N˜ ao mencionamos
S
6ˆ = “ 1 < 2 ” porque ela n˜ ao ´ e necess´ aria a nossa justificativa. O(a) leitor(a) deve evitar a tenta¸c˜ ao de “refor¸ car” justificativas de coisas que j´ a foram justificadas apenas para usar tudo que est´ a ` a disposi¸ c˜ ao. Segundo, S
4´ e verdadeira independentemente de S
6. Por si s´ o, a condicional, apesar do tom de causalidade, n˜ ao afirma uma rela¸ c˜ ao profunda entre as proposi¸c˜ oes que conecta: ela ´ e apenas uma rela¸ c˜ ao a respeito da veracidade das proposi¸ c˜ oes. Agora, durante uma demonstra¸ c˜ ao, quando j´ a temos fatos que s˜ ao assumidos ou demonstrados verdadeiros, ent˜ ao a condicional pode nos ajudar a concluir e expressar mais rela¸ c˜ oes entre fatos. Por sua vez, a veracidade de S
5pode ser estabelecida a partir da veracidade de S
6devido ao Teorema A.37. Em outras palavras, h´ a uma liga¸ c˜ ao mais forte entre S
5e S
6.
Ex.: “Se eu ganhar presentes no natal, ent˜ ao Papai Noel existe” ´ e falsa, pois posso ganhar presentes de parentes sem ele existir. “Se o porco voa, ent˜ ao o cavalo voa” e “Se o porco voa, ent˜ ao o can´ ario voa” s˜ ao ambas verdadeiras porque porco n˜ ao voa.
Bicondicional (equivalˆ encia material, “se e somente se”): Dadas as proposi¸c˜ oes R e S , a propo- si¸ c˜ ao “ R se e somente se S ” (bicondicional de R e S , denotada R ↔ S )
9´ e verdadeira exatamente quando R e S tˆ em o mesmo valor l´ ogico: s˜ ao ambas verdadeiras ou ambas falsas. Ex.: sendo S
6e S
4acima ambas verdadeiras, temos que S
6⇔ S
4, isto ´ e, “ 1 < 2 se e somente se 3 = 3 ” (novamente, n˜ ao precisamos de uma para estabelecer a veracidade da outra).
Em suma:
R S ¬ S R ∧ S R ∨ S R ∨ ˙ S R → S R ↔ S
F F V F F F V V
F V F F V V V F
V F F V V F F
V V V V F V V
Das colunas R ∨ ˙ S e R ↔ S na tabela l´ ogica (ou tabela-verdade) acima, observamos que os co- nectivos R ∨ ˙ S e R ↔ S s˜ ao logicamente complementares um ao outro ! Por este motivo, a disjun¸c˜ ao exclusiva tamb´ em ´ e denotada por ↮ . O uso de tabelas l´ ogicas ´ e um dos caminhos para verificar- mos e definirmos a equivalˆ encia (dita equivalˆ encia semˆ antica) de f´ ormulas bem formadas com vari´ aveis proposicionais. Outro caminho ´ e a aplica¸ c˜ ao de equivalˆ encias assumidas (axiomas) ou previamente demonstradas a por¸ c˜ oes daquelas f´ ormulas (dita equivalˆ encia sint´ atica). Por equivalˆ encias l´ ogicas, de- notadas com ⇔ entre as f´ ormulas equivalentes, podemos reescrever senten¸ cas e desenvolver passos de racioc´ınios. Tamb´ em utilizamos consequˆ encias l´ ogicas, quando a veracidade de uma f´ ormula (dita condi¸ c˜ ao suficiente) leva ` a veracidade de outra (dita condi¸ c˜ ao necess´ aria). Isto ´ e denotado por
⇒ . Equivalˆ encias e consequˆ encias l´ ogicas formam boa parte da l´ ogica e, portanto, ser˜ ao tratadas ` a
9As vezes, escreveremos` R←→Spor comodidade visual. `As vezes, “se e somente se” ´e abreviado “sse”.
medida que surgirem nesta disciplina.
A seguir, ilustramos alguns usos de conectivos e quantificadores para a forma¸c˜ ao de senten¸ cas com- plexas.
Ex.: “o conjunto vazio ´ e um conjunto sem elemento” e “nenhum elemento pertence ao conjunto vazio”
significam “n˜ ao existe um elemento pertencente ao conjunto vazio”.
Ex.: “Se duas retas distintas r e s se interceptam, ent˜ ao elas possuem um ´ unico ponto de intercep¸c˜ ao”.
