CURITIBA-PR2008 ComportamentoAssint´oticodeumaEqua¸c˜aodeOndaN˜ao-linearcomAmortecimentoCleberdeMedeira UNIVERSIDADEFEDERALDOPARAN´ASETORDECIˆENCIASEXATASP´OS-GRADUAC¸˜AOEMMATEM´ATICAAPLICADA

Texto

(1)

SETOR DE CI ˆ ENCIAS EXATAS

P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA APLICADA

Comportamento Assint´ otico de uma Equa¸c˜ ao de Onda N˜ ao-linear com Amortecimento

Cleber de Medeira

CURITIBA-PR

2008

(2)

N˜ ao-linear com Amortecimento

Cleber de Medeira

Orienta¸c˜ ao:

Prof. Dr. Higidio Portillo Oquendo

Disserta¸ c˜ ao apresentada como requisito par- cial ` a obten¸ c˜ ao do grau de Mestre em Matem´ atica Aplicada, Programa de P´ os- Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Aplicada, Setor de Ciˆ encias Exatas, Universidade Federal do Paran´ a.

Curitiba-PR

2008

(3)

Agrade¸co primeiramente a Deus, pela vida e pelas oportunidades,

A minha fam´ılia, meus pais Teresinha e Jo˜ ` ao de Medeira pela educa¸c˜ ao recebida e incentivo na vida estudantil, e Cleverson e Gabriel de Medeira meus irm˜ aos, A Ana Eliza pelo apoio e compreens˜ ` ao,

Ao professor Higidio P. Oquendo pela paciˆ encia e aten¸c˜ ao ao ter me orientado,

E a todos que, de uma forma ou outra contribuiram e acreditaram na realiza¸c˜ ao deste trabalho.

i

(4)

Resumo iii

Abstract iv

Introdu¸ c˜ ao v

1 Fundamentos 1

1.1 Resultados de An´ alise . . . . 1

1.2 Espa¸cos L

p

. . . . 6

1.3 Distribui¸c˜ oes . . . . 8

1.4 Espa¸cos de Sobolev . . . . 12

2 Existˆ encia e Unicidade 18 2.1 Formula¸c˜ ao variacional . . . . 19

2.2 Prova do Teorema 2.2 . . . . 39

3 Decaimento Uniforme 42 3.1 Solu¸c˜ ao global . . . . 46

3.2 Decaimento Exponencial . . . . 48

4 Solu¸ c˜ oes n˜ ao globais 55

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 65

ii

(5)

Neste trabalho, estudamos o comportamento assint´ otico da equa¸c˜ ao de onda n˜ ao- linear dada por

u

tt

− ∆u + a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

= bu|u|

p−2

,

onde a fun¸c˜ ao g(u

t

) = a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

´ e um termo n˜ ao-linear de amortecimento e f(u) = bu|u|

p−2

´ e um termo fonte, tamb´ em n˜ ao-linear. Ambos est˜ ao relacionados com as propriedades do material envolvido no modelo. Para dados iniciais arbitr´ arios, mostramos a existˆ encia de solu¸c˜ ao local do problema, em seguida para dados iniciais suficientemente pequenos, a existˆ encia de solu¸c˜ ao global e o decaimento exponencial de energia. No caso em que a energia inicial ´ e negativa, obtemos um resultado de explos˜ ao da energia em um tempo finito.

Palavras-chave: Equa¸c˜ ao de Onda, Decaimento Exponencial, Estabilidade, Termo Dissipativo.

iii

(6)

In this work we study the asymptotic behavior of the nonlinear wave equation u

tt

− ∆u + a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

= bu|u|

p−2

,

where the nonlinear function g(u

t

) = a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

is a damping term and f(u) = bu|u|

p−2

is a source term, also nonlinear. Both are related to the properties the ma- terial involved in the model. Existence of a local solution is obtained for arbitrary initial data. Existence of the global solution and exponential decay of energy, is proved if the initial data are small enough. In the case of negative initial energy, a blow-up result in finite time is also proved.

Keywords: Wave Equation, Exponential Decay, Blow-up, Stability, Dissipative Term.

iv

(7)

A estabilidade da solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de onda com termos n˜ ao-lineares, h´ a muitos anos tem interessado v´ arios pesquisadores tais como Messaoudi [2],[11], Todorova, Georgiev [5], Nakao [13], dentre outros. Neste trabalho estudamos a equa¸c˜ ao de onda envolvendo um termo de amortecimento g(u

t

) e um termo fonte f (u), ambos n˜ ao-lineares, considerando o seguinte problema:

u

tt

− ∆u + g(u

t

) + f(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0, u(x, t) = 0 x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,

u(x, 0) = ϕ(x) u

t

(x, 0) = ψ(x), x ∈ Ω,

(1)

em um dom´ınio Ω limitado do R

n

(n ≥ 1), com fronteira ∂Ω suave. Em nosso contexto g(u

t

) = a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

e f(u) = −bu|u|

p−2

com a, b contantes positivas e m, p > 2. Os objetivos do trabalho s˜ ao: Mostrar que para uma devida escolha dos dados iniciais ϕ e ψ, o problema (1) tem solu¸c˜ ao fraca global, isto ´ e, a solu¸c˜ ao do problema est´ a definida para todo t ≥ 0, e sua energia decai exponencialmente, tamb´ em mostrar que se a energia inicial do sistema ´ e negativa, temos um resultado sobre solu¸c˜ oes n˜ ao globais. Primeiramente mostramos a existˆ encia de uma ´ unica solu¸c˜ ao fraca local de (1), para quaisquer dados iniciais (ϕ, ψ) em H

01

(Ω) × L

2

(Ω), ou seja, a solu¸c˜ ao est´ a definida num intervalo de tempo finito. Posteriormente supondo dados iniciais relativamente pequenos, provamos que a solu¸c˜ ao ´ e global e sua energia decai exponencialmente de maneira uniforme. A existˆ encia de solu¸c˜ ao global por´ em, n˜ ao necessariamente depende dos dados iniciais, em [5] os autores estudam a rela¸c˜ ao entre o termo de amortecimento g(u

t

) e o termo fonte f(u) e mostram que se p ≤ m,

v

(8)

No cap´ıtulo 1, apresentamos uma breve base te´ orica a ser ulitizada no desenvolvi- mento do texto. Mostramos alguns resultados de an´ alise, como o teorema do ponto fixo de Banach, que ser´ a utilizado na prova da unicidade de solu¸c˜ ao, definimos os espa¸cos L

p

, as distribui¸c˜ oes e espa¸cos de Sobolev, provando alguns resultados so- bre estes (Veja [3], [4], [9] e [10] para uma exposi¸c˜ ao mais completa). No cap´ıtulo 2, fazendo uso do resultado provado por Todorova e Georgiev em [5], mostramos a existˆ encia e unicidade local de uma solu¸c˜ ao fraca de (1), utilizando um m´ etodo aproximativo de solu¸c˜ oes de um problema auxiliar provado por Lions em [8]. No ter- ceiro cap´ıtulo, mostramos que sob certas condi¸c˜ oes para os dados iniciais a solu¸c˜ ao ´ e global, a prova ´ e baseada na teoria do “Potencial”introduzida por Sattinger e Payne (Veja [15] e [16]), em seguida para a mesma condi¸c˜ ao dos dados iniciais, provamos o decaimento exponencial de energia do problema (veja [2]).

