UM ESTUDO INTEGRANDO RECURSO COMPUTACIONAL
Jeferson da Silva Gonçalves Universidade Bandeirante de São Paulo, Brasil jgoncalves@splicenet.com.br Monica Karrer Universidade Bandeirante de São Paulo, Brasil mkarrer@uol.com.br
RESUMO
Este artigo apresenta parte de uma pesquisa sobre sistemas lineares que objetivou investigar as produções de estudantes do nono ano do ensino fundamental da rede pública do estado de São Paulo, diante de um experimento diferenciado sobre esse tópico, elaborado de forma a explorar relações entre representações dos registros algébrico, gráfico e da língua natural nos ambientes papel e lápis e Winplot. Neste contexto, foi proposta uma abordagem de análise da qualidade de sistemas com duas equações e duas incógnitas por uma entrada experimental, visando à investigação da existência ou não da proporcionalidade entre os coeficientes da representação algébrica e suas consequências na representação gráfica e na classificação do sistema. A teoria dos registros de representações semióticas de Duval fundamentou esse estudo e a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. norteou a construção e a condução das atividades. No estudo global, foram exploradas situações de sistemas possíveis, determinados ou indeterminados, e de sistemas impossíveis. Neste artigo, foram avaliadas as produções de estudantes diante de uma atividade que tratou de sistemas indeterminados. Os resultados revelaram avanços na análise da proporcionalidade dos coeficientes e na relação com os aspectos gráficos de um sistema deste tipo.
Palavras-chave: sistemas lineares, representações semióticas, winplot. ABSTRACT
This article presents part of a research on the content of linear systems which investigated the work produced by students in the ninth year of public elementary schools in the state of São Paulo, during their participation in a different experiment on this topic, that aimed to explore relationships between algebraic, graphical and natural language registers, developed in paper and pencil and Winplot environments. In this context, an approach to analyzing the quality of systems with two equations and two unknowns by an experimental route aimed to investigate the presence or absence of proportionality between the coefficients of the algebraic representation and its consequences in the graphical representation and classification systems. The study was based on Duval's theory of semiotic representation registers, and the Design Experiment methodology of Cobb et al. guided the construction and the conduct of activities. In the overall study, situations of possible systems, determinate or indeterminate, and impossible systems were explored. In this article, we evaluate the work produced by students on an activity that dealt with indeterminate systems. The results reveal advances in the analysis of the coefficients of proportionality and the relationship with the graphical aspects of such system.
Keywords: linear systems, semiotic representations, winplot. 1 Introdução
Este artigo apresenta os resultados da aplicação de uma atividade sobre sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, especificamente com relação ao caso de sistema possível e indeterminado. O estudo global foi composto de um experimento de ensino contendo cinco atividades, as quais trataram de sistemas lineares dos tipos possível e determinado, possível e indeterminado e impossível. As atividades foram elaboradas de forma a explorar as relações entre representações dos registros gráfico, algébrico e da língua natural, sendo desenvolvidas nos ambientes papel e lápis e
Winplot. A concepção das atividades previu uma entrada experimental no ambiente
computacional, para que o estudante pudesse investigar, de forma independente, as relações entre as questões de proporcionalidade dos coeficientes, a representação gráfica do sistema linear e sua classificação.
O objeto matemático Sistemas Lineares é um conteúdo desenvolvido primeiramente no Ensino Fundamental e retomado no Ensino Médio. Estudos que
trataram dessa temática revelaram problemas no seu processo de ensino e aprendizagem. Por exemplo, Freitas (1999) apontou que os estudantes demonstravam dificuldades no estabelecimento de conversões entre representações dos registros gráfico e algébrico e Battaglioli (2008) revelou que os livros didáticos privilegiam o registro algébrico, sendo a atividade de conversão entre registros realizada de forma modesta. Ela também sugeriu uma maior exploração de representações do registro gráfico, dado o seu papel facilitador para a compreensão do conjunto solução de um sistema linear e sua consequente classificação.
Tal fato apontou para a necessidade de um trabalho que avaliasse as relações entre representações dos registros algébrico e gráfico e, como o software Winplot permite construções envolvendo a análise interativa e simultânea entre representações desses dois registros, ele foi selecionado como ferramenta de apoio. Desta forma, procurou-se investigar em que aspectos a abordagem proposta influenciaria os estudantes na compreensão da qualidade de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas e como o software adotado contribuiria neste processo.
