Diagonaliza¸c˜
ao de Matrizes 2
× 2 e
Sistemas de Equa¸c˜
oes Diferenciais Lineares
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
30 de setembro de 2002
1
Diagonaliza¸c˜
ao de Matrizes 2 × 2
1.1
Motiva¸c˜
ao
Vamos considerar o problema de encontrar as fun¸c˜oes que d˜ao a evolu¸c˜ao das
po-pula¸c˜oes de duas esp´ecies, S1 e S2, convivendo em um mesmo ecossistema no tempo
t > 0. Vamos denotar as popula¸c˜oes das esp´ecies S1 e S2 em um instante t por x1(t) e
x2(t), respectivamente.
Inicialmente vamos supor que a taxa de crescimento da popula¸c˜ao de uma esp´ecie n˜ao depende do que ocorre com a outra esp´ecie e que esta taxa ´e proporcional a sua popula¸c˜ao existente (ou equivalentemente que a taxa de crescimento relativa ´e constante). Ou seja, vamos supor que
x0
1(t) = ax1(t)
x02(t) = dx2(t)
em que a, d ∈ R. Temos aqui um sistema de equa¸c˜oes diferenciais, ou seja, um sistema de equa¸c˜oes que envolvem derivadas das fun¸c˜oes que s˜ao inc´ognitas. Neste caso as duas equa¸c˜oes s˜ao desacopladas, isto ´e, podem ser resolvidas independentemente. A solu¸c˜ao do sistema ´e
Vamos supor, agora, que as duas popula¸c˜oes interagem de forma que a taxa de cresci-mento da popula¸c˜ao de uma esp´ecie depende de forma linear n˜ao somente da sua popula¸c˜ao existente, mas tamb´em da popula¸c˜ao existente da outra esp´ecie. Ou seja, vamos supor que
x0
1(t) = ax1(t) + bx2(t)
x02(t) = cx1(t) + dx2(t)
Por exemplo, se os indiv´ıduos de uma esp´ecie competem com os da outra por alimento
(a, d > 0 e b, c < 0), ou os indiv´ıduos da esp´ecie S1 s˜ao predadores dos da outra (a, b, d > 0
e c < 0). Neste caso a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao depende da outra. Podemos escrever este sistema na forma de uma equa¸c˜ao diferencial matricial
X0(t) = AX(t), (1) em que X0(t) =· x01(t) x0 2(t) ¸ , A =· a b c d ¸ e X(t) =· x1(t) x2(t) ¸ . Vamos supor que existam matrizes P e D tais que
A = P DP−1, (2) em que D =· λ1 0 0 λ2 ¸ . Substituindo-se (2) em (1) obtemos X0(t) = P DP−1X(t).
Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos
P−1X0(t) = DP−1X(t). (3)
Fazendo a mudan¸ca de vari´avel
Y (t) = P−1X(t), (4)
a equa¸c˜ao (3) pode ser escrita como
Y0(t) = DY (t),
que pode ser escrita na forma de um sistema de equa¸c˜oes desacopladas y01(t) = λ1y1(t)
y0
1.1 Motiva¸c˜ao 3
que tem solu¸c˜ao dada por
y1(t) = c1eλ1t e y2(t) = c2eλ2t.
Assim, da mudan¸ca de vari´aveis (4), a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) ´e
X(t) = P Y (t) = P· c1e λ1t c2eλ2t ¸ . Se P = · v1 w1 v2 w2 ¸
, ou seja, se as colunas da matriz P s˜ao os vetores V = · v1
v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸
, ent˜ao a solu¸c˜ao do sistema pode ser escrita como
· x1(t) x2(t) ¸ = c1eλ1t· v1 v2 ¸ + c2eλ2t· w1 w2 ¸ ou x1(t) = c1v1eλ1t+ c2w1eλ2t e x2(t) = c1v2eλ1t+ c2w2eλ2t
Vamos descobrir como podemos determinar matrizes P e D, quando elas existem, tais
que A = P DP−1, ou multiplicando `a esquerda por P−1 e `a direita por P , D = P−1AP ,
com D sendo uma matriz diagonal. Chamamos diagonaliza¸c˜ao ao processo de encontrar
as matrizes P e D.
Defini¸c˜ao 1. Dizemos que uma matriz A, ´e diagonaliz´avel, se existem matrizes P e
D tais que D = P−1AP , ou equivalentemente, A = P DP−1, em que D ´e uma matriz
diagonal.
Exemplo 1. Toda matriz diagonal
A =· λ1 0
0 λ2
¸
´e diagonaliz´avel, pois
A = (I2)−1AI2,
em que I2 =· 1 0
0 1 ¸
1.2
Autovalores e Autovetores
Vamos supor inicialmente que a matriz A seja diagonaliz´avel. Ent˜ao existe uma matriz P tal que
P−1AP = D , (5)
em que D ´e uma matriz diagonal.
Vamos procurar tirar conclus˜oes sobre as matrizes P e D. Multiplicando `a esquerda por P ambos os membros da equa¸c˜ao anterior, obtemos
AP = P D . (6) Sejam D =· λ1 0 0 λ2 ¸ e P =· v1 w1 v2 w2 ¸ =£ V W ¤ , em que V =· v1 v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸
s˜ao as colunas de P . Por um lado AP = A [ V W ] = [ AV AW ]
e por outro lado
P D =· v1 w1 v2 w2 ¸ · λ1 0 0 λ2 ¸ = [ λ1V λ2W ]
Assim, (6) pode ser reescrita como
£ AV AW ¤ = £ λ1V λ2W ¤ .
Logo,
AV = λ1V e AW = λ2W.