Finalmente no quarto e ´ ultimo cap´ıtulo, apresentamos um resultado sobre solu¸c˜ oes n˜ ao globais do problema (1), para isto mostramos que a solu¸c˜ ao explode em um tempo finito, quando a energia inicial ´ e negativa e p > m, tal resultado segue a id´ eia de Messaoudi em [12], de um problema semelhante ` a (1), cujo termo de amortecimento

´

e dado por g(u

t

) = au

t

|u

t

|

m−2

, a prova deste, melhora o resultado de Georgiev e Todorova (veja [5]), onde os autores mostram que a explos˜ ao ocorre para dados iniciais grandes, de modo que a energia inicial seja suficientemente negativa.

vi

(9)

Fundamentos

Omitiremos aqui, defini¸c˜ oes e alguns conceitos b´ asicos de an´ alise funcional, sobre espa¸cos m´ etricos, normados (espa¸cos de Banach e de Hilbert), bem como seq¨ uˆ encias de Cauchy, dentre outros. O objetivo do cap´ıtulo ´ e apontar resultados j´ a conhecidos, principalmente da teoria dos espa¸cos L

p

, distribui¸c˜ oes e espa¸cos de Sobolev, os quais ser˜ ao fundamentais para mostrar nossos principais resultados. Algumas vezes somente indicaremos onde se encontra a demonstra¸c˜ ao dos teoremas aqui citados.

1.1 Resultados de An´ alise

Desigualdades tipo Gronwall

Lema 1.1 (Gronwall) Sejam ω, α e f fun¸ c˜ oes reais cont´ınuas, tais que f ≥ 0 e ω(t) ≤ α(t) +

Z

t t0

f(s)ω(s)ds, ent˜ ao

ω(t) ≤ α(t) + Z

t

t0

f(s)α(s)e

Rstf(τ)dτ

ds, No caso particular que α(t) = C constante, temos

ω(t) ≤ C exp Z

t

t0

f(s)ds

.

1

(10)

Demonstra¸ c˜ ao: Seja g(t) = Z

t

t0

f(s)ω(s)ds, ent˜ ao g

0

(t) = f(t)ω(t) e da hip´ otese temos

g

0

(t) = f (t)ω(t) ≤ f (t)α(t) + f (t)g(t) = ⇒ [g(t)e

−A(t)

]

0

≤ f (t)α(t)e

−A(t)

, onde A

0

(t) = f (t). Portanto,

g (t)e

−A(t)

≤ Z

t

t0

f (s)α(s)e

−A(s)

ds, e da hip´ otese, segue que

ω(t) ≤ α(t) + e

A(t)

Z

t

t0

f (s)α(s)e

−A(s)

ds ,

o que implica o resultado. No caso que α(t) = C constante, basta utilizar f (s) exp

Z

t s

f(τ )dτ

= − d ds exp

Z

t s

f (τ)dτ

.

2 Lema 1.2 Se ω e f s˜ ao fun¸ c˜ oes reais cont´ınuas e positivas, tais que

ω(t)

2

≤ C + Z

t

0

f (s)ω(s)ds, C, t ≥ 0 (C constante) ent˜ ao

ω(t) ≤ √ C + 1

2 Z

t

0

f(s)ds.

Demonstra¸ c˜ ao: Seja F (t) = C + Z

t

0

f (s)ω(s)ds, portanto como f e ω s˜ ao cont´ınuas F

0

(t) = f(t)ω(t) ≤ f(t)F (t)

1/2

,

ou seja, F (t)

−1/2

F

0

(t) ≤ f (t), ent˜ ao temos que 2(F (t)

1/2

)

0

≤ f (t) e integrando de 0 ` a t esta desigualdade obtemos,

2(F (t)

1/2

− F (0)

1/2

) ≤ Z

t

0

f (s)ds, logo

F (t)

1/2

≤ F (0)

1/2

+ 1 2

Z

t 0

f (s)ds,

finalmente como ω(t) ≤ F (t)

1/2

, chegamos ao resultado. 2

(11)

Teorema do ponto fixo de Banach

Defini¸ c˜ ao 1.1 Seja X = (X, d) espa¸ co m´ etrico. A aplica¸ c˜ ao T : X −→ X denomina- se aplica¸ c˜ ao contractante ou contra¸ c˜ ao em X, se existir um n´ umero real α ∈ [0, 1) tal que ∀x, y ∈ X

d(T x, T y) ≤ αd(x, y).

Um ponto fixo da aplica¸c˜ ao T : X −→ X, ´ e qualquer elemento x ∈ X, tal que T x = x.

Teorema 1.1 (Ponto fixo de Banach) Considere X = (X, d) 6= ∅ um espa¸ co m´ etrico completo com respeito a sua m´ etrica d. Se T : X −→ X ´ e uma contra¸ c˜ ao em X, ent˜ ao T possui um ´ unico ponto fixo em X.

Demonstra¸ c˜ ao: Seja x

0

∈ X, definimos a seq¨ uˆ encia iterativa (x

n

)

n∈N

em X da seguinte forma

x

0

, x

1

= T x

0

, x

2

= T x

1

= T

2

x

0

, ... x

n

= T x

n−1

= T

n

x

0

, ...

Mostremos que esta seq¨ uˆ encia ´ e de Cauchy em X. Suponha por conveniˆ encia n ≤ m, d(x

n

, x

m

) = d(T

n

x

0

, T

m

x

0

) = d(T x

n−1

, T x

m−1

)

≤ αd(x

n−1

, x

m−1

) = αd(T x

n−2

, T x

m−2

)

≤ α

2

d(x

n−2

, x

m−2

) ≤ ... ≤ α

n

d(x

0

, x

m−n

)

≤ α

n

[d(x

0

, x

1

) + d(x

1

, x

2

) + ... + d(x

m−n−1

, x

m−n

)]

≤ α

n

d(x

0

, x

1

)[1 + α + α

2

+ ... + α

m−n−1

]

≤ α

n

d(x

0

, x

1

) 1 1 − α .

Como α ∈ [0, 1) e d(x

0

, x

1

) est˜ ao fixos, temos que o lado direito da express˜ ao acima tende a zero se n cresce muito, ent˜ ao (x

n

)

n∈N

´ e de Cauchy em X, que ´ e completo, logo x

n

converge para algum x em X, isto ´ e, para qualquer ε > 0, existe n

0

∈ N tal que, para todo n > n

0

temos

d(x

n

, x) < ε

2 .

(12)

Portanto,

d(x, T x) ≤ d(x, x

n+1

) + d(x

n+1

, T x) = d(x, x

n+1

) + d(T x

n

, T x)

≤ d(x, x

n+1

) + αd(x

n

, x) ≤ d(x, x

n+1

) + d(x

n

, x)

< ε 2 + ε

2 = ε se n > n

0

,

ent˜ ao d(x, T x) = 0 = ⇒ x = T x, isto ´ e, x ´ e ponto fixo de T em X. Seja x = T x e y = T y, como d(T x, T y) ≤ αd(x, y), concluimos que d(x, y) ≤ αd(x, y), o que implica

d(x, y) = 0 = ⇒ x = y. 2

Para facilitar a posterior leitura da demonstra¸c˜ ao do teorema de existˆ encia, provare- mos nesta se¸c˜ ao o seguinte resultado.

