MATERIAL PARA ESTUDO, FAVOR NÃO DIVULGAR ONLINE, POIS FALTA CITAR VÁRIOS AUTORES QUE FORAM APRESENTAÇÃO.

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MATERIAL PARA ESTUDO,

FAVOR NÃO DIVULGAR ONLINE, POIS FALTA

CITAR VÁRIOS AUTORES QUE FORAM

USADOS NA CONFECÇÃO DESSA

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Mini-Curso:Introdução aos Isolantes

Topológicos.

Leandro Oliveira do Nascimento Leandro Oliveira do Nascimento

Belém, 23-25 de março de 2015

Prof Dr. Eduardo Cantera Marino Prof Dr. Van Sérgio da Silva Alves Profa Dra Cristiane de Morais Smith

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INTRODUÇÃO

Sistemas em 2 dimensões exibem fenômenos quânticos não observados em dimensões maiores, como o efeito Hall quântico.

(4)

INTRODUÇÃO

Em 1980, K. Von Klitzing (nobel de física, 1985) mostrou que na presença de um campo magnético intenso a condutividade Hall é quantizada.

(5)

INTRODUÇÃO

Algumas características do efeito Hall quântico:

1) Observado em temperaturas baixas e campos magnéticos intensos. 2) Condutividade é um valor quantizado de e²/h (constante de V.Klitzing). 2) Condutividade é um valor quantizado de e²/h (constante de V.Klitzing). 3) O material possui comportamento diferente no centro e na borda; no

centro é isolante, enquanto na borda é metal.

4) A corrente na borda é quiral, ou seja, todos os elétrons se movem na mesma direção.

5) O valor da condutividade Hall não depende de detalhes da amostra, como tamanho, largura, desordem, perturbações locais...

(6)

INTRODUÇÃO

A física do efeito Hall quântico pode ser entendida em termos dos níveis de Landau e do número de Chern.

(7)

INTRODUÇÃO

O efeito Hall quântico inteiro de V. Klitzing pode ser entendido em termos de uma teoria não interagente.

Existe também o efeito Hall quântico fracionário, cuja explicação depende da teoria de férmions compostos, obtida através de um depende da teoria de férmions compostos, obtida através de um modelos interagentes.

Os níveis de Landau são os níveis de energia dos elétrons quando submetidos a um campo magnético ortogonal ao plano. São parecidos aos níveis de energia de um oscilador harmônico unidimensional.

(8)

INTRODUÇÃO

(9)

INTRODUÇÃO

O efeito Hall quântico inteiro no grafeno: 1-Temperatura ambiente (300K);

1-Temperatura ambiente (300K); 2- Niveis de Landau relativísticos; 3- Efeito Hall quântico anômalo (Nf=2 spin x 2 cones=4);

4- Nível n=0 é parcialmente preenchido;

(10)

INTRODUÇÃO

graças ao grande interesse no grafeno cogitou-se a possibilidade do efeito Hall quântico de spin (Kane e Mele, 2005) nesse sistema;

Lembrete: Em 1988 Haldane mostrou que NÃO era necessário ter campo magnético externo para ocorrer efeito Hall quântico.

campo magnético externo para ocorrer efeito Hall quântico. Efeito Hall quântico de Spin:

1-Gerado pela interação spin-órbita. 2-Corrente de spin transversa.

3-Preserva T para todo o sistema. 4-Não ocorre no grafeno!!

(11)

INTRODUÇÃO

Em 2007, Molenkamp mediu o efeito Hall quântico de spin, usando um sistema 2-d formado por folhas de HgTe (Telureto de mércurio). Modelo BHZ (2006).

O efeito Hall quântico inteiro e de spin são exemplos de isolantes O efeito Hall quântico inteiro e de spin são exemplos de isolantes topológicos. Esse é um novo estado da matéria que não pode ser explicado através da quebra espontânea de simetria ou pela presença de um parâmetro de ordem local.

Isolantes topológicos são caracterizados pelo centro da amostra com comportamento de isolantes, mas com estados de borda com comportamento de metal. No caso do efeito Hall quântico inteiro, os estados de borda são quirais, enquanto no efeito Hall quântico de spin, os estados de borda são helicoidais.

(12)

PLANO GERAL

Dia-1- O Efeito Hall quântico

Teoria de Bandas.

