Relatividade. Vetores, Escalares e Tensores

Vetores, Escalares e Tensores

Grandezas Vetoriais e Grandezas Escalares

A física lida com uma gama muito grande de grandezas físicas. Na mecânica lidamos, por exemplo, com grandezas vetoriais e escalares. Nessa seção, explicaremos o que são essas grandezas, sem defini-las como “aquelas que têm uma direção um módulo e um sentido”: essa definição é de um curso do segundo grau. Grandezas vetoriais são, na verdade, melhor definidas considerando-se a questão da rotação de dois sistemas de referência. Isso porque, como veremos no próximo capítulo, o uso de vetores permite que se mantenha a forma das leis físicas quando escritas em um e outro sistemas de referências. Além disso, essa definição permite determinar novas grandezas físicas definidas como produtos de vetores.

É importante classificar grandezas físicas em categorias, ou tipos. A forma utilizada para efetuar essa classificação tem a ver com as propriedades dessas grandezas (ou de suas componentes) sob rotações. É exatamente aqui que surge o conceito de grandezas vetoriais e grandezas escalares. Assim, uma definição mais precisa e, ao mesmo tempo, uma generalização de vetores (como grandezas tensoriais) faz uso das propriedades de transformação de grandezas físicas quando efetuamos rotações.

Lidamos na física com grandezas designadas genericamente como tensores. Os tensores se distinguem uns dos outros por seus postos. A um tensor de posto zero, designamos usualmente como grandeza escalar. Um tensor de posto 1, denominamos vetor. Momentos de inércia, por exemplo, são componentes de tensores de posto 2.

Grandezas Escalares

Definimos uma grandeza física como escalar se, ao efetuarmos uma rotação no sistema de coordenadas, essa grandeza não sofrer qualquer alteração.

Ou seja, uma grandeza escalar é invariante por rotações. Assim, se

T

for uma tal grandeza física, encontraremos que, quando medida em um referencial ou em outro sistema de referência, ela terá como resultado o mesmo valor. Para tal grandeza, escrevemos:

( 1 ) Figura 1: Grandezas escalares.

A temperatura é um exemplo de grandeza física escalar. O tempo é outra grandeza escalar, pois não importa a orientação do sistema de coordenadas, o intervalo de tempo medido quando estamos em um sistema ou no outro é o mesmo. A distância entre dois pontos é uma grandeza invariante sob rotações. Ou seja, se considerarmos a distância de um ponto até a origem, escrevemos:

( 2 )

Utilizando a notação introduzida no último capítulo, escrevemos:

( 3 )

Adiante, ainda nesse capítulo, ampliaremos o conjunto de grandezas escalares.

Grandezas Vetoriais

Grandezas vetoriais são grandezas que requerem três atributos para serem inteiramente caracterizadas ou especificadas: módulo, direção e sentido.

Uma definição mais geral parte do conceito de componentes. Ou seja, uma grandeza vetorial é especificada a partir da atribuição do valor de cada uma das três componentes de um vetor.

x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

_{= x′}

2

_{+ y′}

2

_{+ z′}

2

r r

= ′ ′

r r

Fazendo uso de um sistema cartesiano (em relação ao qual podemos agora especificar direções e sentidos), uma grandeza vetorial é especificada através das componentes

( 4 )

Na notação simplificada que faremos, utilizamos a notação

( 5 )

No entanto, o fato de agruparmos grandezas em trincas não as transforma em grandezas vetoriais. Definimos um vetor como sendo um ente físico definido por três quantidades

v

₁,

v

₂,

v

₃

(denominadas componentes da grandeza vetorial), de tal forma que, sob uma rotação, as compo-nentes do vetor se transformam, de maneira análoga às coordenadas. Isto é,

( 6 )

em que

( 7 )

ou seja, cada coordenada do vetor se transforma, sob uma rotação, como

( 8 )

Portanto, uma grandeza vetorial é um conjunto de três grandezas componentes que se transformam de uma maneira bem definida sob uma rotação.