Lema 1.3 Sejam m > 2 e 0 < ε < 1

2

m−2

constantes, ent˜ ao ´ e v´ alida a seguinte desigualdade

(α + α|α|

m−2

− β − β|β|

m−2

)(α − β) ≥ ε|α − β|

m

∀α, β ∈ R . Demonstra¸ c˜ ao: Escrita de outra forma a desigualdade fica

(α − β)

2

+ (α|α|

m−2

− β|β|

m−2

)(α − β) ≥ ε|α − β|

m

, como (α − β)

2

≥ 0 ∀α, β ∈ R , ent˜ ao basta mostrar que

(α|α|

m−2

− β|β|

m−2

)(α − β) ≥ ε|α − β|

m

∀α, β ∈ R . Se α = β ou β = 0 ´ e direto, suponha ent˜ ao α 6= β e β 6= 0, logo

(α|α|

m−2

− β|β|

m−2

)(α − β) ≥ ε|α − β|

m

m

(α|α|

m−2

− β|β|

m−2

) β|β|

m−2

(α − β)

β ≥ ε|α − β|

m

|β|

m

m

(γ|γ|

m−2

− 1)(γ − 1) ≥ ε|γ − 1|

m

onde γ = α

β .

(13)

Como (γ|γ|

m−2

− 1)(γ − 1) > 0, a desigualdade anterior ´ e equivalente ` a γ |γ|

m−2

− 1

≥ ε γ − 1

m−1

. Ent˜ ao, o problema resume-se em provar que a fun¸c˜ ao

f(γ) =

γ |γ |

m−2

− 1 − ε

γ − 1

m−1

≥ 0, ∀γ ∈ R . Observe que f ´ e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em toda reta.

Caso 1: Se γ < 0, temos f (γ) = (−γ)

m−1

+ 1 − ε(1 − γ)

m−1

e f

0

(γ ) = (m − 1)[ε(1 − γ)

m−2

− (−γ)

m−2

], fazendo f

0

(γ) = 0, encontramos o ponto cr´ıtico γ

0

= ε

m−21

ε

m−21

− 1

< 0, e se

γ < γ

0

= −ε

m−21

1 − ε

m−21

= ⇒ γ(1 − ε

m−21

) < −ε

m−21

, portanto

(1 − γ)ε

m−21

< −γ = ⇒ (1 − γ)

m−2

ε < (−γ)

m−2

,

segue que f

0

(γ) < 0, logo a fun¸c˜ ao ´ e decrescente em (−∞, γ

0

). Usando o mesmo racioc´ınio para γ > γ

0

, teremos f

0

(γ) > 0, ou seja, f ´ e crescente em (γ

0

, 0). Vimos que γ

0

´ e um ponto de m´ınimo em (−∞, 0). Verifiquemos que f (γ

0

) > 0. Da hip´ otese

0 < ε < 1

2

m−2

= ⇒ 2ε

m−21

< 1 = ⇒ ε

m−21

< 1 − ε

m−21

= ⇒ ε < (1 − ε

m−21

)

m−2

. Portanto, ε(1 − ε

m−21

) < (1 − ε

m−21

)

m−1

, o que implica ε − ε

m−1m−2

< (1 − ε

m−21

)

m−1

, ou seja, (1 − ε

m−21

)

m−1

+ ε

m−1m−2

− ε > 0, ent˜ ao

f (γ

0

) = ε

m−1m−2

(1 − ε

m−21

)

m−1

+ 1 − ε ε

m−21

1 − ε

m−21

+ 1

!

m−1

= ε

m−1m−2

+ (1 − ε

m−21

)

m−1

− ε (1 − ε

m−21

)

m−1

> 0,

ficando provado que f(γ) > 0, ∀γ < 0. Observe tamb´ em que f (0) = 1 − ε > 0.

Caso 2: Se 0 < γ < 1, f(γ) = (1 − γ

m−1

) − ε(1 − γ)

m−1

e

f

0

(γ) = (m − 1)[ε(1 − γ)

m−2

− γ

m−2

],

(14)

fazendo f

0

(γ ) = 0, temos que γ

1

= ε

m−21

1 + ε

m−21

< 1 ´ e um ponto cr´ıtico em (0, 1), e usando mesmo racioc´ınio do caso anterior teremos f crescente para 0 < γ < γ

1

e decrescente para γ

1

< γ < 1, isto ´ e, γ

1

´ e ponto de m´ aximo em (0, 1). Como f ´ e cont´ınua e f (1) = 0 temos que f (γ) ≥ 0 se 0 < γ ≤ 1.

Caso 3: Se γ > 1, f (γ) = (γ

m−1

− 1) − ε(γ − 1)

m−1

. Sendo ε < 1,

f

0

(γ) = (m − 1)(γ

m−2

− ε(γ − 1)

m−2

) > (m − 1)(γ

m−2

− (γ − 1)

m−2

) > 0, portanto f ´ e crecente em (1, +∞), ent˜ ao f(γ) > 0 ∀γ > 1. 2 Teorema 1.2 Seja V um espa¸ co de Hilbert separ´ avel. Considere o espa¸ co das fun¸ c˜ oes cont´ınuas de [0, T ] tomando valores em V , denotado por C([0, T ]; V ). Se B ´ e um subespa¸ co denso em V , ent˜ ao C

1

([0, T ]; B) ´ e denso em C([0, T ]; V ).

1.2 Espa¸ cos L p

Usaremos daqui em diante termos de teoria da Medida, tais como fun¸c˜ oes men- sur´ aveis, integr´ aveis, igualdade (desigualdade) em quase todo ponto (q.t.p), conjunto de medida nula. No que segue, Ω ser´ a um aberto do R

n

.

Defini¸ c˜ ao 1.2 Seja 1 ≤ p < ∞ e Ω ⊂ R

n

. Definimos o espa¸ co L

p

(Ω) como o conjunto das (classes de) fun¸ c˜ oes u : Ω −→ R mensur´ aveis p-integr´ aveis em Ω, i.e.:

L

p

(Ω) := {u : Ω −→ R ; u ´ e mensur´ avel e Z

|u(x)|

p

< ∞},

com a seguinte norma kuk

p

:=

Z

|u(x)|

p

1p

. Para p = ∞, temos

L

(Ω) := {u : Ω −→ R ; u ´ e mensur´ avel e ∃K tal que |u(x)| ≤ K q.t.p em Ω}, com a norma kuk

:= sup

x∈Ω

ess |u(x)| = inf{K ; |u(x)| ≤ K q.t.p em Ω}.

Teorema 1.3 Os espa¸ cos L

p

(Ω), com 1 ≤ p ≤ ∞ s˜ ao espa¸ cos de Banach.

(15)

Demonstra¸ c˜ ao: Veja [3] p´ agina 57.

Observa¸ c˜ ao: No caso p = 2, temos que L

2

(Ω) ´ e um espa¸co de Hilbert, munido do seguinte produto interno

(u, v)

2

:=

Z

u(x)v(x) dx.

Teorema 1.4 (Desigualdade de H¨ older) Sejam u ∈ L

p

(Ω) e v ∈ L

p0

(Ω), com 1 ≤ p ≤ ∞ e 1

p + 1

p

0

= 1. Ent˜ ao uv ∈ L

1

(Ω) e Z

|uv| dx ≤ kuk

p

kg k

p0

. (1.1) Demonstra¸ c˜ ao: Se p = 1, temos que p

0

= ∞, ent˜ ao basta observar que

Z

|u(x)v(x)| dx ≤ kvk

Z

|u(x)| dx.

Para p > 1, da desigualdade de Young temos que αβ ≤ α

p

p + β

p0

p

0

, ∀α, β ≥ 0,

logo supondo que u ∈ L

p

(Ω) e v ∈ L

p0

(Ω), com kuk

p

6= 0 e kvk

p0

6= 0 e tomando α = |u(x)|

kuk

p

e β = |v(x)|

kv k

p0

na desigualdade de Young, chegamos ` a

|u(x)v(x)|

kuk

p

kvk

p0

≤ |u(x)|

p

pkuk

pp

+ |v (x)|

p0

p

0

kvk

pp00

, integrando em Ω,

1 kuk

p

kvk

p0

Z

|u(x)v(x)| dx ≤ 1 p + 1

p

0

= 1.