Ou seja, as colunas de P , V e W , e os elementos da diagonal de D, λ1 e λ2, satisfazem a
equa¸c˜ao
AX = λX,
em que λ e X s˜ao inc´ognitas. Isto motiva a seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2. Um n´umero real λ ´e chamado autovalor de uma matriz A, se existe um
vetor n˜ao nulo X =· x
y ¸
tal que
AX = λX . (7)
1.2 Autovalores e Autovetores 5 ©© ©© ©©* ©© © * O AX= λX X q λ > 1 ©© ©© ©©* ©© © * O X AX= λX q 0 < λ < 1 ©© ©© ©©* © © © ¼ O X AX= λX q λ < 0
Observe que a equa¸c˜ao (7) pode ser escrita como
AX = λI2X
ou
(A − λI2)X = ¯0 . (8)
Como os autovetores s˜ao vetores n˜ao nulos, os autovalores s˜ao os valores de λ, para os
quais o sistema (A − λI2)X = ¯0 tem solu¸c˜ao n˜ao trivial. Mas, este sistema homogˆeneo
tem solu¸c˜ao n˜ao trivial se, e somente se, det(A − λI2) = 0. Assim temos um m´etodo para
encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A.
Proposi¸c˜ao 1. Seja A uma matriz 2 × 2.
(a) Os autovalores de A s˜ao as ra´ızes do polinˆomio
p(t) = det(A − t I2) (9)
(b) Para cada autovalor λ, os autovetores associados a λ s˜ao os vetores n˜ao nulos da solu¸c˜ao do sistema
(A − λI2)X = ¯0 . (10)
Defini¸c˜ao 3. Seja A uma matriz 2 × 2. O polinˆomio
p(t) = det(A − t I2) (11)
´e chamado polinˆomio caracter´ıstico de A.
Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as
Exemplo 2. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz A = · 1 −1 −4 1 ¸
Para esta matriz o polinˆomio caracter´ıstico ´e
p(t) = det(A − tI2) = det· 1 − t −1
−4 1 − t
¸
= (1 − t)2− 4 = t2− 2t − 3 .
Como os autovalores de A s˜ao as ra´ızes de p(t), temos que os autovalores de A s˜ao λ1 = 3
e λ2 = −1.
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 3 e λ2 = −1.
Para isto vamos resolver os sistemas (A − λ1I2)X = ¯0 e (A − λ2I2)X = ¯0. Como
A − λ1I2 =· −2 −1 −4 −2 ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · −2 −1 −4 −2 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ −2x − y = 0 −4x − 2y = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e
W1 = {(α, −2α) | α ∈ R}.
que ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 3 acrescentado o vetor nulo.
Agora, (A − λ2I2)X = ¯0 ´e · 2 −1 −4 2 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸
cuja solu¸c˜ao geral ´e
W2 = {(α, 2α) | α ∈ R},
1.3 Diagonaliza¸c˜ao 7 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 x y W2 W1 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 x y AW AV V = (1, −2) W= (1, 2)
Figura 1: Autovetores associados a λ1 = 3 e a λ2 = −1 da matriz do Exemplo 2
Um resultado interessante e que iremos usar mais adiante ´e o seguinte.
Proposi¸c˜ao 2. Sejam V e W autovetores de uma matriz A associados a λ1 e λ2,
respec-tivamente. Se V = αW , para algum escalar α, ent˜ao λ1 = λ2.
Demonstra¸c˜ao. Se V = αW , ent˜ao multiplicando-se `a esquerda por A e usando o fato
de que AV = λ1V e AW = λ2W , temos que
λ1V = A(αW ) = αAW = αλ2W = λ2αW = λ2V.
Isto implica que
(λ1− λ2)V = ¯0.
Como V ´e um vetor n˜ao nulo, ent˜ao λ1 = λ2.
1.3
Diagonaliza¸c˜
ao
Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal. J´a vimos que se uma matriz A ´e diagonaliz´avel, ent˜ao as colunas da matriz P , que faz a diagonaliza¸c˜ao, s˜ao autovetores associados a autovalores, que por sua vez s˜ao elementos da matriz diagonal D. Como a
matriz P ´e invert´ıvel, estes 2 autovetores s˜ao L.I. (um vetor n˜ao ´e m´ultiplo escalar do
Teorema 3. Seja A uma matriz 2 ×2 que tem 2 autovalores λ1 6= λ2. Sejam V = (v1, v2)
e W = (w1, w2) autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Ent˜ao, as matrizes
P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP,
ou seja, a matriz A ´e diagonaliz´avel.
Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 2, V = (v1, v2) e W = (w1, w2) s˜ao L.I. s˜ao 2
autove-tores L.I. (um n˜ao ´e m´ultiplo escalar do outro). Vamos definir as matrizes
P = · v1 w1 v2 w2 ¸ = [ V W ] e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ . Como AV = λ1V e AW = λ2W , ent˜ao AP = A [ V W ] = [ AV AW ] = [ λ1V λ2W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ · λ1 0 0 λ2 ¸ = P D . (12)
Como V e W s˜ao L.I., a matriz P ´e invert´ıvel. Assim, multiplicando por P−1 `a esquerda
em (12) obtemos
D = P−1AP.
Ou seja, A matriz A ´e diagonaliz´avel.
Assim, se uma matriz A ´e diagonaliz´avel e D = P−1AP , ent˜ao os autovalores de A
formam a diagonal de D e os 2 autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as colunas de P .
Exemplo 3. Considere a matriz
A =· 1 1
4 1 ¸
J´a vimos no Exemplo 2 na p´agina 6 que o seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) =
det(A − t I2) = t2 − 2t − 3, que os seus autovalores s˜ao λ1 = 3 e λ2 = −1 e que os
autoespa¸cos correspondentes s˜ao W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} e W2 = {(α, −2α) | α ∈ R},
1.3 Diagonaliza¸c˜ao 9
Para λ1 = 3, temos que V = (1, 2) ´e um autovetor de A associado a λ1. De forma
an´aloga para λ2 = −1, W = (1, −2) ´e um autovetor associado a λ2. Como um vetor n˜ao
´e m´ultiplo escalar do outro, a matriz A ´e diagonaliz´avel e as matrizes
P = [ V W ] =· 1 1 2 −2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ =· 3 0 0 −1 ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP.