Teve-se por hipóteses que o experimento proposto permitiria avaliar as unidades significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares, explorar a relação entre representações desses registros e classificar os sistemas por meio da investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus coeficientes. A seção seguinte contém uma breve descrição da fundamentação teórica e de pesquisas correlatas ao tema desenvolvido, as quais embasaram a construção dessa pesquisa. 2 Fundamentação Teórica e Revisão de Literatura
Dado que o presente estudo teve a preocupação de integrar representações de registros distintos, os pressupostos teóricos referentes aos registros de representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006) o fundamentaram. Este pesquisador relata sobre a especificidade da Matemática em relação às outras ciências, uma vez que, dado o seu caráter abstrato, o acesso a seus objetos necessita necessariamente da utilização de registros de representações semióticas, tais como os registros algébrico, gráfico, da língua natural e figural. Tal fato requer uma forma diferenciada de análise do processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos, denominado modelo cognitivo. Neste modelo, Duval (2006) define registro de representação semiótica como um
sistema semiótico que admite três atividades cognitivas, denominadas formação, tratamento e conversão.
A formação de representações em determinado registro exprime uma representação mental ou evoca um objeto real. A atividade de tratamento é uma transformação entre representações que pertencem a um mesmo registro e a atividade de conversão é uma transformação entre representações provenientes de registros distintos. Exemplificando, no conteúdo de sistemas lineares, apresenta-se, na Figura 1, uma situação de tratamento no interior do registro algébrico e, na Figura 2, uma situação de conversão do registro algébrico para o gráfico.
Figura 1: Exemplo da atividade de tratamento.
Representação no registro algébrico Representação no registro gráfico
Figura 2: Exemplo da atividade de conversão.
A atividade de conversão pode ser afetada pelo fenômeno da não congruência. Segundo Duval (2006), para que haja congruência entre duas representações de registros distintos, é necessário que três condições sejam verificadas: a correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, uma mesma ordem de apreensão das unidades das duas representações e conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma unidade significante correspondente no registro de chegada. Uma conversão será não congruente se pelo menos uma dessas condições não for verificada. Ainda, uma conversão pode ser congruente em um sentido e não congruente no sentido contrário, levando o estudante a ter desempenhos distintos quando uma situação é proposta nos dois sentidos de conversão. Duval (1995) revela que o ensino de Matemática não se preocupa com este fenômeno, considerando,
equivocadamente, que se o estudante demonstra conhecimento na resolução de uma tarefa em um sentido de conversão, automaticamente ele será capaz de resolver a mesma tarefa no sentido contrário.
O autor também classificou os registros quanto a sua funcionalidade e discursividade. Neste caso, um registro pode ser monofuncional discursivo ou não discursivo e multifuncional discursivo ou não discursivo. Se ele admitir um tratamento algoritmizável, ele é classificado como monofuncional e, se admitir o discurso, é classificado como discursivo. Nestas condições, o registro algébrico é classificado como monofuncional discursivo, o gráfico como monofuncional não discursivo, a língua natural como multifuncional discursivo e o figural como multifuncional não discursivo. Duval (1995) relata que o ensino de Matemática normalmente privilegia os registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais.
Diversos pesquisadores, dentre eles Freitas (1999), Battaglioli (2008) e Pantoja (2008), realizaram estudos sobre o objeto matemático "Sistemas Lineares" com base na teoria dos registros de representações semióticas. Freitas (1999) observou que seus sujeitos apresentaram dificuldades na representação gráfica, em estabelecer relações entre as representações algébrica e gráfica, em identificar a classificação de um sistema linear a partir de sua representação gráfica e em analisar sistemas que envolviam parâmetros. Battaglioli (2008) realizou uma análise do conteúdo de sistemas lineares em livros didáticos observando que estes normalmente tinham um enfoque mecanizado, com predomínio de registro do tipo monofuncional discursivo. Pantoja (2008) elaborou uma sequência de ensino sobre sistemas lineares, de modo a efetuar a conexão entre o Método do Escalonamento, que é apresentado aos alunos no Ensino Médio, com o Método da Substituição, que é apresentado aos alunos no Ensino Fundamental, dando significado a esse novo método. Ela também observou dificuldades dos estudantes nas conversões propostas durante a aplicação da sequência.
