Visualização 3D: Projecções
Sistemas Gráficos/
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COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES/
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Pipeline de Visualização
Projecção: é uma transformação que mapeia de um espaço dimensional para um de
menor dimensão (ex: 3D Æ 2D).
Plano de Projecção: plano no qual é feita a projecção.
Centro de projecção (CoP): posição do observador ou câmara em relação ao plano de
projecção. Clipping no espaço 3D (volume de visualização) Coordenadas
mundo (3D) Projectar para o
plano de projecção Transformação para Viewport Coordenadas 2D do dispositivo de visualização
Definição de uma vista arbitrária 3D
O plano de projecção é caracterizado por um ponto no plano designado de view reference point (VRP) e pela normal ao plano view plane normal (VPN).
O sistema de eixos v,n,u é definido no plano de projecção. É o eixo de referência para efectuar a projecção.
O vector VUP permite ao utilizador indicar a direcção da projecção. Os vectores v e u são obtidos a partir de n e VUP.
Janela de visualização definida no plano de
projecção. Apenas os elementos projectados no interior desta janela são transformados para o
viewport.
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Projecção
Perspectiva: a distância de
CoP ao plano de projecção é finita
Paralela: a distância de
CoP ao plano de projecção é infinita
A projecção é definida por raios de projecção que saem do centro de projecção, passando por cada ponto do objecto e intersectando o plano de projecção.
Volume de visualização
Centro de projecção CoP é também designado de PRP (projection reference point). O ponto é definido em relação a VRP.
View Volume:limita a região do espaço que vai ser
visível (operação de clipping). Para a projecção perspectiva tem a forma de uma pirâmide.
View Volume para a projecção paralela tem o
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Projecções
Projecção Perspectiva: Distância do Centro de Projecção ao plano de projecção é finito.
Projecções
Perspectiva
Semelhante ao sistema fotográfico/sistema de visão humano. Na projecção o tamanho dos objectos varia inversamente com a distância ao centro de projecção.
Vantagem: aspecto realista. Desvantagens:
- não é útil para registar a forma e as dimensões exactas dos objectos; - não se pode obter as distâncias reais;
- os ângulos só são preservados apenas nas faces do objecto paralelas ao plano de projecção; - linhas paralelas normalmente não são projectadas como paralelas.
Paralela
Vantagens:
- as projecções permitem a medição exacta das dimensões do objecto; - linhas paralelas mantém-se paralelas;
Desvantagens:
- menos realista;
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Projecção em Perspectiva
As projecções em perspectiva são caracterizadas pelo número de Pontos de Fuga
principais, ou seja em x, y e z.
Para ter um ponto de fuga principal o plano de projecção tem de intersectar o eixo correspondente. Para ter apenas um ponto de fuga, por exemplo em z, o plano de projecção tem de ser paralelo aos restantes eixos.
Verifica-se que as projecções têm apenas um ponto de fuga principal porque as rectas
Projecção em Perspectiva
Plano de projecção corta apenas o plano z
Plano de projecção corta o plano z e x
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Projecção Paralela
Caracterizada pela normal ao plano de projecção e direcção dos raios de projecção.
Normal ao plano de projecção e direcção da projecção coincidem
Normal ao plano de projecção e
direcção da projecção não coincidem
Três projecções ortográficas: topo, frontal e lateral.
Em cada uma das projecções o plano de projecção é perpendiculares a um dos eixos de coordenadas.
Utilização: desenho técnico. Permite medir
Projecção Paralela Ortográfica
Projecção Ortográfica Axonométrica
Os planos de projecção não são paralelos aos eixos de coordenadas, mostrando várias faces do objecto na mesma projecção.
• Têm alguma analogia com a projecção em perspectiva, mas diferem no facto de o tamanho do objecto não depender da sua distância ao centro de projecção.
• O paralelismo entre as arestas mantém-se.
Projecção Isométrica (Ortográfica Axonométrica): Nesta projecção a normal ao plano de projecção (bem como a direcção de projecção) faz um ângulo igual com todos os eixos de coordenadas.
Se a Normal ao plano de projecção for (dx,dy,dz) então |dx| = |dy| = |dz|. Existem apenas 8 direcções que satisfazem este requisito, uma em cada octante.
Projecção Isométrica com direcção de projecção (1,-1,-1)
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Projecção Paralela - Obliqua
Projecção Paralela Obliqua
1. O plano de projecção é perpendicular a um dos eixos de coordenadas 2. A direcção de projecção não coincide com nenhum dos eixos.
Cavaleira
A direcção da projecção faz um ângulo de 45º com o plano de projecção. As linhas perpendiculares ao plano de projecção mantêm a sua dimensão.
Projecção Paralela - Obliqua
Gabinete
A direcção da projecção faz um ângulo de 63.4º com o plano de projecção. As linhas perpendiculares ao plano de projecção são projectadas com metade do seu tamanho. Resultam projecções mais realistas do que com a cavaleira.
