Universidade Federal de Minas Gerais
Interseções de uma Superfície Cônica
Circular Reta com um Plano
Ananias Moreira
Ananias Moreira
Interseções de uma Superfície Cônica
Circular Reta com um Plano
Monografia apresentada para
con-clusão do curso de Especialização
em Matemática para professores
(Matemática
do
Ensino
Básico)
da Universidade Federal de Minas
Gerais.
Orientador: Jorge Sabatucci
Belo Horizonte
2010
Moreira, Ananias
Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano
25 páginas
Monografia (Especialização) - Instituto de Ciên-cias Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais. Departamento de Matemática.
1. Elipse 2. Hipérbole 3. Parábola
I. Universidade Federal de Minas Gerais. Instituto de Ciências Exatas. Departamento de Matemática.
Interseções de uma Superfície Cônica Circular
Reta com um Plano
Autor: Ananias Moreira
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Francisco Dutenhefner Profa. Dra. Viviane R. Tomaz da Silva Universidade Federal de Minas Gerais Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matemática Departamento de Matemática
Prof. Jorge Sabatucci (Orientador) Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática
Agradecimentos
À todos os meus colegas que fizeram o curso de Especialização em Matemática. Ao professor Jorge Sabatucci por me orientar na monografia e pelos ensina-mentos e apoio durante a realização da mesma.
Ao aluno Charles Souza do Amaral por ter ajudado e contribuído nessa mono-grafia.
À minha esposa, Antônia, por ter me motivado desde o início do curso. Enfim, a todos aqueles que contribuíram para a realização deste trabalho. Muito Obrigado.
"O homem, como qualquer outro animal, é por natureza indolente. Se nada o estimula, mal se dedica a pensar e se comporta
guiado apenas pelo hábito, como um autômato."
Sumário
Introdução 2 1 Preliminares 4 2 Elipse 9 3 Hipérbole 13 4 Parábola 175 Comentários Sobre as Diretrizes das Curvas 22
5.1 Diretrizes da Elipse . . . 22 5.2 Diretrizes da Hipérbole . . . 22 5.3 Diretriz da Parábola . . . 23
Conclusão 24
Introdução
Há tempos que, principalmente no ensino médio, tanto público como particular, nas disciplinas de física e matemática os gráficos e as figuras são retirados dos exercícios, dos trabalhos e até mesmo das provas que são aplicadas para alunos deficientes visuais com o pretexto de que os mesmos não tem condições de visualizar tais gráficos e figuras.
Esse fato vem trazendo sérias dificuldades na compreensão da geometria plana e espacial, dificultando o acesso desses alunos nos cursos em que essas disciplinas são básicas pois, na maioria dos vestibulares as figuras e os gráficos são cobrados. Pensando nisso, desde o começo e durante a especialização, o meu objetivo no final do curso era propor e desenvolver uma monografia que facilitasse o aluno deficiente visual a visualizar as figuras da geometria plana e espacial, ajudando também os professores na descrição dessas figuras para este aluno.
Inicialmente procurei o professor Jorge Sabatucci para me orientar numa mono-grafia cujo tema era: "Como facilitar a comunicação do professor de matemática que enxerga com o aluno cego", ele gostou do tema, mas me pediu para procurar algum professor da Faculdade de Educação, pois por algum dos professores de lá eu seria melhor orientado e poderia produzir uma monografia de maior alcance.
Já conhecendo o professor Jorge Sabatucci, optei por desenvolver o meu tra-balho com ele. Então pedi a ele que me sugerisse outro tema. O professor disse-me para não abandonar o tema anterior e me propôs outro ligado à área de geometria que achei interessante e a respeito do qual consta este trabalho. Aceitei esse tema, pois se trata de um assunto de que gosto e que nunca tinha visto com tal abor-dagem. Depois de uma reunião presencial e de várias outras através do programa
de computador Skype (software gratuito que permite comunicação pela internet através de conexões de voz) mostraremos agora ao leitor como ficou disposto nosso trabalho.
Durante a exposição desse trabalho vamos permitir certas redundâncias, por entendermos que elas são necessárias para uma boa compreensão de certas partes do texto.
