VII- PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.

VII- PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE. 7.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS;

1. UNIFORME DISCRETA:

Uma v.a. X tem distribuição uniforme discreta quando sua função de probabilidade for dada por:

{ }(x) N 1 c/c 0 N ..., 2, 1, = x N 1 ) x ( p =

_I

1,2,...,N         = Propriedades: E(X) = 2 N 1+ V(X) = N 2 1 12 − MX(t) = e N jt j N . 1 1 =

∑

Exemplo: Seja ε lançar um dado, então: X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

p(xi) = 1/6

E(X) = 3,5 V(X)= 2,92

Lower limit,Upper limit 1,7

Discrete Uniform Distribution

x p ro b ab il it y 1 2 3 4 5 6 7 0 0,1 0,2 0,3

2. BERNOULLI:

Uma v.a. X tem distr. Bernoulli se sua f.p. for dada por:

{ }(x) ) p 1 ( p c/c 0 0,1 = x ) p 1 ( p ) x ( p x 1x

_I

_0,1 x 1 x − − − =       − = Propriedades: E(X) = p V(X) = p.q MX(t) = pet + q Processo de Bernoulli:

É o processo de amostragem no qual :

1. Em cada tentativa existem 2 resultados possíveis mutuamente exclusivos (sucesso e fracasso).

2. As séries de tentativas são independentes.

3. A probabilidade de sucesso (p) permanece constante de tentativa para tentativa ou seja o processo é estacionário.

3. BINOMIAL:

Uma v.a. possui distribuição binomial se sua f.p. for dada por:

p(x) = .p .q _{{ }}(x) x n n ..., 1, 0, = x q . p . x n

I

0,1,...,n x n x x n x − −       =             )! x n ( ! x ! n x n

C

_x n − =       = Event prob. 0,4 Bernoulli Distribution x p ro b ab il it y 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

A distribuição binomial é utilizada para determinar a probabilidade de se obter um dado número de sucessos em um processo de Bernoulli.

X = número de sucessos n = número de tentativas

p = probabilidade de sucessos em cada tentativa. Propriedades:

E(X) = np V(X) = npq MX(t) = (pet + q)n

4. HIPERGEOMÉTRICA:

Uma v.a. X tem distribuição hipergeométrica se sua f.p. for dada por:

{ }(x) n N x n r N x r c/c 0 n ..., 1, 0, = p/ x n N x n r N x r ) x ( p

_I

_0,1,..,n             − −       =                             − −       =

A distr. hipergeométrica é utilizada quando a amostragem é feita sem reposição de cada item amostrado de uma população finita, pois neste caso não se pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que existe uma mudança sistemática na probabilidade de sucesso a medida que os ítens são retirados da população (eventos dependentes).

Assim:

X = número dado de sucessos

N = número total de itens da população r = número total de sucessos na população n = número de itens na amostra.

Event prob.,Trials 0,2,20 Binomial Distribution x p ro b ab il it y 0 4 8 12 16 20 0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24

Obs: Quando a pop. for grande e a amostra relativamente pequena, o fato da amostragem ser feita sem reposição tem pequena influência na prob. de sucesso de cada tentativa, então pode-se usar a distribuição binomial como uma aproximação da hipergeométrica. A aproximação pela binomial é considerado boa se n

N < 0,1. Propriedades: np N r . n ) X ( E  =      =       − −       −       = 1 N n N N r N n r . n ) X ( V ) t ( MX não é utilizado 5. GEOMÉTRICA:

Uma v.a tem distribuição geométrica se sua f.p. for dada por:

{ }

(

x

)

1

x

pq

c/c

0

...

3,

2,

1,

=

x

1

x

pq

)

x

(

p

_I

1,2,3,...

−

=

−

=

       

X = número de ensaios necessários para a primeira ocorrência do evento.