Rede unidimensional Vs Poliacetileno. Rede unidimensional Vs Poliacetileno. Efeito Hall quântico.

(13)

PLANO GERAL

Dia-2-Isolantes Topológicos

Fase de Berry

Teorema adiabático quântico. Teorema adiabático quântico.

Condutividade Hall e a Fase de Berry. Fórmula de Kubo.

(14)

PLANO GERAL

Dia-3-Grafeno e supercondutores topológicos

O Grafeno.

Tight-Binding, paradoxo de Klein, deformação e interação. Tight-Binding, paradoxo de Klein, deformação e interação. Grafeno massivo e o número de Chern.

Efeito Hall quântico de Spin.

Supercondutores topologicos e férmions de Majorana. Discussão sobre os exercícios.

(15)

TEORIA DE BANDA

Como classificar um material enquanto metal ou isolante??

(16)

Física do Estado Sólido: Elétrons + potencial periódico

Precisamos obter as bandas (dispersão) dos elétrons; Precisamos obter as bandas (dispersão) dos elétrons;

(17)

PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO

1ª QUANTIZAÇÃO: Operadores.

2ª QUANTIZAÇÃO: Número de ocupação. 2ª QUANTIZAÇÃO: Número de ocupação.

Radiação Fóton (bóson). Matéria Elétron (férmion).

Espaço de Fock Operadores de criação e destruição de partículas.

(18)

Bósons: Comutadores, spin inteiros, número de ocupação de 0 a infinito, Função de onda simétrica

Férmions:Anticomutadores, spin semi-inteiros, número de ocupação de 0 a 1 (principio da exclusão de Pauli), função de onda

anti-simétrica.

(19)

Qual o estado de mínima energia (mais provável) para Temperatura=0?

Férmions: Superfície de Fermi

(20)

Como escrever operadores nesse formalismo?

Exemplo: Operador energia cinética de um elétron não-relativístico:

Espaço de momento.

(21)

***Modelo 1-d para um metal***

(22)

Modelo de isolante 1-d: O poliacetileno!

! ! ! !" #

$! !% ! !& ' (# ) ! ! ! ! ! #

(23)

*

+ &

* , &- .

(24)

*

0 -& 0 -&

(25)

1 1

(26)

*

2 3 &

(27)

* 4 & ' 4 4 4 & ,

(28)

Bandas de energia para o poliacetileno

(29)

6

7 ) & ' 8

(30)

6 / :

(31)

- , 967 ; + . 4 < = >5 & < = >5 & ;

(32)

?

+ , @

(33)

Invariante topológico do modelo SSH

Mostramos que o modelo SSH pode ser escrito como:

O número de vezes que o círculo encobre a origem é O número de vezes que o círculo encobre a origem é

(34)

Invariante topológico do modelo SSH

Lembrando que h(k) é periódico na zona de Brillouin...

Para termos um número real, devemos ter

Diferentes invariantes topológicos

(35)

Versão continua do modelo SSH

Conhecemos a versão da rede:

Podemos obter o Hamiltoniano de Bloch 2x2....

(36)

Versão continua do modelo SSH

Para baixos momentos: Assim...

Equação de Dirac em 1+1 D com massa efetiva.

(37)

(38)

EFEITO HALL CLÁSSICO Força total nula, logo

Campo magnético na direção z e a Lei de Ohm, logo

(39)

***EFEITO HALL QUÂNTICO: NIVEIS DE LANDAU*** Hamiltoniano

,

(40)

***TRANSPORTE QUÂNTICO***

,

Aspecto microscópico: Bandas de energia.

Propagação de ondas na rede atômica. Aspecto macroscópico: Condutividade (local) Vs Condutância.

Resistividade (local) Vs Resistência. Quantum de condutância:

Canais de transmissão Condutividade (Fórmula de Landauer) Canais de transmissão Condutividade (Fórmula de Landauer) Teoria de resposta linear Kubo Fórmula

(41)

O quantum de condutância

,

Qual a condutividade de uma onda plana???

Solução da Eq. Schrodinger: Solução da Eq. Schrodinger:

(42)

,

Corrente carregada pelo modo

(43)

,

Condutividade

Valor universal

(44)

Fórmula de Landauer-Buttiker

,

T= coeficiente de transmissão.

(45)

Condutância de um nível de Landau

,

(46)

Condutância de um nível de Landau

,

Condutividade quantizada Nível de energia quantizado

(47)

RESUMINDO...