Outro trabalho, o de Cury e Bisognin (2009), consistiu em uma investigação dos erros apresentados por estudantes iniciantes do ensino superior, analisando uma questão que envolvia o objeto matemático sistemas lineares, na qual era dado um problema na língua natural, para que fosse modelado e resolvido na representação algébrica. Apesar de constatarem um índice de acerto de aproximadamente 68%, na análise dos erros daqueles que não tiveram sucesso na situação, foram observadas dificuldades em transformar uma situação dada em linguagem discursiva em um sistema de equações
lineares, em distinguir o método mais adequado para a resolução do sistema e em realizar tratamentos na representação algébrica.
Com relação à inserção de recursos computacionais no ensino de Matemática, citamos os estudos de Borba e Penteado (2010) e Noss e Hoyles (1996), os quais apontam para a utilização de ferramentas que favoreçam o desenvolvimento do pensamento matemático, trazendo benefícios que não seriam possíveis em outros ambientes de ensino. Ainda, estes autores defendem o uso de recursos computacionais no ensino como um direito de qualquer estudante. Coerente com esta visão, no presente estudo, a construção realizada no software Winplot permitiu a análise dinâmica e simultânea das relações entre representações dos registros gráfico e algébrico, conforme pode ser observado na Figura 3.
Figura 3: Apresentação da construção realizada no Winplot.
Neste exemplo, alterando o valor de "a", é possível observar a condição para que duas retas paralelas distintas se "transformem" em retas coincidentes, investigando, assim, a questão da proporcionalidade existente entre os valores presentes nas duas equações.
Considerando a problemática evidenciada na literatura e a importância da inserção de ferramentas computacionais que permitam explorações diferenciadas das comumente
obtidas em outros ambientes, justifica-se a necessidade desse estudo. Na próxima seção, são apresentadas a metodologia adotada e a descrição dos sujeitos, do material e do ambiente no qual o experimento foi desenvolvido.
3 Metodologia e Desenvolvimento
A metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003), utilizada no presente estudo, prevê a elaboração de experimentos de domínios matemáticos específicos, com intuito de obter inovações no ensino dessa ciência. O foco deste tipo de metodologia está no sujeito, na análise de sua trajetória, no levantamento de suas dificuldades e de seus possíveis avanços. Inicialmente é elaborada uma conjectura, que pode ser remodelada em função das produções apresentadas pelos estudantes, gerando novas conjecturas que são posteriormente testadas. Isso faz com que o processo seja iterativo, cíclico e flexível.
Uma manifestação presente nesta metodologia é o modelo aplicado em pequena escala, o qual foi selecionado no presente estudo. Nele, trabalha-se com um grupo reduzido de estudantes, para que seja possível analisar suas trajetórias de forma minuciosa. O professor, que assumiu também o papel de pesquisador, representou um orientador do processo, ou seja, realizou intervenções apenas nos momentos de bloqueio e se responsabilizou por identificar as alterações e complementações necessárias durante a execução do experimento.
Participaram do estudo quatro voluntários, com faixa etária entre treze e quatorze anos, os quais, no momento da aplicação do experimento, cursavam o nono ano do ensino fundamental de uma escola pública do estado de São Paulo. Neste artigo, são apresentados os resultados de suas produções, avaliando suas trajetórias na construção do conhecimento. Na ocasião, esses sujeitos já haviam tido contato com o conteúdo de sistemas lineares segundo uma abordagem que privilegiou o registro algébrico, sem trabalhar com explorações da análise da proporcionalidade entre os coeficientes das equações e sua relação com o registro gráfico. Ainda, eles não utilizaram qualquer recurso computacional quando do estudo deste tópico.
Dada essa caracterização dos sujeitos, esperava-se que eles compreendessem o significado de um sistema linear, que soubessem resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas por algum tipo de processo (substituição, adição ou comparação) e que soubessem relatar, de alguma forma, as três classificações de um
sistema. Com base nos resultados apontados na literatura, talvez fossem identificadas dificuldades na representação gráfica de um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Não era esperado que eles soubessem avaliar o tipo de sistema e sua representação gráfica partindo da análise da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes presentes na representação algébrica de sistemas lineares, uma vez que este tipo de abordagem não havia sido explorado quando eles estudaram este tópico.