Nas demonstrações que faremos o termo "imagine"aparece algumas vezes, esse termo quase não é usado nos livros didáticos de matemática, porém na descrição de uma figura plana ou sólida para um aluno cego o termo é bastante usado e não traz nenhuma dificuldade para os demais.
O objetivo desse trabalho é mostrar e provar que a interseção de um plano que não passa pelo vértice e não é perpendicular ao eixo com uma superfície cônica circular reta pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola dependendo da maneira com que o plano intersecta a superfície. Para isso, utilizaremos as esferas de Dandelin (Pierre Germinal Dandelin - 12/04/1794 - 15/02/1847), essas esferas tangenciam as geratrizes da superfície cônica e o plano secante.
Essa monografia é composta por 5 capítulos. No Capítulo 1 apresentamos definições e a demonstração de um teorema que serão usados nos Capítulos 2, 3 e 4. No Capítulo 2 é apresentada a elipse como a curva interseção de um certo plano com uma superfície cônica circular reta. Nos Capítulos 3 e 4 são apresentadas da mesma forma a hipérbole e a parábola, respectivamente. E finalmente, no Capí-tulo 5, fazemos um breve comentário sobre as diretrizes das curvas mencionadas anteriormente.
Capítulo 1. Preliminares 4
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo daremos algumas definições e provaremos alguns resultados que serão utilizados nos capítulos seguintes.
Definição 1. Considere uma circunferência contida num plano, uma reta 𝑟 per-pendicular ao plano passando pelo centro da circunferência e 𝑉 um ponto perten-cente a 𝑟 fora do plano.
Uma superfície cônica circular reta é o conjunto de todas as retas que passam por 𝑉 e intersectam a circunferência. O ponto 𝑉 é chamado de vértice, a reta 𝑟 de eixo, as retas que passam por 𝑉 e pela circunferência de geratrizes e a circunferência de curva diretriz.
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Considere o plano que passa por 𝑉 e é perpendicular a 𝑟. Desse modo a superfí-cie cônica fica dividida em duas partes, uma em cada semiespaço determinado pelo plano, chamadas de folhas. A folha contida no semiespaço inferior, em relação ao plano, será chamada de folha 1 e a outra de folha 2.
Definição 2. Considere dois pontos distintos 𝐹1 e 𝐹2 num plano 𝛼 e um número
real positivo 𝑘 tal que 𝑘 >𝐹1𝐹2.Chama-se elipse o lugar geométrico dos pontos de
𝛼 cuja soma de suas distâncias a 𝐹1 e a 𝐹2 é igual a 𝑘. Denominamos os pontos
𝐹1 e 𝐹2 de focos da elipse.
Figura 1.2: Elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2
Nesse caso temos que um ponto 𝑃 pertence a elipse se, e somente se, 𝑃 𝐹1+ 𝑃 𝐹2 = 𝑘.
Definição 3. Considere dois pontos distintos 𝐹1 e 𝐹2 num plano 𝛼 e um número
real positivo 𝑘 tal que 𝑘 < 𝐹1𝐹2. Chama-se hipérbole o lugar geométrico dos
pontos de 𝛼 cujo módulo da diferença de suas distâncias a 𝐹1 e a 𝐹2 é igual a 𝑘.
Capítulo 1. Preliminares 6
Figura 1.3: Hipérbole de focos 𝐹1 e 𝐹2
Nesse caso temos que um ponto 𝑃 pertence a hipérbole se, e somente se, |𝑃 𝐹1 - 𝑃 𝐹2| = 𝑘.
Definição 4. Num plano 𝛼 considere uma reta 𝑑 e um ponto 𝐹 não pertencente a 𝑑. Chama-se parábola o lugar geométrico dos pontos do plano 𝛼 equidistantes da reta 𝑑 e do ponto 𝐹 . A reta 𝑑 e o ponto 𝐹 são denominados de reta diretriz e foco da parábola, respectivamente.
Figura 1.4: Parábola de foco 𝐹 e diretriz 𝑑
Nesse caso temos que um ponto 𝑃 pertence à parábola se, e somente se, 𝑃 𝐹 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝑑).
