PROPAGAÇÃO DE IMPULSOS EM FIBRAS ÓPTICAS

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UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

PROPAGAÇÃO DE IMPULSOS

EM FIBRAS ÓPTICAS

LUