Deformações de cônicas e quádricas por operadores lineares

(1)

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

Disserta¸c˜ao de Mestrado

Deforma¸c˜

oes de Cˆ

onicas e Qu´

adricas

por Transforma¸c˜

oes Lineares

por

Fabiano Pinto Tavares

Mestrado Profissional em Matem´atica - Campinas - SP

Orientadora:

Prof. Dr

a

Sueli Irene Rodrigues Costa

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.

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(Plat˜ao)

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.

(10)

´

A Deus, em primeiro lugar, por seus milagres, sua onipotente m˜ao que esteve e est´a sobre mim todos os dias;

`

A minha amada esposa Marcela, pelo seu apoio incondicional;

Aos meus pais, por acreditarem em mim e à minha irmã Kátia, que sempre me apoiou e financiou, sem sua colabora¸cão nada disto poderia ter acontecido;

`

A Profa_{. Sueli Costa, que como orientadora e amiga soube cobrar, mas}

também não mediu esfor¸cos em oferecer todas as condi¸cões necessárias à rea-liza¸cão do presente trabalho;

Ao prof. Sim˜ao Stelmastchuk pela ajuda na co-orienta¸c˜ao, demonstrando sua generosidade em partilhar seus conhecimentos;

Aos professores José Pl´ınio Santos e Vilmar Trevisan por participarem da banca de defesa de disserta¸cão e por suas sugestões que sem dúvidas enriqueceram o presente trabalho.

`

As Universidades Estaduais de Campinas e do Maranhão, conjuntamente com a Capes por propiciarem a realiza¸cão do Mestrado Profissional em Matemática.

`

A todos os professores do Curso de Mestrado Profissional em Matem´atica, que de uma forma direta ou indireta contribu´ıram para a realiza¸c˜ao desse trabalho;

Aos meus sogros Maur´ıcio e Flora, pela amizade e carinho; `

A minha cunhada Mˆonyka, por suas palavras prof´eticas e interface entre mim e minha esposa;

Aos “belgas” Murilo e Erenaldo, amigos de todas as horas.

Ao Cristiano, Félix, João e aos demais colegas do laboratório, que me ajuda-ram bastante e me “aturararem” por todos estes dias.

(11)

.

(12)

Neste trabalho focalizamos a deforma¸cão de cônicas e quádricas por trans-forma¸cões lineares. Deduzimos de forma expl´ıcita os autovalores e autoveto-res ortonormais de matrizes reais 2 × 2 e 3 × 3, para os quais não há quase referências na literatura e nem incorpora¸cão nos programas computacionais de cálculo simbólico usuais. Esta determina¸cão levou -nos a estudar um pouco da história da resolu¸cão das equa¸cões de terceiro grau e das condi¸cões e formula¸cões das ra´ızes reais destas. Os resultados foram utilizados na determina¸cão expl´ıcita das deforma¸cões por transforma¸cões lineares de cônicas e quádricas, sendo estas discutidas em termos de caracter´ısticas das matrizes associadas.

Palavras-chave: Operadores Lineares, Autovalores, Cônicas, Quádricas, De-forma¸cões Lineares.

(13)

Abstract

We discuss here the deformations of conics and quadrics under linear map-pings. We set explicitly the eingenvalues and the orthonormal eigenvectors of real symmetric 2 × 2 and 3 × 3 matrices. These expressions are scarce in the litera-ture and not incorporated in symbolic calculus software. The determination of those eigenvalues leaded us to the study of the solution of third degree equations and some of related historical aspects with focus on conditions and expressions for their real solutions Those results are used in the exact determination of the linear deformation of conics and quadrics in terms of the characteristics of their associated matrices .

keywords: Linear Mappings, Eigenvalues, Conics, Quadrics.

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Agradecimentos ix

Resumo xi

Abstract xiii

Introdu¸c˜ao 1

1 Autovalores e Autovetores - uma aplica¸cão geométrica 3 1.1 Autovalores e Autovetores. . . 3 1.2 Autovalores e autovetores das matrizes simétricas 2 × 2 e 3 × 3 . 7 1.2.1 A é uma matriz simétrica 2 × 2 . . . 7 1.2.2 A é uma matriz simétrica 3 × 3 . . . 9 1.3 Uma aplica¸cão geométrica. . . 12 1.4 Dedu¸cão e aspectos históricos da equa¸cão do 3o _{grau - solu¸cões reais 19}

1.4.1 Um pouco da hist´oria da equa¸c˜ao do 3o _{grau . . . .} ₁₉

1.4.2 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do 3o _{grau . . . .} ₂₀

2 Imagem de uma cˆonica segundo uma transforma¸c˜ao linear no

plano 25

2.1 Deforma¸cão da elipse . . . 25 2.1.1 ǫ é uma elipse centrada na origem e não rotacionada e TM

é o operador nulo . . . 26 2.1.2 ǫ é uma elipse centrada na origem e não rotacionada e TM

´e um operador n˜ao nulo onde posto(M ) = 1 . . . 26 xv

(15)

xvi SUM ´ARIO

2.1.3 ǫ ´e uma elipse centrada na origem e n˜ao rotacionada e TM

´e um operador invert´ıvel . . . 29

2.1.4 ǫ ´e uma elipse qualquer . . . 33

2.2 Deforma¸c˜ao da hip´erbole . . . 38

2.3 Deforma¸c˜ao da par´abola . . . 38

2.3.1 σ é uma parábola com vértice na origem e não rotacionada e TM é o operador nulo . . . 39

2.3.2 σ é uma parábola com vértice na origem e não rotacionada e TM é um operador não nulo onde posto(M ) = 1 . . . 39

2.3.3 σ é uma parábola com vértice na origem e não rotacionada e TM é um operador invert´ıvel . . . 41

2.3.4 σ ´e uma par´abola qualquer. . . 46

3 Imagem de uma quádrica segundo um operador linear no espa¸co. 51 3.1 Deforma¸cão do elipsóide . . . 51

3.1.1 S(0, r) é uma esfera centrada na origem e TM um operador onde detM é não nulo . . . 52

3.1.2 ǫ é um elipsóide centrado na origem não rotacionado e TM um operador onde detM é não nulo . . . 55

3.1.3 ǫ é um elipsóide qualquer e TM um operador onde detM é não nulo . . . 59

3.1.4 S(0, r) ´e uma esfera centrada na origem e TM um operador onde posto(M ) = 1 . . . 64

3.1.5 S(0, r) ´e uma esfera centrada na origem e TM um operador onde posto(M ) = 2 . . . 68

3.1.6 ǫ é um elipsóide qualquer e TM um operador onde detM é nulo . . . 77

3.2 Deforma¸c˜ao do parabol´oide . . . 80

3.2.1 ρ é um parabolóide circular com eixo de simetria em z e TM um operador onde detM é não nulo . . . 81

(16)

3.2.2 ρ é um parabolóide el´ıptico centrado na origem ao longo do eixo z e TM um operador onde detM é não nulo . . . 84

3.2.3 ρ ´e um parabol´oide qualquer e TM um operador onde detM

´e n˜ao nulo . . . 86

(17)

Introdu¸c˜

ao

O objetivo desta disserta¸cão, dentro dos propósitos deste programa, é o estudo e detalhamento de temas de interesse que tenham conexão com as disciplinas de matemática do ensino superior. Neste trabalho focalizamos a deforma¸cão de cônicas e quádricas por transforma¸cões lineares.

No primeiro cap´ıtulo são introduzidos os conceitos de autovalor e autovetor de operadores e matrizes e o teorema da diagonaliza¸cão das matrizes simétricas. Deduzimos de forma expl´ıcita os autovalores e autovetores de matrizes simétricas 2 × 2 e 3 × 3. É interessante notar que, no caso das matrizes 3 × 3, esta deter-mina¸cão não tem quase referências na literatura. Esta deterdeter-mina¸cão levou -nos a estudar um pouco da história da resolu¸cão das equa¸cões de terceiro grau e das condi¸cões e formula¸cões das ra´ızes reais destas equa¸cões. Observamos que, mesmo programas de cálculo simbólico potentes como o Maxima e o Mathema-tica não determinam explicitamente estas ra´ızes reais e novamente as referências na literatura são escassas, do que pudemos constatar. Os cálculos de autovalores e autovetores possibilitaram interpretar a deforma¸cão causada por uma matriz simétrica num c´ırculo ou esfera.

Nos cap´ıtulos 2 e 3, os resultados do Cap´ıtulo 1 e parametriza¸cões foram utili-zados na determina¸cão exata das deforma¸cões de cônicas e quádricas, sendo estas discutidas em termos de caracter´ısticas das matrizes associadas. Os resultados do desenvolvimento feito aparecem resumidos em proposi¸cões.

Para cálculos simbólicos, numéricos e gráficos foi utilizado o programa Ma-xima, que é aberto. Também utilizamos o programa Geogebra (aberto) para o tra¸cado de gráficos no plano. Assim, procedimentos como os que utilizamos aqui podem ser usados livremente, novamente dentro dos objetivos deste tarbalho e

(18)

(19)

Cap´ıtulo 1

Autovalores e Autovetores - uma

aplica¸c˜

ao geom´

etrica

Neste cap´ıtulo introduzimos os conceitos de autovalores e autovetores de um operador linear bem como de uma matriz. Definimos forma quadrática, matriz diagonalizável e apresentamos o importante teorema de diagonaliza¸cão das ma-trizes simétricas, deduzindo de forma expl´ıcita os autovalores e autovetores de matrizes simétricas 2 × 2 e 3 × 3. As referências utilizadas foram [1],[2],[3] [4], [9] e [13]. Na subse¸cão 1.4 colocamos os aspectos históricos da resolu¸cão da equa¸cão do 3o _{grau e a dedu¸cão da expressão das ra´ızes reais desta.}

1.1 Autovalores e Autovetores.

Seja V um espa¸co vetorial e T um operador linear definido sobre V. Esta-mos interessados em encontrar vetores em V que s˜ao levados em seus m´ultiplos escalares segundo o operador T.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja V um espa¸co vetorial e seja T : V → V um operador linear. Caso existam v ∈ V, v 6= 0 e λ ∈ R tal que T (v) = λv, diremos que λ ´e um autovalor de T associado ao autovetor v de T.

