Organização de Computadores - Aula 4

Conversão de Bases

 Notação Posicional – Base Decimal

 Desde o inicio da civilização o homem vem adotando formas e métodos

para representar os números, tornando possível contar objetos e efetuar

operações aritméticas.

 A forma mais empregada de representação numérica é a chamada

notação posicional. Nela os algarismos componentes de um número

assumem valores diferentes, dependendo de sua posição relativa no

número.

 O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo.

Desse modo, é a posição do algarismo ou digito que determina seu valor.

 A formação de números e as operações com eles efetuados, dependem,

nos sistemas posicionais, da quantidade de algarismos diferentes

disponíveis no referido sistema.

Conversão de Bases

 Notação Posicional – Base Decimal

 Dá muito tempo a cultura ocidental adotou um sistema de numeração que

possui dez diferentes algarismo – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – e, por essa razão, foi

chamado de sistema decimal.

 A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de

numeração é chamado de base, a base serve para contarmos grandezas

maiores, indicando a noção de grupamento. O sistema de dez algarismos,

mencionado anteriormente, tem base 10, outro sistema que possua

apenas dois algarismos diferentes (0 e 1) é de base 2.

Conversão de Bases

 Notação Posicional – Base Decimal

 Para exemplificar o conceito de sistema posicional. Seja o número 1505,

representado na base 10, escrito da seguinte forma 1 5 0 5 ₁₀.

 Por ser a base mais comum, dispensa-se o indicador de base, escrevendo

apenas o numero 1505, sendo ele composto por 4 dígitos e cada algarismo

possui um valor correspondente a sua posição no número.

Conversão de Bases

 Notação Posicional – Base Decimal

 Sendo assim, o primeiro 5 (algarismo mais a direita) representa 5

unidades, assim sendo, o valor absoluto do algarismo é igual ao seu valor

relativo, por se tratar da primeira posição.

 5 X 10: = 5

 O outro número 5, que ocupa a segunda posição, vale 5 vezes a potência

de 2 da base 10.

 5 X 10² = 500

 E o número mais a esquerda vale 1 vez a potência 3 da base 10.

 1 X 10³ = 1000

 O valor total do número seria:

 1000 + 500 + 0 + 5 = 1505₁₀

Conversão de Bases

 Notação Posicional – Base Decimal

 Generalizando, num sistema qualquer de numeração posicional, um

número N é representado da seguinte forma:

 N = (dₓ₋₁ dₓ₋₂ dₓ₋₃ ... d₁ d₀)ᵥ

 Onde:

 d - indica cada algarismo do número

 x - 1, x – 2, 1, 0 – indicam a base de numeração.

 v – Indicam a base de numeração

 x – indica o número de digitos inteiros.

 O valor do número pode ser obtido da seguinte somatória:

 N = dₓ₋₁ X vˣ¯; + dₓ₋₂ X vˣ¯< + ... + d₁ X v¹ + d₀ X v:

Conversão de Bases

 Notação Posicional – Base Decimal

 Desse modo, na base 10, podemos representar um número N = 3748,

onde:

 x = 4 (quatro dígitos inteiros)

 Utilizando a fórmula apresentada

 dₓ₋₁ = 3 ou d₃ = 3;

 dₓ₋₂ = 7 ou d₂ = 7;

 d₁ = 4;

 d₀ = 8;

 Ou

 N = 3 X 10³ + 7 X 10² + 4 X 10¹ + 8 X 10: = 3748₁₀

 N = 3000 + 700 + 40 + 8 = 3748₁₀

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Entre bases diferentes de 10, consideremos a base 2 e potências de 2,

visto que todo computador representa internamente as informações em

algarismo binários, ou seja, trabalha em base 2.

 Como os números representados em base 2 são muito extensos (quanto

menor a bases de numeração, maior é a quantidade de algarismos

necessários para indicar um dado valor), e, portanto, de difícil

manipulação visual, costuma-se representar externamente os valores

binários em outras bases de valor mais elevado.

 Isso permite maior compactação de algarismos e melhor visualização dos

valores. Em geral, usam-se as bases octal e hexadecimal, em vez da base

decimal, por ser mais simples e rápido converter valores binários (base2)

para valores em bases múltiplas de 2.

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Utilizando-se a notação posicional indicada anteriormente,

representam-se números em qualquer barepresentam-se:

 1011₂ - base 2

 342₅ - base 5

 257₈ - base 8

 No entanto, nas bases diferentes de 10, o valor relativo do algarismo (valor

dependente de sua posição no numero) é normalmente calculado

usando-se os valores resultantes de operações aritméticas em bausando-se 10 e não na

base do numero é, portanto, o valor total do numero na base usada.

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Exemplo 3.1

 Seja o número na base 2: (1011)₂

 Se aplicarmos a regra teríamos

 1 X 2³ + 0 X 2² + 1 X 2¹ + 1 X 2: = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

 Este valor 11 está expresso na base 10 e não na base 2. Portanto

será (11) ₁₀

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Exemplo 3.2

 Seja o número na base 5: (1043)₅

 Se aplicarmos a regra teríamos

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Sobre este caso, podemos concluir:

a) 0 numero mínimo de algarismos diferentes de uma base é igual ao valor da base.

Exemplo:

• na base 10 temos 10 dígitos: de 0 a 9;

• na base 2 temos apenas dois dígitos: de 0 e 1; • na base 5 temos cinco dígitos: de 0 a 4.

b) 0 valor do algarismo mais a esquerda (mais significativo) de um numero de x algarismos inteiros é obtido pela multiplicação de seu valor absoluto (algarismo dₓ₋₁ ) pela base elevada a potencia (x - 1), ou seja, (dₓ₋₁ X bˣ¯;). c) 0 valor total do numero e obtido somando-se n valores, cada um

expressando o valor relativo de um dos n algarismos componentes do numero.