Esta senten¸ ca pode ser entendida como uma combina¸ c˜ ao mais complexa de senten¸ cas. Por exemplo, a condi¸ c˜ ao precedida por “se” pode ser vista como a combina¸c˜ ao “ r e s s˜ ao retas distintas” e “ r e s se interceptam”, a qual ´ e verdadeira precisamente quando ambas as proposi¸c˜ oes “as duas retas s˜ ao distin- tas” e “as duas retas se interceptam” s˜ ao verdadeiras.
Ex.: “Se x ´ e um n´ umero real positivo menor que ou igual a 2, ent˜ ao existe uma ´ unica raiz quadrada real de 4 − x
2.” A condi¸ c˜ ao precedida por “se” pode ser entendida como a seguinte combina¸ c˜ ao: “ x ´ e um n´ umero real positivo menor que 2” ou “x=2”, a qual ´ e verdadeira precisamente quando ao menos uma das proposi¸ c˜ oes “x ´ e um n´ umero real positivo menor que 2” e “ x = 2 ” ´ e verdadeira ( ´ E fato que a tricotomia
10da compara¸ c˜ ao de n´ umeros reais impede estas duas proposi¸c˜ oes de serem verdadeiras ao mesmo tempo.
Ex.: A rigor, a express˜ ao “se x ´ e um n´ umero real tal que x > 1 , ent˜ ao x
2> 1 ” ´ e escrita como “Para todo x , se x ´ e um n´ umero real tal que x > 1 , ent˜ ao x
2> 1 ” (pois, assim, os dois predicados n˜ ao est˜ ao combinados diretamente como se fossem proposi¸ c˜ oes), mas nem sempre o “para todo x ” ´ e acrescentado em textos matem´ aticos. ` As vezes, dizemos que “dado x ” com tais propriedades, conclu´ımos isto e aquilo sobre ele.
Atividade A.1. Tente moldar v´ arias frases de seu cotidiano e de sua experiˆ encia matem´ atica com conectivos e quantificadores !
A.1.5. Sobre Proposi¸ c˜ oes em Matem´ atica
Proposi¸c˜ oes podem ser verdadeiras ou falsas a n´ıvel de l´ ogica mas, quando um enunciado ´ e precedido pelo r´ otulo “Proposi¸ c˜ ao” num texto matem´ atico, ele costuma ser uma proposi¸ c˜ ao que se demonstrar´ a verdadeira. Neste caso, proposi¸ c˜ ao ´ e um termo gen´ erico, embora outros termos possam ocorrer, a saber:
teorema, que ou ´ e usado como sinˆ onimo de proposi¸ c˜ ao, ou ´ e reservado ` as proposi¸ c˜ oes mais importantes;
10Dicotomia e tricotomia significam separa¸c˜ao exaustiva dos objetos em dois (respectivamente, trˆes) casos mutuamente excludentes: tem que valer um (Exaustiva !) e apenas um (Exclusiva !) para cada objeto naquele contexto. Do gregodikha,
‘em dois’;trikha, ‘em trˆes’; etom´e, discutido na Nota de Rodap´e 4.
lema, que ´ e uma proposi¸ c˜ ao auxiliar; e corol´ ario, proposi¸ c˜ ao que ´ e conseq¨ uˆ encia quase imediata da proposi¸ c˜ ao anterior.
Vale enfatizarmos que o m´ etodo l´ ogico-dedutivo(utilizado extensivamente pela matem´ atica contem- porˆ anea) usa termos que ocorrem no cotidiano e no m´ etodo cient´ıfico experimental, mas que, nele, possuem significado especializado. Em particular, cada proposi¸ c˜ ao possui sua tese, ou seja, algo que ´ e demonstrado (e, portanto, considera-se verdadeiro) na presen¸ ca de suposi¸c˜ oes, de um contexto, o qual
´
e descrito pela hip´ otese daquela proposi¸ c˜ ao.
Ex.: Na proposi¸ c˜ ao “Se um segmento de reta AB tem uma extremidade dentro de um c´ırculo c e a outra fora de c , ent˜ ao AB e c tˆ em um ponto em comum”, a hip´ otese ´ e que AB ´ e segmento de reta, c
´
e c´ırculo, uma das extremidades de AB est´ a dentro de c , e a outra extremidade de AB est´ a fora de c . J´ a a tese ´ e que AB e c tˆ em um ponto em comum. Observemos que, convenientemente, as palavras “se”
e “ent˜ ao” introduziram a hip´ otese e a tese, respectivamente.
