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1 Diagonalização de Matrizes 2 2. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

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(1)

Diagonaliza¸c˜

ao de Matrizes 2

× 2 e

Sistemas de Equa¸c˜

oes Diferenciais Lineares

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

30 de setembro de 2002

1

Diagonaliza¸c˜

ao de Matrizes 2 × 2

1.1

Motiva¸c˜

ao

Vamos considerar o problema de encontrar as fun¸c˜oes que d˜ao a evolu¸c˜ao das

po-pula¸c˜oes de duas esp´ecies, S1 e S2, convivendo em um mesmo ecossistema no tempo

t > 0. Vamos denotar as popula¸c˜oes das esp´ecies S1 e S2 em um instante t por x1(t) e

x2(t), respectivamente.

Inicialmente vamos supor que a taxa de crescimento da popula¸c˜ao de uma esp´ecie n˜ao depende do que ocorre com a outra esp´ecie e que esta taxa ´e proporcional a sua popula¸c˜ao existente (ou equivalentemente que a taxa de crescimento relativa ´e constante). Ou seja, vamos supor que

x0

1(t) = ax1(t)

x02(t) = dx2(t)

em que a, d ∈ R. Temos aqui um sistema de equa¸c˜oes diferenciais, ou seja, um sistema de equa¸c˜oes que envolvem derivadas das fun¸c˜oes que s˜ao inc´ognitas. Neste caso as duas equa¸c˜oes s˜ao desacopladas, isto ´e, podem ser resolvidas independentemente. A solu¸c˜ao do sistema ´e

(2)

Vamos supor, agora, que as duas popula¸c˜oes interagem de forma que a taxa de cresci-mento da popula¸c˜ao de uma esp´ecie depende de forma linear n˜ao somente da sua popula¸c˜ao existente, mas tamb´em da popula¸c˜ao existente da outra esp´ecie. Ou seja, vamos supor que

x0

1(t) = ax1(t) + bx2(t)

x02(t) = cx1(t) + dx2(t)

Por exemplo, se os indiv´ıduos de uma esp´ecie competem com os da outra por alimento

(a, d > 0 e b, c < 0), ou os indiv´ıduos da esp´ecie S1 s˜ao predadores dos da outra (a, b, d > 0

e c < 0). Neste caso a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao depende da outra. Podemos escrever este sistema na forma de uma equa¸c˜ao diferencial matricial

X0(t) = AX(t), (1) em que X0(t) =· x01(t) x0 2(t) ¸ , A =· a b c d ¸ e X(t) =· x1(t) x2(t) ¸ . Vamos supor que existam matrizes P e D tais que

A = P DP−1, (2) em que D =· λ1 0 0 λ2 ¸ . Substituindo-se (2) em (1) obtemos X0(t) = P DP−1X(t).

Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos

P−1X0(t) = DP−1X(t). (3)

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel

Y (t) = P−1X(t), (4)

a equa¸c˜ao (3) pode ser escrita como

Y0(t) = DY (t),

que pode ser escrita na forma de um sistema de equa¸c˜oes desacopladas y01(t) = λ1y1(t)

y0

(3)

1.1 Motiva¸c˜ao 3

que tem solu¸c˜ao dada por

y1(t) = c1eλ1t e y2(t) = c2eλ2t.

Assim, da mudan¸ca de vari´aveis (4), a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) ´e

X(t) = P Y (t) = P· c1e λ1t c2eλ2t ¸ . Se P = · v1 w1 v2 w2 ¸

, ou seja, se as colunas da matriz P s˜ao os vetores V = · v1

v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸

, ent˜ao a solu¸c˜ao do sistema pode ser escrita como

· x1(t) x2(t) ¸ = c1eλ1t· v1 v2 ¸ + c2eλ2t· w1 w2 ¸ ou x1(t) = c1v1eλ1t+ c2w1eλ2t e x2(t) = c1v2eλ1t+ c2w2eλ2t

Vamos descobrir como podemos determinar matrizes P e D, quando elas existem, tais

que A = P DP−1, ou multiplicando `a esquerda por P−1 e `a direita por P , D = P−1AP ,

com D sendo uma matriz diagonal. Chamamos diagonaliza¸c˜ao ao processo de encontrar

as matrizes P e D.

Defini¸c˜ao 1. Dizemos que uma matriz A, ´e diagonaliz´avel, se existem matrizes P e

D tais que D = P−1AP , ou equivalentemente, A = P DP−1, em que D ´e uma matriz

diagonal.

Exemplo 1. Toda matriz diagonal

A =· λ1 0

0 λ2

¸

´e diagonaliz´avel, pois

A = (I2)−1AI2,

em que I2 =· 1 0

0 1 ¸

(4)

1.2

Autovalores e Autovetores

Vamos supor inicialmente que a matriz A seja diagonaliz´avel. Ent˜ao existe uma matriz P tal que

P−1AP = D , (5)

em que D ´e uma matriz diagonal.

Vamos procurar tirar conclus˜oes sobre as matrizes P e D. Multiplicando `a esquerda por P ambos os membros da equa¸c˜ao anterior, obtemos

AP = P D . (6) Sejam D =· λ1 0 0 λ2 ¸ e P =· v1 w1 v2 w2 ¸ =£ V W ¤ , em que V =· v1 v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸

s˜ao as colunas de P . Por um lado AP = A [ V W ] = [ AV AW ]

e por outro lado

P D =· v1 w1 v2 w2 ¸ · λ1 0 0 λ2 ¸ = [ λ1V λ2W ]

Assim, (6) pode ser reescrita como

£ AV AW ¤ = £ λ1V λ2W ¤ .

Logo,

AV = λ1V e AW = λ2W.

