Emprego da teoria de valores extremos na construção de modelos espaço-temporais de temperaturas

(1)

Flavio Ferraz Vieira

Emprego da Teoria de Valores Extremos na

constru¸

c˜

ao de modelos espa¸

co-temporal de

temperaturas

Niter´oi - RJ, Brasil

(2)

Flavio Ferraz Vieira

Emprego da Teoria de Valores

Extremos na constru¸

c˜

ao de modelos

espa¸

co-temporal de temperaturas

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em

Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Dr. Marco Aur´elio dos Santos Sanfins

Co-Orientador: Prof. Dr. Valentin Sisko

Niter´oi - RJ, Brasil

(3)

Universidade Federal Fluminense

Flavio Ferraz Vieira

Emprego da Teoria de Valores Extremos na

constru¸

c˜

ao de modelos espa¸

co-temporal de

temperaturas

Monografia de Projeto Final de Gradua¸c˜ao sob o t´ıtulo

“Em-prego da Teoria de Valores Extremos na constru¸c˜ao de modelos

espa¸co-temporal de temperaturas”, defendida por Flavio Ferraz

Vieira e aprovada em 20 de dezembro de 2018, na cidade de

Niter´oi, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora

constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Marco Aur´elio dos Santos Sanfins

Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Valentin Sisko Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Me. Eduardo Ferioli Gomes Departamento de Estat´ıstica – UFF

(4)

Flavio Ferraz Vieira ; Marco Aurélio dos Santos Sanfins, orientador ; Valentin Sisko, coorientador. Niterói, 2018.

51 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2018.

1. Modelagem. 2. Teoria dos Valores Extrems. 3. Estatística Espacial. 4. Temperaturas Extremas. 5. Produção intelectual. I. Sanfins, Marco Aurélio dos Santos, orientador. II. Sisko, Valentin, coorientador. III. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. IV. Título.

(5)

Resumo

Os fundamentos da teoria dos valores extremos foram inicialmente expostos por Fisher

e Tippett [1], que por defini¸cão introduziram os três tipos poss´ıveis de distribui¸cões

as-sint´oticas dos valores extremos, conhecidas como Gumbel, de Fr´echet e de Weibull,

res-pectivamente.

No entanto, o primeiro a estudar e formalizar a aplica¸c˜ao estat´ıstica destas

distri-bui¸c˜oes foi Gumbel [2], cuja a metodologia tem sido frequentemente aplicada. Outras

contribui¸c˜oes importantes para o estudo de valores extremos foram dadas por Gnedenko

[3], que mostrou as condi¸cões necessárias e suficientes para a existência das distribui¸cões

assintóticas dos valores extremos. Atualmente diversas áreas do conhecimento estão

uti-lizando a Teoria de Valores extremos para construir modelos preditivos, principalmente a

dados relacionados ao meio ambiente. Esse fato decorre das grandes mudan¸cas clim´aticas

que vem ocorrendo em nosso planeta nos dias atuais.

Atualmente vários centros mundiais de coleta de dados sobre condi¸cões climáticas,

vem coletando informa¸c˜oes sobre as maiores temperaturas observadas em diversas ´areas do

planeta. Em especial atualmente o governo da ´India possui estas temperaturas m´aximas

coletadas com as respectivas latitude e longitude, possuindo um Hist´orico que abrange os

per´ıodos de 1951 at´e o ano de 2014. O objetivo deste projeto ´e utilizar a teoria de valores

extremos e com esta ser capaz de modelar os dados mencionados anteriormente, como

tamb´em obter um modelo preditivo.

Palavras-chaves: Modelagem, Teoria dos Valores Extremos, Estat´ıstica Espacial, Tempe-raturas Extremas. Statistics

(6)

(7)

Agradecimentos

Primeiramente agradecer a Deus pelo dom da vida e da sabedoria, sem ele nada disso

seria poss´ıvel. Aos meus pais Dirlene e Sebasti˜ao por toda educa¸c˜ao, apoio e suporte, meus

irm˜aos Paulo, Luiza e Diego pelos conselhos e sempre dispostos a oferecer um ombro

amigo, e minha melhor amiga e namorada Camila por todo amor, carinho e paciˆencia

durante toda minha trajet´oria. E todas as pessoas que contribu´ıram durante a minha

gradua¸c˜ao, diretamente ou indiretamente; a todos meus amigos em especial ao Carlos

Renan, meu orientador Marco e co-orientador Valentin, e toda minha equipe de trabalho da Fiocruz.

(8)

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 11

1.1 Objetivos . . . p. 11

2 Referencial Te´orico p. 13

2.1 Teoria dos Valores Extremos . . . p. 13

2.1.1 Hist´orico . . . p. 13

2.2 Modelagem Univariada de Extremos . . . p. 14

2.2.1 Nota¸c˜oes . . . p. 14

2.2.2 Distribui¸c˜ao Exata e Limite do M´aximo . . . p. 15

2.3 Modelos Assint´oticos Para o M´aximo . . . p. 18

2.4 M´ax-Estabilidade . . . p. 21

2.4.1 Dominio de Atra¸c˜ao . . . p. 22

2.5 Distribui¸c˜ao de Valores Extremos Generalizada (GEV) . . . p. 23

2.6 Teste de Aderˆencia . . . p. 24

3 Materiais e M´etodos p. 26

3.0.1 Estima¸cão via Método de Máxima Verossimilhan¸ca . . . p. 27

3.0.2 Estima¸c˜ao via M´etodo de L-Momentos . . . p. 29

(9)

3.1.1 Estimativas Obtidas Por M´axima Verossimilhan¸ca . . . p. 31

3.1.2 Estimativas obtidas por L-Momentos . . . p. 33

3.2 Teste de Aderˆencia . . . p. 34

3.3 Teste Gr´afico . . . p. 34

3.4 Modelagem e Previs˜oes . . . p. 35

4 An´alise dos Resultados p. 36

5 Conclus˜ao p. 44

Referˆencias p. 45

(10)

1 Distribui¸c˜ao Acumulada da Weibull com α = −2, Fr´echet com α = 1 e

Gumbel . . . p. 19

2 Curva Estimada e Teórica da Distribui¸cão Assintótica do Máximo

Pa-dronizado . . . p. 20

3 Representa¸cão da Aloca¸cão das Temperaturas Máximas na Índia . . . . p. 26

4 Regi˜oes da India . . . p. 27

5 Exemplo de um gr´afico de retorno . . . p. 35

6 Temperaturas M´aximas dos Anos de 1951 e 2014 . . . p. 36

7 Amplitude das Temperaturas M´aximas Anuais . . . p. 37

8 M´aximos e M´ınimos das Temperaturas M´aximas Anuais . . . p. 37

9 Desvio Padr˜ao das Temperaturas M´aximas Anuais . . . p. 38

10 M´edia das Temperaturas M´aximas Anuais . . . p. 38

11 Temperatuas m´aximas observadas e previstas a partir de 2004 . . . p. 40

12 Previs˜ao da Temperatura M´axima para 10 anos e seu IC . . . p. 41

13 Previs˜ao da Temperatura M´axima para 20 anos e seu IC . . . p. 42

(11)

Lista de Tabelas

1 Representa¸cão da Divisão de uma Variável X em m Classes . . . p. 24

2 Valores cr´ıticos para as estat´ısticas de teste D+, D−, D e V . . . p. 32

3 Representa¸c˜ao do Teste de Aderˆencia de Pearson . . . p. 34

(12)

1 Introdu¸

c˜

ao

Em quase todas as áreas da estat´ıstica a ordena¸cão da amostra é imprescind´ıvel para

a an´alise dos dados, na Teoria dos Valores Extremos (TVE) tal etapa ´e crucial. O TVE

´e um ramo da probabilidade capaz de quantificar eventos extremos ou raros, atrav´es da

observa¸cão de máximos (ou m´ınimos) de grupos de amostras. O TVE já é presente na

literatura por um tempo relativamente longo e suas aplica¸c˜oes j´a foram utilizadas em

diversas ´areas com interesse em observar eventos poucos frequentes, como na estima¸c˜ao

de eventos clim´aticos, c´alculo de seguros e eventos pouco comuns no mercado financeiro.