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Teorema 1. Seja 𝑃 um ponto exterior à uma esfera 𝐸 de centro 𝑂. Todos os segmentos que partem de 𝑃 e tangenciam a esfera 𝐸 são congruentes e, além disso, os pontos de tangência desses segmentos com a esfera determinam uma circunferência.
Figura 1.5: Esfera de centro 𝑂.
Demonstração: Dado um ponto 𝑃 exterior a 𝐸 sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas que passam por 𝑃 e são tangentes à esfera nos pontos 𝑋 e 𝑌 , respectivamente. Então os ângulos 𝑃𝑋𝑂̂︀ e 𝑃𝑌 𝑂̂︀ são retos, pois os segmentos 𝑂𝑋 e 𝑂𝑌 são raios da esfera. Como ∆𝑃 𝑂𝑋 e ∆𝑃 𝑂𝑌 são dois triângulos retângulos com hipotenusa 𝑂𝑃 comum e os catetos 𝑂𝑋 e 𝑂𝑌 são congruentes temos que ∆𝑃 𝑂𝑋 ∼= ∆𝑃 𝑂𝑌, logo 𝑃 𝑋=𝑃 𝑌 .
Agora vamos mostrar a segunda parte do teorema. Seja 𝐻 a interseção da altura do ∆𝑃 𝑂𝑋 em relação ao vértice 𝑋 com o segmento 𝑂𝑃 . Considere o plano 𝜋que passa por 𝐻 e é ortogonal ao segmento 𝑂𝑃 , vamos mostrar que os pontos de interseção dos segmentos que passam por 𝑃 e tangenciam a esfera estão contidos em 𝜋 e equidistam de 𝐻.
Seja 𝐼 a interseção da altura do ∆𝑃 𝑂𝑌 em relação ao vértice 𝑌 com o segmento 𝑂𝑃, da congruência dos triângulos ∆𝑃 𝑂𝑋 e ∆𝑃 𝑂𝑌 e pela construção de 𝐻 e 𝐼 segue que:
Capítulo 1. Preliminares 8 Como 𝑂𝑋 e 𝑂𝑌 possuem a mesma medida e os pontos 𝐻 e 𝐼 estão sobre a semirreta 𝑂𝑃−→ temos:
∆𝑋𝐻𝑂 ∼= ∆𝑌 𝐼𝑂 ⇒ 𝑂𝐻 = 𝑂𝐼 ⇒ 𝐻 = 𝐼.
Para ver que 𝑌 ∈ 𝜋 basta observar que 𝐻𝑌 é perpendicular a 𝑂𝑃 .
Com isso mostramos que os pontos de interseção dos segmentos que passam por 𝑃 e tangenciam a esfera estão contidos numa circunferência de centro 𝐻 e raio 𝐻𝑋. Para concluir a demonstração basta provarmos a recíproca, ou seja, qualquer ponto da circunferência também é um ponto de tangência de um segmento, que passa por 𝑃 , com a esfera.
Dado um ponto 𝑍 dessa circunferência observe que 𝑍𝐻 = 𝑋𝐻 e o segmento 𝑍𝐻 é perpendicular ao segmento 𝑂𝑃 , pois 𝑍𝐻 ⊂ 𝜋. Logo os triângulos ∆𝑍𝐻𝑂 e ∆𝑋𝐻𝑂 são congruentes, já que são dois triângulos retângulos com catetos pos-suindo a mesma medida. Da congruência anterior segue que:
𝑂𝑋 = 𝑂𝑍 𝑒 𝑋 ̂︀𝑂𝐻 ≡ 𝑍 ̂︀𝑂𝐻 .
Desses resultados, e como 𝑂𝑃 é um dos lados dos triângulos ∆𝑍𝑃 𝑂 e ∆𝑋𝑃 𝑂, obtemos que ∆𝑍𝑃 𝑂 ∼= ∆𝑋𝑃 𝑂 e assim 𝑃𝑍𝑂 = 90̂︀ °.
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Capítulo 2
Elipse
Imagine uma superfície cônica circular reta de vértice 𝑉 e eixo 𝑒 (para facilitar imaginemos o eixo 𝑒 na vertical). Considere um plano 𝛼 que não passa por 𝑉 , não é perpendicular ao eixo da superfície cônica e intersecta a superfície cônica em todas as geratrizes como indicado na Figura 2.1, desse modo 𝛼 intersecta a superfície cônica segundo uma curva 𝛾.