Ou seja, as colunas de P , V e W , e os elementos da diagonal de D, λ1 e λ2, satisfazem a

equa¸c˜ao

AX = λX,

em que λ e X s˜ao inc´ognitas. Isto motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2. Um n´umero real λ ´e chamado autovalor de uma matriz A, se existe um

vetor n˜ao nulo X =· x

y ¸

tal que

AX = λX . (7)

(5)

1.2 Autovalores e Autovetores 5 ©© ©© ©©* ©© © * O AX= λX X q λ > 1 ©© ©© ©©* ©© © * O X AX= λX q 0 < λ < 1 ©© ©© ©©* © © © ¼ O X AX= λX q λ < 0

Observe que a equa¸c˜ao (7) pode ser escrita como

AX = λI2X

ou

(A − λI2)X = ¯0 . (8)

Como os autovetores s˜ao vetores n˜ao nulos, os autovalores s˜ao os valores de λ, para os

quais o sistema (A − λI2)X = ¯0 tem solu¸c˜ao n˜ao trivial. Mas, este sistema homogˆeneo

tem solu¸c˜ao n˜ao trivial se, e somente se, det(A − λI2) = 0. Assim temos um m´etodo para

encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A.

Proposi¸c˜ao 1. Seja A uma matriz 2 × 2.

(a) Os autovalores de A s˜ao as ra´ızes do polinˆomio

p(t) = det(A − t I2) (9)

(b) Para cada autovalor λ, os autovetores associados a λ s˜ao os vetores n˜ao nulos da solu¸c˜ao do sistema

(A − λI2)X = ¯0 . (10)

Defini¸c˜ao 3. Seja A uma matriz 2 × 2. O polinˆomio

p(t) = det(A − t I2) (11)

´e chamado polinˆomio caracter´ıstico de A.

Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as

(6)

Exemplo 2. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz A = · 1 −1 −4 1 ¸

Para esta matriz o polinˆomio caracter´ıstico ´e

p(t) = det(A − tI2) = det· 1 − t −1

−4 1 − t

¸

= (1 − t)2− 4 = t2− 2t − 3 .

Como os autovalores de A s˜ao as ra´ızes de p(t), temos que os autovalores de A s˜ao λ1 = 3

e λ2 = −1.

Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 3 e λ2 = −1.

Para isto vamos resolver os sistemas (A − λ1I2)X = ¯0 e (A − λ2I2)X = ¯0. Como

A − λ1I2 =· −2 −1 −4 −2 ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · −2 −1 −4 −2 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ −2x − y = 0 −4x − 2y = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e

W1 = {(α, −2α) | α ∈ R}.

que ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 3 acrescentado o vetor nulo.

Agora, (A − λ2I2)X = ¯0 ´e · 2 −1 −4 2 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸

cuja solu¸c˜ao geral ´e

W2 = {(α, 2α) | α ∈ R},

(7)

1.3 Diagonaliza¸c˜ao 7 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 x y W2 W1 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 x y AW AV V = (1, −2) W= (1, 2)

Figura 1: Autovetores associados a λ1 = 3 e a λ2 = −1 da matriz do Exemplo 2

Um resultado interessante e que iremos usar mais adiante ´e o seguinte.

Proposi¸c˜ao 2. Sejam V e W autovetores de uma matriz A associados a λ1 e λ2,

respec-tivamente. Se V = αW , para algum escalar α, ent˜ao λ1 = λ2.

Demonstra¸c˜ao. Se V = αW , ent˜ao multiplicando-se `a esquerda por A e usando o fato

de que AV = λ1V e AW = λ2W , temos que

λ1V = A(αW ) = αAW = αλ2W = λ2αW = λ2V.

Isto implica que

(λ1− λ2)V = ¯0.

Como V ´e um vetor n˜ao nulo, ent˜ao λ1 = λ2.

1.3

Diagonaliza¸c˜

ao

Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal. J´a vimos que se uma matriz A ´e diagonaliz´avel, ent˜ao as colunas da matriz P , que faz a diagonaliza¸c˜ao, s˜ao autovetores associados a autovalores, que por sua vez s˜ao elementos da matriz diagonal D. Como a

matriz P ´e invert´ıvel, estes 2 autovetores s˜ao L.I. (um vetor n˜ao ´e m´ultiplo escalar do

(8)

Teorema 3. Seja A uma matriz 2 ×2 que tem 2 autovalores λ1 6= λ2. Sejam V = (v1, v2)

e W = (w1, w2) autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Ent˜ao, as matrizes

P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP,

ou seja, a matriz A ´e diagonaliz´avel.

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 2, V = (v1, v2) e W = (w1, w2) s˜ao L.I. s˜ao 2

autove-tores L.I. (um n˜ao ´e m´ultiplo escalar do outro). Vamos definir as matrizes

P = · v1 w1 v2 w2 ¸ = [ V W ] e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ . Como AV = λ1V e AW = λ2W , ent˜ao AP = A [ V W ] = [ AV AW ] = [ λ1V λ2W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ · λ1 0 0 λ2 ¸ = P D . (12)

Como V e W s˜ao L.I., a matriz P ´e invert´ıvel. Assim, multiplicando por P−1 `a esquerda

em (12) obtemos

D = P−1AP.

Ou seja, A matriz A ´e diagonaliz´avel.

Assim, se uma matriz A ´e diagonaliz´avel e D = P−1AP , ent˜ao os autovalores de A

formam a diagonal de D e os 2 autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as colunas de P .

Exemplo 3. Considere a matriz

A =· 1 1

4 1 ¸

J´a vimos no Exemplo 2 na p´agina 6 que o seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) =

det(A − t I2) = t2 − 2t − 3, que os seus autovalores s˜ao λ1 = 3 e λ2 = −1 e que os

autoespa¸cos correspondentes s˜ao W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} e W2 = {(α, −2α) | α ∈ R},

(9)

1.3 Diagonaliza¸c˜ao 9

Para λ1 = 3, temos que V = (1, 2) ´e um autovetor de A associado a λ1. De forma

an´aloga para λ2 = −1, W = (1, −2) ´e um autovetor associado a λ2. Como um vetor n˜ao

´e m´ultiplo escalar do outro, a matriz A ´e diagonaliz´avel e as matrizes

P = [ V W ] =· 1 1 2 −2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ =· 3 0 0 −1 ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP.

