Descreva os conjuntos a seguir, enumerando seus elementos. b) P = {x é um número natural par maior que 8 e menor que 31}

(1)

Teoria dos conjuntos

Conceitos iniciais

A noção de conjunto

Texto retirado de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013. Pág. 14 e de de NETO, Aref Antar; LAPA, Nilton; SAMPAIO, José Luiz Pereira; CAVALLANTTE, Sidney Luiz. Conjuntos e funções - Col. Noções de Matemática: Vol.1. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 1979. Pág. 43. Adaptado.

A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos.

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Veja alguns exemplos.

Exemplo 1) Conjunto das cores primárias: C = {Azul, Vermelho, Amarelo}.

Exemplo 2) Conjunto das unidades federativas da região Sudeste do Brasil: S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito Santo}.

Exemplo 3) Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 13. Adaptado.

Descreva os conjuntos a seguir, enumerando seus elementos. a) V = {x é vogal da palavra ESTACIONAMENTO}

b) P = {x é um número natural par maior que 8 e menor que 31}

Os objetos que formam este conjunto são chamados de elementos do conjunto. Um objeto qualquer a pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:

• a pertence a A e escrevemos a Î A. Caso contrário, dizemos que:

• a não pertence a A e escrevemos a Ï A. Nos exemplos 1, 2 e 3, temos, respectivamente: • Azul Î C e Verde Ï C;

• Minas Gerais Î S e Paraná Ï S; • 2 Î N e 0,5 Ï N.

Pode acontecer ainda que os elementos de um conjunto também sejam conjuntos. Consideremos o conjunto:

B = {{3, 4}, {5, 6, 7}, {8}}.

Neste caso o conjunto B tem 3 elementos, que são os conjuntos: {3, 4} {5, 6, 7} {8}

Portanto, podemos escrever:

(2)

Mas não podemos escrever:

3 Î B 8 Î B

Agora é a sua vez!

Texto de autoria própria.

Dado o conjunto D = {2, {7}, 22, {61}, fevereiro, {amarelo}, amor, ©}, complete as sentenças utilizando os símbolos Î e Ï. a) 2 _____ D b) 7 _____ D c) {22} _____ D d) {61} _____ D e) abril _____ D f) amarelo _____ D g) fevereiro _____ D h) {✭} _____ D i) © _____ D j) amor _____ D

Representações de um conjunto

Um conjunto pode ser representado de várias maneiras. Geralmente indicamos os conjuntos utilizando letras maiúsculas (A, B, C, D, ...) e adotamos letras minúsculas para representar seus elementos (a, b, c, d, ...).

Há outras formas de representação de um conjunto. Por exemplo, podemos representar o conjunto A, formado pelas vogais do nosso alfabeto, das seguintes maneiras:

• Os elementos do conjunto são colocados entre chaves, separados por vírgula. A = {a, e, i, o, u}.

• Os elementos do conjunto são representados por uma ou mais propriedades que os caracterize.

A = {x | x é vogal do nosso alfabeto}

• Os elementos do conjunto são representados por meio de um esquema denominado diagrama de Venn.

Dica da Vivi!

• No caso de os elementos do conjunto serem números decimais, use ponto e vírgula para separá-los. Assim você não confunde os separadores com a vírgula que separa as casas decimais de cada número.

Exemplo 4) D = {0,1; 0,2; 0,3}.

(3)

Agora é a sua vez!

Faça o que se pede:

a) Represente utilizando um diagrama de Venn o conjunto (J) dos meses do ano que começam com a letra J.

b) Represente utilizando chaves o conjunto (I) dos números naturais ímpares entre 120 e 130.

c) Represente por meio de uma propriedade o conjunto E = {verão, outono, inverno, primavera}.

Tipos de conjuntos

Quanto ao número de elementos, os conjuntos podem ser classificados como finitos ou infinitos.

Um conjunto é finito quando tem um número determinado de elementos. Por exemplo, o conjunto A das vogais de nosso alfabeto:

A = {a, e, i, o, u}

Utilizamos a notação n(A) para indicar o número de elementos do conjunto A. Nesse exemplo, temos n(A) = 5.

Um conjunto é infinito quando não é finito, ou seja, quando não é possível a contagem de todos os seus elementos. Por exemplo, o conjunto I de todos os números naturais ímpares:

I = {1, 3, 5, 7, 9, ...}

Embora conjunto passe uma ideia de coleção, existem dois conjuntos muito especiais para a Matemática que não correspondem a essa noção: o conjunto unitário e o conjunto vazio.

Um conjunto é unitário quando é formado por um único elemento. Por exemplo: H = {x | x é um número natural maior que 6 e menor que 8}

Como só existe um número natural maior do que 6 e menor do que 8, temos que H = {7}. Logo, H é um conjunto unitário.

O conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Ele é representado por { } ou Æ. Por exemplo:

V = {x | x é um número natural menor que zero} = Æ

As reticências antes ou depois de todos os elementos indicam que o conjunto é infinito.

(4)

Outro conjunto que possui características próprias e que recebe uma denominação especial é o conjunto universo, geralmente indicado por U, e representado nos diagramas por um retângulo.