Figura 2.1: Interseção do plano 𝛼 com a superfície cônica segundo uma elipse.
Pode-se observar que na folha onde o plano intersecta a superfície existem duas esferas 𝐸1 e 𝐸2, em semiespaços opostos em relação a 𝛼, que tangenciam
Capítulo 2. Elipse 10 todas as geratrizes da superfície cônica e também o plano 𝛼 nos pontos 𝐹1 e 𝐹2,
respectivamente.
Informalmente a existência dessas esferas pode ser sugerida da seguinte forma: • Imagine que um balão esférico seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira 𝛼 que contém 𝑉 . Obtemos a esfera 𝐸1 expandido esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha
tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este. • De forma semelhante imagine que um balão esférico de raio muito grande seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira 𝛼 que não contém 𝑉 , de forma que não intersecte 𝛼. Obtemos a esfera 𝐸2
contraindo esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este.
Figura 2.2: As esferas 𝐸1 e 𝐸2 tangenciam todas as geratrizes e o plano 𝛼.
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Teorema 2. A curva 𝛾, obtida como anteriormente, é uma elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2.
Demonstração: O ponto interessante aqui é demonstrar que todos os pontos de 𝛾 estão na elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2.
O semiespaço que contém 𝑉 será chamado de semiespaço superior e o semies-paço que não contém 𝑉 será chamado de semiessemies-paço inferior. Vamos admitir que 𝐸1 está no semiespaço superior e 𝐸2 no semiespaço inferior como indicado na figura
abaixo.
Figura 2.3: A elipse é a curva que limita a região sombreada.
Dado um ponto 𝑃 pertencente a curva 𝛾, seja 𝑔 a geratriz da superfície cônica que passa por ele. Temos que 𝑔 tangencia 𝐸1 e 𝐸2. Sejam 𝑋 e 𝑌 os pontos de
tangência de 𝑔 com 𝐸1 e 𝐸2, respectivamente, sendo a distância entre esses dois
Capítulo 2. Elipse 12 superfície cônica, cujos extremos são os pontos de tangência dessas geratrizes com as esferas 𝐸1 e 𝐸2, formam um tronco de cone cujas geratrizes são congruentes a
𝑋𝑌 (Teorema 1). O ponto 𝑃 está entre os pontos 𝑋 e 𝑌 , logo 𝑃 𝑋 +𝑃 𝑌 = 𝑋𝑌 = 𝑘.
Como 𝑃 𝑋 e 𝑃 𝐹1 são segmentos tangentes a esfera 𝐸1 temos que 𝑃 𝑋=𝑃 𝐹1
(Teorema 1), de modo análogo segue que 𝑃 𝑌 =𝑃 𝐹2. Desses resultados, concluímos
que 𝑃 𝐹1+ 𝑃 𝐹2 = 𝑋𝑌 = 𝑘.
Para encerrar vamos mostrar que 𝑘 = 𝑋𝑌 > 𝐹1𝐹2.
De fato, basta observarmos que para qualquer ponto 𝑃 de 𝛾 não colinear a 𝐹1
e 𝐹2 temos o triângulo ∆𝐹1𝐹2𝑃, da desigualdade triangular devemos ter 𝑃 𝐹1+
𝑃 𝐹2 > 𝐹1𝐹2. Então, obtemos a seguinte relação:
𝑘 = 𝑋𝑌 = 𝑃 𝑋 + 𝑃 𝑌 = 𝑃 𝐹1+ 𝑃 𝐹2 > 𝐹1𝐹2.
Caso 𝑃 seja colinear aos pontos 𝐹1 e 𝐹2 podem ocorrer duas situações:
i) o ponto 𝐹2 entre os pontos 𝐹1 e 𝑃 ; ou
ii) o ponto 𝐹1 entre os pontos 𝐹2 e 𝑃 .
No primeiro caso 𝑃 𝐹1 > 𝐹1𝐹2 ⇒ 𝑋𝑌 = 𝑃 𝐹1+ 𝑃 𝐹2 > 𝑃 𝐹1 > 𝐹1𝐹2, no outro
caso a demonstração é análoga.