Por ser um campo fértil para a inferência estat´ıstica e possuir aplica¸cões em muitas

´

areas, permitiu a Teoria dos Valores Extremos obter uma vasta bibliografia, entre eles o

cl´assico livro de Gumbel [2], que foi o primeiro a estudar e formalizar os fundamentos da

teoria; outras contribui¸c˜oes importantes foram de Fisher e Tippett [1] que introduziram

as três poss´ıveis distribui¸cões assintóticas dos valores extremos, conhecidos como Gumbel,

Frechet e Weibull, e Gnedenko [3] que mostrou as condi¸cões necessárias para a existência

das distribui¸c˜oes assint´oticas dos valores extremos.

Por causa das grandes mudan¸cas clim´aticas que vem ocorrendo em nosso planeta nos

dias atuais, estudantes de diversas ´areas do conhecimento est˜ao utilizando a Teoria de

Valores Extremos para construir modelos preditivos, afim de prever e prevenir eventos

indesej´aveis.

1.1 Objetivos

A presente monografia tem por finalidade solidificar os conhecimentos e o manuseio

sobre vari´aveis que sejam coletadas segundo um padr˜ao espa¸co-temporal. Solidificar os

conhecimentos sobre a Teoria dos Valores Extremos; como suas distribui¸c˜oes assint´oticas

para os m´ınimos e máximos (Gumbel, Frechet e Weibull), as condi¸cões necessárias para

(13)

es-1.1 Objetivos 12

tima¸cão dos seus parâmetros e os testes estat´ısticos para tais parâmetros. Estudar o

comportamento das temperaturas máximas da Índia nos anos de 1951 até 2014 e propor

v´arios modelos para os dados com a utiliza¸c˜ao da Teoria de Valores Extremos. E por fim,

analisar e comparar estudos anteriores e correlatos, com a nova proposta e gerar previs˜oes

(14)

2 Referencial Te´

orico

2.1 Teoria dos Valores Extremos

Essa se¸cão aborda tópicos sobre a Teoria dos Valores Extremos; seu histórico,

al-gumas áreas de aplica¸cões e seus conceitos, as distribui¸cões assintóticas dos máximos e

m´ınimos, suas condi¸cões necessárias e a distribui¸cão dos valores extremos generalizada.

As nota¸c˜oes ser˜ao as mesmas utilizadas por Mendes [4]. Para um estudo mais detalhado

e intensificado sobre a Teoria dos Valores Extremos aconselha-se a leitura da tese de

doutorado denominada “Copulas para Distribui¸c˜oes Generalizadas de Valores Extremos

Multidimensionais”de Sanfins [5].

2.1.1 Hist´

orico

Eventos extremos s˜ao definidos como eventos raros, eventos que nunca foram

obser-vados ou foram obserobser-vados poucas vezes. Alguns exemplos cl´assicos desses eventos s˜ao as

crises financeiras, como a crise de 1929 ou desastres naturais, como tsunami, impacto de meteoros e terremotos. A Teoria dos Valores Extremos surgiu com o interesse de cons-truir um modelo preditivo que pudesse quantificar relativamente bem esses eventos, afim

de poder diminuir as consequˆencias ou preveni-los. De acordo com Pires [6], o impulso

dos estudos e da utiliza¸c˜ao do TVE se deu em 1953, quando barragens que protegem a

Holanda do avan¸co do mar se romperam e causaram a inunda¸c˜ao de boa parte do pa´ıs,

provocando a morte de 1800 pessoas. Ap´os o desastre, o governo da Holanda criou um

comitˆe que utilizava o ferramental ligado a Teoria dos Valores Extremos para estabelecer

a altura das barragens. Gumbel [2] diz que os interesses na constru¸c˜ao de modelos

predi-tivos de eventos extremos data desde o s´eculo XVII em estudos de astronomia. Apesar da

preocupa¸c˜ao dos estudos com a modelagem de valores extremos n˜ao ser algo relativamente

novo, os primeiros fundamentos da TVE foram inicialmente expostos por Fisher e Tippett

[1] em 1928, que por introduziram os três tipos poss´ıveis de distribui¸cões assintóticas dos

(15)

2.2 Modelagem Univariada de Extremos 14

No entanto, o primeiro a estudar e formalizar a aplica¸c˜ao estat´ıstica destas

distri-bui¸c˜oes foi Gumbel [2] em 1954, cuja a metodologia tem sido frequentemente aplicada.

Outras contribui¸c˜oes importantes para o estudo de valores extremos foram dadas por

Gnedenko [3], que mostrou as condi¸cões necessárias e suficientes para a existência das

distribui¸c˜oes assint´oticas dos valores extremos.

2.2 Modelagem Univariada de Extremos

Nessa se¸cão é apresentada a distribui¸cão assintótica dos máximos e dos m´ınimos e

suas condi¸cões necessárias, a distribui¸cão assintótica generalizada e seus parâmetros.

2.2.1 Nota¸

c˜

oes

Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória simples de uma váriavel X, com fun¸cão de

distribui¸c˜ao acumulada FX(x). Frequentemente trabalha-se com a fun¸c˜ao de densidade

fX(x), logo FX(x) ´e definida como:

FX(x) = P (X ≤ x) =

Z x

−∞

fX(a)da,

a esperan¸ca da vari´avel X definida como:

E[X] =

Z ∞

−∞

xfX(x)dx,

e a variˆancia:

V ar[X] = E[(X − E[X])2].

A abordagem cl´assica da Teoria dos Valores Extremos consiste em caracterizar as

caudas da distribui¸cão FX(x) a partir da distribui¸cão do máximo ou m´ınimo. Para isto é

definido as estat´ısticas de ordem, as estat´ısticas de ordem k e o suporte da FX(x).

Defini¸cão 2.2.1 (Estat´ısticas de Ordem) Seja (Xn)n≥1 uma sucessão de variáveis aleatórias,

são definidas estat´ısticas de ordem X(1), X(2), ..., X(n), que são as variáveis aleatórias

or-denadas, tais que X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n).

Defini¸cão 2.2.2 (Estat´ıstica de Ordem k) Seja (Xn)n≥1uma sucessão de variáveis aleatórias,

´e definida a k-´esima estat´ıstica de ordem como X(k), tal que X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(k) ≤

(16)

Defini¸cão 2.2.3 (Suporte da Fun¸cão de Distribui¸cão) Seja X ∼ FX(x), o suporte da

fun¸cão de distribui¸cão de X será:

xFX = sup{x ∈ R : FX(x) < 1}. (2.1)

2.2.2 Distribui¸

c˜

ao Exata e Limite do M´

aximo

Na TVE ´e dada uma aten¸c˜ao em especial para o suporte da FX(x) e as estat´ısticas de

ordem dos extremos, o m´ınimo e o máximo que são definidos como m´ınimo X(1) e máximo

X(n) de uma amostra i.i.d, ou seja:

X(1) = min{X1, X2, ..., Xn} e X(n) = max{X1, X2, ..., Xn}.

A fun¸cão de distribui¸cão exata do máximo e do m´ınimo é obtida através da fun¸cão

de distribui¸c˜ao de X.

Defini¸cão 2.2.4 (Fun¸cão de Distribui¸cão do Máximo) A fun¸cão de distribui¸cão do máximo

é definida como FX(n)(x) e é obtida a partir da distribui¸cão de X, do jeito seguinte:

FX(n)(x) = F n X(x). Demonstra¸c˜ao. FX(n)(x) = P {X(n)6 x} = P {max(X1, X2, ..., Xn) 6 x} = P {X1 6 x, X2 6 x, ..., Xn6 x} i.i.d = P {X1 6 x} × P {X2 6 x} × ... × P {Xn6 x} = Pn_{{X 6 x} = F}_Xn(x). e a do m´ınimo,

Defini¸cão 2.2.5 (Fun¸cão de Distribui¸cão do M´ınimo) A fun¸cão de distribui¸cão do m´ınimo

é definida como FX(1)(x) e é obtida a partir da distribui¸cão de X tal que:

FX(1)(x) = 1 − (1 − FX(x))

n_.

(17)

2.2 Modelagem Univariada de Extremos 16 FX(1)(x) = P {X(1) ≤ x} = 1 − P {X(1) > x} = 1 − P {X1 > x, X2 > x, ..., Xn> x} i.i.d = 1 − P {X1 > x} × P {X2 > x} × ... × P {Xn> x} = 1 − Pn_{{X > x} = 1 − (1 − P {X ≤ x})}n_{= 1 − (1 − F} X(x))n.