Obs: Na distr. binomial o número de repetições era pré-determinado, enquando na geométrica é a v.a. Propriedades: p 1 ) X ( E = 2 p q ) X ( V = t t X qe 1 e . p ) t ( M − =

Event prob.,Trials,Population size 0,25,20,1000 Hypergeometric Distribution x p ro b ab il it y 0 4 8 12 16 20 0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24

6. PASCAL:

Um v.a. X tem distr. de Pascal se sua f.p. for dada por:

{ }(x) q p 1 r 1 x c/c 0 ... 2, + r 1, + r r, = x q p 1 r 1 x ) x ( p r x r

_I

_{r,r 1,r 2,...} r x r + + − −       − − =                 − − =

X = No. de repetições necessárias para que o evento A ocorra r vezes. Obs: Uma generalização da distr. geométrica é a distr. de Pascal. Assim:

para r = 1 ⇒ X~Geométrica Propriedades:

(

t

)

r t X 2 qe 1 pe ) t ( M p rq = V(X) p r ) X ( E − = = 7. BINOMIAL NEGATIVA:

Uma v.a. Y tem distribuição binomial negativa se sua f.p. for dada por:

{ }(y) q p y 1 y r c/c 0 ... 2, 1, 0, = y q p y 1 y r ) Y ( p

_I

0,1,2,... y r y r       + − =                 + − =

Y = número de falhas antes do r-ésimo sucesso. Propriedades: Event prob. 0,1 Geometric Distribution 0 20 40 60 80 x 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 p ro b ab il it y

r Y 2 tq 1 p ) t ( M p rq = V(Y) p rq ) Y ( E _      − = =

Obs: a passagem da Pascal para a Binomial Negativa:

p x

x

r

p q

r X r

( )

=

−

−













−

1

1

fazendo x = r + y ⇔ y = x - r

p y

r

y

r

p q

r

y

y

p q

r r y r r y

( )

=

+ −

−













=



+ −











+ −

1

1

1

8. MULTINOMIAL:

Considere-se um experimento

ε

, seu espaço amostral Ω, e a partição de Ω em k eventos mutualmente exclusivos A1, A2, ..., Ak. Considerem-se n

repetições de

ε

. Então pi = P(Ai) e supondo que pi permaneça constante durante todas as repetições, temos que _p

i i k = =

∑

1 1 .

Xi = número de vezes que Ai ocorre nas n repetições de

ε

. (i = 1, 2, ..., k) Os Xi são v.a. independentes por que

∑

X₁ = n₁. Então:

p(X1=n1, X2=n2, ... , Xk=nk)= nk k 1 n 1 k 2 1 p ... p n ... ! n ! n ! n

Obs: A distr. multinomial é considerada como uma generalização da binomial. Propriedades:

E(Xi) = npi V(Xi) = n pi qi

Event prob.,Successes 0,1,10

Negative Binomial Distribution

0 50 100 150 200 250 x 0 3 6 9 12 15 (X 0,001) p ro b ab il it y

9. POISSON:

Uma v.a. X tem distr. Poisson se sua f.p. for dada por:

{ }(x) ! x e . c/c 0 ... 2, 1, 0, = x ! x e . ) x ( p

_I

_0,1,2,... x x λ − λ − λ =        λ =

A distr. de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um “continuum” de tempo ou

espaço.

É similar ao processo de Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem em um “continuum” ao invés de ocorrerem em tentativas fixadas, tal como o processo de

Bernoulli os eventos são independentes e o processo é estacionário.

λ

= número médio de sucessos para uma específica dimensão de tempo e espaço.