Chamamos de conjunto universo o conjunto mais amplo que pode ser considerado em determinada situação, ou seja, aquele ao qual pertencem todos os elementos relacionados ao estudo. Mesmo que não expresso, é importante que fique bem estabelecido o conjunto universo em cada situação. Por exemplo, imagine o conjunto E tal que:

E = {x | x é antecessor de zero}

E = { } se o conjunto universo considerado for o dos números naturais, uma vez que, 0 – 1 não é uma operação definida neste conjunto, ou seja, não existe um número natural que seja antecessor de zero. Contudo, se o conjunto universo considerado for o dos números inteiros (sobre o qual aprenderemos mais posteriormente), E = {-1}, uma vez que 0 – 1 é uma operação definida neste conjunto e que resulta em -1.

Igualdade de conjuntos

Texto retirado de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 12 e de de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 11. Adaptado.

Dois conjuntos A e B são iguais quando eles têm os mesmos elementos. Indicamos essa igualdade por A = B.

Observe alguns exemplos.

Exemplo 5) Os conjuntos L = {vogais da palavra LIVRO} e B = {I, O} têm os mesmos elementos.

Assim, os conjuntos L e B são iguais, ou seja, L = B.

Exemplo 6) Os conjuntos X = {1, 2, 3} e W = {2, 3, 1} têm os mesmos elementos, mesmo que estes estejam dispostos em uma ordem diferente. A ordem em que os elementos estão dispostos em um conjunto não o diferencia. Assim, os conjuntos X e W são iguais, ou seja, X = W.

Exemplo 7) Os conjuntos P = {1, 5, 6} e Q = {1, 5, 6, 5} têm os mesmos elementos, mesmo que o número 5 tenha aparecido duas vezes em Q. Elementos repetidos não diferenciam um conjunto de outro. Assim, P e Q são iguais, ou seja, P = Q.

De maneira semelhante, dois conjuntos C e D são diferentes, ou seja, não são iguais, quando

algum elemento de um dos conjuntos não é elemento do outro. Indicamos essa desigualdade por C ¹ D.

Veja um exemplo.

Exemplo 8) Os conjuntos M = {1, 3, 5, 7, 9} e O = {1, 2, 3, 5, 7, 9} são diferentes pois 2 Î O e

2 Ï M.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 14.

Sejam a e b números naturais, determine o valor de a + b, tal que {0, 1, 2} = {2, a, b}.

Dica da Vivi!

Texto retirado de HAMMACK, Richard Heath. Book of Proof. 2ª edição. Richmond: Virginia Commonwealth University, 2013. Tradução nossa. Pág. 04. Adaptado.

• Seja cuidadoso ao representar o conjunto vazio. Não escreva {Æ} quando você quiser dizer Æ. Æ, como dissemos, representa um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não tem elementos; já {Æ} representa um conjunto que possui um elemento: o conjunto vazio. Se isso te parecer confuso, pense que um conjunto é uma caixa com coisas dentro; nesta analogia, o conjunto vazio Æ ou { } é uma caixa vazia, já {Æ} é uma caixa contendo dentro de si outra caixa, esta, vazia. Então {Æ} ¹ Æ.

(5)

Subconjuntos

Considerando os conjuntos A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, observamos que todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Nesse caso, dizemos que A é subconjunto de B. Veja abaixo como estes conjuntos podem ser representados através de diagramas de Venn.

De maneira geral, temos:

Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B, quando qualquer elemento de A também pertence a B.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 13.

Verifique se A = {0, 3, 5} é subconjunto de B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Quando um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, temos uma relação de inclusão e dizemos que A está contido em B ou, ainda que A é parte de B. Podemos dizer também que B contém A. Indica-se:

A Ì B (lê-se: “A está contido em B ou A é parte de B”)

B É A (lê-se: “B contém A”)

Veja alguns exemplos.

Exemplo 9) Sendo J = {1, 2} e K = {0, 1, 2, 3}, têm-se J Ì K.

Exemplo 10) {3, 4, 5} Ì {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplo 11) {4, 5, 6} Ì {4, 5, 6}.

Exemplo 12) {8} Ì {2, 4, 6, 8}.

Este símbolo significa está contido.

Este símbolo significa contém.

Observações

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 12.

• A relação de pertinência (x Î A) é entre elemento e conjunto, enquanto a relação de inclusão (A Ì B) é entre dois conjuntos.

• Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B ou que B não contém A.

• O símbolo Ë significa não está contido. • O símbolo ⊅ significa não contém.

• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja Æ Ì A, qualquer que seja o conjunto A.

(6)

Agora é a sua vez!

Observe o diagrama:

Classifique as alternativas em Verdadeiro (V) ou Falso (F). 19 E Ë F _____ 20 F É E _____ 21 H Ì F _____ 22 E É H _____ 23 F Ë H _____ 24 H Ì E _____

Propriedades da relação de inclusão

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 12 e de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013. Pág. 26. Adaptado.

É possível demonstrar que são válidas as seguintes propriedades para a relação de inclusão entre conjuntos:

1ª) Propriedade reflexiva

A Ì A, para qualquer A, ou seja, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

2ª) Propriedade antissimétrica Se A Ì B e B Ì A, então A = B.

Esta propriedade é utilizada quando se quer provas que dois conjuntos são iguais. Para provar que A = B, basta provar que A Ì B (todo elemento de A pertence a B) e que B Ì A (todo elemento de B pertence a A)

3ª) Propriedade transitiva

Se A Ì B e B Ì C, então A Ì C.

A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. Na lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocínio chamada silogismo. Veja o exemplo.

Exemplo 13) Seja P o conjunto dos paulistas, B o conjunto dos brasileiros e S o conjunto dos sul-americanos.

Todo paulista é brasileiro. Todo brasileiro é sul-americano. Então, todo paulista é sul-americano. Se P Ì B e B Ì S, então P Ì S.