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Exemplo 3.3

a)

Seja o número na base 3: (375)₁₀ N= 3 ( 3 algarismos)

 Se aplicarmos a regra teríamos:

 3 X 10² + 7 X 10¹ + 5 X 10: = (3 produtos)

 300 + 70 + 5 = (3 valores a somar)

b) 11101₂ N=5 (5 algarismos)

 Se aplicarmos a regra teríamos:

 1 X 2⁴ + 1 X 2³ + 1 X 2² + 0 X 2¹ + 1 X 2 : = (5 produtos)

 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29 ₁₀ (5 valores a somar)

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 A base do sistema binário é 2 e, consequentemente, qualquer numero quando

representado nesse sistema, consiste exclusivamente em dígitos 0 e 1. 0 termo

digito binário é chamado bit, contração do termo inglês bigary digit.

 Por exemplo, o numero binário 11011 possui cinco dígitos ou algarismos

binários. Diz-se que o referido número e constituído de 5 bits.

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 A Em bases de valor superior a 10, usam-se letras do alfabeto para a

representação de algarismos maiores que 9.

 Uma dessas bases e especialmente importante em computação trata-se da

base 16 ou hexadecimal, por ser de valor potencia de 2 (com a base 8).

 Nessa base, os "algarismos" A, B, C, D, E e F representam, respectivamente, os

valores (da base 10): 10, 11,12, 13, 14 e 15.

 Na base 16 (hexadecimal), dispomos de 16 algarismos (não números)

diferentes: 0, 1, 2, 3, ..., 9,A,B,C,D,E e F.

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Um numero nessa base é representado na forma posicional: (1A7B)₁₆

 0 seu valor na base 10 será obtido usando-se a fórmula:

 1 x 16³ + 10 X 16² + 7 X 16¹ + 11 X 16:

 4096 + 2560 + 112 + 11 = 67791₁₀

 Observemos que no cálculo foram usados os valores 10 (para o algarismo A) e

11 (para o algarismo B) para multiplicar as potências de 16. Por isso,

obtivemos o valor do numero na base 10.

Em outras palavras, utilizamos valores e regras de aritmética da base 10 e,

por isso, o resultado encontrado é um valor decimal. A Tabela 3.1 mostra a

representação de números nas bases 2, 8, 10 e 16.

Representação dos Dados

 Exercícios

1) Converta para base 10

a)

10 ₂

b) 1011 ₂

c)

1111 ₂

d) 110101 ₂

e) 100101 ₂

f)

100011 ₂

g)

1001001 ₂

h) 1011101 ₂

i)

1110001 ₂

Representação dos Dados

 Exercícios

1) Converta para base 10

a)

71 ₈

b) 44 ₈

c)

75 ₈

d) 36 ₈

e) 107 ₈

f)

177 ₈

g)

834 ₈

h) 457 ₈

Representação dos Dados

 Exercícios

1) Converta para base 10

a)

44 ₅

b) 31 ₅

c)

102 ₅

d) 133 ₅

e) 434 ₅

f)

423 ₅

Conversão de bases

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Pela tabela, podemos observar que os dígitos octais e hexadecimais

correspondem a combinações de 3 (octais) e 4 (hexadecimais) bits (algarismos

binários). Sendo a base desses sistemas de valor maior que a base 2 e tendo

em vista essa particularidade na representação de números nas bases 8 e 16

em relação a base 2, verifica-se que e possível converter rapidamente

números da base 2 para as bases 8 ou 16, ou vice-versa.

Conversão de bases

 Outras bases de Numeração

 Por exemplo, o numero (101111011101), na base 2, possui 12 algarismos

(bits), mas pole ser representado com quatro algarismos octais ou com apenas

três algarismos hexadecimais:

 (101111011101)₂ = (5735)₈ porque 101 = 5; 111 = 7; 011 = 3 e 101 = 5

 (101111011101) ₂ = (BDD)₁₆ porque 1011 = B; 1101 = D; 1101 = D.

 Uma vez entendido como representar números em notação posicional, e

como esta notação e aplicável em qualquer base inteira, podemos exercitar a

conversão de números de uma base para outra.

 Interessa-nos, principalmente, verificar o processo de conversão entre bases

múltiplas de 2, e entre estas e a base 10, e vice-versa.

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 2

 Entre Bases 2 e 8

 Como 8 = 2³, um numero binário (base 2) pode ser facilmente convertido para

o seu valor equivalente na base 8 (octal).

 Se o numero binário for inteiro, basta dividi-lo, da direita para a esquerda, em

grupos de 3 bits (o ultimo grupo, a esquerda, não sendo múltiplo de 3,

preenche-se com zeros a esquerda). Então, para cada grupo, acha-se o

algarismo octal equivalente, conforme mostrado na Tabela 3.1.

 A conversão de números da base 8 para a 2 e realizada de forma semelhante,

no sentido inverso; substitui-se cada algarismo octal pelos seus 3 bits

correspondentes (ver Tabela 3.1).

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 2

 Entre Bases 2 e 8

 Exemplo 3.4

1) (111010111)₂ = ( )₈

(111) (010) (111)₂ = (727),

2) (1010011111)₂ = (

)₈

(001) (010) (011) (111)₂ = (1237)₈

3) (327)₈ = (

)₂

(011) (010) (111) ₂ = (011010111) ₂ ou (11010111) ₂

Obs.: Naturalmente, despreza-se o(s) zero(s) a esquerda do numero.

4) (673)₈ = ( )₂

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 2

 Entre Bases 2 e 16

 0 procedimento de conversão entre números binários e hexadecimais (base

16) é idêntico ao da conversão entre as bases 2 e 8, exceto que, neste caso, a

relação é 16 = 2⁴.

 Desse modo, um algarismo hexadecimal é representado por 4 bits (ver Tabela

3.1). Converte-se um numero binário em hexadecimal, dividindo-se este

número em grupos de 4 bits da direita para a esquerda.

 A conversão de hexadecimal para binário é obtida substituindo-se o algarismo

hexadecimal pelos 4 bits correspondentes, de acordo com os valores indicados

na Tabela 3.1.