Segue que uv ´ e integr´ avel e (1.1) acontece. 2

Lema 1.4 Seja Ω ⊂ R

n

um conjunto limitado, isto ´ e, Ω possui medida finita, ent˜ ao temos que L

p

(Ω) esta imerso continuamente em L

q

(Ω) para 1 ≤ q ≤ p, ou seja, existe uma constante C (dependendo de Ω), tal que

kuk

q

≤ Ckuk

p

, ∀u ∈ L

p

(Ω) e 1 ≤ q ≤ p.

(16)

Demonstra¸ c˜ ao: Seja u ∈ L

p

(Ω), queremos mostrar que u ∈ L

q

(Ω) onde q ≤ p. Se p = q ´ e direto. Seja q < p, ent˜ ao

1 q − 1

p > 0, Definindo s := 1

q − 1

p , teremos qs + q

p = 1, conseq¨ uentemente 1

1 qs

+ 1

p q

= 1.

Como 1 < p

q e qs = 1 − q

p , temos que 1 < 1

qs . Por outro lado, |u|

q

∈ L

pq

(Ω) e g ≡ 1 ∈ L

qs1

(Ω). De fato

Z

(|u|

q

)

pq

dx = Z

|u|

p

dx < ∞ e Z

|1|

qs1

dx = µ(Ω) < ∞, onde µ(Ω) denota a medida de Ω. Logo da desigualdade de H¨ older,

Z

|u|

q

dx = Z

|u|

q

g dx ≤ Z

(|u|

q

)

pq

qp

Z

1

qs1

qs

= Z

(|u|

p

)dµ

qp

µ(Ω)

qs

= µ(Ω)

qs

kuk

qp

< ∞.

Ent˜ ao u ∈ L

q

(Ω), e segue que kuk

q

≤ Ckuk

p

, onde C = µ(Ω)

s

, o que mostra a

continuidade da imers˜ ao. 2

1.3 Distribui¸ c˜ oes

Espa¸ co de fun¸ c˜ oes teste

Seja α = (α

1

, α

2

, ..., α

n

) ∈ N

n

, denotemos por D

α

= ∂

|α|

xα11

xα22

...∂

xαnn

, onde |α| = α

1

+ α

2

+ ... + α

n

o operador diferencial de ordem α.

(17)

Se u ´ e uma fun¸c˜ ao mensur´ avel sobre Ω e (ω

i

)

i∈I

´ e a fam´ılia de todos subconjuntos abertos de Ω, tal que u = 0 q.t.p em cada ω

i

, temos que u = 0 q.t.p. em ω = [

i∈I

ω

i

, e o suporte de u (supp u) ´ e definido como o subconjunto fechado

supp u = Ω \ ω.

No caso em que u seja cont´ınua

supp u = {x ∈ Ω; u(x) 6= 0}.

Dizemos que uma fun¸c˜ ao u tem suporte compacto em Ω, se existir K ⊂ Ω compacto tal que

supp u ⊂ K.

Representa-se por C

0

(Ω) o espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes reais definidas em Ω, com suporte compacto e derivadas parciais de todas as ordens. Em C

0

(Ω) considera-se a seguinte no¸c˜ ao de convergˆ encia:

Uma seq¨ uˆ encia de fun¸c˜ oes (ϕ

n

)

n∈N

converge para zero em C

0

(Ω) quando:

(i) Todas as ϕ

n

possuem suportes contidos em um compacto fixo K de Ω;

(ii) A seq¨ uˆ encia (ϕ

n

)

n∈N

converge para zero uniformemente em K, juntamente com suas derivadas de todas as ordens.

Seja ϕ ∈ C

0

(Ω). Dizemos que (ϕ

n

)

n∈N

converge para ϕ em C

0

(Ω) se (ϕ

n

− ϕ)

n∈N

converge para zero como definido acima. Ao espa¸co C

0

(Ω), munido desta no¸c˜ ao de convergˆ encia, denotamos por D(Ω), o qual chamamos espa¸co das fun¸c˜ oes testes.

Exemplo 1.1 A fun¸ c˜ ao ρ : R

n

7−→ R definida por:

ρ(x) =

 exp

1−kxk1 2 2

se kxk

2

< 1

0 se kxk

2

≥ 1

pertence ` a D( R

n

), e supp u = {x ∈ R

n

; kxk

2

≤ 1}.

Teorema 1.5 O espa¸ co C

0

(Ω) ´ e denso em L

p

(Ω) para 1 ≤ p < ∞.

(18)

Demonstra¸ c˜ ao: Veja [3] p´ agina 71.

Defini¸ c˜ ao 1.3 (Distribui¸ c˜ ao) Uma distribui¸ c˜ ao sobre Ω, ´ e uma forma linear T sobre D(Ω) que ´ e cont´ınua no sentido da convergˆ encia definida em D(Ω), i.e.

T : D(Ω) −→ R

(i) T (αϕ + βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ), ∀α, β ∈ R e ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω);

(ii) Se (ϕ

n

)

n∈N

converge para ϕ em D(Ω) ent˜ ao (T (ϕ

n

))

n∈N

converge para T (ϕ) em R .

Representamos por T, ϕ

a distribui¸c˜ ao T em ϕ, e por D

0

(Ω) o espa¸co vetorial das distribui¸c˜ oes sobre Ω. Dizemos que (T

n

)

n∈N

converge para T em D

0

(Ω), quando a seq¨ uˆ encia (

T

n

, ϕ

)

n∈N

converge para T, ϕ

em R para toda ϕ ∈ D(Ω).

A nota¸c˜ ao L

ploc

(Ω) ser´ a usada para designar o espa¸co vetorial

L

ploc

(Ω) = {f : Ω −→ R ; f ∈ L

p

(K) ∀K compacto K ⊂ Ω}.

Pode-se comprovar sem dificuldades que L

p

(Ω) ⊂ L

1loc

(Ω), para todo p ≥ 1.

Exemplo 1.2 Se u ∈ L

1loc

(Ω), ent˜ ao a forma linear T

u

definida em D(Ω) por T

u

, ϕ

= Z

u(x)ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ D(Ω),

´

e uma distribui¸ c˜ ao.

Prova: Como cada ϕ possui suporte compacto em Ω, esta integral existe, logo T

u

est´ a bem definida. Al´ em disso, T

u

´ e univocamente determinada por u. Como T

´

e dada por uma integral, ´ e linear, logo para provar que ´ e uma distribui¸c˜ ao basta demonstrar que ´ e cont´ınua.

| T

u

, ϕ

| ≤ Z

|u(x)||ϕ(x)| dx ≤ (max

x∈K

|ϕ(x)|) Z

K

|u(x)|dx,

isto ´ e,

| T

u

, ϕ

| ≤ C(max

x∈K

|ϕ(x)|). (1.2)

(19)

Logo se (ϕ

n

)

n∈N

converge para ϕ em D(Ω), para todo δ > 0 existe um compacto fixo K ⊂ Ω e n

0

∈ N , tal que

se n > n

0

= ⇒ max

x∈K

|ϕ(x) − ϕ

n

(x)| < δ.

Tomando δ = ε

C , da rela¸c˜ ao (1.2) temos que dado ε > 0, se n > n

0

T

u

, ϕ

T

u

, ϕ

n

≤ C(max

x∈K

n

(x) − ϕ(x)|) < C ε C = ε.