Se considerarmos operadores definidos no plano (ou no espa¸co), isto ´e, V = R2

(ou V = R3_{) temos que a imagem de um autovetor v, caso exista, estar´a sobre}

a mesma reta que contˆem v. O autovalor λ por sua vez determina o sentido e o comprimento de T (v).

(20)

Para encontrarmos autovalores e autovetores de um operador linear T : V → V, fixando uma base α para V, podemos reescrever a equa¸c˜ao T (v) = λv na forma matricial A(v) = λv, onde A ´e a matriz do operador T na base α, ou seja, A = [T ]α

αe o vetor v dever´a ser considerado um vetor coluna. Desta forma temos:

A(v) = λv ⇔ (A − λI)v = 0.

A última equa¸cão representa um sistema linear homogêneo e para que exista v 6= 0 que o satisfa¸ca é necessário e suficiente que det(A − λI) = 0. Logo os autovalores de T serão as ra´ızes do polinômio P (λ) = det(A − λI). Um fato importante é que este polinômio não depende da base fixada para o espa¸co V . Com efeito, do estudo das transforma¸cões lineares e matrizes nos é garantido que B = C · A · C−1 _{, onde B é a matriz do operador T em uma base β arbitrária,}

ou seja, B = [T ]β_β, e C ´e a matriz de mudan¸ca da base α para a base β, ou seja, C = [I]α

β. Logo temos:

det(B − λI) = det(C · A · C−1_{− λI) = det(C · A · C}−1_{− λC · I · C}−1₎

= det(C(A − λI)C−1) = det(C)det(A − λI)det(C−1) = det(A − λI) = P (λ).

Este polinômio P (λ) é chamado polinômio caracter´ıstico do operador T e suas ra´ızes são os autovalores de T. Assim para cada λ resolvemos o sistema indeterminado (A − λI)v = 0 para determinarmos os autovetores associados. Na verdade, da solu¸cão do sistema (A−λ1I)v = 0, segue que todo múltiplo escalar de

v é um autovetor associado a λ. Daqui por diante fica subtendido que quando se diz que v é um autovetor associado ao autovalor λ segundo um operador T, então todo múltiplo escalar de v também o será. A seguir ilustraremos este processo.

Exemplo 1.1.1. Seja T : R2 _{→ R}2 _{o operador linear definido por T (x, y) =}

(x+2y, −x+4y). Fixando a base canônica, a representa¸cão matricial do operador nesta base será

(21)

1.1 Autovalores e Autovetores. 5 A =   1 2 −1 4   ,

logo seu polinˆomio caracter´ıstico ´e dado por P (λ) = det(A − λI) = λ2_{− 5λ + 6.}

Resolvendo a equa¸c˜ao P (λ) = 0 encontramos as ra´ızes λ1= 2 e λ2 = 3. A partir

dos sistemas indeterminados (A − λiI)v = 0, i = 1, 2 encontramos os respectivos

autovetores associados v1= 1,1 2 e v2= (1, 1).

Exemplo 1.1.2. Seja T : R3 _{→ R}3 _{o operador linear definido por T (x, y, z) =}

(x + y + z, 2y + z, 2y + 3z). Fixando a base canônica, a representa¸cão matricial do operador nesta base será

A =      1 1 1 0 2 1 0 2 3     .

Logo seu polinˆomio caracter´ıstico ´e dado por P (λ) = det(A−λI) = (1−λ)2_(4−λ).

Resolvendo a equa¸c˜ao P (λ) = 0 encontramos as ra´ızes λ1 = λ2 = 1 e λ3 = 4. A

partir do sistema indeterminado (A − λI)v = 0, onde λ = λ1 = λ2 encontramos

os autovetores LI associados v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0, 1, −1). A partir do sistema

indeterminado (A − λ3I)v = 0 encontramos o autovetor associado v3= (1, 1, 2).

Exemplo 1.1.3. O operador linear T : R2 _{→ R}2 _{definido por T (x, y) = (−y, x)}

não possui autovalores e nem autovetores. Com efeito, fixando a base canônica, a representa¸cão matricial do operador nesta base é

A =   0 −1 1 0   .

Logo seu polinˆomio caracter´ıstico ser´a P (λ) = det(A − λI) = λ2 _{+ 1. Este}

po-linômio não possui ra´ızes reais, logo o operador não tem autovalores e autovetores. Notemos que o operador linear pode ser assim escrito:

(22)

T   x y   =   −y x   =   0 −1 1 0     x y   =   cos 90 o − sin 90o sin 90o cos 90o     x y   .

Isto nos mostra que este operador define uma rota¸c˜ao no plano de 90o

no sentido anti-horário. Por esta razão nenhum vetor não nulo é levado em um múltiplo escalar.

O teorema a seguir nos diz que o conjunto formado pelos autovetores associ-ados a um determinado autovalor e o vetor nulo ´e um subespa¸co vetorial.

Teorema 1.1.1. Seja T : V → V um operador linear e λ um autovalor de T. O conjunto Vλ = {v ∈ V ; T (v) = λv} ´e um subespa¸co vetorial de V. Este conjunto

´e denominado de autoespa¸co de T associado a λ.

Prova: ´E claro que 0 ∈ Vλ pois T (0) = 0 = λ0. Supondo que v1, v2 ∈ Vλ

temos T (v1+ v2) = T (v1) + T (v2) = λv1+ λv2= λ(v1+ v2), ou seja, v1+ v2∈ Vλ.

Supondo agora que v ∈ Vλ e γ ∈ R temos T (γv) = γT (v) = γ(λv) = λ(γv), ou

seja, γv ∈ Vλ. Portanto Vλ ´e um subespa¸co vetorial de V.

O conceito de autovalores, autovetores e polinˆomio caracter´ıstico pode ser estendido para matrizes quadradas.

Defini¸cão 1.1.2. Seja T : Rn _{→ R}n _{definida, em rela¸cão a base canônica, por}

TA(v) = Av. Dizemos que λ ´e autovalor de A e v 6= 0 ´e autovetor de A se

TA(v) = λv. O polinômio caracter´ıstico de A será então P (λ) = det(A − λI).

Exemplo 1.1.4. Dadas A e B matrizes invert´ıveis, mostremos que os autovalores de AB e BA são os mesmos. Mostremos ainda que se λ é autovalor de AB com autovetor v, então λ é autovalor de BA com autovetor Bv. Com efeito, suponhamos que P1(λ) e P2(λ) sejam os polinômios caracter´ısticos das matrizes

(23)

1.2 Autovalores e autovetores das matrizes sim´etricas 2 × 2 e 3 × 3 7

Calculando,

P1(λ) = det(AB − λI) = det(A(BA − λI)A−1) = det(A)det(BA − λI)det(A−1)

= det(BA − λI) = P2(λ).

Para a outra afirma¸cão seja λ um autovalor de AB com autovetor v, isto é, AB(v) = λv. Multiplicando ambos os membros dessa equa¸cão por B resulta que B(ABv) = B(λv). Logo BA(Bv) = λ(Bv). Portanto, λ é autovalor de BA com autovetor Bv.

1.2 Autovalores e autovetores das matrizes sim´

e-tricas 2 × 2 e 3 × 3

Nesta se¸c˜ao apresentamos os autovalores e autovetores das matrizes sim´etricas 2 × 2 e 3 × 3.

1.2.1 A ´

e uma matriz sim´

_{etrica 2 × 2}

Considere a matriz sim´etrica

A =   a b b c   .

O polinˆomio caracter´ıstico de A ´e P (λ) = det(A − λI) = λ2_{− (a + c)λ + (ac − b}2_).

O discriminante de P (λ) = 0 ´e ∆ = (a − c)2_{+ 4b}2_{. Como ∆ ≥ 0 segue que A}

possui dois autovalores, os quais s˜ao dados por

λ = (a + c) ± p

(a − c)2_{+ 4b}2

2 .

Para encontrarmos os autovetores associados vamos resolver o sistema indetermi-nado (A − λiI)v = 0, o qual ´e representado em forma matricial como:

(24)

  

(a − λi)x + by = 0

bx + (c − λi)y = 0

Aplicando a opera¸c˜ao elementar E : −bL1+ (a − λi)L2 → L2 no sistema acima

obtemos que    (a − λi)x + by = 0 0 + [(c − λi)(a − λi) − b2]y = 0

Notemos que para realizarmos a opera¸c˜ao elementar E devemos ter λi 6= a.