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 2

 Entre Bases 2 e 16

 Exemplo 3.5

1) (1011011011)₂ = ( )₁₆

(0010) (1011) (1011) ₂ = (2DB) ₁₆

2) (10011100101101)₂ = ( )₁₆

(0010) (0111) (0010) (1101) ₂ = (272D) ₁₆

3) (306)₁₆ = ( )₂

(0011) (0000) (0110) ₂ = (1100000110) ₂

4) (F50)₁₆ = ( )₂

(1111) (0101) (0000)₂ = (111101010000)₂

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 8

 Entre Bases 8 e 16

 0 processo de conversão utiliza os mesmos princípios antes apresentados. No

entanto, como a base de referencia para as substituições de valores é a base 2,

esta deve ser empregada como intermediaria no processo.

 Ou seja, convertendo-se da base 8 para a base 16, deve-se primeiro efetuar a

conversão para a base 2 (como mostrado nos subitens anteriores) e depois

para a base 16. E o mesmo ocorre se a conversão for da base 16 para

a base 8.

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 8

 Entre Bases 8 e 16

Exemplo 3.6

1) (3174)₈ = ( )₁₆

Primeiro, converte-se o número da base 8 para a base 2:

(011) (001) (111) (100)₂ = (011001111100)₂

Em seguida, converte-se da base 2 para a base 16, separando-se os

algarismos de 4 em 4, da direita para a esquerda:

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 8

 Entre Bases 8 e 16

2) (254)₈ = ( )₁₆

Primeiro, converte-se o número da base 8 para a base 2:

(010) (101) (100)₂ = (010101100)₂

Em seguida, converte-se da base 2 para a base 16, separando-se os

algarismos de 4 em 4, da direita para a esquerda:

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 8

 Entre Bases 8 e 16

3) (2E7A)₁₆ = ( )₈

Primeiro, converte-se o número da base 16 para a base 2:

(0010) (1110) (0111) (1010)₂ = (0010111001111010)₂

Em seguida, converte-se da base 2 para a base 16, separando-se os

algarismos de 4 em 4, da direita para a esquerda:

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 8

 Entre Bases 8 e 16

4) (3C7)₁₆ = ( )₈

Primeiro, converte-se o número da base 16 para a base 2:

(0011) (1100) (0111)₂ = (1111000111)₂

Em seguida, converte-se da base 2 para a base 16, separando-se os

algarismos de 4 em 4, da direita para a esquerda:

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

• A conversão de um número, representado em uma base B qualquer, para seu

correspondente valor na base 10 e realizada através da Equação vista

anteriormente.

• A melhor maneira de compreender o processo de conversão consiste

na realização de alguns exemplos práticos, onde se indica, detalhadamente, a

aplicação da referida equação.

• Os exemplos apresentados referem-se apenas a números inteiros. 0

procedimento de obtenção de algarismos fracionários de uma base B, é

bastante semelhante se considerarmos apenas a parte fracionaria do número

N, isto é, N = d₋₂ X Bᵣ¯< + ... d₋ₓ X Bᵣ¯ˣ onde x é a quantidade de algarismos

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

Exemplo 3.7

1) (101101)₂ = ( )₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 2

x = 6 (a base origem do número a ser convertido) (6 algarismos)

x - 1 = 5 (expoente do 1.° produto mais a esquerda)

dₓ₋₁ = 1 (algarismo mais a esquerda)

1º. Produto: dₓ₋₁ X bˣ¯; = 1 X 2⁵

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

2) (27)₈ = (

)₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 8

x = 2

x - 1 = 1

dₓ₋₁ = 2 (algarismo mais a esquerda)

2 X 8¹ + 7 X 8: =

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

3) (2A5)₁₆ = (

)₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 16

x = 3

x - 1 = 2

dₓ₋₁ = 2 (algarismo mais a esquerda)

2 X 16² + 10 X 16¹ + 5 X 16: =

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

4) (6734)₈ = ( )₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 8

x = 4

x - 1 = 3

dₓ₋₁ = 6 (algarismo mais a esquerda)

6 X 8³ + 7 X 8² + 3 X 8¹ + 4 X 8: =

3072 + 448 + 24 + 4 = 3548₁₀

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

5) (27)₈ = (

)₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 8

x = 2

x - 1 = 1

dₓ₋₁ = 2 (algarismo mais a esquerda)

2 X 8¹ + 7 X 8: =

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

6) (457)₉ = (

)₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 9

x = 3

x - 1 = 2

dₓ₋₁ = 4 (algarismo mais a esquerda)

4 X 9² + 5 X 9¹ + 7 X 9: =

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de B

 Entre Bases B e 10

7) (243)₅ = (

)₁₀

Substituindo, na equação as letras pelos valores do exemplo, teremos:

b = 5

x = 3

x - 1 = 2

dₓ₋₁ = 2 (algarismo mais a esquerda)

2 X 5² + 4 X 5¹ + 3 X 5: =

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

 A conversão de números, representados na base 10, para seus valores

equivalentes em uma base B qualquer é efetuada através de um processo

inverso ao do subitem anterior (base B para base 10).

 A conversão e obtida dividindo-se o número decimal pelo valor da base

desejada; o resto encontrado é o algarismo menos significativo do valor na

base B (mais a direita).

 Em seguida, divide-se o quociente encontrado pela base B; o resto é o

algarismo seguinte (a esquerda); e assim, sucessivamente, vão-se dividindo os

quocientes pelo valor da base até se obter quociente de valor zero.

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

 Em cada divisão, o resto encontrado é um algarismo significativo do número

da nova base, o primeiro resto encontrado é o valor do algarismo menos

significativo (mais a direita), e o último resto será o algarismo mais

significativo (mais a esquerda).

 Na realidade, o algoritmo de conversão pode ser definido com vários critérios

de parada, tais como:

a)

Enquanto o quociente for diferente de zero:

 dividir dividendo por divisor;

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

b) Enquanto o dividendo for maior que o divisor:

 dividir dividendo por divisor;

 extrair resto corno algarismo e coloca-lo a esquerda do anterior;

 repetir.

 Usar o dividendo (que agora e menor que o divisor) como ultimo

algarismo a esquerda (algarismo mais significativo).

