Uma plataforma unificada para analise de estabilidade de sistemas eletricos de potencia

(1)

Uma Plataforma Uni ada para Análise de Estabilidade

de Sistemas Elétri os de Potên ia

Tese de Doutorado apresentada à Fa uldade de

EngenhariaElétri aedeComputação omoparte

dos requisitos para obtenção do título de Doutor

em Engenharia Elétri a. Área de on entração:

EnergiaElétri a.

Orientador: Vivaldo Fernando daCosta

Co-orientador: Luiz Carlos Pereirada Silva

Campinas,SP

(2)

Kop ak,Igor

K838u Uma plataformauni ada para análise de estabilidade de

sistemas elétri osde potên ia/ Igor Kop ak. --Campinas,

SP: [s.n.℄, 2007.

Orientadores: Vivaldo Fernando daCosta, Luiz Carlos

Pereira daSilva.

Tese (doutorado) -Universidade Estadual de Campinas,

Fa uldade de Engenharia Elétri ae de Computação.

1. Sistemasde energiaelétri a -Estabilidade. 2. Análise

modal. 3. Teoria dabifur ação. 4. Sistemasde energia

elétri a - Controle. 5. Energiaelétri a -Transmissão. I.

Costa, Vivaldo Fernando. II. Silva,Luiz Carlos Pereira. III.

Universidade Estadual de Campinas. Fa uldade de

Engenharia Elétri a e de Computação. IV. Título.

Títuloem Inglês: An uniedframeworkfor the analysis of ele tri alpower systems

stability.

Palavras- haveem Inglês: Angle stability,Modal analysis, PSAT, Small-Signal

stability, SSSC,Stability margin,UPFC, Voltage stability.

Áreade on entração: Energia Elétri a

Titulação: Doutor emEngenharia Elétri a

Ban aExaminadora: Carlos Alberto de Castro Junior, Carlos Alberto Favarin

Murari, DílsonAman io Alves, Mar os Trevisan Vas on ellos

e Walmirde FreitasFilho.

Datada defesa: 31/08/2007

(3)

(4)

O estressamento dos sistemas elétri os tem voltado o interesse de engenheiros e

pesquisa-dores para adenição eavaliaçãode margensde segurança rela ionadas a ritérios dinâmi os.

Neste trabalhoé proposta uma ferramentaque permite a avaliação de quatro diferentes

rité-rios de estabilidade: margem de amorte imento, margem os ilatória, margem de estabilidade

de tensãoe o ponto de máximo arregamento. A metodologiabaseia-se emum uxo de arga

expandido que in orpora as ara terísti as de regime permanente de dispositivos dinâmi os,

forne endo pontosde equilíbrio pre isose mais ondizentes om a resposta real dos sistemas

elétri os quando sujeitos a perturbações. As margens são al uladas através da análise modal

apli adaaos pontosde equilíbriode urvas PV. Alémdisso, estudos preliminaressão

onduzi-dos objetivando aexpansão daanálisemodalestáti a,forne endo fatores de parti ipação para

todas as barras do sistema, dos pontos de vista das potên ia ativa e reativa. Portanto, a

pla-taforma não só permite a identi ação dos pontos onde o orreria o olapso do sistema, omo

forne eaindi açãodasmedidas orretivasmaisefetivasparaevitarproblemasdeinstabilidade.

Palavras- have: Análise Modal, Estabilidade a Pequenas Perturbações, Estabilidade de

Ângulo, Estabilidade de Tensão, Margem de Estabilidade, PSAT, SSSC,UPFC.

Abstra t

The powersystem operation underhigh loadinglevelshas required the assessment and

de-nitionofse uritymarginsrelatedtodynami riteria. Inthisworkitisproposedaframework

able to evaluate four dierent stability margins: damping margin, os illatory margin, voltage

stabilitymargin, and the maximum loadingmargin. The methodis basedon aexpanded load

ow, whi h in ludes the hara teristi s of dynami devi es at steady-state. It is showed that

this tool gives post-perturbation equilibriumpoints with high degree of a ura y. The

stabi-lity marginsare al ulated performingmodal analysis atthe equilibriumpoints of PV urves.

Besides, it was assessed the possibility of expanding the stati modalanalysis to all buses of

the system,regardingtoboth a tiveandrea tivepower. Hen e, itisshowed that theproposed

framework is able to identify the proximity to the system points of ollapse, pointing out the

riti al buses that most ae t system stability.

Keywords: AngleStability,ModalAnalysis,PSAT,Small-SignalStability,SSSC,Stability

(5)

(6)

Durante todo meu per urso na pós-graduação pude onviver om pessoas om as quais

muito aprendi, alémde fazernovasamizades ereforçar antigas. Todas elasmere em meu total

respeito eadmiração, masalgumas tambémmere em espe ial destaque, de formaquegostaria

de externar meus sin eros agrade imentos:

- Aos professores Vivaldo e Luiz Carlos, pela oportunidade, amizade, orientação e,

espe ial-mente, pela onança emmimdepositada.

- À minhafamília maravilhosa, Divina, Tainá e Valéria, meu porto-seguro, pela ompreensãoe

apoio.

- Aosmeus pais, Antonioe Elza, vo ês são grandesresponsáveis por eu hegar até aqui.

- Aosmeus irmãos, Yuri eGiorgia.

- Aosmeus primos ampineirosElias, Cris, Uiram eSarah.

- Aos amigos Ahda, Alexandre, Anzai, Baldomero, Bonani, Duvier, Edgar, Edilson, Enrique,

Giuliano,Guerra,Helmo,Hugo, Jim,João Henrique,Kenji, Leonardo, Madson,Mar elo,

Már- ia, Marina, Renato, Ri ardo, Romis, Sandro, Ta iana, Talia, Taís, Wilfredo e tantos outros

doDT, DSEE, COSE, DENSIS, DSCE.

Esse trabalho foi desenvolvido

(7)

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xv

1 Introdução 1

2 Fluxo de Carga Expandido 7

2.1 Introdução . . . 7

2.2 Modelagemdo Fluxo de Carga Expandido . . . 10

2.2.1 Métodode Newton-Raphson apli adoa SistemasElétri os de Potên ia . 10 2.2.2 Parti ularidadesda Modelagem . . . 14

2.2.3 In lusão de DispositivosFACTS . . . 29

3 Simulações, Testes e Resultados: Comparação om Métodos Conven ionais 39 3.1 Introdução . . . 39

3.2 Sistema16 máquinas/69barras . . . 39

3.3 Sistema4 máquinas/2áreas . . . 41

3.4 Erros noCál ulo de Pontos de Equilíbrio . . . 43

3.4.1 In rementosde arga . . . 43

3.4.2 Contingên ia emLinha de Transmissão . . . 49

3.5 EstudosParamétri os . . . 54

3.5.1 Alterações nas Variáveis de Referên ia doUPFC . . . 54

(8)

4 Uma Plataforma Uni ada para o Cál ulo de Margens de Estabilidade 65 4.1 Introdução . . . 65 4.2 Margens de Estabilidade . . . 67 4.3 Simulações eResultados . . . 74 4.3.1 Margens de Segurança . . . 74 4.3.2 Estudos Adi ionais . . . 79