Exemplo 4. Considere a matriz
A =· 0 1
0 0 ¸
O seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) = det(A − tI2) = t2, assim A possui um ´unico
autovalor: λ1 = 0. Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalor
λ1 = 0. Para isto vamos resolver o sistema (A − λ1I2)X = ¯0. Como
A − λ1I2 = A =· 0 10 0 ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · 0 1 0 0 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ y = 0 0 = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e
W1 = {(α, 0) | α ∈ R} .
que ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 0 acrescentado o vetor nulo.
Portanto, n˜ao podemos ter 2 autovetores L.I. associados a λ1 = 0 e como s´o temos um
autovalor n˜ao podemos ter mais autovetores L.I. Portanto, pelo Teorema3na p´agina 8, a
1.4
Autovalores complexos
Tudo que fizemos at´e agora ´e v´alido para matrizes com entradas que s˜ao n´umeros reais
ou complexos e para autovalores reais ou complexos.
Um vetor de C2 pode ser escrito como
Z = (z1, z2) = (v1+ iw1, v2+ iw2) = (v1, v2) + i(w1, w2) = V + iW,
em que V e W s˜ao vetores de R2.
O pr´oximo resultado ´e v´alido exclusivamente para matrizes com entradas que s˜ao
n´umeros reais.
Proposi¸c˜ao 4. Seja A uma matriz 2 × 2 com entradas que s˜ao n´umeros reais. Se um
vetor Z = V + iW ∈ C2 ´e um autovetor de A associado ao autovalor λ = α + iβ, ent˜ao
Z = V − iW tamb´em ´e um autovetor de A, mas associado a λ = α − iβ. Al´em disso, se β 6= 0 ent˜ao Z e Z s˜ao L.I.
Demonstra¸c˜ao. Substituindo-se Z = V + iW e λ = α + iβ em AZ = λZ obtemos que AV + iAW = α(V + iW ) + iβ(V + iW ) = (αV − βW ) + i(αW + βV ).
Isto implica que
AV = αV − βW e AW = αW + βV. Agora, usando os valores de AV e AW obtidos temos que
AZ = A(V − iW ) = AV − iAW = αV − βW − i(αW + βV ) = (α − iβ)V − (β + iα)W = (α − iβ)V − i(α − iβ)W = (α − iβ)(V − iW ) = λ Z.
Se β 6= 0, ent˜ao λ e λ s˜ao diferentes. Logo, pela Proposi¸c˜ao 2 na p´agina 7, Z e Z s˜ao
L.I.
Assim, se uma matriz A, 2 × 2, com entradas reais tem autovalores complexos, ent˜ao ela ´e diagonaliz´avel.
Exemplo 5. Considere a matriz
A =· −3 2
−4 1 ¸
1.5 Se a matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel 11
O seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) = det(A − t I2) = (−3 − t)(1 − t)2+ 8 = t2+ 2t + 5
cujas ra´ızes s˜ao λ1 = −1+2i e λ2 = λ1 = −1−2i. Agora, vamos determinar os autovetores
associados ao autovalor λ1 = −1+2i. Para isto vamos resolver o sistema (A−λ1I2)X = ¯0.
Como A − λ1I2 =· −2 − 2i 2 −4 2 − 2i ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · −2 − 2i 2 −4 2 − 2i ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ (−2 − 2i)x + 2y = 0 −4x + (2 − 2i)y = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e
W1 = {(α, (1 + i)α) | α ∈ C} .
que ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = −1 + 2i acrescentado o vetor
nulo. Assim, Z = (1, 1 + i) ´e um autovetor associado a λ1 = −1 + 2i. Pela Proposi¸c˜ao 4,
Z = (1, 1 − i) ´e um autovetor associado a λ2 = λ1 = −1 − 2i e al´em disso Z e Z s˜ao L.I.
Assim, a matriz A ´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ Z Z ] = · 1 1 1 + i 1 − i ¸ e D =· λ1 0 0 λ1 ¸ =· −1 + 2i 0 0 −1 − 2i ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP.
1.5
Se a matriz A n˜
ao ´
e diagonaliz´
avel
Se uma matriz A com entradas que s˜ao n´umeros reais, 2 × 2, n˜ao ´e diagonaliz´avel
´e por que ela tem somente um autovalor real λ. Neste caso apesar de n˜ao podermos diagonaliz´a-la ´e v´alido o seguinte resultado.
Teorema 5. Seja A uma matriz n˜ao diagonal 2 × 2 com entradas que s˜ao n´umeros reais
e que possui um ´unico autovalor λ. Sejam W = (w1, w2) um vetor que n˜ao ´e autovetor
de A (AW 6= λW ) (Por exemplo, E1 = (1, 0) ou E2 = (0, 1) satisfaz esta condi¸c˜ao)
e V = · v1
v2
¸
= (A − λI2)W . Ent˜ao, as matrizes P = [ V W ] = · v1 w1
v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸
s˜ao tais que
J = P−1AP.
Demonstra¸c˜ao. Vamos escrever A = · a b c d
¸
. Neste caso, o polinˆomio caracter´ıstico
de A ´e p(t) = det(A − t I2) = (a − t)(d − t) − bc = t2− (a + d)t + (ad − bc). Como estamos
supondo que A tem somente um autovalor, ent˜ao
∆ = (a + d)2− 4(ad − bc) = a2− 2ad + d2+ 4bc = 0 (13)
e o autovalor de A que ´e a ´unica raiz de p(t) ´e
λ = a + d
2 .
Assim, para este valor λ e usando (13) obtemos que
(A − λI2)2 = A2− 2λA + λ2I2 =· a 2+ bc − 2λa + λ2 ab + bd − 2λb ac + dc − 2λc bc + d2− 2λd + λ2 ¸ =· 0 0 0 0 ¸ .
Seja W = (w1, w2) um vetor que n˜ao ´e autovetor de A. Portanto, ele n˜ao pertence ao
espa¸co solu¸c˜ao de (A − λI2)X = ¯0. Seja V = (v1, v2) = (A − λI2)W . Ent˜ao
(A − λI2)V = (A − λI2)2W = ¯0
Logo, V ´e um autovetor de A, ou seja,
AV = λV. Da defini¸c˜ao de V segue que
1.6 Resumo 13 Assim P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸
s˜ao tais que
AP = A[ V W ] = [ AV AW ] = [ λV V + λW ] = · λv1 v1+ λw1
λv2 v2+ λw2
¸
= P J. (14)
Como V ´e autovetor de A, se W fosse um m´ultiplo escalar de V , ent˜ao W tamb´em seria
um autovetor de A. Mas isto n˜ao ocorre pela defini¸c˜ao do vetor W . Assim a matriz P ´e
invert´ıvel e multiplicando-se a equa¸c˜ao (14) `a esquerda por P−1 obtemos o resultado.
Exemplo 6. Considere a matriz
A =· −1 1
−1 −3 ¸
O seu polinˆomio caracter´ıstico ´e p(t) = det(A − t I2) = (−1 − t)(−3 − t) + 1 = t2+ 4t + 4
cujas ra´ızes s˜ao λ1 = λ2 = λ = −2. O vetor E1 = (1, 0) ´e tal que
(A − λI2)E1 = · 1 1 −1 −1 ¸ · 1 0 ¸ = · 1 −1 ¸ 6= ¯0
Sejam W = E1 = (1, 0) e V = (A − λI2)W = (1, −1). Pelo Teorema 5, as matrizes
P = [ V W ] = · 1 1 −1 0 ¸ e J = · λ 1 0 λ ¸ =· −2 1 0 −2 ¸
s˜ao tais que
J = P−1AP.
1.6
Resumo
Para diagonalizar uma matriz 2 × 2 n˜ao diagonal siga os seguintes passos:
(a) Determine o polinˆomio caracter´ıstico p(t) = det(A − t I2).
(b) Se p(t) tem duas ra´ızes reais (distintas) λ1 6= λ2, ent˜ao determine um autovetor
V = (v1, v2) associado a λ1, isto ´e, uma solu¸c˜ao n˜ao trivial de (A − λ1I2)X = ¯0
e um autovetor W = (w1, w2) associado a λ2, isto ´e, uma solu¸c˜ao n˜ao trivial de
(A − λ2I2)X = ¯0. Ent˜ao P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸
(c) Se p(t) tem duas ra´ızes complexas λ1 = α + iβ e λ2 = ¯λ1 = α − iβ. Encontre um
autovetor complexo V + iW = (v1 + iw1, v2+ iw2), isto ´e, uma solu¸c˜ao n˜ao trivial
de (A − (α + iβ)I2)X = ¯0. Ent˜ao P = [ V + iW V − iW ] = · vv1+ iw1 v1− iw1 2+ iw2 v2− iw2 ¸ e D =· α + iβ 0 0 α − iβ ¸
s˜ao tais que A = P DP−1.
(d) Se p(t) tem somente uma raiz real λ. Seja W = (w1, w2) um vetor n˜ao nulo que n˜ao
seja autovetor de A (AW 6= λW ). Por exemplo, W = E1 = (1, 0) ou W = E2 =
(0, 1). Seja V =· v1 v2 ¸ = (A − λI2)W . Ent˜ao P = [ V W ] =· v1 w1 v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸
s˜ao tais que A = P JP−1.
1.7
Exerc´ıcios (respostas na p´
agina
28
)
Ache para cada matriz A, se poss´ıvel, uma matriz n˜ao-singular P tal que P−1AP seja
diagonal. Se n˜ao for poss´ıvel, ache uma matriz P tal que P−1AP =· λ 1
0 λ ¸ , para λ ∈ R. 1.1. · 1 1 1 1 ¸ 1.2. · 1 −1 2 4 ¸ 1.3. · 3 −4 1 −1 ¸ 1.4. · 1 −1 5 3 ¸ 1.5. · 4 −2 8 −4 ¸ 1.6. · −1 −4 1 −1 ¸ 1.7. · a 2 −2 0 ¸ 1.8. · 0 a −2 −2 ¸ 1.9. · 2a 1 1 4a ¸ 1.10. · 1 1 a 1 ¸
15
2
Sistemas de Equa¸c˜
oes Diferenciais Lineares
Considere o sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares.
½ x0
1(t) = ax1(t)
x0
2(t) = dx2(t)
em que a, d ∈ R. Temos aqui um sistema de equa¸c˜oes diferenciais, ou seja, um sistema de equa¸c˜oes que envolvem derivadas das fun¸c˜oes que s˜ao inc´ognitas. Neste caso as duas equa¸c˜oes s˜ao desacopladas, isto ´e, podem ser resolvidas independentemente. A solu¸c˜ao do sistema ´e
x1(t) = c1eat
x2(t) = c2edt.
Considere, agora, o sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares
½ x0
1(t) = ax1(t) + bx2(t)
x0
2(t) = cx1(t) + dx2(t)
em que a, b, c, d ∈ R com b ou c n˜ao nulos. Neste caso a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao depende da outra. Podemos escrever este sistema na forma de uma equa¸c˜ao diferencial matricial
X0(t) = AX(t), (15) em que X0(t) =· x01(t) x0 2(t) ¸ , A =· a b c d ¸ e X(t) =· x1(t) x2(t) ¸ .
2.1
A Matriz A ´
e diagonaliz´
avel em R
Vamos supor que existam matrizes P = · v1 w1
v2 w2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ , com λ1, λ2 ∈ R, tais que A = P DP−1. (16) Substituindo-se (16) em (15) obtemos X0(t) = P DP−1X(t).
Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos
Fazendo a mudan¸ca de vari´avel
Y (t) = P−1X(t), (18)
a equa¸c˜ao (17) pode ser escrita como
Y0(t) = DY (t),
que pode ser escrita na forma de um sistema de equa¸c˜oes desacopladas y0
1(t) = λ1y1(t)
y0
2(t) = λ2y2(t)
que tem solu¸c˜ao dada por
y1(t) = c1eλ1t e y2(t) = c2eλ2t.