Assim fica demonstrado que todo ponto de 𝛾 está na elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2 e
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Capítulo 3
Hipérbole
Imagine uma superfície cônica circular reta de vértice 𝑉 e eixo 𝑒 (para facilitar imaginemos o eixo 𝑒 na vertical). Seja 𝛼 um plano que não passa por 𝑉 e intersecta as duas folhas da superfície cônica. Desse modo 𝛼 intersecta a superfície cônica segundo uma curva 𝛾.
Figura 3.1: Interseção do plano 𝛼 com a superfície cônica segundo uma hipérbole.
Pode-se observar que existem duas esferas 𝐸1 e 𝐸2, uma em cada folha,
Capítulo 3. Hipérbole 14 superfície cônica. Vamos denominar a folha em que está a esfera 𝐸1 de folha 1 e a
outra de folha 2.
Informalmente a existência dessas esferas pode ser sugerida da seguinte forma: • Imagine que um balão esférico seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira 𝛼 que contém 𝑉 . A esfera 𝐸1 é obtida
expandido esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este.
• A esfera 𝐸2 pode ser obtida de maneira análoga.
Figura 3.2: As esferas 𝐸1 e 𝐸2 tangenciam todas as geratrizes e o plano 𝛼.
Com isso podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 3. A curva 𝛾, obtida como anteriormente, é uma hipérbole de focos 𝐹1
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Demonstração: Dado um ponto 𝑃 de 𝛾 (consideremos 𝑃 na folha 2) seja 𝑔 uma das geratrizes da superfície cônica que passa por 𝑃 ; percebe-se que 𝑔 tangencia as esferas 𝐸1 e 𝐸2. Sejam 𝑋 e 𝑌 os pontos de tangência de 𝑔 com 𝐸1 e 𝐸2,
respectivamente, como indicado na figura abaixo sendo a distância entre esses dois pontos, digamos, igual a 𝑘.
Figura 3.3: A hipérbole é a curva que limita a região sombreada.
Observe que o conjunto dos segmentos contidos nas geratrizes da superfície cônica, cujos extremos são os pontos de tangência dessas geratrizes com as esferas 𝐸1 e 𝐸2, formam um conjunto de segmentos de reta congruentes a 𝑋𝑌 pois, todas
as geratrizes passam por 𝑉 e, pelo (Teorema 1), os segmentos que partem de 𝑉 e tangenciam as esferas 𝐸1 (e 𝐸2) são congruentes.
Como𝑃 𝐹←→1 e 𝑔 tangenciam a esfera 𝐸1 temos, pelo Teorema 1, que 𝑃 𝐹1 = 𝑃 𝑋.
Analogamente, como 𝑃 𝐹←→2 e 𝑔 tangenciam a esfera 𝐸2 obtemos que 𝑃 𝐹2 = 𝑃 𝑌
Então,
|𝑃 𝐹1 − 𝑃 𝐹2| = |𝑃 𝑋 − 𝑃 𝑌 | = 𝑋𝑌 = 𝑘
Capítulo 3. Hipérbole 16 Basta observarmos que para qualquer ponto 𝑃 de 𝛾 não colinear a 𝐹1 e 𝐹2
temos o triângulo ∆𝐹1𝐹2𝑃, pela desigualdade triangular devemos ter
|𝑃 𝐹1− 𝑃 𝐹2| < 𝐹1𝐹2.
Então segue o resultado,
𝑋𝑌 = |𝑃 𝐹1− 𝑃 𝐹2| < 𝐹1𝐹2
Caso 𝑃 seja colinear aos pontos 𝐹1 e 𝐹2 teremos que 𝑃 estará entre os dois
focos, logo a relação acima também é satisfeita.
Assim fica demonstrado que todo ponto de 𝛾 está na hipérbole de focos 𝐹1 e
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Capítulo 4
Parábola
Imagine uma superfície cônica circular reta de vértice 𝑉 e eixo 𝑒 (para facilitar imagine o eixo 𝑒 na vertical). Seja 𝛽 um plano que contém 𝑒, e 𝑔 uma das geratrizes contida em 𝛽. Se um plano 𝛼 é perpendicular a 𝛽, não contém o vértice 𝑉 e é paralelo a 𝑔, temos que a interseção de 𝛼 com a superfície cônica gera uma curva 𝛾 em uma de suas folhas.