5 Perspe tivas de Expansão da Análise Modal Estáti a 85 5.1 Introdução . . . 85

5.2 Fatores de Parti ipação e Sensibilidades. . . 86

5.2.1 Análise Modal . . . 86

5.2.2 Análise Modal Estáti a . . . 91

5.3 Simulações eResultados . . . 95

6 Con lusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 111 Referên ias bibliográ as 113 A Dados dos Sistemas Teste 125 A.1 Sistema4 máquinas/2áreas . . . 125

A.2 Sistema tí io de 4 barras . . . 127

A.3 Sistema16 máquinas/69 barras . . . 129

A.3.1 Dadosdas Barras . . . 130

A.3.2 Dadosde Ramos . . . 131

A.3.3 Dadosdas barras PVe Sla k . . . 133

A.3.4 Dadosdas barras de arga . . . 134

(9)

2.1 Regulador de velo idade -TG Tipo I . . . 17

2.2 Regulador de velo idade -TG Tipo II. . . 18

2.3 Regulador automáti ode tensão -AVR Tipo II . . . 19

2.4 Regulador automáti ode tensão -AVR Tipo III . . . 21

2.5 Estabilizadorde sistemasde potên ia- PSS Tipo II . . . 21

2.6 Estrutura damatriz ja obianado FCE . . . 27

2.7 Pro esso de ini ialização . . . 29

2.8 Modelo dinâmi odo SSSC . . . 32

2.9 Controlador PI . . . 33

2.10 Representação doUPFC one tadoa uma barra genéri a do sistema . . . 34

2.11 Modelo dinâmi odo UPFC . . . 35

2.12 Estrutura damatriz ja obianado FCE in luindoUPFC . . . 36

2.13 Amorte edor de os ilações de potên ia - POD . . . 38

3.1 Sistemade 16máquinas/69 barras. . . 41

3.2 Diagramaunilar dosistema teste de 2 áreas . . . 42

3.3 Erros doFC eFCE relativosà SDT:tensão das barras . . . 45

3.4 Erros doFC eFCE relativosà SDT:ângulo datensão das barras . . . 46

3.5 Evolução doângulo dorotor

δ

om in rementos de arga . . . 46

3.6 Aumento dapotên ia ativado gerador16. . . 47

3.7 Aumento dapotên ia reativa dogerador 1 . . . 47

(10)

3.9 Perl de tensão dosistemapara um arregamento40% maior. . . 49

3.10 Erros nas magnitudes das tensõesdas barras: FC relativoà SDT. . . 50

3.11 Erros nos ângulos das tensões das barras: FCrelativo à SDT . . . 51

3.12 Erros napotên ia reativagerada: FC relativoà SDT . . . 52

3.13 Erros natensão transitória

e

′

q

: FCrelativoà SDT . . . 52

3.14 Erros noângulo

δ

: FC relativo àSDT . . . 53

3.15 Ângulo

δ

das máquinas sín ronas . . . 53

3.16 Efeitode

V

ref

sobre asvariáveis internas doUPFC. . . 55

3.17 Variação datensão das barras emfunção de

V

ref

doUPFC . . . 55

3.18 Variação datensão de ampo dos geradores emfunção de

V

ref

doUPFC . . . . 56

3.19 Variação doângulo

sobre astensões das barras. . . 63

3.29 Efeitode

P

ref

natensão de ampodas máquinas. . . 63

4.1 Ilustraçãodo método da ontinuação . . . 70

4.2 Problemas de onvergên ia de orrentes damáes olha dabarra piloto . . . 71

4.3 Plataformauni ada para estudos daestabilidade . . . 73

4.4 Variação das margens de estabilidade om ain lusão doUPFC . . . 75

4.5 Variação das margens de estabilidade om UPFCe POD . . . 76

4.6 Fator de amorte imento e orrenteemderivação (

i

q

)do UPFC . . . 77

(11)

k

a

sobre a urva

P θ

: máquina 3 . . . 80

k

a

sobre a urva

P θ

: máquina 4 . . . 81

4.11 Sistemasem POD: efeitode

k

a

sobre as margensde estabilidade . . . 82

4.12 Sistema om POD: efeitode

k

a

sobre as margensde estabilidade . . . 83

4.13 Sistema om POD: margemde amorte imentoemdetalhe . . . 84

5.1 Sistema tí io de 4 barras . . . 96

5.2 Sensibilidadesobtidas de

J

exp

,

A

e

J

a

5.6 Sensibilidadese fatores de parti ipação de

J

a

-Sistema de 69 barras . . . 103

5.7 Sensibilidadesdas barras de geração - Sistemade 69 barras . . . 104

5.8 Redespa hos dos geradores e sensibilidades de

J

a

. . . 108

(12)

(13)

5.1 Redespa hode potên iaativa dos geradores . . . 100

5.2 Redespa hodos geradores poraumentodapotên iaativaespe i ada . . . 105

5.3 Redespa hodos geradores porredução doestatismo(R). . . 105

5.4 Redespa hodos geradores poraumentodatensão espe i ada . . . 106

5.5 Redespa hodos geradores poraumentodoganho doregulador de tensão . . . . 106

A.1 Dadosde Barras . . . 125

A.2 Dadosde Ramos . . . 126

A.3 Dadosdas MáquinasSín ronas . . . 126

A.4 Dadosdos ReguladoresAutomáti os de Tensão -AVR tipo III . . . 126

A.5 Dadosdos Reguladoresde Velo idade- TG tipo II . . . 126

A.6 Dadosdo UPFC. . . 126

(14)

(15)

Introdução

A

modelagemeanálisede sistemaselétri osde potên ianão éuma tarefatrivial. A diver-sidadedefenmenosfísi osenvolvidosnopro essodegeração,transmissãoe onsumode

energiaelétri atornamanatureza doproblemainerentemente omplexa. Alémdisso, desdeos

primeirossistemaselétri osindustriais,noiní iodosé uloXX,engenheirosepesquisadoressão

permanentementepostosfrenteanovasquestões, devidoaoapare imentode enáriosatéentão

inexistentes. Osimplespro essode interligaçãodos sistemas,quevisavaemespe ial aumentar

a onabilidade doforne imento de energia e fa ilitara regulação de tensão e freqüên ia, por

si só ontribuiupara oaumento da omplexidade das análises (Kimbark 1956).

Desde então, omo res imentoeoempregode novaste nologiasnos sistemasinterligados,

problemas rela ionados à operação dos mesmos e, onseqüentemente, a sua análise, têm

mo-tivado o desenvolvimento e o aprimoramento de modelos e ferramentas para os mais diversos

tipos de estudos.

Noquetangeàquestãodaestabilidade,oempregodomodelo lássi o(Kimbark 1956,

Kun-dur 1994, Sauer&Pai 1998) pararepresentação das máquinassín ronas foipormuito tempo

su ientepara estudaros asos de instabilidadeaperiódi aqueosprimeirossistemas

interliga-dos experimentavam. Tais estudos limitavam-se aos problemas onhe idos omo estabilidade

transitória e estabilidade de regime permanente, sendo que a primeira avaliava apenas se as

máquinas eram apazes de ven er a primeira os ilação ( omumente referida omo primeiro

(16)

Já asegunda, baseava-se apenas no oe iente sin ronizantedogerador eestava rela ionadaa

variaçõesgraduais, omo aumentos de arga (Kimbark 1956, Da Costa 1992,Ayres 2005).