Assim, da mudan¸ca de vari´aveis (18), a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (15) ´e
X(t) = P Y (t) = P· c1e λ1t c2eλ2t ¸ . Como P = · v1 w1 v2 w2 ¸
, ent˜ao as colunas da matriz P s˜ao os vetores V = · v1
v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸
, assim a solu¸c˜ao do sistema pode ser escrita como
· x1(t) x2(t) ¸ = c1eλ1t· v1 v2 ¸ + c2eλ2t· w1 w2 ¸ .
Se s˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x(0)2 , ent˜ao para determinarmos
c1 e c2 substituimos t = 0 na solu¸c˜ao, ou seja,
· x1(0) x2(0) ¸ = c1 · v1 v2 ¸ + c2 · w1 w2 ¸ = " x(0)1 x(0)2 # . que ´e equivalente ao sistema linear
(
v1c1 + w1c2 = x(0)1
v2c1 + w2c2 = x(0)2
Exemplo 7. Considere o sistema
½ x0
1(t) = x1(t) − x2(t)
x0
2.1 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em R 17 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
Figura 2: Trajet´orias do sistema do Exemplo 7
J´a vimos no Exemplo 3 na p´agina 6 que a matriz
A = ·
1 −1
−4 1
¸
´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ V W ] = · 1 1 −2 2 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ =· 3 0 0 −1 ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP.
Assim, a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por
· x1(t) x2(t) ¸ = c1e3t · 1 −2 ¸ + c2e−t· 12 ¸ .
Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 2. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e
t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao reais n˜ao nulos
com sinais contr´arios. Neste caso, dizemos que a origem ´e um ponto de sela.
Exemplo 8. Considere o sistema
½ x0
1(t) = 3x1(t) − x2(t)
x0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
Figura 3: Trajet´orias do sistema do Exemplo 8
Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz A =
·
3 −1
−2 2
¸
Para esta matriz o polinˆomio caracter´ıstico ´e
p(t) = det(A − t I2) = det· 3 − t −1
−2 2 − t
¸
= (3 − t)(2 − t) − 2 = t2− 5t + 4 .
Como os autovalores de A s˜ao as ra´ızes de p(t), temos que os autovalores de A s˜ao λ1 = 1
e λ2 = 4.
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = 4.
Para isto vamos resolver os sistemas (A − λ1I2)X = ¯0 e (A − λ2I2)X = ¯0. Como
A − λ1I2 = · 2 −1 −2 1 ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · 2 −1 −2 1 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ 2x − y = 0 −2x + y = 0
2.2 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em C 19
cuja solu¸c˜ao geral ´e
W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} = {α(1, 2) | α ∈ R} = {αV | α ∈ R}, em que V = (1, 2).
Este ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 1 acrescentado o vetor nulo.
Agora, (A − λ2I2)X = ¯0 ´e · −1 −1 −2 −2 ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸
cuja solu¸c˜ao geral ´e
W2 = {(−α, α) | α ∈ R} = {α(−1, 1) | α ∈ R} = {αW | α ∈ R}, em que W = (−1, 1).
Este ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ2 = 4 acrescentado o vetor nulo.
Assim, a matriz A ´e diagonaliz´avel e as matrizes
P = [ V W ] =· 1 −1 2 1 ¸ e D =· λ1 0 0 λ2 ¸ =· 1 0 0 4 ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP.
Assim, a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por
· x1(t) x2(t) ¸ = c1et· 1 2 ¸ + c2e4t· −1 1 ¸ .
Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem naFigura3. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e t´ıpica
de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao reais e positivos. Neste
caso, dizemos que a origem ´e um n´o inst´avel ou fonte. No caso em que os autovalores
de A reais e negativos as trajet´orias s˜ao semelhantes, mas percorridas no sentido contr´ario
`as da Figura 3. Neste caso, dizemos que a origem ´e um n´o atrator ou sumidouro.
2.2
A Matriz A ´
e diagonaliz´
avel em C
Vamos supor que existam matrizes P =· v1+ iw1 v1− iw1
v2+ iw2 v2− iw2 ¸ e D =· λ 0 0 λ ¸ , com λ1, λ2 ∈ C, tais que A = P DP−1. (19)
Substituindo-se (19) em (15) obtemos
X0(t) = P DP−1X(t).
Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos
P−1X0(t) = DP−1X(t).
Fazendo novamente a mudan¸ca de vari´avel Y (t) = P−1X(t), obtemos
Y0(t) = DY (t),
que pode ser escrito na forma
y0
1(t) = λ y1(t)
y0
2(t) = λ y2(t)
Estas equa¸c˜oes est˜ao desacopladas e tˆem solu¸c˜oes dadas por
y1(t) = C1eλt
y2(t) = C2eλt.
Assim a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (15) ´e
X(t) = P Y (t) = P· C1e λt C2eλt ¸ . Como P =· v1+ iw1 v1− iw1 v2+ iw2 v2− iw2 ¸
, ent˜ao as colunas da matriz P s˜ao os vetores V + iW =
· v1 + iw1 v2 + iw2 ¸ e V − iW =· vv1− iw1 2− iw2 ¸
. Assim a solu¸c˜ao geral nos complexos ´e dada por
X(t) = C1eλt · v1+ iw1 v2+ iw2 ¸ + C2eλt · v1− iw1 v2− iw2 ¸ (20)
As constantes C1 e C2 s˜ao complexas. Estamos interessados em uma solu¸c˜ao real. Para
isso, fazendo C2 = C1, a segunda parcela em (20) se torna o conjugado da primeira e
assim obtemos. X(t) = 2Re ½ C1eλt · v1 + iw1 v2 + iw2 ¸¾
2.2 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em C 21
Escrevendo a constante complexa em termos de constantes reais na forma C1 =
c1
2 − i
c2
2 e escrevendo λ = α + iβ, obtemos
· x1(t) x2(t) ¸ = Re(C1) Re ½ e(α+iβ)t· v1+ iw1 v2+ iw2 ¸¾ − Im(C1) Im ½ e(α+iβ)t· v1+ iw1 v2+ iw2 ¸¾ = c1Re ½ e(α+iβ)t· v1+ iw1 v2+ iw2 ¸¾ + c2Im ½ e(α+iβ)t· v1 + iw1 v2 + iw2 ¸¾ = c1eαt µ cos βt· v1 v2 ¸ − sen βt· ww1 2 ¸¶ + c2eαt µ cos βt· w1 w2 ¸ + sen βt· v1 v2 ¸¶
Se s˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x(0)2 , ent˜ao para determinarmos
c1 e c2 substituimos t = 0 na solu¸c˜ao, ou seja,
· x1(0) x2(0) ¸ = c1 · v1 v2 ¸ + c2 · w1 w2 ¸ = " x(0)1 x(0)2 # . que ´e equivalente ao sistema linear
( v1c1 + w1c2 = x(0)1 v2c1 + w2c2 = x(0)2 −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y
Exemplo 9. Considere o sistema
½ x0
1(t) = −3x1(t) + 2x2(t)
x0
2(t) = −4x1(t) + x2(t)
J´a vimos no Exemplo 5 na p´agina 10que a matriz
A =· −3 2
−4 1 ¸
´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ Z Z ] = · 1 1 1 + i 1 − i ¸ e D =· λ1 0 0 λ1 ¸ =· −1 + 2i 0 0 −1 − 2i ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP.
