LIMITE DE UMA FUNÇÃO: CONTEÚDO VIÁVEL PARA O ENSINO MÉDIO? GT 02 Educação matemática no ensino médio e ensino superior.

LIMITE DE UMA FUNÇÃO: CONTEÚDO VIÁVEL PARA O ENSINO MÉDIO?

GT 02 – Educação matemática no ensino médio e ensino superior.

Lucas Dominguini, IF-SC, lucas.dominguini@ifsc.edu.br

Solange Freitas Gomes, Unesc, soll_fg@hotmail.com

Ester de Souza Bitencourt Alves, Unesc, tekky_ynha@hotmail.com Resumo: O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas matemáticas mais aplicáveis. Porém, o seu ensino tem se restringindo a cursos de Educação Superior. Porém, nos últimos anos vem se discutindo a sua inserção no Ensino Médio. Alguns autores de livros didáticos do Programa Nacional do Livro do Ensino Médio (PNLEM) já inserem esse conteúdo em suas obras, porém não o relacionam com rotinas dos alunos. Dessa forma, o presente trabalho visa relatar uma experiência docente que buscou formas de inserir o conceito de limite no Ensino Médio por meio de modelagem matemática de situações cotidianas. São apresentadas duas situações problemas de partida: um carro em movimento e um tanque de água. A partir disso fazem-se simulações de movimentos do carro e de operações de enchimento e esvaziamento do tanque. Montam-se gráficos e busca-se encontrar tendências de valores para a variável dependente quando se dá valores a variável dependente. Ao final, concluiu-se que a inserção do conteúdo de Limite no Ensino Médio é uma opção viável, desde que abordada de forma contextualizada.

Palavras-chave: Ensino Médio; Ensino de Matemática; Limite de uma função; contextualização.

Apresentação

A atual conjectura econômica mundial baseia-se no desenvolvimento do conhecimento científico-tecnológico, principalmente das ciências naturais e exatas. Isto exige das novas gerações apropriação, em nível básico, de conhecimentos que até então não faziam parte dos currículos escolares. No campo da Física, por exemplo, questões envolvendo os conhecimentos oriundos da Física Moderna estão se firmando como um conteúdo fundamental para a compreensão de tecnologias como a TV digital, a transmissão sem fio, a energia nuclear. Na área da Matemática, o cálculo diferencial e integral encontra-se entre esses novos conteúdos que necessitam ser trabalhos no ensino básico.

O currículo do ensino médio deve ser estruturado em conformidade aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s). É uma das formas de assegurar ao aluno a possibilidade de ampliar e aprofundar os conhecimentos nas diversas áreas do conhecimento, neste caso,

os da matemática, de maneira integrada com outras áreas do conhecimento. “Os estudantes nessa área devem levar em conta que a Matemática busca dar conta de aspectos do real e que é instrumento formal de expressão e comunicação para diversas ciências (BRASIL, 2000, p. 21)”.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2008, p. 69), preconizam que os alunos concluintes do Ensino Médio saibam

usar Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento, compreendam que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído; caibam apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento cientifico e tecnológico.

O estudo do Calculo Diferencial e Integral é considerado um dos conteúdos matemáticos mais influentes no desenvolvimento científico e tecnológico atual. Permite que se obtenha novos processos, equipamentos, métodos no processo de transformação da natureza, entre outros. Atualmente, esse conteúdo é muito abordado nos cursos superiores nas áreas de ciências da natureza, engenharias e tecnologias. Sua importância se dá por sua aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento. Porém quando se trata do ensino deste conteúdo no ensino médio infelizmente este se torna pouco valorizado.

Introduzir conceitos de Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio auxilia na compreensão de algumas propriedades, entre elas o limite de uma função, ferramenta indispensável para a compreensão de fenômenos físicos, como velocidade, força, etc. Desse modo, a falta desse conteúdo no Ensino Médio, torna a Física mais complexa do que realmente apresenta ser. Então porque não preparar os alunos no ensino médio, com a inclusão de conceitos de Limite de uma Função, por exemplo, com estratégias que tornem mais amplo o aprendizado dos conteúdos?