Ainda hoje omodelo lássi oébastanteútilparadiversos tiposdeestudos, emespe ialnos

ditosmétodosdiretos,baseadosno ál ulodafunçãoenergiadosistema(Haque 1991,Berggren

& Andersson 1993, Irisarri et al. 1994, Chu et al. 1995, Treinen et al. 1996, Liu &

Thorp 1997, Zhengdao et al. 2002, Nazareno et al. 2004). Entretando, a partir da dé ada

de 1950, visando o aumento do limite de estabilidade transitória, o emprego de reguladores

automáti os de tensão om maiores ganhos e menores tempos de resposta muito ontribuiu

para o apare imento de asos de instabilidade os ilatória, ujo entendimento demandou uma

modelagemmais detalhada da máquinasín rona ede seus ontroles.

Osurgimentodeos ilaçõesnosuxosdepotên iadaslinhasdetransmissãorepresentavaum

fatonovo, emespe ial porque aabordagemutilizadanos estudosde estabilidade nãofavore ia

a previsão de talfenmeno. Considerava-se que seo sistemafosse apaz de absorver aenergia

do transitório rela ionado ao primeiro swing, o mesmo seria apaz de en ontrar um novo

pontodeequilíbrioestável. Destaforma, osoperadores foramsurpreendidos om asosemque,

de orridos alguns segundos após os geradores terem ven ido a primeira os ilação, os sistemas

tornavam-se instáveis por os ilações de amplitudes res entes (Da Costa 1992, De kmann &

Da Costa 1994). Mas foi apenas no nal da dé ada de 60 que as análises realizadas por De

Mello & Con ordia (1969) es lare eram omo a ação dos reguladores automáti os de tensão

pode levarà instabilidade os ilatória.

Através domodelo linearizado de Heron &Phillips (1952), De Mello &Con ordia (1969)

estabele eramasbasesparaa ompreensãodofenmenoepropuseramumasoluçãoefetivapara

oproblema. A idéia onsistiaemforne ertorque de amorte imento 1

adi ionalàsos ilaçõesdo

rotor, introduzindo sinais estabilizantes suplementares nos sistemas de ontrole de ex itação

dos geradores, através de dispositivos denominados Estabilizadores de Sistemas de Potên ia

(PSS do inglês, Power System Stabilizer). Vale ressaltar, que tal metodologia ainda gura

omo a prin ipal alternativa para ontornar problemas de instabilidade os ilatória, sem abrir

1

Aorepresentargra amentenoplanodefasesotorquesin ronizante(propor ionalàsvariaçõesangularesdorotor)eotorque

(17)

mão dos benefí iosque reguladores de tensão om ganhos altos podem trazer aosistema.

Mas, atualmente, vive-se um ontexto em que o permanente res imento da demanda

as-so iado à di uldade de ampliação dos sistemas elétri os de potên ia fortale e a losoa de

máximo aproveitamento dainfraestrutura de geração etransmissão já existente.

A adoção dessa nova losoa tem estimulado o estabele imento de novos paradigmas para

aanáliseeoperaçãodos sistemaselétri os. Levados aoperaremregiõesmais próximasdeseus

limites,ossistemaselétri ostornam-se maisvulneráveis afaltaseperturbaçõesmenores e,por

outrolado,osnovosdispositivosde ontrole(emespe ialosbaseadosemeletrni adepotên ia),

in luídos na rede de transmissão para exibilizar seus limites, aumentam a omplexidade da

modelagem matemáti a, já que suas repostas dinâmi as não são englobadas pelas equações

algébri as que omumenterepresentam a rede.

Tem-se, portanto,um aumentona omplexidadedas análisesem dois sentidos: o real edo

omportamentonão-lineardosistemadevido àoperaçãosobelevados arregamentosea

ne es-sidade de adequar a modelagemdarede para representarnovos dispositivose ontroladores.

A análise de sistemas elétri os de potên ia através de simulação não-linear nodomínio do

tempo permite representar om grande delidade a resposta dinâmi ados sistemas (Sauer &

Pai 1998, Kundur 1994), independentemente do seu grau de estresse e dain lusão de novos

dispositivos. Entretanto,além deseu elevado usto emtermosde tempoepro essamento

om-puta ional, talmétodoé in apazde forne er respostas sobre quaisseriam osfatores limitantes

da operação sob determinadodespa ho de potên ia, quão próximo o sistema estaria desses

li-mites equaisseriamasmedidasmais efetivaspara devolverosistemaa um pontode operação

mais seguro, aso não houvesse su ientes margensde estabilidadee/ou segurança.

Espe i amente, paraosfenmenoslentosde instabilidadede tensão,algunsautores(Loud

et al. 2001, Wang et al. 2006, Capitanes u & Cutsem 2005, Vournas et al. 1999) têm

proposto metodologias baseadas em análises de Quase-Regime Permanente (do inglês, Quasi

Steady-State - QSS) omo formade in orporar o omportamentodinâmi o dos equipamentos

que ontribuemmais signi ativamentepara oproblema, sem elevaro usto omputa ionalao

(18)

dinâmi a rápida, substituindo-apor equações de equilíbrio, onsiderando apenas o

omporta-mentonotempodosdispositivosderespostalenta. Comisso, têm-seinformaçõesmaispre isas

sobreofenmenode instabilidadedetensãoqueasprovenientes dasmetodologiasbaseadasnas

equaçõesdouxode argaede interpretaçãomaisfá ildoqueresultadosobtidos onsiderando

também os transitórios do sistema (Cañizares 1995). Entretanto, apesar da grande

simpli- ação na modelagem matemáti a obtida por esse tipo de análise, o horizonte de simulação

para que se possa observar a trajetória ompleta das variáveis do sistema até um novo ponto

de equilíbrio, depois de sofrer determinada perturbação, é da ordem de minutos (Loud et al.

2001, Wang et al. 2006, Capitanes u & Cutsem 2005, Vournas et al. 1999), fato que ainda

torna seu usto omputa ionalum limitantepara o seu uso em sistemasde grande porte.

Na bus a de índi es e informações apazes de dire ionar ações preventivas, num ambiente

emque amáxima apa idadede transferên ia de potên iapode ser ada vez mais afetada por

restriçõesdinâmi as(Chunget al. 2004,NERC 1996),osinteresses originalmentenos fatores

departi ipaçãodaanálisemodal(Kundur 1994)enosfatoresdeparti ipaçãodaanálisemodal

"estáti a"(Gaoetal. 1992,Silvaetal. 2002,Kop aketal. 2003,Huangetal. 2003), têmse

voltado para outras sensibilidadesprovenientes das diferentes matrizesJa obianas que podem

ompora modelagemdosistema.