(7)

Agora é a sua vez!

Texto de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 14. Adaptado. Observe o diagrama:

Seja I um conjunto de pessoas que falam inglês, F um conjunto de pessoas que falam francês e E um conjunto de pessoas que falam espanhol, qual das frases a seguir poder representada pelo diagrama?

A_{Em um congresso, todos os palestrantes que falam francês também falam inglês e} espanhol.

B_{Em uma escola, os alunos podem optar por aprender um único idioma: francês, inglês ou} espanhol.

C_{Em uma empresa, todo funcionário que fala francês fala inglês, e alguns que falam} espanhol também falam inglês.

D_{Em uma entrevista de emprego, todos os candidatos que falam espanhol sabem falar ou} inglês ou francês.

Conjuntos das partes de um conjunto

Texto retirado de NETO, Aref Antar; LAPA, Nilton; SAMPAIO, José Luiz Pereira; CAVALLANTTE, Sidney Luiz. Conjuntos e funções - Col. Noções de Matemática:

Vol.1. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 1979. Pág. 43. Adaptado.

Consideremos um conjunto finito A.

Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. O conjunto das partes de A é representado por P(A).

Por exemplo, seja A = {2, 5}. Os subconjuntos de A são: {2} {5} {2, 5} Æ Portanto:

P(A) = {{2}, {5}, {2, 5}, Æ}

Seja A um conjunto finito que possui n elementos. Pode-se demonstrar que o número de elementos de P(A) é igual a:

2 . 2 . 2 . 2 . …

n vezes

Assim, no exemplo acima, o conjunto A tem 2 elementos (n = 2) e portanto P(A) tem 2 . 2 elementos, isto é, 4 elementos.

Se tomarmos o conjunto B = {4, 7, 9}, que possui 3 elementos (n = 3), podemos afirmar que P(B) tem 2 . 2 . 2 elementos, isto é, 8 elementos.

(8)

Agora é a sua vez!

Texto retirado de NETO, Aref Antar; LAPA, Nilton; SAMPAIO, José Luiz Pereira; CAVALLANTTE, Sidney Luiz. Conjuntos e funções - Col. Noções de Matemática:

Vol.1. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 1979. Pág. 44.

Seja A = {2, 3, 5}. a) Determine P(A).

b) Quantos elementos tem P(A)?

Opera

ç

ões entre conjuntos

Interseção de conjuntos

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Págs. 15 e de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Págs. 15 e 16. Adaptado.

A interseção de dois conjuntos A e B, que indicamos por A Ç B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B:

A Ç B = {x | x Î A e x Î B}

Por exemplo, dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a interseção A Ç B é formada pelos elementos que são comuns ao conjunto A e ao conjunto B. Veja:

A Ç B = {0, 2, 4} (lê-se: “A interseção com B é igual a...”)

Para visualizar a interseção entre estes conjuntos, observe os diagramas de Venn a seguir, onde a parte pintada representa A Ç B.

Observe outros exemplos.

Exemplo 13) D = {a, b, c, d, e} e E = {f, g, h, i} D Ç E = Æ

Exemplo 14) F = {a, b, c, d, e, f, g} e G = {c, d, e} F È G = {a, b, c, d, e, f, g}

(9)

Propriedades da interse

ç

ão de conjuntos

Texto retirado de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 16. Adaptado.

Na interseção de conjuntos, podemos destacar algumas propriedades, para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C. 1ª) Elemento neutro A Ç U = A 2ª) Propriedade idempotente A Ç A = A 3ª) Propriedade comutativa A Ç B = B Ç A 4ª) Propriedade associativa (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

5ª) Se A Ì B, então A Ç B = A. Da mesma maneira, se A Ç B = A, então A Ì B.

União de conjuntos

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 15 e de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 15. Adaptado.

A união ou reunião de dois conjuntos A e B, que indicamos por A È B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B:

A È B = {x | x Î A ou x Î B}

Por exemplo, dados os conjuntos A = {0 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a união A È B é formada pelos elementos que pertencem a A e os elementos que pertencem a B, isto é:

A È B = {0, 1, 2, 3, 4, 6} (lê-se: “A união com B ou A reunião B é igual a...”)

Para visualizar a união entre estes conjuntos, observe os diagramas de Venn a seguir, onde a parte pintada representa A È B.

Veja outros exemplos.

Exemplo 15) D = {3, 6, 9, 12, 15} e E = {2, 7, 11, 13} D È E = {2, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15}

Este símbolo significa união ou reunião.

Observações

Texto retirado de LONGEN, Adilson. Matemática: padrões e relações - 1º ano. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2016. Pág. 35 e de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 15.

• Quando utilizamos o conectivo “e” entre duas sentenças, como na definição de interseção dada (x Î A e x Î B), significa que as duas condições devem ser obedecidas.

• Se os conjuntos A e B não possuem elementos comuns (A Ç B = Æ), dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

(10)

Exemplo 16) F = {a, b, c, d, e, f, g} e G = {c, d, e} F È G = {a, b, c, d, e, f, g}

Propriedades da união de conjuntos

Texto retirado de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 15. Adaptado.

Na união de conjuntos, podemos destacar algumas propriedades, para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C. 1ª) Elemento neutro A È Æ = A 2ª) Propriedade idempotente A È A = A 3ª) Propriedade comutativa A È B = B È A 4ª) Propriedade associativa (A È B) È C = A È (B È C)

5ª) Se A Ì B, então A

È

B = B. Da mesma maneira, se A

È

B = B, então A

Ì

B.