Com isso, foram definidas as distribui¸cões exatas do m´ınimo e do máximo, porém

suas distribui¸c˜oes dependem do conhecimento da distribui¸c˜ao de X, que em muitos casos

´e desconhecida, entretanto o Corol´ario 2.2.9 afirma que para n suficientemente grande

esta distribui¸cão será degenerada. Mas para entender a demonstra¸cão do Corolário 2.2.9,

é preciso entender os conceitos de convergência em probabilidade, em distribui¸cão, e quase

certamente que s˜ao uns dos mais importantes resultados da estat´ıstica.

Defini¸cão 2.2.6 (Convergência em Probabilidade) Seja (Xn)n≥1uma sucessão de variáveis

aleat´orias, e para qualquer ε > 0 temos que X converge em probabilidade para c se

lim

n−→∞P {|Xn− c| > ε} = 0, (2.2)

Denotado por X → c.p

Defini¸cão 2.2.7 (Convergência Quase Certamente) Seja (Xn)n≥1uma sucessão de variáveis

aleat´orias, ´e dito que Xn converge quase certamente para X se

P (N ) = 1, sendo N = {w ∈ Ω|Xn(w) → X(w)}, (2.3)

Denotado por Xn

q.c.

→ X.

Defini¸cão 2.2.8 (Convergência em Distribui¸cão) Sejam (Xn)n≥1uma sucessão de variáveis

aleatórias, é dito que Xn converge em distribui¸cão para X se

lim

n→∞FXn(x) = FX(x), (2.4)

Denotado por Xn

d

(18)

´

E bastante intuitivo que os valores dos máximos são aquelas que se localizam próximos

do limite superior do suporte da distribui¸c˜ao de X e que quando maior a sucess˜ao da

variável X menor será a distancia do máximo e do suporte . Isto indica que o

compor-tamento assint´otico Xn deve estar relacionado com a cauda de FX(x) perto de xFX. Isto

não é apenas intuitivo, mas também um Corolário (As afirma¸cões feitas e os resultados

obtidos para o m´aximo, podem ser estendidos para os m´ınimos).

Corolário 2.2.9 (Convergência em Probabilidade do Máximo) Sejam X1, X2, ..., Xnvariáveis

aleat´orias i.i.d com distribui¸c˜ao FX(x), para n→ ∞, X(n) converge em probabilidade para

o suporte, se xFX < ∞.

Demonstra¸c˜ao.

Para x < xF X temos que

P {Xn≤ x} = FXn(x)

n→∞

→ 0

e para xFX < ∞, temos que para x > xFX

P {Xn≤ x} = FXn(x) = 1

Logo foi demonstrado que Xn

p

→ xFX.

Corolário 2.2.10 (Convergência Quase Certamente do Máximo) Sejam X1, X2, ..., Xn

variáveis aleatórias i.i.d com distribui¸cão FX(x), para n → ∞, X(n) converge quase

cer-tamente para o suporte, se xFX < ∞.

Demonstra¸c˜ao.

Visto que a Sequência Xn é não decrescente em n, o máximo converge quase

certa-mente para xFX. Para mais detalhes dessa demonstra¸c˜ao veja James [7].

Os Corolários 2.2.9 e 2.2.10 afirmam que não importa a fun¸cão de distribui¸cão de

X, se o tamanho da amostra de máximos for suficientemente grande, a distribui¸cão é

degenerada. Mas uma distribui¸cão degenerada não fornece muita informa¸cão, com isto, na

Se¸cão 2.3 é apresentada a distribui¸cão assintótica do máximo, e através desta distribui¸cão

(19)

2.3 Modelos Assint´oticos Para o M´aximo 18

2.3 Modelos Assint´

oticos Para o M´

aximo

Para conhecer-se a distribui¸cão exata do máximo, é preciso conhecer a distribui¸cão da

variável X o que na prática não ocorre frequentemente, e para n suficientemente grande

o máximo tem uma distribui¸cão degenerada o que não fornece muita informa¸cão. Mas,

o Teorema Fundamental de Fisher-Tippet fornece o resultado de convergˆencia fraca para

máximo centrado e normalizado e através do resultado desse teorema é poss´ıvel obter

informa¸cões relevantes da distribui¸cão original X através da distribui¸cão assintótica do

m´aximo.

Teorema 2.3.1 (Fisher-Tippet[1928]) Seja (Xn)n≥1uma sequência de variáveis aleatórias

i.i.d. Se existirem sequˆencias de constantes normalizadoras cn > 0 e dn ∈ R e uma

dis-tribui¸c˜ao n˜ao degenerada H(x) tal que

X(n)− dn

cn d

→ H(x),

então H(x) é uma das 3 fun¸cões distribui¸cão abaixo:

Gumbel : HI(x) = exp{−e−x} , x ∈ R. (2.5) Fr´echet : HII(x) = ( 0 , x < 0 α > 0. exp{−x−α} , x > 0 (2.6) Weibull : HIII(x) = ( exp{−(−x)−α} , x ≤ 0 α < 0. 1 , x > 0 (2.7)

A Figura 1 apresenta um gr´afico com as distribui¸c˜oes do Teorema 2.3.1, Gumbel,

Frechet e Weibull com α igual a 1 e -2 respectivamente e um exemplo de convergˆencia do

(20)

−1 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Prob Weibull Fréchet Gumbel

Figura 1: Distribui¸c˜ao Acumulada da Weibull com α = −2, Fr´echet com α = 1 e Gumbel

Exemplo 2.3.2 Convergência do máximo de uma distribui¸cão Uniforme(0,1) para uma

Weibull com α = −1:

Suponha que X ∼ Uniforme(0, 1), então sua fun¸cão de densidade será fX(x) = I(0,1)(x) e

sua fun¸cão de distribui¸cão FX(x) = xI(0,+∞)(x). A distribui¸cão exata do máximo é obtida

atrav´es da rela¸c˜ao FX(n)(x) = F

n

X(x), logo:

FX(n)(x) = x

n_{, 0 < x < 1.}

O Teorema 2.3.1 indica que a distribui¸cão do máximo possui uma distribui¸cão

as-sint´otica H(x), ent˜ao

P X(n)− dn

cn

< x

= PX(n) < xcn+ dn = (xcn+ dn)n.

Com isto, fazendo cn= 1_n e dn= 1 temos que

lim n→∞ 1 + x n n → ex

que coincide com a distribui¸cão HIII(x) com o parâmetro α = −1, isto é,

X(n)− 1

1 n

n→∞

→ HIII(x).

(21)

2.3 Modelos Assint´oticos Para o M´aximo 20

a sua distribui¸cão assintótica no máximo padronizado, convergira para uma Weibull com

α = −1. A Figura 2 apresenta a curva estimada e a curva te´orica da distribui¸c˜ao

as-sintótica do máximo padronizado do Exemplo 2.3.2, de uma amostra de máximos de

tamanho 100, retirados de blocos de tamanho igual a 5.

Figura 2: Curva Estimada e Teórica da Distribui¸cão Assintótica do Máximo Padronizado

Como mostrado no Exemplo 2.3.2, com n suficientemente grande, a distribui¸c˜ao do

máximo da variável X convergira para alguma distribui¸cão de H(x), para algumas

cons-tantes normalizadoras cn e dn. Embora as 3 distribui¸c˜oes n˜ao aparentam haver nenhuma

rela¸c˜ao, do ponto de vista matem´atico existe uma familiaridade entre elas.

Proposi¸cão 2.3.3 (Rela¸cões Entre os Modelos Assintóticos do Máximo) Seja X ∼ Frechet(α),

se X > 0 as rela¸cões a seguir são válidas:

X ⇔ ln(Xα) ∼ Gumbel ⇔ −X−1 ∼ Weibull(−α)

A seguir são apresentadas as fun¸cões de distribui¸cão adicionadas com parâmetros de

(22)

Gumbel : HI(x) = exp{−e− (x−µ)_σ } , x ∈ R. (2.8) Fr´echet : HII(x) = ( 0 , (x − µ) ≤ 0 α > 0. exp{− x−µ_σ −α} , (x − µ) > 0 (2.9) Weibull : HIII(x) = ( exp{−(−(x−µ)_σ )−α} , (x − µ) ≤ 0 α > 0. 1 , (x − µ) > 0 (2.10)

O Teorema 2.3.1 nos da total condi¸cão de estimar a distribui¸cão assintóticaX(n)−dn

cn

através da fam´ılia H(x), sem nenhuma necessidade de utilizar a distribui¸cão de X. Após

encontrar a distribui¸cão assintótica do máximo, podemos encontrar informa¸cões da

dis-tribui¸cão de X através da seguinte rela¸cão:

H(x) = FX(n)(x) = P {X(n)≤ x} = F n X(x) ent˜ao, FX(x) = n p H(x). (2.11)

O Teorema 2.3.1 também é valido para variáveis aleatórias apresentando dependência

temporal e heteroscedasticidade. Neste caso existe algumas condi¸c˜oes a serem verificadas.

