Departamento de Engenharia Civil
Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Engenharia Civil
AN ´ ALISE DE ESTRUTURAS RETICULADAS ESPACIAIS COM BARRAS DE SE ¸ C ˜ OES
VARI ´ AVEIS
Renato Antˆ onio Tavares Pereira
Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Engenharia Civil da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte dos requisitos necess´ arios ` a obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Civil.
Orientadores: Prof. Dr.-Ing Francisco C´ elio de Ara´ ujo Profa. D. Sc. K´ atia In´ acio da Silva
Campus Morro do Cruzeiro Ouro Preto, MG - Brasil
Mar¸co, 2015
Catalogação: www.sisbin.ufop.br [manuscrito] / Renato Antonio Tavares Pereira. - 2015.
70f.: il.: color; grafs; tabs.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Célio de Araújo.
Coorientadora: Profa. Dra. Kátia Inácio da Silva.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil - PROPEC.
Área de Concentração: Construções Métálicas.
1. Pórticos espaciais. 2. Deslocamentos em metais. 3. Metodos de elementos de contorno. I. Araújo, Francisco Célio de . II. Silva, Kátia Inácio da. III.
Universidade Federal de Ouro Preto. IV. Titulo.
CDU: 624.04
Aos meus pais e ` a minha fam´ı-
lia.
Agradecimentos
Primeiramente agrade¸co a Deus por est´ a sempre guiando os meus caminhos.
Aos meus pais, Edgardo e Maria da Gl´ oria, pelo investimento, apoio e conselhos du- rante esses anos de estudos. ` As minhas irm˜ as, Marcela e Isabel por sempre estarem ao meu lado.
A minha fam´ılia por estar sempre incentivando a buscar as conquistas. ` A Graziele, pela paciˆ ` encia, apoio e muita compreens˜ ao durante essa jornada.
Ao Prof. Francisco C´ elio de Ara´ ujo, pela paciˆ encia, dedica¸c˜ ao e oportunidades pro- porcionadas desde as orienta¸c˜ oes no per´ıodo de inicia¸c˜ ao cient´ıfica at´ e a conclus˜ ao deste trabalho de mestrado.
A Prof. K´ ` atia In´ acio da Silva, por seu empenho, dedica¸c˜ ao e orienta¸c˜ oes durante o curso de mestrado.
Aos colegas de mestrado, em especial ao Igor, Vin´ıcius, Murillo, Rafael, Everton, Marcela, Gustavo, Maicon, Diego, B´ arbara e Rodrigo pelos momentos de companheirismo, descontra¸c˜ ao e nos esclarecimentos de d´ uvidas.
Aos primos que dividiram moradia durante alguns anos em Ouro Preto, Carlos, Gil- berto e Hugo, pelos bons momentos.
Aos amigos Anchieta e Irina, pelo apoio, conselhos e momentos de descontra¸c˜ ao.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnol´ ogico-CNPq, ` a Coorde- na¸c˜ ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior-CAPES, ` a Pr´ o-Reitoria de Pes- quisa e P´ os-Gradua¸c˜ ao-PROPP/UFOP e ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Engenharia Civil-PROPEC/UFOP, pelo suporte financeiro.
Aos professores e funcion´ arios da Universidade Federal de Ouro Preto, em especial a
R´ ovia e Andr´ e, secret´ arios do Programa de P´ os Gradua¸c˜ ao em Engenharia Civil (PRO-
PEC/UFOP), assim como a todos aqueles que colaboraram de alguma forma na realiza¸c˜ ao
deste trabalho, os meus sinceros agradecimentos.
mim mesmo que n˜ ao posso fazer uma determinada coisa, ´ e poss´ıvel que acabe me tornando realmente incapaz de fazˆ e-la. Ao contr´ ario, se tenho a convic¸c˜ ao de que posso fazˆ e-la, certamente adquirirei a capacidade de realiz´ a-la, mesmo que n˜ ao a tenha no come¸co.”
— Mahatma Gandhi
Resumo da Disserta¸c˜ ao apresentada ao PROPEC/UFOP como parte dos requisitos necess´ arios para a obten¸c˜ ao do grau de Mestre em Engenharia Civil
AN ´ ALISE DE ESTRUTURAS RETICULADAS ESPACIAIS COM BARRAS DE SE ¸ C ˜ OES VARI ´ AVEIS
Renato Antˆ onio Tavares Pereira Mar¸co, 2015
Orientadores: Prof. Dr.-Ing Francisco C´ elio de Ara´ ujo Profa. Dra. K´ atia In´ acio da Silva
Neste trabalho, apresenta-se uma formula¸c˜ ao para a an´ alise de p´ orticos espaciais (3D) capaz de modelar elementos de barra com se¸c˜ oes transversais contendo formas geom´ e- tricas arbitr´ arias, variando genericamente ao longo do elemento. Particularmente para a determina¸c˜ ao da rigidez torcional e da fun¸c˜ ao de empenamento da se¸c˜ ao transversal, obtidas segundo Saint-Venant (equa¸c˜ ao de Laplace), aplica-se o M´ etodo dos Elementos de Contorno (MEC). Al´ em disso, considerando o teorema de Green, as demais propriedades geom´ etricas das se¸c˜ oes (´ area, momentos de in´ ercia, fator de forma ao cisalhamento, etc.) s˜ ao expressas em termos de integrais de contorno, e desse modo, a malha de elementos de contorno considerada para a resolu¸c˜ ao do problema de tor¸c˜ ao ´ e usada para o c´ alculo dessas propriedades. Nota-se que para o c´ alculo autom´ atico do fator de forma ao cisa- lhamento, adota-se uma discretiza¸c˜ ao da se¸c˜ ao em faixas de c´ alculo ao longo das dire¸c˜ oes principais, sendo, nesse processo, a avalia¸c˜ ao de momentos est´ aticos pertinentes tamb´ em calculados via integrais de contorno. Posteriormente, essas estrat´ egias s˜ ao incorporada a uma formula¸c˜ ao pr´ opria para o c´ alculo num´ erico da matriz de rigidez de elemento do M´ e- todo dos Deslocamentos (da Rigidez Direta) nos casos em que essas propriedades variem genericamente ao longo do eixo, e um programa computacional para a an´ alise de p´ orti- cos espaciais ´ e desenvolvido. A fim de validar os resultados, as compara¸c˜ oes com pacote comercial SAP 2000 c , e com diversos problemas encontrados na literatura s˜ ao realizadas.
Palavras–Chave: P´ orticos espaciais, M´ etodo dos Deslocamentos, M´ etodo dos Elementos
de Contorno, propriedades de se¸c˜ oes, varia¸c˜ ao gen´ erica de rigidez, se¸c˜ oes quaisquer
Abstract of Dissertation presented to PROPEC/UFOP as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science in Civil Engineering
ANALYSIS OF SPATIAL FRAMED STRUCUTURES WITH BARS OF VARIABLE CROSS SECTIONS
Renato Antˆ onio Tavares Pereira March, 2015
Advisors: Prof. Dr.-Ing Francisco C´ elio de Ara´ ujo Profa. Dra. K´ atia In´ acio da Silva
In this work, a formulation for the analysis of spatial (3D) frames is presented that allows the modeling of elements with geometrically arbitrary cross sections varying along their axis according to generic laws. Particularly for determining the section warping function, and the torsional stiffness, which result from solving the Saint-Venant torsion problem, the BEM is employed. Besides, considering the Green’s theorem, all the other geometric characteristics of the section (area, moments of inertia, shear-shape factor, etc.) are expressed in terms of boundary integrals, and so, the boundary element mesh used to solve the torsion problem is re-used to determine these section geometrical data.