Exemplo 4. Considere a matriz

A =· 0 1

0 0 ¸

O seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) = det(A − tI2) = t2, assim A possui um ´unico

autovalor: λ1 = 0. Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalor

λ1 = 0. Para isto vamos resolver o sistema (A − λ1I2)X = ¯0. Como

A − λ1I2 = A =· 0 10 0 ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · 0 1 0 0 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ y = 0 0 = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e

W1 = {(α, 0) | α ∈ R} .

que ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 0 acrescentado o vetor nulo.

Portanto, n˜ao podemos ter 2 autovetores L.I. associados a λ1 = 0 e como s´o temos um

autovalor n˜ao podemos ter mais autovetores L.I. Portanto, pelo Teorema3na p´agina 8, a

(10)

1.4

Autovalores complexos

Tudo que fizemos at´e agora ´e v´alido para matrizes com entradas que s˜ao n´umeros reais

ou complexos e para autovalores reais ou complexos.

Um vetor de C2 pode ser escrito como

Z = (z1, z2) = (v1+ iw1, v2+ iw2) = (v1, v2) + i(w1, w2) = V + iW,

em que V e W s˜ao vetores de R2.

O pr´oximo resultado ´e v´alido exclusivamente para matrizes com entradas que s˜ao

n´umeros reais.

Proposi¸c˜ao 4. Seja A uma matriz 2 × 2 com entradas que s˜ao n´umeros reais. Se um

vetor Z = V + iW ∈ C2 ´e um autovetor de A associado ao autovalor λ = α + iβ, ent˜ao

Z = V − iW tamb´em ´e um autovetor de A, mas associado a λ = α − iβ. Al´em disso, se β 6= 0 ent˜ao Z e Z s˜ao L.I.

Demonstra¸c˜ao. Substituindo-se Z = V + iW e λ = α + iβ em AZ = λZ obtemos que AV + iAW = α(V + iW ) + iβ(V + iW ) = (αV − βW ) + i(αW + βV ).

Isto implica que

AV = αV − βW e AW = αW + βV. Agora, usando os valores de AV e AW obtidos temos que

AZ = A(V − iW ) = AV − iAW = αV − βW − i(αW + βV ) = (α − iβ)V − (β + iα)W = (α − iβ)V − i(α − iβ)W = (α − iβ)(V − iW ) = λ Z.

Se β 6= 0, ent˜ao λ e λ s˜ao diferentes. Logo, pela Proposi¸c˜ao 2 na p´agina 7, Z e Z s˜ao

L.I.

Assim, se uma matriz A, 2 × 2, com entradas reais tem autovalores complexos, ent˜ao ela ´e diagonaliz´avel.

Exemplo 5. Considere a matriz

A =· −3 2

−4 1 ¸

(11)

1.5 Se a matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel 11

O seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) = det(A − t I2) = (−3 − t)(1 − t)2+ 8 = t2+ 2t + 5

cujas ra´ızes s˜ao λ1 = −1+2i e λ2 = λ1 = −1−2i. Agora, vamos determinar os autovetores

associados ao autovalor λ1 = −1+2i. Para isto vamos resolver o sistema (A−λ1I2)X = ¯0.

Como A − λ1I2 =· −2 − 2i 2 −4 2 − 2i ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · −2 − 2i 2 −4 2 − 2i ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ (−2 − 2i)x + 2y = 0 −4x + (2 − 2i)y = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e

W1 = {(α, (1 + i)α) | α ∈ C} .

que ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = −1 + 2i acrescentado o vetor

nulo. Assim, Z = (1, 1 + i) ´e um autovetor associado a λ1 = −1 + 2i. Pela Proposi¸c˜ao 4,

Z = (1, 1 − i) ´e um autovetor associado a λ2 = λ1 = −1 − 2i e al´em disso Z e Z s˜ao L.I.

Assim, a matriz A ´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ Z Z ] = · 1 1 1 + i 1 − i ¸ e D =· λ1 0 0 λ1 ¸ =· −1 + 2i 0 0 −1 − 2i ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP.

1.5

Se a matriz A n˜

ao ´

e diagonaliz´

avel

Se uma matriz A com entradas que s˜ao n´umeros reais, 2 × 2, n˜ao ´e diagonaliz´avel

´e por que ela tem somente um autovalor real λ. Neste caso apesar de n˜ao podermos diagonaliz´a-la ´e v´alido o seguinte resultado.

(12)

Teorema 5. Seja A uma matriz n˜ao diagonal 2 × 2 com entradas que s˜ao n´umeros reais

e que possui um ´unico autovalor λ. Sejam W = (w1, w2) um vetor que n˜ao ´e autovetor

de A (AW 6= λW ) (Por exemplo, E1 = (1, 0) ou E2 = (0, 1) satisfaz esta condi¸c˜ao)

e V = · v1

v2

¸

= (A − λI2)W . Ent˜ao, as matrizes P = [ V W ] = · v1 w1

v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸

s˜ao tais que

J = P−1AP.

Demonstra¸c˜ao. Vamos escrever A = · a b c d

¸

. Neste caso, o polinˆomio caracter´ıstico

de A ´e p(t) = det(A − t I2) = (a − t)(d − t) − bc = t2− (a + d)t + (ad − bc). Como estamos

supondo que A tem somente um autovalor, ent˜ao

∆ = (a + d)2− 4(ad − bc) = a2− 2ad + d2+ 4bc = 0 (13)

e o autovalor de A que ´e a ´unica raiz de p(t) ´e

λ = a + d

2 .

Assim, para este valor λ e usando (13) obtemos que

(A − λI2)2 = A2− 2λA + λ2I2 =· a 2+ bc − 2λa + λ2 ab + bd − 2λb ac + dc − 2λc bc + d2− 2λd + λ2 ¸ =· 0 0 0 0 ¸ .