Como λi ´e autovalor de A temos que (c − λi)(a − λi) − b2 = 0, logo encontramos

como solu¸c˜ao do sistema x = b λi− a

y. Portanto se λi 6= a temos que o

auto-vetor associado ao autovalor λi ser´a

b λi− a

, 1

, i = 1, 2. Note que neste caso b λ1− a , 1 e b λ2− a , 1

s˜ao ortogonais. Com efeito,

b λ1− a , 1 , b λ2− a , 1 = b 2 (λ1− a)(λ2− a) + 1 = b 2 λ1λ2− (λ1+ λ2)a + a2 + 1 = b 2 (ac − b2_{) − (a + c)a + a}2 + 1 = 0.

Se λi = a ent˜ao b = 0. Com efeito,

λi= (a + c) ± p (a − c)2_{+ 4b}2 2 = a ±p(a − c)2_{+ 4b}2 ₌ _{a − c} (a − c)2_{+ 4b}2 ₌ _{(a − c)}2 b = 0.

Portanto, se λi = a teremos duas situa¸c˜oes: 1a) a 6= c. Aqui a matriz A ´e

(25)

1.2 Autovalores e autovetores das matrizes sim´etricas 2 × 2 e 3 × 3 9

(0, 1) associado ao autovalor c. 2a_{) a = c. Aqui a matriz A ´e diagonal e m´}_ultipla

da identidade, então todo vetor não nulo do R2_{é autovetor associado ao autovalor}

a = c. Desta forma acabamos de mostrar a proposi¸c˜ao que se segue.

Proposi¸c˜ao 1.2.1. Seja A =   a b b c  

sim´etrica. Seus autovalores s˜ao dados por:

λ = (a + c) ± p

(a − c)2_{+ 4b}2

2 .

Temos tamb´em que:

(i) Se λi 6= a, ent˜ao o autovetor associado ao autovalor λi ser´a

b λi− a , 1 , i = 1, 2. (ii) Se λi= a, temos: 1o

caso: a 6= c. Neste caso (1, 0) ´e o autovetor associado ao autovalor a e (0, 1) ´e o autovetor associado ao autovalor c.

2o

caso: a = c. Neste caso todo vetor n˜ao nulo do R2 _{´e autovetor associado}

ao autovalor a = c.

1.2.2 A ´

e uma matriz sim´

_{etrica 3 × 3}

Consideremos a matriz sim´etrica

A = (aij)_3×3=      a b c b d e c e f     .

O polinˆomio caracter´ıstico de A ´e P (λ) = z3_{− (trA)z}2₊

_(trA)2₋P_a2 ij

2

z − detA. Como A é simétrica a equa¸cão P (λ) = 0 tem as três solu¸cões reais, as quais são dadas pelas expresões:

(26)

λ1 = 2 p −Q cos θ 3 +trA 3 ; λ2 = 2 p −Q cos θ + 2π 3 +trA 3 ; λ3 = 2 p −Q cos θ + 4π 3 +trA 3 , onde, θ = arccos pR −Q3 ! ; Q = (trA) 2_{− 3}P_a2 ij 18 ; R = 9(traA) P a2 ij− 5(traA)3+ 54detA 108 .

Os autovalores de A são as solu¸cões da equa¸cão do 3o _{grau dadas pela fórmula}

de Cardano (ver subse¸c˜ao 1.3). Para encontrarmos os autovetores associados vamos resolver o sistema indeterminado (A − λiI)v = 0, ou seja,

         (a − λi)x + by + cz = 0 bx + (d − λi)y + ez = 0 cx + ey + (f − λi)z = 0

Aplicando as opera¸c˜oes elementares E1 : −bL1+ (a − λi)L2→ L2 e E2 : −cL1+

(a − λi)L3→ L3 no sistema acima obtemos que

         (a − λi)x + by + cz = 0 [(d − λi)(a − λi) − b2]y + [e(a − λi) − bc]z = 0

[e(a − λi) − bc]y + [(f − λi)(a − λi) − c2]z = 0

Aplicando a opera¸c˜ao elementar E3: −[e(a − λi) − bc]L2+ [(d − λi)(a − λi) −

b2_]L

(27)

1.2 Autovalores e autovetores das matrizes sim´etricas 2 × 2 e 3 × 3 11          (a − λi)x + by + cz = 0 [(d − λi)(a − λi) − b2]y + [e(a − λi) − bc]z = 0 Bz = 0 ,

onde B = [(f − λi)(a − λi) − c2][(d − λi)(a − λi) − b2] − [e(a − λi) − bc]2. Ao

realizarmos as opera¸cões elementares E1, E2 e E3, estamos supondo que λi não é

autovalor das submatrizes de A :

A1 = a A2 =   a b b d   .

Como λi ´e autovalor de A temos que B = 0, logo encontramos como solu¸c˜ao

do sistema y = [bc − e(a − λi)]z (d − λi)(a − λi) − b2 e x = [cλi+ be − cd]z (d − λi)(a − λi) − b2 .

Portanto, considerando que λi n˜ao ´e autovalor das submatrizes A1 e A2 de A

temos que seu autovetor associado será cλi+ be − cd (d − λi)(a − λi) − b2 , bc − e(a − λi) (d − λi)(a − λi) − b2 , 1 . Desta forma acabamos de mostrar a proposi¸cão que segue. Proposi¸cão 1.2.2. Seja A = (aij)3×3=      a b c b d e c e f     .

(28)

sim´etrica. Seus autovalores s˜ao dados por: λ1 = 2 p −Q cos θ 3 +trA 3 ; λ2 = 2 p −Q cos θ + 2π 3 +trA 3 ; λ3 = 2 p −Q cos θ + 4π 3 +trA 3 , onde, θ = arccos pR −Q3 ! ; Q = (trA) 2_{− 3}P_a2 ij 18 ; R = 9(trA) P a2 ij− 5(traA)3+ 54detA 108 .

Supondo que λi n˜ao ´e autovalor das submatrizes de A :

A1 = a A2 =   a b b d   .

temos ent˜ao que cλi+ be − cd (d − λi)(a − λi) − b2 , bc − e(a − λi) (d − λi)(a − λi) − b2 , 1 . ´e seu autovetor associado.

1.3 Uma aplica¸c˜

ao geom´

etrica.

As defini¸cões e os teoremas a seguir servem de alicerce para as duas últimas proposi¸cões desta subse¸cão, as quais são os principais resultados deste cap´ıtulo.

(29)

1.3 Uma aplica¸c˜ao geom´etrica. 13

Defini¸cão 1.3.1. Uma forma quadrática nas variáveis x e y é uma aplica¸cão Q : R2 _{→ R definida por Q(x, y) = ax}2_{+ by}2_{+ cxy. Podemos representar esta}

forma quadr´atica matricialmente do seguinte modo:

Q(x, y) = x y   a c 2 c 2 b     x y   .

Uma forma quadrática nas variáveis x, y e z é uma aplica¸cão Q : R3 _{→ R}

definida por Q(x, y, z) = ax2_{+ by}2_{+ cz}2_{+ dxy + exz + f yz. Podemos representar}

esta forma quadr´atica matricialmente do seguinte modo:

Q(x, y, z) = x y z      a d 2 e 2 d 2 b f 2 e 2 f 2 c           x y z     .

Defini¸cão 1.3.2. Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir uma matriz invert´ıvel P tal que P−1_{AP é uma matriz diagonal. Dizemos então que a}

matriz P diagonaliza A.

Inclu´ımos aqui a demonstra¸cão do próximo teorema, pois esta nos dá um procedimento para diagonalizar uma matriz. Se A é diagonalizável, então A = P DP−1_{, onde as colunas de P são os autovetores de A e a matriz D é formada}

pelos respectivos autovalores distribu´ıdos em sua diagonal principal.

Teorema 1.3.1. [1]. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então A é dia-gonalizável se, e somente se, A tem n autovetores linearmente independentes.

Prova: Suponha que A é diagonalizável, então existem P invert´ıvel e D diagonal tal que P−1_{AP = D da´ı AP = P D. Escrevendo}

P = p1 ... pn

,

onde cada pi ´e um vetor coluna de n cordenadas i = 1, ..., n, obtemos que

AP = Ap1 ... Apn

.

(30)

Mas P D = p1 ... pn         λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · λn         = λ1p1 ... λnpn .

Portanto Api = λipi para todo i = 1, ..., n, ou seja, λi ´e um autovalor de A

associado ao autovetor pi. Os autovetores pi′s s˜ao linearmente independentes j´a

que P ´e invert´ıvel.

Reciprocamente, suponha que A tem n autovalores (λ1, ..., λn) associados,

res-pectivamente, aos autovetores linearmente independentes p1, ..., pn. Escrevendo

a matriz P como P = p1 ... pn , deduzimos que AP = Ap1 ... Apn = λ1p1 ... λnpn = p1 ... pn         λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · λn         = P D.

Como as colunas de P são linearmente independentes segue que P é invert´ıvel. Logo P−1_{AP = D. Portanto A é diagonalizável.}

Teorema 1.3.2. [13]. Se A é uma matriz simétrica, então A é ortogonalmente diagonalizável, ou seja, existe P ortogonal tal que Pt_{AP é diagonal.}

Enunciaremos e provaremos a seguir duas proposi¸cões que ilustram uma aplica¸cão geométrica dos conceitos de autovalores e autovetores.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja S(0, r) a circunferencia de equa¸c˜ao x2 _{+ y}2 _{= r}2 _e

(31)

1.3 Uma aplica¸c˜ao geom´etrica. 15 TM   x y   = M   x y   ,

onde M é simétrica. Então a imagem de S(0, r) segundo o operador TM é a elipse

TM(S(0, r)) de equa¸c˜ao e u2 (λ1r)2 + ev 2 (λ2r)2 = 1,

onde λ1 e λ2 s˜ao os autovalores de M e euev ´e o referencial gerado pelos seus

respectivos autovetores ortonormais associados.