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B



Exemplo 3.8

1) (3964)₁₀ = ( )₈

 3964/8 = 495 resto é = 4 (algarismo menos significativo)

 495/8 = 61

resto é = 7

 61/8 = 7

resto é = 5

 7/8 = 0

resto é = 7 (algarismo mais significativo)

 0 número é, então (7574)₈

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

2) (483)₁₀ = ( )₈

 483/8 = 60

resto é = 3 (algarismo menos significativo)

 60/8 = 7

resto é = 4

 7/8 = 0

resto é = 7 (algarismo mais significativo)

 0 número é, então (743)₈

 Para verificar, façamos o processo inverso, isto é: converter (743)₈

para a base 10.

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

3) (45)₁₀ = ( )₂

 45/2 = 22

resto é = 1 (algarismo menos significativo)

 22/2 = 11

resto é = 0

 11/2 = 5

resto é = 1

 5 / 2 = 2

resto é = 1

 2 / 2 = 1

resto é = 0

 1 / 2 = 0

resto é = 1 (algarismo mais significativo)

 0 número é, então (101101) ₂

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

4) (97)₁₀ = ( )₂

 97/2 = 48

resto é = 1 (algarismo menos significativo)

 48/2 = 24

resto é = 0

 24/2 = 12

resto é = 0

 12 / 2 = 6

resto é = 0

 6 / 2 = 3

resto é = 0

 3 / 2 = 1

resto é = 1

 1 / 2 = 0

resto é = 1 (algarismo mais significativo)

 0 número é, então (1100001) ₂

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

5) (2754)₁₀ = ( )₁₆

 2754/16 = 172 resto é = 2

- 2 ₁₆ (algarismo menos significativo)

 172 / 16 = 10 resto é = 12

- C ₁₆

 10 / 16 = 0 resto é = 10

- A ₁₆ (algarismo mais significativo)

 0 número é, então (AC2) ₁₆

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e B

6) (490)₁₀ = ( )₁₆

 490/16 = 30 resto é = 10

- A ₁₆ (algarismo menos significativo)

 30 / 16 = 1

resto é = 14

- E ₁₆

 1 / 16 = 0

resto é = 1

- 1 ₁₆ (algarismo mais significativo)

 0 número é, então (1EA) ₁₆

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e 2

 E possível simplificar o processo de conversão de valores da base 2 para a base 10 e vice-versa. Para tanto, basta considerar o seguinte:

a) A Equação estabelece o valor de um número pela soma de produtos:  dₓ₋₁ X Bˣ¯;,+...

b) Cada produto e constituído de duas parcelas: a primeira é o algarismo correspondente a posição em que se encontra e a segunda é a potencia da base, cujo índice indica a posição.

c) No caso de a base ser 2, os algarismos só podem assumir o valor 0 ou 1. Dessa forma, o resultado do produto somente pode ser 0 ou o próprio valor da potencia de 2. Exemplos:

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e 2

d) As potencias de 2, da direita para a esquerda, crescem da seguinte forma: 2 : = 1 (potencia zero, correspondente a posição mais a direita)

2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16 etc.  Ou seja, 6 5 4 3 2 1 0 <- posição 2 ⁶ _{2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2: <- potência} 64 32 16 8 4 2 1 <- valor

 Em consequência, converter um numero da base 2 para a base 10 consiste essencialmente em somar as potencias de 2 correspondentes as posições onde o

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e 2

 Exemplo 3.9

 Efetuar as seguintes conversões:

1.

(110011)² = ( ) ₁₀

5 4 3 2 1 0 <- posição 1 1 0 0 1 1 <- algarismos 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2: <- potência 32 16 - - 2 1 <- valor  Valores base 10: 32 + 16 + 2 + 1 = (51)₁₀

Conversão de bases

 Conversão de Bases Potência de 10

 Entre Bases 10 e 2

2.

(100111)² = ( ) ₁₀

5 4 3 2 1 0 <- posição 1 0 0 1 1 1 <- algarismos 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2: <- potência 32 - - 4 2 1 <- valor  Valores base 10: 32 + 4 + 2 + 1 = (39)₁₀

Conversão de bases

 Exercícios

1) Converter os seguintes valores decimais em valores binários equivalentes (conversão de base 10 Para base 2):

a) 329 e) 135 b) 284 f ) 215 c) 473 g ) 581 d) 69 h ) 197

2) Converter os seguintes valores binários em valores decimais equivalentes (conversão de base 2 Para base 10):

a) 11011101010 e) 111001101001 b) 11001101101 f ) 111111000011 c) 10000001111 g )101100011000 d) 11101100010 h)100000000110

Conversão de bases

 Exercícios

3) Converter os seguintes valores decimais em valores octais equivalentes (conversão de base 10 para base 8):

a) 177 e) 343 b) 254 f ) 27 c) 112 g ) 821 d) 719 h ) 197

4) Converter os seguintes valores decimais em valores binários equivalentes (conversão de base 10 para base 2):

a) 417 e) 251 b) 113 f ) 769 c) 819 g) 180

Conversão de bases

 Exercícios

5) Converter os seguintes valores binários em valores decimais equivalentes (conversão de base 2 Para base 10):

a) 1100011 e) 1000000011

b) 10101111101 f ) 111100011110110 c) 11000011001 g ) 1100100001

d) 101101 h ) 1101110

6) Converter os seguintes valores decimais em valores octais equivalentes (conversão de base 10 Para base 8):

a) 917 e) 325 b) 779 f ) 216 c) 610 g) 413 d) 593 h) 521

Conversão de bases

 Exercícios

7) Converter os seguintes valores octais em valores decimais equivalentes (conversão de base 8 Para base 10):

a) 405 e) 705 b) 477 f ) 173 c) 237 g ) 201 d) 46 h ) 452

8) Converter os seguintes valores decimais em valores hexadecimais equivalentes (conversão de base 10 para base 16):

a) 447 e) 622 b) 544 f ) 97 c) 223 g) 121

Conversão de bases

 Exercícios

9) Converter os seguintes valores hexadecimais em valores decimais equivalentes (conversão de base 16 Para base 10):

a) 3A2 e) 1ED4 b) 33B f ) 7EF c) 621 g ) 22C d) 99 h ) 110A

10) Converter os seguintes valores octais em valores decimais equivalentes (conversão de base 8 para base 10):