X = número de sucessos desejados. Propriedade: E(X) = λ V(X) = λ (et1) X(t) e M = λ − OBS: 1. ! x e q ) x ( p x n lim ) x ( p lim x x n n p np 0 p n 0 p n λ =       = − −λ λ = ⇒ = λ →∞ → →∞ → Demo:

(

)

(

)(

) (

)

λ − − → λ →∞ → − − λ       ₋λ       ₋λ                   −       − λ = =       ₋λ     − − − + λ =       ₋λ      λ − = e x! = n 1 n 1 n 1 -x -1 ... n 2 1 n 1 1 . 1 lim ! x ) x ( p lim = n 1 n ... n . n 1 x n ... 2 n 1 n n n = n 1 n ! x ! x n ! n ) x ( p x x n 0 n x = np0 p n x n x x n x

2. Quando o número de observações ou experimentos em um processo de Bernoulli for muito grande a distribuição de Poisson é apropriada como uma aproximação das distribuições binomiais quando:

np < 5

λ

= np Mean 10 Poisson Distribution 0 5 10 15 20 25 30 x 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 p ro b ab il it y

7.2 DISTIBUIÇÕES CONTINUAS DE PROBABILIDADE:

1. UNIFORME OU RETANGULAR:

Uma v.a. X é uniformemente distribuida am 1≤ x ≤ b se sua f.d.p. for:

[ ] f x b a b a

I

a b x ( ) = − , ( ) ≤ ≤         = − 1 0 1 a x b c / c

(

)

(

)

(

(

)

)

F( x

x

a

b

a

x

a

b

a

I

a b

x

I

b

x

)

=

[ , )

( )

[ , )

( )

−

−

≤ ≤





























=

−

−

+

∞

0

1

x < a

a

x

b

x > b

Propriedades:

(

)

(

)

E X a b t e e b a t b t a t ( ) = + ( ) = − − 2 1 2 2 V (X ) = b - a M _X

Ex: Tempo de espera do ônibus, a função depende apenas dos extremos do intervalo.

Uma máquina gera um número real entre -1 e 1. Qual a probabilidade de ser positivo?

R: f(x) = 1/b-a = 1/1-(-1) =1/2

Obs: Se tivermos valor entre -∞ e +∞ não há resposta. Não há intervalos. Lower limit,Upper limit

0,2 Uniform Distribution x d en si ty 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

2. EXPONENCIAL:

Uma v.a. X tem distr. exponencial com parâmetro λ > 0, se sua f.d.p. for dada por: 0 > , ) x ( e ) x ( f =λ x

_I

_{[0, )} λ ∞ λ − PROPRIEDADES: λ < − λ λ = λ λ = ,t t ) t ( M 1 = V(X) 1 ) X ( E _{2 X} 0 x , e 1 dt e ) x X ( P ) x ( F x x 0 t = − ≤ λ = ≤ = −λ −λ

∫

Assim: P(X>x) = e-λx

Obs: Se os eventos, ou sucessos, ocorrem em um contexto de um processo de Poisson, então o comprimento do tempo ou espaço entre 2 eventos sucessivos segue uma distribuição de probabilidade exponencial. Uma vez que tempo ou espaço são um “continuum”,a distr. será contínua.

PROPRIEDADE DE PERDA DE MEMÓRIA: Seja X ~ Exponencial ( λ ), sejam s, t ≥ 0, então:

P( X > s+t / X > t ) = P (X > t) ∀ s, t ≥ 0 Mean 10 Exponential Distribution 0 10 20 30 40 50 60 x 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 d en si ty

Demo:

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

(

)

P X s t X t P X s t X t P X t P X s t P X t e e e e e e P X s s t t s t t s ( > + > =) > + ∩ > > = > + > = = = = > − + − − − − − λ λ λ λ λ λ = Exemplo 1:

Em média, um navio atraca em certo porto a cada 2 dias. Qual a prob. de que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio?

R:

média por 2 dias = 1 λ = média por dia = 1/2

P(X>4) = e-λx = e-4.1/2 = 13,53% Exemplo 2:

Um departamento de conserto de máquinas recebe, em média, 5 chamadas por hora. Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a prob de que a primeira chamada chegue dentro de ½ hora ?