Prova: Suponhamos que M seja sim´etrica. Ent˜ao existe P ortonormal e D diagonal tal que M = P DPt_{. Escrevendo}

TM   x y   =   u v   obtemos que   x y   = P D−1_Pt   u v   .

Aplicando isto na forma matricial de S(0, r) deduzimos que

x y   1 0 0 1     x y   = r2 u v P D−1_Pt   1 0 0 1   P D−1_Pt   u v   = r2 u v P D−2_Pt   u v   = r2_. _(1.1) Tomando

(32)

  u v   = P   eu ev   (1.2) e substituindo em (1.1) obtemos e u ev D−2   eu ev   = r2_. De onde, e u ev   (λ1)−2 0 0 (λ2)−2     eu ev   = r2_.

Portanto concluimos que

e u2 (λ1r)2 + ev 2 (λ2r)2 = 1. (1.3)

Sendo assim TM(S(0, r)) é uma elipse cuja equa¸cão é dada por (1.3) e euev é o

referencial gerado pelos autovetores ortonormais de M.

Em rela¸cão à proposi¸cão acima, os autovalores e autovetores de M podem ser encontrados a partir da Proposi¸cão 1.2.1. Ainda em rela¸cão à mesma proposi¸cão, notamos que a área do c´ırculo passará de πr2 _{para πr}2_λ

1λ2, ou ainda πr2detM.

Na verdade esta deforma¸cão da área é consequência de um resultado mais geral. Dada uma fun¸cão F : R2 _{→ R}2 _{injetiva, definida por F (x, y) = (u, v) com}

derivadas parciais cont´ınuas, temos que uma região plana R, fechada, limitada e contornada por um conjunto de curvas regulares será levada para uma região F (R) do plano e de área dada por

A(F (R)) = ZZ R ∂(u, v)_{∂(x, y)} dx dy,

(33)

1.3 Uma aplica¸c˜ao geom´etrica. 17

onde ∂(u, v)

∂(x, y) ´e o determinante da matriz jacobiana ([5],[12]). Como para trans-forma¸c˜oes lineares no plano T (v) = TM = M v o determinante da matriz jacobiana

ser´a ∂(u, v)

∂(x, y) = detM, teremos que uma região plana R nas condi¸cões descritas anteriormente, será deformada por TM numa região TM(R) com área dada por

A(TM(R)) = |detM| A(R).

Observamos que neste caso a matriz não precisa ser simétrica. Uma análise das transforma¸cões lineares que preservam áreas (detM = ±1) e pode ser encontrada em [6].

Uma transforma¸cão dada por uma matriz simétrica preservará a área, se e só se, seus autovalores forem inversos um do outro (a menos de um sinal). Neste caso, temos por exemplo que um c´ırculo será deformado numa elipse com semi-eixos inversos um do outro.

Exemplo 1.3.1. Vejamos a imagem da circunferˆencia x2 _{+ y}2 _{= 1 segundo a}

transforma¸c˜ao TM   x y   =   1 2 2 3   .

O gr´afico a seguir foi plotado pelo software GeoGebra, ([7]).

Figura 1.1: Imagem da circunferencia de equa¸c˜ao x2_{+ y}2 _{= 1 segundo o operador}

(34)

Note que a matriz M é simétrica e que detM 6= 0, logo a imagem do c´ırculo será a elipse de equa¸cão

(eu)2

(2 −√5)2 +

(ev)2

(2 +√5)2 = 1,

onde 2 −√5 e 2 +√5 s˜ao os autovalores de M e euev ´e o referencial gerado pela base dos respectivos autovetores ortonormais de M dada por

( _√ 2 p 5 −√5, √ 2 "1 −√5 2p5 −√5 ! , √ 2 p√ 5 + 5, √ 2 "√5 + 1 2p√5 + 5 !) , ver Proposi¸c˜ao 1.3.1.

A proposi¸cão a seguir é uma extensão da Proposi¸cão 1.2.1 para o R3 _{e sua}

demonstra¸cão é análoga àquela e portanto será omitida.

Proposi¸c˜ao 1.3.2. Seja S(0, r) uma esfera de equa¸c˜ao x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= r}2 _e

TM : R3→ R3 um operador linear invert´ıvel definido por:

TM      x y z     = M      x y z     ,

onde M é simétrica. Então a imagem de S(0, r) segundo o operador TM é um

elips´oide TM(S(0, r)) de equa¸c˜ao e u2 (λ1r)2 + ev 2 (λ2r)2 + we 2 (λ3r)2 = 1,

onde λ1, λ2 e λ3 s˜ao os autovalores de M e euev ew ´e o referencial gerado pelos seus

respectivos autovetores ortonormais associados.

Em rela¸c˜ao ao teorema acima, observamos que os autovalores de M podem ser facilmente encontrados a partir do que foi feito na Proposi¸c˜ao 1.2.2.

(35)

1.4 Dedu¸cão e aspectos históricos da equa¸cão do 3o

grau - solu¸c˜oes

reais 19

1.4 Dedu¸c˜

ao e aspectos hist´

oricos da equa¸c˜

ao

do 3

o

grau - solu¸c˜

oes reais

As principais referências para esta se¸cão são [2] e [8].

1.4.1 Um pouco da hist´

oria da equa¸c˜

ao do 3

o

grau

A equa¸c˜ao do 3o _{grau come¸cou efetivamente a ser estudada no final do}

século XV com a Renascen¸ca. Em 1494, o Frei Luca Pacioli imprimiu o livro Summa de Aritimética e Geometria onde afirmava não existir regra para resolver uma equa¸cão do tipo x3_{+ px = q. Scipione Ferro (1465-1526) foi o primeiro a}

resolver, provavelmente um pouco antes da sua morte, a equa¸c˜ao do 3o _grau,

mas não publicou seu resultado. Comunicou a solu¸cão ao amigo Antônio Maria Fiore que recebeu a regra sem demonstra¸cão. Em 1535 Fiore desafia Nicolo Tartaglia (1499-1557). O desafio consistia em lista de problemas trocadas entre os competidores. Tartaglia então, a partir dos problemas propostos pelo rival desconfiou que deveria existir uma solu¸cão para a equa¸cão do 3o _{grau, já que}

os tais tratavam do assunto. Por conseguinte Tartaglia resolve a equa¸c˜ao do 3o

grau e vence o duelo uma vez que os problemas que seu oponente deveria resolver estavam além de sua capacidade, mas assim como Ferro, Tartaglia mantêm sua solu¸cão em segredo.

Em 1539 Girolmo Cardano (1501-1576), obteve de Tartaglia a regra para resolver a equa¸c˜ao do 3o _{grau, sob forma de versos enigm´aticos, sem a}

de-monstra¸cão. Cardano jurou a Tartaglia que não divulgaria a regra, ele e seu disc´ıpulo Ludovico Ferrari (1522-1557) demonstraram a regra de Tartaglia para solu¸cão de x3_{+ px = q. Eles propuseram a mudan¸ca de variável x = y −} a

3 em x3_{+ ax}2_{+ bx + c = 0, al´em de resolverem treze tipos de equa¸c˜oes do 3}o _{grau que}

hoje em dia são uma só. Em 1545 Cardano, quebrando o juramento que fizera a Tartaglia, publicou o livro Ars Magna que continha entre outras coisas a solu¸cão

(36)

da equa¸c˜ao de 3o _grau.

Finalmente em 1572, no seu livro Álgebra, Raphael Bombelli percebe de melhor forma os números complexos e conclui que a equa¸cão do 3o _{grau possui 3}

ra´ızes.

1.4.2 Solu¸c˜

ao da equa¸c˜

ao do 3

o

grau

Considere a equa¸c˜ao

z3+ a2z2+ a1z + a0 = 0. (1.4)

Nosso objetivo nesta subse¸cão é encontrar as ra´ızes da equa¸cão (1.4). Note que o coeficiente de z3_{é a}

3 = 1. N˜ao h´a perda de generalidade aqui, pois se a36= 1

então basta dividir a equa¸cão por a3e encontramos uma equa¸cão da forma (1.4).