a) 2136 e) 120 b) 1741 f ) 317 c) 613 g ) 720 d) 546 h ) 665

Conversão de bases

 Exercícios

11) Converter os seguintes valores decimais em valores hexadecimais equivalentes (conversão de base 10 para base 16):

a) 2173 e) 743 b) 1325 f ) 212 c) 681 g ) 1480 d) 937 h ) 1671

12) Converter os seguintes valores hexadecimais em valores decimais equivalentes (conversão de base 16 Para base 10):

a) 21A7 e) 2351 b) 1BC9 f ) 19AE c) 27D g ) ACEF d) E5F h ) 214B

Conversão de bases

 Exercícios

13) Efetuar as seguintes conversões de base:

a) 37421₂ = ( )₁₆ e) 5331 ₈ = ( )₂ b) 14A313 ₁₆ = ( )₁₀ f ) 100011011₂ = ( )₈ c) 11011100011₂ = ( )₁₆ g ) 217₁₀ = ( )₇ d) 2BEF5 ₁₆ = ( )₈ h ) 413₈ = ( )₂

Conversão de bases

 Aritmética Não-Decimal

 Seguem os procedimentos para realização das quatro operações

aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) de números

não-decimais de base 2,

Conversão de bases

 Aritmética Não-Decimal

 Não estamos levando em conta qualquer limite dos números, ou seja, a

quantidade máxima de algarismos permitida para um dado numero, o

que é uma efetiva preocupação no caso dos computadores.

 Trata-se do problema de overflow ou estouro do limite, quando uma

operação aritmética resulta em um valor acima do limite máximo

possível.

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Soma Binária

 A operação de soma de dois números em base 2 e efetuada de modo

semelhante a soma decimal, levando-se em conta, apenas, que se há dois

algarismos disponíveis (0 e 1). Assim, podemos criar uma tabela com

todas as possibilidades:

 0+0 = 0  0+1 = 1  1+0 = 1

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Soma Binária

 Exemplo 3.10 (adição)

a)

Efetuar a soma 45₁₀ e 47₁₀

Decimal Binário 1 1 1111 45 101101 +47 +101111 92 1011100

b) Efetuar a soma 37₁₀ e 87₁₀

Decimal Binário 11 111 37 0100101 +87 +1010111

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Soma Binária

 Exemplo 3.11 (adição)

a)

Efetuar a soma 27₁₀ e 25₁₀

Decimal Binário 1 11 11 27 11011 +25 +11001 52 110100

b) Efetuar a soma 11₁₀ e 14₁₀

Decimal Binário 111 11 1011 +14 +1110

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Soma Binária

 Exemplo 3.12 (adição)

a)

Efetuar a soma 357₁₀ e 315₁₀

Decimal Binário 1 1 1111111 357 101100101 +315 +100111011 672 1011100000

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Subtração Binária

 A subtração em base 2, na forma convencional, usada também no sistema decimal (minuendo – subtraendo = diferença), é relativamente mais complicada por dispormos apenas dos algarismos 0 e 1 e, dessa forma, 0 menos necessita de "empréstimo“ de um valor igual a base (no caso é 2), obtido do primeiro algarismo diferente de zero, existente à esquerda.

 Se estivéssemos operando na base decimal, o "empréstimo" seria de valor igual a 10.

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Subtração Binária

 Exemplo 3.13 (subtração)

a)

Efetuar a subtração 101101 – 100111

Binário

2 002 101101 -100111 000110

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Subtração Binária

 A partir da direita para a esquerda, vamos executar a operação algarismo por algarismo (6 algarismos):

1) 1 - 1 = 0 (primeiro algarismo do resultado mais a direita).

2) 0 - 1 não e possível. Então, retira-se 1 da ordem à esquerda (3ª. ordem a partir da direita), que fica com 1 - 1 = 0, e passa-se Para a ordem a direita, o valor equivalente, que e 2, visto que 1 unidade de ordem a esquerda vale uma base de unidades (no caso: Base = 2) da ordem a direita 2 - 1 = 1 (segundo algarismo do resultado)

3) Agora tem-se 0 - 1 e, portanto, repete-se o procedimento do item anterior. 2-1 1

4) 0-0=0 5) 0-0=0 6) 1-1=0

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Subtração Binária

 Exemplo 3.14 (subtração)

a)

Efetuar a subtração 100110001 - 10101101:

Binário

1 02 022 100110001 - 010101101 010000100

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Subtração Binária

 A partir da direita Para a esquerda, vamos executar a operação algarismo por algarismo (6 algarismos):

1) 1-1 = 0 2) 0-0 = 0

3) 0 - 1 não é possível. Retira-se 1 da 5ª. ordem, a partir da direita, ficando 2

unidades na 4.a ordem. Dessas 2 unidades, retira-se 1 unidade Para a 3.a ordem (nesta 3.a ordem ficam, então, 2), restando 1 unidade nesta 4.a ordem. 2-1=1 4) 1-1 = 0

5) 0-0 = 0 6) 1-1 = 0 7) 0-0=0

8) 0 - 1 não é possível. Retira-se 1 da ordem a esquerda, que fica com zero e passam-se 2 unidades Para a direita. 2-1=1

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Subtração Binária

 Exemplo 3.11 (subtração)

a)

Efetuar a subtração 37₁₀ - 26₁₀

Decimal Binário 1 022 02 37 100101 +26 - 011010 11 001011

b) Efetuar a subtração 201₁₀ e 187₁₀

Decimal Binário 1 1 022022

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Multiplicação Binária

 As regras Para realização de multiplicação com números binários são exatamente iguais as das multiplicações decimais, com uma enorme vantagem sobre estas pelo fato de que só temos 2 algarismos em vez de 10. Desse modo, temos apenas:

 0 X 0 = 0  0 X 1 = 0  1 X 0 = 0  1 x 1 = 1

 Enquanto na multiplicação decimal temos uma tabela com 100 operações, do tipo:  1X2=2;2X7=14;5X6=30 etc.