Notice that for the automatic evaluation of the shear-shape factor (employed to determine he effective shear area), the section is discretized along the principal axes by means of cal- culation strips, and the Gauss-Legendre quadrature is applied. After that, these strategies are considered along with a suitable formulation for the numerical evaluation of element stiffness matrices (for the Direct Stiffness Method - DSM), in cases when these geometri- cal properties generically vary along the element axis. All the techniques are eventually incorporated into a compute code for the general analysis of 3D (spatial) frame structures.
In order to validate the results, comparisons with SAP 2000 c package, and with several problems found in the technical literature are accomplished.
Keywords: spatial frames, Direct Stiffness Method, Boundary Element Method, section
properties, generic stiffness variation, generic-shape sections
Sum´ ario
Lista de Figuras . . . . xii
Lista de Tabelas . . . . xiv
Lista de Abreviaturas e Siglas . . . . xvi
Lista de S´ımbolos . . . . xvii
1 Introdu¸ c˜ ao . . . . 1
1.1 Generalidades . . . . 1
1.2 Motiva¸ c˜ ao e Objetivos . . . . 2
1.3 Estado da Arte . . . . 4
1.3.1 An´ alise estrutural . . . . 4
1.3.2 Tor¸c˜ ao . . . . 6
1.3.3 Processos de integra¸c˜ ao . . . . 7
1.4 Organiza¸ c˜ ao do Trabalho . . . . 8
2 M´ etodo dos Deslocamentos (ou da Rigidez Direta ) . . 10
2.1 Sistemas de Referˆ encia . . . . 10
2.1.1 Sistema global . . . . 10
2.1.2 Sistema local . . . . 11
2.2 Formula¸ c˜ ao Matricial do M´ etodo dos Deslocamentos . . . . 12
2.2.1 Coeficientes de rigidez e a¸c˜ oes de engastamento perfeito . . . . . 13
3 Propriedades Geom´ etricas das Se¸ c˜ oes Transversais . . 23
3.1 Area, Momentos de In´ ´ ercia e Est´ atico . . . . 23
3.2 Fator de Forma ao Cisalhamento . . . . 32
4 Resultados Num´ ericos . . . . 38
4.1 Problema 1: M´ısulas . . . . 38
4.1.1 M´ısula reta . . . . 38
4.1.2 M´ısula parab´ olica . . . . 41
4.2 Problema 2: Laje por Analogia de Grelha . . . . 43
4.3 Problema 3: C´ alculo das Propriedades Geom´ etricas . . . . 48
4.3.1 Se¸c˜ oes de parede espessa . . . . 48
4.3.2 Se¸c˜ oes de parede fina . . . . 54
4.4 Problema 4: Edif´ıcio de 10 Pavimentos . . . . 57
5 Considera¸ c˜ oes Finais . . . . 65
5.1 Conclus˜ oes . . . . 65
5.2 Aspectos futuros . . . . 67
Referˆ encias Bibliogr´ aficas . . . . 68
Lista de Figuras
FIGURA 1.1 – Exemplos pr´ aticos de elementos estruturais com in´ ercia vari´ avel . . 3
FIGURA 2.1 – Sistema de Referˆ encia Global do SAP 2000 c . FONTE: Manual SAP 2000 c . . . . 11
FIGURA 2.2 – Sistema Local de elemento . . . . 11
FIGURA 2.3 – Orienta¸c˜ ao da se¸c˜ ao transversal no espa¸co . . . . 12
FIGURA 2.4 – Representa¸c˜ ao dos eixos principais 2p e 3p . . . . 13
FIGURA 2.5 – Elemento de p´ ortico espacial . . . . 14
FIGURA 2.6 – Estado de carregamento . . . . 15
FIGURA 2.7 – Elemento de p´ ortico espacial considerado no caso I . . . . 15
FIGURA 2.8 – Elemento de p´ ortico espacial considerado no caso II . . . . 16
FIGURA 2.9 – Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao . . . . 19
FIGURA 2.10 –Elemento sob a¸c˜ ao de carregamento gen´ erico . . . . 21
FIGURA 3.1 – Elemento sob a¸c˜ ao de carregamento gen´ erico . . . . 25
FIGURA 3.2 – Representa¸c˜ ao do ponto x no contorno Γ . . . . 27
FIGURA 3.3 – Detalhe da malha de contorno em x . . . . 27
FIGURA 3.4 – Tens˜ ao cisalhante em x Ω . . . . 29
FIGURA 3.5 – Determina¸c˜ ao do centro de tor¸c˜ ao . . . . 31
FIGURA 3.6 – Discretiza¸c˜ ao da se¸c˜ ao transversal por faixas . . . . 33
FIGURA 3.7 – Detalhe de uma faixa da se¸c˜ ao transversal . . . . 34
FIGURA 3.8 – Elemento linear de contorno . . . . 35
FIGURA 3.9 – Elemento linear de contorno . . . . 36
FIGURA 4.1 – Viga em an´ alise . . . . 39
FIGURA 4.2 – Viga em an´ alise . . . . 40
FIGURA 4.3 – M´ısula parab´ olica. FONTE:Mur´ın e Kutiˇs (2002) . . . . 41
FIGURA 4.4 – Malhas utilizadas para modelar a laje . . . . 45
FIGURA 4.5 – Deformadas obtidas atrav´ es do M´ etodo de Analogia de Grelha . . . 46
FIGURA 4.6 – Se¸c˜ ao trapezoidal e se¸c˜ ao caix˜ ao enrijecida, e suas respectivas malhas de contorno . . . . 48
FIGURA 4.7 – Discretiza¸c˜ ao das se¸c˜ oes em faixas . . . . 49
FIGURA 4.8 – Comportamento do fator de forma ao cisalhamento (trapezoidal) . . 50
FIGURA 4.9 – Comportamento do fator de forma ao cisalhamento (caix˜ ao enrijecida) 50 FIGURA 4.10 –Comportamento do fator de forma ao cisalhamento (trap´ ezio) . . . . 52
FIGURA 4.11 –Comportamento do fator de forma ao cisalhamento (caix˜ ao enrijecida) 52 FIGURA 4.12 –Se¸c˜ ao cantoneira . . . . 53
FIGURA 4.13 –Discretiza¸c˜ ao da se¸c˜ ao cantoneira em faixas . . . . 53
FIGURA 4.14 –Comportamento do fator de forma ao cisalhamento com npg = 2 . . 55
FIGURA 4.15 –Comportamento do fator de forma ao cisalhamento com npg = 3 . . 56
FIGURA 4.16 –Edif´ıcio de 10 andares . . . . 58
FIGURA 4.17 –Varia¸c˜ ao inercial. FONTE: SAP 2000 c . . . . 59
FIGURA 4.18 –N´ os analisados . . . . 60
FIGURA 4.19 –Deformada . . . . 64
Lista de Tabelas
TABELA 3.1 – Biblioteca de se¸c˜ oes . . . . 24
TABELA 4.1 – Deslocamentos linear (u z ) e rota¸c˜ ao (φ y ) . . . . 39
TABELA 4.2 – Rea¸c˜ ao de for¸ca (f z ) e momento (m y ) . . . . 39
TABELA 4.3 – Compara¸c˜ ao dos deslocamentos . . . . 40
TABELA 4.4 – Deslocamento axial referente ao n´ o k . . . . 42
TABELA 4.5 – Deslocamento vertical referente ao n´ o k . . . . 42
TABELA 4.6 – Rota¸c˜ ao em rela¸c˜ ao a x referente ao n´ o k . . . . 43
TABELA 4.7 – Rota¸c˜ ao em rela¸c˜ ao a z referente ao n´ o k . . . . 43
TABELA 4.8 – Resultados de deslocamentos . . . . 46
TABELA 4.9 – Compara¸c˜ oes dos resultados obtidos . . . . 46