Assim a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por
· x1(t) x2(t) ¸ = c1Re ½ e(−1+2i)t · 1 1 + i ¸¾ + c2Im ½ e(−1+2i)t · 1 1 + i ¸¾ = c1e−t µ cos 2t· 1 1 ¸ − sen 2t· 01 ¸¶ + c2e−t µ cos 2t· 0 1 ¸ + sen 2t· 1 1 ¸¶
Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 4. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e
t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao complexos com a
parte real negativa. Neste caso, dizemos que a origem ´e um foco atrator ou sumidoro espiral. No caso em que os autovalores de A s˜ao complexos com a parte real positiva as
trajet´orias s˜ao semelhantes, mas percorridas no sentido contr´ario `as da Figura 4. Neste
caso, dizemos que a origem ´e um foco inst´avel ou fonte espiral.
Exemplo 10. Considere o sistema
½ x0
1(t) = −x1(t) + 2x2(t)
x0
2(t) = −x1(t) + x2(t)
Este sistema pode ser escrito na forma X0(t) = AX(t), em que
A =· −1 2
−1 1 ¸
2.2 A Matriz A ´e diagonaliz´avel em C 23 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x y
Figura 5: Trajet´orias do sistema do Exemplo 10
O polinˆomio caracter´ıstico da matriz A ´e p(t) = det(A−t I2) = (−1−t)(1−t)2+2 = t2+1
cujas ra´ızes s˜ao λ1 = i e λ2 = λ1 = −i. Agora, vamos determinar os autovetores associados
ao autovalor λ1 = i. Para isto vamos resolver o sistema (A − λ1I2)X = ¯0. Como
A − λ1I2 =· −1 − i 2 −1 1 − i ¸ , ent˜ao (A − λ1I2)X = ¯0 ´e · −1 − i 2 −1 1 − i ¸ · x y ¸ =· 0 0 ¸ ou ½ (−1 − i)x + 2y = 0 −x + (1 − i)y = 0 cuja solu¸c˜ao geral ´e
W1 = {((1 − i)α, α) | α ∈ C} = {α(1 − i, 1) | α ∈ C}.
Este ´e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = i acrescentado o vetor nulo.
Assim, Z = (1 − i, 1) ´e um autovetor associado a λ1 = i. Pela Proposi¸c˜ao 4 na p´agina
10, Z = (1 + i, 1) ´e um autovetor associado a λ2 = λ1 = −i e al´em disso Z e Z s˜ao L.I.
Assim, a matriz
A =· −1 2
−1 1 ¸
´e diagonaliz´avel e as matrizes P = [ Z Z ] = · 1 − i 1 + i 1 1 ¸ e D =· λ1 0 0 λ1 ¸ = · i 0 0 −i ¸
s˜ao tais que
D = P−1AP.
Assim a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por
· x1(t) x2(t) ¸ = c1Re ½ eit· 1 − i 1 ¸¾ + c2Im ½ eit· 1 − i 1 ¸¾ = c1 µ cos t· 1 1 ¸ − sen t· −10 ¸¶ + c2 µ cos t· −1 0 ¸ + sen t· 1 1 ¸¶
Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 5. A disposi¸c˜ao das trajet´orias ´e
t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que os autovalores de A s˜ao complexos com a
parte real igual a zero. Neste caso, dizemos que a origem ´e um centro.
2.3
A Matriz A n˜
ao
´
e diagonaliz´
avel em C
Sejam P =· v1 w1 v2 w2 ¸ e J =· λ 1 0 λ ¸
matrizes tais que
A = P JP−1. (21)
Substituindo-se (16) em (1) obtemos
X0(t) = P JP−1X(t).
Multiplicando-se `a esquerda por P−1, obtemos
P−1X0(t) = JP−1X(t).
Fazendo a mudan¸ca de vari´avel Y (t) = P−1X(t), obtemos
Y0(t) = JY (t),
que pode ser escrito na forma
y10(t) = λ y1(t) + y2(t)
y0
2.3 A Matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel em C 25
A segunda equa¸c˜ao tem solu¸c˜ao
y2(t) = c2eλt.
Substituindo y2(t) na primeira equa¸c˜ao obtemos a equa¸c˜ao
y01(t) = λ y1(t) + c2eλt
que tem solu¸c˜ao
y1(t) = (c1+ c2t)eλt.
Assim a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) ´e
X(t) = P Y (t) = P · (c1+ c2t)e λt c2eλt ¸ . Se P = · v1 w1 v2 w2 ¸
, ou seja, se as colunas da matriz P s˜ao os vetores V = · v1
v2 ¸ e W =· w1 w2 ¸ , ent˜ao · x1(t) x2(t) ¸ = (c1+ c2t)eλt· vv1 2 ¸ + c2eλt· ww1 2 ¸ .