(V

_x

, V

_y

, V

_z

)

(V

₁

, V

₂

, V

₃

)

′〉 =

〉



V

R v

′〉 =

′

′

′





















〉 =

























V

V

V

V

V

V

V

V

1

2

3

1

2

3

′ =

∑

V i

R V

ij j

Podemos agora verificar que, de fato, a velocidade de uma partícula e sua aceleração são grandezas vetoriais. Das definições, segue que a velocidade média e aceleração média, por exemplo, têm componentes dadas por:

( 9 )

Assim, como o tempo é um invariante, a velocidade se transforma exatamente como as coorde-nadas. Trata-se, portanto, de uma grandeza vetorial. Sendo a velocidade um vetor, e como o tempo é invariante, a aceleração também é uma grandeza vetorial. Em geral, podemos construir vetores a partir de outros, por meio da multiplicação ou divisão por grandezas escalares.

Grandezas Tensoriais

Grandezas tensoriais são generalizações de grandezas escalares. Para entendermos isso, consideremos o produto de componentes de um vetor. Analisaremos o caso do produto de duas componentes. Seja o produto

T

_ij de duas componentes de um vetor:

( 10 )

Tais produtos geram uma nova grandeza física. Uma tal grandeza pode ser relevante ou útil, o que acontece em muitos casos. Essa nova grandeza tem agora nove componentes e propriedades bem definidas de transformação sob uma rotação. Isto é, a grandeza acima se transforma:

( 11 )

De tal forma que as componentes dessa grandeza se transformam, sob uma rotação, de acordo com: ( 12 )

v

x

t

a

v

t

v

y

t

a

v

t

v

z

x x x y y y z

≡

≡

≡

≡

≡

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

tt

a

v

t

z z

≡

∆

∆

T

_ij

= V

_i

V

_j

T

→

T



′

′ =

′

= =

∑

∑

T

ij

R R T

ik jl l k 1 kl 3 1 3

É muito comum uma notação convencionando que, quando dois índices são iguais, fica implícita a soma. Nessa notação, escrevemos apenas:

( 13 )

Uma grandeza física que tenha nove componentes e que se transforma como (000) é definida como um tensor de posto 2.

Tendo em vista a propriedade da matriz de rotação ser uma matriz tal que sua transposta é igual à sua matriz inversa, podemos escrever a transformação (000) anterior sob a forma:

( 14 )

Transformações como essa são denominadas transformações de semelhança.

Mais geralmente, definimos um tensor de posto

S

como uma grandeza física que possui

3S

de componentes, de tal forma que essas componentes se transformam:

( 15 )

Objetos que se transformam como a matriz

R

−1 _{também são vetores. Para diferenciá-los do}

outro tipo de vetores, introduzimos índices em cima. Nessa definição:

( 16 )

Assim, as componentes de um vetor se transformam sob uma rotação inversa (a qual também é uma rotação), como:

( 17 )

De modo geral, o tensor é caracterizado por um posto, que é um número inteiro positivo ou zero. Um tensor de posto zero é uma grandeza escalar. Um tensor de posto 1 é um vetor.

Um exemplo curioso de tensor de posto 3 é o tensor de Levi-Civita, definido da seguinte forma:

( 18 )

′ =

′

T

_ij

R R T

_{ik jl kl}

T′ = RTR

−1

′ =

⋅⋅⋅

′

T

ij m...

R R

ik jl

R T

mn kl n...

′

=

− −

⋅⋅⋅

−

′

T

ij m

R R

R

T

ik jl mn kl n ... ... 1 1 1

Figura 3: A métrica do espaço e as tensões são grandezas tensoriais.

′ =

−

V

i

R V

ij j 1

ε

ijk

₌

1

i

=

1

j

=

2

k

=

3

0

se

se dois ou tres indices f

,

,

oorem iguais







Além disso, esse tensor é totalmente antissimétrico:

( 19 )

Pode-se verificar que este ente, assim definido, é um tensor, pois se transforma :

( 20 )

Produtos de componentes de Vetores

Vimos na seção precedente que, a partir do produto de componentes de um vetor, podemos gerar novas grandezas físicas. Em particular, a partir de grandezas vetoriais, podemos construir tensores de posto arbitrário.