,

(48)

RESUMO ATÉ AQUI:

,

• Isolantes são materiais que possuem um gap de energia em sua estrutura de banda.

• Condutividade Hall é uma condutividade elétrica transversa ao campo elétrico aplicado no material.

• Para campos suficientemente intensos, essa condutividade é quantizada devido aos níveis de Landau.

AMANHÃ:

(49)

ISOLANTES

ISOLANTES TOPOLÓGICOS

TOPOLÓGICOS

(50)

(51)

(52)

Como classificar essas novas fases da matéria???

Quebra espontânea de

simetria!

(53)

Como explicar um mundo sem simetria, partindo de teorias totalmente simétricas?

Em alguma escala essas teorias devem fornecer estados de mínima energia (mais favoraveis) que violam essas simetrias.

(54)

Sendo assim....

Supercondutividade Densidade de pares de Cooper. Ferromagnetismo Magnetização.

Condensado de Bose-Einstein Densidade de partículas. ....

Efeito Hall quântico ???????

Não existe um parâmetro de ordem local??

A condutividade Hall não depende de detalhes do sistema. Ao contrário, é uma quantidade que não é alterada facilmente!

(55)

O efeito Hall quântico será classificado a partir de um invariante topológico. ***FASE DE BERRY***

(56)

A fase de Berry vem do fato de que os autovetores são diferentes em tempos diferentes.

Então por que nunca estudamos a

fase Berry antes em mecânica

(57)

Porque o vetor potencial de Berry é dependente de Gauge!

Função completamente arbitrária! Então sempre é possível escolher um potencial vetor, tal que a fase de Berry

(58)

A Fase de Berry é real:

A Fase de Berry depende de derivadas dos

autovetores e é dependente de Gauge,

(59)

Buscando inspiração no eletromagnetismo...usando o teorema de Stokes:

Assim obtemos a curvatura de Berry (invariante de Gauge)

Um tipo de “campo magnético” no espaço de R.

(60)

Sejam m e n autovetores do Hamiltoniano, então

Reescrevendo a Fase de Berry....

(61)

Assim chegamos na equação final para a fase de Berry:

Mas e se Em=En (niveis degenerados) no denominador da Eq. acima??? Mas e se Em=En (niveis degenerados) no denominador da Eq. acima???

(62)

Portanto:

Usando o fato de que a fase de Berry deve ser real:

Basta calcula a Fase de Berry para um dos niveis de energia

Vamos fazer duas aplicações: (i) Dirac não massivo;

(ii) Spin-S em um campo Magnético;

(63)

Fase de Berry para partícula não massiva de spin-1/2.

Gradiente do Hamiltoniano.

Os autovetores do Hamiltoniano: Os autovetores do Hamiltoniano:

(64)

Portanto

Para obter a fase de Berry basta calcular o fluxo desse vetor

Usando o teorema de Gauss temos:

(65)

(66)

Assim

Para obter a fase de Berry basta calcular o fluxo desse vetor

Usando o teorema de Gauss temos:

(67)

• Isolantes Topológicos são um novo estado da matéria que não podem ser descritos por quebra espontânea de simetria.

• O estado Hall quântico é um estado Topológico, pois não é descrito atrevés de um parâmetro local, como a Magnetização para o ferromagnetismo.

ferromagnetismo.

• A fase de Berry é um invariante topológico, pois depende apenas dos autovetores da teoria. O número de Chern é a fase de Berry dividido por 2 \pi.

(68)

RESTAM AS PERGUNTAS:

• Como classificar o efeito Hall quântico através da fase de Berry???

• O estado Hall quântico não quebra nenhuma simetria???

(69)

FASE DE BERRY E

CONDUTIVIDADE HALL

(70)

• Isolantes Topológicos são um novo estado da matéria que não podem ser descritos por quebra espontânea de simetria.

• O estado Hall quântico é um estado Topológico, pois não é descrito atrevés de um parâmetro local, como a magnetização para o ferromagnetismo.

ferromagnetismo.

• A fase de Berry é um invariante topológico, pois depende apenas dos autovetores da teoria. O número de Chern é a fase de Berry dividido por 2 \pi.