Delno et al. (2000), obtiveram índi es dinâmi os para os despa hos de potên ia reativa

a partir de sensibilidades da então denida ja obiana dinâmi a do uxo de arga, através

de simulação no domínio do tempo. Em (Chung et al. 2004), propõe-se o redespa ho da

geraçãoem asosde restriçãopor baixotorque de amorte imento,avaliando-seainuên ia de

ada gerador sobre o modo de os ilação mal amorte ido, pelas sensibilidades dos fatores de

amorte imento em relação às injeções de potên ia ativa dos mesmos. Em termos de análise

de ontingên ias visando ritérios de segurança dinâmi os, Nam, Shim, Kim, Song & Lee

(2000) fazem a seleção de ontingên ias ríti as através do ál ulo das sensibilidades do fator

de torquesin ronizanteem relaçãoaosramosdamalhadetransmissão; ométodobaseia-senas

sensibilidadesde primeiraesegunda ordem dos autovalores eautovetores damatrizJa obiana

(19)

Apesar dos importantes resultados obtidosnos trabalhos a imades ritos, estes ainda

apre-sentam algumas desvantagens. Naqueles baseados na análise de Quase-Regime Permanente

(Loudetal. 2001,Wang etal. 2006, Capitanes u&Cutsem 2005, Vournasetal. 1999)ena

Simulação no Domínio do Tempo onven ional (Delno et al. 2000), o usto omputa ional

aindaéoprin ipallimitante. János estudosde sensibilidadesatravésdaanáliselinearizadade

pequenas perturbações, oproblema maiorreside na pre isãodo ál ulodo ponto de equilíbrio

pós-perturbação. Nessa metodologia, as variáveis e Ja obianas dinâmi as são ini ializadas a

partirdo resultado de um uxo de arga, entretanto, ashipótesesadmitidaspara osgeradores

paramodelá-los omo injeçõesdepotên iaetensão onstantes (barrasPV)sóse onrmariam

aso os reguladores de tensão possuíssem ganho estáti o innito, ou se o sistema tivesse um

perfeito ontrole se undário de tensão (Feng et al. 2000, Da Silva 2001, Yeu &Sauer 2005).

Isso impli a que haverá erro no estado do sistema pós-perturbação e esse erro poderá ser tão

maior, quanto maior for a distân ia do novo ponto de equilíbrio para o ponto de equilíbrio

pré-perturbação.

Nesse ontexto,faz-se aquiaexpansãodasequaçõesdométododeuxo de argaatravésda

in lusãodas equaçõesdiferen iaisdos omponentes dinâmi os, al uladas emum determinado

ponto de equilíbrio. Tal metodologia fa ilita a modelagem em regime permanente de novos

dispositivos, em espe ial os FACTS (Flexible AC Trasmission Systems), permite uma

repre-sentação mais el dos limites das máquinas sín ronas e de outros ontroladores, bem omo

pode auxiliarnadenição de medidaspreventivasbaseadas nas informaçõesmodais edas

sen-sibilidades da matriz Ja obiana ompleta e de suas possíveis matrizes reduzidas, om usto

omputa ionalpou o maiorque oda análisemodal onven ional, alémde inferir om pre isão

sobre aexistên ia de um pontode operaçãopós-perturbaçãoestável.

Portanto,objetivando adenição e apresentação de uma plataformauni ada para análise

da estabilidade de sistemas elétri os de potên ia, este trabalho está organizado da seguinte

forma:

No Capítulo 2 é des rita a modelagem do uxo de arga expandido que in orpora as

(20)

uxo de arga expandido e por simulação não-linear no domínio do tempo, bem omo

estudosparamétri os,são onduzidosnoCapítulo3 omoformadevalidarametodologia;

Aplataformauni adaparaavaliaçãodaestabilidadedesistemasdepotên iatoma orpo

om a implementação de um método da ontinuação sobre o uxo de arga expandido,

permitindoaidenti açãode quatrodiferentes pontosde olapsodosistema,soboponto

de vista daperda de estabilidade, omoapresentado no Capítulo4;

Objetivandoaumentar a abrangên iadaplataformaproposta, noCapítulo5são

dis uti-dasasperspe tivasdeexpansãodaanálisemodalestáti aparatodasasbarrasdosistema,

para que se possa vislumbrar os impa tosde todos os omponentes do sistema sobre as

margensde estabilidadede tensão,e;

NoCapítulo6são apresentadas as onsideraçõesnais, bem omosugestões para

(21)

Fluxo de Carga Expandido

2.1 Introdução

N

ESTE apítulo é des rita a modelagem do Fluxo de Carga Expandido, a ferramenta que viabiliza a proposta deste trabalho de uma plataforma uni ada para análise da

estabilidade de sistemas elétri osde potên ia.

Como o próprio nome sugere, o método baseia-se na expansão das equações de uxo de

arga pela in lusão de equações que melhor representem os dispositivos dinâmi os one tados

à rede, para o ál ulo de pontos de equilíbrio supostamente mais realistas. Essa idéia não é

ne essariamente re ente, mas sua implementação pode ser assim onsiderada, já que tem sido

relatada apenas na última dé ada (Feng et al. 2000, Zhu et al. 2000, Da Silva 2001, Sauer

2002, Yeu &Sauer 2005, Kop ak etal. 2007a,Kop ak etal. 2007b).

Tradi ionalmente,o ál ulodepontosdeequilíbriotemsidorealizadoatravésdemétodosde

uxo de arga onven ionais, uja modelagemsimpli ada representa geradores omo fontes

detensão onstante(barrasPV),bem omoasgeraçõesedemandas omoinjeçõesdepotên ia,

namaioria dos asos, também onstantes.

O primeiro método de solução inteiramente digital do problema é atribuído a Ward &

Hale (1956) (apud Sasson & Jaimes 1967) e remonta de meados da dé ada de 1950. A

partir deste trabalho pioneiro, vários métodos foram propostos (Brown et al. 1963, Sasson

(22)

arga através do método de Newton (Tinney & Hart 1967), sendo que todos eles dis utiam,

fundamentalmente, as propriedadesde métodos de ál ulo numéri oiterativoquepermitissem

ontornar aslimitaçõesde pro essamentoe memóriados omputadores daépo a.

Mas foi, talvez, a possibilidade de in orporar parti ularidades dos desa oplamentos das

equações de potên ia ativa e reativa (Stott & Alsaç 1974), a prin ipal responsável pela

he-gemonia do método de Newton na solução dos problemas de uxo de arga, por viabilizar a

soluçãode sistemas de grandeporte (da ordemde milharesde nós/barramentos) onsiderando

múltiplos enários. Nãoobstante, apesarda apa idadelimitadados omputadoresrepresentar

umgrandeobstá uloàsimulaçãodesistemasdegrandeporte,Tinney&Hart(1967)apontavam

omo prin ipalvantagem dométodoa sua exibilidade:

Probably themost signi antattribute of Newton'smethodis the fa t thatthe

pro-gram needs only smallmodi ation to performother important fun tions.(...)

Neste aso,emespe ial,osautoresreferiam-seàfa ilidade omqueasequaçõesdebalanço

de potên ia poderiam ser in luídas omo restrição de igualdade em problemas de otimização,

quandomodeladaspelométododeNewton(Pes honetal. 1968). Maséinteressantenotarque

justamente essa exibilidade, atribuídaao métodoainda emsuas primeirasexperimentações

emsistemaselétri osde potên ia,éoqueviabilizaain lusãodasequaçõesquerepresentamde

forma mais detalhada os dispositivos e equipamentosligados à rede gurando, também, entre

os prin ipaisargumentosdos pesquisadores quedefendem talin lusão (DaSilva 2001, Chung

et al. 2004, Yeu &Sauer 2005, Kop ak etal. 2007a, Kop ak etal. 2007b).

Valeressaltar quea apa idadedos pro essadores teveum res imento vertiginosose

om-paradososprimeiros omputadores àsmáquinasatuais, de formaqueparamuitosestudos não

mais se justi amalgumas simpli açõesnamodelagem. Tal avanço tem permitidopropostas

de novas metodologias que di ilmente teriam viabilidade práti a em um passado não muito

distante. Alémdisso, preo upações om o estressamento dos sistemas emtodoo mundo, pela

operaçãosob elevados arregamentos, têm requeridomodelagens mais ompletas dos

dispositi-vos dinâmi osoumesmo melhorianos métodos de análise. Entretanto,no que dizrespeito ao

(23)

utili-et al. 2004):

The post ontingen y powerow appli able for small signal stability analysis is a

ondition in whi h the postfault dynami s have settled but the onventional

power-ow ontrols (su h as s heduled a tive power and voltage of generators) have not

been enfor ed. This orresponds to a steady-state solution of the post ontingen y

system dynami equations with the derivatives of the dynami states set at zero.