Propriedades da união e da interse

ç

ão de conjuntos

Texto retirado de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 16. Em relação à união e à interseção de conjuntos, podemos destacar algumas propriedades, para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C.

1ª) Propriedade distributiva da união em relação à interseção A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

2ª) Propriedade distributiva da interseção em relação à união A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

3ª) A È (A Ç B) = A Ç (A È B) = A

Observações

Texto retirado de LONGEN, Adilson. Matemática: padrões e relações - 1º ano. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2016. Pág. 34.

• Quando empregamos “ou” na linguagem usual, normalmente o fazemos no sentido de exclusão. Se, como exemplo, falamos “neste final de semana vou viajar para a praia ou para a montanha”, uma das possibilidades será excluída. Quando escrevemos “x Î A ou x Î B” significa que x é um elemento de A ou x é um elemento de B ou ainda que x é um elemento tanto de A quanto de B.

(11)

Agora é a sua vez!

Texto retirado de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 19. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 4, 5} e C = {5, 6, 7, 8}, determine: a) A È B = _____________________ b) A È C = _____________________ c) B È C = _____________________ d) A Ç B = _____________________ e) A Ç C = _____________________ f) B Ç C = _____________________ g) (A È B) Ç C = ________________ h) (A Ç C) È B = ________________

Número de elementos da união de dois conjuntos

Texto retirado de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 16.

Sendo A e B dois conjuntos finitos, o número de elementos do conjunto A

È

B, que indicamos por n(A

È

B), é dado pela seguinte relação:

n(A

È

B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)

Por exemplo, dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, ao adicionarmos o número de elementos de A ao número de elementos de B, o número de elementos de A Ç B é contado duas vezes. É por isso que subtraímos n(A Ç B). Assim:

n(A È B) = 4 + 5 – 3 ® n(A È B) = 6

Observações

• Quando dois conjuntos A e B são disjuntos, ou seja, A Ç B = Æ, temos que n(A Ç B) = 0 e, dessa forma:

n(A È B) = n(A) + n(B)

• Para a união de três conjuntos, A, B e C, a relação que permite calcular o número de elementos é:

(12)

Agora é a sua vez!

Texto retirado de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013. Pág. 32.

Em uma sala de aula 10 alunos gostam de Matemática, 16 gostam de Arte, 5 gostam das duas disciplinas e 8 não responderam. Quantos alunos há nessa sala?

Complementar de um conjunto

Texto retirado de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013. Pág. 26. Adaptado.

Dado o universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A = {1, 3, 5, 7}, A Ì U, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0, 2, 4, 6, 8, 9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

De modo geral, dado um conjunto A, subconjunto de um universo U, chama-se complementar de A em relação a U, o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A; indica-se CUA

ou AC ou A (lê-se: “complementar de A em relação a U”). Logo, AC = {x | x Î U e x Ï A}.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013. Pág. 27.

Dados U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {2, 4}, determine: a) CUA = _______________________

b) CUB = _______________________

c) CUC = _______________________

(13)

Propriedades do complementar

Texto retirado de DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013. Pág. 27 e de SOUZA, Joamir Roberto e de LONGEN, Adilson. Matemática: padrões e relações - 1º ano. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2016. Pág. 38. Adaptado.

É possível demonstrar a validade das seguintes propriedades:

1ª) (AC)C = A para todo A Ì U, ou seja, o completar do complementar de um conjunto A é o próprio conjunto A.

2ª) Se A Ì B, então BC Ì AC, ou seja, se um conjunto está contido em outro, seu complemento contém esse outro.

Escrevendo de outra forma, temos: A Ì B Þ BC Ì AC.

De 1ª) e da 2ª), conclui-se que:

3ª) A Ì B Û BC Ì AC.

Essa propriedade na Lógica, é conhecida como contrapositiva, sendo importante para deduções.

Observe o exemplo:

Exemplo 17)

Premissa I: Uma pessoa é nascida em Pernambuco (P). Premissa II: Uma pessoa é brasileira (B).

Conclusão: Por silogismo, uma pessoa nascida em Pernambuco é brasileira: P Ì B. Esse exemplo pode ser indicado no diagrama de Venn:

Observe, agora, as negações dessas premissas:

Premissa III (negação da premissa I): Uma pessoa não é nascida em Pernambuco (PC). Premissa IV (negação da premissa II): Uma pessoa não é brasileira (BC).

Conclusão: Por silogismo, uma pessoa que não é brasileira não é nascida em Pernambuco. (PCÌ BC)

Dizemos que as duas conclusões acima são equivalentes, ou seja, são duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de RIBEIRO, Paulo Vinicius; PAULO, Luiz; REIS, Frederico. Matemática – Coleção Estudo: Vol. 1 . Belo Horizonte: Editoria Bernoulli, 2012. (Apostila). Pág. 08.

(CEFET/MG 2008) Considere as afirmativas:

I. “Se Paulo é médico, então Artur não é professor”. II. “Se Paulo não é médico, então Bruno é engenheiro”. Sabendo-se que Artur é professor, pode-se concluir, corretamente, que: A_{Paulo é médico.}

B_{Bruno é engenheiro.}

C_{Artur é professor e Paulo é médico.}

D_{Paulo é médico ou Bruno não é engenheiro.} E_{Artur é professor e Bruno não é engenheiro.}

(14)

Existem ainda outras duas propriedades do complementar conhecidas como leis de Morgan:

4ª) (A È B)C = AC Ç BC

O complementar da união de dois conjuntos é igual à interseção dos complementares desses conjuntos.