Com exceção da atividade diagnóstica preliminar, as demais atividades do design foram realizadas em duplas, as quais são identificadas neste artigo por D1 e D2. A opção por este tipo de organização ocorreu com o objetivo de proporcionar um ambiente de interação entre os estudantes na construção do conhecimento. A pesquisa ocorreu em horário extraclasse, em um laboratório de informática, com o software
Winplot instalado em dois computadores. O professor-pesquisador contou com o auxílio
de um aluno monitor que participava do Programa Acessa Escola, o qual é desenvolvido pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, sendo coordenado pela Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE). Para a análise dos dados, foram coletados, avaliados e comparados os registros escritos presentes nas fichas das atividades distribuídas a cada dupla, a áudio-gravação das falas dos estudantes e a captura das telas dos computadores por meio do software Camtasia. Na próxima seção, são apresentadas a descrição e a análise da atividade selecionada para este artigo.
4 Descrição da Atividade e Análise dos Resultados
Considerando que os estudantes já haviam tido contato com o objeto matemático "Sistemas Lineares", foi proposto um questionário inicial com a finalidade de avaliar seus conhecimentos prévios. Esta fase diagnóstica preliminar, composta de dez tarefas, foi aplicada de forma individual. Na primeira tarefa, os alunos foram solicitados a relatar o que entendiam por sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado e sistema impossível. Na tarefa 2, foi solicitada a resolução de cada tipo de sistema por qualquer método. Na tarefa 3, foram propostas as representações gráficas de retas coincidentes, paralelas distintas e concorrentes, para que o aluno estabelecesse relações com alguma classificação de sistema linear. Nas tarefas 4, 5, 6 e 7, os alunos deveriam associar cada representação algébrica com a gráfica dos sistemas apresentados, sem resolver o sistema, ou seja, por avaliação da questão da existência ou não da proporcionalidade entre os coeficientes. Na tarefa 8 foram solicitadas as
construções gráficas de três sistemas lineares, partindo de suas representações algébricas. Na tarefa 9 foi apresentado um problema em língua natural para ser interpretado e resolvido algebricamente e, na tarefa 10, foi apresentada a representação algébrica de um sistema linear, para que os estudantes elaborassem um problema que pudesse ser modelado por aquela representação.
Partindo dos supostos conhecimentos prévios dos estudantes, esperava-se que eles resolvessem as tarefas 1,2,3,8, 9 e 10, uma vez que estas são usualmente desenvolvidas nos livros didáticos presentes na relação do Plano Nacional do Livro Didático, bem como no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo. Já as tarefas 4,5,6 e 7 envolviam a análise da existência ou não da proporcionalidade e sua relação com representações do registro gráfico e com a classificação de sistemas. Com isso, era esperado que os alunos relatassem que não sabiam resolvê-las, dado que este tipo de exploração normalmente não se faz presente no material utilizado pelos estudantes da rede do estado de São Paulo.
Como esperado, a aplicação desse questionário preliminar apontou que os alunos realmente não sabiam resolver as tarefas 4,5, 6 e 7. Por exemplo, ao serem questionados a relacionar um tipo de gráfico com o sistema linear
10 5 4 2 2 y ax y x , se o valor de a fosse igual a 5 , dois estudantes forneceram as produções presentes na Figura 4.
Figura 4: Amostra de respostas dos alunos na Tarefa 4
Um fato inesperado foi a grande dificuldade apresentada na resolução das tarefas que usualmente são propostas nos livros didáticos e no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo. Pôde-se observar que os alunos não souberam relatar o que significava cada tipo de sistema, não souberam resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas por qualquer método e, consequentemente, não conseguiram representar graficamente um sistema deste tipo e nem relacionar a sua classificação com a representação gráfica. Os estudantes também mostraram dificuldades em interpretar o
problema proposto na língua natural e em formular um problema partindo de sua representação algébrica. Nas Figuras 5 e 6, são apresentadas algumas respostas fornecidas por estes alunos, com o intuito de fornecer um panorama das dificuldades apresentadas.