In this work, however, a simpli ation is made to use the onventional powerow

method for the determination of the post ontingen y ondition. This is deemed

a - eptablefor illustration of theideapresented. When implementingsu ha te hnique

for a tual system operations, the appropriate method should be used.

Mesmo os métodos que primeiroutilizaramuma modelagemequivalente aoque aqui

deno-minamosuxode argaexpandido, partiramdeabordagensvoltadasparaproblemasde ál ulo

de margens de estabilidade de tensão (Feng et al. 2000, Zhu et al. 2000, Da Silva 2001).

Sauer(2002)foioprimeiroaproporaferramentaexpli itamentepreo upado omaquestãodo

ál ulo mais pre iso de pontos de equilíbrio, hegando a implementar três possíveis variantes

damesma pou os anos depois(Yeu & Sauer 2005).

Naspróximasseçõesdemonstram-se osprin ipaisaspe tosdamodelagemdouxo de arga

expandido, bem omo são dis utidas as parti ularidades quanto à in lusão de diversos

dispo-sitivos dinâmi os. Todo programa foi desenvolvido alterando a estrutura do PSAT (Power

System Analysis Toolbox). O PSATé umsoftware livre,desenvolvidoemambienteMatlab

r

e ontém umavastagama de ferramentas paraanálise de sistemaselétri osde potên ia, omo:

uxo de arga, uxo de arga da ontinuação,uxo de arga ótimo,análise modalesimulação

nodomínio dotempo(Milano 2005, Milano 2006).

(24)

meto-2.2 Modelagem do Fluxo de Carga Expandido

2.2.1 Método de Newton-Raphson apli ado a Sistemas Elétri os de

Potên ia

Um sistema elétri o de potên ia apresenta um omportamento dinâmi o, não-linear, que

pode ser representado por um onjunto de equações algébri as e diferen iais, omo abaixo

des rito (Kundur 1994, Sauer & Pai 1998):

˙

x

= f (x, y, λ, u, t)

(2.1a)

0 _{= g(x, y, λ, u, t)}

(2.1b)

0 _{= p(x, y, λ, u, t)}

(2.1 )

w

= h(x, y, λ, u, t)

(2.1d)

nas quaisas variáveis

x, y, λ, u, t

parâmetros de referên ia de outros ontroles.

t ∈ R

é um es alar que representa a variação dotempo(normalmentenão é onsiderado expli itamentenas equações).

e as funções

f

(·)

,

g(·)

,

p(·)

e

h(·)

são denidas por:

f

∈ R

naslinhas,tensõesnasbarras,asvelo idadesdosrotoresdosgeradores,ououtragrandeza

quese deseje monitorar omo saída.

Note que neste do umento adota-se omo onvenção que letras em negrito representam

vetores, quando minús ulas, e matrizes, no aso de letras maiús ulas. Um ponto sobre uma

letra representaa derivada par ialda variávelemquestão em relaçãoao tempo,

∂/∂t

.

No onjunto de equações apresentado em (2.1), as variáveis

λ

e

u

são normalmente ons-tantes,emespe ialquandonãosão onsideradosos ontrolesse undáriosdetensãoefreqüên ia,

por exemplo. Mesmo quando há ontroles suplementares atuando sobre as variáveis de

refe-rên ia (

u

), omo PSS's (Power System Stabilizer) e POD's (Power Os illation Damper), sua variação a onte e apenas durante transitórios, não afetando seu valor emregime permanente.

Quantoàsequações(2.1 )e(2.1d),tem-sequeaprimeiraé omumenteeliminadaesubstituída

em (2.1b); já a segunda, por representar as saídas, é obtida a partir das soluções de (2.1a) e

(2.1b), de forma que, em geral, a solução destas últimas independe de solu ionar-se ou não

(2.1d). Portanto, as equações (2.1 ) e (2.1d), e as variáveis

λ

e

u

serão omitidasno de orrer dotexto apenas porquestão de fa ilitaraleitura.

Quando todos os transitórios do sistema foram amorte idos não mais havendo, portanto,

variação em relação ao tempo, diz-se que o sistema en ontra-se em um ponto de equilíbrio

de regime permanente. Matemati amente isso signi a que todas as derivadas em relação ao

tempose anulam e as equações tornam-se independentes da variável

t

. Assim, e onsiderando as omissões já previstas, (2.1) pode ser rees rita da seguinte forma (Feng et al. 2000, Zhu

et al. 2000,Da Silva 2001, Yeu &Sauer 2005, Kop ak etal. 2007a, Kop ak etal. 2007b):

1

(26)

0 _{= f (x, y)}

(2.2a)

0 _{= g(x, y)}

(2.2b)

Esta simpli ação que resulta em (2.2) elimina a ne essidade de resolver por integração

as equações diferen iaisrepresentadas por (2.2a),pois noponto de equilíbrio, estas podem ser

tratadas omoequaçõesalgébri as 2

. Issorepresentaumagrandevantagem,poisoproblema a

restrito a en ontrar os zeros de um onjunto de funções algébri as não lineares, uja solução

pode ser obtida através do método de Newton-Raphson. Ao fazê-lo, une-se a pre isão dos

métodos de simulação no domínio do tempo e a e iên ia omputa ional de um método de

uxo de arga onven ional. Tal possibilidade é viabilizadaporque eliminam-se simpli ações

(aoin orporarumamodelagemmaisdetalhadados omponentesdosistema),semane essidade

de a ompanhar a trajetória ompleta das variáveis no tempo (Kop ak et al. 2007b, Kop ak

et al. 2007 ).

Expandindo (2.2)em série de Tayloreretendo apenas ostermosdeprimeiraordemtem-se:

f

(x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) = f (x

0 , y

0 ) +

∂f

∂x

(x

0 , y

0 )∆x +

∂f

∂y

(x

0 , y

0 )∆y

(2.3a)

g(x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) = g(x

0 , y

0 ) +

∂g

∂x

(x

0 , y

0 )∆x +

∂g

∂y

∆x

,

∆y

) possa ser assumidoque:

x

0 + ∆x ≈ x

∗

(2.4a)

y

0 + ∆y ≈ y

∗

(2.4b)

2





≈







∂f

∂x

(x

0 , y

0 )

∂f

∂y

(x

0 , y

0 )

∂g

∂x

(x

0 , y

0 )

∂g

∂y

(x

0 , y

0 )







−

1 .







f

(x

0 , y

0 )

g(x

0 , y

0 )







(2.6)

A equação (2.6) mostra que a partir de um dado ponto

(x

0 , y

0 )

é possível al ular os in rementos ne essários para en ontrar um novo ponto que satisfaça (2.2). É evidente que o

novo ponto di ilmente será, de fato, a solução

(x

∗

_{, y}

∗

₎

. Na verdade, a solução é renada de

forma iterativa, repetindo-se o método até que um determinado ritério de onvergên ia seja

al ançado. Assim, o método iterativo de Newton-Raphson apli ado as equações de sistemas

elétri osde potên ia,seria:





∆x

n

∆y

n





=





J

₁

n

J

₂

n

J

3 n

J

4 n





−

1 .





f

(x

n

_{, y}

n

₎

g(x

n

_{, y}

n

₎





(2.7)





x

n+1

y

n+1





=





x

n

y

n





+





∆x

n

∆y

n

∂f /∂x

,

∂f /∂y

,

∂g/∂x

e

∂g/∂y

, al uladas em

(x

n

_{, y}

n

₎

.