 Para melhor entendimento sobre o assunto, basta observar alguns exemplos, com a descrição detalhada de cada passo e incluindo em todos os exemplos a operação em decimal e em binário.

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Multiplicação Binária

 Exemplo 3.16 (multiplicação)

a)

Efetuar a multiplicação 6 X 5

Decimal Binário 6 110 X 5 X 101 30 110 000 110 11110

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Multiplicação Binária

 0 procedimento consiste em multiplicar cada algarismo do multiplicador pelos algarismos do multiplicando, resultando em sucessivos produtos parciais, tantos quantos forem os algarismos do multiplicador. No Exemplo 3.16 são três algarismos e, portanto, temos três produtos parciais.

 Cada produto parcial é colocado de modo a se posicionar uma casa Para a esquerda do produto anterior, isto é, há um deslocamento do 2.° produto Para a esquerda em relação ao 1.° produto e há um deslocamento a esquerda do 3.° produto em relação ao 2.° produto.

 Em seguida, os três produtos são somados produzindo o resultado desejado.

 No caso de sistemas binários, o procedimento é ainda mais simples porque os produtos parciais só podem ser zero (se o algarismo do multiplicando for zero) ou o próprio valor do multiplicador (se o algarismo do multiplicando for um).

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Multiplicação Binária

 Exemplo 3.17 (multiplicação)

a)

Efetuar a multiplicação 21 X 13

Decimal Binário 21 10101 X13 X 1101 63 10101 21 00000 273 10101 +10101 100010001

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Multiplicação Binária

 Exemplo 3.18 (multiplicação)

a)

Efetuar a multiplicação 18 X 4

Decimal Binário 18 10010 X 4 X 100 72 00000 00000 +10001 1001000

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Multiplicação Binária

 Neste exemplo, bastaria acrescentarmos dois zeros a direita do multiplicando e teríamos o mesmo resultado da operação completa:

 multiplicando: 10010

 mais dois zeros: 1001000 <- Resultado

 Isso acontece porque o multiplicador e constituído do algarismo 1 (repetição do multiplicando) seguido de dois zeros.

 0 produto parcial de cada multiplicador por zero é igual a zero e, portanto, a soma com o multiplicando resulta no próprio valor do multiplicador, porem deslocada uma ordem para a esquerda, o que significa acréscimo de um zero a direita

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 O procedimento matemático para realização de uma operação de divisão com números binários é semelhante ao procedimento para a mesma operação com valores decimais.  O procedimento compreende a manipulação de quatro elementos:

 dividendo - valor a ser dividido

 Divisor - valor que deve estar contido n vezes no dividendo e que, então, se deseja saber qual o valor de n

 quociente - quantidade de vezes que o divisor se repete no dividendo (valor de n)  resto - caso a divisão não seja exata, isto e, o divisor vezes n não seja igual ao

dividendo, a diferença e chamada de resto..

 Vamos descrever o processo na base 10 para entendermos bem cada passo e, em seguida, exemplificar na base 2, seguindo os mesmos procedimentos.

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Exemplo 3.19 (divisão)

a) Efetuar a divisão 35 / 5 = 7 com resto = 0 e b) Efetuar a divisão 37 / 5 = 7 com resto = 2.

 Nestes exemplos, o dividendo são 35 e 37, os divisores são, em ambos os casos, 5, o quociente e igual a 7 em ambos os casos e o resto e, respectivamente, 0 e 2.

35 |5 37 |5 -35 7 -35 7 0 2

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

Procedimento:

a) Verifica-se quantas vezes o divisor cabe no dividendo por tentativa.

b) Iniciam-se, mentalmente ou por qualquer outro método que o leitor encontre confortável, as tentativas tais como:

2 X 5 = 10, 3 X 5 = 15, 4 X 5 = 20, 5 X 5= 25, 6 X 5= 30, (todos menores que 35) E prossegue-se: 7 X 5 = 35 e 8 X 5 = 40. Como 40 é maior que 35 (ou 37, no caso do segundo exemplo) o valor escolhido para quociente é igual a 7.

c) Subtrai-se de 35 (dividendo) o valor resultante da multiplicação do quociente pelo divisor (7 X 5), encontrando-se um valor que é o resto da divisão. No primeiro exemplo, o valor e zero, 35 - 35 = 0, e no segundo exemplo e 2, 37 - 35 = 2.

d) 0 resto da divisão deve sempre ser um valor igual, no máximo, ao divisor menos 1. No exemplo, ele deveria ser, no máximo, igual a 4, pois se ele fosse 5, isso significaria que o quociente poderia ser major, já que o divisor (valor 5) ainda cabe no dividendo.

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Exemplo 3.20 (divisão)

a) Efetuar a (1001)₂ por (101)₂

 No caso da divisão binaria o procedimento se toma mais simples, visto que cada algarismo do quociente só pode ser 1 (quando o divisor é menor apenas 1 vez que o dividendo ou parte dele) ou zero (caso contrario).

 No exemplo acima, 101 é menor e cabe apenas 1 vez em 1001. 0 quociente e, então, 1 e o resto é (100)₂.

1001 - 101 0100

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Vejamos em seguida um exemplo de operação de divisão binaria com

dividendo de valor bem maior que o divisor de modo que ocorram

divisões parciais.

 Exemplo 3.21 (divisão)

a) Efetuar a (101010)₂ por (101)₂ - (101010)₂ /(110)₂

 Em primeiro lugar, verifica-se que valor (que quantidade de algarismos) é suficientemente maior que o divisor, de modo que o primeiro algarismo do quociente seja 1.

 No exemplo utilizado, o valor 1010 (quatro primeiros algarismos da esquerda para a direita) é maior uma vez que o divisor. Assim, temos inicialmente:

101010 110 - 0110 1 100

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Em seguida, subtrai-se de 1010 (parte utilizada do dividendo) o valor 110 (que e 1 X 110), ou seja, quociente, 1, vezes divisor, 110, encontrando-se como resto parcial 100.  Efetua-se nova divisão, utilizando-se como novo dividendo o valor do resto parcial 100

acrescido de um algarismo do dividendo completo, sendo, no caso, o algarismo 1.  0 novo dividendo será 1001, que contem 1 vez o divisor, 110. E assim teremos nova

divisão parcial

1001 | 110 - 0110 1 011

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Repete-se pela 3ª. vez o processo, dividindo-se 110 (novo dividendo, formado pelo resto parcial 011 acrescido do ultimo algarismo do dividendo completo, 0, por 110. Encontra-se quociente 1 e resto parcial 000. A divisão esta completada.