Consideremos três produtos de componentes de vetores. Já se sabe que o produto

( 21 )

Define uma nova grandeza física, com um caráter de tensor. Agora consideremos outro produto

( 22 )

Lembrando nossa convenção sobre índices iguais representarem uma soma, essa expressão, na verdade, significa:

( 23 )

Na notação do capítulo anterior, a grandeza

S

se escreve como

( 24 )

ε

ijk

= −

ε

ikj

′ =

− − −

ε

ijk

ε

il jm kn lmn

R R R

1 1 1

F

_ij

= A

_i

B

_j

S ≡ A

i   

B

i

S

A B

i i i

≡

=

∑

1 3

S

≡

A B

Portanto, como em uma rotação preservamos ângulos, a grandeza

S

é uma grandeza escalar, isto é, invariante por rotações. Isso acontece porque

( 25 )

Em que demonstra-se que a grandeza

S

definida através de (000) é, de fato, uma grandeza escalar.

Consideremos outro tipo de produto de componentes de dois vetores; seja a grandeza física definida pela combinação de produtos

Por exemplo, a distância entre dois pontos, definida a partir do produto escalar de dois vetores, é uma grandeza física invariante sob rotações. Logo, a distância entre dois pontos é uma grandeza escalar.

O produto de componentes de dois vetores

( 27 )

transforma-se como um tensor de posto 2.

Consideremos agora outro tipo de produto de componentes de uma grandeza vetorial. Definimos um conjunto de três grandezas físicas tomando o seguinte produto:

( 28 )

Em que está implícita a soma nos índices

j

e

k

e o símbolo

ε

_ijk é um tensor de Levi-Civita. De (000), concluímos que o objeto definido em (000) é um vetor, pois de (000) e (000), temos que:

( 29 )

′ ≡ ′ ′ =

−

=

≡

S

A B

i

A R R B

A B S

i k ik 1 ji j i i

O produto de componentes de um vetor

( 26 )

Resulta ser uma grandeza física escalar. Por isso, damos o nome de produto escalar de dois vetores.

A B

i

A B

i i=

∑

≡

1 3

T

_ij

= A

_i

B

_j

C

i

A B

j k ijk

≡ ε

′ ≡ ′ ′ ′ =

− − −

=

−

C

i

A B

R R R R R

A B

R

A B

j k il jm kn ja kb lmn j k il j ijk ljk

ε

1 1 1

ε

1

ε

kk

O produto vetorial de dois vetores é um pseudovetor. Por tal afirmação, entendemos que um vetor é tal que, sob reflexão espacial, suas componentes se transformam:

( 31 )

Em uma notação mais simples, declaramos que um tensor de

3

N _{componentes se transforma, como:}

( 32 )

O Grupo das Rotações

O conjunto de matrizes 3 × 3 associadas às rotações têm uma estrutura de grupo. Trata-se do grupo das rotações, denominado

SO(3)

, que constitui um conjunto de matrizes ortogonais cujo determinante é igual a 1.

A estrutura de grupo decorre do fato de que o produto de duas rotações define uma nova rotação, sendo, portanto, um outro elemento do grupo (propriedade do fechamento). Além disso, valem as seguintes propriedades:

1. Propriedade associativa:

Se

R

₁,

R

₂ e

R

₃ são rotações, então vale a propriedade associativa:

( 33 )

A conclusão é que podemos definir uma nova grandeza vetorial a partir do produto de componentes de vetores. As componentes são definidas como:

( 30 )

Damos o nome de produto vetorial de dois vetores ao vetor que resulta dos

produtos de componentes, de acordo com a regra apresentada.

C

A B B A

C

A B B A

C

A B B A

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

=

−

=

−

=

−

V

_i

→ −V

_i T→ ′ =T

(

R R⊗ ⊗ ⊗.... R T

)

(R

₁

R

₂

)R

₃

=

R

₁

(R

₂

R

₃

)

2. Existência do elemento identidade

O elemento identidade desse grupo é a matriz identidade:

( 34 )

3. Existência do elemento inverso

Grupos podem ser discretos ou contínuos. No último caso, cada elemento é caracterizado por um conjunto de parâmetros.