5ª) (A Ç B)C = AC È BC

O complementar da interseção de dois conjuntos é igual à união dos complementares desses conjuntos.

Diferença de conjuntos

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 16 e de SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 17. Adaptado.

A diferença de dois conjuntos A e B, que indicamos por A - B, nessa ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B:

A – B = {x | x Î A e x Ï B}

Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, a diferença A – B é formada por todos os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.

A – B = {1, 3, 5} (lê-se: “A menos B é igual a...”)

Para visualizar a diferença entre estes conjuntos, observe os diagramas de Venn a seguir, onde a parte pintada representa A – B.

Veja outro exemplo.

Exemplo 18) D = {3, 6, 9, 12} e E = {2, 7, 11, 13} D – E = {3, 6, 9, 12}

E – D = {2, 7, 11, 13}

Se B Ì A, a diferença A – B será o complementar de B em relação a A e pode ser indicada por:

A – B = CAB

Por exemplo, se B = {2, 3} e A ={0, 1, 2, 3, 4}, o complementar de B em relação a A é o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A, ou seja:

C_AB = A – B = {0, 1, 4}

(15)

Para visualizar a diferença entre estes conjuntos, observe os diagramas de Venn a seguir, onde a parte pintada representa A – B.

Observe outro exemplo.

Exemplo 19) F = {a, b, c, d, e, f, g} e G = {c, d, e} F – G = {a, b, f, g}

G – F = Æ

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016. Pág. 18. Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5}, determine: a) A – B = _____________________ b) A – C = _____________________ c) B – C = _____________________ d) (A Ç B) – C = _________________ e) (A – C) Ç (B – C) = ____________ f) A – Æ = _____________________

Como resolver problemas que envolvem operações com conjuntos?

Texto retirado de LONGEN, Adilson. Matemática: padrões e relações - 1º ano. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2016. Págs.25, 39 e 40. Adaptado.

Utilizando as operações com conjuntos, podemos resolver diversos problemas, como os apresentados nos exemplos a seguir.

Exemplo 20) Em uma pesquisa realizada com alunos de uma escola, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem apenas “sim” ou “não”:

• Você gosta de praticar esportes? • Você gosta de assistir a filmes?

(16)

Responderam “sim” à primeira pergunta 120 alunos; responderam “sim” à segunda pergunta 85 alunos; responderam “sim” às duas perguntas 36 alunos; responderam “não” às duas perguntas 52 alunos. Quantos alunos participaram da pesquisa?

Sendo E o conjunto dos alunos que gostam de praticar esportes, F o conjunto dos alunos que gostam de praticar esportes e E Ç F o conjunto dos alunos que gostam de praticar esportes e assistir a filmes e sendo n o número de elementos de cada um destes conjuntos, temos que:

• n(E) = 120 • n(F) = 85 • n(E Ç F) = 36 Logo, sabemos que:

• n[E – (E Ç F)] = 120 – 36: alunos que só gostam de praticar esportes; • n[F – (E Ç F)] = 85 – 36 = 49: alunos que só gostam de assistir a filmes.

Dessa forma, podemos determinar o número de alunos que participaram da pesquisa, isto é: 36 + 84 + 49 + 52 = 221

Outra maneira seria utilizando a relação que permite calcular n(E È F) e acrescentar os 52 alunos que responderam “não” às duas perguntas:

n(E È F) + 52 = n(E) + n(F) – n(E Ç F) + 52 n(E È F) + 52 = 120 + 85 – 36 + 52

n(E È F) + 52 = 221

Além disso, também é possível utilizar o diagrama de Venn para resolver a questão. Inicie colocando a quantidade de elementos, conforme a seguir, na região correspondente a E Ç F.

A seguir, coloque a quantidade de elementos correspondentes a A – B e B – A e, do lado de fora dos conjuntos, indique o número de elementos que não pertencem a nenhum deles:

Assim, o número total de participantes da pesquisa é:

(120 – 36) + 36 + (85 – 36) + 52 = 84 + 36 + 49 + 52 = 221

Exemplo 21) Uma pesquisa foi encomendada entre certo número de pessoas sobre os sucos que

normalmente tomam em determinada rede de lanchonetes. Nessa pesquisa, cada pessoa podia indicar mais de um suco entre os três que eram feitos: laranja, uva e abacaxi.

O resultado está apontado no quadro:

Sucos Número de pessoas

Laranja 48 Uva 45 Abacaxi 50 Laranja e uva 18 Uva e abacaxi 25 Laranja e abacaxi 15

(17)

Sabendo-se que ao final cada pessoa escolheu pelo menos um dos sucos, qual foi o número total de pessoas entrevistas?

Precisamos determinar o número total de pessoas entrevistas. Para isso, vamos considerar L como o conjunto de pessoas que escolheram o suco de laranja, U o conjunto de pessoas que

escolheram o suco de uva, A o conjunto de pessoas que escolheram o suco de abacaxi, L Ç U Ç A o conjunto das pessoas que escolheram os três sucos e n o número de elementos de

cada um destes conjuntos. Assim, temos: • n(L) = 48

• n(U) = 45 • n(A) = 50

Vamos representar a situação por meio de um diagrama no qual indicaremos o número de elementos de cada conjunto. Iniciaremos o preenchimento desse diagrama pela interseção dos três conjuntos, ou seja, pelas pessoas que escolheram os três sucos.