Figura 5: Resolução de sistemas - Produções do questionário preliminar
Figura 6: Descrição de sistemas indeterminados - Produções do questionário preliminar Foi possível notar que os estudantes não tinham a compreensão de que, em um sistema, é necessário determinar a solução que contempla simultaneamente as duas equações. Ainda, dificuldades em isolar uma incógnita foram presentes em diversas resoluções, revelando, frequentemente, problemas na atividade de tratamento de representações do registro algébrico. Foi possível observar, também, confusão entre resolução de sistemas e resolução de uma equação de segundo grau, a qual ocorreu pelo fato de os estudantes estudarem esse tópico no ciclo regular no momento da aplicação do experimento, o que revela o aspecto mecanizado do ensino. Eles também não apresentaram compreensão das classificações de sistemas e suas relações com a representação gráfica.
Diante disso, esse primeiro contato apontou para a necessidade de uma reformulação da proposta inicial, uma vez que, para a realização do experimento, seria necessário que os estudantes tivessem como pré-requisitos a compreensão das classificações de um sistema e de sua resolução por algum método, bem como o domínio da construção gráfica de um sistema a partir de sua representação algébrica, a fim de garantir a base necessária para a exploração da análise da relação de proporcionalidade. Desta forma, o professor-pesquisador procurou realizar uma revisão desses tópicos em conjunto com os alunos, antes da aplicação das atividades inicialmente previstas no experimento. Após essa revisão, foram aplicadas cinco atividades nos ambientes computacional e papel e lápis. Neste artigo, é apresentada somente uma amostra de tarefas da atividade relativa ao caso de sistemas possíveis e indeterminados. No momento da aplicação, uma tarefa era dada assim que a dupla finalizasse a anterior. Na atividade a seguir, foi explorado o caso com duas equações proporcionais. Esperava-se que o aluno, ao alterar o valor de "a" no Winplot, observasse que, em um sistema linear do tipo
f ey dx c by ax
(com a, b, c, d, e e f não nulos), se
f c e b d a
, então seriam obtidas duas retas coincidentes, o que geraria infinitas soluções e, consequentemente, um sistema possível e indeterminado. Com isso, pretendia-se, por meio da exploração da atividade de conversão entre representações dos registros algébrico e gráfico, que o estudante conjecturasse sobre essas relações inicialmente com o auxílio do recurso computacional, para em seguida utilizá-las fora deste ambiente. Na maioria das tarefas, também foram requisitadas justificativas na língua natural escrita e, desta forma, procurou-se explorar tanto registros mono como multifuncionais, conforme se observa no Quadro 1.
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
4 2 2 6 6 y x a y x .
Cada equação representa uma reta no plano. Abra o arquivo 1 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros a-w”. Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ...
Tarefa 2. Considere o sistema linear
4 2 2 12 6 6 y x y
x . Pela tarefa anterior, você observou que
sua representação gráfica é dada por duas retas ... Então o sistema linear é classificado como ... Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de x Coeficiente de y Termo independente Primeira equação 12 6 6x y Segunda equação 4 2 2x y
Que relação existe entre os valores da primeira linha dessa tabela com os valores da segunda? ...
Tarefa 3. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
9 3 3 15 15 y x b y x para
que se obtenham duas retas coincidentes?...Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que observou?...
Tarefa 4. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
a y x y x 6 4 6 3 2 .
Cada equação representa uma reta no plano. Abra o arquivo 2 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros a-w”. Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ...
Tarefa 5. Dado o sistema linear
12 6 4 6 3 2 y x y x
. Pela tarefa anterior, você observou que
sua representação gráfica é dada por duas retas ... Então o sistema linear é classificado como ...
Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de x Coeficiente de y Termo independente Primeira equação 6 3 2x y Segunda equação 12 6 4x y
Que relação existe entre os valores da primeira linha dessa tabela com os valores da segunda?...
Tarefa 6. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
b y x y x 15 9 1 5 3 para que se obtenham duas retas coincidentes?...
Tarefa 7. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
24 20 6 2 5 ay x y x . Cada equação representa uma reta no plano. Abra o arquivo 3 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros a-w”. Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ...