Se s˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x(0)2 , ent˜ao para determinarmos
c1 e c2 substituimos t = 0 na solu¸c˜ao, ou seja,
· x1(0) x2(0) ¸ = c1 · v1 v2 ¸ + c2 · w1 w2 ¸ = " x(0)1 x(0)2 # . que ´e equivalente ao sistema linear
(
v1c1 + w1c2 = x(0)1
v2c1 + w2c2 = x(0)2
Exemplo 11. Considere o sistema
½ x0
1(t) = −x1(t) + x2(t)
x0
2(t) = −x1(t) − 3x2(t)
Vimos no Exemplo 6na p´agina 13 que a matriz
A =· −1 1
−1 −3 ¸
n˜ao ´e diagonaliz´avel, mas que as matrizes P = [ V W ] = · 1 1 −1 0 ¸ e J = · λ 1 0 λ ¸ =· −2 1 0 −2 ¸
s˜ao tais que
J = P−1AP.
Assim a solu¸c˜ao do sistema ´e dada por
· x1(t) x2(t) ¸ = (c1+ c2t)e−2t · 1 −1 ¸ + c2e−2t· 1 0 ¸ .
Os gr´aficos de diversas solu¸c˜oes aparecem na Figura 6. A disposi¸c˜ao das trajet´orias
´e t´ıpica de um sistema linear X0 = AX, em que a matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel em C
e o ´unico autovalor ´e negativo. Neste caso, dizemos que a origem ´e um n´o impr´oprio.
No caso em que o ´unico autovalor de A ´e positivo as trajet´orias s˜ao semelhantes, mas
percorridas no sentido contr´ario `as da Figura 6. Neste caso, dizemos tamb´em que a
origem ´e um n´o impr´oprio.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
2.4 Exerc´ıcios (respostas na p´agina 31) 27
2.4
Exerc´ıcios (respostas na p´
agina
31
)
Ache a solu¸c˜ao geral do sistema de equa¸c˜oes dado.
2.1. ½ x0(t) = x(t) + y(t) y0(t) = x(t) + y(t) 2.2. ½ x0(t) = x(t) − y(t) y0(t) = 2x(t) + 4y(t) 2.3. ½ x0(t) = 3x(t) − 4y(t) y0(t) = x(t) − y(t) 2.4. ½ x0(t) = x(t) − y(t) y0(t) = 5x(t) + 3y(t) 2.5. ½ x0(t) = 4x(t) − 2y(t) y0(t) = 8x(t) − 4y(t) 2.6. ½ x0(t) = −x(t) − 4y(t) y0(t) = x(t) − y(t) 2.7. ½ x0(t) = ax(t) + 2y(t) y0(t) = −2x(t) 2.8. ½ x0(t) = ay(t) y0(t) = −2x(t) − 2y(t) 2.9. ½ x0(t) = 2ax(t) + y(t) y0(t) = x(t) + 4ay(t) 2.10. ½ x0(t) = x(t) + y(t) y0(t) = ax(t) + y(t)
Fa¸ca um esbo¸co das solu¸c˜oes de X0(t) = AX(t) e diga se a origem define uma sela,
um n´o inst´avel, um n´o atrator, um foco inst´avel, um foco atrator, um centro ou um n´o impr´oprio. 2.11. A =· 2 1 3 4 ¸ 2.12. A =· −1 8 1 1 ¸ 2.13. A = · 1 1 −3 −2 ¸ 2.14. A = · 5 3 −3 1 ¸ 2.15. A =· 3 −4 1 −1 ¸ 2.16. A = · 0 2 −2 0 ¸ 2.17. A =· 2 −3 1 −2 ¸ 2.18. A =· −1 −2 0 −2 ¸ Comandos do MATLAB:
>>[P,D]=eig(sym(A)) determina simb´olicamente, se poss´ıvel, matrizes P e D tais que
D = P−1AP , sendo D uma matriz diagonal.
>>[P,J]=jordan(sym(A))determina simb´olicamente, se poss´ıvel, matrizes P e J tais que
J = P−1AP , sendo J =· λ 1
0 λ ¸
.
Comando do pacote GAAL:
>>fluxlin(A)desenha algumas trajet´orias que s˜ao solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes
3
Respostas dos Exerc´ıcios
1. Diagonaliza¸c˜ao de Matrizes 2 × 2 (p´agina 14) 1.1. À A=sym([1,1;1,1]); À [P,D]=eig(A) P =[ 1, -1] [ 1, 1] D =[ 2, 0] [ 0, 0] 1.2. À A=sym([1,-1;2,4]); À [P,D]=eig(A) P =[ -1, 1] [ 1, -2] D =[ 2, 0] [ 0, 3] 1.3. À A=sym([3,-4;1,-1]); À [P,J]=jordan(A) P =[ 2, 1] [ 1, 0] J =[ 1, 1] [ 0, 1] 1.4. À A=sym([1,-1;5,3]); À [P,D]=eig(A) P =[ -1/5+2/5*i, -1/5-2/5*i] [ 1, 1] D =[ 2+2*i, 0] [ 0, 2-2*i] 1.5. À A=sym([4,-2;8,-4]); À [P,J]=jordan(A) P =[ 4, 1] [ 8, 0] J =[ 0, 1] [ 0, 0] 1.6. À A=sym([-1,-4;1,-1]); À [P,D]=eig(A)29 P =[ 2*i, -2*i] [ 1, 1] D =[ -1+2*i, 0] [ 0, -1-2*i] 1.7. Se |a| > 4: À [P,D]=eig(A) P = · 4 4 −a +√a2− 16 −a −√a2− 16 ¸ D = " a+√a2−16 2 0 0 a−√a2−16 2 # Se |a| < 4: P = · 4 4 −a + i√16 − a2 −a − i√16 − a2 ¸ D = " a+i√16−a2 2 0 0 a−i√16−a2 2 # Se a = 4: À [P,J]=jordan(subs(A,a,4)) P =[ 2, 1] [ -2, 0] J =[ 2, 1] [ 0, 2] Se a = −4: À [P,J]=jordan(subs(A,a,-4)) P =[ -2, 1] [ -2, 0] J =[ -2, 1] [ 0, -2] 1.8. Se a < 1/2: À [P,D]=eig(A)