Depois, determinamos os demais valores de intersecção: • n(L Ç U Ç A) = 10;

• n[(L Ç U) – (L Ç U Ç A)] = 18 – 10 = 8: pessoas que escolheram suco de laranja e de uva; • n[L Ç A] – (L Ç U Ç A)] = 15 – 10 = 5: pessoas que escolheram suco de laranja e abacaxi; • n[(U Ç A) – (L Ç U Ç A)] = 25 – 10 = 15: pessoas que escolheram suco de uva e laranja

Para completar a figura com o número de elementos que pertencem somente a cada um dos conjuntos, L, U e A, fazemos:

• Somente ao conjunto L: 48 – (8 + 10 + 5) = 25; • Somente ao conjunto U: 45 – (8 + 10 + 15) = 12; • Somente ao conjunto A: 50 – (5 + 10 + 15) = 20.

Observando as quantidades no diagrama, podemos agora calcular o número total de pessoas entrevistadas, isto é:

Número de pesquisados = 25 + 8 + 10 + 5 + 12 + 15 + 20 = 95.

(18)

A partir desse raciocínio, foi possível resolver a situação. Isso também é possível com a utilização da fórmula que dá o número de elementos da união de três conjuntos:

n(L È U È A) = n(L) + n(U) + n(A) – n(L Ç U) – n(L Ç A) – n(U Ç A) + n(L Ç U Ç A) n(L È U È A) = 48 + 45 + 50 – 18 – 15 – 25 + 10

n(L È U È A) = 95

Agora é a sua vez!

Uma academia oferece aos seus sócios três modalidades de treinamento: natação, corrida e musculação. A distribuição dos sócios dessa academia nas modalidades é de acordo com o quadro:

Modalidade Número de sócios

Natação 51 Corrida 40 Musculação 43 Natação e corrida 20 Natação e musculação 22 Corrida e musculação 16

Natação, corrida e musculação 12 Com base no quadro, responda:

a) Quantos sócios fazem duas ou mais modalidades? _______________________________ b) Quantos sócios não praticam musculação? _____________________________________ c) Quantos sócios fazem apenas corrida? ________________________________________ d) Quantos sócios há nessa academia? __________________________________________

Dica da Vivi!

• Para resolver questões que envolvem operações com conjuntos e diagramas de Venn, siga os seguintes passos:

o Identifique e nomeie os conjuntos;

o Verifique os dados que foram informados;

o Represente os conjuntos usando diagramas de Venn;

o Inicie o preenchimento dos diagramas pela interseção entre todos os conjuntos;

o Em seguida, se for o caso, calcule quantos elementos há na interseção dos conjuntos tomados dois a dois, e preencha estes espaços;

o Por fim, calcule quantos elementos há somente dentro de cada conjunto (descontadas as interseções) e preencha estes espaços.

• Tampe com os dedos o(s) conjunto(s) com os quais você não estiver trabalhando. Isso te ajudará na visualização e evitará que você se confunda na hora de desenvolver as operações necessárias.

• Ao calcular o número de elementos de cada uma das partes do diagrama, não se esqueça de subtrair do valor dado os valores que já estiverem dentro daquele conjunto.

(19)

Exercícios

Questões fáceis

1) Apresente os elementos de cada conjunto entre chaves e separados por vírgula e classifique-o em finito ou infinito.

a) S = {x é um estado brasileiro da região Sul}

b) I = {x é números natural ímpar maior que 1 320}

c) R = {x é um número romano entre XLIX e LX}

d) L = {x é uma consoante que compõe a palavra CONJUNTO}

2) Determine a lei de formação de cada conjunto.

a) b)

3) Classifique os conjuntos como vazio ou unitário, considerando que o conjunto universo é o dos números naturais:

a) A = {x | x é um número ímpar menor que 1}: ________________________________________ b) B = {x | x é um número maior que 3 e menor que 5}: __________________________________ c) C = {x | x é um número par maior que 7 e menor que 9}: _______________________________ d) D = {x | x é um número par maior que 7 e menor que 8} : _______________________________

4) Classifique cada uma das afirmativas como verdadeira (V) ou falsa (F): a) 5 Î {3, 4, 5, 7} ___________________ b) 7 Ï {3, 4, 5, 7} ___________________ c) 8 Ï {3, 4, 5, 7} ___________________ d) 10 Î {2, 4, 6, 8} __________________ e) 5 Î {5} _________________________ f) 5 = {5} _________________________ g) 0 Î {0} _________________________ h) {0} = Æ _________________________ i) 0 Î Æ __________________________ j) 7 Î Æ __________________________

(20)

5) Determine quais conjuntos são iguais.

• A = {x | x é um número natural maior que 1} • B = {x | x é um número natural negativo}

• C = {x | x é um número natural ímpar menor que 11} • D = {x | x é um número natural entre 1 e 5}

• E = {x | x é um número natural ímpar} • F = {v, i, v, i, t, e, a, j, u, d, a}

• G = { }

• H = {vermelho, azul, branco} • I = {1, 3, 5, 7, 9}

• J = {2, 3, 4, ...} • K = {2, 3, 4}

• L = {1, 3, 5, 7, 9, ...} • M = {v, i, t, e, a, j, u, d} • N = {azul, branco, vermelho}

6) Uma pessoa tem quatro opções de música para escutar: a, b, c, d. Se ela quiser ouvir apenas duas músicas diferentes por dia, quais possibilidades de pares ela tem para escolher?