Observemos tamb´ em que aquela tese ´ e v´ alida na presen¸ca da hip´ otese, mas n˜ ao necessariamente se esta n˜ ao se verificar. De fato, se ambas as extremidades de AB estiverem fora de c (uma situa¸c˜ ao em que aquela hip´ otese n˜ ao ´ e v´ alida), pode-se ter um dos trˆ es seguintes casos: ou AB e c n˜ ao tˆ em ponto algum em comum; ou eles tˆ em dois pontos distintos em comum; ou eles tˆ em um ´ unico ponto em comum.
Em particular, se n˜ ao se verifica a hip´ otese daquela proposi¸c˜ ao, ent˜ ao a tese pode ser v´ alida ou n˜ ao.
Em tal situa¸ c˜ ao, dizemos que a rec´ ıproca n˜ ao ´ e verdadeira.
Ex.: Na proposi¸ c˜ ao “Se duas retas distintas se intersectam, ent˜ ao elas possuem um ´ unico ponto de
interse¸c˜ ao”, a hip´ otese ´ e que as duas retas s˜ ao distintas e se intersectam, e a tese ´ e que elas possuem
um ´ unico ponto de interse¸ c˜ ao. Entretanto, se duas retas n˜ ao se intersectam (s˜ ao paralelas), aquele
ponto n˜ ao existe, e se duas retas s˜ ao iguais (coincidentes), ent˜ ao aquele ponto n˜ ao ´ e ´ unico. Assim,
neste exemplo, a tese ´ e v´ alida na presen¸ ca daquela hip´ otese, e falha caso se tenham duas retas para
as quais a hip´ otese n˜ ao ´ e v´ alida. Modificando o enunciado da proposi¸c˜ ao um pouco, podemos torn´ a-la
uma equivalˆ encia, o que ´ e um resultado mais forte: “Sejam r e s duas retas. r e s s˜ ao distintas e se
intersectam se, e somente se, r e s possuem um ´ unico ponto de interse¸c˜ ao”. A rigor, a hip´ otese ´ e que r
e s s˜ ao retas, e a tese ´ e a equivalˆ encia entre estas serem concorrentes (distintas e que se intersectam) e
seu ponto de interse¸ c˜ ao existir e ser ´ unico.
A.2. Conjuntos e Rela¸ c˜ oes
O objetivo desta se¸ c˜ ao ´ e enfatizar (destacar) alguns conceitos da teoria axiom´ atica dos conjuntos usados na matem´ atica superior como um todo e, em particular, diversos t´ opicos da geometria. Eles aparecem na linguagem cotidiana mas, num texto de matem´ atica, eles podem estar sendo utilizados num sentido mais estrito
11do que no dia-a-dia. Assim, esta se¸ c˜ ao apenas introduzir´ a aqueles conceitos para deix´ a- los suficientemente amarrados. Ela n˜ ao tem o objetivo de fazer um estudo compreensivo (amplo) deles de modo algum: isto seria pr´ oprio de alguns cursos de l´ ogica e fundamentos da matem´ atica, e de alguns cursos introdut´ orios ` a matem´ atica e sua metodologia.
A.2.1. Classes e Conjuntos
Esta subse¸ c˜ ao apresenta um primeiro contato com classes e conjuntos honesto com rela¸c˜ ao ` a profundi- dade do tema. Para tanto, ela ´ e um pouco mais abstrata do que as demais, que tˆ em um cunho mais operacional e pr´ atico. Pedimos que o(a) leitor(a) n˜ ao se intimide com sua primeira leitura, e que retorne a esta subse¸c˜ ao quando achar proveitoso.
De uma forma geral, uma cole¸ c˜ ao de objetos que ´ e bem definida por estes objetos e nada mais ´ e denominada classe, e os objetos s˜ ao denominados elementos (ou membros) daquela classe. Podemos falar, por exemplo, na classe de todos os estudantes que foram matriculados numa certa “classe” (turma) de uma universidade ou escola (chamemos tal turma de “1LM10.2”, referindo-nos ao primeiro per´ıodo da Licenciatura em Matem´ atica do semestre 2010.2 de alguma universidade). Estes estudantes s˜ ao os
´
unicos elementos x para os quais o seguinte predicado ´ e verdadeiro: P
1( x ) ˆ = “ x foi matriculado(a) na Turma 1LM10.2”.