Em essˆencia existem similiaridade entre o Teorema de Fisher-Tippett (TFT) e o

Teo-rema Central do Limite (TCL). O TCL estabelece que dentro das fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao

não degeneradas apenas as distribui¸cões estáveis podem ser distribui¸cão limites. O TFT

estabelece que apenas as distribui¸cões máx-estaveis podem ser distribui¸cão limite, veja

Mendes [4].

2.4 M´

ax-Estabilidade

Como dito anteriormente uma das condi¸cões para as distribui¸cões do máximo

norma-lizado convergir para alguma das distribui¸cões da fam´ılia H(x) é ela ser máx-estável. A

defini¸cão mostra a condi¸cão de uma distribui¸cão ser máx-estável e diz que toda

distri-bui¸cão máx-estável converge para ela mesma, logo são distribui¸cões limite para o máximo

normalizado.

Defini¸cão 2.4.1 (Máx-Estabilidade) Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias i.i.d de

uma distribui¸c˜ao FX(x), e sejam dn ∈ R e cn > 0 constantes normalizadoras. ´E dito

(23)

2.4 M´ax-Estabilidade 22 max(X1, X2, ..., Xn) d = cnX + dn, (2.12) e temos que lim n→∞F n X(cnx + dn) = H(x).

Provando que as distribui¸cões máx-estáveis coincide com as distribui¸cões da fam´ılia H(x).

Teorema 2.4.2 A classe das distribui¸c˜oes que apresentam max-estabilidade coincide com

a classe de todas as distribui¸cões limite poss´ıveis (não degeneradas) para o máximo

pa-dronizado de vari´aveis aleat´orias i.i.d.

2.4.1 Dominio de Atra¸

c˜

ao

O Teorema de Fisher-Tippett tem a seguinte aplica¸c˜ao direta: Se [FX(cnx + dn)]n ´e

n˜ao degenerada quando n ´e suficientemente grande, para certas constantes positivas cn e

dn∈ R, ent˜ao [FX(x)]n− H x − d_n cn → 0, n → ∞. (2.13)

Para alguma H(x) pertencente as distribui¸c˜oes limites para m´aximos normalizados

e padronizados. Este fato permite que seja definido uma cole¸c˜ao de F_X0 s _{que disp˜}_oem

de uma mesma distribui¸cão limite. Chama-se Dom´ınio de Atra¸cão a cole¸cão de F_X0 s que

disp˜oe da mesma distribui¸c˜ao limite.

Defini¸cão 2.4.3 (Dom´ınio de Atra¸cão) Se a convergência 2.13 verifica, dizemos que

FX(x) pertence ao dom´ınio de atra¸cão do máximo da distribui¸cão de valores extremos

H(x). Nota¸c˜ao FX(x) ∈ M DA(H).

Entretanto a qualidade e a velocidade de convergência da distribui¸cão do máximo

para H(x) depende de FX(x), para cada FX(x) ∈ M DA(H). Como exemplo, temos o

m´aximo de uma Exponencial que converge mais rapidamente para uma Gumbel do que

ao máximo de uma Normal. Uma rela¸cão de equivalência para as F_X0 s _{pertencentes ao}

mesmo dom´ınio de atra¸cão pode ser definida através do conceito de equivalência de cauda.

(24)

denominadas equivalentes de cauda se ambas apresentarem um mesmo limite superior,

isto ´e, XFX = XGX e limx↑X_FX

FX

GX = c, para qualquer constante no intervalo (0, ∞).

2.5 Distribui¸

c˜

ao de Valores Extremos Generalizada

(GEV)

Os três tipos de distribui¸cões, Gumbel, Fréchet, e Weibull, são integrantes de uma

´

unica fam´ılia de distribui¸c˜oes: A distribui¸c˜ao de valores extremos generalizada

(Generali-zed Extreme Value, GEV ) padrão, que refere-se as distribui¸cões EV dentro de uma única

fam´ılia, parametrizadas somente pelo parˆametro ξ e ´e denotada por Hξ(x).

Hξ(x) =    e−(1+ξx) −1 ξ , se ξ 6= 0 1+ ξx > 0. e−e−x , se ξ = 0 (2.14)

Quando ξ = 0 que ocorre na condi¸cão de ξ → 0, a Hξ(x) adequa-se à distribui¸cão

de Gumbel. Quando ξ > 0 e ξ < 0 adequam-se as distribui¸c˜oes de Frechet e Weibull,

respectivamente.

A fam´ılia de loca¸c˜ao e escala ´e obtida, substituindo o x, por x−µ_σ , com µ ∈ R e

σ > 0, da seguinte forma: Hξ,µ,σ(x) =    e−(1+ξ(x−µσ )) −1 ξ , se ξ 6= 0 1+ ξ x−µ_σ > 0. e−e −(x−µ_σ ) , se ξ = 0 (2.15)

A densidade da distribui¸c˜ao generalizada (GEV) denotada por hξ,µ,σ(x), ´e obtida

derivando Hξ,µ,σ(x) e resulta na seguinte densidade (Considerando µ = 0):

hξ,µ,σ(x) =          e−(1+ξ(xσ)) −1 ξ ₁ σ(1 + ξ x σ) −1 ξ −1 , se ξ 6= 0 e − ∞ < x < −σ ξ ou ξ > 0 e x ≥−σ_ξ e−e−( x σ) 1 σe −x _, _se _{ξ = 0} _e x ∈ R. (2.16)

(25)

2.6 Teste de Aderˆencia 24

2.6 Teste de Aderˆ

encia

O teste de aderência de Pearson, é um teste de hipóteses não paramétrico, e o teste

verifica se uma popula¸cão P possui uma distribui¸cão X, ele testa a hipótese H0 : P = P0

com o n´ıvel de significˆancia α, ou seja:

(

H0 : P = P0

H1 : P 6= P0

(2.17)

O teste consiste em comparar os n´umeros observados em cada blocos com o n´umero

observado sob a hip´otese de que H0 ´e verdadeira. O procedimento consiste em considerar

classes, segundo as quais a vari´avel X, caracter´ıstica da popula¸c˜ao, pode ser classificada.

A vari´avel X pode ser qualitativa ou quantitativa, veja Bussab [8]. A tabela seguir

representa a forma geral para um teste de aderˆencia classificada em m classes.

Tabela 1: Representa¸cão da Divisão de uma Variável X em m Classes

Classes da vari´avel X A1 A2 ... Am Total

Observados O1 O2 ... Om Pm i=1Xi Esperados E1 E2 ... Em Pm i=1Xi

A estat´ıstica a seguir possui uma distribui¸c˜ao qui-quadrado com m − 1 graus de

liberdade. m X i=i (Oi− Ei)2 Ei ∼ χ2 (m−1) (2.18)

Onde Oie Ei representa os valores observados e esperados para os blocos de i= 1,...,m

respectivamente, ap´os o calculo da estat´ıstica observada (χ2

(obs)), o critério de decisão é se

P(χ2_m−1 > χ2_(obs)) > α, n˜ao se rejeita H0.

Um grande problema deste teste é que muitas vezes na prática é desconhecido os

parâmetros da distribui¸cão X, de acordo com Artes [9], é poss´ıvel estimar estes parâmetros

desconhecidos e o teste de aderˆencia poder´a ser ajustado para se adequar a essas

es-tima¸cões, a estat´ıstica 2.18 terá distribui¸cão qui-quadrado com m − k − 1 graus de

liber-dade, sendo k o n´umero de parˆametros estimados.

Antes da aplica¸cão do teste de aderência é necessário evitar que alguns casos ocorram,

s˜ao eles:

(26)

(ii) Mais de uma classe com Ei inferior a 1.

Caso alguns desse casos ocorra, a aproxima¸cão ao qui-quadrado não é mais apropriada,

al´em disso, o n´umero de classes para o teste deve respeitar a regra de Mann e Wald.