Seja W = (w1, w2) um vetor que n˜ao ´e autovetor de A. Portanto, ele n˜ao pertence ao

espa¸co solu¸c˜ao de (A − λI2)X = ¯0. Seja V = (v1, v2) = (A − λI2)W . Ent˜ao

(A − λI2)V = (A − λI2)2W = ¯0

Logo, V ´e um autovetor de A, ou seja,

AV = λV. Da defini¸c˜ao de V segue que

(13)

1.6 Resumo 13 Assim P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸

s˜ao tais que

AP = A[ V W ] = [ AV AW ] = [ λV V + λW ] = · λv1 v1+ λw1

λv2 v2+ λw2

¸

= P J. (14)

Como V ´e autovetor de A, se W fosse um m´ultiplo escalar de V , ent˜ao W tamb´em seria

um autovetor de A. Mas isto n˜ao ocorre pela defini¸c˜ao do vetor W . Assim a matriz P ´e

invert´ıvel e multiplicando-se a equa¸c˜ao (14) `a esquerda por P−1 obtemos o resultado.

Exemplo 6. Considere a matriz

A =· −1 1

−1 −3 ¸

O seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) = det(A − t I2) = (−1 − t)(−3 − t) + 1 = t2+ 4t + 4

cujas ra´ızes s˜ao λ1 = λ2 = λ = −2. O vetor E1 = (1, 0) ´e tal que

(A − λI2)E1 = · 1 1 −1 −1 ¸ · 1 0 ¸ = · 1 −1 ¸ 6= ¯0

Sejam W = E1 = (1, 0) e V = (A − λI2)W = (1, −1). Pelo Teorema 5, as matrizes

P = [ V W ] = · 1 1 −1 0 ¸ e J = · λ 1 0 λ ¸ =· −2 1 0 −2 ¸

s˜ao tais que

J = P−1AP.

1.6

Resumo

Para diagonalizar uma matriz 2 × 2 n˜ao diagonal siga os seguintes passos:

(a) Determine o polinˆomio caracter´ıstico p(t) = det(A − t I2).

(b) Se p(t) tem duas ra´ızes reais (distintas) λ1 6= λ2, ent˜ao determine um autovetor

V = (v1, v2) associado a λ1, isto ´e, uma solu¸c˜ao n˜ao trivial de (A − λ1I2)X = ¯0

e um autovetor W = (w1, w2) associado a λ2, isto ´e, uma solu¸c˜ao n˜ao trivial de

(A − λ2I2)X = ¯0. Ent˜ao P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸

(14)

(c) Se p(t) tem duas ra´ızes complexas λ1 = α + iβ e λ2 = ¯λ1 = α − iβ. Encontre um

autovetor complexo V + iW = (v1 + iw1, v2+ iw2), isto ´e, uma solu¸c˜ao n˜ao trivial

de (A − (α + iβ)I2)X = ¯0. Ent˜ao P = [ V + iW V − iW ] = · vv1+ iw1 v1− iw1 2+ iw2 v2− iw2 ¸ e D =· α + iβ 0 0 α − iβ ¸

s˜ao tais que A = P DP−1.

(d) Se p(t) tem somente uma raiz real λ. Seja W = (w1, w2) um vetor n˜ao nulo que n˜ao

seja autovetor de A (AW 6= λW ). Por exemplo, W = E1 = (1, 0) ou W = E2 =

(0, 1). Seja V =· v1 v2 ¸ = (A − λI2)W . Ent˜ao P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸

s˜ao tais que A = P JP−1.

1.7

Exerc´ıcios (respostas na p´

agina

28

)

Ache para cada matriz A, se poss´ıvel, uma matriz n˜ao-singular P tal que P−1AP seja

diagonal. Se n˜ao for poss´ıvel, ache uma matriz P tal que P−1AP =· λ 1

0 λ ¸ , para λ ∈ R. 1.1. · 1 1 1 1 ¸ 1.2. · 1 −1 2 4 ¸ 1.3. · 3 −4 1 −1 ¸ 1.4. · 1 −1 5 3 ¸ 1.5. · 4 −2 8 −4 ¸ 1.6. · −1 −4 1 −1 ¸ 1.7. · a 2 −2 0 ¸ 1.8. · 0 a −2 −2 ¸ 1.9. · 2a 1 1 4a ¸ 1.10. · 1 1 a 1 ¸

(15)

15

2

Sistemas de Equa¸c˜

oes Diferenciais Lineares

Considere o sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares.

½ x0

1(t) = ax1(t)

x0

2(t) = dx2(t)

em que a, d ∈ R. Temos aqui um sistema de equa¸c˜oes diferenciais, ou seja, um sistema de equa¸c˜oes que envolvem derivadas das fun¸c˜oes que s˜ao inc´ognitas. Neste caso as duas equa¸c˜oes s˜ao desacopladas, isto ´e, podem ser resolvidas independentemente. A solu¸c˜ao do sistema ´e

x1(t) = c1eat

x2(t) = c2edt.

Considere, agora, o sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares

½ x0

1(t) = ax1(t) + bx2(t)

x0

2(t) = cx1(t) + dx2(t)

em que a, b, c, d ∈ R com b ou c n˜ao nulos. Neste caso a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao depende da outra. Podemos escrever este sistema na forma de uma equa¸c˜ao diferencial matricial

X0(t) = AX(t), (15) em que X0(t) =· x01(t) x0 2(t) ¸ , A =· a b c d ¸ e X(t) =· x1(t) x2(t) ¸ .

2.1

A Matriz A ´

e diagonaliz´

avel em R

Vamos supor que existam matrizes P = · v1 w1

v2 w2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ , com λ1, λ2 ∈ R, tais que A = P DP−1. (16) Substituindo-se (16) em (15) obtemos X0(t) = P DP−1X(t).

Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos

(16)

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel

Y (t) = P−1X(t), (18)

a equa¸c˜ao (17) pode ser escrita como

Y0(t) = DY (t),

que pode ser escrita na forma de um sistema de equa¸c˜oes desacopladas y0

1(t) = λ1y1(t)

y0

2(t) = λ2y2(t)

que tem solu¸c˜ao dada por

y1(t) = c1eλ1t e y2(t) = c2eλ2t.