Defini¸ c˜ ao A.5. A rela¸ c˜ ao entre elementos e as classes das quais eles s˜ ao elementos ´ e denominada pertinˆ encia (do latim pertinentia, ‘o que diz respeito a’), associada ao verbo pertencer (do latim per- tinesc(e)re, de pertinere, ‘pertencer a’, ‘ser propriedade de’). Dados um elemento a e uma classe A ` a qual ele pertence, denotamos a rela¸ c˜ ao de pertinˆ encia entre eles pela senten¸ ca a ∈ A , e sua nega¸ c˜ ao por a ∉ A .
Sendo determinada por seus objetos, uma classe A ´ e caracterizada por algum predicado P
A( x ) (e por qualquer outro logicamente equivalente a P
A( x ) ) tal que todos os objetos x de A satisfazem P
A( x ) (tornam-no verdadeiro) e apenas eles satisfazem P
A( x ) (nenhum objeto “fora” de A o satisfaz). Em suma: para todo objeto x , P
A( x ) = V ⇐⇒ x ´ e elemento de A . Denotamos isto por A = { x ∣ P
A( x )} , lido
“ A ´ e a classe dos elementos x tais que P
A( x ) ”. Dizemos que a classe A foi formada por abstra¸ c˜ ao (ou compreens˜ ao irrestrita) e que A ´ e a extens˜ ao de qualquer predicado que a caracteriza. Da´ı, o nome do seguinte axioma:
11Amarrado, restrito, r´ıgido, rigoroso, especializado; do latimstrictus.
Axioma A.6. (Axioma da Extens˜ ao) Duas classes A e B s˜ ao iguais se e somente se possuem os mesmos objetos. Simbolicamente: A = B ⇐⇒ ∀ x, ( x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ) .
Exemplo A.7. { 1, 2, 3 } = { x ∣ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 } . A classe universal ´ e a classe que consiste de todos os objetos. Ela pode ser descrita como a extens˜ ao do predicado x = x , universalmente verdadeiro na matem´ atica: { x ∣ x = x } . A classe vazia ∅ ´ e a classe sem objetos. Ela pode ser descrita como a extens˜ ao do predicado x ≠ x , universalmente falso na matem´ atica: ∅ = { x ∣ x ≠ x } . Portanto, para todo objeto x , x ∉ ∅ .
Definimos tamb´ em a rela¸ c˜ ao de continˆ encia (ou inclus˜ ao), familiar ao(` a) leitor(a):
Defini¸ c˜ ao A.8. Dadas duas classes A e B , dizemos que A ´ e subclasse de B , A est´ a contida em B , B ´ e superclasse de A , e B cont´ em A se e somente se todo elemento de A ´ e tamb´ em elemento de B . Denotamos a rela¸ c˜ ao de continˆ encia pela senten¸ ca A ⊆ B , e sua nega¸ c˜ ao por A ⊈ B . Simbolicamente:
A ⊆ B ⇐⇒ ∀ x, ( x ∈ A Ô⇒ x ∈ B ) . Tamb´ em definimos subclasse pr´ opria:
12A ⊂ B (tamb´ em de- notada A ⊊ B ) se e somente se A ⊆ B mas A ≠ B , ou seja, todo elemento de A ´ e elemento de B mas algum elemento de B n˜ ao est´ a em A .
Facilmente demonstramos os seguintes resultados:
Proposi¸ c˜ ao A.9.
i. Dadas duas classes A e B , elas s˜ ao iguais se e somente se uma est´ a contida na outra. Simbolica- mente: A = B ⇐⇒ ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A ) .
ii. Dada uma classe A , temos que ∅ ⊆ A e A ⊆ A . Logo, toda classe possui, ao menos, uma subclasse.
J´ a o termo conjunto
13tem um uso mais estrito: de uma forma geral, refere-se a uma classe que tamb´ em ´ e elemento de alguma classe.
14A classe vazia ´ e um conjunto, dito conjunto vazio, por axi- oma. Portanto, pelo menos um conjunto existe. Agora, por que alguma classe poderia n˜ ao ser um conjunto ? Uma resposta para isto ´ e o c´ elebre resultado abaixo (a prova dada ´ e opcional, mas ´ e um bom exemplo de demonstra¸c˜ ao por contradi¸ c˜ ao). Para facilitar o acompanhamento do enunciado e da demonstra¸ c˜ ao, chamaremos qualquer conjunto que n˜ ao pertence a si mesmo de conjunto ordin´ ario, e qualquer conjunto que pertence a si mesmo de conjunto extraordin´ ario.
Teorema A.10. Paradoxo de Russell, por Bertrand Russell (1901, comunicado em 1902). A classe R ˆ = { x ∣ x ´ e conjunto e x ∉ x } dos conjuntos ordin´ arios n˜ ao ´ e um conjunto.