(71)

Vamos precisar discutir a evolução adiabática: Eq. De Schrodinger: 0 1 2 3 ... Gap

(72)

Os coeficientes são dados por:

Os teorema adiabático em “ordem zero” é:

Quando os parâmetros variam adiabaticamente, os autovetores instantâneos do Hamiltoniano não mudam! Não ocorrem transições de um estado n

para um estado m. Note que aqui supomos um gap de energia entre esses estados!

(73)

Não queremos essa solução....

Em primeira ordem, temos

(74)

(75)

Usando o teorema adiabático quântico...

Obtemos as condutividades elétricas longitudinais e transversais

(76)

(77)

(78)

Como obter a condutividade Hall em uma descrição contínua??

Condição de causalidade

(79)

O grande interesse é a condutividade elétrica d.c

Em um modelo com interação U(1), temos

...

(80)

RESTAM AS PERGUNTAS (E AS DE VOCÊS....)

Como classificar o efeito Hall quântico através da fase de Berry

A Condutividade Hall é a integral da curvatura de Berry, em toda a primeira zona de Brillouin, de todas as bandas preenchidas.

• O estado Hall quântico não quebra nenhuma simetria??? ESSE VALOR É QUANTIZADO??

SIM, pois os autovetores admitem um único valor para cada ponto do SIM, pois os autovetores admitem um único valor para cada ponto do

espaço dos parâmetros espaço dos parâmetros

(81)

SIMETRIA DE INVERSÃO TEMPORAL T

As Leis físicas são invariantes sobre T. Simetria discreta.

Não é facilmente quebrada.

Um campo magnético externo viola T.

Antes de 2005 acreditava-se que o efeito Hall quântico implicava violação de T.

Efeito Hall quântico de spin NÂO VIOLA T. Mas, o efeito Hall quântico inteiro quebra T.

(82)

SIMETRIA DE INVERSÃO TEMPORAL T: Partícula sem spin

Precisamos que a relação canônica de comutação seja invariante por T

Portanto

T Conjugação complexa. T Operador antiunitário.

(83)

Simetria T: Partículas sem spin no cristal

O que ocorre com os operadores no espaço de posição e momento?

(84)

Simetria T: Partículas sem spin no cristal

Primeira consequência: Partículas sem /com spin e com invariância de T não podem apresentar efeito Hall quântico!

F(k)+F(-k)=0!! F(k)+F(-k)=0!!

(85)

Simetria T: Partículas com spin

Rotação de pi em torno do eixo-y.

(86)

Simetria T: Partículas com spin-1/2

(87)

Simetria T: O teorema de Kramer: spin ½.

Considere um Hamiltoniano invariante por T, logo

Seja Um autoestado de H, então _{Também é autoestado de H.} com a mesma energia E.

(88)

Simetria T: Elétrons com spin na rede.

O Hamiltoniano genérico é

O operador T muda o spin:

Com base nessas relações é possível mostrar que

O operador T modifica o Hamiltoniano de Bloch k -k, esse operador atua apenas nos orbitais de spin!

(89)

Simetria T: Elétrons com spin na rede.

Para os autoestados |u> do Hamiltoniano de Bloch

Existem pontos do espaço de momento onde o Hamiltoniano de Existem pontos do espaço de momento onde o Hamiltoniano de Bloch é invariante. Nesses podemos aplicar o teorema de

kramers, por exemplo os valleys do grafeno.

Conclusão: Não há dupla degenerescência, pois k - k e h(k) é diferente de h(-k). Exceto para um conjunto particular de pontos G/2, no qual h(G/2)=h(-G/2), a dupla degenerescência é preservada!.

(90)

,

• A FASE DE BERRY é uma quantidade topológica, pois está codificada nos autovetores da teoria.

• Condutividade Hall é a soma das fases de Berry de todas as bandas preenchidas dividido por 2 \pi o que é igual ao número de Chern.

• A fórmula de Kubo é equivalente ao resultado obtido via teoria de banda.

AMANHÃ:

(91)

O GRAFENO

Descoberto experimentalmente em 2004 (A.Geim e K. Novoselov, prêmio Nobel 2010).

Uma camada fina de átomos de carbono. Átomos de carbono fortemente arranjados em uma rede hexagonal.

Material extremamente leve ~ 0.77 mg/m², melhor condutor elétrico e térmico (T ambiente) conhecido pelo homem.

A. Bernevig, 2013. Livro sobre isolantes topológicos e teoria do efeito Hall quântico de Spin (Modelo BHZ).

(92)

(93)

Elétrons livres no grafeno

Modelo tight-binding

Transformada de Fourier (desconsiderando o spin...)