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel z = x − a2

3 e substituindo em (1.4) teremos a equa¸c˜ao: x3_{+ (}3a1− a22 3 )x − ( 9a1a2− 27a0− 2a32 27 ) = 0. (1.5) Definindo p = 3a1− a 2 2 3 , e q = 9a1a2− 27a0− 2a 3 2 27 podemos reescrever a equa¸c˜ao (1.5) como:

(37)

grau - solu¸c˜oes

reais 21 Escrevendo Q = p 3, (1.7) R = q 2 (1.8) de (1.6) temos que x3+ 3Qx − 2R = 0. (1.9) A equa¸cão (1.9) tem uma solucão real, então ela pode ser reescrita como (x − r)f(x) = 0, onde f(x) é um polinômio quadrático. Sejam B e C, constantes arbitrárias. Adicionando C(x − B) a ambos os membros da identidade x3_{− B}3₌

(x − B)(x2_{+ Bx + B}2_{) resulta que:}

x3+ Cx − (B3+ BC) = (x − B)(x2+ Bx + (B2+ C))

Agora, vamos denominar os coeficientes C e B3_{+ BC pela equa¸c˜ao (1.9), C = 3Q}

e B3_{+ BC = 2R. Logo,}

B3+ 3QB = 2R. (1.10)

Afirmamos que se existir um B que satisfa¸ca (1.10), ele ser´a escrito como B = (R +pQ3_{+ R}2₎13 + (R − p Q3_{+ R}2₎13. De fato, como B2= (R +pQ3_{+ R}2₎23 + (R − p Q3_{+ R}2₎23 − 2Q, deduzimos que B3 _{= −2QB + ((R +}p_Q3_{+ R}2₎13 + (R − p Q3_{+ R}2₎13) ×((R +pQ3_{+ R}2₎23 + (R −pQ3+ R2) 2 3) = (R +pQ3_{+ R}2_{) + (R −}p_Q3_{+ R}2_{) + (R +}p_Q3_{+ R}2₎13 (R −pQ3_{+ R}2₎23 + (R + p Q3_{+ R}2₎23(R − p Q3_{+ R}2₎13 − 2QB = −2QB + 2R + (R2_{− (Q}3_{+ R}2₎₎1 3 × ((R + p Q3_{+ R}2₎13 +(R −pQ3_{+ R}2₎13) = −2QB + 2R − QB = −3QB + 2R

(38)

Isso mostra que B é uma raiz da equa¸cão (1.9). Logo a equa¸cão (1.9) é reduzida à equa¸cão quadrática

x2+ Bx + (B2+ 3Q) = 0, (1.11) cujas solu¸c˜oes s˜ao

x = 1 2(−B ± p B2_{− 4(B}2_{+ 3Q))} = −1₂B ±1₂i√3pB2_{+ 4Q.} _(1.12) Escrevendo A = (R +pQ3_{+ R}2₎13 − (R − p Q3_{+ R}2₎13, vemos que A2 = (R +pQ3_{+ R}2₎23 − 2(R2− (Q3+ R2)) 1 3 + (R − p Q3_{+ R}2₎23 = (R +pQ3_{+ R}2₎23 + (R − p Q3_{+ R}2₎23 + 2Q = B2_{+ 4Q.}

Logo as solu¸cões de (1.11) são reescritas como x = −1 2B ± 1 2i √ 3A. Com a nota¸cão D = Q3+ R2; S = 3 q R +√D; T = 3 q R −√D;

onde D ´e o discriminante polinomial, temos as seguintes express˜oes para A e B : B = S + T ;

A = S − T. Portanto, as ra´ızes da equa¸c˜ao (1.4) s˜ao dadas por

z1 = − 1 3a2+ (S + T ); (1.13) z2= − 1 3a2− 1 2(S + T ) + 1 2i √ 3(S − T ); (1.14) z3 = − 1 3a2− 1 2(S + T ) − 1 2i √ 3(S − T ); (1.15)

(39)

grau - solu¸c˜oes

reais 23

onde a2 é o coeficiente de z2 na equa¸cão original (1.4). Estas três equa¸cões são

as ra´ızes da equa¸cão do 3o _{grau e são conhecidas como “fórmula de Cardano”.}

A equa¸cão z1na fórmula de cardano não tem o número complexo explicitamente

como no caso de z2 e z3, mas isso n˜ao diz nada sobre o n´umero de raizes reais e

complexas (pois S e T são em geral complexos). Para determinar quais ra´ızes são reais, quais são complexas olhamos o discriminante polinomial D. Com efeito, se D > 0, uma raiz é real e duas são complexas conjugadas, se D = 0, todas as ra´ızes são reais e pelo menos duas são iguais, e se D < 0, todas as ra´ızes são reais e desiguais. Se D < 0, podemos mostrar que as ra´ızes reais são da forma

z′ 1= 2 p −Q cos θ 3 − 1₃a2; (1.16) z′ 2= 2 p −Q cos θ + 2π 3 − 1₃a2; (1.17) z′ 3 = 2 p −Q cos θ + 4π 3 − 1₃a2; (1.18) onde θ = arccos pR −Q3 ! .

Verifiquemos, por exemplo, que sendo D < 0, z1 = z1′. Com efeito, basta

mostrar que S + T = 2p−Q cos θ 3 . Definindo, c1 = R + p Q3_{+ R}2 _{e c} 2 = R − p Q3_{+ R}2 _{temos que S + T =} 3 √_c 1+√3c2. Mas c1= R + i p −Q3_{− R}2 ₌p_−Q3_{(cos θ + i sin θ)} e c2 = R − i p −Q3_{− R}2 ₌p_−Q3_{(cos θ − i sin θ)} onde θ = arctan p −Q3_{− R}2 R ! = arccos pR −Q3 ! .

(40)

Logo S + T = √3_c 1+√3c2 = qp3 −Q3 cos θ 3 + i sin θ 3 +qp3 −Q3 cos θ 3 − i sin θ 3 = 2p−Q cos θ 3 .

Analogamente, desde que D < 0, mostramos que z2 = z2′ e z3 = z3′. Tamb´em

é poss´ıvel provar que as equa¸cões (1.16), (1.17) e (1.18) servem para calcular as ra´ızes da equa¸cão (1.4) quando D = 0. Neste caso, se R > 0 então: z1 = z1′,

(41)

Cap´ıtulo 2

Imagem de uma cˆ

onica segundo

uma transforma¸c˜

ao linear no

plano

Neste cap´ıtulo vamos analisar as deforma¸cões de cônicas por transforma¸cões lineares. Usaremos a forma paramétrica de uma cônica para encontrar a equa¸cão de sua imagem quando o operador linear for associado a uma matriz de posto incompleto. No caso em que o operador linear é invert´ıvel, estudaremos os au-tovalores da matriz simétrica associada à forma quadrática da cônica original e a partir da´ı encontraremos a equa¸cão de sua imagem no referencial gerado pelos autovetores desta matriz. Os resultados obtidos do desenvolvimento aqui apre-sentado são resumidos nas proposi¸cões 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.3.1, 2.3.2 e 2.3.3.

2.1 Deforma¸c˜

ao da elipse

Nesta se¸c˜ao vamos analisar a imagem de uma elipse segundo um operador linear no plano. Seja TM : R2→ R2 um operador linear definido por:

TM   x y   = M   x y   =   a b c d     x y   ,

e uma elipse qualquer (que pode estar rotacionada e transladada em rela¸c˜ao ao referencial xOy), vamos mostrar que a imagem da elipse segundo TM ser´a uma

elipse ou suas degenera¸c˜oes (ponto ou segmento de reta). Nas subse¸c˜oes 2.1.1 a 25

(42)

2.1.3 estudaremos uma elipse centrada na origem e n˜ao rotacionada, ou seja, de equa¸c˜ao x2 p2 + y2 q2 = 1 (2.1)

onde ser˜ao discutidos todos os poss´ıveis tipos de operadores no plano. Na subse¸c˜ao 2.1.4 estudaremos uma elipse qualquer.

2.1.1 ǫ ´

e uma elipse centrada na origem e n˜

ao rotacionada

e T

_M

´

e o operador nulo

´

E claro que neste caso a imagem da elipse ser´a o vetor nulo, j´a que TM(v) = 0

para todo v ∈ R2 _{. Desta forma a imagem da elipse ´e um ponto (elipse}

degene-rada).

2.1.2 ǫ ´

e uma elipse centrada na origem e n˜

ao rotacionada

e T

_M

´

e um operador n˜

ao nulo onde posto(M ) = 1

Neste caso temos ad−bc = 0 , logo os vetores   a b   e   c d   s˜ao LD. Vamos supor, sem perda de generalidade, que

  c d   = k   a b   .

Podemos ent˜ao escrever

TM   x y   =   a b ka kb     x y   .

Tomando a representa¸c˜ao param´etrica da elipse temos   x y   =   p cos(t) q sin(t)   , t ∈ [0, 2π]

(43)

2.1 Deforma¸c˜ao da elipse 27 logo TM   x y   = TM   p cos(t) q sin(t)   =   a b ka kb     p cos(t) q sin(t)  

= (ap cos(t) + bq sin(t))   1 k   = x   1 k  

onde x = ap cos(t) + bq sin(t). J´a que x ´e limitada,

x   1 k  

representa a equa¸cão paramétrica de um segmento da reta cujo vetor diretor é 

 1 k

  .

Desta forma a imagem da elipse é um segmento de reta (elipse degenerada). Vamos determinar tal segmento de reta. O máximo e o m´ınimo de x nos permi-tirão encontrar as extremidades do segmento. Derivando x temos dx

dt = bq cos(t)− ap sin(t). Resolvendo a equa¸c˜ao dx

dt = 0 teremos tan(t) = bq

ap caso a 6= 0 (se ti-vermos a = 0 ent˜ao b 6= 0 da´ı ter´ıamos t = π

2). 1o

Caso: ab > 0

Supondo que a > 0 e b > 0 (se a < 0 e b < 0 seria an´alogo) teremos tan(t) = bq

ap > 0. Neste caso a equa¸c˜ao tem solu¸c˜oes para t no 1

o _{e 3}o

qua-drantes. Logo teremos t1 = arctan

bq ap e t2 = π + arctan bq ap

que s˜ao ar-cos do 1o _{e 3}o _{quadrantes respectivamente (aqui estamos considerando que a}

fun¸c˜ao arco tangente est´a definida no intervalo −π₂,π 2

). Encontrando a de-rivada segunda de x teremos d

2_x

dt2 = −(bq sin(t) + ap cos(t)). Como t1 est´a no

1o _{quadrante,a > 0 e b > 0 temos} d2x

dt2(t1) < 0. Logo t1 ´e ponto de m´aximo.