12N˜ao misturar os conceitos de classe pr´opria e subclasse pr´opria.
13As vezes, um conjunto ´` e chamado decole¸c˜aooufam´ıliapara evitar repeti¸c˜oes. Ex.: ‘uma cole¸c˜ao de fam´ılias de conjuntos’
significa ‘um conjunto de conjuntos de conjuntos’.
14Ex.: Um conjuntoC´e o ´unico membro da classe{C}, que tamb´em ´e um conjunto.
Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que, por absurdo, R ´ e um conjunto. Assim, como R ´ e elemento de conjuntos, temos que uma e apenas uma das seguintes situa¸ c˜ oes ocorre: ou R ∈ R ( R ´ e extraordin´ ario) ou R ∉ R ( R ´ e ordin´ ario). Mas:
− Se R ∈ R , isto ´ e, se R ´ e um elemento de R , ent˜ ao temos que R satisfaz o predicado (em x ) que define R , isto ´ e, temos que R ´ e um conjunto ordin´ ario. Em particular, R ∉ R ; e
− Se R ∉ R , como R ´ e, supostamente, um conjunto, ent˜ ao ele satisfaz o predicado (em x ) dado por “ x ´ e conjunto e x ∉ x ” (ou seja, R ´ e um conjunto ordin´ ario). Como este predicado define R , segue-se que R ´ e um elemento de R ( R ∈ R ), ou seja, R ´ e um conjunto extraordin´ ario.
Logo, R ∈ R Ô⇒ R ∉ R e R ∉ R Ô⇒ R ∈ R , isto ´ e, concluimos que R ∈ R ⇐⇒ R ∉ R ( R ´ e um conjunto extraordin´ ario se e somente se R ´ e um conjunto ordin´ ario), o que ´ e necessariamente falso.
15Portanto,
R n˜ ao ´ e conjunto. C.Q.D.
Na teoria axiom´ atica dos conjuntos mais utilizada, a de Zermelo-Fraenkel (ZF, geralmente adotada com certos axiomas adicionais, quando ´ e chamada de ZFCH), n˜ ao lidamos com classes quaisquer dire- tamente: elas aparecem apenas na metodologia utilizada pela matem´ atica (dizemos que elas aparecem na metalinguagem utilizada). Em ZF (e ZFCH), s´ o utilizamos conjuntos, e podemos formar novos con- juntos a partir de qualquer conjunto C dado aplicando predicados aos elementos de C . As subclasses assim obtidas s˜ ao conjuntos por for¸ ca do esquema axiom´ atico de compreens˜ ao restrita (ou da separa¸ c˜ ao, ou da especifica¸ c˜ ao, ou do subconjunto): vide mais detalhes na Subse¸ c˜ ao A.2.2. Com isto, temos o seguinte resultado em ZF (e em ZFCH):
Teorema A.11. A classe de todos os conjuntos n˜ ao ´ e um conjunto.
Demonstra¸ c˜ ao. Se, por absurdo, a classe A ˆ = { x ∣ x ´ e conjunto } fosse um conjunto, ent˜ ao a classe R ˆ = { x ∈ A ∣ x ∉ x } seria subconjunto de A e, em particular, seria um conjunto. Mas esta classe R ´ e a mesma R do Paradoxo de Russell e, portanto, n˜ ao ´ e um conjunto, contradizendo a conclus˜ ao anterior.
C.Q.D.
Moral da est´ oria: Quando lidamos com classes de objetos, algumas delas podem n˜ ao se comportar como objetos, isto ´ e, podem n˜ ao pertencer a outras classes. Estas classes que n˜ ao s˜ ao conjuntos s˜ ao denominadas classes pr´ oprias. Vimos dois exemplos delas acima.
Enquanto h´ a teorias dos conjuntos que formalizam classes ou d˜ ao tratamentos alternativos a estas, a teoria mais usada se restringe a conjuntos. Mais ainda: ela possui dois axiomas bastante restritivos.
O axioma da regularidade, que for¸ ca os conjuntos a serem constru´ıdos passo a passo a partir do conjunto vazio e dos objetos que n˜ ao s˜ ao conjuntos, ou seja, aqueles objetos que s˜ ao apenas elementos
15Se um lado da bicondicional ´e verdadeiro, ent˜ao o outro ´e falso, pois um ´e nega¸c˜ao do outro. Assim, eles n˜ao podem ser ambos verdadeiros ou ambos falso para tornarem aquela bicondicional verdadeira.