R: média por hora = 5 λ = média por hora = 5

P(X ≤ 1/2) = 1 - e-λx = 1 - e-5.1/2 = 1- 0.08208 = 91,792% 3. DISTRIBUIÇÃO GAMA: Função Gama: Γ( )p = xp−e−x ∞

∫

1 0 dx p > 0

Se integrarmos por partes, fazendo :

e-x dx = dv e xp-1 = µ obteremos:

( )

=

−

− − ∞

−

∞

∫

[

−

−

(

−

)

−

]

Γ

0 2 p x 0 1 p x

dx

x

1

p

e

x

.

e

p

|

=

0

(

p

1

)

e

x

dx

0 2 p x

∫

∞ − −

−

+

=

=

=

(

p

−

1

) (

Γ

p

−

1

)

Se p for inteiro positivo p=n. Aplicando a relação acima repetidas vezes teremos:

( ) (

) (

)

(

)(

) (

)

(

n

1

)(

n

2

) ( )

...

1

2

n

2

n

1

n

1

n

1

n

n

Γ

−

−

=

=

−

Γ

−

−

=

=

−

Γ

−

=

Γ

Porém, Γ

( )

1 1 0 =∞

_∫

_{e dx}−x = então: Γ(n) = (n-1)! p/ n inteiro positivo e também verifica-se:

( )

Γ 1 2 1 2 0 / = −/ − ∞

∫

x e x dx = π Distribuição Gama:

Seja X um v.a. contínua, que tome somente valores não negativos. Então, X ~ GAMA(α,λ) se sua f.d.p., for dada por:

( )











α

Γ

λ

=

− −λ α

c/c

0

0

>

x

,

e

x

)

x

(

f

x 1 r Γ(α) = (α-1)! p/ α ≥ 1 e λ = > 0 onde: α = número de ocorrências no tempo.

X = o tamanho do tempo entre o tempo 0 e o instante quando a α-ésima ocorrência acontece.. Shape,Scale 1,1 Gamma Distribution 0 1 2 3 4 5 6 x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 d en si ty

PROPRIEDADES:

1. Se α =1 então f(x) = λe-λx ⇒ distr. exponencial (caso particular da Gama) A soma de v.a. exponenciais distribuidas identicamente independentes é uma distr. Gama. 2.

λ













−

λ

λ

=













λ

α

λ

α

=

α

,

p/ t

<

t

)

t

(

M

=

V(X)

)

X

(

E

_{2 X}

4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS):

Uma v.a. X ~ N(µ ,σ2 ) se sua f.d.p. for dada por:

0

>

e

<

<

-,

<

x

<

e

2

1

)

x

(

f

2 x 2 1

σ

∞

µ

∞

∞

∞

π

σ

=

     σ µ − −

)

x

(

,

dt

e

2

1

)

x

(

F

2 x t 2 1 2

σ

µ

Φ

=

π

σ

=

∫

∞ −       σ µ − − PROPRIEDADES: 1. fX(x) > 0 , x∈ℜ 2. f_X(x) 0 x

lim

_→±∞ = 3. fX(x) é contínua e diferenciavel.

4. fX(x) é crescente para x ∈ (-∞, µ) e decrescente para x ∈ (µ, ∞). Mean,Std. dev. 0,1 Normal Distribution -5 -3 -1 1 3 5 x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 d en si ty

5. Ponto de máximo da função em x = µ. Então µ é também a moda da distribuição.

f’(x) = f(x). (x-µ)/σ ⇒ f’(µ) = 0

f”(x) = f(x) [ (x-µ)2/σ2 - 1/σ2] ⇒ f”(µ) = -f(µ)/σ2 <0

6. Existem dois ou mais pontos de inflexão em x = µ+σ e x = µ-σ . ( a segunda derivada se anula)

7. fX(x) é simétrica em relação a µ. (x-µ)2.