Com base neste questionamento, o presente trabalho tem por objetivo relatar uma experiência de ensino de limite de uma função, em uma turma de terceiro ano do Ensino Médio, a partir da modelagem matemática de fenômenos físicos. Visa desenvolver modelos matemáticos na qual é fundamental a presença de limite de uma função para sua compreensão e aplicar esses modelos em outras situações.

O Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio: uma proposta investigativa

O Cálculo Diferencial e Integral é uma ferramenta extremamente útil. Suas variações se fazem presente em quase todas as áreas do conhecimento. Seu maior objetivo é de propiciar condições de base para o estudo de equações diferenciais, que envolvem modelos para resolução de problemas relevantes de Física, Química, etc.

Uma introdução ao Calculo Diferencial e Integral fez parte do currículo das escolas no Brasi por duas vezes. Segundo Carvalho (1996), a primeira em 1891, com a reforma proposta por Benjamim Constante no início da República e uma segunda vez, no governo de Getúlio Vargas, na Reforma Capanema, em 1942, constando do currículo escolar oficialmente até 1961.

Mas ocorreu no Brasil e em outros países, na década de 60 e 70, uma influencia pelo movimento da Matemática Moderna, alterando assim, alguns conteúdos do ensino de matemática, dentre eles, houve a exclusão de cálculo.

O ensino de elementos de Cálculo Diferencial e Integral no ensino médio é algo que está ao alcance dos alunos desse nível de ensino. Ascender a esse conhecimento é de suma importância, pois esse conteúdo se encontra altamente conexo com a ciência moderna, bem como a exploração de competência e habilidades matemáticas que possam a vir ser desenvolvidas pelos próprios alunos. Sobre isso, Ávila (1991, p. 2) menciona que

O cálculo vem desempenhando um papel de grande relevância em todo o desenvolvimento cientifico-tecnológico. Portanto, descarta-lo no ensino é grave, porque deixar de lado uma competente significativa e certamente a mais relevante da Matemática para a formação do aluno num contexto de ensino moderno e atual.

Em seu artigo Cálculo no segundo Grau, o professor Roberto Costallat Duclos (DUCLOS, 1992), apóia totalmente a opinião de Ávila, relatando suas experiências pessoais e profissionais sobre o assunto. Para ambos, desde que seja apresentado de maneira conveniente, o Cálculo, ao contrário de ser difícil, é muito gratificante, porque traz idéias inovadoras, pelo poder e pelo alcance de seus métodos.

Atualmente alguns livros didáticos de ensino médio apresentam tópicos relativos do Cálculo Diferencia e Integral, como limite, derivadas e integrais (GIOVANNI;

BONJORNO, 2005). Infelizmente trazem este conteúdo na 3ª série, ou seja, no final do curso, onde pouco se pode aproveitar do estudo. Entretanto, na maioria das vezes, estes temas não são ensinados sob o pretexto de serem difíceis e impróprios.

Devido algumas justificativas tais como falta de tempo para trabalhar o conteúdo, conteúdo muito difícil para o ensino médio, os professores acabam por não abordando em suas aulas esse tema. O Cálculo passou a fazer parte do livro didático, mas não do currículo de ensino médio, o que o torna então, pouco valorizado, gerando assim, deficiências na aprendizagem que acabam refletindo no ensino superior.

Para Palis (1995, p. 22) os cursos superiores que apresentam a disciplina de Cálculo apresentam índices a absurdamente elevados de abandono e insucesso, principalmente no primeiro de sua sequência. Estes índices, por si só, já apontam a necessidade de se buscar alternativas de ação pedagógica que, aliadas as outras medidas, possam dar conta desse problema que, desde muitos anos, subsiste na universidade.

Com isso, o Cálculo faz parte do livro didático, mas não do currículo do ensino médio. Ávila (1991) destaca que a justificativa que os programas de matemática são extensos e não comportariam a inclusão do cálculo é um equivoco. Segundo o autor, os programas estão mal estruturados. Para o autor, os professores insistem em exercer programas longos, com conteúdos fragmentados sem significados. Em sua opinião, aproveitar o tempo com o ensino das noções básicas do Cálculo e suas aplicações seria mais proveitoso. Porém, a Proposta Curricular de Santa Catarina (SANTA CATARINA, 1998, p. 105) afirma que,

A Matemática ainda é vista somente como uma ciência exata – pronta e acabada, cujo ensino e aprendizagem se dão pela memorização ou por repetição mecânica de exercícios de fixação, privilegiando o uso de regras e ‘macetes’. [...] a Matemática é entendida apenas como ferramenta para a resolução de problemas ou como necessária para assegurar a continuidade linear do processo de escolarização, não contemplando a multiplicidade de fatores necessários ao desenvolvimento de uma efetiva educação Matemática.