(ditos proto-elementos
16ou ´ atomos – cf. Nota de Rodap´ e 4). J´ a o axioma da pureza, que n˜ ao est´ a naquela teoria diretamente, mas costuma ser assumido, diz que n˜ ao h´ a proto-elementos: todo elemento
´
e conjunto. Isto significa que tudo ´ e constru´ıdo a partir de ∅ , e as diversas teorias matem´ aticas devem, pois, ser modeladas em termos de conjuntos. Por exemplo, os n´ umeros naturais podem ser simulados pela constru¸ c˜ ao feita por John von Neumann: ∅ representa 0 ; {∅} = { 0 } representa 1 ; {∅ , {∅}} = { 0, 1 } representa 2 ; e assim por diante: { 0, . . . , n − 1 } representa n . Cada n´ umero natural n fica, deste modo, simulado por um conjunto de n elementos !
Na presen¸ ca dos axiomas de regularidade e pureza, a classe de todos os conjuntos ´ e, pois, a classe universal, agora denominada universo de von Neumann e denotada por V .
A.2.2. Opera¸ c˜ oes com (entre) Conjuntos
As opera¸ c˜ oes com (entre) conjuntos mais t´ıpicas s˜ ao bem aceitas na matem´ atica. Elas s˜ ao formalizadas (por axiomas e proposi¸c˜ oes) e estudadas pela teoria axiom´ atica dos conjuntos mais adotada (ZFCH, mencionada na Subse¸ c˜ ao A.2.1). Elas s˜ ao:
Forma¸ c˜ ao de conjuntos (finitos) por extens˜ ao: Podemos formar um conjunto dizendo quais s˜ ao seus elementos (bem definidos) um a um. Ex.: Deste modo, podemos formar os conjuntos { 3 } (o conjunto unit´ ario cujo ´ unico elemento ´ e o n´ umero 3 ), { a, b, c } (cujos ´ unicos elementos s˜ ao as letras a , b e c ), { 1, 4 } (o par desordenado consistindo dos n´ umeros 1 e 4 ) e, em geral, qualquer conjunto da forma { a
1, a
2, . . . , a
n} com exatamente n elementos, os quais s˜ ao os a
ıdois a dois distintos (ou seja, se os ´ındices ı e ȷ s˜ ao diferentes, ent˜ ao os elementos a
ıe a
ȷtamb´ em s˜ ao diferentes). Se necess´ ario, tal conjunto tamb´ em pode ser escrito com ponto-e-v´ırgula: { a
1; a
2; . . . ; a
n} . Observemos que todo conjunto C pertence a, pelo menos, um conjunto: C ∈ { C } .
Forma¸ c˜ ao de subconjunto: Dados um conjunto C e um predicado P ( x ) na vari´ avel x , formamos o subconjunto cujos elementos s˜ ao, exatamente, os elementos x de C que satisfazem a propriedade P ( x ) . Descrevemos tal conjunto por compreens˜ ao restrita
17: { x ∈ C ∣ P ( x )} ⊆ C . A letra x n˜ ao
´
e privilegiada: podemos usar qualquer letra ainda n˜ ao utilizada. Ex.: Se C ´ e o conjunto dos estudantes que foram matriculados na Turma 1LM10.2, ent˜ ao podemos formar o subconjunto { x ∈ C ∣ x ´ e mulher } . Recordando a nota¸ c˜ ao N para o conjunto dos n´ umeros naturais (nesta disciplina, ele inclui o zero) e R para o conjunto dos n´ umeros reais (vide a Subse¸c˜ ao A.2.7), podemos formar os subconjuntos { n ∈ N ∣ n ´ e par e n < 6 }, o qual tamb´ em pode ser descrito por extens˜ ao como { 0, 2, 4 } , e { x ∈ R ∣ 0 < x < 6 } , mais conhecido como intervalo aberto ( 0, 6 ) . Este tem um n´ umero infinito de elementos e, portanto, n˜ ao pode ser descrito por extens˜ ao. Dizemos que S ´ e um subconjunto pr´ oprio de C se e somente se S ⊆ C mas S ≠ C .
16Do gregoprotos, ‘primeiro’, ‘o que est´a `a frente’. O nome vem do termo matem´atico em alem˜ao,Urelemente, onde aparece o prefixoUr-, ‘primordial’.
17Restrita porque s´o forma conjuntos a partir de um conjunto dado, e n˜ao aplicando a propriedadeP(x)a todos os elementos poss´ıveis na matem´atica.