7) Sendo A = {1, 2, 4, 6, 9}, classifique as afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 4 Î A __________________________ b) 4 Ì A __________________________ c) {2, 9} Î A _______________________ d) {2, 9} Ì A ______________________ e) {4} Î A _________________________ f) {4} Ì A _________________________ g) Æ Î A _________________________ h) Æ Ì A _________________________ i) {2, 5} Ì A _______________________ j) {1, 2, 7} Ë A _____________________ k) {2, 1} é subconjunto de A ___________ l) {1, 2, 4, 9, 6} é subconjunto de A _____ m) A É {2, 4, 6} _____________________ n) A ⊅ {1, 2, 3, 4} ___________________

8) Considere as seguintes sentenças:

I. Nenhum esportista é preguiçoso. II. Carlos é advogado.

(21)

Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, qual das sentenças é certamente verdadeira? A_{Todos os preguiçosos são advogados.}

B_{Algum esportista é advogado.} C_{Alguns advogados são esportistas.} D_{Carlos não é esportista.}

9) Responda:

a) Se um conjunto A tem 10 elementos, qual é o número total de subconjuntos que ele admite?

b) Qual é o conjunto A que admite apenas um subconjunto?

10) Seja A = {a, e, i, o}. a) Escreva P(A).

b) Quantos são os subconjuntos de A que contém apenas um elemento?

c) Quantos são os subconjuntos de A que contém exatamente dois elementos?

d) Quantos elementos tem P(A)?

11) Nos diagramas abaixo, sombreie, quando possível, as regiões pedidas:

(22)

c) A – B d) B – A e) CBA f) A Ç B g) CBA h) CAB i) A Ç C j) A Ç B Ç C k) A – B l) C – B m) (A È B) Ç C

(23)

n) (A Ç B) È (A Ç C) È (B Ç C) o) (B Ç C) – A p) A q) (A – B) È C 12) Dados A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {3, 4, 6}, D = {1, 5, 4, 8} e E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine: a) B È C = ________________________ b) B Ç C = ________________________ c) A È (B Ç C) = ___________________ d) (A Ç C) È D = ___________________ e) A Ç B = ________________________ f) A È C È D = _____________________ g) A Ç C Ç D = _____________________ h) A – C = ________________________ i) C – A = ________________________ j) CED = __________________________ k) C_E(B Ç D) = _______________________ l) E – (B Ç C) = ____________________

13) Sabendo que n(A) = 47, n(B) = 30 e n(A È B) = 60, determine: a) n(A Ç B)

(24)

b) n(A – B)

c) n(B – A)

14) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?

15) Foi feita uma pesquisa entre 3 600 pessoas sobre os jornais que costumam ler e o resultado foi que:

• 1 100 leem “O Diário” • 1 300 leem “O Estado” • 1 500 leem “A Folha”

• 300 leem “O Diário” e “O Estado” • 500 leem “A Folha” e “O Estado” • 400 leem “A Folha” e “O Diário”

(25)

a) Quantas pessoas leem apenas “O Diário”?

b) Quantas pessoas leem apenas “O Estado”?

c) Quantas pessoas leem apenas “O Estado” e “A Folha”?

d) Quantas pessoas não leem nenhum dos três jornais?

e) Quantas pessoas leem apenas um dos três jornais?

f) Quantas pessoas leem mais de um dos três jornais?

16) (UFFRJ) Dado o conjunto P = {{0}, 0, Æ, {Æ}}, considere as afirmativas: I. {0} Î P

II. {0} Ì P III. Æ Î P

Com relação a estas afirmativas conclui-se que: A_{Todas são verdadeiras}

B_{Apenas a I é verdadeira.} C_{Apenas a II é verdadeira.}

D_{Apenas a III é verdadeira.} E_{Todas são falsas.}

17) (UFRGS) O conjunto A é um subconjunto de B e A ¹ B, A È (B – A) é:

(26)

18) (UFC) Dos 1 150 alunos de uma escola, 654 gostam de Português, 564 gostam de Matemática e 176 não gostam de Português nem de Matemática. Sendo assim, a quantidade de alunos que gostam de Português e de Matemática é:

A₃₀₀ B₂₅₀ C₂₄₄ D₂₀₁ E₁₂₂

19) (UFMG) Em uma escola, 5 000 alunos inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B. Desses alunos, 2 825 matricularam-se na disciplina A e 1 027, na disciplina B. Por falta de condições acadêmica, 1 324 não puderam matricular-se em nenhuma das disciplinas. O número de alunos matriculados, simultaneamente, nas duas disciplinas é:

A₁₅₆ B₁₇₆ C₂₉₇ D_{1 027} E_{1 798}

20) (ENEM 2004) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.

Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum;

(27)

estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a

montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

A₁₃₅ B₁₂₆ C₁₁₈ D₁₁₄ E₁₁₀

21) (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que C – (A È B) = {6, 7} e C Ç (A È B) = {4, 5}, então C é igual a: A_{{4, 5}} B_{{6, 7}} C_{{4, 5, 6}} D_{{5, 6, 7}} E_{{4, 5, 6, 7}}

Questões médias

22) (UFFRJ) Os conjuntos S, T e P são tais que todo elemento de S é elemento de T ou P. O diagrama que pode representar esses conjuntos é:

A

B

C

D

(28)

23) (UFPE) Considere o seguinte diagrama de Venn, que representa graficamente os conjuntos A, B e C, em que U representa o universo.

Assinale, entre as alternativas a seguir, o conjunto que é representado pela área pintada no diagrama, em que a barra (___) representa o complementar do conjunto em relação a U.