Como já visto anteriormente, o elemento inverso da matriz de rotação é a sua matriz transposta:

( 35 )

O conjunto de todas as matrizes 3 × 3 ortogonais constitui o grupo conhecido como grupo

0(3)

. Uma matriz ortogonal é tal que seu determinante se restringe a apenas dois valores:

( 36 )

O subgrupo para o qual o

detR = 1

é o grupo

SO(3)

. O símbolo

S

, nesse caso, quer dizer especial (do inglês special).

O grupo das rotações é, portanto, o grupo das matrizes (3 × 3) ortogonais com determinante igual

a + 1

.

O grupo

SO(3)

é um grupo de três parâmetros (os ângulos de Euler).

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =          

R

t

₌

_R

−1

R R

t

_{= →}

₁

(

R

)

2

₌

₁

det

Figura 4: Rotações não comutam, isto é, dependem da ordem em que são implementadas.

Grupo de Translações

O grupo de translações é um grupo de três parâmetros, de tal forma que

( 37 )

satisfaz à propriedade associativa

( 38 )

Tem o elemento identidade

( 39 )

É o elemento inverso de cada translação

( 40 )

T a r r a

( )

   

= +

T a T a T a r T a T a r a

( ) ( )



₁



₂

 

₃



₁

  

_{2 3}

T a r a

  

_{1 2}





( )

=

( ) ( )

(

+

)

=

( )

(

+ ++

)

=

(

+ + +

)

=



  





a

r a a a

T

3 1 2 3

( ) ( ) ( )

aa T a T a r

₁

_



₂



₃

_



T

( )

  

0

r r

=

T a r r a

T a T a r r

−

( )

= −

( )

( )

−

=

   



  

Representações Irredutíveis:

o Produto Vetorial de dois Vetores

Um produto de

N

matrizes da forma:

( 41 )

constitui uma representação do grupo

SO(3)

de dimensão

3

N_{. Para}

_{N > 1}

_{, essas representações}

são redutíveis. É possível decompor uma representação redutível em uma soma direta de repre-sentações irredutíveis de dimensão menor do que

3

N_{. Isto é, podemos escrever formalmente:}

( 42 )

O produto direto de duas matrizes pode ser decomposto em duas representações irredutíveis de dimensões 6 e 3. Formalmente, escrevemos:

( 43 )

Um exemplo de representação irredutível do grupo de rotações é dado pelo produto vetorial de dois vetores. Lembramos primeiramente que o produto das componentes de dois vetores quaisquer se transforma como um tensor de posto 2. Podemos assim definir o tensor

( 44 )

Sob uma rotação, tal tensor se transforma, como:

( 45 ) Ou seja, ( 46 ) R R⊗ ⊗ ⊗.... R R R⊗ ⊗ ⊗ =.... R R1⊕R2⊕ ⊕.... R_n R R R⊗ = ₆⊕R₃

T

_ij

≡ A

_i

B

_j Tij→ ′ =Tij R R A Bil jk l k =R A B Ril l k tkj =R A B Ril l k −1kj

T → T′ = RTR

−1

Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra parte antissimétrica:

( 47 )

No caso em análise, as componentes simétrica e antissimétrica são:

( 48 )

A matriz antissimétrica tem componentes, a menos do fator meio, dadas por:

( 49 )

A matriz antissimétrica, definida em (000), tem portanto apenas três componentes. Ela se trans-forma como uma representação irredutível de dimensão 3.