Diferen¸ ca: Dados os conjuntos A e B , a diferen¸ ca A / B (tamb´ em denotada por A − B ) consiste dos elementos de A que n˜ ao pertencem a B . Assim, A / B ´ e o subconjunto { a ∈ A ∣ a ∉ B } . Ex.:
{ 1, 2, 3 }/{ 2, 4, 6 } = { 1, 3 } , { 2, 4, 6 }/{ 1, 2, 3 } = { 4, 6 } e
{ 1, 2, 3 }/{ 1, 2 } = { 3 } , enquanto { 1, 2 }/{ 1, 2, 3 } = ∅ . J´ a N /{ 0 } ´ e o conjunto dos n´ umeros naturais positivos (que s˜ ao todos os naturais diferentes de zero)
18.
Interse¸ c˜ ao: Dados os conjuntos A e B , sua interse¸ c˜ ao A ∩ B consiste dos elementos que pertencem a ambos (isto ´ e, a A e B ). Ex.: { 1, 2, 3 } ∩ { 2,4,6 } = { 2 } ,
{ 1, 2, 3 } ∩ { 4, 5, 6 } = ∅ e ( 0, 4 ) ∩ ( 3, 6 ) = ( 3, 4 ) . Dois conjuntos s˜ ao ditos disjuntos se e somente se sua interse¸ c˜ ao ´ e vazia. Por exemplo, { 1, 2, 3 } e { 4,5,6 } s˜ ao disjuntos. Em geral, est´ a definida a interse¸ c˜ ao de uma fam´ılia F de conjuntos, isto ´ e, a interse¸c˜ ao de todos os conjuntos da fam´ılia (seja ela finita ou n˜ ao). Tal interse¸ c˜ ao consiste dos elementos que pertencem a todos os conjuntos em F , e ´ e denotada por ⋂ F e tamb´ em por ⋂
C∈F
C . Ex.: Seja a familia de intervalos (reais) abertos A ˆ ={(− n, n )∣ n ∈ N /{ 0 } } , ou seja, para cada natural positivo, o conjunto (− n, n ) pertence a A . (− 1, 1 ) , (− 2, 2 ) , (− 3,3 ) . . . s˜ ao intervalos encaixados
19e cada vez mais largos. Ent˜ ao, ⋂ A = (− 1,1 ) . Uni˜ ao: Dados os conjuntos A e B , sua uni˜ ao A ∪ B consiste dos elementos que pertencem a pelo
menos um deles (isto ´ e, a A ou B ). Ex.: ( 0, 4 ) ∪ ( 4, 6 ) = ( 0,6 )/{ 4 } e
{ 1, 2, 3 } ∪ { 2,4,6 } = { 1, 2, 3, 4, 6 } . Em geral, est´ a definida a uni˜ ao de uma fam´ılia F de conjuntos, isto ´ e, a uni˜ ao de todos os conjuntos da fam´ılia (seja ela finita ou n˜ ao). Tal uni˜ ao consiste dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos em F , e ´ e denotada por ⋃ F e tamb´ em por ⋃
C∈F
C . Ex.: Considerando, novamente, a fam´ılia A = {(− n, n )∣ n ∈ N /{ 0 } } , reconhecemos que
⋃ A = R (Por quˆ e ?). Uma uni˜ ao ´ e dita disjunta quando os conjuntos da fam´ılia em quest˜ ao s˜ ao dois a dois disjuntos (isto ´ e, a interse¸ c˜ ao de quaisquer dois deles distintos ´ e vazia). Neste caso, costumamos denotar a uni˜ ao por ⊔ F e tamb´ em por ⊔
C∈F
C para real¸ car tal disjun¸ c˜ ao.
Conjunto das partes: Dado um conjunto C , o conjunto das partes P( C ) de C consiste dos sub- conjuntos de C . Em particular, ∅ ∈ P( C ) e C ∈ P( C ) . Conjuntos das partes n˜ ao ser˜ ao diretamente utilizados nesta disciplina.
Par ordenado: Dados dois objetos a e b , o par ordenado ( a, b ) ´ e o objeto formal que abstrai a referˆ encia ordenada ` aqueles objetos (ditos entradas do par): “primeiro a , depois b ”. Assim, caracterizamos pares ordenados pela seguinte propriedade (axioma):
Dados os pares ordenados ( a, b ) e ( c, d ) , eles s˜ ao iguais se e somente se ( a = c e b = d ).
Um par ordenado pode ser simulado a partir da forma¸ c˜ ao de conjuntos por extens˜ ao. Por exemplo, na vers˜ ao de Kazimierz Kuratowski (1921), ( a, b ) ´ e o conjunto (par desordenado) {{ a } , { a, b }} , cujos elementos s˜ ao os conjuntos { a } e { a, b } . Na vers˜ ao de Norbert Wiener (1914), ( a, b ) ´ e o conjunto {{{ a } , ∅} , {{ b }}} .