Como t2 est´a no 3o quadrante,a > 0 e b > 0 temos

d2_x

dt2(t2) > 0. Segue que

t2 ´e ponto de m´ınimo. Logo o segmento de reta tem extremidades nos

(44)

bq sin(t2), kap cos(t2) + kbq sin(t2)) onde ou P1= Pm´ax e P2= Pm´ın caso k > 0 ou

P1 = Pm´ın e P2= Pm´ax caso k < 0.

2o

Caso: ab < 0

Supondo que a > 0 e b < 0 (se a < 0 e b > 0 seria an´alogo) teremos tan(t) = bq

ap < 0 , neste caso a equa¸c˜ao tem solu¸c˜oes para t no 2

o _{e 4}o

qua-drantes. Logo teremos t1 = arctan

bq ap e t2 = π + arctan bq ap

que s˜ao ar-cos do 2o _{e 4}o _{quadrantes, respectivamente. (aqui estamos considerando que a}

fun¸c˜ao arco tangente est´a definida no intervalo π 2, 3π 2 ). Encontrando a de-rivada segunda de x teremos d

2_x

dt2 = −(bq sin(t) + ap cos(t)). Como t1 est´a no

2o _{quadrante,a > 0 e b < 0 temos} d2x

dt2(t1) > 0. Logo t1 ´e ponto de m´ınimo.

Como t2 est´a no 4o quadrante, a > 0 e b < 0 temos

d2_x

dt2(t2) < 0. Segue que

t2 ´e ponto de m´aximo. Logo o segmento de reta tem extremidades nos

pon-tos P1 = (ap cos(t1) + bq sin(t1), kap cos(t1) + kbq sin(t1)) e P2 = (ap cos(t2) +

bq sin(t2), kap cos(t2) + kbq sin(t2)) onde ou P1= Pm´ın e P2= Pm´ax caso k > 0 ou

P1 = Pm´ax e P2= Pm´ın caso k < 0.

3o

Caso: ab = 0

Da´ı b = 0 já que a 6= 0 , sendo assim teremos x = ap cos(t) . Supondo a > 0 (se a < 0 seria análogo) teremos t1 = tmáx = 0 e t2 = tm´ın = π . Logo o segmento

de reta tˆem extremidades nos pontos P1= (ap, kap) e P2= (−ap, −kap) onde ou

P1 = Pm´ax e P2= Pm´ın caso k > 0 ou P1 = Pm´ın e P2 = Pm´ax caso k < 0.

Em qualquer caso os extremos do segmento dados pelos pontos P1 e P2 s˜ao

simétricos em rela¸cão a origem e ainda o comprimento deste é dado por

P1P2

=p(1 + k2_{) |ap[cos(t}

2) − cos(t1)] + bq[sin(t2) − sin(t1)]| (2.2)

Com isso temos a proposi¸c˜ao que se segue.

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Seja M uma matriz 2 × 2 de posto 1, ou seja, M ´e de uma das formas: _  a b ka kb   ou   ka kb a b   ,

(45)

2.1 Deforma¸c˜ao da elipse 29

(a, b) 6= (0, 0).

Seja TM : R2 → R2 um operador associado a matriz M na base canˆonica.

Se ǫ ´e uma elipse de equa¸c˜ao x

2

p2 +

y2

q2 = 1 ent˜ao TM(ǫ) ´e o segmento P1P2

da reta cujo vetor diretor ´e (1, k) ou (k, 1) conforme M tenha respectivamente a 1a

ou 2a

representa¸cão dada anteriormente, onde P1 e P2 são simétricos em

rela¸c˜ao a origem. Este segmento tem comprimento dado pela f´ormula (2.2) sendo t1= arctan bq ap , t2= π + arctan bq ap (caso a 6= 0) ou t1 = π 2, t2= 3π 2 , caso (a = 0).

2.1.3 ǫ ´

e uma elipse centrada na origem e n˜

ao rotacionada

e T

_M

´

e um operador invert´ıvel

Seja ǫ a elipse de equa¸c˜ao x

2

p2 +

y2

q2 = 1. Mostraremos que a imagem de ǫ

segundo o operador TM ´e uma elipse cuja equa¸c˜ao determinaremos. Reescrevendo

a equa¸c˜ao de ǫ em forma matricial temos: x y    1 p2 0 0 1 q2      x y   = 1 (2.3)

Admitindo que TM(x, y) = (u, v) e que TM ´e invert´ıvel temos que

  x y   = M−1   u v   .

Substituindo este resultado em (2.3) obtemos

u v (M−1₎t    1 p2 0 0 1 q2    M−1   u v   = 1 u v S   u v   = 1, (2.4)

(46)

onde S = (M−1₎t    1 p2 0 0 1 q2    M−1.

Note que S é simétrica, então existe P ortonormal e D diagonal tal que S = P DPt_{. Desta forma (2.4) pode ser assim reescrita}

u v P   λ1 0 0 λ2   Pt   u v   = 1 e u ev   λ1 0 0 λ2     eu ev   = 1 λ1(eu)2+ λ2(ev)2= 1, (2.5) onde   u v   = P   eu ev   e D =   λ1 0 0 λ2  

A matriz S ´e dada por

S =   ea eb eb ec   , onde ea = d 2_q2_{+ c}2_p2 (detM )2p2_q2 eb = −b d q2− a c p2 (detM )2p2_q2 ec = b 2_q2_{+ a}2_p2 (detM )2p2_q2.

(47)

Do exemplo 1.1.5 temos que um dos autovalores de S ser´a

λ1=

(ea + ec) + q

(ea − ec)2_{+ 4eb}2

2 .

Mas ea + ec > 0. Logo λ1> 0. O determinante de S ´e

1

(detM )2p2_q2 > 0,

da´ı segue que S têm os dois autovalores positivos, o que acarreta no fato da imagem de ǫ segundo TM, que é dada pela equã¸cão (2.5), ser uma elipse. Com

isso acabamos de demonstrar a proposi¸c˜ao que se segue.

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Seja TM : R2 → R2 um operador linear invert´ıvel associado

a matriz M na base canônica. Se ǫ é uma elipse de equa¸cão x

2

p2 +

y2

q2 = 1 ent˜ao

TM(ǫ) é uma elipse dada pela equa¸cão (2.5), onde λ1 e λ2 são os autovalores da

matriz S = (M−1₎t    1 p2 0 0 1 q2    M−1.

e eu ev ´e o referencial gerado pelos respectivos autovetores ortonormais desta ma-triz.

Exemplo 2.1.1. Vejamos a imagem da elipse x

2 4 + y2 9 = 1 segundo a trans-forma¸c˜ao TM   x y   =   1 1 2 2     x y   .

Para isso escrevemos a elipse parametricamente

f (t) =   2 cos(t) 3 sin(t)   , onde t ∈ [0, 2π].

Note que neste caso a imagem da elipse ´e um segmento de reta P1P2cujo vetor

diretor ´e (1, 2), pois detM = 0. O comprimento deste segmento ´e dado por 26 √

5 √

13 , ver Proposi¸c˜ao 2.1.1. O gr´afico a seguir foi plotado pelo software GeoGebra.

(48)

Figura 2.1: Imagem da elipse de equa¸c˜ao x2

4+ y2

9 = 1 segundo o operador T (x, y) =

(x + y, 2x + 2y).

Exemplo 2.1.2. Vejamos a imagem da elipse x

2 4 + y2 9 = 1 segundo a trans-forma¸c˜ao TM   x y   =   1 2 3 4     x y   .

Note que como detM 6= 0, a imagem da elipse ´e uma elipse de equa¸c˜ao

55 − 7√61 72 ! (eu)2+ 7 √ 61 + 55 72 ! (ev)2= 1,

onde euev ´e o referencial gerado pela base

( 3√2 p 5√61 + 61, √ 2 "√61 + 5 2p5√61 + 61 ! , 3 √ 2 p 61 − 5√61, √ 2 "5 −√61 2p61 − 5√61 !) .

(49)

Figura 2.2: Imagem da elipse de equa¸c˜ao x2

4 + y2

9 = 1 segundo o operador

TM(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y).

2.1.4 ǫ ´

e uma elipse qualquer

Uma elipse ǫ qualquer do plano ter´a equa¸c˜ao eex2

p2 +

eey2 q2 = 1

no sistema exOe ′eey que é oriundo de uma rota¸cão de ângulo θ no sentido anti-horário

do sistema exO′_{y onde este ´}_e _{ultimo ´e a transla¸c˜ao de}

O′ ₌   x0 y0  

do sistema xOy. Se considerarmos, por exemplo, uma elipse de equa¸c˜ao (x − x0)2

p2 +

(y − y0)2

(50)

ent˜ao os sistemas eexO′eey e exO′_{y coincidem ao passo que se consideramos uma elipse}_e de equa¸c˜ao x2 p2 + y2 q2 = 1

ent˜ao os sistemas exOe ′eey, exO′_e_{y e xOy coincidem. Desta forma temos que}

  ex e y   = Rθ   eex eey   e _  x y   =   ex e y   +   x0 y0   onde Rθ=   cos θ − sin θ sin θ cos θ   .