(28)

max

f

(x

n+1

_{, y}

n+1

₎

g(x

n+1

_{, y}

n+1

₎

≤ tol

(2.9)

sendo

tol

a tolerân ia desejada (nas simulações deste trabalhoadotou-se

tol = 10

−8

) 3

.

É interessante notar que o ritério de parada está rela ionado às equações originais,

não-lineares, representadas por (2.2) e que a linearização orrespondente ao ál ulo das matrizes

ja obianas em (2.7) dene apenas a direção e a dimensão do in remento durante o pro esso

iterativo, não inuindo na pre isão do resultado, que será tão mais pre iso quanto menor

for a tolerân ia adotada. Desta forma, aso seja permitido a um método de simulação no

domínio do tempo que solu ione (2.1) num horizonte de tempo tal que todos os transitórios

tenhamseextinguido,oestadonal dosistemadeveser exatamenteomesmoqueseriaobtido,

onsiderando-se omesmoestado ini ialea mesmaperturbação, se(2.2)fosse solu ionadapelo

métodoiterativoa imades rito. Issoé omprovadoatravésderesultadosnuméri osnoCapítulo

3.

2.2.2 Parti ularidades da Modelagem

Na seção anterior, des reveu-se o método de Newton-Raphson de formapropositadamente

genéri a, omoobjetivodeforne erum panoramageraldomesmo,supondoassimfa ilitarseu

entendimento. Entretanto,sua modelagemmatemáti aresumidamenterepresentada por(2.7),

(2.8) e (2.9),possui parti ularidades quemere em atenção espe ial.

O PSAT possui uma bibliote a om diversos modelos para a representação da maioriados

equipamentosedispositivosde ontrole de sistemas de potên ia(Milano 2005), in luindo

má-quinas sín ronas (desde o modelo lássi o a um modelo de oitava ordem), transformadoresde

dois enrolamentos, três enrolamentose omvariaçãoautomáti ade tap,reguladores

automáti- os de tensão (AVR - Automati Voltage Regulator), reguladores de velo idade(TG -Turbine

Governor), estabilizadores de sistemas de potên ia (PSS - Power System Stabilizer),

amor-te edores de os ilações de potên ia (POD - Power Os illation Damper), dispositivos FACTS

(Flexible AC Transmission Systems), dentre outros. Todos os modelos têm do umentação

3

Apesarde

10 −8

(29)

ompleta em (Milano 2006), de forma que aqui detalharemos apenas aqueles utilizados nas

simulaçõesdeste trabalho.

Para amáquina sín ronafoi utilizadoomodelode sexta ordem(Sauer &Pai 1998),que é

representado pelas seguintes equações diferen iaisnoPSAT (Milano 2006):

˙δ

i

= (ω

i

− 1)ω

s

(2.10a)

˙ω

i

= (P

m

i

− P

e

i

− D

i

(ω

i

− 1))M

i

−

1

(2.10b)

˙e

′

q

i

=

−f

sat

(e

′

q

i

) −

x

d

i

− x

′

d

i

−

T

′′

d0

i

T

′

d0

i

x

′′

d

i

x

′

d

i

x

d

i

− x

′

d

i

d

i

+

1 −

T

AA

i

T

′

d0

i

v

f

i

T

_d0

′

_i

−

1

(2.10 )

˙e

′

d

i

=

−e

′

_d

_i

−

x

q

i

− x

′

q

i

−

T

′′

q0

i

T

′

q0

i

x

′′

q

i

x

′

q

i

x

q

i

− x

′

q

i

q

i

T

_q0

′

_i

−

1

(2.10d)

˙

e

′′

q

i

=

−e

′′

q

i

+ e

′

q

i

−

x

′

d

i

− x

′′

d

i

+

T

′′

d0

i

T

′

d0

i

x

′′

d

i

x

′

d

i

x

d

i

− x

′

d

i

d

i

+

T

AA

i

T

′

d0

i

v

f

i

T

d0

′′

i

−

1

(2.10e)

˙

e

′′

d

i

=

−e

′′

d

i

+ e

′

d

i

+

x

′

q

i

− x

′′

q

i

+

T

′′

q0

i

T

′

q0

i

x

′′

q

i

x

′

q

i

x

q

i

− x

′

q

i

q

i

T

′′

q0

i

−

1

(2.10f)

nas quais

i = 1, 2, 3, ..., nm

,e as demaisvariáveis podem ser assim denidas:

nm

éo número de máquinas sín ronas;

δ

é oângulo dorotor da máquina,em

rad

;

ω

é velo idadeângular do rotor em

pu

e

ω

s

= 2πf

é velo idade ângular sín rona, sendo

f

a freqüên ia dosistema em

Hz

;

P

m

e

P

e

são, respe tivamente,apotên iame âni aentreguenoeixodorotoreapotên ia elétri ano entreferro em

pu

;

D

éo oe iente de amorte imento(neste trabalhoadota-se

D = 0

) 4

;

M

é o oe ientede inér iado onjunto turbina-gerador,sendo

M = 2H

e

H

a ontante de inér ia, dados em

kW s/kV A

;

4

(30)

x

d

,

x

′

d

e

x

′′

d

são,respe tivamente,areatân iasín ronadeeixodireto,areatân iatransitória

de eixo direto ea reatân ia subtransitóriade eixodireto, em

pu

transitória de eixo quadratura e areatân ia subtransitória de eixo quadratura, em

pu

;

T

′

d0

e

T

′′

d0

são, respe tivamente, as onstantes de tempo de ir uito aberto transitória e

subtransitóriade eixodireto, em

s

;

T

′

q0

e

T

′′

q0

são, respe tivamente, as onstantes de tempo de ir uito aberto transitória e

subtransitóriade eixoquadratura, em

s

;

T

AA

é a onstante de tempo de dispersão adi ionalao eixo direto, em

s

(neste trabalho,

T

AA

= 0

) 5

;

são as omponentes dastensõestransitóriaesubtransitórianoeixodireto,

respe -tivamente, em

pu

;

e

0 = v

q

i

+ r

a

i

q

i

− e

′′

q

i

+ (x

′′

d

i

− x

l

i

)i

d

i

(2.11a)

0 = v

d

i

+ r

a

i

d

i

− e

′′

d

i

− (x

′′

q

i

− x

l

i

)i

q

i

(2.11b)

nasquais,

r

a

éaresistên iadoestator,

x

l

éareatân iadedispersão,

v

d

e

v

q

são as omponentes datensãoterminal damáquina nos eixosdiretoe quadratura, respe tivamente, sendotodas as

grandezas em

pu

. 5

Estaéumaparti ularidadedamodelagemdamáquinasín ronapresente noPSATque énormalmentedesprezada (muitas

(31)

2.2Modelagemdo Fluxode CargaExpandido 17

ω

s

ω

1 R

−

+

_T

∗

in

T

in

1 T

s

s + 1

T

3 s + 1

T

c

s + 1

T

4 s + 1

T

5 s + 1

T

max

T

min

T

m

Regulador Servo Reaque imento

T

ref

Figura 2.1: Regulador de velo idade -TG Tipo I.