TABELA 4.10 –Esfor¸co interno de elemento . . . . 47
TABELA 4.11 –Fator de forma ao cisalhamento das se¸c˜ oes com npg=2 . . . . 49
TABELA 4.12 –Propriedades geom´ etricas da se¸c˜ oes transversais . . . . 51
TABELA 4.13 –Fator de forma ao cisalhamento para as se¸c˜ oes considerando npg=3 51 TABELA 4.14 –Fator de forma ao cisalhamento para a se¸c˜ ao cantoneira . . . . 54
TABELA 4.15 –Propriedades geom´ etricas para se¸c˜ ao cantoneira . . . . 54
TABELA 4.16 –Fator de forma ao cisalhamento (caix˜ ao enrijecido-4mm) . . . . 55
TABELA 4.17 –Propriedades geom´ etricas- se¸c˜ ao caix˜ ao enrijecida de espessura 4mm 56
TABELA 4.18 –Fator de forma ao cisalhamento (cantoneira-10mm) . . . . 57
TABELA 4.19 –Propriedades geom´ etricas- se¸c˜ ao cantoneira de espessura 10mm . . . 57
TABELA 4.20 –Dimens˜ oes das se¸c˜ oes transversais . . . . 58
TABELA 4.21 –Pesos pr´ oprios nos elementos constantes . . . . 59
TABELA 4.22 –Peso pr´ oprios nos elementos vari´ aveis . . . . 60
TABELA 4.23 –Deslocamentos . . . . 61
TABELA 4.24 –Coordenadas dos n´ os restringidos . . . . 61
TABELA 4.25 –Rea¸c˜ oes calculadas . . . . 62
TABELA 4.26 –Localiza¸c˜ ao dos n´ os pertencentes aos elementos analisados . . . . 63
TABELA 4.27 –Esfor¸cos internos de elemento . . . . 63
Lista de Abreviaturas e Siglas
ABNT Associa¸c˜ ao Brasileira de Normas T´ ecnicas DSM Direct Stiffness Method
MDF M´ etodo das Diferen¸cas Finitas
MEC M´ etodo dos Elementos de Contorno
MEF M´ etodo dos Elementos Finitos
MVF M´ etodo dos Volumes Finitos
PVT Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais
Lista de S´ımbolos
A ´ area da se¸c˜ ao transversal A ef c ´ area efetiva ao cisalhamento A ef c ´ area efetiva ao cisalhamento
a ij coeficientes da matriz de flexibilidade A II submatriz de flexibilidade (caso II) A F F submatriz de flexibilidade (caso I) dδ deslocamento axial
dλ deslocamento na dire¸c˜ ao cisalhante dω rota¸c˜ ao torsional
dθ rota¸c˜ ao flexional
E m´ odulo de elasticidades longitudinal E II submatriz de equil´ıbrio
E IF submatriz de equil´ıbrio f vetor de for¸cas externas f ij a¸c˜ oes nodais
F i resultante de for¸cas f i for¸cas virtuais
G m´ odulo de elasticidade transversal g ij (x) fun¸c˜ ao qualquer
I x cg momento de in´ ercia em rela¸c˜ ao ao centroide
I y cg momento de in´ ercia em rela¸c˜ ao ao centroide
I x cg y cg produto de in´ ercia em rela¸c˜ ao ao centroide
I x momento de in´ ercia em rela¸c˜ ao ao eixo x
I y momento de in´ ercia em rela¸c˜ ao ao eixo y
I xy produto de in´ ercia
I 2 p ,3 p momento de in´ ercia ` a flex˜ ao em rela¸c˜ ao aos eixos principais J momento de in´ ercia ` a tor¸c˜ ao
J 0 momento polar de in´ ercia K matriz de rigidez da estrutura l comprimento do elemento
M (y) momento est´ atico em fun¸c˜ ao de y
M i momento fletor associado ao carregamento barra M 0 0 momento fletor devido a q(x i ) para o caso I M 0 00 momento fletor devido a q(x i ) para o caso II M t momento tor¸cor da se¸c˜ ao transversal
M x momento est´ atico em rela¸c˜ ao ao eixo x M y momento est´ atico em rela¸c˜ ao ao eixo y
N i esfor¸co normal associado ao carregamento barra N 0 0 esfor¸co normal devido a q(x i ) para o caso I N 0 00 esfor¸co normal devido a q(x i ) para o caso II npg pontos de integra¸c˜ ao de gauss
n(x) vetor normal
n x componente x do vetor normal n y componente y do vetor normal p(x) fluxo no contorno
Q i esfor¸co cortante associado ao carregamento barra Q 0 0 esfor¸co cortante devido a q(x i ) para o caso I Q 00 0 esfor¸co cortante devido a q(x i ) para o caso II q(x i ) carregamento externo
t(x) vetor tangente
u deslocamentos inc´ ognitos u i deslocamentos nodais reais u I deslocamentos prescritos
u I0 deslocamentos nodais referente ao carregamento externo para caso I u F deslocamentos prescritos
u F 0 deslocamentos nodais referente ao carregamento externo para caso II
u i deslocamentos virtuais
T i momento tor¸cor associado ao carregamento barra T 0 0 momento tor¸cor devido a q(x i ) para o caso I T 0 00 momento tor¸cor devido a q(x i ) para o caso II u x deslocamento na dire¸c˜ ao x
u y deslocamento na dire¸c˜ ao y u z deslocamento na dire¸c˜ ao z x cg abscissa do centroide
x s abscissa do centro de tor¸c˜ ao X Sistema cartesiano arbitr´ ario y cg ordenada do centroide
y s ordenada do centro de tor¸c˜ ao
y b menor ordenada da malha de contorno da se¸c˜ ao transversal y t maior ordenada da malha de contorno da se¸c˜ ao transversal
x ponto de campo
χ fator de forma ao cisalhamento
χ 2 p ,3 p fator de forma ao cisalhamento em rela¸c˜ ao aos eixos principais x , y , z deforma¸c˜ oes lineares
η coordenadas naturais
Γ contorno da se¸c˜ ao transversal γ xy , γ xz , γ yz distor¸c˜ oes angulares
∇ vetor gradiente
∇ 2 operador Laplaciano
Ω dom´ınio da se¸c˜ ao transversal ω k fator de pesagem
ψ fun¸c˜ ao de empenamento da se¸c˜ ao transversal ρ distˆ ancia do centroide ao ponto de campo σ x , σ y , σ z tens˜ oes normais
τ xy , τ xz , τ yz tens˜ oes tangencias θ p ˆ angulo principal θ t ˆ angulo de rota¸c˜ ao
θ 0 t taxa de varia¸c˜ ao do ˆ angulo de rota¸c˜ ao
Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao
1.1 Generalidades
Atualmente, a complexidade dos problemas com os quais o engenheiro estrutural se depara na pr´ atica da engenharia exige do mesmo a competˆ encia de resolvˆ e-los da maneira mais real poss´ıvel. Neste sentido, o desenvolvimento de ferramentas computacionais avan-
¸cadas, que possibilitem a evolu¸c˜ ao dos projetos estruturais ´ e essencial para atender esta demanda de mercado. Visando o progresso dessa ´ area, este trabalho utilizar´ a os elementos (de barra) de p´ ortico espacial para desenvolver um programa computacional em an´ alise estrutural.