Assim, da mudan¸ca de vari´aveis (18), a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (15) ´e

X(t) = P Y (t) = P· c1e λ1t c2eλ2t ¸ . Como P = · v1 w1 v2 w2 ¸

, ent˜ao as colunas da matriz P s˜ao os vetores V = · v1

v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸

, assim a solu¸c˜ao do sistema pode ser escrita como

· x1(t) x2(t) ¸ = c1eλ1t· v1 v2 ¸ + c2eλ2t· w1 w2 ¸ .

Se s˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x(0)2 , ent˜ao para determinarmos

c1 e c2 substituimos t = 0 na solu¸c˜ao, ou seja,

· x1(0) x2(0) ¸ = c1 · v1 v2 ¸ + c2 · w1 w2 ¸ = " x(0)1 x(0)2 # . que ´e equivalente ao sistema linear

(

v1c1 + w1c2 = x(0)1

v2c1 + w2c2 = x(0)2

Exemplo 7. Considere o sistema

½ x0

1(t) = x1(t) − x2(t)

x0

(17)

2.1 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em R 17 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

Figura 2: Trajet´orias do sistema do Exemplo 7

J´a vimos no Exemplo 3 na p´agina 6 que a matriz

A = ·

1 −1

−4 1

¸

´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ V W ] = · 1 1 −2 2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ =· 3 0 0 −1 ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP.

Assim, a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por

· x1(t) x2(t) ¸ = c1e3t · 1 −2 ¸ + c2e−t· 12 ¸ .

Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 2. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e

t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao reais n˜ao nulos

com sinais contr´arios. Neste caso, dizemos que a origem ´e um ponto de sela.

Exemplo 8. Considere o sistema

½ x0

1(t) = 3x1(t) − x2(t)

x0

(18)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

Figura 3: Trajet´orias do sistema do Exemplo 8

Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz A =

·

3 −1

−2 2

¸

Para esta matriz o polinˆomio caracter´ıstico ´e

p(t) = det(A − t I2) = det· 3 − t −1

−2 2 − t

¸

= (3 − t)(2 − t) − 2 = t2− 5t + 4 .

Como os autovalores de A s˜ao as ra´ızes de p(t), temos que os autovalores de A s˜ao λ1 = 1

e λ2 = 4.

Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = 4.

Para isto vamos resolver os sistemas (A − λ1I2)X = ¯0 e (A − λ2I2)X = ¯0. Como

A − λ1I2 = · 2 −1 −2 1 ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · 2 −1 −2 1 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ 2x − y = 0 −2x + y = 0

(19)

2.2 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em C 19

cuja solu¸c˜ao geral ´e

W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} = {α(1, 2) | α ∈ R} = {αV | α ∈ R}, em que V = (1, 2).

Este ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 1 acrescentado o vetor nulo.

Agora, (A − λ2I2)X = ¯0 ´e · −1 −1 −2 −2 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸

cuja solu¸c˜ao geral ´e

W2 = {(−α, α) | α ∈ R} = {α(−1, 1) | α ∈ R} = {αW | α ∈ R}, em que W = (−1, 1).

Este ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ2 = 4 acrescentado o vetor nulo.

Assim, a matriz A ´e diagonaliz´avel e as matrizes

P = [ V W ] =· 1 −1 2 1 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ =· 1 0 0 4 ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP.

Assim, a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por

· x1(t) x2(t) ¸ = c1et· 1 2 ¸ + c2e4t· −1 1 ¸ .

Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem naFigura3. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e t´ıpica

de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao reais e positivos. Neste

caso, dizemos que a origem ´e um n´o inst´avel ou fonte. No caso em que os autovalores

de A reais e negativos as trajet´orias s˜ao semelhantes, mas percorridas no sentido contr´ario

`as da Figura 3. Neste caso, dizemos que a origem ´e um n´o atrator ou sumidouro.

2.2

A Matriz A ´

e diagonaliz´

avel em C

Vamos supor que existam matrizes P =· v1+ iw1 v1− iw1

v2+ iw2 v2− iw2 ¸ e D =· λ 0 0 λ ¸ , com λ1, λ2 ∈ C, tais que A = P DP−1. (19)

(20)

Substituindo-se (19) em (15) obtemos

X0(t) = P DP−1X(t).

Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos

P−1X0(t) = DP−1X(t).

Fazendo novamente a mudan¸ca de vari´avel Y (t) = P−1X(t), obtemos

Y0(t) = DY (t),

que pode ser escrito na forma

y0

1(t) = λ y1(t)

y0

2(t) = λ y2(t)

Estas equa¸c˜oes est˜ao desacopladas e tˆem solu¸c˜oes dadas por

y1(t) = C1eλt

y2(t) = C2eλt.

Assim a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (15) ´e

X(t) = P Y (t) = P· C1e λt C2eλt ¸ . Como P =· v1+ iw1 v1− iw1 v2+ iw2 v2− iw2 ¸

, ent˜ao as colunas da matriz P s˜ao os vetores V + iW =

· v1 + iw1 v2 + iw2 ¸ e V − iW =· vv1− iw1 2− iw2 ¸

. Assim a solu¸c˜ao geral nos complexos ´e dada por

X(t) = C1eλt · v1+ iw1 v2+ iw2 ¸ + C2eλt · v1− iw1 v2− iw2 ¸ (20)

As constantes C1 e C2 s˜ao complexas. Estamos interessados em uma solu¸c˜ao real. Para

isso, fazendo C2 = C1, a segunda parcela em (20) se torna o conjugado da primeira e

assim obtemos. X(t) = 2Re ½ C1eλt · v1 + iw1 v2 + iw2 ¸¾

(21)