110 | 110 - 0110 1 000

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 A operação completa fica assim: 101010 |110 - 0110 111 1001 110 - 0110 110 00000

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Exemplo 3.22 (divisão)

a) Efetuar a divisao 37₁₀ por 4 ₁₀ -

Decimal Binário 37/4 100101/100 37 |4 100101 |100 -36 9 100 1001 1 000101 100 001

Conversão de bases

 Aritmética Binária – Divisão Binária

 Exemplo 3.22 (divisão)

a) Divide-se 100 (menor valor do dividendo que é ainda igual ou maior que o divisor) por 100 (divisor), encontrando-se quociente 1, com resto parcial 0 (100 - 100).

b) Acrescenta-se ao resto 0 tantos algarismos do dividendo (um a um da esquerda para a direita) quantos necessários para que o valor obtido seja igual ou maior que o divisor. A cada algarismo selecionado e não suficiente acrescenta-se um zero ao quociente.

c) No exemplo, foram selecionados os algarismos 101 (acrescentou-se 00 ao quociente, para os algarismos 10 que formaram o valor 010, ainda menor que o divisor 100. Finalmente acrescentou-se 1 (ultimo algarismo disponível do

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

 O sistema binário, por ser constituído de poucos algarismos diferentes em sua base (0 e 1), causa o fato de os números serem na maioria das vezes constituídos de uma enorme quantidade de algarismos.

 Na realidade, podemos generalizar a regra de que "quanto menor o valor da base, maior e a quantidade de algarismos de um numero naquela base".

 Assim, por exemplo, o numero 9 na base 10 só possui um algarismo, podem na base 6 e constituído de dois algarismos, 13, e na base 2 necessita de quatro algarismos Para sua representação: 9₁₀ = 13₆ = 1001₂

 Quanto maior o numero, mais rapidamente cresce a quantidade de dígitos binários (bits) necessários

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

 Além disso, os sistemas de base menor (e o sistema binário e o menor de todos) ainda possuem um outro inconveniente.

 A quantidade de algarismos disponíveis na base sendo pequena, há pouca diferença entre os algarismos e, sendo muitos, acarreta dificuldade de percepção do usuário.

 Basta ver o exemplo anterior, onde o valor binário possui 16 algarismos com variação apenas entre 0s e 1s, muito mais complicado de compreensão por parte do leitor do que o valor 46045, com apenas cinco algarismos e vários símbolos diferentes (o 4, o 6, o 5 e o 0) ou mais ainda, na base 16, com o valor B3DD, com apenas 4 algarismos.

 0 nosso sistema visual distingue melhor variações acentuadas entre elementos (por exemplo, entre B, 3, D, 4, 5, 6 etc.) do que diferences mínimas, tais como apenas 0s e 1s. Por isso, distinguimos melhor as diferentes entre objetos coloridos do que estes mesmos objetos em Preto e branco, apenas distinguidos par tons diferentes de Preto

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

 Por esta razão, apesar de internamente nos computadores o sistema ser essencialmente binário, costuma-se empregar bases mais elevadas Para representar externamente os valores armazenados ou manipulados pelos computadores.

 Utiliza-se com frequência as bases 8 e 16 por serem bases maiores, e a conversão da base 2 Para elas, e vice-versa, e mais rápida que para a base 10.

 Atualmente, a base 16 é a base mais usada Para representar, em manuais, vídeos etc., estes valores que estão internamente em binário.

 Com este proposito, vamos apresentar alguns aspectos da aritmética octal e hexadecimal, apenas as operações de adição e subtração, visto que as outras não se aplicam para o fim a que se destinam.

 Para finalizar e consolidar o assunto, apresentamos alguns exemplos de aritmética em qualquer outra base não-decimal nem potencia de 2.

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

 Exemplo 3.23 (adicao)  Efetuar a soma (3657)₈ + (1741)₈: 111 - "vai 1” 3657 - 1ª. parcela +1741 - 2ª. parcela 5620

 Da direita Para a esquerda, temos para cada um dos 4 algarismos: 1) 7 + 1 = 8

 Como não há algarismo 8 na base 8, emprega-se o conceito posicional, isto é, 8 unidades de uma ordem valem 1 unidade da ordem imediatamente a esquerda. Então: fica 0 = 8 - 8 e "vai 1" para a esquerda.

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

2) 1 ( vai 1 vindo da ordem a direita ) + 5 + 4 = 10

Utilizando o mesmo conceito anterior, temos: 10 - 8 = 2 e "vai 1" (que é igual a 8).

3) 1 (vai 1) + 6 + 7 = 14 14 - 8 = 6 e "vai 1“

4) 1 + 3 + 1 = 5 Não ha "vai 1" porque não se excede 7. Resultado: 5620₈

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

 Exemplo 3.24 (adição)  Efetuar a soma (443)₈ + (653)₈ : 11 - "vai 1” 443 - 1ª. parcela +653 - 2ª. parcela 1316

 Da direita para a esquerda, para cada um dos 3 algarismos: 1) 3 + 3 = 6

Como 6 é um algarismo válido da base 8, não há "vai 1". 2) 4 + 5 = 9

Então: 9 - 8 = 1 e "vai 1" (que correspondem as 8 unidades em excesso). 3) 1 + 4 + 6 = 11

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

 Exemplo 3.25 (subtração)  Efetuar a soma (7312)₈ + (3465)₈ : 88 - empréstimo 6208 7312 - 3465 - 1ª. parcela 3625 - 2ª. parcela

 Da direita para a esquerda, temos para cada um dos 4 algarismos:

1) 2 - 5 não 6 possível. Então, retina-se 1 unidade da ordem a esquerda, a qual vale uma base de unidades (no caso base = 8) da direita, somando-se ao valor 2.