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Cálculo da Projecção Perspectiva
Perspectiva com um ponto de fuga:
– Plano de Projecção normal ao eixo z em z=d; – CoP em z=0 Podemos escrever:
z
x
d
x
p=
z
y
d
y
p=
e Resultando:d
z
x
z
x
d
x
p/
. =
=
d
z
y
z
y
d
y
p/
. =
=
A distância d é apenas um factor de escala aplicado a x e y. A matriz de transformação Mper:
=
0
/
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
d
M
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Cálculo da Projecção Perspectiva
Multiplicando o ponto P=[x y z 1]T por M
per obtém-se o ponto em coordenadas
homogéneas:
=
=
1
.
0
/
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
.
z
y
x
d
P
M
W
Z
Y
X
per ou
=
d
z
z
y
x
W
Z
Y
X
.
Dividendo por W:
=
d
d
z
y
d
z
x
z
y
x
p p p/
/
Cálculo da Projecção Perspectiva
Perspectiva (ainda com um ponto de fuga):
– Plano de Projecção normal ao eixo z em z=0; – CoP em z= - d Podemos escrever:
d
z
x
d
x
p+
=
d
z
y
d
y
p+
=
e Resultando:1
)
/
(
.
+
=
+
=
d
z
x
d
z
x
d
x
p1
)
/
(
.
+
=
+
=
d
z
y
d
z
y
d
y
pA matriz de projecção M’per:
=
1
/
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
'
d
M
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Cálculo da Projecção Paralela
Paralela ortográfica (frontal):
– Plano de Projecção normal ao eixo z; – Direcção de projecção: paralela a z
Um ponto P=(x,y,z) projecta-se em: xp = x, yp = y, zp = 0
A matriz de projecção Mort:
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
ortM
Projecção lateral:Um ponto P=(x,y,z) projecta-se em: xp = 0, yp = y, zp = z
Projecção topo:
Cálculo da Projecção com CoP fora do eixo z e
plano de projecção perpendicular a z
Podemos definir um ponto P’ no segmento de recta entre CoP e P, de forma paramétrica como:
P’ = CoP + (P-CoP).t 0<= t <= 1
Sendo CoP = (0,0,Zp) + Q(dx,dy,dz), P’=(x’,y’,z’) será: x’ = Q.dx + (x – Q.dx).t
y’ = Q.dy + (y – Q.dy).t
z’ = (zp+Q.dz) + (z – (zp + Q.dz)).t z x ou y CoP Pp=(xp,yp,zp) P=(x,y,z) (0,0,zp) Q (dx,dy,dz)
Q: Distância do centro de projecção CoP ao ponto (0,0,zp)
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Cálculo da Projecção com CoP fora do eixo z e
plano de projecção perpendicular a z
A projecção Pp do ponto P, na intercepção do segmento de recta entre CoP e P com o plano de projecção, é obtida fazendo z’ = zp e resolvendo em ordem a t:
)
.
(
)
.
(
dz
Q
z
z
dz
Q
z
z
t
p p p+
−
+
−
=
Substituindo t nas equações de x’ e y’ obtemos xp e yp:
1 . + − + − = dz Q z z dz dx z dz dx z x x p p p 1 . + − + − = dz Q z z dz dy z dz dy z y y p p p Fazendo zp = zp: 1 . . . . . 1 . 1 . 2 + − + + − = + − + − = dz Q z z dz Q dz Q z z dz Q z z dz Q z z dz Q z z z z p p p p p p p p =1
Cálculo da Projecção com CoP fora do eixo z e
plano de projecção perpendicular a z
As equações de xp, yp e zp podem ser escritas numa matriz 4x4, Mgeral de modo que do produto da última linha da matriz pelo vector [x y z 1]T resulte o divisor comum W:
+ − + − − − = 1 . . 1 0 0 . . 0 0 1 0 0 1 2 dz Q z dz Q z dz Q z dz Q z dz dy z dz dy dz dx z dz dx M p p p p p p geral
=
1
.
z
y
x
M
W
Z
Y
X
geral
=
W
W
W
Z
W
Y
W
X
z
y
x
p p p/
/
/
/
.
1
A projecção de P é obtida por:
1
.
+
−
=
dz
Q
z
z
W
pSendo W: Notar queQ: é um escalar; distância de CoP:
ao ponto (0,0,zp) no plano de
projecção.
(dx,dy,dz) vector que representa a direcção entre (0,0,zp) e CoP.
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Resumo
A matriz Mgeral representa todas as projecções apresentadas anteriormente, representadas por Mper, M’per e Mort:
zp Q [dx dy dz]
Mort 0 ∞ [0 0 -1]
Mper d d [0 0 -1]
M’per 0 d [0 0 -1]
A projecção Cavaleira e Gabinete pode ser obtida de Mgeralfazendo:
zp Q [dx dy dz]
Cavaleira 0 ∞ [cosα sinα -1]
Gabinete 0 ∞ [cosα/2 sinα/2 -1]
Todas as projecções estudadas consideram que o plano de projecção é perpendicular ao eixo z. Na projecção perspectiva corresponde a um ponto de fuga.