A s matrizes definidas em (000) são dadas por

( 50 )

Elas são conhecidas como matrizes geradoras das transformações. Definimos as matrizes geradoras de rotações em torno do

i

-ésimo eixo, representadas por

M

_i, como aquelas cujos elementos de matriz são dados pela expressão geral:

( 51 )

Em que

ε

ijk _{é o tensor antissimétrico de Levi-Civita.}

Em termos do tensor de Levi-Civita, o produto vetorial de dois vetores

( 52 )

As componentes do vetor resultante se escrevem como

( 53 )

2T = T

S

₊

_T

A T A B B A T T A B B A T s ij i j i j sji A ij i j i j Aji ≡

(

+

)

= ≡

(

−

)

= − T C C C C C C C M C M C M A z y x = − − −          = + + 0 0 0 3 2 3 1 2 1 3 2 1 MZ = − y           = −           0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , M , Mx= −           0 0 0 0 0 1 0 1 0

M

_{i jk} ijk

( )

= ε

   C A B≡ × C A B C A B i ijk j k i ijk j k ≡ ≡ ε ε

Assim, o produto vetorial de dois vetores é uma grandeza física obtida como produto de compo-nentes de vetores, que se transforma, por sua antissimetria, como uma representação do grupo de rotações de dimensão 3. Ou seja, transforma-se como um vetor.

Rotação em torno de um eixo

Consideremos o caso de uma rotação em torno do eixo

z

. No caso de uma rotação contrária ao sentido dos ponteiros do relógio, a matriz de rotação é dada por:

( 54 )

Uma rotação no sentido dos ponteiros do relógio é dada por

( 55 )

trocar gama por

θ

Daí infere-se que as coordenadas em um e outro sistemas de referência se relacionam de acordo com a seguinte relação:

( 56 )

Uma grandeza vetorial qualquer é tal que suas componentes se relacionam por meio das expressões:

( 57 ) Ou mais explicitamente: ( 58 )

R

sen

sen

z

( )

cos

cos

θ

θ

θ

θ

θ

=

−





















0

0

0

0

1

R

sen

sen

z

( )

cos

cos

− = −





















θ

θ

θ

θ

θ

0

0

0

0

1

r

=

R

z

( )

θ

r

′





F

=

R

z

( )

θ

F

′

x

y

z

sen

sen

x

y

z





















=

−





















′

′

′













cos

cos

θ

θ

θ

θ

0

0

0

0

1

_







′

′

′





















= −





















x

y

z

sen

sen

cos

cos

θ

θ

θ

θ

0

0

0

0

1

xx

y

z





















Figura 6

Enquanto que as matrizes de rotação em torno dos eixos

x

e

y

para rotações contrárias ao pon-teiro dos relógios são dadas, respectivamente, por

( 59 )

e

( 60 )

Matrizes de Rotação em termos

de Matrizes Geradoras

Uma rotação em torno de qualquer um dos eixos pode ser escrita como

( 61 )

As matrizes geradoras são tais que seus elementos de matriz são dados por:

( 62 )

O que pode ser demonstrado a partir das propriedades das matrizes geradoras, tais como:

( 63 )

Bem como da expansão análoga à expansão de Taylor:

( 64 )

R

sen

sen

x

θ

θ

θ

θ

θ

( )

=

−





















1

0

0

0

0

cos

cos

R

sen

sen

y

θ

θ

θ

θ

θ

( )

=

−





















cos

cos

0

0

1

0

0

R

x

( )

θ

e

i Mθ x

,

R

y

( )

θ

e

i My

,

R

z

( )

θ

e

i Mz θ θ

=

=

=

M

_{i jk} ijk

( )

=

ε

MZ Mz

( )

= −          

( )

         2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 , 4 =  M

( )

Z = −

( )

MZ 3

e

i M

i

M

i

M

M

_i

i M z z z z z θ

_{= +}

_θ

₊

( )

_θ

₊

( )

_θ

₊

= +

1

1

2

1

3

1

2

2 ₂ 3 ₃ 2

!

!

...

!



_

( )

θθ

+

θ

θ









+

+

( )

+













2

1

3

3

...

!

....

M i

z

i

As matrizes geradoras são dadas, formalmente, pelas expressões:

( 65 )

Rotação mais geral

Uma rotação, a mais geral possível, pode ser parametrizada em termos de três ângulos, deno-minados ângulos de Euler. Para o entendimento de tais ângulos, consideremos dois sistemas dife-rindo entre si por uma rotação pura. Ou seja, as origens dos dois sistemas cartesianos coincidem.