Os sistemas estruturais cont´ınuos, submetido a diversos carregamentos, s˜ ao governados por equa¸c˜ oes diferenciais parciais e possuem infinitos graus de liberdade. Geralmente para resolver esses problemas utilizam-se m´ etodos num´ ericos, sendo o M´ etodo dos Elementos Finitos (MEF), o M´ etodo dos Elementos de Contorno (MEC), o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas (MDF) e o M´ etodo dos Volumes Finitos (MVF) os mais difundidos no meio da engenharia.
Estes m´ etodos tˆ em como objetivo transformar o problema cont´ınuo em um problema discreto com um n´ umero finito de graus de liberdade, e consequentemente o mesmo passa a ser governado por um sistema de equa¸c˜ oes alg´ ebricas.
Com a evolu¸c˜ ao da tecnologia, especificamente dos processadores dos computadores,
´ e poss´ıvel resolver problemas com n´ umero de graus de liberdade cada vez maiores, pos-
sibilitando estudos do comportamento da estrutura de forma mais real. Nesse contexto,
inserem-se tamb´ em a considera¸c˜ ao dos efeitos de segunda ordem, n˜ ao linearidade f´ısica e geom´ etrica.
Computacionalmente um programa de an´ alise estrutural est´ atica se resume, generica- mente, na montagem de uma matriz de rigidez, cujos coeficientes dependem de proprie- dades f´ısico geom´ etricas do elemento (rigidez flexional, torcional, axial e transversal), e de um vetor de cargas nodais, o qual tamb´ em depende dessas grandezas.
As propriedades geom´ etricas da se¸c˜ ao transversal de um elemento estrutural podem ser facilmente obtidas para se¸c˜ oes comumente utilizadas na pr´ atica, como, por exemplo, se¸c˜ oes retangulares, circulares, tubulares, perfis I, etc. O mesmo n˜ ao ocorre para se¸c˜ oes com formas geom´ etricas arbitr´ arias, aqui denominadas de se¸c˜ oes gen´ ericas. Para estes casos, essas propriedades ser˜ ao determinadas numericamente a partir da aplica¸c˜ ao do MEC e do Teorema de Green.
Outro aspecto relevante em um programa computacional de an´ alise de estruturas ´ e o p´ os-processamento das respostas, o qual permite ao usu´ ario, por exemplo, a visualiza¸c˜ ao de diagramas de esfor¸cos, distribui¸c˜ ao de tens˜ oes e da deformada da estrutura. Neste contexto, o presente trabalho utilizar´ a um software desenvolvido pela PUC Rio e deno- minado Pos3D, que possibilitar´ a a visualiza¸c˜ ao da deformada da estrutura, facilitando a interpreta¸c˜ ao dos resultados.
1.2 Motiva¸ c˜ ao e Objetivos
Os elementos de p´ ortico espacial de se¸c˜ ao transversal vari´ avel s˜ ao comumentes encon-
trados nos projetos estruturais (ver Figura 1.1), j´ a que descrevem de forma mais real´ıstica
o comportamento das estruturas devido ao n´ umero de graus de liberdade nodal. Este tipo
de estrutura ´ e usada para aumentar a resistˆ encia (ao cisalhamento, flex˜ ao, tor¸c˜ ao) nas re-
gi˜ oes mais solicitadas, al´ em de descrever um aspecto est´ etico mais vistoso. Devido a isso,
este trabalho tem por objetivo central o desenvolvimento de um programa computacional
para an´ alise linear est´ atica utilizando elementos de p´ ortico espacial, com a possibilidade
de modelar a varia¸c˜ ao inercial ao longo do seu comprimento de maneira gen´ erica.
(a) Ponte de Grenelle sobre o rio Sena, Paris. (LOU- REN ¸ CO, 2005)
(b) Ponte em Basel, Su´ı¸ ca. (LOUREN ¸ CO, 2005)
(c) Est´ adio do Drag˜ ao, Porto. (LOUREN ¸ CO, 2005)
Figura 1.1 – Exemplos pr´ aticos de elementos estruturais com in´ ercia vari´ avel Sendo assim, primeiramente fez-se um estudo aprofundado da formula¸c˜ ao matricial do M´ etodo dos Deslocamentos (ou M´ etodo da Rigidez Direta) para melhor compreens˜ ao da mesma, e dentre alguns pontos importantes para o desenvolvimento do programa com- putacional citam-se: a determina¸c˜ ao dos sistemas de referˆ encia local e global, a obten¸c˜ ao dos coeficientes da matriz de rigidez e do vetor de a¸c˜ oes de engastamento perfeito, a determina¸c˜ ao dos eixos principais de in´ ercia, a orienta¸c˜ ao da se¸c˜ ao transversal no espa¸co.
Para a obten¸c˜ ao das express˜ oes gen´ ericas dos coeficientes da matriz de rigidez do
elemento de p´ ortico espacial, bem como do vetor de a¸c˜ oes de engastamento perfeito (vetor de carga) utiliza-se uma formula¸c˜ ao baseada no Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV).
Nos casos em que as caracter´ısticas geom´ etricas e/ou f´ısicas variam ao longo do elemento estes coeficientes s˜ ao numericamente determinados e para isso aplica-se o processo de integra¸c˜ ao de Gauss Legendre. Pode-se dizer que essa estrat´ egia ´ e totalmente geral, pois se fundamenta na interpola¸c˜ ao direta das caracter´ısticas f´ısico-geom´ etricas em se¸c˜ oes dos elementos (amostras).
Um problema especialmente interessante (e necess´ ario) para o desenvolvimento da for- mula¸c˜ ao dos elementos de p´ ortico espacial ´ e, por exemplo, a an´ alise de elementos estru- turais em a¸co, normalmente perfis de parede fina, submetidos ` a tor¸c˜ ao. Particularmente, para a determina¸c˜ ao da constante de tor¸c˜ ao empregou-se uma estrat´ egia de an´ alise via MEC incorporada na formula¸c˜ ao do M´ etodo da Rigidez Direta.
A medida em que a rigidez ` ` a tor¸c˜ ao pode ser obtida de forma mais exata, os sistemas estruturais modelados com elementos de p´ orticos espaciais descrevem de forma mais pre- cisa o comportamento da estrutura. Com esses resultados atingidos tem-se a possibilidade da redu¸c˜ ao de custos e maior seguran¸ca em projetos estruturais.
Finalmente, para valida¸c˜ ao do programa implementado, v´ arios exemplos num´ ericos s˜ ao apresentados sendo as respostas obtidas comparadas com as do software comercial SAP 2000 c e tamb´ em com as fornecidas pela literatura.