(94)

Elétrons livres no grafeno

(95)

Partículas de Dirac sem massa nas proximidades dos

pontos K e K’!

(96)

Efeito Hall quântico relativístico no grafeno

Novos níveis de energia de Landau

(97)

Resultados importantes sobre o grafeno:

1- Paradoxo de Klein;

2-Efeito Hall quântico inteiro em T ambiente;

3- Efeito Hall quântico fracionário;

Interação!

4- Renormalização da velocidade de Fermi;

Interação!

5- Produção de pseudo campo magnético de 600 Tesla

através de tensão mecânica;

Geração de um gap de energia (massa) no ponto de

Dirac???

(98)

Paradoxo ou tunelamento de Klein

Partícula na presença de uma barreira

Solução para uma partícula clássica

Partícula atravessa a barreira.

(99)

Paradoxo ou tunelamento de Klein

Partícula na presença de uma barreira

Solução para uma partícula quântica não relativística.

(100)

Paradoxo ou tunelamento de Klein

Para uma partícula de Dirac? Agora temos partículas com energia negativa. A. Geim et al, Nat. Phys. (2006).

(101)

Renormalização da velocidade de Fermi

Relevância das interações no grafeno;

Invariância de Lorentz no limite de densidade zero;

(102)

Pseudo campo magnético de 300 T no grafeno

Gerado por deformação mecânica (strain);

Acopla com sinal diferente em valleys diferentes;

Possibilidade de estudar elétrons em espaços curvos; A. H. Castro Neto et al, Science. (2010).

(103)

Grafeno massivo: Modelo para um isolante topológico

Generalização: Generalização:

(104)

Conexão de Berry

Diagonalizando o Hamiltoniano h:

(105)

Conexão de Berry

(106)

Conexão de Berry

Integrando a conexão de Berry sobre a superfície de Fermi...

(107)

Curvatura de Berry

Finalmente podemos obter a curvatura de Berry para o caso de um isolante (tomamos as soluções para E-)

(108)

O número de Chern

A integral da curvatura de Berry

Anomalia de Paridade?

(109)

Efeito Hall quântico anômalo.

O Hamiltoniano mais geral em 2-d para descrever um sistema com duas bandas é:

(110)

Aplicando a fórmula de Kubo para a componente transversa:

Efeito Hall quântico anômalo.

(111)

A componente transversa é:

Podemos resolver a soma sobre as frequências de Matsubara:

Efeito Hall quântico anômalo.

(112)

Subtração do termo de frequência zero:

Portanto...

Efeito Hall quântico anômalo.

(113)

Substituindo a expressão para as correntes:

Efeito Hall quântico anômalo.

(114)

Supondo que exista um gap de energia:

Potencial químico dentro do gap: banda de valência preenchida e de

Efeito Hall quântico anômalo.

de valência preenchida e de condução vazia.

(115)

Condutividade transversa para Dirac massivo:

Hamiltoniana de Dirac massivo:

(116)

Condutividade transversa para Dirac massivo:

A diferença entre as condutividades para massa positiva e negativa fornecem uma condutividade Hall inteira!

Mas

Mas aa condutividadecondutividade HallHall nãonão éé quantizada?quantizada?

Existe um salto de condutividade ao fechar e abrir o gap (quando “m” atravessa um valor negativo para um positivo, necessariamente existe um ponto no qual m=0!). Isso é uma transição entre estados topológicos.

A teoria na rede captura a quantização melhor que a teoria contínua!? Segundo A. Bernevig, devido a problema de regularização nenhuma teoria contínua seria capaz de capturar a quantização exata na condutividade Hall.

Em 1989 A. Coste and Luscher mostraram que ao impor LARGE GAUGE TRANSFORMATION INVARIANCE na teoria de Dirac sem massa, nós recuperamos a quantização exata no termo de Chern-Simons (o que implica quantização da condutividade Hall). Em 2015, esse resultado foi interpretado como o efeito Hall quântico de valley no grafeno.

(117)

Condutividade transversa para Dirac massivo:

Mas como abrir o gap no grafeno?

Potencial químico nas subredes A e B? Semenoff, 1984. Fluxo alternado de campo magnético? Haldane PRL, 1989.

Influência de substratos (h-BN, hexagono com Boron e Nitrato)~53 meV. Interação spin-órbita, elétron-elétron?