8 + 2 = 10 – 5 = 5

2) 1 - 1 = 0 - 6 não é possível. Então, retira-se 1 unidade da esquerda (que fica com 3 - 1 = 2 unidades), passando 8 para a direita, o que fica 8 + 0 = 8.

Conversão de bases

 Aritmética Octal – Em Base 8

3) 3 - 1 = 2 - 4 não é possível. Então, retira-se 1 da esquerda (7 – 1 = 6), passando 8 unidades para a direita.

8 + 4 = 10 – 4 = 6 4) 7 - 1 = 6 - 3 = 3

Conversão de bases

 Aritmética Hexadecimal – Em Base 16

 Já mencionamos anteriormente que a aritmética com valores expressos em algarismos hexadecimais segue as mesmas regras para qualquer base: somar ou subtrair algarismo por algarismo, utilizando-se de "vai x" na casa a esquerda (e somando-o com as parcelas seguintes a esquerda) ou de "empréstimo" (como nas subtrações em qualquer outra base), e assim por diante.

 Exemplo 3.26 (adição)

 Efetuar a soma (3A943B) ₁₆ + (23B7D5)₁₆ : 1 11 - “ vai 1"

3A943B - 1ª. parcela + 23B7D5 - 2ª. parcela 5E4C10

Conversão de bases

 Aritmética Hexadecimal – Em Base 16

 Da direita para a esquerda, temos para cada um dos 6 algarismos: 1) B=11₁₆ + 5₁₆ = 16 ₁₀

Como 16 ₁₀ não é um algarismo valido da base 16 (o maior algarismo, F, tem valor = 15₁₀), então usa-se o princípio posicional, substituindo 16 unidades da ordem da direita por 1 unidade da ordem a esquerda (vai 1).

B + 5 = 0 e vai 1

2) 1 + 3 + D = 1 + 3 + 13 =17

17 ₁₀ = 16 (vai 1 para a esquerda) + 1

3) 1 + 4 + 7 =12 ₁₀

Conversão de bases

 Aritmética Hexadecimal – Em Base 16

4) 9 + B = 9 + 1 1 =20₁₀

20 = 16 (vai 1 para a esquerda) + 4. Coloca-se 4 como resultado e "vai 1" para a esquerda.

5) 1 + A + 3 = 1 + 10 + 3 =14₁₀

14₁₀ equivale ao algarismo E ₁₆, Coloca-se E como resultado e não há “vai 1”

6) 3 + 2 = 5 Coloca-se 5 como resultado e não há “vai 1”.

Conversão de bases

 Aritmética Hexadecimal – Em Base 16

 Exemplo 3.27 (subtração)

Conversão de bases

 Aritmética Hexadecimal – Em Base 16

1) 8 - A não é possível. Retira-se, então, 1 unidade da ordem a esquerda (E - 1 = D), passando 16 unidades (valor igual ao da base) para a direita, as quais são somadas ao valor existente, 8.

16 + 8 = 24 - A = 24 - 10 = 14₁₀, equivalente ao algarismo E ₁₆ 2) D – 7 = 13 – 7 = 6

3) B – 2 = 11 – 2 = 9

4) 7 – 9 não é possível. Retira-se 1 unidade da ordem a esquerda (C - 1 = B), passando 16 unidades Para a direita, as quais são somadas ao valor existente, 7.

16 + 7 = 23 - 9 = 14 ₁₀, equivalente ao algarismo E₁₆

5) C - E não é possível. Retira-se 1 unidade da ordem a esquerda (4 - 1= 3), passando 16 unidades para a direita, as quais são somadas ao valor existente, B₁₆ = 11 ₁₀.

16 ₁₀ + B ₁₆ = 16 ₁₀ + 11 ₁₀ = 27 - 14 = 13 ₁₀, equivalente ao algarismo D ₁₆ 6) 3 - 1 = 2

Conversão de bases

 Exercícios

1) Efetuar as seguintes somas:

a) 31752₈ + 6735 ₈ = b) 37742 ₈ + 26573 ₈ = c) 2A5BEF₁₆ + 9C829 ₁₆ = d) 356₇ + 442 ₇ =

e) 1100111101₂ + 101110110 ₂ = f) 211312₄ +121313 ₄ =

g) 3645 ₈ + 2764 ₈ = h) 110011110 ₂ + 11011111 ₂ =

2) Efetuar as seguintes operações de subtração:

a) 64B2E ₁₆ - 27EBA ₁₆ = b) 2351 ₈ - 1763 ₈ = c) 543₆ - 455₆ = d) 43321₅ - 2344 ₅ =

e) 11001000010 ₂ - 1111111111 ₂ = f) 10001101000 ₂ - 101101101 ₂ = g) 43DAB ₁₆ - 3EFFA ₁₆ = h) 100010 ₂ - 11101 ₂ =

Conversão de bases

 Exercícios

3) Efetue as seguintes operações aritméticas: a) (101) ₂ X (111) ₂ = ( ) ₂ b) (11101) ₂ X (1010) ₂ = ( ) ₂ c) (11001110) ₂ / (1101) ₂ = ( ) ₂ d) (111110001) ₂ X (10011) ₂ = ( ) ₂ e) (100100011) ₂ / (11101) ₂ = ( ) ₂ f) (1101101) ₂ / (100)₂ = ( ) ₂ g) (111000001) ₂ X (101001) ₂ = ( )₂

Conversão de bases

 Exercícios

18) Efetuar as seguintes operações de subtração: a) 110000001101 ₂ - 10110011101 ₂ =

b) 35A3 ₁₆ - 2FEC ₁₆ = c) 37425 ₈ - 14766 ₈ = d) 1001001 ₂ - 111100 ₂ =

19) Quantos números inteiros positivos podem ser representados em uma base B, cada um com n algarismos significativos?

20) A partir do valor binário 110011, escreva os cinco números que se seguem em sequencia.

21) A partir do valor binário 101101, escreva seis números, saltando de 3 em 3 números, de forma crescente.