1.3 Estado da Arte
1.3.1 An´ alise estrutural
As estruturas s˜ ao sistemas f´ısicos capazes de receber e transmitir esfor¸cos como em
pontes, edif´ıcios, torres, antenas, etc. Um dos principais objetivos da an´ alise de estrutu-
ras ´ e relacionar, em idealiza¸c˜ oes simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades
de material determinadas experimentalmente, as a¸c˜ oes externas atuantes com os desloca-
mentos, as rea¸c˜ oes de apoio e as tens˜ oes (ou suas resultantes), de modo a identificar uma
eventual deficiˆ encia de comportamento do material constituinte e/ou de comportamento
da estrutura como um todo e/ou suas partes (SORIANO, 2005).
Um m´ etodo bastante usado na Engenharia para an´ alise de estruturas ´ e o M´ etodo dos Deslocamentos (ou M´ etodo da Rigidez Direta). Segundo Soriano (2005), neste m´ etodo
´ e determinado um sistema de equa¸c˜ oes de equil´ıbrio, em que a matriz dos coeficientes ´ e chamada de matriz de rigidez e o vetor dos termos independentes, vetor de for¸cas nodais.
Com o sistema de equa¸c˜ oes definido, as inc´ ognitas dos problemas s˜ ao os deslocamentos dos n´ os n˜ ao restringidos, que ao serem calculados possibilita a determina¸c˜ ao dos esfor¸cos internos, que s˜ ao usados no dimensionamento da estrutura, bem como das rea¸c˜ oes de apoio.
De acordo com Gere e Weaver (1981) as estruturas reticuladas s˜ ao divididas em seis categorias, sendo que cada uma representa uma classe com caracter´ısticas especiais: vi- gas, treli¸cas planas, treli¸cas espaciais, p´ orticos planos, grelhas e p´ orticos espaciais. Uma caracter´ıstica que difere os tipos de estrutura ´ e o n´ umero de graus de liberdade por n´ o, possibilitando a obten¸c˜ ao dos deslocamentos nodais em todas as dire¸c˜ oes.
Os elementos de p´ ortico espacial s˜ ao estruturas reticuladas, modelados por barras lineares, nas quais cada ponto nodal apresenta seis graus de liberdade (trˆ es deslocamentos lineares e trˆ es rota¸c˜ oes), e uma se¸c˜ ao gen´ erica apresenta seis esfor¸cos internos, a saber: um esfor¸co normal, dois esfor¸cos cortantes, dois momentos fletores e um momento de tor¸c˜ ao.
Dentre algumas pesquisas importantes desenvolvidas utilizando-se esse tipo de ele- mento citam-se os trabalhos de Cav et al. (2009), Meek e Loganathan (1989), Liew et al.
(2000), Thai e Kim (2011), Chang (2004), Izzuddin e Elnashai (1993), Marques (1990), os quais apresentam a an´ alise n˜ ao linear f´ısico-geom´ etrica de estruturas espaciais. For- mula¸c˜ oes de elementos finitos n˜ ao lineares foram apresentadas, o que possibilitou modelar v´ arias estruturas tridimensionais, implicando em resultados satisfat´ orios e aproximando ainda mais o comportamento das estruturas ` a realidade.
Considerando a an´ alise linear Mihirr e Dutta (2013), realizaram estudos comparativos de estruturas planas e tridimensionais (vigas, p´ orticos) usando Ansys c , ST AAD c e M atlab c . J´ a Nam et al. (2000), aplicaram o m´ etodo do momento distribu´ıdo modificado, que se assemelha com processo de Cross, para realizar a an´ alise estrutural linear de alguns p´ orticos espacias, sendo os resultados comparados com os obtidos a partir de softwares baseados no MEF.
Os projetos estruturais est˜ ao cada vez mais sofisticados com o passar dos anos. Um
aspecto importante e que se encontra presente na pr´ atica, s˜ ao elementos estruturais que apresentam varia¸c˜ ao de rigidez ao longo do seu comprimento, tornado a an´ alise estrutural mais complexa. De acordo com Vilela e Martha (2008), as solu¸c˜ oes fundamentais para barras com se¸c˜ oes constantes s˜ ao conhecidas e encontradas em qualquer livro texto de an´ alise de estruturas. Entretanto, n˜ ao existem solu¸c˜ oes anal´ıticas fechadas para a¸c˜ oes de engastamento perfeito e coeficientes da matriz de rigidez para barras com se¸c˜ ao transversal vari´ avel, sendo assim faz-se necess´ ario a aplica¸c˜ ao de m´ etodos num´ ericos. Adotou-se neste trabalho de Vilela e Martha (2008) uma metodologia baseada na Analogia da Viga Conjugada, para a determina¸c˜ ao dessas solu¸c˜ oes referentes a barras que apresentam se¸c˜ ao transversal vari´ avel em m´ısula reta e comportamento transversal de flex˜ ao em regime el´ astico-linear, sem considerar as deforma¸c˜ oes por cisalhamento.
Mur´ın e Kutiˇs (2002) apresentam em seu artigo a matriz de rigidez exata para o elemento de viga 3D, considerando-se varia¸c˜ ao de in´ ercia ao longo do seu comprimento.
Essa matriz foi derivada a partir do M´ etodo da Rigidez Direta e de fun¸c˜ oes de transferˆ encia da viga as quais tamb´ em foram utilizadas para a obten¸c˜ ao do vetor de cargas nodais.
Todas essas fun¸c˜ oes de transferˆ encia foram calculadas numericamente e os resultados mostraram que este elemento satisfaz todas as equa¸c˜ oes de equil´ıbrio.
Visando generalizar o comportamento ou varia¸c˜ ao da se¸c˜ ao transversal ao longo do elemento de barra, a formula¸c˜ ao apresentada neste trabalho possibilita modelar elementos que apresentam qualquer tipo de varia¸c˜ ao inercial. Isso torna o programa computacional ainda mais rico em termos de modelagem.
1.3.2 Tor¸ c˜ ao
As estruturas reais est˜ ao sujeitas frequentemente ao esfor¸co de tor¸c˜ ao, portanto para analisar corretamente os problemas ´ e importante a determina¸c˜ ao da rigidez a tor¸c˜ ao de forma mais exata poss´ıvel. Dessa maneira o MEC ser´ a utilizado, possibilitando a obten¸c˜ ao da constante de tor¸c˜ ao e da fun¸c˜ ao de empenamento para se¸c˜ oes transversais gen´ ericas.
O MEC, de uma maneira direta, requer avalia¸c˜ oes num´ ericas de integrais de superf´ıcie
sobre os elementos de contorno na superf´ıcie de um corpo (MUKHERJEE; MUKHERJEE,
2005). Com isso aproveitou-se da malha de contorno definida no c´ alculo da constante de
tor¸c˜ ao para obter outras propriedades geom´ etricas (´ area, momentos de in´ ercia ` a flex˜ ao,
fator de forma ao cisalhamento, etc).
Recentemente in´ umeros trabalhos desenvolvidos abordam algumas t´ ecnicas num´ ericas que tˆ em como finalidade resolver problemas complexos de tor¸c˜ ao.