Defini¸cão 2.6.1 (Regra de Mann e Wald) O número de classes m para o teste de aderência

(27)

26

3 Materiais e M´

etodos

Neste estudo foram investigados 360 s´ıtios localizados na ´India, cada s´ıtio registrou a

temperatura m´axima anual de 1951 a 2014 observados em um “grid”, a Figura 3 apresenta

os sitios e os grids; obtendo uma amostra com 64 registros de temperatura m´axima. Como

mostra a Figura 3, os s´ıtios e grids foram alocados de forma sequencialmente, por´em essa

localiza¸cão não é a exata, além disso o interesse deste estudo é localizar microrregiões mais

vulner´aveis a temperaturas altas, em que a sobrevivˆencia humana esteja em risco. Logo

foi feito uma estima¸c˜ao das temperaturas nas microrregi˜oes, para estimar as temperaturas

máximas, foram verificadas se um ou mais grids sobrepôs uma microrregião e registrada

o máximo desse grids nelas. As microrregiões da Índia é apresentada na Figura 4.

Figura 3: Representa¸cão da Aloca¸cão das Temperaturas Máximas na Índia

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

(28)

Figura 4: Regi˜oes da India

A Índia é composta por 666 microrregiões, após a estima¸cão das temperaturas,

ape-nas uma microrregião não registrou nenhuma temperatura, ou seja, após a estima¸cão

obteve-se 665 amostras com 64 registros. An´alises descritivas foram feitas nesses dados e

apresenta¸cão das temperaturas observadas em microrregiões para todo o território.

Após a introdu¸cão das principais caracter´ısticas e conceitos relevantes em rela¸cão

as distribui¸c˜oes de valores extremos e da GEV, torna-se imprescind´ıvel a utiliza¸c˜ao de

métodos para a estima¸cão dos parâmetros ξ, µ, σ pertencentes a Hξ,µ,σ(x). As estimativas

para estes parˆametros podem ser obtidas por v´arios mecanismos estat´ısticos, incluindo o

Método dos Momentos, Método da Regressão, Método de Máxima Verossimilhan¸ca e o

Método dos L-Momentos. No entanto, neste trabalho é apresentado o Método de Máxima

Verossimilhan¸ca e o M´etodo dos L-Momentos, dado que os estimadores obtidos por esses

m´etodos apresentam boas propriedades, ajustes mais precisos e s˜ao os mais usados.

3.0.1 Estima¸

c˜

ao via M´

etodo de M´

axima Verossimilhan¸

ca

O Método de Máxima Verossimilhan¸ca é amplamente empregado para a determina¸cão

de estimadores pontuais. O princ´ıpio b´asico deste m´etodo firma-se na ideia de se encontrar

parˆametros que venham a maximizar a probabilidade de uma determinada amostra

repre-sentar de maneira mais adequada uma dada popula¸c˜ao. Ainda que em algumas ocasi˜oes

não seja poss´ıvel calcular os estimadores de máxima verossimilhan¸ca, estes são

consisten-tes, eficientes e assintoticamente normais em condi¸c˜oes relativamente suaves, possuindo

muitas vezes boas propriedades de convergˆencia e tornando-se assim uma escolha popular

(29)

3 Materiais e M´etodos 28

parˆametros ξ, µ, σ pertencentes a GEV, podem ser alcan¸cados de maneira num´erica ao

se maximizar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, ou seja, s˜ao os valores em R × R × R+ que

maximizam L(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm)) = m Y i=1 hξ,µ,σ(mi)I₁₊ξ σ(mi−µ)>0. (3.1)

A fun¸c˜ao de log-verossimilhan¸ca ´e dada por,

l(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm)) = log[L(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm))] = log[ m Y i=1 hξ,µ,σ(mi)]I₁₊ξ σ(mi−µ)>0 , (3.2) que ´e equivalente h´a l(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm)) = m X i=1 log[hξ,µ,σ(mi)]I₁₊ξ σ(mi−µ)>0, (3.3)

e (m1, ..., mm) refere-se a uma amostra de m m´aximos.

Os EMV dos parˆametros ξ, µ e σ, denotados por ξ, µ e σ respectivamente, podem ser

obtidos por intermédio da resolu¸cão de um sistema de equa¸cões não lineares, atingindo a

partir da diferencia¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca ou log-verossimilhan¸ca em rela¸cão

aos parˆametros.

• Para obter ξ basta resolver:

∂l(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm))

∂ξ = 0,

• Para obter µ basta resolver:

∂l(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm))

∂µ = 0,

• Para obter σ basta resolver:

∂l(ξ, µ, σ; (m1, ..., mm))

(30)

3.0.2 Estima¸

c˜

ao via M´

etodo de L-Momentos

Os L-momentos s˜ao tidos como varia¸c˜oes dos “Probability Weighted Moments”(PWM),

de Greenwood et al [10]. A estima¸c˜ao via L-Momentos apresenta a capacidade de

carac-terizar distribui¸c˜oes com caudas pesadas e, quando estimados, serem considerados mais

robustos a presen¸ca de valores extremos (outliers), os L-momentos possuem uma vantagem sobre os momentos convencionais.

Os L-momentos são medidas de posi¸cão, escala e forma das distribui¸cões de

probabi-lidade, similares aos momentos convencionais, por´em estimados por combina¸c˜oes lineares

da assimetria, da curtose e do coeficiente de varia¸c˜ao, veja Esmeria [11].

Segundo Hosking [12], os parˆametros estimados fazendo-se uso dos L-momentos

de-monstram, ocasionalmente, maior precis˜ao em amostras pequenas, se comparado com

as estimativas obtidas utilizando-se o M´etodo de M´axima Verossimilhan¸ca, ou seja, os

L-momentos s˜ao geralmente mais eficientes do que os EMV.

Os PWM de uma vari´avel aleat´oria Z podem ser definidos como:

ηp,r,s = E[Zp(F (Z))r(1 − F (Z))s].

No entanto, para este trabalho torna-se mais conveniente a utiliza¸c˜ao de um caso

particular, caracterizado por:

η1,r,0 = βr = E[Z(F (Z))r]. (3.4)

Os PWM amostrais de ordem r, com r = 0, 1, ..., m − 1, denotados por br, s˜ao os

estimadores n˜ao viesado dos PWM populacionais βr, e podem ser estimados por:

br = 1 m m X j=r+1 (j − 1)(j − 2)...(j − r) (m − 1)(m − 2)...(m − r)m(j) . (3.5)

Os L-Momentos λr+1, r = 0, 1, 2, ... (Ler Hosking [13]) s˜ao estipulados para vari´aveis

aleat´orias com esperan¸ca finita e podem ser descritos como

λr+1 =

r

X

j=0

(31)

3 Materiais e M´etodos 30

onde,

p∗_r,j = (−1)

r−j_{(r + j)!}

(j!)2_{(r − j)!} . (3.7)

e βj pode ser obtido utilizando-se a rela¸c˜ao 3.4.

No caso em que r = 0, denota-se λ1 0 L-momento relacionado com a loca¸c˜ao da

distribui¸c˜ao. Quando r assume os valores 1 e 2, nesta ordem, λ2(λ2 = 2β1− β0) e λ3(λ3 =

6β2− 6β1+ β0), s˜ao os L-momentos associados a escala e assimetria, respectivamente. O

λ2 por sua vez, deve ser comparado com o desvio padr˜ao σ, obtendo-se a seguinte rela¸c˜ao

σ ≥√3λ2.

Os L-momentos amostrais lr s˜ao estimadores n˜ao viesado de λr e podem ser definidos

da seguinte maneira lr+1 = r X j=0 p∗_r,jbj, r = 0, 1, 2, ..., m − 1, (3.8)

onde p∗_r,j é obtido da rela¸cão 3.7 e bj da rela¸cão 3.4.

Para as quantidades populacionais, s˜ao equacionados um n´umero fixo de L-momentos

amostrais equipolentes. Dessa forma, os parˆametros de uma distribui¸c˜ao podem ser

re-presentados em fun¸c˜ao dos L-momentos.

Para a distribui¸c˜ao de valores extremos generalizada tem-se

λ1 = µ − σ ξ{1 − Γ(1 − ξ)}, (3.9) λ2 = − σ ξ(1 − 2 ξ_{)(Γ(1 − ξ)),} _(3.10) λ3 λ2 = 2(1 − 3 ξ₎ (1 − 2ξ₎− 3, (3.11)

onde Γ(.) equivale a fun¸c˜ao gamma.