Figura 4.1: Interseção do plano 𝛼 com a superfície cônica segundo uma parábola. Percebe-se que o plano 𝛼 divide uma das folhas da superfície cônica em duas regiões em semiespaços opostos. No semiespaço que contém o vértice 𝑉 existe uma esfera 𝐸 que tangencia todas as geratrizes da superfície cônica e também o plano 𝛼 num ponto, seja 𝐹 esse ponto. No outro semiespaço isso não ocorre, uma vez
Capítulo 4. Parábola 18 que a geratriz 𝑔 está toda contida no semiespaço que contém 𝑉 .
Informalmente a existência dessa esfera pode ser sugerida da seguinte forma: • Imagine que um balão esférico seja colocado dentro da superfície cônica, na
folha 1 e no semiespaço de fronteira 𝛼 que contém 𝑉 . Obtemos a esfera 𝐸1 expandido esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha
tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este.
Figura 4.2: A esfera 𝐸1 tangencia todas as geratrizes e o plano 𝛼.
Seja 𝜋 o plano que passa por todos os pontos de tangência da esfera com a superfície cônica, a qual existe pelo Teorema 1. Definindo a reta 𝑑 como 𝑑 = 𝜋 ∩ 𝛼 temos o seguinte teorema:
Teorema 4. A curva 𝛾, obtida como anteriormente, é uma parábola de foco 𝐹 e diretriz 𝑑.
Antes de demonstrar esse teorema iremos fazer algumas definições e mostrar alguns resultados. Sejam:
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Figura 4.3: A interseção do plano 𝛼 com a superfície cônica é uma parábola.
Como os planos 𝛼 e 𝜋 não são paralelos e são ambos perpendiculares a 𝛽 segue que a reta 𝑑 = 𝛼 ∩ 𝜋 é perpendicular a 𝛽. Assim os planos 𝛼, 𝜋 e 𝛽 têm somente um ponto em comum, que é a interseção da reta 𝑑 com o plano 𝛽, digamos 𝐷.
Dessa forma a interseção das retas 𝑡 = 𝛼 ∩ 𝛽 e 𝑟 = 𝜋 ∩ 𝛽 é dada por: 𝑡 ∩ 𝑟 = (𝛼 ∩ 𝛽) ∩ (𝜋 ∩ 𝛽) = (𝛼 ∩ 𝜋) ∩ 𝛽 = 𝑑 ∩ 𝛽 = 𝐷 Portanto as retas 𝑟, 𝑡 e 𝑑 se intersectam no ponto 𝐷.
Em relação a reta 𝑟 sabemos que 𝑟 ⊂ 𝛽 e ela não é paralela a 𝑔 ⊂ 𝛽, então 𝑟 e 𝑔 são concorrentes, seja 𝐴 = 𝑟 ∩ 𝑔.
Dado um ponto 𝑃 da curva 𝛾 seja 𝜃 um plano que passa por 𝑃 e é paralelo a 𝜋.
Capítulo 4. Parábola 20
𝜃 ∩ 𝛼 = 𝑑′ 𝜃 ∩ 𝛽 = 𝑠 e 𝐵 a interseção da geratriz 𝑔 com a reta 𝑠.
Como os planos 𝛼 e 𝜃 não são paralelos e são ambos perpendiculares a 𝛽 segue que a reta 𝑑′ = 𝛼 ∩ 𝜃 é perpendicular a 𝛽. Assim os planos 𝛼, 𝜃 e 𝛽 têm somente
um ponto em comum, que é a interseção da reta 𝑑′ com o plano 𝛽, digamos 𝐶.
Dessa forma a interseção das retas 𝑡 = 𝛼 ∩ 𝛽 e 𝑠 = 𝜃 ∩ 𝛽 é dada por: 𝑡 ∩ 𝑠 = (𝛼 ∩ 𝛽) ∩ (𝜃 ∩ 𝛽) = (𝛼 ∩ 𝜃) ∩ 𝛽 = 𝑑′∩ 𝛽 = 𝐶 Portanto as retas 𝑠, 𝑡 e 𝑑′ se intersectam no ponto 𝐷.