Athanasiadis (1989) traz uma formula¸c˜ ao baseada no M´ etodo dos Elementos de Con- torno para o c´ alculo da fun¸c˜ ao de empenamento no contorno, bem como outras proprie- dades como o centro de tor¸c˜ ao de se¸c˜ oes arbitr´ arias, utilizando uma estrat´ egia indireta.
Fujitani e Fujii (1998) utilizaram uma formula¸c˜ ao do MEF, considerando a tor¸c˜ ao de Saint-Venant, para analisar estruturas espaciais com se¸c˜ oes de parede fina. Neste trabalho eles incorporaram a formula¸c˜ ao utilizada para o c´ alculo da rigidez torcional e da fun¸c˜ ao de empenamento na matriz de rigidez do elemento de p´ ortico espacial, demonstrando eficiˆ encia no m´ etodo empregado.
Sapountzakis e Mokos (2003b) desenvolveram uma formula¸c˜ ao para an´ alise n˜ ao uni- forme de elementos estruturais comp´ ositos com se¸c˜ ao transversal arbitr´ aria constante, baseada no MEC. Nesta formula¸c˜ ao os elementos estruturais podem ser constitu´ıdos por diferentes materiais, ou seja, diferentes m´ odulos de elasticidade longitudinal e transversal podem ser considerados. Al´ em disso, as barras podem estar, sujeitas a momentos tor¸co- res concentrados e momentos tor¸cores distribu´ıdos n˜ ao uniformemente ao longo da se¸c˜ ao.
Neste mesmo ano, este autor em (Sapountzakis e Mokos (2003a)) avaliou o comporta- mento de se¸c˜ oes arbitr´ arias e constantes ao longo de seu comprimento, para dom´ınios multiplamente conexos.
Tsipiras e Sapountzakis (2012) apresentam uma formula¸c˜ ao baseada no M´ etodo dos Elementos de Contorno, para a an´ alise de tor¸c˜ ao n˜ ao uniforme de barras com se¸c˜ ao arbi- tr´ aria de dupla simetria, levando-se em conta o momento secund´ ario gerado na deforma-
¸c˜ ao. A barra pode estar sujeita a carregamentos arbitr´ arios distribu´ıdos ou carregamentos concentrados.
1.3.3 Processos de integra¸ c˜ ao
Para o c´ alculo do fun¸c˜ ao de empenamento e consequentemente da in´ ercia ` a tor¸c˜ ao,
ao utilizar o MEC, integrais fracamente singulares v˜ ao surgir em alguns casos. Portanto,
processos especias de integra¸c˜ ao s˜ ao necess´ arios para tornar a resposta mais precisa.
Telles (1987) desenvolveu uma transforma¸c˜ ao n˜ ao linear de coordenadas polinomial c´ ubica. Neste processo os pontos de integra¸c˜ ao s˜ ao deslocados para a dire¸c˜ ao do ponto fonte, ou seja, ocorre uma concentra¸c˜ ao de pontos de Gauss no local onde se encontra a singularidade. Este processo, que tamb´ em pode ser encontrado no trabalho de Telles e Oli- veira (1994), apresentou uma melhora significativa nos resultados de integrais singulares ou quasi singulares podendo assim ser aplicado em problemas gerais de contorno.
Ara´ ujo e Gray (2008), desenvolveram um estudo de nano tubos de carbono (CNTs) em comp´ ositos, aplicando o MEC. Para o caso de nano tubos de paredes finas, que apre- sentaram integrais fortemente singulares e fracamente singulares um processo especial de integra¸c˜ ao foi proposto. Tal processo baseia-se em uma estrat´ egia anal´ıtica em que um elemento bidimensional tem seu contorno subdividido em elementos lineares e um sistema local de coordenadas implantado em cada elemento, possibilitando a estrat´ egia anal´ıtica.
1.4 Organiza¸ c˜ ao do Trabalho
Este trabalho est´ a dividido em cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, destaca-se a impor- tˆ ancia do tema, a motiva¸c˜ ao e os objetivos da pesquisa. Neste cap´ıtulo apresentou-se exemplos pr´ aticos de estruturas projetadas com elementos estruturais de in´ ercia vari´ avel.
Baseando-se na motiva¸c˜ ao descrita, os objetivos foram expostos, incentivando a pesquisa bibliogr´ afica apresentada no estado da arte.
No cap´ıtulo 2 tem-se a formula¸c˜ ao do M´ etodo dos Deslocamentos (ou M´ etodo da Rigidez Direta), considerando-se elementos de p´ ortico espacial, bem como a generaliza¸c˜ ao do m´ etodo, de modo a possibilitar que elementos estruturais que possuem varia¸c˜ ao de in´ ercia e/ou est˜ ao sujeitos a a¸c˜ oes externas gen´ ericas possam ser modelados.
No cap´ıtulo 3 apresenta-se uma estrat´ egia baseada no MEC e em integrais de con- torno, para obten¸c˜ ao das propriedades geom´ etricas de se¸c˜ oes transversais com geometria qualquer. Essas grandezas foram incorporadas ` a formula¸c˜ ao matricial do M´ etodo dos Deslocamentos, tornando poss´ıvel a implementa¸c˜ ao do programa computacional de an´ a- lise estrutural.
No cap´ıtulo 4 apresenta-se uma s´ erie de exemplos num´ ericos, sendo os resultados de
grandezas como deslocamentos, esfor¸cos internos de elemento e at´ e mesmo as proprieda-
des geom´ etricas da se¸c˜ oes transversais, comparados com os obtidos via SAP 2000 c , com repostas anal´ıticas e/ou da literatura.
No cap´ıtulo 5, mostram-se as conclus˜ oes deste trabalho e comenta-se a possibilidade
de ampliar o programa computacional desenvolvido, atrav´ es de sugest˜ oes para trabalhos
futuros.
Cap´ıtulo 2
M´ etodo dos Deslocamentos (ou da Rigidez Direta )
Neste cap´ıtulo abordam-se os sistemas de referˆ encia utilizados para modelar as estru- turas, sendo eles o sistema global e o sistema de fornecimento de dados, ou sistema local.
Descreve-se tamb´ em de forma sucinta a formula¸c˜ ao matricial do m´ etodo dos deslocamen- tos, utilizada para modelar elementos estruturais com varia¸c˜ ao de rigidezes e/ou sujeitos a carregamentos gen´ ericos.
2.1 Sistemas de Referˆ encia
2.1.1 Sistema global
O processo de discretiza¸c˜ ao de uma estrutura consiste basicamente em transformar o
sistema estrutural cont´ınuo em um sistema discreto constitu´ıdo de n´ os e elementos. Os
n´ os s˜ ao determinados a partir das coordenadas cartesianas, com isso a necessidade de
um sistema de referˆ encia global. A princ´ıpio este sistema pode ser escolhido de maneira
arbitr´ aria, mas neste trabalho com objetivo de facilitar as compara¸c˜ oes de resultados,
adota-se um sistema de referˆ encia semelhante ao do software SAP 2000 c (ver Figura
2.1).No programa desenvolvido, os deslocamentos nodais tamb´ em s˜ ao referenciados neste
sistema global.