A_{A Ç B Ç C} B_{A Ç B Ç C}

C_{A È B È C} D_{A Ç B Ç C}

E_{A È B È C}

24) (FGV/SP) Simplificando a expressão X Ç Y È X Ç Y , teremos: A_Universo

B_Vazio

C_{X Ç Y} D_{X Ç Y}

E_{X Ç Y}

25) (UFU) Chamando de U o conjunto formado por todas as pessoas que moram em Uberlândia, de A o subconjunto de U formado pelas pessoas do sexo masculino e de B o subconjunto de U formado pelas pessoas que nasceram em Uberlândia, então duas maneiras equivalentes de representar o conjunto de pessoas do sexo feminino que moram em Uberlândia, mas que nasceram em outra cidade são:

Observação: Para todo subconjunto C de U, CC = {x Î U : x Ï C}. A_AC_{È B}C_{e (A È B)}C

B_AC_{È B}C_{e (A Ç B)}C

C_AC_{Ç B}C_{e (A Ç B)}C D_AC_{Ç B}C_{e (A È B)}C

(29)

26) (UFU) O número de conjuntos distintos, os quais contêm o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e estão contidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} é igual a:

A₁₆ B₃₂ C₆₄ D₁₂₈

Questões difíceis

27) (UFC) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M È N é:

A_{O triplo do número de elementos de M} B_{O triplo do número de elementos de N} C_{O quádruplo do número de elementos de M} D_{O dobro do número de elementos de M} E_{O dobro do número de elementos de N}

(30)

Gabarito

Agora é a sua vez!

Pág. 01 a) V = {a, e, i, o} b) P = {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30} Pág. 02 a) Î b) Ï c) Ï d) Î e) Ï f) Ï g) Î h) Ï i) Î j) Î Pág. 03 a) b) I = {121, 123, 125, 127, 129}

c) E = {x | x é uma estação do ano}

Pág. 04 1 Pág. 05 A não é subconjunto de B. Pág. 06 a) V b) F c) F d) V e) V f) V Pág. 07 C Pág. 08 a) P(A) = {{2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}, Æ} b) 8 elementos Pág. 11 a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} c) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} d) {1, 4} e) Æ f) {5} g) {5} h) {1, 3, 4, 5} Pág. 12 29 alunos Pág. 12 a) {1, 3, 5, 7, 9} b) {0, 2, 4, 6, 8} c) {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} d) {0, 6, 8}

(31)

Pág. 13 B Pág. 15 a) {0} b) {0, 1} c) {1} d) {1} e) {1} f) {0, 1, 2, 3} Pág. 18 a) 34 sócios b) 45 sócios c) 16 sócios d) 88 sócios

Exercícios

Questões fáceis

1)

a) S = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}; conjunto finito b) I = {1 320, 1 321, 1 322, 1 323, 1 324, 1 325, ...}; conjunto infinito c) R = {L, LI, LII, LIII, LIV, LV, LVI, LVII, LVIII, LIX}; conjunto finito d) L = {c, n, j, t}; conjunto finito

2)

a) A = {x | x é um dos cinco sentidos humanos} b) B = {x | x é uma cor presente na bandeira do Brasil} 3) a) Conjunto vazio b) Conjunto unitário c) Conjunto unitário d) Conjunto vazio 4) a) V b) F c) V d) F e) V f) F g) V h) F i) F j) F 5) A = J; B = G; C = I; D = K; E = L; F = M; H = N

6) {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} 7) a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V l) V m) V n) V 8) D 9) a) 1 024 subconjuntos b) A = { } 10)

a) P(A) = {{a}, {e}, {i}, {o}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {e, i}, {e, o}, {i, o}, {a, e, i}, {a, e, o}, {a, i, o}, {e, i, o}, {a, e, i, o}, Æ}

(32)

b) 4 subconjuntos c) 6 subconjuntos d) 16 elementos 11) a) b) c) d) e) f)

g) Dado que B Ì A, CBA é uma operação não definida para estes conjuntos.

h) i) j)

k) l) m)

n) o) p)

(33)

12) a) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} b) {3} c) {2, 3, 4, 6, 8, 10} d) {1, 4, 5, 6, 8} e) Æ f) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} g) {4} h) {2, 8, 10} i) {3} j) {2, 3, 6, 7, 9, 10} k) {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} l) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 13) a) 17 b) 30 c) 13 14) 5 alunos 15) a) 500 b) 600 c) 400 d) 800 e) 1 800 f) 1 000 16) A 17) A 18) C 19) B 20) C 21) E

Questões médias

22) D 23) D 24) C 25) D 26) C

Questões difíceis

27) E

Bibliografia

• BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. Matemática completa – 1º ano. 4ª edição. São Paulo: FTD, 2016.

• DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – Vol. 1. 2ª edição. São Paulo: Ática, 2013.

• HAMMACK, Richard Heath. Book of Proof. 2ª edição. Richmond: Virginia Commonwealth University, 2013. Tradução nossa. • LONGEN, Adilson. Matemática: padrões e relações - 1º ano. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2016.

• NETO, Aref Antar; LAPA, Nilton; SAMPAIO, José Luiz Pereira; CAVALLANTTE, Sidney Luiz. Conjuntos e funções - Col. Noções de Matemática: Vol.1. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 1979.

• RIBEIRO, Paulo Vinicius; PAULO, Luiz; REIS, Frederico. Matemática – Coleção Estudo: Vol. 1 . Belo Horizonte: Editoria Bernoulli, 2012. (Apostila).

• SOUZA, Joamir Roberto de; GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. Contato Matemática – 1º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2016.