Seja (x, y) um ponto arbitr´ario da elipse ǫ. Vamos mostrar que a imagem (u, v) de (x, y) segundo o operador TM   x y   = M   x y   =   a b c d     x y  

representa as coordenadas de uma elipse ou suas degenera¸c˜oes. Com efeito, (u, v) ´e tal que:

  u v   = M   x y   = M     ex e y   +   x0 y0     = M  Rθ   eex eey   +   x0 y0     = MRθ   eex eey   + M   x0 y0   . Escrevendo M Rθ= fM e tomando M   x0 y0   =   u0 v0  

(51)

2.1 Deforma¸c˜ao da elipse 35 concluimos que   u v   = fM   eex eey   +   u0 v0     u − u0 v − v0   = fM   eex eey   . (2.6)

Tomando u − u0 = eu, v − v0= ev e substituindo em (2.6) temos

  eu ev   = fM   eex eey .   (2.7)

As coordenadas (eu, ev) podem ser encaradas como (u, v) a menos de uma transla¸cão. Da equa¸cão (2.7) conclu´ımos que (eu, ev) representa as coordenadas de uma elipse ou suas degenera¸cões já que se trata da imagem da elipse

eex2 p2 +

eey2 q2 = 1

no referencial exOe ′eey pela aplica¸c˜ao

TM   eex eey   = fM   eex eey   +   u0 v0   .

Se a matriz M for tal que detM = 0 teremos como imagem de ǫ uma degenera¸c˜ao da elipse, pois det fM = det(M Rθ) = detM ·detRθ= detM = 0. Se a matriz M for

tal que detM 6= 0 teremos como imagem de ǫ uma elipse, pois detfM = detM 6= 0. Neste último caso, pela subse¸cão anterior, TM(ǫ) tem por equa¸cão

λ1(eeu − eeu0)2+ λ2(eev − eev0)2= 1, (2.8)

onde λ1 e λ2 s˜ao os autovalores da matriz

S = ( fM−1₎t    1 p2 0 0 1 q2    fM−1

e eueeev ´e o referencial gerado pela base β dos respectivos autovetores ortonormais desta e ( eue0, eve0) s˜ao as coordenadas do vetor (u0, v0) na base β. Com isso acabamos

(52)

a matriz M na base canˆonica. Se ǫ ´e uma elipse centrada em P (x0, y0) de

semi-eixos p e q assentados nos semi-eixos paralelos aos respectivos vetores (cos(θ), sin(θ)) e (− sin(θ), cos(θ)) então TM(ǫ) é uma elipse dada pela equa¸cão (2.8), onde λ1 e

λ2 s˜ao os autovalores da matriz

S = (M−1₎t_R θ    1 p2 0 0 1 q2    R(−θ)M−1,

eeu eev é o referencial gerado pela base β dos respectivos autovetores ortonormais desta matriz e ( eue0, eve0) = [TM(x0, y0)]β. Sendo Rθ a matriz de rota¸cão de ângulo

θ no sentido anti-hor´ario .

Exemplo 2.1.3. Vejamos a imagem da elipse ǫ dada parametricamente por

u(t) =   cos(60 o ) − sin(60o ) sin(60o ) cos(60o )     4 cos(t) 2 sin(t)   +   1 2   ,

onde t ∈ [0, 2π] segundo a transforma¸c˜ao

TM   x y   =   1 2 3 4     x y   .

Note que como detM 6= 0, TM(ǫ) ´e uma elipse. A elipse ǫ tem semi-eixos p = 4

e q = 2 assentados nos eixos paralelos aos respectivos vetores (cos 60o

, sin 60o

) e (− sin 60o

, cos 60o

) e está centrada centrada em (1, 2). Logo TM(ǫ) terá equa¸cão

0.0021(eu − 12.0829)e 2+ 1.8553(eev − 0.0676)2= 1. O gr´afico a seguir foi plotado pelo software GeoGebra.

(53)

Figura 2.3: Imagem da elipse dada pela equa¸c˜ao param´etrica u(t) segundo o operador TM(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y).

O referencial eeueev ´e gerado base 2585 s −p13860√3 + 32261 19620√3 − 101396 +962160√3 + 22346626 , − 6√3 − 25 p13860√3 + 32261 + 114√3 + 2110 s −p13860√3 + 32261 19620√3 − 101396 +962160√3 + 22346626 , 2585 s p 13860√3 + 32261 19620√3 − 101396 +962160√3 + 22346626 , 6√3 − 25 p13860√3 + 32261 + 114√3 + 2110 s p 13860√3 + 32261 19620√3 − 101396 +962160√3 + 22346626 . Ver Proposi¸c˜ao 2.1.3.

(54)

2.2 Deforma¸c˜

ao da hip´

erbole

O estudo da hipérbole é análogo ao da elipse e por este motivo não será apresentado aqui. Temos que se o operador

TM   x y   = M   x y   =   a b c d     x y   ,

´e tal que detM 6= 0, a imagem de uma hip´erbole da forma

x2

p2 −

y2

q2 = 1 (2.9)

será uma hipérbole. Se tomarmos uma hipérbole arbitrária (que estaria rotacio-nada e transladada em rela¸cão ao referencial xOy) mostra-se como em 2.14 que sua imagem segundo TM invert´ıvel também é uma hipérbole. Na verdade existe

uma “dualidade” entre a elipse de equa¸cão (2.1) e a hipérbole de equa¸cão (2.9), ou seja, hipérboles vão em hipérboles e a mesma rela¸cão que existe entre a elipse original e a hipérbole associada será preservada na deforma¸cão pelo operador linear.

2.3 Deforma¸c˜

ao da par´

abola

Nesta se¸c˜ao vamos analisar a imagem de uma par´abola segundo um operador linear no plano. Seja TM : R2→ R2 um operador linear definido por

TM   x y   = M   x y   =   a b c d     x y   ,

e uma parábola qualquer (que pode estar rotacionada e transladada em rela¸cão ao referencial xOy). Vamos mostrar que a imagem da parábola segundo TM

é uma parábola ou suas degenera¸cões (ponto, semi-reta ou mesmo uma reta). Nas subse¸cões 2.31 a 2.33 estudaremos uma parábola com vértice na origem e não rotacionada, ou seja, de equa¸cão y = lx2 _{onde serão discutidos todos}

(55)

2.3 Deforma¸c˜ao da par´abola 39

os poss´ıveis tipos de operadores no plano. Na subse¸c˜ao 2.34 estudaremos uma par´abola qualquer.

2.3.1 σ ´

e uma par´

abola com v´

ertice na origem e n˜

ao

ro-tacionada e T

_M

´

e o operador nulo

´

E claro que neste caso a imagem da parábola será o vetor nulo, já que TM(v) =

0 para todo v ∈ R2_{. Desta forma a imagem da parábola é um ponto (parábola}

degenerada).

2.3.2 σ ´

e uma par´

abola com v´

ertice na origem e n˜

ao

rota-cionada e T

_M

´

e um operador n˜

ao nulo onde posto(M ) =

1

Neste caso temos ad−bc = 0 , logo os vetores   a b   e   c d   s˜ao LD. Vamos supor sem perda de generalidade que

  c d   = k   a b   .

Ent˜ao podemos escrever

TM   x y   =   a b ka kb     x y   .

Tomando a representa¸cão paramétrica da parábola temos   x y   =   t lt2   , t ∈ R,

(56)

logo TM   x y   = TM   t lt2   =   a b ka kb     t lt2   = (at + blt2)   1 k   = f(t)   1 k  

onde f (t) = at + blt2 _{. Desta forma f (t)}

  1

k 

 representará a equa¸cão pa-ramétrica de uma semi-reta ou de uma reta conforme b 6= 0 ou b = 0 respectiva-mente.

1o

Caso: b 6= 0

Neste caso a fun¸cão f (t) tem máximo ou m´ınimo dependendo do sinal de bl, portanto TM(σ) representa uma semi-reta cujo vetor diretor é

  1 k   de v´ertice em V =   −a 2 4lb −ka2 4lb   .

Esta semi-reta estará “acima” ou “abaixo” de V conforme a fun¸cão kf (t) tenha máximo ou m´ınimo respectivamente.

2o

Caso: b = 0

Neste caso a fun¸cão f (t) é linear, portanto ilimitada superiormente e inferior-mente. Logo segue que TM(σ) representa uma reta cujo vetor diretor é

  1

k   .

(57)

Proposi¸c˜ao 2.3.1. Seja M uma matriz 2 × 2 de posto 1, ou seja, M ´e de uma das formas: _  a b ka kb   ou   ka kb a b   , (a, b) 6= (0, 0).

Seja TM : R2→ R2 um operador associado a matriz M na base canˆonica. Se σ ´e

uma par´abola de equa¸c˜ao y = lx2 _temos:

(i) Caso b 6= 0. TM(σ) ´e uma semi-reta cujo vetor diretor ´e (1, k) ou (k, 1),

conforme M tenha respectivamente a 1a

ou 2a

representa¸c˜ao dada anteriormente. Al´em disto temos:

a)Se (1,k) é o vetor diretor, então a semi-reta da imagem tem vértice dado por V = (−a2

4lb,−ka

2

4lb ) e est´a “acima” ou “abaixo” deste, conforme kbl > 0 ou kbl < 0

respectivamente.

b)Se (k,1) é o vetor diretor, então a semi-reta da imagem tem vértice dado por V = (−ka2

4lb ,−a

2

4lb) e estar´a “acima” ou “abaixo” deste, conforme bl > 0 ou bl < 0

respectivamente.

(ii) Caso b = 0. TM(σ) ´e a reta pela origem cujo vetor diretor ´e (1, k) ou (k, 1)

conforme M tenha respectivamente a 1a

ou 2a

representa¸c˜ao dada anteriormente.

2.3.3 σ ´

e uma par´

abola com v´

ertice na origem e n˜

ao

ro-tacionada e T

_M

´

e um operador invert´ıvel

Seja σ a par´abola de equa¸c˜ao y = lx2_{. Mostraremos que a imagem de σ}

segundo o operador TM é uma parábola cuja equa¸cão determinaremos.

Reescre-vendo a equa¸c˜ao de σ em forma matricial temos: x y   l 0 0 0     x y   + _{0 −1}   x y   = 0 (2.10)

(58)

  x y   = M−1   u v   .

Substituindo este resultado em (2.10) obtemos u v (M−1₎t   l 0 0 0   M−1   u v   + _{0 −1} M−1   u v   = 0 u v S   u v   + N   u v   = 0, (2.11) onde S = (M−1)t   l 0 0 0   M−1_. e N = _{0 −1} M−1

Note que S é simétrica e então existe P ortonormal e D diagonal tal que S = P DPt_{. Desta forma (2.11) pode ser reescrita como}

u v P   λ1 0 0 λ2   Pt   u v   + NP Pt   u v   = 0. Tomando _  u v   = P   eu ev   e D =   λ1 0 0 λ2   , segue que e u ev   λ1 0 0 λ2     eu ev   + NP   eu ev   = 0. Escrevendo N P = α β obtemos que

λ1(eu)2+ λ2(ev)2+ αeu + βev = 0. (2.12)

(59)

2.3 Deforma¸c˜ao da par´abola 43 S =   ea eb eb ec   , onde ea = d 2_l (detM )2 eb = −_{(detM )}b d l 2 ec = b 2_l (detM )2.

Do exemplo 1.1.5 temos que os autovalores e os respectivos autovetores asso-ciados de S, ap´os serem normalizados, s˜ao

λ1 = (d2_{+ b}2_{) l} (detM )2 λ2 = 0 u1 = d √ d2_{+ b}2, − b √ d2_{+ b}2 u2 = b √ d2_{+ b}2, d √ d2_{+ b}2 . Logo a equa¸c˜ao (2.12) pode ser assim reescrita

λ1(eu)2+ αeu + βev = 0, (2.13)

donde conclu´ımos que TM(σ) ´e uma par´abola. Com isso acabamos de demonstrar

a proposi¸c˜ao que se segue.

a matriz M na base canônica. Se σ é uma parábola de equa¸cão y = lx2 _então

TM(σ) é uma parábola dada pela equa¸cão (2.13), onde λ1 é o autovalor não nulo

da matriz sim´etrica S = (M−1₎t   l 0 0 0   M−1_, α β = _{0 −1} M−1_P

(60)

e eu ev ´e o referencial gerado pelos autovetores ortonormais de S .

Exemplo 2.3.1. Vejamos a imagem da par´abola y = x2_{segundo a transforma¸c˜ao}

TM   x y   =   5 −3 −10 6     x y   .

Para isso escrevemos a par´abola parametricamente

u(t) =   t t2  

onde t ∈ [−2, 2]. O gr´afico a seguir foi plotado pelo software GeoGebra.

Figura 2.4: Imagem da par´abola de equa¸c˜ao y = x2 _{segundo o operador}

TM(x, y) = (5x − 3y, −10x + 6y).

(61)

1 e b 6= 0. Esta semi-reta tem como vetor diretor (1, −2) e est´a “acima” do v´ertice

V =   25 12 −256   , ver Proposi¸c˜ao 2.3.1.

Exemplo 2.3.2. Vejamos a imagem da par´abola y = x2_{segundo a transforma¸c˜ao}

TM   x y   =   1 2 3 4     x y   .

Para isso escrevemos a par´abola parametricamente

u(t) =   t t2  

onde t ∈ [−2, 2]. O gr´afico a seguir foi plotado pelo software GeoGebra.

Figura 2.5: Imagem da par´abola de equa¸c˜ao y = x2 _{segundo o operador}

TM(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y).

Neste caso como detM 6= 0, a imagem da parábola y = x2 _{é uma parábola, e}

(62)

5(eu)2₊ 7

2√5eu − 1

2√5ev = 0, onde euev ´e o referencial gerado pela base

−√2 5, 1 √ 5 , 1 √ 5, 2 √ 5 , ver Proposi¸c˜ao 2.3.2.

2.3.4 σ ´

e uma par´

abola qualquer.

Uma parábola σ qualquer do plano terá equa¸cão ey = l(ee x)e 2 _{no sistema e}_e_xO′eey

que é oriundo de uma rota¸cão de ângulo θ no sentido anti-horário do sistema e

xO′_{y onde este ´}_e _{ultimo ´e a transla¸c˜ao de}

O′ ₌   x0 y0  

do sistema xOy. Da subse¸c˜ao 2.1.4 temos que   eu ev   = fM   eex eey ,   (2.14) onde _  eu ev   =   u v   −   u0 v0   ,   u0 v0   = M   x0 y0  

e M Rθ= fM . Da equa¸c˜ao (2.14) concluimos que

  eu

ev  

representa as coordenadas de uma parábola ou suas degenera¸cões, já que se trata da imagem da parábola eey = l(ex)e 2 _{no referencial e}_xO_e ′eey pela aplica¸cão

T_M_f   eex eey   = fM   eex eey   +   u0 v0   .

(63)

Se a matriz M for tal que detM = 0 teremos como imagem de σ uma degenera¸cão da parábola, pois det fM = detM = 0. Se a matriz M for tal que detM 6= 0 teremos como imagem de σ uma parábola, pois det fM = detM 6= 0. Neste último caso, pela subse¸cão anterior, TM(σ) satisfaz a equa¸cão

λ1(eu − eu0)2+ α(eu − eu0) + β(ev − ev0) = 0, (2.15)

onde λ1 ´e o autovalor n˜ao nulo da matriz

S = ( fM−1₎t   l 0 0 0   (fM )−1_, e

u ev ´e o referencial gerado pelos autovetores ortonormais de S, ( eu0, ev0) s˜ao as

coordenadas do vetor (u0, v0) na base de autovetores de S e

α β

= _{0 −1} ( fM )−1_P,

onde P é a matriz cujas colunas são os outovetores ortonormais de S, com isso acabamos de demonstrar a proposi¸cão que se segue.

Proposi¸c˜ao 2.3.3. Seja TM : R2→ R2um operador linear invert´ıvel associado a

matriz M na base canônica. Se σ é uma parábola de equa¸cão ey = l(ee ex)2 _{no sistema}

eexO′eey, o qual é oriundo de uma rota¸cão de ângulo θ no sentido anti-horário do

sistema exO′_e_{y, que por sua vez ´e a transla¸c˜ao de}

O′ ₌   x0 y0  

do sistema xOy. Então TM(σ) é uma parábola dada pela equa¸cão (2.15), onde λ1

´e o autovalor n˜ao nulo da matriz

S = (M−1₎t_R θ   l 0 0 0   R_(−θ)M−1_,

os coeficientes α e β s˜ao dados por

α β

(64)

eeu eev ´e o referencial gerado pela base eβ de autovetores da matriz S, P = [I]βe canˆonica

e ( eu0, ev0) = [TM(x0, y0)]βe. Sendo Rθ a matriz de rota¸c˜ao de ˆangulo θ no sentido

anti-hor´ario.

Exemplo 2.3.3. Vejamos a imagem da par´abola dada parametricamente por

u(t) =   cos 60 o − sin 60o sin 60o cos 60o     t t2   +   2 3   ,

onde t ∈ [−2, 8], segundo a transforma¸c˜ao

TM   x y   =   1 2 3 4     x y   .

Note que neste caso a imagem da parábola é uma parábola, pois detM 6= 0. O gráfico a seguir foi plotado pelo software GeoGebra.

Figura 2.6: Imagem da parábola de equa¸cão paramétrica u(t) segundo o operador TM(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y).

Esta par´abola tem por equa¸c˜ao

25 − 14√3 8 ! e u − 32 √ 3 + 105 √ 2p67 − 2√3 2 − 11 " 2√3 + 1 2√2p67 − 2√3 ! e u − 32 √ 3 + 105 √ 2p67 − 2√3 − 2 "√ 3 + 2 √ 2p2√3 + 7 ! ev + 32 √ 3 + 5 √ 2p2√3 + 7 = 0.

(65)

Onde euev ´e o referencial gerado pela base

( 11 p 134 − 4√3, 2√3 − 1 p 134 − 4√3 ! , p 1 4√3 + 14, −2√3 − 1 p 4√3 + 14 !) , ver Proposi¸c˜ao 2.3.3.

(66)

Imagem de uma qu´

adrica

segundo um operador linear no

espa¸co.

Neste cap´ıtulo vamos analisar as deforma¸cões de quádricas por transforma¸cões lineares. No caso em que o operador não for invert´ıvel, restringiremos convenien-temente o dom´ınio deste para encontrarmos a equa¸cão da imagem da quádrica. No caso em que o operador linear for invert´ıvel usaremos duas estratégias de-pendendo da quádrica. A primeira é estudar os autovalores da matriz simétrica associada à forma quadrática da imagem da quádrica, e a segunda é baseada no reconhecimento das quádricas que é feito em [11]. Os resultados obtidos do de-senvolvimento aqui apresentado são resumidos nas proposi¸cões 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4, 3.1.5, 3.2.1, 3.2.2 e 3.2.3.

3.1 Deforma¸c˜

ao do elips´

oide

Nesta se¸c˜ao vamos analisar a imagem de um elips´oide segundo um operador linear no espa¸co. Seja TM : R3→ R3 um operador linear definido por:

TM      x y z     = M      x y z     =      a b c d e f g h i           x y z     , (3.1) 51