(118)

Teoria de Dirac na rede:

Sistema sem gap nesses pontos. Somente nessas transições ocorre

(119)

Teoria de Dirac na rede:

Em primeira ordem: Teoria de Dirac Em primeira ordem: Teoria de Dirac

Em segunda ordem: Versão do modelo BHZ (Efeito Hall quântico de Spin), i.e, uma componente diagonal do modelo BHZ.

(120)

Efeito Hall quântico de spin

Isolante topológico que preserva a simetria T. Sem campo magnético externo. Acumulo de corrente de spin nas bordas.

Primeiro foi idealizado por Kane e Mele (2005) para o grafeno, mas como a interação spin-órbita não é grande (átomos de carbono são leves), então em 2006 Bernevig, Hughes e Zhang (BHZ) propuseram um novo modelo adequado para barreiras de HgTe. Em 2007 foi verificado experimentalmente por Molenkamp et al.

(121)

O Estado de Borda e de Energia Zero

Embora falamos de correntes na borda, até agora tudo que fizemos foi calcular quantidades no bulk (centro).

Equação De Dirac Equação De Dirac

(122)

O Estado de Borda e de Energia Zero

Usando a Eq. de Dirac, temos

Procurando por soluções com E=0 (estados de borda).

(123)

O Estado de Borda e de Energia Zero

Solução final:

Propriedades:

Localizado nas bordas:

Propaga-se na direção x. Estado quiral.

E=0, modo de energia zero, outra indicação que está na borda. Correspondência

(124)

Correspondência bulk-edge (centro-borda)

Propriedades:

O número de Chern é a diferença entre o número de estados de borda que se propagam para a direita e os que se propagam para a esquerda. Esses estados devem cruzar a energia de Fermi.

O número de Chern não pode ser modificado por mudanças adiabáticas no Hamiltoniano.

Essa quantidade depende de detalhes do Hamiltoniano, ou seja, é uma Essa quantidade depende de detalhes do Hamiltoniano, ou seja, é uma informação “codificada” nos autovetores do bulk.

(125)

Supercondutores Topologicos

Férmions de Majorana:

Soluções reais para a Eq. De Dirac.

O férmion de Majorana é a sua própria anti-partícula.

Decomposição em férmions de Majorana sempre é possível. Férmions de Majorana não são férmions!.

Física de partículas: Neutrino??? Física de partículas: Neutrino??? Matéria condensada:

Estados de borda de uma nanofita na proximidade de um supercondutor, ex: cadeia de Kitaev.

Relevância para computação quântica. Estados topologicamente protegidos podem formar qubits protegidos contra desordem e interação com o ambiente. Estatística não abeliana.

(126)

(127)

Cadeia de Kitaev

Fio quântico em cima de um supercondutor 3-d;

Devido a presença do supercondutor a simetria U(1) deve ser quebrada; Devido a presença do supercondutor a simetria U(1) deve ser quebrada;

mas vamos preservar a simetria Z2

(128)

Cadeia de Kitaev

Modelo 1-d; Elétron com um único spin!, vamos dizer s=+1/2.

Potencial químico. Supercondutor tipo-p. Momento angular não nulo.

Quebra U(1). Parâmetro de salto

(129)

Cadeia de Kitaev

Usando a transformada de Fourier em 1-d.

Energia cinética deslocada, devido ao potencial químico

(130)

Cadeia de Kitaev

O Hamiltoniano de Bloch é

(131)

Cadeia de Kitaev

Usando a propriedade conhecida:

Os autovalores da cadeia de Kitaev são

Gap?

(132)

Cadeia de Kitaev

Invariante topológico da cadeia de Kitaev:

Fase não trivial. Estados de borda, quais?

Fase trivial. Sem estados de borda

Fase de Majorana

(133)

Cadeia de Kitaev

Quem são os estados de borda? Escolhendo a fase não trivial

(134)

6. REFERÊNCIAS PRINCIPAIS

[1] 3 * 3 & 9 < A 9 2 & 8)$ [2] < 1 < ?>B9 >B B < B < 8)C < B < 8)C [3] 7 D ; E F < + 2 2 & 8)C GCH F D 1 7 D D > 9 ; ; 8)C

[5] * A 7 + 1 5 + D I = ; + & & * = 5 I & J D K) )8L% 88L(

(135)