Consideremos agora esses sistemas de eixos cartesianos rotacionados da forma mais geral possível. Denotaremos os eixos do primeiro sistema cartesiano com as letras (

x

,

y

,

z

), ao passo que os eixos do segundo sistema será denotado por (

x′

,

y′

,

z′

) (vide Figura 000).

M

dR

d

M

dR

d

M

dR

x x jk y y jk z z

= 







_



=

=













=

=

= =

( )

( )

(

θ

θ

ε

θ

θ

ε

θ

θ θ 0 1 0 2

))

d

_θ

ε

jk θ









_



=

=0 3

Figura 7: Dois sistemas.

Nessas circunstâncias, e como pode ser observado na Figura 000, o plano

z−y

, associado ao

sistema antes da rotação, cruza com aquele depois da rotação, o plano que denominamos

x′−y′

, ao longo de um eixo conhecido como linha nodal.

Um dos ângulos de Euler, representado pela letra

θ

, é formado pelos eixos

z

e

z′

. Esse é o ângulo mais fácil de ser reconhecido. Para identificar os outros dois, devemos considerar a linha nodal.

Note-se que o plano

x′ y′

perfura o plano

xy

, determinando um segmento de reta: a linha nodal, mencionada anteriormente. Seu papel é muito importante, uma vez que dois ângulos de Euler são definidos tomando-se essa linha como referência. Assim, os ângulos de Euler, aqui representados pelas letras

ϕ

e

ψ

, são definidos como os ângulos entre os eixos e

x

e

x′

, respectivamente, com a linha nodal.

Figura 9 Figura 10

Figura 11

O fato é que podemos fazer os três eixos coincidirem, fazendo uma rotação em torno do eixo

z

por um ângulo

ϕ

; em seguida, uma rotação do ângulo

θ

em torno da linha nodal; e, finalmente, uma rotação de um ângulo

ψ

em torno do eixo

z′

.

Para fazê-los coincidir, o ângulo

ϕ

deve ser formado pela linha nodal e o eixo

x

. Este é o primeiro dos ângulos de Euler, já referidos. Ao efetuarmos essa primeira rotação, os eixos (

x

,

y

,

z

) serão transformados em novos eixos, designados por (

x″

,

y″

,

z″

).

Em seguida, efetuamos uma rotação em torno da linha nodal por um ângulo

θ

, outro ângulo de Euler. Ao efetuarmos essa primeira rotação, os eixos (

x

,

y

,

z

) serão agora transformados em novos eixos, designados por (

x′′′

,

y′′′

,

z′′′

). Como a linha nodal é perpendicular tanto a

z

quanto a

z′

, podemos, por meio dessa rotação, fazer os eixos

z

e

z′

coincidirem. Essa coincidência se expressa como:

( 66 )

Finalmente, efetuamos uma rotação do sistema (

x′′′

,

y′′′

,

z′′′

), de tal forma que ele coincida com o sistema (

x′

,

y′

,

z′

). Para isso, basta efetuar um rotação em torno do eixo

z′

, de modo que a linha nodal coincida com o eixo

x′

. O ângulo de rotação agora é o terceiro ângulo de Euler, designado pela letra

ψ

.

Podemos fazer os dois sistemas coincidirem por meio de 3 (três) rotações sucessivas. Cada rotação será caracterizada por um ângulo diferente.