As retas 𝑑 e 𝑑′ são paralelas pois 𝑑 ⊂ 𝜋, 𝑑′ ⊂ 𝜃 e ambos os planos, 𝜋 e 𝜃, são
perpendiculares a 𝛽, e além disso, 𝑑 e 𝑑′ estão contidas em 𝛼.
Agora iremos enunciar dois lemas que serão demonstrados após concluída a demonstração do Teorema 4.
Lema 1. O quadrilátero ABCD está contido em 𝛽 e é um paralelogramo.
Considere a reta 𝑢 perpendicular a 𝑑′ no ponto 𝑃 e intersectando a reta 𝑑 num
ponto 𝑃′.
Lema 2. O quadrilátero PP’DC é um retângulo.
Observe que nesse caso a distância entre os pontos 𝑃 e 𝑃′ é igual a distância
do ponto 𝑃 à reta 𝑑, ou seja: 𝑃 𝑃′ = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝑑).
Seja ℎ a geratriz da superfície cônica que passa por 𝑃 . Se 𝑄 é o ponto onde ℎ intersecta a esfera segue que 𝑃 𝑄 = 𝐴𝐵, pois esses dois segmentos são geratrizes do tronco de um cone determinados pela interseção dos planos 𝜃 e 𝜋 com a superfície cônica. Também temos, pelo Teorema 1, que 𝑃 𝐹 = 𝑃 𝑄.
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Agora iremos demonstrar o Teorema 4.
Demonstração do Teorema 4: De acordo com as considerações anteriores temos que:
𝑃 𝐹 = 𝑃 𝑄 = 𝐴𝐵 (𝑇 𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1), 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 (𝐿𝑒𝑚𝑎 1), 𝐶𝐷 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝑑) (𝐿𝑒𝑚𝑎 2) ⇒ 𝑃 𝐹 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝑑).
Como o ponto 𝑃 , o ponto 𝐹 , a reta 𝑑 e a curva 𝛾 estão todos no plano 𝛼 e 𝑃 𝐹 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝑑) para qualquer ponto 𝑃 da curva, temos que os pontos de 𝛾 estão sobre a parábola de foco 𝐹 e diretriz 𝑑.
Agora passaremos às demonstrações dos lemas 1 e 2.
Demonstração do Lema 1: Como os pontos 𝐴,𝐵,𝐶 e 𝐷 estão contidos em 𝛽 segue a primeira parte do lema. Para mostrar a segunda parte basta observar que 𝐴𝐷 ⊂ 𝑟 e 𝐵𝐶 ⊂ 𝑠, logo temos:
𝑟 = 𝜋 ∩ 𝛽, 𝑠 = 𝜃 ∩ 𝛽 𝑒 𝜋//𝜃 ⇒ 𝑟//𝑠 ⇒ 𝐴𝐷//𝐵𝐶. De maneira análoga, como 𝑔//𝛼, temos que 𝐴𝐵//𝐶𝐷.
Demonstração do Lema 2: Pela construção da reta 𝑢 (𝑢 perpendicular a 𝑑′) e usando o fato de que 𝑑//𝑑′ e 𝑃 𝑃′ ⊂ 𝑢 segue que os ângulos 𝑃′
̂︀
𝑃 𝐶 e 𝑃̂︁𝑃′𝐷 são retos. E como 𝑑 ⊂ 𝜋, 𝑡 ⊂ 𝛽 e 𝜋 é perpendicular a 𝛽 segue que as retas 𝑡 e 𝑑 são perpendiculares, logo temos que
𝑃′𝐷 ⊂ 𝑑 𝑒 𝐷𝐶 ⊂ 𝑡 ⇒ 𝑃′
̂︀
𝐷𝐶 = 90∘.
Já que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360° temos que 𝐷 ̂︀𝐶𝑃 = 90°. Portanto o quadrilátero 𝑃 𝑃′𝐷𝐶 é um retângulo.