Z
X Y
Global
Figura 2.1 – Sistema de Referˆ encia Global do SAP 2000 c . FONTE: Manual SAP 2000 c
2.1.2 Sistema local
Para facilitar a interpreta¸c˜ ao dos resultados algumas grandezas tais como, por exemplo, carregamento externo, esfor¸cos internos de elementos e tens˜ oes s˜ ao referenciadas a um sistema local de elemento. Na Figura 2.2 apresenta-se o sistema local do elemento de p´ ortico espacial, em que o eixo 1 se encontra ao longo do comprimento do elemento, e os eixos 2 e 3 ao longo da altura e da base da se¸c˜ ao transversal, respectivamente.
2
c.g 3 2 1
3
2
c.g 3
Figura 2.2 – Sistema Local de elemento
Para estabelecer a localiza¸c˜ ao do eixo local 2 e consequentemente a orienta¸c˜ ao da se¸c˜ ao
transversal do elemento adotou-se um processo semelhante ao do software SAP 2000 c , o
qual utiliza de um ˆ angulo formado entre o eixo 2 e o plano Z-1 (elementos horizontais e
inclinados) ou entre o eixo 2 e o plano X-1 (elementos verticais). Deste modo define-se
claramente a forma como a se¸c˜ ao transversal de um elemento se localiza no espa¸co (ver
Figura 2.3).
Z
X Y
2 3 ang=90º i
j
1
(a) Eixo local 1 paralelo a +Y
Eixo local 2 rotacionado 90 ◦ do plano Z-1
X Y
2
i
Z
3 ang=30º
j 1
(b) Eixo local 1 n˜ ao paralelo a X,Y e Z Eixo local 2 rotacionado 30 ◦ do plano Z-1
Z
X Y
2 3
ang=90º i i 1
(c) Eixo local 1 paralelo a +Z
Eixo local 2 rotacionado 90 ◦ do plano X-1
X Y
1 2 i
3
j ang=30º
Z
(d) Eixo local 1 paralelo a -Z
Eixo local 2 rotacionado 30 ◦ do plano X-1
Figura 2.3 – Orienta¸c˜ ao da se¸c˜ ao transversal no espa¸co
2.2 Formula¸ c˜ ao Matricial do M´ etodo dos Desloca- mentos
A formula¸c˜ ao matricial do M´ etodo dos Deslocamentos pode ser obtida a partir de
equa¸c˜ oes nodais de equil´ıbrio em termos dos deslocamentos (inc´ ognitas) dos n´ os do modelo
estrutural, os quais se relacionam com as for¸cas nodais a partir da equa¸c˜ ao
Ku = f, (2.1)
em que K representa a matriz de rigidez da estrutura, u ´ e o vetor dos deslocamentos inc´ ognitos e f ´ e o vetor de cargas externas.
2.2.1 Coeficientes de rigidez e a¸ c˜ oes de engastamento perfeito
Segundo Gere e Weaver (1981), ´ e conveniente desenvolver a formula¸c˜ ao da matriz de rigidez de elemento em rela¸c˜ ao ao sistema de eixos ortogonais, sendo o eixo local 1 coincidente com o eixo centroidal, e os eixos locais 2 e 3 os eixos principais, ou seja, os eixos que formam os planos principais de flex˜ ao do elemento. Deste modo, para o caso de se¸c˜ oes transversais assim´ etricas, al´ em dos eixos locais representados na Figura 2.2 utilizam-se os eixos principais (2 p e 3 p ) apresentados na Figura 2.4 para a defini¸c˜ ao da matriz de rigidez de elemento.
2
3 3 p
c.g
p
p
2 p
Figura 2.4 – Representa¸c˜ ao dos eixos principais 2p e 3p
Para a obten¸c˜ ao das express˜ oes dos coeficientes da matriz de rigidez e das a¸c˜ oes de engastamento, aplicou-se o Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) juntamente com as equa¸c˜ oes de equil´ıbrio est´ atico do elemento.
Considere o elemento reticulado de p´ ortico espacial da Figura 2.5, com rigidez axial,
flexional, transversal e torcional variando aleatoriamente.
q(x
1)
l
1p 2p
3p u 4 , f 4
u 6 , f 6 u 3 , f 3
u 1 , f 1
u 2 , f 2
u 5 , f 5
u 7 , f 7
u 8 , f 8
u 9 , f 9
u 10 , f 10
u 11 , f 11
u 12 , f 12
X Z
Y
Figura 2.5 – Elemento de p´ ortico espacial
Fazendo-se o equil´ıbrio de for¸cas e de momentos neste elemento se obtˆ em P F 1 p = f 1 + f 7 + F 1 = 0
P F 2 p = f 2 + f 8 + F 2 = 0 P F 3 p = f 3 + f 9 + F 3 = 0 P M 1 p = f 4 + f 10 + F 4 = 0 P M 2 p = f 5 + f 11 + f 3 l + F 5 = 0 P M 3 p = f 6 + f 12 − f 2 l + F 6 = 0
, (2.2)
em que f i s˜ ao as a¸c˜ oes nodais, l ´ e o comprimento do elemento e F i ´ e a resultante de for¸ca na dire¸c˜ ao i devida ` a carga externa q(x i ).
Somente com as equa¸c˜ oes de equil´ıbrio n˜ ao ´ e poss´ıvel obter os coeficientes da matriz de rigidez e das a¸c˜ oes de engastamento perfeito, pois tem-se um n´ umero de inc´ ognitas maior do que de equa¸c˜ oes. Portanto, definindo-se equa¸c˜ oes de compatibilidade de deslocamentos, a partir do estado de carregamento representado na Figura 2.6 e aplicando-se o PVT escreve-se
f ¯ i u ¯ i = ¯ f i u i = Z
l
M i dθ + Z
l
N i dδ + Z
l
Q i dλ + Z
l
T i dω, (2.3)
em que u i s˜ ao os deslocamentos, M i , N i , Q i e T i s˜ ao os esfor¸cos internos devido ` a f i = 1,
ou seja,
M i = M (f i ), N i = N (f i ), Q i = Q(f i ), T i = T (f i ), i = 1...12, (2.4) dθ representa a rota¸c˜ ao flexional, dδ o deslocamento axial, dλ o deslocamento na dire¸c˜ ao cisalhante e dω a rota¸c˜ ao torsional.
f f
f
f f
f
2
3 1
8
7
9
f 4
f 6
f 5
f 10
f
f 11
f 12
Figura 2.6 – Estado de carregamento
Com as equa¸c˜ oes de equil´ıbrio e de combatibilidade estabelecidas, Equa¸c˜ oes (2.2) e (2.3), respectivamente, podem-se deduzir as express˜ oes dos coeficientes da matriz de ri- gidez e tamb´ em das a¸c˜ oes de engastamento perfeito para os casos em que o elemento estrutural apresenta uma varia¸c˜ ao inercial e/ou de carregamento gen´ erico.