A primeira rotação de um ângulo

ϕ

será em torno do eixo

z

. Essa rotação faz com que o eixo

x

coincida com a linha nodal. Temos, portanto, que as coordenadas desse sistema se relacionam com as anteriores da seguinte forma:

( 67 )

Portanto, o versor perpendicular ao plano de rotação será perpendicular ao plano

x−y

, dado por:

( 68 )

′′′ = ′

z

z

x

y

z

sen

sen

x

y

z





















=

−





















′′

′′

′′







cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0

0

0

0

1















⇒

′′

′′

′′





















= −















x

y

z

sen

sen

cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0

0

0

0

1



























x

y

z

 

k

= ∇

z

Assim, nessa primeira rotação, somos levados a um segundo conjunto de eixos, designados por duas linhas. Na notação anterior, temos que

( 69 )

Em seguida, fazemos uma rotação em torno da linha nodal de um ângulo

θ

. A linha nodal agora é o eixo

x″

. Para uma rotação em torno desse eixo, temos, em primeiro lugar, que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado por:

( 70 )

De acordo com (000), esse versor é dado por:

( 71 )

Ao efetuarmos a segunda rotação em torno do eixo

x″

, podemos escrever:

( 72 )

Daí infere-se que a relação entre as coordenadas será dada por:

( 73 )

Em que

R

_x

(θ)

é dado por:

( 74 )

Consequentemente, podemos escrever:

( 75 )





r

=

R

z

( )

ϕ

r

′′

Figura 13



_{′′ = ∇ ′′}



₍

₎

i

x x y z

, ,



_{′′ =}





+

i

cosϕ

i sen j

ϕ



_{′′ =}



_′′′

r

R

x

( )

θ

r



_{′′′ =}

₋



_′′

r

R

x

( )

θ

r

R

x

θ

θ

θ

θ

θ

( )

=

−





















1

0

0

0

0

cos

sin

sin

cos

Figura 14







r

=

R

z

( )

ϕ

r

′′ =

R

z

( ) ( )

ϕ

R

x

θ

r

′′′

Finalmente, quando efetuamos a última rotação em torno do eixo

z′

, de um ângulo

ψ

, obtemos

( 76 )

Ou, de maneira equivalente:

( 77 )

Obtemos finalmente que

( 78 )

Portanto, a matriz de rotação mais geral é dada pelo produto

( 79 )

A relação inversa é:

( 80 )

Lembrando que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das matrizes transpostas, mas na ordem inversa, isto é:

( 81 )

Pode-se facilmente verificar que a matriz transposta é a matriz inversa na rotação:

( 82 )

Observe-se que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado, nesse caso, por:

( 83 )



_{′′′ =}



_′

r

R

z

( )

ϕ

r



_{′ =}

₋



_′′

r

R

z

( )

ϕ

r





r

=

R

z

( ) ( ) ( )

ψ

R

x

θ

R

z

ϕ

r

′

R

(

ψ θ ϕ

, ,

)

=

R

z

( ) ( ) ( )

ψ

R

x

θ

R

z

ϕ



_{′ =}

₋

₋

₋



r

R

z

( ) ( ) ( )

ϕ

R

x

θ

R

z

ψ

r

R

T

R

R

R

R

R

R

zT xT zT z x z

ψ θ ϕ

, ,

( )

ϕ

( )

θ

( )

ψ

( ) ( ) ( )

ϕ

θ

ψ

(

)

=

=

−

−

−

R

T

(

_{ψ θ ϕ}

_{, ,}

) (

R

_{ψ θ ϕ}

_{, ,}

)

₌

R

−1

(

_{ψ θ ϕ}

_{, ,}

) (

R

_{ψ θ ϕ}

_{, ,}

)

₌

₁

Figura 15

 

_{′ = ∇ ′}

₍

₎

k

z x y z

, ,

De acordo com (000), esse versor pode ser escrito em temos dos versores da base inicial, como: ( 84 ) Lembrando que ( 85 ) Obtemos: ( 86 )

De (000) e (000), segue que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado por:

( 87 )

 

_{′ = ∇ ′}

₍

₎

k

z x y z

, ,

Figura 16



_{′′′ =}

₋

₋



r

R

x

( ) ( )

θ

R

z

ϕ

r

′′′

′′′

′′′ ≡ ′





















=

₋





















x

y

z

z

1

0

0

0

0

cos

cos

θ

θ

θ

θ

sen

sen

ccos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

sen

sen

0

0

0

0

1

−









































x

y

z









′ =

−

+

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Créditos de produção deste ebook.

Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,

Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.