2 Lema 1.5 (Du Bois Raymond) Se u ∈ L

1loc

(Ω), ent˜ ao T

u

= 0, se e somente se u = 0 q.t.p. em Ω.

Demonstra¸ c˜ ao: Veja [10] p´ agina 10.

Exemplo 1.3 Seja x

0

∈ Ω, ent˜ ao a forma linear δ

x0

definida por δ

x0

, ϕ

= ϕ(x

0

), ∀ϕ ∈ D(Ω),

´

e chamada de distribui¸ c˜ ao de Dirac concentrada em x

0

.

A distribui¸c˜ ao δ

x0

n˜ ao ´ e definida por uma fun¸c˜ ao u ∈ L

1loc

(Ω). De fato, seja u ∈ L

1loc

(Ω), suponha que

Z

u(x)ϕ(x) dx = ϕ(x

0

) = δ

x0

, ϕ

, ∀ϕ ∈ D(Ω), logo se ϕ ∈ D(Ω) temos que ϕ(x) = e kx − x

0

k

2

ϕ(x) ∈ D(Ω), ent˜ ao

Z

u(x)kx − x

0

k

2

ϕ(x) dx = ⇒ Z

u(x) ϕ(x) e dx = ϕ(x e

0

) = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω),

e pelo Lema de Du Bois Raymond, u(x)kx − x

0

k

2

= 0 q.t.p. em Ω, o que implica que

u(x) = 0 q.t.p. em Ω, isto ´ e, δ

x0

= 0, contradi¸c˜ ao.

(20)

Defini¸ c˜ ao 1.4 (Derivada de uma Distribui¸ c˜ ao) Considere T ∈ D

0

(Ω) e α ∈ N

n

. A derivada de T de ordem α ´ e a distribui¸ c˜ ao representada por D

α

T , definida em D(Ω) por

D

α

T, ϕ

= (−1)

|α|

T, D

α

ϕ

, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Exemplo 1.4 (Fun¸ c˜ ao Heaviside) A fun¸ c˜ ao definida da seguinte forma: u(x) = 1 se x > 0 e u(x) = 0 se x < 0, ´ e chamada de fun¸ c˜ ao Heaviside. Ela pertence a L

1loc

( R ), mas sua derivada no sentido das distribui¸ c˜ oes ´ e

u

0

, ϕ

= − u, ϕ

0

= − Z

0

ϕ

0

(x)dx = ϕ(0) = δ

0

, ϕ

∀ ϕ ∈ D( R ),

logo u

0

= δ

0

n˜ ao pertence a L

1loc

( R ). Este fato motiva a defini¸ c˜ ao dos espa¸ cos de Sobolev, uma classe de espa¸ cos de Banach muito importante no estudo que segue deste trabalho.

1.4 Espa¸ cos de Sobolev

Nesta se¸c˜ ao introduzimos os espa¸cos de Sobolev, e algumas propriedades que ser˜ ao usadas posteriormente. Como visto na se¸c˜ ao anterior, se u ∈ L

p

(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ ao u possui derivada de todas as ordens no sentido das ditribui¸c˜ oes, por´ em sua derivada tamb´ em chamada de derivada fraca, n˜ ao ´ e em geral uma distribui¸c˜ ao definida por uma fun¸c˜ ao de L

p

(Ω). Representamos por W

1,p

(Ω) o espa¸co de Sobolev das fun¸c˜ oes u ∈ L

p

(Ω) tal que a derivada fraca Du ∈ L

p

(Ω), ou ainda:

Defini¸ c˜ ao 1.5 Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Define-se o espa¸ co de Sobolev W

1,p

(Ω) = {u ∈ L

p

(Ω); Du ∈ L

p

(Ω)}

= {u ∈ L

p

(Ω); ∃ v

1

, v

2

, ..., v

n

∈ L

p

(Ω); tal que Z

u ∂ϕ

∂x

i

dx = − Z

v

i

ϕ dx

∀ϕ ∈ D(Ω) ∀i = 1, 2, ..., n}.

(21)

No caso em que u ∈ W

1,p

(Ω), temos v

i

= ∂u

∂x

i

e

∇u = ∂u

∂x

1

, ∂u

∂x

2

, ..., ∂u

∂x

n

. Denotamos com H

1

(Ω) = W

1,2

(Ω).

Proposi¸ c˜ ao 1.1 O espa¸ co W

1,p

, para 1 ≤ p ≤ ∞ ´ e um espa¸ co de Banach munido da norma

kuk

W1,p

= kuk

p

+

n

X

i=1

∂u

∂x

i

p

, ou da norma equivalente

kuk

W1,p

= kuk

pp

+

n

X

i=1

∂u

∂x

i

p

p

!

1/p

. Para p = ∞, temos que

kuk

W1,∞

= X sup

x∈Ω

ess|Du(x)|.

O espa¸ co H

1

(Ω) ´ e um espa¸ co de Hilbert com o seguinte produto interno (u, v)

H1

= (u, v)

2

+

n

X

i=1

∂u

∂x

i

, ∂v

∂x

i

2

. Demonstra¸ c˜ ao: Veja [3] p´ agina 150.

Defini¸ c˜ ao 1.6 (O espa¸ co W

01,p

(Ω)) Seja 1 ≤ p < ∞; definimos W

01,p

(Ω) := C

0

(Ω) em W

1,p

(Ω).

Denotamos com H

01

(Ω) = W

01,2

(Ω).

Teorema 1.6 Suponha Ω de classe C

1

, tal que

u ∈ W

1,p

(Ω) ∩ C(Ω), com 1 ≤ p < ∞,

ent˜ ao s˜ ao equivalentes as seguintes afirma¸ c˜ oes:

(22)

(i) u = 0 sobre ∂Ω;

(ii) u ∈ W

01,p

(Ω).

Ou seja, de maneira “grosseira”podemos considerar que os elementos de W

01,p

(Ω), s˜ ao as fun¸ c˜ oes de W

1,p

(Ω) que se anulam na fronteira de Ω.

Demonstra¸ c˜ ao: Veja [3] p´ agina 171.

Teorema 1.7 Seja Ω de classe C

1

. Se u ∈ L

p

(Ω) com 1 < p < ∞. Ent˜ ao as seguintes propriedades s˜ ao equivalentes:

(i) u ∈ W

01,p

(Ω);

(ii) Existe uma constante C ≥ 0, tal que

Z

u ∂ϕ

∂x

i

dx

≤ Ckϕk

p0

∀ϕ ∈ D(Ω), ∀i = 1, ..., n ;

(iii) A fun¸ c˜ ao u(x) =

u(x) se x ∈ Ω 0 se x ∈ R

n

\ Ω

, pertence a W

1,p

( R

n

) e neste caso ∂u

∂x

i

= ∂u

∂x

i

.

Demonstra¸ c˜ ao: Veja [3] p´ agina 172.

Como conseq¨ uˆ encia deste teorema, temos um resultado muito importante, que ser´ a utilizado com freq¨ uˆ encia neste trabalho.

Corol´ ario 1.1 (Desigualdade de Poincar´ e) Seja Ω aberto e limitado em R

n

. Ent˜ ao existe uma constante C (dependendo somente de Ω e p) tal que

kuk

p

≤ Ck∇uk

p

∀u ∈ W

01,p

(Ω) (1 ≤ p < ∞).

A express˜ ao k∇uk

p

define uma norma para W

01,p

(Ω), e para H

01

(Ω) definimos o seguinte produto interno

(u, v)

H1

0

:=

Z

∇u∇v dx .