Parao ontroledavelo idadeedapotên iaativagerada,asmáquinasforamequipadas om

reguladoresde velo idade. Tais ontroladores sefazemne essários poisapósuma perturbação,

omo por exemplo aumento/redução de arga ou abertura de linhas de transmissão, o ajuste

dasinjeçõesdepotên iaativadasmáquinassedarápreliminarmentedea ordo omoestatismo

destes para depois, num horizonte de tempo maior ( hegando a dezenas de minutos), serem

reajustadaspelooperadoroualgumtipode ontrolese undárioem onformidade om ontratos

e/ou ritérios de segurança. Dois modelos distintos disponíveis na bibliote a do PSAT foram

utilizados. Oprimeirodeles éapresentado naFigura2.1e orresponde ao onjuntodaturbina

térmi aasso iada ao seu regulador, ujasequaçõessão:

T

in

∗

i

= T

ref

i

+

1 R

i

(ω

s

− ω

i

)

(2.12a)

T

in

i

=











T

∗

in

i

if T

i min

≤ T

∗

in

i

≤ T

i max

T

i max

if T

in

∗

i

> T

i max

T

i min

if T

in

∗

i

< T

i min

(2.12b)

˙t

g1

i

= (T

in

i

− t

g1

i

)T

−

1 s

i

(2.12 )

˙t

g2

i

=

1 −

T

3 i

T

c

i

t

g1

i

− t

g2

i

T

_c

−1

_i

(2.12d)

˙t

g3

i

=

1 −

T

4 i

T

5 i

t

g2

i

+

T

3 i

T

c

i

t

g1

i

− t

g3

i

T

₅

−

_i

1

(2.12e)

T

m

i

= t

g3

i

+

T

4 i

T

5 i

t

g2

i

+

T

3 i

T

c

i

t

g1

i

(2.12f)

Em (2.12)tem-se

i ∈ Ω

tg1

, sendo

Ω

tg1

o onjunto dos geradores equipados om o regulador de velo idade TG Tipo I. Todas as grandezas estão em

pu

, om ex eção das onstantes de

(32)

18 Fluxo deCarga Expandido

ω

r

ω

1 R

−

+

_T

∗

m

T

m

T

1 s + 1

T

2 s + 1

T

max

T

min

T

ref

Figura2.2: Regulador de velo idade- TG Tipo II.

tempo, dadas em segundos.

R

representa o estatismo;

T

ref

= P

ref

é o torque me âni o de referên ia;

T

m

= P

m

é o torque me âni o de saída

6

;

s

é o operador de Lapla e; e as demais variáveispodem ser deduzidas a partir daFigura2.1.

Alternativamente ao modelo de ter eira ordem apresentado em (2.12), um modelo mais

simples de regulador de velo idade foi testado. Trata-se de um modelo de primeira ordem,

omo mostra aFigura2.2, para oqual podem ser es ritasas seguintes equações:

˙t

g

i

=

1 R

i

1 −

T

1 i

T

2 i

(ω

s

− ω

i

) − t

g

i

T

₂

−

_i

1

(2.13a)

T

_m

∗

_i

= t

g

i

+

1 R

i

T

1 i

T

2 i

(ω

s

− ω

i

) + T

ref

i

(2.13b)

T

m

i

=











T

∗

m

i

if T

i min

≤ T

∗

m

i

≤ T

i max

T

i max

if T

m

∗

i

> T

i max

T

i min

if T

m

∗

i

< T

i min

(2.13 )

Em (2.13) tem-se

i ∈ Ω

tg2

, sendo

Ω

tg2

o onjunto dos geradores equipados om o regulador de velo idade TG Tipo II. Novamente, todas as grandezas estão em

pu

, om ex eção das onstantes de tempoe asvariáveis não expli itadaspodemder deduzidas daFigura 2.2.

No mesmo sentido, mas objetivando o ontrole de tensão, dois tipos de reguladores

au-tomáti osde tensãoforamutilizadosnasmáquinassín ronas dossistemastestedeste trabalho.

Estes representam o ontrole primário de tensão e, omo tal, são responsáveis por manter as

tensõesterminaisdas máquinasnos seus valores de referên ia.

6

(33)

v

ref

+

−

1 T

r

s + 1

K

a

T

a

s + 1

1 T

e

s + 1

Sat(v

f

)

K

f

s

T

f

s + 1

v

r

v

f

v

r

max

v

r

min

V

v

m

Figura2.3: Regulador automáti o de tensão- AVR Tipo II.

Num primeiromomento, após uma perturbação e antes da atuaçãodo ontrole se undário

(ou do operador), o perl de tensão dos geradores se dará pela atuação dos reguladores de

tensão sobre as orrentes/tensões de ampo, natentativade devolveras tensões terminaisaos

seus valores espe i ados. Entretanto, haverá um erro na resposta em regime permanente

que é inerente a essa família de ontroladores propor ionais. Tal erro pode ser minimizado

utilizando-sereguladores om ganhoselevados, mas somentepoderá ser zeradoquando houver

um reajustede suas referên ias, impli andoque ahipótese de tensão onstante das barras PV

douxo de arga onven ional sóseria verdadeira nessas situaçõesbastante espe í as.

(34)

˙v

m

i

= (V

i

− v

m

i

) T

−1

r

i

(2.14a)

˙v

r1

i

=

K

a

i

v

ref

i

− v

m

i

− v

r2

i

−

K

f

i

T

f

i

v

f

i

− v

r1

i

T

_a

−

_i

1

(2.14b)

v

r

i

=











v

r1

i

if v

r

i

min

≤ v

r1

i

≤ v

r

i

max

v

r

i

max

if v

r1

i

> v

r

i

max

v

r

i

min

if v

r1

i

< v

r

i

min

(2.14 )

˙v

r2

i

= −

K

f

i

T

f

i

v

f

i

+ v

r2

i

T

_f

−

_i

1

(2.14d)

˙v

f

i

= − (v

f

i

(1 + Sat(v

f

i

)) − v

r

i

) T

−

1 e

i

(2.14e)

Sat(v

f

i

) = A

e

i

e

B

ei

|

v

fi

| − 1

(2.14f)

Em(2.14),

i ∈ Ω

avr2

e

Ω

avr2

éo onjuntodas máquinassín ronasequipadas omoregulador de tensão AVR Tipo II.Todas as grandezas são dadas em

pu

, om ex eção das onstantes de tempo,e osigni ado das variáveispodeser deduzido daFigura2.3, desta ando-se apenasque

V

é a tensão terminal da máquina sín rona;

K

a

é o ganho do ampli ador;

v

f

é a tensão de saída apli adasobreo enrolamentode ampodamáquinaa qualoregulador está one tadoe;

v

ref

éa tensão de referên iapré-estabele ida.

O segundo modelo utilizado é des rito na Figura 2.4. Nesse modelo de ter eira ordem

levam-se em onsideração, além da tensão de referên ia

v

ref

, os valores ini iais da tensão de ampo

v

f 0

e datensão terminal

V

0

,todos ajustadospara o aso base dosistema. Asequações do AVR Tipo III são detalhadas em (2.15), ujas variáveis podem ser deduzidas a partir da

gura orrespondente, om destaques para

µ

0

querepresenta oganhodoregulador de tensãoe

v

f

queé sujeita a um limite non-windup 7

.