Com intuito de se estimar os parˆametros da GEV, ξ, µ e σ, os L-momentos

populacio-nais s˜ao substitu´ıdos pelos seus respectivos L-momentos amostrais, l1, l2, l3, nas equa¸c˜oes

3.9, 3.10, 3.11. Para se estimar o parâmetro ξ é necessário a resolu¸cão da equa¸cão 3.11,

(32)

Wallis [14]). ˆ ξ = −7, 8590c − 2, 9554c2, (3.12) onde c = 2 3+l3_l2 − log2 log3 e consequentemente ˆ σ = −l2ξ (1 − 2ξˆ_{)Γ(1 − ˆ}_ξ), (3.13) ˆ µ = l1+ ˆ σ ˆ ξ(1 − Γ(1 − ˆξ)). (3.14)

Os estimadores de L-momentos são únicos e apresentam v´ıcio e variância m´ınimos.

3.1 Testes Estat´ısticos

Independente do método utilizado para a realiza¸cão da estima¸cão dos parâmetros,

torna-se essencial a aplica¸c˜ao de testes estat´ısticos que sejam capazes de testar

formal-mente as suposi¸c˜oes do modelo e a qualidade do ajuste. Al´em dos testes estat´ısticos

formais é sempre conveniente a realiza¸cão de análises gráficas.

Com a intens˜ao de se testar a qualidade do ajuste realizado e a adequa¸c˜ao de

deter-minado modelo a distribui¸c˜ao Gumbel, pois sua express˜ao apresenta maior simplicidade,

nessa Se¸c˜ao 3.1 ser˜ao apresentados testes que podem ser aplicados as estimativas obtidas

pelos m´etodos de M´axima Verossimilhan¸ca e de L-momentos

3.1.1 Estimativas Obtidas Por M´

axima Verossimilhan¸

ca

Se as estimativas dos parˆametros da GEV foram obtidas por m´axima verossimilhan¸ca,

as seguintes estat´ısticas de teste podem ser utilizadas para se testar a suposi¸c˜ao de que

os dados sequem realmente a distribui¸c˜ao GEV(ver Chandra et al

1. As estat´ıstica de Kolmogorov-Sminorv, D+, D− e D,

2. A Estat´ıstica Kuiper, V.

(33)

3.1 Testes Estat´ısticos 32 D+ = maxi i m − Hξ(m(i)) , D−= maxi Hξ(m(i)− i − 1 m ) , D = max(D+, D−), V = D++ D−,

onde m(i) refere-se aos m´aximos ordenados e Hξ representa a distribui¸c˜ao GEV com

as estimativas obtidas.

A Tabela 2 exibe os valores cr´ıticos para amostras de m = 50 e m = ∞ (amostras

significativamente grande). Os n´ıveis de significˆancia abordados foram de 1% e 5%.

Tabela 2: Valores cr´ıticos para as estat´ısticas de teste D+_{, D}−_{, D e V .}

N´ıvel de Significˆancia √mD+ √_mD− √_mD √_mV

1% 0,940 0,944 0,988 1,639

5% 0,796 0,796 0,856 1,428

1% 0,957 0,957 1,007 1,671

5% 0,808 0,808 0,874 1,477

Para testar se o parâmetro ξ é estatisticamente zero, ou seja, que a distribui¸cão dos

ex-tremos se adequ´a a uma Gumbel, pode-se utilizar o Teste da Raz˜ao das Verossimilhan¸cas,

cuja metodologia se encontra a seguir.

As seguintes hip´oteses precisam ser testas

(

H0 = A distribui¸c˜ao dos Extremos ´e Gumbel

H1 = A distribui¸cão dos Extremos não é Gumbel

e a estat´ıstica de teste ´e representada por

Λ = −2(LGumbel− LGEV),

(34)

3.2) com a utiliza¸c˜ao das densidade de Gumbel e da GEV, nesta ordem, expressas com

suas respectivas estimativas adquiridas por m´axima verossimilhan¸ca.

A estat´ıstica de teste Λ deve ser comparada com a distribui¸c˜ao qui-quadrado com um

grau de liberdade (χ2

(1)), para um n´ıvel de significˆancia fixado.

3.1.2 Estimativas obtidas por L-Momentos

Se as estimativas dos parˆametros da GEV foram obtidas pelo m´etodos dos L-momentos,

o Teste da Qualidade do Ajuste de Sherman pode ser empregado para testar o erro

co-metido ao se substituir a distribui¸c˜ao exata (que apresenta n finito) pela distribui¸c˜ao

assint´otica.

O teste apresenta as seguintes hip´oteses

(

H0 = Os extremos seguem uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao GEV

H1 = Os extremos não seguem uma fun¸cão de distribui¸cão GEV

a estat´ıstica de teste ´e, Wm− Em Dm , onde Wm = 1 2 m+1 X i=1 Hξ(m(i)) − Hξ(m(i−1)) − 1 (m + 1) , Em = m m + 1 (m+1) e E_m2 + D2_m = 2m m+2_{+ m(m − 1)}(m+2) (m + 2)(m + 1)(m+2) ,

onde Hξ denota a distribui¸c˜ao GEV com as estimativas obtidas por L-momentos, m(i)

representa novamente os m´aximos ordenados, Hξ(m(0)) e Hξ(m(m+1)) assumem

respecti-vamente, 0 e 1.

(35)

3.2 Teste de Aderˆencia 34

ser calculado levando em considera¸c˜ao apenas a cauda direita da distribui¸c˜ao normal

padr˜ao.

3.2 Teste de Aderˆ

encia

Após toda estima¸cão dos parâmetros da GEV é preciso verificar se as estima¸cões

foram adequadas, e para isto foi utilizado o teste de aderˆencia ajustada. Na aplica¸c˜ao

deste teste precisa ficar atento com algumas regras para n˜ao haver resultados imprecisos

apresentados na Se¸c˜ao 2.6. Para este estudo foi utilizado m = 6 de forma a obedecer a

regra de Mann e Wald e evitar que mais de 20% dos valores esperados sejam inferior a 5

e mais de um inferior a 1. Os crit´erios para a divis˜ao de classes foram os quantis 20, 40,

50, 60, 80 da GEV para cada estima¸c˜ao.

Tabela 3: Representa¸c˜ao do Teste de Aderˆencia de Pearson

Quantis (−∞, Q20] (Q20, Q40] (Q40, Q50] (Q50, Q60] (Q60, Q80] (Q80, ∞)

N◦ O1 O2 O3 O4 O5 O6

Sendo Qq o quantil q da GEV estimada e Oi o n´umero de elementos da amostra que

adequam a classe; logo após a divisão das classes e contabilizado os números observados

´e calculado o p − valor da estat´ıstica ??, com m = 6, k = 3. Coles [15], afirma que

para verificar a eficiˆencia do modelo proposto pela TVE, ´e mais adequado utilizar o teste

gráfico apresentada na Se¸cão 3.3, com isso foi utilizada o teste de aderência para obter

medidas resumos (p-valor) para facilitar a averigua¸c˜ao das estimativas, e nas GEV que o

teste de Pearson rejeitou a hipótese nula, foi feita a análise gráfica por ser mais adequada.

3.3 Teste Gr´

afico

Coles [15] propõem uma análise gráfica da GEV com os parâmetros estimados para

verificar se o ajuste é adequado, através de gráfico de probabilidade, gráfico de

quantil-quantil, histograma com a curva da GEV, e gr´afico de retorno de n´ıveis. Este ´ultimo

teste, de acordo com o Coles ´e o melhor pois apresenta um intervalo de confian¸ca para

os dados de 95% e f´acil de verificar. Se todos os pontos ficarem dentro do intervalo, ou

(36)

●●●● ●●● ●●●●● ●● ●●●●●●●●●●● ●●● ●●●●●● ●●●●● ●● ●● ●●● ●● ●●●● ●●●●●●●● ●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ● ● ●● ● ●●●● ●●●● ●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●● ●●●● ●●●● ●●●●● ●●● ● ● ● ● 32 33 34 35 36 32 33 34 35 36 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

32 33 34 35 36 37 Return Period Retur n Le v el

Return Level Plot

●●●● ●● ●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●● ●●● ● ● ● ● Density Plot z f(z) 31 32 33 34 35 36 37 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 ● ● ● ●●●● ● ●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

Figura 5: Exemplo de um gr´afico de retorno

3.4 Modelagem e Previs˜

oes

Foi feita a modelagem utilizado a TVE apresentada na Se¸c˜ao 2.2 e os parˆametros

estimados foi utilizando a estima¸cão de máxima verossimilhan¸ca apresentada na Se¸cão

3.0.1. Após é verificada se os modelos preditivos estimados, são adequados, para isto foi

utilizado os testes de aderˆencia e gr´afica de Coles.