(23)

Os Espa¸ cos W m,p (Ω)

Seja m ≥ 2 inteiro e 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos por recorrˆ encia os espa¸cos de Sobolev W

m,p

(Ω) =

u ∈ W

m−1,p

(Ω); ∂u

∂x

i

∈ W

m−1,p

(Ω) ∀i = 1, 2, ..., n

=

u ∈ L

p

(Ω); ∀α ∈ N

n

com |α| ≤ m, ∃ v

α

∈ L

p

(Ω), tal que Z

uD

α

ϕ dx = (−1)

|α|

Z

v

α

ϕ dx, ∀ϕ ∈ D(Ω) . Denotamos por v

α

= D

α

u. O espa¸co W

m,p

(Ω), munido da norma

kuk

Wm,p

=

 X

|α|≤m

Z

|D

α

u(x)|

p

dx

1 p

se 1 ≤ p < ∞, ou

kuk

Wm,∞

= X

|α|≤m

sup

x∈Ω

ess|D

α

u(x)|, se p = ∞

´

e um espa¸co de Banach. Quando p = 2 temos o espa¸co de Hilbert H

m

(Ω).

Imers˜ oes de Espa¸ cos de Sobolev

Estamos interessados aqui na imers˜ ao dos espa¸cos de Sobolev W

m,p

(Ω). Temos trˆ es casos a considerar, mp < n, mp > n, e mp = n. Verifica-se ent˜ ao que W

m,p

(Ω) est´ a imerso continuamente em L

q

(Ω), para um q

especial, visto a seguir.

Teorema 1.8 Seja m ≥ 1 e 1 ≤ p < ∞. Se n ≥ 2, verifica-se:

• Se mp < n, ent˜ ao W

m,p

( R

n

) ⊂ L

q

( R

n

) para p ≤ q ≤ q

onde 1 q

= 1

p − m n ;

• Se mp = n, ent˜ ao W

m,p

( R

n

) ⊂ L

q

( R

n

) ∀q

∈ [p, ∞) ;

• Se mp > n, ent˜ ao W

m,p

( R

n

) ⊂ L

( R

n

).

com imers˜ oes cont´ınuas.

Demonstra¸ c˜ ao: Ver [3] p´ agina 168.

No caso em que Ω ⊂ R

n

´ e um aberto de classe C

1

, com fronteira ∂Ω limitada tem-se:

(24)

Corol´ ario 1.2 Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ ao

• Se 1 ≤ p < n, ent˜ ao W

1,p

(Ω) ⊂ L

q

(Ω) para p ≤ q ≤ q

onde 1 q

= 1

p − 1 n ;

• Se p = n, ent˜ ao W

1,p

(Ω) ⊂ L

q

(Ω) ∀q

∈ [p, ∞) ;

• Se p > n, ent˜ ao W

1,p

(Ω) ⊂ L

(Ω).

com imers˜ oes cont´ınuas.

Demonstra¸ c˜ ao: Ver [3] p´ agina 168.

No caso em que n = 1, temos uma melhor regularidade para as fun¸c˜ oes de W

m,p

. Para I ⊆ R ´ e v´ alida a inclus˜ ao

• W

m,p

(I) ⊂ C

m−1

(I) com imers˜ ao cont´ınua (Veja [3] p´ agina 132).

Observa¸ c˜ ao: Usaremos a nota¸c˜ ao Y , → X para designar que o espa¸co Y est´ a imerso continuamente em X.

Seja X um espa¸co de Hilbert real e separ´ avel.

Defini¸ c˜ ao 1.7 O espa¸ co L

p

(0, T ; X), com 1 ≤ p < ∞, consiste nas fun¸ c˜ oes men- sur´ aveis ω : [0, T ] −→ X, tal que

kωk

Lp(0,T,X)

= Z

T

0

kω(t)k

pX

1p

< ∞.

Para p = ∞ temos

kωk

L(0,T,X)

= sup

0≤t≤T

esskω(t)k

X

< ∞.

Defini¸ c˜ ao 1.8 (Distribui¸ c˜ ao Vetorial) Uma distribui¸ c˜ ao vetorial sobre (0, T ), com valores em X, ´ e uma aplica¸ c˜ ao linear cont´ınua sobre D(0, T ) com valores em X. De- notamos o espa¸ co das distribui¸ c˜ oes vetoriais com L(D(0, T ), X ).

Exemplo 1.5 Semelhante ao Exemplo 1.2, dada v ∈ L

p

(0, T ; X), a aplica¸ c˜ ao definida por

T

v

, ϕ

= Z

T

0

v(s)ϕ(s) ds, ∀ϕ ∈ D(0, T ),

´

e uma distribui¸ c˜ ao vetorial.

(25)

Analogamente a Defini¸c˜ ao 1.4, dada S ∈ L(D(0, T ), X ) definimos sua derivada de orden n por

d

n

S dt

n

, ϕ

= (−1)

n

S, d

n

ϕ

dt

n

, ∀ϕ ∈ D(0, T ), sendo d

n

S

dt

n

tamb´ em uma distribui¸c˜ ao vetorial. Dizemos que S

i

−→ S em L(D(0, T ), X) quando:

S

i

, ϕ

−→

S, ϕ

, ∀ϕ ∈ D(0, T ).

Defini¸ c˜ ao 1.9 Seja ω ∈ L

p

(0, T, X). Se existe ψ ∈ L

p

(0, T, X ) tal que Z

T

0

ω(t)ϕ

0

(t)dt = − Z

T

0

ψ(t)ϕ(t)dt ∀ϕ ∈ D(0, T ).

Ent˜ ao temos a derivada fraca ω

0

= ψ (derivada no sentido das distribui¸ c˜ oes vetoriais) e definimos o espa¸ co de Sobolev W

1,p

(0, T, X ), das fun¸ c˜ oes ω ∈ L

p

(0, T, X ) tal que ω

0

∈ L

p

(0, T, X), munido da seguinte norma

kωk

W1,p(0,T;X)

:=

Z

T 0

kω(t)k

pX

+ kω

0

(t)k

pX

dt

1 p

se 1 ≤ p < ∞, kωk

W1,∞(0,T;X)

:= sup

1≤t≤T

ess(kω(t)k

X

+ kω

0

(t)k

X

) se p = ∞.

Teorema 1.9 Seja u ∈ W

1,p

(0, T ; X) para 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ ao

• u ∈ C([0, T ]; X),

• sup

0≤t≤T

ku(t)k

X

≤ Cku(t)k

W1,p(0,T;X)

onde a constante C depende somente de T .

Demonstra¸ c˜ ao: Veja [4] p´ agina 286.

(26)

Existˆ encia e Unicidade

O objetivo deste cap´ıtulo ´ e mostrar que existe uma ´ unica fun¸c˜ ao u, solu¸c˜ ao fraca do problema da equa¸c˜ ao de onda n˜ ao-linear, dado pelo seguinte modelo:

u

tt

− ∆u + a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

= bu|u|

p−2

, x ∈ Ω, t > 0, u(x, t) = 0, x ∈ ∂ Ω, t ≥ 0,

u(x, 0) = ϕ(x), u

t

(x, 0) = ψ(x), x ∈ Ω,

(2.1)

em um dom´ınio Ω ⊂ R

n

, limitado com fronteira ∂Ω suave, sendo a, b > 0 e m, p > 2, constantes. Provaremos a existˆ encia e unicidade de uma solu¸c˜ ao local do problema (2.1), e no pr´ oximo cap´ıtulo, para dados iniciais ϕ e ψ pequenos, a existˆ encia global.