2.2 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em C 21

Escrevendo a constante complexa em termos de constantes reais na forma C1 =

c1

2 − i

c2

2 e escrevendo λ = α + iβ, obtemos

· x1(t) x2(t) ¸ = Re(C1) Re ½ e(α+iβ)t· v1+ iw1 v2+ iw2 ¸¾ − Im(C1) Im ½ e(α+iβ)t· v1+ iw1 v2+ iw2 ¸¾ = c1Re ½ e(α+iβ)t· v1+ iw1 v2+ iw2 ¸¾ + c2Im ½ e(α+iβ)t· v1 + iw1 v2 + iw2 ¸¾ = c1eαt µ cos βt· v1 v2 ¸ − sen βt· ww1 2 ¸¶ + c2eαt µ cos βt· w1 w2 ¸ + sen βt· v1 v2 ¸¶

Se s˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x(0)2 , ent˜ao para determinarmos

c1 e c2 substituimos t = 0 na solu¸c˜ao, ou seja,

· x1(0) x2(0) ¸ = c1 · v1 v2 ¸ + c2 · w1 w2 ¸ = " x(0)1 x(0)2 # . que ´e equivalente ao sistema linear

( v1c1 + w1c2 = x(0)1 v2c1 + w2c2 = x(0)2 −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y

(22)

Exemplo 9. Considere o sistema

½ x0

1(t) = −3x1(t) + 2x2(t)

x0

2(t) = −4x1(t) + x2(t)

J´a vimos no Exemplo 5 na p´agina 10que a matriz

A =· −3 2

−4 1 ¸

´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ Z Z ] = · 1 1 1 + i 1 − i ¸ e D =· λ1 0 0 λ1 ¸ =· −1 + 2i 0 0 −1 − 2i ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP.

Assim a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por

· x1(t) x2(t) ¸ = c1Re ½ e(−1+2i)t · 1 1 + i ¸¾ + c2Im ½ e(−1+2i)t · 1 1 + i ¸¾ = c1e−t µ cos 2t· 1 1 ¸ − sen 2t· 01 ¸¶ + c2e−t µ cos 2t· 0 1 ¸ + sen 2t· 1 1 ¸¶

Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 4. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e

t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao complexos com a

parte real negativa. Neste caso, dizemos que a origem ´e um foco atrator ou sumidoro espiral. No caso em que os autovalores de A s˜ao complexos com a parte real positiva as

trajet´orias s˜ao semelhantes, mas percorridas no sentido contr´ario `as da Figura 4. Neste

caso, dizemos que a origem ´e um foco inst´avel ou fonte espiral.

Exemplo 10. Considere o sistema

½ x0

1(t) = −x1(t) + 2x2(t)

x0

2(t) = −x1(t) + x2(t)

Este sistema pode ser escrito na forma X0(t) = AX(t), em que

A =· −1 2

−1 1 ¸

(23)

2.2 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em C 23 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x y

Figura 5: Trajet´orias do sistema do Exemplo 10

O polinˆomio caracter´ıstico da matriz A ´e p(t) = det(A−t I2) = (−1−t)(1−t)2+2 = t2+1

cujas ra´ızes s˜ao λ1 = i e λ2 = λ1 = −i. Agora, vamos determinar os autovetores associados

ao autovalor λ1 = i. Para isto vamos resolver o sistema (A − λ1I2)X = ¯0. Como

A − λ1I2 =· −1 − i 2 −1 1 − i ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · −1 − i 2 −1 1 − i ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ (−1 − i)x + 2y = 0 −x + (1 − i)y = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e

W1 = {((1 − i)α, α) | α ∈ C} = {α(1 − i, 1) | α ∈ C}.

Este ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = i acrescentado o vetor nulo.

Assim, Z = (1 − i, 1) ´e um autovetor associado a λ1 = i. Pela Proposi¸c˜ao 4 na p´agina

10, Z = (1 + i, 1) ´e um autovetor associado a λ2 = λ1 = −i e al´em disso Z e Z s˜ao L.I.

Assim, a matriz

A =· −1 2

−1 1 ¸

(24)

´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ Z Z ] = · 1 − i 1 + i 1 1 ¸ e D =· λ1 0 0 λ1 ¸ = · i 0 0 −i ¸

s˜ao tais que

D = P−1AP.

Assim a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por

· x1(t) x2(t) ¸ = c1Re ½ eit· 1 − i 1 ¸¾ + c2Im ½ eit· 1 − i 1 ¸¾ = c1 µ cos t· 1 1 ¸ − sen t· −10 ¸¶ + c2 µ cos t· −1 0 ¸ + sen t· 1 1 ¸¶

Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 5. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e

t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao complexos com a

parte real igual a zero. Neste caso, dizemos que a origem ´e um centro.

2.3

A Matriz A n˜

ao

´

e diagonaliz´

avel em C

Sejam P =· v1 w1 v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸

matrizes tais que

A = P JP−1. (21)

Substituindo-se (16) em (1) obtemos

X0(t) = P JP−1X(t).

Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos

P−1X0(t) = JP−1X(t).

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel Y (t) = P−1X(t), obtemos

Y0(t) = JY (t),

que pode ser escrito na forma

y10(t) = λ y1(t) + y2(t)

y0

(25)

2.3 A Matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel em C 25

A segunda equa¸c˜ao tem solu¸c˜ao

y2(t) = c2eλt.

Substituindo y2(t) na primeira equa¸c˜ao obtemos a equa¸c˜ao

y01(t) = λ y1(t) + c2eλt

que tem solu¸c˜ao

y1(t) = (c1+ c2t)eλt.

Assim a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) ´e

X(t) = P Y (t) = P · (c1+ c2t)e λt c2eλt ¸ . Se P = · v1 w1 v2 w2 ¸

, ou seja, se as colunas da matriz P s˜ao os vetores V = · v1

v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸ , ent˜ao · x1(t) x2(t) ¸ = (c1+ c2t)eλt· vv1 2 ¸ + c2eλt· ww1 2 ¸ .