Particularmente, s˜ ao abordados dois casos para obten¸c˜ ao dessas express˜ oes. No pri- meiro caso considera-se que o n´ o inicial do elemento (n´ o da extremidade esquerda) ´ e engastado (ver Figura 2.7), j´ a no segundo caso considera-se que o n´ o final do elemento, ou n´ o da extremidade direita, ´ e engastado (ver Figura.2.8).
f f
q(x 1 ) f
f
f f
2f
3f
1f
9f 8f
7f
f 6f
f 4f
f 5f
f 10f
f 11f
f 12f
Figura 2.7 – Elemento de p´ ortico espacial considerado no caso I
f f
q(x 1 ) f
f
f f
2f
3f
1f
9f 8f
7f
f 6f
f 4f
f 5f
f 10f
f 11f
f 12f
Figura 2.8 – Elemento de p´ ortico espacial considerado no caso II
Caso I: Para este caso tem-se que u 1 =u 2 =u 3 =u 4 =u 5 =u 6 =0, e as Equa¸c˜ oes (2.2) e (2.3), incluindo-se a influˆ encia do carregamento, podem ser escritas de forma matricial como segue:
E II E IF 0 A F F
f If f F f
=
−F 0 u F − u F0
, (2.5)
em que E II =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 l 0 1 0
0 −l 0 0 0 1
, E IF =
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
, f If =
f 1f f 2f f 3f f 4f f 5f f 6f
,
f F f =
f 7f f 8f f 9f f 10f f 11f f 12f
, u F =
u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12
,
u i0 = Z
l
M i M 0 0 EI 2 p ,3 p ds +
Z
l
N i N 0 0 EA ds +
Z
l
χ 2 p ,3 p Q i Q 0 0 GA ds +
Z
l
T i T 0 0
GJ ds, i = 7...12, (2.6)
com
M 0 0 = M (q x i ), N 0 0 = N (q x i ), Q 0 0 = Q(q x i ), T 0 0 = T (q x i ), (2.7) e os coeficiente da matriz A F F , s˜ ao resultados da equa¸c˜ ao,
a ij f ji = Z
l
M i M j EI 2 p ,3 p
ds + Z
l
N i N j EA ds +
Z
l
χ 2 p ,3 p Q i Q j GA ds +
Z
l
T i T j
GJ ds, i, j = 7...12 (2.8) com a a¸c˜ ao f ji dada pelas fun¸c˜ oes:
M j = M(f j ), N j = N(f j ), Q j = Q(f j ), T j = T (f j ). (2.9) E, por fim, chega-se ` a submatriz A F F :
A F F =
Z
l
ds
EA 0 0 0 0 0
0 Z
l
χ 2 p ds GA +
Z
l
(l − s) 2 ds
EI 3 p 0 0 0
Z
l
(l − s)ds EI 3 p
0 0
Z
l
χ 3 p ds GA +
Z
l
(l − s) 2 ds
EI 2 p 0 − Z
l
(l − s)ds
EI 2 p 0
0 0 0
Z
l
ds
GJ 0 0
0 0 −
Z
l
(l − s)ds EI 2 p
0
Z
l
ds EI 2 p
0 0
Z
l
(l − s)ds
EI 3 p 0 0 0
Z
l
ds EI 3 p
em que E ´ e o m´ odulo de elasticidade longitudinal, G ´ e o m´ odulo de elasticidade transversal, A ´ e a ´ area da se¸c˜ ao transversal do elemento estrutural, I i e χ i s˜ ao os momentos de in´ ercia
`
a flex˜ ao e os fatores de forma ao cisalhamento, respectivamente, em rela¸c˜ ao aos eixos principais (com i=(2 p ,3 p )) e J ´ e o momento de in´ ercia ` a tor¸c˜ ao.
O parˆ ametro χ 2 p ,3 p representa o fator de forma ao cisalhamento (em rela¸c˜ ao ` as dire-
¸c˜ oes principais), o qual depende da forma geom´ etrica da se¸c˜ ao transversal do elemento
estrutural. Neste trabalho desenvolveu-se uma estrat´ egia pr´ opria para o c´ alculo dessa
grandeza, que ser´ a descrita detalhadamente no item 3.2, admitindo-se a possibilidade de
modelar se¸c˜ oes transversais com formas geom´ etricas gen´ ericas, as quais podem apresentar
um comportamento de varia¸c˜ ao qualquer ao longo do eixo do elemento.
Caso II: Para este caso tem-se que u 7 =u 8 =u 9 =u 10 =u 11 =u 12 =0 e equa¸c˜ oes an´ alogas
`
as mostradas nas Equa¸c˜ oes (2.5) a (2.9), podem ser escritas, ou seja:
E II E IF A II 0
f Ii f F i
=
−F 0 u I − u I0
, (2.10)
em que f If =
f 1i f 2i f 3i f 4i f 5i f 6i
, f F f =
f 7i f 8i f 9i f 10i f 11i f 12i
, u I =
u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6
,
u i0 = Z
l
M i M 0 00 EI 2 p ,3 p ds +
Z
l
N i N 0 00 EA ds +
Z
l
χ 2 p ,3 p Q i Q 00 0 GA ds +
Z
l
T i T 0 00
GJ ds, i = 1..6, (2.11) com
M 0 00 = M(q x i ), N 0 00 = N (q x i ), Q 00 0 = Q(q x i ), T 0 00 = T (q x i ). (2.12) Considerando-se i, j = 1...6 na Equa¸c˜ ao (2.8), chega-se ` a seguinte express˜ ao para a sub- matriz A II :
A II =
Z
l
ds
EA 0 0 0 0 0
0 Z
l
χ 2 p ds GA +
Z
l
s 2 ds
EI 3 p 0 0 0 −
Z
l
sds EI 3 p
0 0
Z
l
χ 3 p ds GA +
Z
l
s 2 ds EI 2 p 0
Z
l
sds
EI 2 p 0
0 0 0
Z
l
ds
GJ 0 0
0 0
Z
l
sds EI 2 p
0 Z
l
ds EI 2 p
0
0 −
Z
l
sds
EI 3 p 0 0 0
Z
l
ds EI 3 p
Observando-se as submatrizes A II e A F F , nota-se que o c´ alculo dos seus coeficientes
dependem fundamentalmente das propriedades geom´ etricas do elemento estrutural. No
caso de elementos fisicamente e geometricamente uniformes as integrais vistas podem ser resolvidas de forma anal´ıtica. Para os casos de elementos n˜ ao uniformes, ou seja, que apresentam varia¸c˜ ao de rigidez (EI, EA, GA, GJ) utiliza-se o processo de integra¸c˜ ao num´ erica de Gauss-Legendre (Bathe (1996)). Sendo assim, o c´ alculo de um coeficiente a ij
da submatriz ´ e dado por
a ij = Z
l
g ij (x)dx = 1 2
npg
X
k=1
g ij [x(η k )]ω k , (2.13)
sendo o integrando associado com o coeficiente a ij a ser obtido, η k representa a abscissa do k-´ esimo ponto de integra¸c˜ ao, ω k ´ e o fator de peso correspondente ao ponto de integra¸c˜ ao e npg o n´ umero de pontos de integra¸c˜ ao.
Neste processo num´ erico, um detalhe importante e que torna o programa computacio- nal mais rico, em termos de modelagem dos elementos estruturais de rigidez vari´ avel, s˜ ao as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao adotadas para o c´ alculo das grandezas de interesse nos pontos de integra¸c˜ ao. Foram adotadas fun¸c˜ oes de 1 o , 2 o , 3 o e 4 o grau como mostra a Figura 2.9.
1
2
1 (1 )
2
1 (1 )
2 H H
0
1
-1 0 1
H1 H2
(a) 1 o grau
-1 0 1
-1 0 1
h
H1 H2 H3
(b) 2 o grau
-1 0 1
-1 -0,5 0 0,5 1
h
H1 H2 H3 H4
(c) 3 o grau
-1 0 1
-1 -0,5 0 0,5 1
h
H1 H2 H3 H4 H5