Usaremos a existˆ encia e unicidade de solu¸c˜ ao do seguinte problema auxiliar:

u

tt

− ∆u + a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

= h, x ∈ Ω, t ∈ (0, T ), a > 0 e m > 2, u(x, t) = 0, x ∈ ∂ Ω, t ≥ 0,

u(x, 0) = u

0

(x), u

t

(x, 0) = u

1

(x), x ∈ Ω.

(2.2)

Teorema 2.1 Seja T > 0. Se h, u

0

e u

1

s˜ ao fun¸ c˜ oes dadas, tal que h ∈ L

2

(0, T ; H

01

(Ω)), ∂h

∂t ∈ L

2

(0, T ; L

2

(Ω));

u

0

∈ H

2

(Ω) ∩ H

01

(Ω), u

1

∈ H

01

(Ω) ∩ L

2(m−1)

(Ω);

com Ω ⊂ R

n

limitado de fronteira ∂Ω suave. Ent˜ ao existe uma ´ unica solu¸ c˜ ao u(x, t) do problema (2.2), tal que

18

(27)

u ∈ L

(0, T ; H

2

(Ω) ∩ H

01

(Ω)), u

t

∈ L

(0, T ; H

01

(Ω)) ∩ L

m

(Ω × (0, T )),

u

tt

∈ L

(0, T ; L

2

(Ω)).

Demonstra¸ c˜ ao: A prova deste teorema ´ e semelhante a do Teorema 3.1 de [8] p´ agina 38, a qual omitiremos aqui.

Quando n˜ ao houver confus˜ ao usaremos a nota¸c˜ ao u(t), ou simplesmente u no lugar de u(x, t), tamb´ em u

0

e u

00

ao inv´ es de u

t

e u

tt

. Para simplificar e facilitar a leitura do texto, muitas vezes denotaremos com o mesmo s´ımbolo v´ arias constantes diferentes, quando estas n˜ ao interfirirem no resultado procurado.

2.1 Formula¸ c˜ ao variacional

A fim de introduzir um conceito de solu¸c˜ ao fraca do problema (2.1) multiplicamos a equa¸c˜ ao

u

tt

− ∆u + a(1 + |u

t

|

m−2

)u

t

= bu|u|

p−2

(2.3) por κ ∈ H

01

(Ω) ∩ L

m

(Ω), e integrando em Ω chegamos ` a

d

dt (u

t

, κ)

2

+ (∇u, ∇κ)

2

+ (au

t

+ au

t

|u

t

|

m−2

, κ)

2

= (bu|u|

p−2

, κ)

2

,

onde esta igualdade variacional consiste em “substituir”a igualdade pontual (2.3).

Chamaremos de solu¸c˜ ao fraca do problema (2.1), toda fun¸c˜ ao u que satisfaz d

dt (u

t

, κ)

2

+ (∇u, ∇κ)

2

+ (au

t

+ au

t

|u

t

|

m−2

, κ)

2

= (bu|u|

p−2

, κ)

2

, u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,

u(x, 0) = ϕ(x), u

t

(x, 0) = ψ(x), x ∈ Ω.

(2.4)

para toda κ em H

01

(Ω) ∩ L

m

(Ω).

Consideremos o espa¸co energia H = H

01

(Ω) × L

2

(Ω) munido do seguinte produto interno

(U, V )

H

= (∇u

1

, ∇v

1

)

2

+ (u

2

, v

2

)

2

,

(28)

e a norma associada

kU k

H

= k∇u

1

k

22

+ ku

2

k

22

1/2

, onde

U =

 u

1

u

2

 , V =

 v

1

v

2

 ∈ H.

Teorema 2.2 (Existˆ encia e Unicidade) Sejam m > 2 e p > 2 quando n ≤ 2 ou 2 < p ≤ 2 n − 1

n − 2 quando n ≥ 3. (2.5) Se

(ϕ, ψ) ∈ H, (2.6)

ent˜ ao o problema (2.1) tem ´ unica solu¸ c˜ ao fraca u, tal que

 u u

t

 ∈ Y

T

=

 U =

 u

1

u

2

 ; U ∈ C([0, T ]; H), u

2

∈ L

m

(Ω × (0, T ))

 ,

para um T suficientemente pequeno.

Antes de provar o teorema acima, usaremos a equa¸c˜ ao de evolu¸c˜ ao abstrata do pro- blema (2.1) no seguinte sentido: Seja

U =

 u

1

u

2

 ,

A =

 0 1

∆ 0

 , g(U) =

0

a(u

2

+ u

2

|u

2

|

m−2

)

 e f (U ) =

 0 bu

1

|u

1

|

p−2

Ent˜ ao, se U =

 u u

t

 o problema (2.1) pode ser escrito da seguinte forma:

t

U − AU + g(U ) = f (U), U(0) =

 ϕ ψ

 .

Provaremos primeiro a seguinte proposi¸c˜ ao.

(29)

Proposi¸ c˜ ao 2.1 Suponha que as condi¸ c˜ oes (2.5) e (2.6) do Teorema 2.2 sejam v´ alidas.

Ent˜ ao dado U ∈ C([0, T ]; H), existe um ´ unico V ∈ Y

T

solu¸ c˜ ao fraca de

t

V − AV + g(V ) = f (U ), V (0) =

 ϕ ψ

 , (2.7)

onde

V =

 v v

t

 , e vale a seguinte identidade de energia

1

2 kV (t)k

2H

− 1

2 kV (0)k

2H

+ Z

t

0

(g(V ), V )

H

dτ = Z

t

0

(f (U ), V )

H

dτ.

Demonstra¸ c˜ ao: Por defini¸c˜ ao H

01

(Ω) := C

0

(Ω) em H

1

(Ω), e como C

0

(Ω) ´ e denso em L

2

(Ω) temos que

H = C

0

(Ω)

H

1

× C

0

(Ω)

L

2

= C

0

(Ω)

2H

,

logo para os dados iniciais (ϕ, ψ) ∈ H, existe uma seq¨ uˆ encia ((ϕ

i

, ψ

i

))

i∈N

⊂ C

0

(Ω)

2

, tal que

i

, ψ

i

) −→ (ϕ, ψ) em H.

Do Teorema 1.2 do Cap´ıtulo 1, para cada elemento U ∈ C([0, T ]; H), existe uma seq¨ uˆ encia (U

i

)

i∈N

⊂ C

1

([0, T ]; C

0

(Ω)

2

), tal que

U

i

−→ U em C([0, T ]; H).

Usaremos daqui em diante a nota¸c˜ ao u

i

para designar o ´ındice da seq¨ uˆ encia (u

i

)

i∈N

e n˜ ao o expoente da fun¸c˜ ao u.

Para cada i ∈ N , consideremos o problema

v

tti

− ∆v

i

+ a(1 + |v

ti

|

m−2

)v

ti

= bu

i1

|u

i1

|

p−2

, x ∈ Ω, t > 0, v

i

(x, t) = 0 x ∈ ∂ Ω, t ≥ 0,

v

i

(0) = ϕ

i

∈ C

0

(Ω) e v

it

(0) = ψ

i

∈ C

0

(Ω),

(2.8)

(30)

e U

i

=

 u

i1

u

i2

 a seq¨ uˆ encia que aproxima U em C([0, T ]; H).