Tarefa 8. Dado o sistema linear
24 8 20 6 2 5 y x y x
. Pela tarefa anterior, você observou que sua representação gráfica é dada por duas retas ... Então o sistema linear é classificado como ... Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de x Coeficiente de y Termo independente Primeira equação 6 2 5x y Segunda equação 24 8 20x y
Que relação existe entre os valores da primeira linha dessa tabela com os valores da segunda?...
Quadro 1. Apresentação de uma amostra de tarefas da atividade de sistemas do tipo SPI Os estudantes das duas duplas não tiveram dificuldades em resolver as tarefas 1 e 2. Alterando o valor de "a" no software, obtiveram o resultado 12 e identificaram que, neste caso, as retas eram coincidentes e que o sistema era possível e indeterminado. Preencheram a tabela, porém, os estudantes da dupla 2 apresentaram um equívoco nos sinais dos coeficientes de y das duas equações. Apesar disso, observaram que, multiplicando os valores dos coeficientes da segunda equação por três, encontrariam os valores dos coeficientes da primeira equação, embora possam ser notadas deficiências de expressão na língua natural escrita, conforme ilustrado a seguir na Figura 7.
Figura 7: Produção da dupla 2 - Tarefa 2
Nesta tarefa, a dupla 1 registrou que "quando os coeficientes da segunda equação é (sic) multiplicado por 3 equivalem aos coeficientes da 1a. equação, o mesmo acontece com o resultado", revelando observar a questão de proporcionalidade.
Na tarefa 3, os estudantes da dupla 1 registraram corretamente o valor b=45. Já os estudantes da dupla 2 cometeram um equívoco no cálculo do valor de "b", atribuindo a ele o resultado 55 e, quando utilizaram o Winplot, verificaram que o valor não coincidia com o atribuído, notando assim o erro no cálculo. Na tarefa 4, as duplas observaram, com o auxílio do Winplot, que "a" valeria 12 e, na tarefa 5, identificaram que na representação gráfica obteriam duas retas coincidentes, gerando, assim, um sistema possível e indeterminado. Ainda nesta tarefa, as duplas completaram a tabela
corretamente, porém, enquanto a dupla 1 registrou que "os coeficientes da 2a equação são o dobro dos coeficientes da 1a equação", a dupla 2 apresentou uma avaliação correta, mas não observou a questão da proporcionalidade, conforme esperado. Ela forneceu a produção presente na Figura 8.
Figura 8: Produção da dupla 2 na tarefa 5
Na tarefa 6, os estudantes das duas duplas determinaram corretamente o valor de "b" sem usar o Winplot. Naquele momento, tal fato parecia indicar que eles detectaram a relação esperada, apesar de a dupla 2 não ter apresentado essa relação explicitamente na produção em língua natural. Na tarefa 7, os estudantes das duas duplas determinaram, no ambiente computacional, que a=8, observando, no início da tarefa 8, que, neste caso, as retas eram coincidentes e que o sistema seria classificado como possível e indeterminado, conforme apresentado na Figura 9.
Figura 9: Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) nas tarefas 7 e 8
Na tarefa 8 as duas duplas preencheram a tabela e observaram que, para obter os valores da segunda linha da tabela, bastaria multiplicar os da primeira por 4. Neste caso, foi possível notar avanços na expressão escrita das duas duplas, apesar de equívocos de grafia ou de concordância, conforme ilustrado nas figuras 10 e 11.
Figura 10: Produção da dupla 1 - Tarefa 8
Figura 11: Produção da dupla 2 -Tarefa 8
Apesar de as respostas não indicarem a análise na forma esperada, ou seja, que um sistema do tipo f ey dx c by ax
(com a, b, c, d, e e f não nulos), seria possível e
indeterminado, gerando retas coincidentes, quando
f c e b d a , notamos que os
estudantes detectaram a relação de proporcionalidade dos valores presentes nas duas equações. Para verificar se essa concepção construída pelos alunos seria suficiente para que eles generalizassem para outros casos sem o uso do ambiente computacional, foram propostas mais duas tarefas, presentes no quadro 2.