Se s˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x(0)2 , ent˜ao para determinarmos

c1 e c2 substituimos t = 0 na solu¸c˜ao, ou seja,

· x1(0) x2(0) ¸ = c1 · v1 v2 ¸ + c2 · w1 w2 ¸ = " x(0)1 x(0)2 # . que ´e equivalente ao sistema linear

(

v1c1 + w1c2 = x(0)1

v2c1 + w2c2 = x(0)2

Exemplo 11. Considere o sistema

½ x0

1(t) = −x1(t) + x2(t)

x0

2(t) = −x1(t) − 3x2(t)

Vimos no Exemplo 6na p´agina 13 que a matriz

A =· −1 1

−1 −3 ¸

(26)

n˜ao ´e diagonaliz´avel, mas que as matrizes P = [ V W ] = · 1 1 −1 0 ¸ e J = · λ 1 0 λ ¸ =· −2 1 0 −2 ¸

s˜ao tais que

J = P−1AP.

Assim a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por

· x1(t) x2(t) ¸ = (c1+ c2t)e−2t · 1 −1 ¸ + c2e−2t· 1 0 ¸ .

Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 6. A disposi¸c˜ao das trajet´orias

´e t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que a matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel em C

e o ´unico autovalor ´e negativo. Neste caso, dizemos que a origem ´e um n´o impr´oprio.

No caso em que o ´unico autovalor de A ´e positivo as trajet´orias s˜ao semelhantes, mas

percorridas no sentido contr´ario `as da Figura 6. Neste caso, dizemos tamb´em que a

origem ´e um n´o impr´oprio.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

(27)

2.4 Exerc´ıcios (respostas na p´agina 31) 27

2.4

Exerc´ıcios (respostas na p´

agina

31

)

Ache a solu¸c˜ao geral do sistema de equa¸c˜oes dado.

2.1. ½ x0(t) = x(t) + y(t) y0(t) = x(t) + y(t) 2.2. ½ x0(t) = x(t) − y(t) y0(t) = 2x(t) + 4y(t) 2.3. ½ x0(t) = 3x(t) − 4y(t) y0(t) = x(t) − y(t) 2.4. ½ x0(t) = x(t) − y(t) y0(t) = 5x(t) + 3y(t) 2.5. ½ x0(t) = 4x(t) − 2y(t) y0(t) = 8x(t) − 4y(t) 2.6. ½ x0(t) = −x(t) − 4y(t) y0(t) = x(t) − y(t) 2.7. ½ x0(t) = ax(t) + 2y(t) y0(t) = −2x(t) 2.8. ½ x0(t) = ay(t) y0(t) = −2x(t) − 2y(t) 2.9. ½ x0(t) = 2ax(t) + y(t) y0(t) = x(t) + 4ay(t) 2.10. ½ x0(t) = x(t) + y(t) y0(t) = ax(t) + y(t)

Fa¸ca um esbo¸co das solu¸c˜oes de X0(t) = AX(t) e diga se a origem define uma sela,

um n´o inst´avel, um n´o atrator, um foco inst´avel, um foco atrator, um centro ou um n´o impr´oprio. 2.11. A =· 2 1 3 4 ¸ 2.12. A =· −1 8 1 1 ¸ 2.13. A = · 1 1 −3 −2 ¸ 2.14. A = · 5 3 −3 1 ¸ 2.15. A =· 3 −4 1 −1 ¸ 2.16. A = · 0 2 −2 0 ¸ 2.17. A =· 2 −3 1 −2 ¸ 2.18. A =· −1 −2 0 −2 ¸ Comandos do MATLAB:

>>[P,D]=eig(sym(A)) determina simb´olicamente, se poss´ıvel, matrizes P e D tais que

D = P−1AP , sendo D uma matriz diagonal.

>>[P,J]=jordan(sym(A))determina simb´olicamente, se poss´ıvel, matrizes P e J tais que

J = P−1AP , sendo J =· λ 1

0 λ ¸

.

Comando do pacote GAAL:

>>fluxlin(A)desenha algumas trajet´orias que s˜ao solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes

(28)

3

Respostas dos Exerc´ıcios

1. Diagonaliza¸c˜ao de Matrizes 2 × 2 (p´agina 14) 1.1. À A=sym([1,1;1,1]); À [P,D]=eig(A) P =[ 1, -1] [ 1, 1] D =[ 2, 0] [ 0, 0] 1.2. À A=sym([1,-1;2,4]); À [P,D]=eig(A) P =[ -1, 1] [ 1, -2] D =[ 2, 0] [ 0, 3] 1.3. À A=sym([3,-4;1,-1]); À [P,J]=jordan(A) P =[ 2, 1] [ 1, 0] J =[ 1, 1] [ 0, 1] 1.4. À A=sym([1,-1;5,3]); À [P,D]=eig(A) P =[ -1/5+2/5*i, -1/5-2/5*i] [ 1, 1] D =[ 2+2*i, 0] [ 0, 2-2*i] 1.5. À A=sym([4,-2;8,-4]); À [P,J]=jordan(A) P =[ 4, 1] [ 8, 0] J =[ 0, 1] [ 0, 0] 1.6. À A=sym([-1,-4;1,-1]); À [P,D]=eig(A)

(29)

29 P =[ 2*i, -2*i] [ 1, 1] D =[ -1+2*i, 0] [ 0, -1-2*i] 1.7. Se |a| > 4: À [P,D]=eig(A) P = · 4 4 −a +√a2− 16 −a −a2− 16 ¸ D = " a+√a2−16 2 0 0 a−√a2−16 2 # Se |a| < 4: P = · 4 4 −a + i√16 − a2 −a − i16 − a2 ¸ D = " a+i√16−a2 2 0 0 a−i√16−a2 2 # Se a = 4: À [P,J]=jordan(subs(A,a,4)) P =[ 2, 1] [ -2, 0] J =[ 2, 1] [ 0, 2] Se a = −4: À [P,J]=jordan(subs(A,a,-4)) P =[ -2, 1] [ -2, 0] J =[ -2, 1] [ 0, -2] 1.8. Se a < 1/2: À [P,D]=eig(A)