Verifiquemos que u

0

= ϕ

i

, u

1

= ψ

i

e h = bu

i1

|u

i1

|

p−2

satisfazem as hip´ oteses do Teorema 2.1, e portanto existe um ´ unico v

i

solu¸c˜ ao de (2.8) com as seguintes carac- ter´ısticas

v

i

∈ L

(0, T ; H

2

(Ω) ∩ H

01

(Ω)), v

ti

∈ L

(0, T ; H

01

(Ω)) ∩ L

m

(Ω × (0, T )),

v

itt

∈ L

(0, T ; L

2

(Ω)), ou seja, existe um ´ unico V

i

=

 v

i

v

ti

 solu¸c˜ ao do problema abstrato

t

V

i

− AV

i

+ g(V

i

) = f(U

i

), V

i

(0) =

 ϕ

i

ψ

i

 . (2.9)

De fato, temos que ϕ

i

, ψ

i

∈ C

0

(Ω), portanto ϕ

i

∈ H

2

(Ω) ∩ H

01

(Ω) e ψ

i

∈ H

01

(Ω) ∩ L

2(m−1)

(Ω). Verifiquemos ent˜ ao que

h = bu

i1

|u

i1

|

p−2

∈ L

2

(0, T ; H

01

) e h

0

= b(p − 1)|u

i1

|

p−2

(u

i1

)

0

∈ L

2

(0, T ; L

2

(Ω)).

Como a fun¸c˜ ao G(s) = bs|s|

p−2

∈ C

1

( R ) e u

i1

(t) ∈ C

0

(Ω), temos que G ◦ u

i1

(t) = bu

i1

(t)|u

i1

(t)|

p−2

∈ C

01

(Ω),

ent˜ ao, h = bu

i1

|u

i1

|

p−2

∈ C([0, T ]; C

01

(Ω)) ⊂ L

2

(0, T, C

01

(Ω)). Por outro lado, como C

01

(Ω) ⊂ H

01

(Ω), segue que h ∈ L

2

(0, T ; C

01

(Ω)) ⊂ L

2

(0, T ; H

01

(Ω)).

Observe agora que G

0

(s) = (p − 1)b|s|

p−2

∈ C( R ), ent˜ ao

[G ◦ u

i1

(t)]

0

= G

0

(u

i1

(t))(u

i1

(t))

0

= (p − 1)b|u

i1

(t)|

p−2

(u

i1

(t))

0

∈ C

0

(Ω).

Portanto h

0

= (p − 1)b|u

i1

|

p−2

(u

i1

)

0

∈ C([0, T ]; C

0

(Ω)) ⊂ L

2

(0, T ; C

0

(Ω)). Como C

0

(Ω) ⊂ L

2

(Ω), segue que h

0

∈ L

2

(0, T ; C

0

(Ω)) ⊂ L

2

(0, T ; L

2

(Ω)).

Ent˜ ao, para cada i ∈ N existe uma ´ unica solu¸c˜ ao V

i

do problema abstrato (2.9).

(31)

Mostraremos que esta “ seq¨ uˆ encia de solu¸c˜ oes ” (V

i

)

i∈N

do problema (2.9), converge em Y

T

para uma solu¸c˜ ao fraca V de (2.7).

(V i ) i∈ N converge para alguma V em Y T

Verifiquemos que V

i

∈ Y

T

para cada i ∈ N . Como v

i

∈ L

(0, T ; H

2

(Ω) ∩H

01

(Ω)) ⊂ L

(0, T ; H

01

(Ω)) e v

ti

∈ L

(0, T ; H

01

(Ω)), temos que v

i

∈ W

1,∞

(0, T ; H

01

(Ω)), ent˜ ao pelo Teorema 1.9 do cap´ıtulo 1, concluimos que v

i

∈ C([0, T ], H

01

(Ω)). Analoga- mente v

it

∈ L

(0, T ; H

01

(Ω)) ⊂ L

(0, T ; L

2

(Ω)) e v

itt

∈ L

(0, T ; L

2

(Ω)), ent˜ ao v

it

∈ W

1,∞

(0, T ; L

2

(Ω)), logo v

it

∈ C([0, T ], L

2

(Ω)), e como v

ti

∈ L

m

(Ω × (0, T )) segue que V

i

∈ Y

T

. Definimos uma norma para Y

T

da seguinte forma

kUk

YT

= kU k

C([0,T];H)

+ ku

2

k

Lm(Ω×(0,T))

, para todo U =

 u

1

u

2

 ∈ Y

T

. O espa¸co Y

T

munido desta norma ´ e um espa¸co de Banach. Ent˜ ao para provar que (V

i

)

i∈N

converge para algum V em Y

T

, basta que (V

i

)

i∈N

seja de Cauchy em C([0, T ]; H) e (v

it

)

i∈N

seja de Cauchy em L

m

(Ω × (0, T )).

(V i ) i∈ N ´ e uma seq¨ uˆ encia de Cauchy em C([0, T ]; H )

Denotemos por W = V

i

− V

j

, onde V

i

e V

j

s˜ ao solu¸c˜ oes de (2.9), ent˜ ao

t

W − AW + g(V

i

) − g(V

j

) = f(U

i

) − f(U

j

), W (0) =

ϕ

i

− ϕ

j

ψ

i

− ψ

j

 . Portanto

(∂

t

W, W )

H

− (AW, W )

H

+ (g(V

i

) − g(V

j

), W )

H

= (f (U

i

) − f (U

j

), W )

H

. (2.10) Estudaremos separadamente cada termo da equa¸c˜ ao acima. Observe que

t

W = ∂

t

v

i

− v

j

v

ti

− v

tj

 =

v

ti

− v

tj

v

tti

− v

ttj

(32)

ent˜ ao,

(∂

t

W, W )

H

= ∇(v

ti

− v

tj

), ∇(v

i

− v

j

)

2

+ v

tti

− v

jtt

, v

it

− v

tj

2

= Z

∇∂

t

(v

i

− v

j

)∇(v

i

− v

j

) dx + Z

(v

ti

− v

tj

)∂

t

(v

ti

− v

tj

) dx

= 1 2 ∂

t

Z

|∇(v

i

− v

j

)|

2

dx

+ 1 2 ∂

t

Z

[(v

ti

− v

tj

)]

2

dx

= 1

2 ∂

t

k∇(v

i

− v

j

)k

22

+ kv

ti

− v

tj

k

22

= 1

2 ∂

t

kW (t)k

2H

. (2.11)

Por outro lado,

AW =

 0 1

∆ 0

v

i

− v

j

v

it

− v

tj

 =

v

it

− v

tj

∆(v

i

− v

j

)

 .

Logo, desde que v

ti

(t), v

tj

(t) ∈ H

01

(Ω), e usando integra¸c˜ ao por partes em Ω, temos (AW, W )

H

= ∇(v

ti

− v

jt

), ∇(v

i

− v

j

)

2

+ ∆(v

i

− v

j

), v

ti

− v

jt

2

= ∇(v

ti

− v

jt

), ∇(v

i

− v

j

)

2

+ Z

∂Ω

(v

ti

− v

jt

) ∂

∂ν (v

i

− v

j

)dx

− Z

∇(v

ti

− v

tj

)∇(v

i

− v

j

) dx = 0 , (2.12) onde ν ´ e a normal unit´ aria externa a ∂Ω. Substituindo (2.11) e (2.12) em (2.10) e integrando 0 ` a t, obtemos

1

2 kW (t)k

2H

− 1

2 kW (0)k

2H

+ Z

t

0

(g(V

i

) − g(V

j

), W )

H

= Z

t

0

(f(U

i

) − f(U

j

), W )

H

dτ (2.13)

Imagem

Referências

temas relacionados :