Tarefa 9. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine o valor de “a” para
que ele admita infinitas soluções, ou seja, para que ele seja um sistema possível e indeterminado. a) 6 3 3x y a y x b) a y x y x 10 4 8 5 2 c) 30 15 15 10 5 y x y ax d) 6 4 3 12 6 y x ay x e) 42 21 14 7 7 y ax y x f) 9 3 18 5 6 ay x y x g) 35 7 10 3 2 ay x y x h) 30 6 10 4 2 ay x y x
Se você construísse a representação gráfica de cada sistema para o valor de "a" indicado, o que você encontraria? ...
Tarefa 10. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que o
gráfico da solução do sistema linear f ey dx c by ax
(com a, b, c, d, e e f não nulos) seja representado por duas retas coincidentes, ou seja, para que ele admita infinitas soluções.
Quadro 2 - Tarefas 9 e 10 da atividade sobre sistemas SPI Os resultados da tarefa 9 das duas duplas são apresentados na Figura 12.
Figura 12: Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) - Tarefa 9
Notamos que a dupla 1 apresentou sucesso nos itens "b","c","e", "f" e "h". No item "a" houve uma confusão na atribuição do valor 0 e no item "d" ela observou que a relação de proporcionalidade seria igual a 2, porém determinou o valor de "a" dividindo quatro por dois e não multiplicando quatro por dois. No item "g", para a obtenção do valor de "a", era necessária a construção da relação de proporcionalidade e a resolução por regra de três, fato que não foi realizado pela dupla. A dupla 2 teve sucesso nos itens "a","b","c","d" e "e", mas não nos itens "f", "g" e "h". Observamos que nos itens de "a" até "e", os valores dos coeficientes que deveriam ser encontrados eram inteiros positivos. No item "h", o valor de "a" era negativo, o que confundiu a dupla. Já nos itens "f" e "g", os valores não eram inteiros, requisitando, principalmente para a resolução do item "g", uma análise com construção algébrica. Tal fato apontou que as duplas estabeleceram uma relação que atendia principalmente aos casos em que era possível determinar o valor de "a" mentalmente, porém, essa estratégia não foi suficiente para a resolução de todas as situações propostas. Quanto ao questionamento da representação gráfica de cada sistema para o valor de "a" encontrado, as duas duplas observaram que as retas seriam coincidentes.
Na última tarefa, os estudantes não estabeleceram formalmente a relação esperada. A dupla 1 redigiu que "os valores de x e y têm que ser iguais em ambas as equações e têm que ser semelhantes de alguma forma". Já a dupla 2 forneceu corretamente um caso particular de sistema possível e indeterminado, diferente de todos os apresentados na atividade, conforme pode ser observado na Figura 13.
Figura 13: Produção da dupla 2 na tarefa 10
Dada essa constatação e em consonância com a metodologia de Design
Experiment, o professor-pesquisador apresentou questionamentos complementares, com
o intuito de fornecer aos estudantes um ambiente favorável para o estabelecimento de novas conjecturas e, consequentemente, da relação esperada. Neste caso, forneceu novos sistemas para que os estudantes determinassem o valor de "a" para a obtenção de retas coincidentes, com e sem o auxílio do Winplot, e solicitou que eles tentassem encontrar uma relação comum a todos. Pretendia-se, com isso, que eles observassem a existência da proporcionalidade independente do valor da proporção, formalizando assim a relação observada nos exercícios anteriores, para que fosse possível a avaliação de qualquer sistema possível e indeterminado com duas equações e duas incógnitas.
Inicialmente os alunos fixaram-se na relação de proporcionalidade de cada exercício e apresentaram algumas dificuldades em questões de cálculo. O professor-pesquisador interviu solicitando que todos comparassem as situações propostas e investigassem o que havia em comum entre elas. A dupla 1 observou que a divisão era constante em todos os casos e um dos integrantes da dupla 2 perguntou: "Se a divisão é sempre igual, as retas são coincidentes?". Para esta dupla, o professor-pesquisador sugeriu que retomasse as tarefas da atividade nos dois ambientes e que verificasse se a conjectura estabelecida estava correta. A partir daí, as duas duplas revelaram domínio na análise da proporcionalidade. Por exemplo, em uma atividade complementar, foi solicitado que explicassem a um colega o motivo de um dado sistema linear ter como representação gráfica duas retas coincidentes. As produções das duplas 1 e 2 são apresentadas na Figura 14.