8. Valor esperado : µ e Variância = σ2 MX(t) = etµ+1/2.t2σ2

IMPORTÂCIA:

1. Poder de modelamento. Medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem a distr. normal.

2. Capacidade de aproximação de outras distr. como Binomial e Poisson.

3. As distr. de estatísticas da amostra frequentemente seguem a distr. normal independente da distr. da população.

APROXIMAÇÕES PELA NORMAL: 1. Binomial: quando n ≥ 30 np ≥ 5 então: µ = np σ2 = npq 2. Poisson: quando λ≥ 10 então: µ = λ σ = λ

DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA:

Quando µ = 0 e σ2 = 1 (caso particular) (chamada standart, normalizada, padrão) f z( )= 1 e− z 2 1 2 2 π p/ z xi = − µ σ

∫

∞ − −

π

=

Φ

=

z 2 t

dt

e

2

1

)

z

(

)

z

(

F

2 ⇒ valor tabelado

P(a ≤ x ≤ b) = Φ(b) - Φ(a) P(x ≤ a) = Φ(a)

P(x > a) = 1 - Φ(a)

Ex: Determine a área limitada pela curva normal em cada um dos casos: 1. 0 ≤ Z ≤ 1,2 R: 0,3849 2. -0,68 ≤ Z ≤ 0 0,2517 3. -0,46 ≤ Z ≤ 2,21 0,6632 4. Z ≤ -0,6 0,2743 5. Z ≥ 0,62 0,2676 6. 0,18 ≤ Z ≤ 0,26 0,0312 7. -0,95 ≤ Z ≤ -0,41 0,1698 8. Z < -1,51 e Z > 1,51 0,1310 9. Z > -0.5 0,6915

7.3 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Seja X1, X2, ..., Xn v.a.independente identicamente distribuídas (iid); com a mesma µ e σ2 e seja Sn= X1 + X2 + ... + Xn a soma de v.a. iid:

n x n n n

_Z

)

S

(

V

)

S

(

E

S

∞ →

→

−

∼ N(0,1) - n x n

_Z

n

n

S

∞ →

→

−

σ

µ

∼ N(0,1) ou seja

pois E(Sn) = E(X1+X2+...+Xn)= µ1+µ2+...+µn= nµ V(Sn) = σ12+σ22+...+σn2 = nσ2

Uma dedução feita através do Teorema do Limite Central é que uma distribuição amostral de médias tende uma distr. normal quando n é suficientemente grande (n ≥ 30).

)

X

(

V

)

X

(

E

X

n n n

−

∼

_











=

=

n

,

N

2 2 X X

σ

σ

µ

µ

onde:

( ) ( )

( )

[

+ + +

]

= µ=µ =     + + + = = µ n n 1 X E ... X E X E n 1 n X ... X X E ) X ( E 1 2 n _{1 2 n} X

( ) ( )

( )

[

]

n

n

n

1

X

V

...

X

V

X

V

n

1

n

X

...

X

X

V

)

X

(

V

2 2 2 n 2 1 2 n 2 1 2 X

σ

=

σ

=

+

+

+

=













+

+

+

=

=

σ

NOTA HISTÓRICA:

A distribuição normal é chamada historicamente de lei dos erros. Foi usada por Gauss para modelar erros em observações astronômicas. Gauss derivou a distribuição normal, não como limite de somas de variáveis aleatórias independentes, mas a partir de certas hipóteses entre elas a de considerar a média aritmética das observações. Hoje em dia o Teorema do Limite Central dá apoio ao uso da normal como distribuição de erros, pois em muitas situações reais é possível interpretar o erro de uma observação como resultante de muitos erros pequenos e independentes. Pode-se interpretar também que uma observação é gerada da soma de muitos efeitos pequenos e independentes.

No MATLAB:

Cumulative Distribution Functions (cdf): normcdf Normal (Gaussian)

poisscdf Poisson

Probability Density Functions (pdf): binopdf Binomial pdf

chi2pdf Chi-square pd exppdf Exponential pdf

Inverse Cumulative Distribution Functions:

geoinv Geometric critical values hygeinv Hypergeometric critical values

Moments of Distribution Functions Binostat Binomial mean and variance chi2stat Chi-square mean and variance expstat Exponential mean and variance Random Number Generators

normrnd Normal (Gaussian) random numbers poissrnd Poisson random numbers