18A nota¸c˜aoA∗significa ‘o conjunto dos elementos deAcom inverso multiplicativo emA’. Assim,
R∗=R/{0} eQ∗ =Q/{0}, pois todo n´umero real n˜ao-nulo tem inverso real, e todo n´umero racional n˜ao-nulo tem inverso racional. Por´em,Z∗={−1,+1}, pois−1 e+1 s˜ao os ´unicos inteiros com inversointeiro.
19Encaixados: (−1,1)⊊(−2,2)⊊(−3,3)⊊. . .⊊(−n, n)⊊(−n−1, n+1)⊊. . .
Produto cartesiano: Dados dois conjuntos A e B , definimos seu produto cartesiano
20A × B como sendo o conjunto dos pares ordenados ( a, b ) com a ∈ A e b ∈ B . Tal conjunto pode ser simulado atrav´ es de uma combina¸ c˜ ao de outras opera¸ c˜ oes com conjuntos (par desordenado, extra¸ c˜ ao de subconjunto, uni˜ ao e conjunto das partes).
Ex.: { 1, 2 } × { 2, 4, 6 } = {( 1, 2 ) ; ( 1, 4 ) ; ( 1, 6 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 2, 4 ) ; ( 2, 6 )} . Produtos cartesianos R
nde um n´ umero natural positivo n de c´ opias do conjunto dos n´ umeros reais R s˜ ao muito importantes nesta disciplina (cf. Subse¸c˜ ao A.2.8).
Defini¸ c˜ ao A.12. Aceitando classes (inclusive classes pr´ oprias) como entes em nossa teoria dos con- juntos, o produto cartesiano A × B das classes A e B pode ser definido, analogamente, como sendo a classe A × B ∶= { x ∣ x = ( a, b ) para algum a ∈ A e algum b ∈ B } .
Obs. Podemos mostrar que A × B ´ e conjunto se e somente se ambas A e B s˜ ao conjuntos.
Lembramos que Z denota o conjunto dos n´ umeros inteiros. cf. Subse¸ c˜ ao A.2.7. Eis aqui alguns exerc´ıcios que ajudar˜ ao o(a) leitor(a) a adquirir mais familiaridade com as opera¸c˜ oes de que tratamos nesta subse¸ c˜ ao ou, ao menos, verificar a sua familiaridade com elas:
Exerc´ ıcio A.2. Sejam os conjuntos A = ˆ { 0, 2 } , B ˆ = { 0, 1, 2 } , C = ˆ { 0, 2, 4, 6 } , D ˆ = { 1, 3, 5 } , E ˆ = ( 1, 4 ) e F = ˆ ( 2, 5 ) . Calcule os conjuntos pedidos abaixo. Cada resposta sua pode ser dada num dos seguintes formatos, conforme seja apropriado:
− ∅ (conjunto vazio);
− Por extens˜ ao (Ex.: A acima);
− Intervalo em R (Ex.: E acima, que ´ e um intervalo aberto; ( 2, 3 ] , que ´ e o intervalo semi-aberto { r ∈ R ∣ 2 < r ≤ 3 } ; [ 2, 3 ] , que ´ e o intervalo fechado { r ∈ R ∣ 2 ≤ r ≤ 3 } );
− Uni˜ ao disjunta de conjuntos dos dois tipos anteriores (Ex.: { 1 } ⊔ ( 2, 3 ] ⊔ { 7,8 } ).
Os conjuntos a serem calculados s˜ ao:
i. Diferen¸ cas: A / B , B / A , C / D , D / C , E / F , F / E , F / B , E / B e F / C . Algumas delas resultaram em algum dos seis conjuntos acima ? Em caso afirmativo, por quˆ e ?
ii. Interse¸ c˜ oes de dois conjuntos: A ∩ B , B ∩ C , C ∩ D , E ∩ F , E ∩ B e F ∩ C . Algumas delas resultaram em algum dos seis conjuntos acima ? Em caso afirmativo, por quˆ e ?
iii. Interse¸ c˜ oes de fam´ılias com mais de dois conjuntos: ∩ { A, B, C }, ∩ { A, B, C, D } e ∩ { D, E, F };
20‘Cartesiano’ significa ‘relativo a(o pensamento, a obra de) Ren´e Descartes’ (1596–1650). O nome latinizado para ‘Descartes’
´
eCartesius.