De acordo com Mendes [4], para obter previs˜ao para n anos, ´e calculado o quantil

Q₁₀₀₋1

n da GEV, a logica deste método é de que para n anos, uma observa¸cão passará

o quantil Q₁₀₀₋1

n, com isso foi feita previs˜oes para 10, 20, 50 anos. Para o estudo foi

(37)

36

4 An´

alise dos Resultados

A Figura 6 apresenta as temperaturas m´aximas observadas nos anos de 1951 e 2014.

Observou-se que boa parte do pa´ıs obteve uma temperatura m´axima acima de 43◦ Celsius

nos anos de 1951 e 2014, e que essas observa¸c˜oes se encontradas maiores concentradas na

região central da Índia. Além disto as regiões Leste e Sudoeste são as que observaram as

menores temperaturas m´aximas anuais, n˜ao ultrapassando a 35◦ Celsius.

Figura 6: Temperaturas M´aximas dos Anos de 1951 e 2014

(a) Temperaturas m´aximas no ano de 1951 (b) Temperaturas m´aximas no ano de 2014

Nas Regi˜oes Leste, Sudoeste e Noroeste, s˜ao as que apresentam maior crescimento

das temperaturas dos anos de 1951 a 2014, a Figura 7 exibe os gr´aficos das amplitudes

das temperaturas nas regi˜oes e o histograma delas. E bastante vis´ıvel o crescimento´

mencionado, porem houve um decr´escimo das temperaturas em varias microrregi˜oes da

(38)

Figura 7: Amplitude das Temperaturas M´aximas Anuais

(a) Amplitude por Regi˜ao

Amplitude Densidade −2 −1 0 1 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 (b) Histograma da Amplitude

A Figura 8 mostra os m´aximos e m´ınimos das temperatura m´aximas nesses 64 anos.

Essa Figura apresenta um resultado preocupante, quase todo o pa´ıs da ´India teve um ano

que se observou uma temperatura pr´oxima ou acima a 45◦ Celsius, e que em todos os

anos se observou temperaturas pr´oximas ou acima de 37.5◦ Celsius.

Figura 8: M´aximos e M´ınimos das Temperaturas M´aximas Anuais

(a) Maximos das Temperaturas M´aximas (b) Minimos das Temperaturas M´aximas

A Figura 9 apresenta o desvio padr˜ao das temperaturas m´aximas observadas. As

regi˜oes que houve menor varia¸c˜ao em suas temperaturas, foi a sul e a norte foi a que

(39)

4 An´alise dos Resultados 38

Figura 9: Desvio Padr˜ao das Temperaturas M´aximas Anuais

De acordo com o site Brasil Escola [16], a temperatura m´axima que o corpo humano

suportaria para a sobrevivência varia de acordo com a umidade do ar, já que o suor é

respons´avel pela libera¸c˜ao do calor presente no corpo humano, em dias que a umidade do

ar estiver alta, temperaturas acima de 40◦ Celsius ´e considerada de grande risco para a

sobrevivência. Com isto, dependendo da umidade do ar, a região central da Índia estaria

em grandes riscos, já que de acordo com a Figura 10 as médias das temperaturas máximas

anuais observadas j´a ultrapassam aos 40◦ Celsius.

(40)

Foi utilizada a GEV para modelagem das distribui¸c˜oes das 665 microrregi˜oes, com

os parâmetros ξ, µ e σ estimados pelo método de máxima verossimilhan¸ca; para obter

uma medida resumo da verifica¸c˜ao da eficiˆencia da modelagem da GEV nos dados para

as 665 microrregi˜oes, foi utilizado o teste de aderˆencia de Pearson; a Tabela 4 mostra

os resultados do teste sob a hip´otese nula (H0) que as amostras s˜ao oriundas da GEV

proposta.

Tabela 4: Resultados da aplica¸c˜ao do teste de aderˆencia de Pearson

p−valor Microrregi˜oes

< 0.01 14

≥ 0.01 651

Total 665

Este resultado informa que pelo teste de aderˆencia rejeitou-se a modelagem de 14

microrregiões, uma verifica¸cão mais detalhada foi feita nessas microrregiões para entender

tal resultado do teste de aderˆencia, presen¸cas de outlier e valores esperados iguais a 1

foram as causas para a rejei¸cão do teste. Na Se¸cão 2.6 foi explicado que para a verifica¸cão

dos modelos propostos pela GEV o mais ideal ´e o teste gr´afico proposto por Coles

apresen-tado na Se¸cão 3.3; logo para as 14 microrregiões que houve rejei¸cão no teste de Pearson,

foi feito o teste gráfico. O Anexo A contém os gráficos feitos para as 14 microrregiões e

constou-se que apesar da rejei¸cão inicial no teste de aderência, pelo teste gráfico não há

hipótese de rejei¸cão. Com isso para os 665 modelos propostos pela GEV, não há hipótese

para a rejei¸cão de nenhuma, todos os modelos são considerados eficientes, os cálculos das

previs˜oes foram feitas sob a GEV proposta.

Antes de calcular a previs˜ao para 10, 20 e 50 anos, foi verificada a eficiˆencia do

m´etodo de previs˜ao; para isto foi selecionada as amostras ate o ano de 2004 e feita a

previs˜ao para 10 anos seguintes. A de deixar claro que a previs˜ao para os anos seguintes,

não é uma previsão para o ano exatamente, mas sim o máximo previsto nos anos, ou

seja, para a previsão de 10 anos após o ano de 2004, terá o resultado do máximo previsto

de 2005 a 2014. Com isto claro, a Figura 11 apresenta o m´aximo observado de 2005

a 2014 e os valores previsto para 10 anos a partir de 2004. O m´etodo para a previs˜ao

foi eficiente, estimando os valores futuros bem pr´oximo dos valores reais observados. Os

valores previstos são menores que observados em várias microrregiões, o que indica a

existência de algum fator nos anos seguintes. É percept´ıvel que nas microrregiões que

houve aumento, s˜ao vizinhas uma das outras, pra este trabalho supomos a independˆencia

dos dados, mas esse resultado indica que á uma dependência, mas a GEV também é capaz

(41)

Figura 11: Temperatuas m´aximas observadas e previstas a partir de 2004

(a) M´aximo das Temperaturas M´aximas de 2005 a 2014

(b) Previs˜ao para 10 anos a partir de 2004

E por fim é apresentado os gráficos de previsão para 10, 20 e 50 anos a partir de 2014

e seus respectivos intervalos de confian¸ca de 95% (IC). Apesar de n˜ao ser muito vis´ıvel a

diferen¸ca das previs˜oes, elas possuem uma diferen¸ca em seu respectivos IC. As amplitudes

dos intervalos confian¸ca v˜ao aumentando quanto vai aumentando os anos das previs˜oes;

além disso não a uma melhora em rela¸cão a diminui¸cão das temperaturas máximas já que

a previsão feita para 10 anos é bem próxima da feita para 50 anos, a única diferen¸ca é no

(42)

A Figura 12 exibe a previs˜ao para as temperaturas m´aximas em 10 anos e seu IC, a

região central do pa´ıs corre grande risco, já que em 10 anos a previsão para boa parte

dessa região é uma temperatura máxima próxima a 45◦ Celsius, a região Leste e Sudoeste

s˜ao as que menos correm risco.

Figura 12: Previs˜ao da Temperatura M´axima para 10 anos e seu IC

(a) Limite Inferior do IC para Previs˜ao de 10 anos (b) Limite Superior do IC para Previs˜ao de 10 anos

(43)

A Figura 13 exibe a previs˜ao das temperaturas m´aximas para 20 anos, da mesma

forma para a previsão de 10 anos, não a uma melhora significativa; além disso a diferen¸ca

das duas previsões é maior no intervalo de confian¸ca, a previsão em si não difere muito.

Apesar das temperaturas previstas de boa parte do pa´ıs estarem pr´oxima de 45◦, que ´e

perto do limite para a sobrevivˆencia humana dependendo da umidade do ar; a um leve

crescimento em rela¸cão as duas previsões, o que é um resultado satisfatório.

(44)

Finalmente, a Figura 14 exibe as temperaturas m´aximas previstas para 50 anos. Como

mencionado, n˜ao a uma diferen¸ca grande das previs˜oes anteriores o que pode ser

conside-rado um resultado satisfatório, porém as temperaturas em boa parte do pa´ıs é de grande

risco.