(30)

P =· −1 + 1 − 2a −1 − 1 − 2a 2 2 D =· −1 + √ 1 − 2a 0 0 −1 −1 − 2a ¸ Se a > 1/2: P =· −1 + i √ 2a − 1 −1 − i√2a − 1 2 2 ¸ D =· −1 + i √ 2a − 1 0 0 −1 − i2a − 1 ¸ Se a = 1/2: À [P,J]=jordan(subs(A,a,1/2)) P =[ 1, 1] [ -2, 0] J =[ -1, 1] [ 0, -1] 1.9. À [P,D]=eig(A) P =· −a + √ a2+ 1 −a −a2+ 1 1 1 ¸ D =· 3 a + √ a2+ 1 0 0 3 a −√a2+ 1 ¸ 1.10. Se a > 0: À [P,D]=eig(A) P = · 1 a − 1 √a 1 1 ¸ D =· 1 + √ a 0 0 1 −√a ¸ Se a < 0: P =· − i √ −a i √ −a 1 1 ¸ D =· 1 + i √ −a 0 0 1 − i−a ¸ Se a = 0:

(31)

31 À A=subs(A,a,0) À [P,J]=jordan(A) P =[ 1, 0] [ 0, 1] J =[ 1, 1] [ 0, 1]

2. Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares (p´agina 27)

2.1. · x(t) y(t) ¸ = c1e2t· 1 1 ¸ + c2 · −1 1 ¸ . 2.2. · x(t) y(t) ¸ = c1e2t· −11 ¸ + c2e3t · 1 −2 ¸ . 2.3. · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)et· 2 1 ¸ + c2et· 1 0 ¸ 2.4. · x(t) y(t) ¸ = c1e2t µ cos 2t· −1 5 ¸ − sen 2t· 20 ¸¶ + c2e2t µ cos 2t· 2 0 ¸ + sen 2t· −1 5 ¸¶ 2.5. · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)· 48 ¸ + c2 · 10 ¸ 2.6. · x(t) y(t) ¸ = c1e−t µ cos 2t· 0 1 ¸ − sen 2t· 20 ¸¶ + c2e−t µ cos 2t· 2 0 ¸ + sen 2t· 0 1 ¸¶ 2.7. Se |a| > 4: · x(t) y(t) ¸ = c1e( a+√a2 −16 2 )t · 4 −a +√a2− 16 ¸ + c2e( a−√a2 −16 2 )t · 4 −a −√a2− 16 ¸ . Se |a| < 4: · x(t) y(t) ¸ = c1e at 2 µ cos(√16−a2 2 t) · 4 −a ¸ − sen(√16−a2 2 t) · 0 √ 16 − a2 ¸¶ + c2e at 2 µ cos(√16 − a2t) · 0 √ 16 − a2 ¸ + sen(√16 − a2t) · 4 −a ¸¶

(32)

Se a = ±4: · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)e±2t· ±2 −2 ¸ + c2e±2t· 10 ¸ 2.8. Se a < 1/2: · x(t) y(t) ¸ = c1e(−1+ √ 1−2a)t· −1 + √ 1 − 2a 2 ¸ + c2e(−1− √ 1−2a)t· −1 − √ 1 − 2a 2 ¸ . Se a > 1/2: · x(t) y(t) ¸ = c1e−t µ cos(√2a − 1t)· −1 2 ¸ − sen(√2a − 1t) · √ 2a − 1 0 ¸¶ + c2e−t µ cos(√2a − 1t) · √ 2a − 1 0 ¸ + sen(√2a − 1t)· −1 2 ¸¶ Se a = 1/2: · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)e−t · 1 −2 ¸ + c2e−t· 1 0 ¸ 2.9. · x(t) y(t) ¸ = c1e(3a+ √ a2+1)t· −a + √ a2+ 1 1 ¸ + c2e(3a− √ a2+1)t· −a − √ a2+ 1 1 ¸ . 2.10. Se a > 0: · x(t) y(t) ¸ = c1e(1+ √ a)t · 1 a 1 ¸ + c2e(1− √ a)t· −√1a 1 ¸ . Se a < 0: · x(t) y(t) ¸ = c1 µ etcos(√ −at)· 01 ¸ − etsen(√ −at)· − 1 √ −a 0 ¸¶ + c2 µ etcos(−at)· − 1 √ −a 0 ¸ + etsen(−at)· 0 1 ¸¶ . Se a = 0: · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)et· 1 0 ¸ + c2et· 0 1 ¸

(33)

33

2.11. A origem ´e um n´o inst´avel.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

2.12. A origem ´e uma sela.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

2.13. A origem ´e um foco atrator.

−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y

(34)

2.14. A origem ´e um foco inst´avel. −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y

2.15. A origem ´e um n´o impr´oprio.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 x y

2.16. A origem ´e um centro.

−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y

(35)

35

2.17. A origem ´e uma sela.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

2.18. A origem ´e um n´o atrator.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

(36)

Referˆ

encias

[1] Howard Anton and Chris Rorres. ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. Bookman, S˜ao

Paulo, 8a. edi¸c˜ao, 2000.

[2] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora S.A., Rio de Janeiro, 6a. edi¸c˜ao, 1999.

[3] Morris W. Hirsch and Stephen Smale. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, Inc., New York, 1974.

[4] Bernard Kolman. Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. Prentice Hall do

Brasil, Rio de Janeiro, 6a. edi¸c˜ao, 1998.

[5] Erwin Kreiszig. Matem´atica Superior. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2a. edi¸c˜ao, 1985.

[6] Steven J. Leon. ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora

S.A., Rio de Janeiro, 5a. edi¸c˜ao, 1998.

[7] Reginaldo J. Santos. Um Curso de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear. Imprensa

Universit´aria da UFMG, Belo Horizonte, 2002.

[8] Jorge Sotomayor. Li¸c˜oes de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. IMPA, Rio de Janeiro, 1979.

Referências

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