P =· −1 + 1 − 2a −1 − 1 − 2a 2 2 D =· −1 + √ 1 − 2a 0 0 −1 −√1 − 2a ¸ Se a > 1/2: P =· −1 + i √ 2a − 1 −1 − i√2a − 1 2 2 ¸ D =· −1 + i √ 2a − 1 0 0 −1 − i√2a − 1 ¸ Se a = 1/2: À [P,J]=jordan(subs(A,a,1/2)) P =[ 1, 1] [ -2, 0] J =[ -1, 1] [ 0, -1] 1.9. À [P,D]=eig(A) P =· −a + √ a2+ 1 −a −√a2+ 1 1 1 ¸ D =· 3 a + √ a2+ 1 0 0 3 a −√a2+ 1 ¸ 1.10. Se a > 0: À [P,D]=eig(A) P = · √1 a − 1 √a 1 1 ¸ D =· 1 + √ a 0 0 1 −√a ¸ Se a < 0: P =· − i √ −a i √ −a 1 1 ¸ D =· 1 + i √ −a 0 0 1 − i√−a ¸ Se a = 0:
31 À A=subs(A,a,0) À [P,J]=jordan(A) P =[ 1, 0] [ 0, 1] J =[ 1, 1] [ 0, 1]
2. Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares (p´agina 27)
2.1. · x(t) y(t) ¸ = c1e2t· 1 1 ¸ + c2 · −1 1 ¸ . 2.2. · x(t) y(t) ¸ = c1e2t· −11 ¸ + c2e3t · 1 −2 ¸ . 2.3. · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)et· 2 1 ¸ + c2et· 1 0 ¸ 2.4. · x(t) y(t) ¸ = c1e2t µ cos 2t· −1 5 ¸ − sen 2t· 20 ¸¶ + c2e2t µ cos 2t· 2 0 ¸ + sen 2t· −1 5 ¸¶ 2.5. · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)· 48 ¸ + c2 · 10 ¸ 2.6. · x(t) y(t) ¸ = c1e−t µ cos 2t· 0 1 ¸ − sen 2t· 20 ¸¶ + c2e−t µ cos 2t· 2 0 ¸ + sen 2t· 0 1 ¸¶ 2.7. Se |a| > 4: · x(t) y(t) ¸ = c1e( a+√a2 −16 2 )t · 4 −a +√a2− 16 ¸ + c2e( a−√a2 −16 2 )t · 4 −a −√a2− 16 ¸ . Se |a| < 4: · x(t) y(t) ¸ = c1e at 2 µ cos(√16−a2 2 t) · 4 −a ¸ − sen(√16−a2 2 t) · 0 √ 16 − a2 ¸¶ + c2e at 2 µ cos(√16 − a2t) · 0 √ 16 − a2 ¸ + sen(√16 − a2t) · 4 −a ¸¶
Se a = ±4: · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)e±2t· ±2 −2 ¸ + c2e±2t· 10 ¸ 2.8. Se a < 1/2: · x(t) y(t) ¸ = c1e(−1+ √ 1−2a)t· −1 + √ 1 − 2a 2 ¸ + c2e(−1− √ 1−2a)t· −1 − √ 1 − 2a 2 ¸ . Se a > 1/2: · x(t) y(t) ¸ = c1e−t µ cos(√2a − 1t)· −1 2 ¸ − sen(√2a − 1t) · √ 2a − 1 0 ¸¶ + c2e−t µ cos(√2a − 1t) · √ 2a − 1 0 ¸ + sen(√2a − 1t)· −1 2 ¸¶ Se a = 1/2: · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)e−t · 1 −2 ¸ + c2e−t· 1 0 ¸ 2.9. · x(t) y(t) ¸ = c1e(3a+ √ a2+1)t· −a + √ a2+ 1 1 ¸ + c2e(3a− √ a2+1)t· −a − √ a2+ 1 1 ¸ . 2.10. Se a > 0: · x(t) y(t) ¸ = c1e(1+ √ a)t · √1 a 1 ¸ + c2e(1− √ a)t· −√1a 1 ¸ . Se a < 0: · x(t) y(t) ¸ = c1 µ etcos(√ −at)· 01 ¸ − etsen(√ −at)· − 1 √ −a 0 ¸¶ + c2 µ etcos(√−at)· − 1 √ −a 0 ¸ + etsen(√−at)· 0 1 ¸¶ . Se a = 0: · x(t) y(t) ¸ = (c1+ c2t)et· 1 0 ¸ + c2et· 0 1 ¸
33
2.11. A origem ´e um n´o inst´avel.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
2.12. A origem ´e uma sela.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
2.13. A origem ´e um foco atrator.
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y
2.14. A origem ´e um foco inst´avel. −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y
2.15. A origem ´e um n´o impr´oprio.
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 x y
2.16. A origem ´e um centro.
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y
35
2.17. A origem ´e uma sela.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
2.18. A origem ´e um n´o atrator.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y
Referˆ
encias
[1] Howard Anton and Chris Rorres. ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. Bookman, S˜ao
Paulo, 8a. edi¸c˜ao, 2000.
[2] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora S.A., Rio de Janeiro, 6a. edi¸c˜ao, 1999.
[3] Morris W. Hirsch and Stephen Smale. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, Inc., New York, 1974.
[4] Bernard Kolman. Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. Prentice Hall do
Brasil, Rio de Janeiro, 6a. edi¸c˜ao, 1998.
[5] Erwin Kreiszig. Matem´atica Superior. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2a. edi¸c˜ao, 1985.
[6] Steven J. Leon. ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora
S.A., Rio de Janeiro, 5a. edi¸c˜ao, 1998.
[7] Reginaldo J. Santos. Um Curso de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear. Imprensa
Universit´aria da UFMG, Belo Horizonte, 2002.
[8] Jorge Sotomayor. Li¸c˜oes de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. IMPA, Rio de Janeiro, 1979.