(45)

44

5 Conclus˜

ao

Este trabalho analisou as temperaturas m´aximas anuais observadas de 1951 at´e 2014,

e estimou-as em uma análise em microrregiões, das 666 regiões, obteve-se dados para

665. As análises descritivas, expôs um resultado preocupante na região central do pa´ıs,

que teve temperaturas máximas observadas entre 40◦ e 45◦ Celsius, o que é próximo do

limite para a sobrevivˆencia humana, de acordo com o site Brasil Escola [16]. Apesar das

regiões Leste e Sudoeste apresentarem menores temperaturas máximas, foram as regiões

que houve o maior crescimento delas.

Feitas as an´alises foi estimado os parˆametros da GEV e utilizou-se os testes de

aderência e gráfico para verificar a eficiência, e foi considerado que os 665 modelos foram

eficientes; e feita previs˜oes utilizando esses modelos. Como feito para os modelos da GEV,

foi feita uma análise da previsão, para verificar sua eficiência, que também foi considerada

satisfatória, além disso através dessa análise verificou-se que existe uma dependência

es-pacial dos dados. Por fim, feitas as previs˜oes para 10, 20 e 50 anos; concluiu-se que n˜ao

há uma melhora nas temperaturas máximas que é um resultado preocupante, porém não

h´a um crescimento exponencial nas temperaturas, o que pode considerar satisfat´orio.

Para este trabalho, foi feito um estudo apenas de an´alises descritivas e a modelagem

através da GEV; porém terá continuidade em trabalhos futuros com os seguinte objetivos:

(i) Um estudo das microrregi˜oes com foco na Teoria de Copulas;

(ii) Identifica¸c˜ao das microrregi˜oes com maiores probabilidade as temperaturas altas;

(iii) C´alculos de correla¸c˜ao espacial;

(46)

Referˆ

encias

[1] FISHER, R.; TIPPETT, L. H. C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1928.

[2] GUMBEL, E. J. Statistics theory of extreme values and some pratical applications. Nat. Bureau of Standards Applications Mathmatics Series, 1954.

[3] GNEDENKO, B. V. Sur la distribution limite du terme maximum dune serie. [S.l.]: Annals of Mathematics, 1943.

[4] MENDES, B. V. de M. Introdu¸cão à Análise de Eventos Extremos. [S.l.]: E-papers,

2004.

[5] SANFINS, M. A. Copulas para Distribui¸c˜oes Generalizadas de Valores Extremos

Mul-tidimensionais. [S.l.]: Publica¸c˜ao Academica, 2009.

[6] PIRES, G. L. G. Teoria dos Valores Extremos: Valor em Risco Para Ativos de Renda

Vari´avel. [S.l.]: Publica¸c˜ao Academica, 2008.

[7] JAMES, B. R. Probabilidade: um Curso em n´ıvel intermedi´ario. [S.l.]: Projeto

Eucli-des, 1981.

[8] MORETTIN, P.; BUSSAB, W. de O. Estat´ıstica b´asica.

Saraiva, 2012. ISBN 9788502136915. Dispon´ıvel em:

<https://books.google.com.br/books?id=8mUrywAACAAJ>.

[9] ARTES, R. Teste Qui-quadrado de aderˆencia. [S.l.], 2014.

[10] ARTHUR, G. J. et al. Probability weighted moments: Definition and

re-lation to parameters of several distributions expressable in inverse form.

Water Resources Research, v. 15, n. 5, p. 1049–1054. Dispon´ıvel em:

<https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1029/WR015i005p01049>.

[11] VALVERDE, A. E. L. et al. Momentos-l: Teoria e aplica¸c˜ao em hidrologia. v. 28, 12

2004.

[12] HOSKING, J. R. M.; WALLIS, J. R.; WOOD, E. F. Estimation of the generali-zed extreme-value distribution by the method of probability-weighted moments. Te-chnometrics, [Taylor Francis, Ltd., American Statistical Association, American So-ciety for Quality], v. 27, n. 3, p. 251–261, 1985. ISSN 00401706. Dispon´ıvel em: <http://www.jstor.org/stable/1269706>.

(47)

Referˆencias 46

[13] HOSKING, J. R. M. L-moments: Analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), [Royal Statistical Society, Wiley], v. 52, n. 1, p. 105–124, 1990. ISSN 00359246. Dispon´ıvel em: <http://www.jstor.org/stable/2345653>.

[14] HOSKING, J. R. M.; WALLIS, J. R. Regional Frequency Analysis: An Approach Based on L-Moments. [S.l.]: Cambridge University Press, 1997.

[15] COLES, S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. [S.l.]: Springer Series in Statistics, Springer: Berlin., 2001.

[16] QUAL ´e a maior temperatura que o corpo pode aguentar? Accessed: 12/2018.

Dis-pon´ıvel em:

(48)

ANEXO A -- An´

alises Gr´

aficas de Coles

Esse Anexo apresenta as an´alises gr´aficas dos modelos que foram rejeitados no teste

de aderˆencia. ●●●●●●●●●● ●● ●● ●●●● ●● ●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ●● ● ● ●●● ●● ●●● ●●●● ●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●● ● 30 32 34 36 30 32 34 36 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

28 30 32 34 36 Return Period Retur n Le v el

●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●● ● Density Plot z f(z) 28 30 32 34 36 0.00 0.10 0.20 ●● ●● ●●●●●●● ●●● ●● ● ●●● ●●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● (d) ●●●●●●●●●● ●● ●● ●●●● ●● ●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ●● ● ● ●●● ●● ●●● ●●●● ●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●● ● 30 32 34 36 30 32 34 36 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

28 30 32 34 36 Return Period Retur n Le v el

●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●● ● Density Plot z f(z) 28 30 32 34 36 0.00 0.10 0.20 ●● ●● ●●●●●●● ●●● ●● ● ●●● ●●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● (e) ●●●●●●●●●●●●● ●●●● ●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●● ●● ●●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ●● ●●● ●●●● ●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●● ●●● ●● 38 39 40 41 38.0 39.0 40.0 41.0 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

38 39 40 41 Return Period Retur n Le v el

●●●●● ●●●●●●●● ● ●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ●● ●● Density Plot z f(z) 38 39 40 41 0.0 0.2 0.4 0.6 ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● (f) ●●●●●●●●●●●●● ●●●● ●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●● ●● ●●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ●● ●●● ●●●● ●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●● ●●● ●● 38 39 40 41 38.0 39.0 40.0 41.0 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

●●●●● ●●●●●●●● ● ●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ●● ●● Density Plot z f(z) 38 39 40 41 0.0 0.2 0.4 0.6 ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● (g)

(49)

Anexo A -- An´alises Gr´aficas de Coles 48 ●●●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●● ●●●● ●●●●●● ● ●●●● ●●●●●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ● ● ● ●●●● ●●●● ● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●● ●●●●●● ● ● 31.5 32.0 32.5 33.0 33.5 34.0 31.5 32.5 33.5 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

31.5 32.5 33.5 34.5 Return Period Retur n Le v el

● ●● ●●●● ●●● ●● ●●●●● ● ●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●● Density Plot z f(z) 31.0 32.0 33.0 34.0 0.0 0.2 0.4 0.6 ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●● (h) ●●●●● ●●●●●●●● ●● ●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●● ●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ● ●● ●● ●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●● ● ● 31.5 32.5 33.5 34.5 32 33 34 35 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

●●● ●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●● ● ● Density Plot z f(z) 31 32 33 34 35 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ● ● ● ● ●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● (i) ●●●●● ●●●●●●●● ●● ●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●● ●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ● ●● ●● ●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●● ● ● 31.5 32.5 33.5 34.5 32 33 34 35 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

●●● ●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●● ● ● Density Plot z f(z) 31 32 33 34 35 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ● ● ● ● ●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● (j) ●●●●●●●●●●● ●●●● ●●●● ●●●● ● ●●●●●● ●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Probability Plot Empirical Model ●● ● ●● ● ●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●● ●● ● ● 42 43 44 45 46 42 43 44 45 46 Quantile Plot Model Empir ical

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

41 42 43 44 45 46 Return Period Retur n Le v el

●●● ●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●● ● ● ● Density Plot z f(z) 41 42 43 44 45 46 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 ● ● ● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●● ●●●● ●●●●● ●● ●●●●●●●● ●● ●●●●●●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● (k)