Capítulo 5. Comentários Sobre as Diretrizes das Curvas 22
Capítulo 5
Comentários Sobre as Diretrizes das
Curvas
5.1
Diretrizes da Elipse
No Capítulo 2, sobre a elipse, imagine um plano que passa por todos os pontos de tangência de 𝐸1 com a superfície cônica. Note que esse plano intersecta 𝛼
segundo uma reta, seja 𝑑1 essa reta. Da mesma forma, imagine um outro plano
que passa por todos os pontos de tangência de 𝐸2 com a superfície cônica. Este
outro plano intersecta o plano 𝛼 segundo uma outra reta, seja 𝑑2 essa reta.
As retas 𝑑1 e 𝑑2 são denominadas diretrizes da elipse segundo os focos 𝐹1 e
𝐹2, respectivamente. Pode-se provar que a razão entre as distâncias de um ponto
qualquer da elipse a 𝐹1 e desse mesmo ponto a 𝑑1 é constante e menor que 1.
Analogamente pode-se provar que o mesmo ocorre para 𝐹2 e 𝑑2.
5.2
Diretrizes da Hipérbole
No Capítulo 3, sobre a hipérbole, imagine um plano que passa por todos os pontos de tangência de 𝐸1 com a superfície cônica. Note que esse plano intersecta
𝛼 segundo uma reta, seja 𝑑1 essa reta. Da mesma forma, imagine um outro plano
que passa por todos os pontos de tangência de 𝐸2 com a superfície cônica. Este
23 5.3. Diretriz da Parábola As retas 𝑑1 e 𝑑2 são denominadas diretrizes da hipérbole segundo os focos
𝐹1 e 𝐹2, respectivamente. Pode-se provar que a razão entre as distâncias de um
ponto qualquer da hipérbole a 𝐹1 e desse mesmo ponto a 𝑑1 é constante e maior
que 1. Analogamente pode-se provar que o mesmo ocorre para 𝐹2 e 𝑑2.
5.3
Diretriz da Parábola
Na demonstração do Teorema 4, a reta 𝑑, que é a interseção do plano 𝜋 com o plano 𝛼, é denominada diretriz da parábola. Como a distância de 𝑃 a 𝐹 é igual a distância de 𝑃 a 𝑑 então a razão entre essas distâncias é igual 1.
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Conclusão
Conversando com alguns colegas que também são professores de matemática so-bre o ensino dessa disciplina, percebemos que, apesar de muitos estudos e pesquisas comprovarem que o ensino da geometria deve ser melhor explorado desde as séries iniciais até o ensino médio, a predominância da álgebra ainda é muito grande, deixando a desejar o raciocínio geométrico. Em virtude disso fica difícil aproveitar um trabalho como este, cuja abordagem é quase toda geométrica, nos ensinos fundamental e médio.
Já para o curso de graduação em matemática, onde se espera que o raciocínio geométrico seja mais enfatizado, deixamos aqui, nessa monografia, um material para futuras pesquisas sobre o assunto.
Pessoalmente, trabalhar este tema, "Interseções de uma Superfície Cônica Cir-cular Reta com um Plano", foi muito prazeroso e que me trouxe um pouco mais de conhecimento sobre o assunto, já que para mim a abordagem sobre o mesmo foi novidade.
Só tenho a lamentar que devido as minhas várias viagens à serviço o tempo ficou curto e não tive como aprofundar-me mais no Capítulo 5.
Assim como eu, há em Belo Horizonte mais três professores de matemática que são cegos e que, tenho certeza, gostariam de ler sobre o assunto. Para eles e outros que possam vir, deixo uma cópia em braile dessa monografia e espero que de sua leitura outros trabalhos possam ser produzidos no futuro.
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Referências Bibliográficas
[1] Elementos de Geometria. 1
[2] BARRETO FILHO, Benigno, SILVA, Cláudio Xavier. Coleção Matemática Aula por Aula, Ensino Médio - Terceira Série. Impressão Braille da primeira edição, 2003, com a autorização da editora FTD SA.
[3] IEZZI, Gelson, e outros. Matemática - terceira série do segundo grau. Transcrição braille da primeira edição, autorizada pela Atual Editora LTDA, 1980.
1A versão consultada foi adquirida em um cebo (livraria de livros usados) e está sem a capa
