COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
PFV / 2013 – MATEMÁTICA I – 2º ANO NOTA:
Professor: Coordenadora:
Maria Helena M. M. Baccar Data:
Nome: GABARITO Nº: Turma:
ATENÇÃO:
Valor da prova: 5,0 pontos.
Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.
1ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Certa substância radioativa, que se desintegra uniformemente ao longo do tempo, tem sua quantidade ainda não desintegrada, após t anos, dada por
20
t
2 . 51200 )
t (
M , onde M(t) é a massa dada em
gramas. Qual a porcentagem de substância ainda não desintegrada, em relação a quantidade inicial, após 40 anos?
Solução. A massa inicial é M(0) = 51200. Calculando a massa não desintegrada após 40 anos,
temos: 12800g
4 . 1 51200 2
. 51200 2
. 51200 )
40 (
M 20 2
40
.
Essa massa em relação à massa inicial representa: 0,25 25% 4
1 512 128 51200 12800 )
0 ( M
) 40 (
M .
2ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, qual o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso?
Solução. Considerando o número de escolhas das possíveis duplas, temos:
i) 1 químico e 1 físico: 7 x 5 = 35 escolhas;
ii) 1 químico e 1 matemático: 7 x 4 = 28 escolhas;
iii) 1 físico e 1 matemático: 5 x 4 = 20 escolhas;
Total: 35 + 28 + 20 = 83 duplas distintas.
3ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Uma turma tem 25 alunos entre eles Beatriz, a mais popular, e Marina, que só pensa em estudar. Uma comissão de 4 alunos será formada para organizar a festa de formatura. De quantos modos essa comissão pode ser formada, se todos querem que Beatriz participe e Marina não quer participar?
Solução. Como Marina não quer participar só haverá 24 alunos interessados. Em todas as comissões possíveis Beatriz estará sempre. Logo, haverá três lugares a serem preenchidos com a escolha das 23 pessoas restantes. (Beatriz fixa e Marina fora de todas).
Total de comissões:
1771 )
7 ).(
11 ).(
23 6 (
21 x 22 x 23
! 20
! 3
! 20 x 21 x 22 x 23
! 20
! 3
! 23 )!
3 23 (
! 3
!
C323 23
.
Poderão ser formadas 1771 comissões com a participação de Beatriz em todas.
1
4ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Para uma determinada espécie de roedores, a população P(t) após t meses de iniciada a observação é dada por: P(t)2000.(1,1)t
.
Nestas condições, determine:a) qual era a população de roedores no início da observação?
Solução. O início da observação corresponde a P(0) = 2000.(1,1)0 = 2000(1) = 2000 roedores.
b) qual é a taxa percentual de crescimento mensal desta população?
Solução. O fator multiplicativo é 1,1 = (1 + 0,1) = (1 + 10%). Logo a taxa é de 10%.
c) em quantos meses a população de roedores atingirá 22000 indivíduos? (Dado: log 11 = 1,04) Solução. Encontrando o valor de t para P(t) = 22000, temos:
meses 04 26
,0 04 ,1 1 04 ,1
04 ,1 10 log 11 log
04 ,1 10
log 11 04 ,1 1,1 log
11 11 log log t
11 )1, 2 1(
)1, 22 2000 1(
22000 )1,
1(
22000 )1,
1.(
22000 2000 )t(
P
)1, 1.(
2000 )t(
P
1, 1
t t
t t
t
.
5ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Maurício de Sousa criador da turma da Mônica famosa revista com histórias em quadrinhos baseou a criação de seus personagens em amigos de infância e nos
filhos, conferindo a cada um deles características distintivas e personalidades marcantes.
Se os personagens da tirinha ao lado continuassem trocando a ordem das letras da palavra LOUCOS, com o objetivo de formar todos os anagramas possíveis, eles obteriam quantos anagramas?
Solução. A palavras LOUCOS possui seis letras com duas letras O repetidas. O número de anagramas será o total de permutações repetidas:
anagramas 2 360
720
! 2
!
P62 6 .
OBS: Na tirinha já há dois anagramas. Logo, continuando encontrariam mais 358 anagramas.
2 BOA PROVA