(35)

V

₁

T

r

s + 1

v

m

−

+

v

ref

µ

0 T

1 s + 1

T

2 s + 1

1/V

0 v

f 0

1 T

ǫ

s + 1

v

f

max

v

f

min

v

f

Figura 2.4: Regulador automáti o de tensão - AVR Tipo III. PSfrag repla ements

v

SI

K

w

T

w

s

T

w

s + 1

T

1 s + 1

T

2 s + 1

T

3 s + 1

T

4 s + 1

1 T

ǫ

s + 1

v

s

v

smax

v

smin

Figura2.5: Estabilizador de sistemas de potên ia -PSS Tipo II.

˙v

m

i

= (V

i

− v

m

i

) T

−

1 r

i

(2.15a)

˙v

r

i

=

µ

0 i

1 −

T

1 i

T

2 i

(v

ref

i

− v

m

i

) − v

r

i

T

₂

−

_i

1

(2.15b)

˙v

f

i

=

v

r

i

+ µ

0 i

T

1 i

T

2 i

(v

ref

i

− v

m

i

) + v

f 0

i

V

i

V

0 i

− v

f

i

T

_ǫ

−

_i

1

(2.15 )

Adi ionalmenteaos reguladoresde tensão evelo idade,um ontrolesuplementarvisando o

amorte imento de os ilações de modo lo al, PSS (Power System Stabilizer), foi utilizado em

(36)

˙v

1 i

= − (K

w

i

v

SI

i

+ v

1 i

) T

−1

w

i

(2.16a)

˙v

2 i

=

1 −

T

1 i

T

2 i

(K

w

i

v

SI

i

+ v

1 i

) − v

2 i

T

₂

−

_i

1

(2.16b)

˙v

3 i

=

1 −

T

3 i

T

4 i

v

2 i

+

T

1 i

T

2 i

(K

w

i

v

SI

i

+ v

1 i

)

− v

3 i

T

₄

−

_i

1

(2.16 )

˙v

s

i

=

v

3 i

+

T

3 i

T

4 i

v

2 i

+

T

1 i

T

2 i

(K

w

i

v

SI

i

+ v

1 i

)

− v

s

i

T

_ǫ

−1

_i

(2.16d)

Em(2.16),

i ∈ Ω

pss

e

Ω

Apresentadososmodelos, onsideram-seimportantes asseguintes observaçõesquantoasua

in lusão nométodode uxo de arga expandido, espe ialmentepara aqueles que inten ionam

implementá-lo:

Conformedis ussão preliminar,todas asequaçõesdiferen iais ontidasem(2.10)à(2.16)

devem ser igualadas a zero, para que orrespondam ao omportamento dos dispositivos

onsiderados emregimepermanente;

O leitor pode notar que quando igualadas a zero, muitas das equações poderiam ser

eli-minadasporsubstituiçãosimplesde variáveis,reduzindo assimadimensãodosistemade

equaçõesaser solu ionado,pois

f

(·)

em(2.2)teriadimensãomenor(DaSilva 2001). No 8

(37)

entanto,talpro edimentodiminuiriaaesparsidadedasmatrizesja obianasem(2.7),

tra-zendoprejuízosem termosde e iên ia omputa ionalquanto aoperações om matrizes;

Manter a dimensão original do sistema de equações propor iona outras vantagens, pois

garante-se uma onexão direta om outras ferramentas, omo simulação no domínio do

tempo e análise modal, sem a ne essidade de ál ulos e redimensionamentos adi ionais,

ontribuindo assim para a e iên ia omputa ional desse pro esso de interfa e.

Adi io-nalmente, todas as variáveis permane eriam prontamente a essíveis, fa ilitando estudos

paramétri osquanto aos efeitos de qualquer uma delas sobre asdemais;

Pode-senotar,também,que om ex eçãodaequação swing (equações(2.10a)e (2.10b)),

adaequaçãodiferen ialpossuiuma onstantede tempoquedividetodososseustermos.

É evidente que tais onstantes, quando as equações são igualadas a zero, poderiam ser

desprezadas sem que isso afetasse a dimensão do sistema de equações. No entanto, sua

presença melhora o ondi ionamento das matrizes ja obianas, pois omo as onstantes

de tempo têm, em geral, valores menores que um, fazem om que as sensibilidades nas

diagonaisprin ipaisde ada submatriz ja obianatenhamvalores numéri osmaiores;

Finalmente,oleitormaisfamiliarizado omasferramentasdeanálisedesistemaselétri os

de potên ia per eberá que mantendo asequações na sua íntegra, asmatrizes ja obianas

resultantes seriamexatamenteasmesmasne essárias para métodos de análisemodal

po-dendo,também, ser as mesmasutilizadasem métodos de integração numéri a das

simu-laçõesnodomíniodotempo 9

. Essa é aprin ipalvantagemem onservá-las nasua forma

original,poisoprópriopro essode ál ulodos pontosdeequilíbrioforne eriaasmatrizes

para análise de estabilidade a pequenas perturbações e para análise de estabilidade de

tensão, omoserá exploradonas simulações. Isso tambémjusti a ain lusãoda

modela-gemdos ontrolessuplementaresparaamorte imentode os ilações(PSS's,POD's), visto

que poderiam ser omitidos pornão interferiremno ál ulodos pontos de equilíbrio,mas

são mantidos para queseu efeitosobre a estabilidadedo sistemapossa ser avaliado.

9

Seforemsubstituídasasequaçõesdebalançode orrente porbalançodepotên ia,Kundur(1994,pag. 862)mostraqueas

(38)

De posse das equações diferen iais que modelam a dinâmi a dos geradores e seus

prin i-pais ontroles, apresentam-se agora as equações algébri as da rede de transmissão, ou seja,

as equações que ompõem

g(·)

em (2.1). Estas, omo já men ionado na seção anterior, são equaçõesa opladas entre si eresponsáveis peloa oplamentodas demais equações, emespe ial

das diferen iaisquesão, namaioriados asos,desa opladas 10

(Sauer&Pai 1998,Yeu &Sauer

2005). Taisequações sãoo própriobalançonodalde potên iadouxo de arga, omoseguem:

− P

g

i

+ λ

i

P

c

i

+ P

t

i

= 0

(2.17a)

−Q

g

i

+ λ

i

Q

c

i

+ Q

t

i

= 0

(2.17b)

nas quais,

i = 1, 2, 3, ..., m

, sendo

m

o número de barras do sistema.

P

e

Q

são as potên ias ativae reativa;

λ

éo fatorde arregamento;eos índi es

g

,

c

e

(g

ij

cosθ

ij

+ b

ij

sinθ

ij

)

(2.19a)

Q

t

i

=

X

j ∈ Ω

I

V

i

V

j

(g

ij

sinθ

ij

− b

ij

cosθ

ij

)

(2.19b)

Em (2.19),

Ω

I

é o onjuntodas barras ligadas abarra

i

, in lusive;

V

éo módulo datensão em

pu

;

θ

ij

= θ

i

− θ

j

é aaberturaangular dalinhaque ligaas barras

i

e

j

, em

rad

;e,

g

e

b

são, respe tivamente, a ondutân iae a sus eptân iada linha de transmissão, em

pu

.

10

Comoexemplodo desa oplamento,note nas equações da máquinasín rona(2.10 ), que as equaçõesque representam uma