Figura 14: Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) - Tarefa complementar 4 Dando continuidade, os estudantes da dupla 1 conseguiram estabelecer, de forma independente, a relação solicitada na tarefa 10. Já a dupla 2 necessitou do auxílio do professor-pesquisador para a construção da forma generalizada da proporcionalidade. Partindo dela, retomaram os exercícios da tarefa 9. Os alunos da dupla 1 realizaram todos os itens desta tarefa corretamente e sem auxílio do professor-pesquisador. Já para a dupla 2, houve a necessidade de uma revisão a respeito do cálculo de valores por regra de três. Apesar de cometer alguns erros de cálculo, a dupla determinou todos os valores de "a" por regra de três, conforme ilustrado na Figura 15.
g) 35 7 10 3 2 ay x y x
Figura 15: Produção da dupla 2 na resolução da tarefa 9g por regra de três
Desta forma, observou-se, durante o experimento, a importância de se estabelecer uma efetiva coordenação entre representações de pelo menos dois registros para a compreensão do objeto matemático, uma vez que os estudantes puderam identificar as unidades significativas dos registros algébrico e gráfico de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas e relacionar representações desses dois registros, necessitando, para a análise de alguns casos, de uma abordagem algébrica. Tal fato mostra o aspecto de complementaridade dos registros para a apreensão do objeto matemático. No estudo global, além do caso de sistemas possíveis e indeterminados, foram trabalhados, utilizando a mesma dinâmica, os casos de sistemas impossíveis e sistemas possíveis e determinados. Foram avaliados, também, os casos particulares em que os sistemas eram homogêneos. A seguir, apresentamos a conclusão do estudo. 5 Conclusão
Neste artigo foi apresentada parte de uma pesquisa a respeito da análise da proporcionalidade dos coeficientes de sistemas lineares com duas equações e duas
incógnitas e a relação desta situação com a representação gráfica e com a classificação do sistema. Um experimento de ensino foi aplicado a duas duplas de estudantes do nono ano de ensino fundamental da rede pública do estado de São Paulo, tendo por objetivo investigar as suas trajetórias no processo de construção dessa relação partindo de uma entrada experimental no Winplot. Em coerência com a metodologia de Design
Experiment, que prevê as características cíclica, iterativa e flexível, foram realizadas,
durante o processo de execução do experimento, duas adaptações no desenho inicialmente elaborado. Primeiramente detectou-se a necessidade de realizar uma revisão de aspectos considerados pré-requisitos para a execução do design. Em segundo lugar, apesar de a construção realizada pelos estudantes ser válida mas não suficiente para a análise de qualquer sistema possível e indeterminado com duas equações e duas incógnitas, foram propostas novas situações de comparação entre sistemas deste tipo, para evidenciar o aspecto comum entre eles, que era a proporcionalidade dos coeficientes, independente do valor da proporção. Com isso, foram observados avanços significativos dos estudantes na construção do conhecimento proposto, por meio da identificação das unidades significativas dos registros algébrico e gráfico e do estabelecimento de uma efetiva coordenação entre eles, confirmando as hipóteses inicialmente estabelecidas. Destacamos, com base em Duval (2003), a questão da complementaridade de registros para a apreensão do objeto matemático, dado que os estudantes puderam observar que, em alguns momentos, o trabalho com o registro algébrico se tornava necessário para avaliar a condição de sistemas que graficamente eram representados por retas coincidentes. O software permitiu uma análise interativa entre representações desses dois registros, favorecendo a atividade de conversão entre eles. Notamos que, após o experimento, os estudantes apresentaram sucesso na associação de sistemas possíveis e indeterminados com a representação gráfica de retas coincidentes e com a representação algébrica envolvendo coeficientes proporcionais, porém, frequentemente eles apresentaram dificuldades em relatar, na representação multifuncional discursiva, as conclusões obtidas.
Espera-se que esse trabalho possa contribuir para a área de Educação Matemática, representando uma proposta complementar e diferenciada de abordagem de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas.
Jeferson da Silva Gonçalves agradece ao apoio financeiro dado pela Secretaria Estadual de Educação de São Paulo, a qual permitiu o desenvolvimento deste trabalho. Referências
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