Com esse pensamento, o ensino de quaisquer um dos elementos básicos do Cálculo seria muito tormentoso para o aluno do Ensino Médio. Porém, um ensino feito de maneira

contextualizada e integrada a um contexto real é uma saída possível para o ensino de limite, por exemplo.

Tendo o professor à função de mediador do processo de substituição do conhecimento advindo das rotinas cotidianas do aluno, o senso comum, pelo conhecimento historicamente produzido e sistematizado, o conhecimento cientifico, este necessita de materiais de apoio e suporte para a atividade docente. Assim, explicita-se abaixo uma metodologia para ensino de limite de uma função por meio de exemplificações práticas. Isto propicia aos alunos uma primeira visão mais ampla e global de como o conhecimento Matemático pode ser articulado a outras disciplinas.

Metodologia, Resultados e Discussão

O presente projeto foi esboçado e aplicado em uma turma de 3º ano do Ensino Médio. Trata-se de uma pesquisa que visa aplicar uma metodologia de ensino para um dos componentes integrantes do cálculo, o limite de uma função, por meio de situações cotidianas. O objetivo é fazer com que o aluno compreenda, por observações próprias, este conceito. Para isso, utiliza-se de dois exemplos do cotidiano dos alunos: o movimento de um carro e um tanque de água.

Um carro em movimento progressivo e passa pela origem da trajetória em t=0s, com uma velocidade escalar constante de 6m /s. A tabela 01 demonstra as posições do objeto ao longo do tempo.

Tabela 01: Posição (x, em m) em função do tempo (t, em s) t (s) x (m) 0 0 1 6 2 12 3 18 4 24 5 30

Plotando os dados em um gráfico (Figura 01) posição (x) em função do tempo (t), é possível explorar limites de função.

0 5 10 15 20 25 30 35 0 2 4 6 P o si çã o ( m ) Tempo (s) Figura 01: Gráfico x(t)

Questões como “O que acontece com os valores de posição, quando o tempo se aproxima de 4 s?” ou “O que acontece com os valores de posição quando o tempo se aproxima de zero?” são questionamentos feitos aos alunos. A partir desses questionamentos surgem as respostas.

Para a primeira pergunta, os alunos facilmente responderam que os valores de posição para um tempos próximos de 4 s são próximos de 24 m. Assim, foi possível demonstrar para os alunos que, quanto mais próximo de 4 s for o tempo, mais próximo ele estará da posição 24 m. Logo, foi possível escrever a função de limite (Eq. 1).

24 ) (

lim

Para a segunda pergunta, os alunos responderam que para valores de tempo próximos a 0 s, a posição do objeto tende a também a 0 m. Diferente do que ocorreu no primeiro questionamento, neste caso só é possível ter valores de tempo acima de zero. Com isso, explicou-se o limite pela esquerda e pela direita. Assim, foi possível escrever as funções de limite da função. Para valores de tempo que se aproximam de zero pela direita, a posição tende a zero (Eq. 2). Mas não existem valores de tempo que se aproximam de zero pela esquerda (Eq. 3)

0 ) (

lim

= − → ) (

lim

Após essa exposição, partiu-se para o segundo exemplo, o tanque de água. Esse exemplo foi explorado de duas formas: o esvaziamento de um tanque cheio de água e o seu posterior enchimento.

Tendo um tanque cheio de água, ao abrir uma tampa no fundo do reservatório, a água iniciará o escoamento. Supondo que sua taxa inicial de vazão seja de 0,4L /s, o que acontece com esta vazão ao longo do tempo? Observa-se que a vazão da água diminui, isto porque a vazão depende diretamente da pressão exercida pela altura da coluna de água do tanque e com o escoamento da água, esta coluna diminui sua altura.

Ilustrando essa situação em um gráfico (Figura 02), observa-se que a taxa de vazão (V, em L/s) diminui em função do tempo (t, em s) até que todo o líquido contido no tanque se tenha esvaído. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0 2 4 6 8 10 V a zã o ( L/ s) Tempo (s) Figura 02: Gráfico V(t)

O gráfico acima serviu para se trabalhar limites para o eixo do x tendendo ao infinito. Para a presente função, para valores de tempo muito grandes (infinitos) os valores de vazão se aproximam de zero. Assim, pôde-se escrever a Eq. 4.

0 ) (

lim

Supõe-se, agora, que uma torneira seja acoplada neste tanque. Tem-se uma entrada e uma saída de fluido (Figura 03). Em um momento inicial, a vazão de entrada, supõe-se aqui constante, é maior que a vazão de saída. Com isso, gera-se um acúmulo de fluido no interior de um taque. Com o passar do tempo, a altura h da coluna de líquido aumenta, elevando a pressão e, por consequência, aumentando a vazão de saída. Supondo um tanque grande o bastante para não transbordar, esse aumento vai ocorrer até que, em determinado instante, a vazão de entrada se igualará a vazão de saída.

Figura 03: Esquema de um Tanque

Realizou-se, então, um estudo do comportamento da altura h da coluna no tanque. Simulando valores em um gráfico, inicialmente a altura da coluna sobe rapidamente, visto que a vazão de saída é baixa. Com o tempo, a altura da coluna aumenta gradativamente em valores cada vez menores para um mesmo intervalo de tempo, até que se estabeleça um equilíbrio entre vazão de entrada e saída. A partir desse momento, a altura da coluna não se altera mais. Colocando isso em um gráfico (Figura 04), os alunos puderam observar melhor a situação.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 2 4 6 8 10 A lt u ra ( m ) Tempo (s) Figura 04: Gráfico V(t)

Com essas informações, os alunos foram instigados a escrever o limite da função quando o tempo se estende ao infinito. Ao contrário do gráfico anterior onde a vazão tendia a zero, neste caso a altura do tanque tende a 2 m. Assim, a nova equação de limite será

2 ) (

lim

A Eq. 5 mostrou aos alunos que nem sempre os limites de uma função, cuja variável independente tenda ao infinito, terá como resposta zero.

Considerações Finais

O ensino de elementos de Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio é uma opção viável e interessante. Uma abordagem contextualizada permite aos alunos compreenderem os conceitos matemáticos e associá-los a questões reais. A modelagem matemática de experimentos nesta etapa de escolarização é fundamental para que os alunos compreendam que esse componente curricular tem suma importância na explicação de fenômenos naturais diversos.

Os exemplos acima explicitados e aplicados em sala de aula demonstram que o limite de uma função está presente em situações diversas da vida humana. Aplicá-las no

Ensino Médio depende principalmente do professor. Nesse caso, cabe aos formadores de novos professores instigarem os acadêmicos de matemática a efetivar o ensino desse conteúdo na Educação Básica, visto que ele é uma realidade já presente nos livros didáticos. Desta forma, responde-se positivamente ao questionamento feito pelo título desse trabalho, ou seja, Limite é um conteúdo viável e possível de ser ministrado para o Ensino Médio.

Referências

ÁVILA, Geraldo. O ensino de Cálculo no 2º grau. Revista do Professor de Matemática, nº 18. Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Parâmetros

Curriculares Nacionais: ciências da natureza, matemáticas e suas tecnologias. vol. III.

Brasília: MEC, 2000.

______. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Orientações curriculares

para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. vol. 02. Brasília:

MEC, 2008.

CARVALHO, J. B. P. de. O cálculo na escola secundária: algumas considerações históricas. Caderno Cedes. Campinas: Papirus, n. 40, p. 68-81, 1996.

DUCLOS, R.C. Cálculo no Segundo Grau. Revista do Professor de Matemática, n.20, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1992, p.26-30.

GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J. R. Matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.

PALIS, Gilda de la Rocque. Computadores em Cálculo uma alternativa que não de justifica por si mesma. Temas e Debates. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, ano 8, n.6, p. 22-38, Abr. 1995.

SANTA CATARINA. Secretaria de Estado da Educação e do Desporto. Proposta

curricular de Santa Catarina: educação infantil, ensino fundamental e médio. Disciplinas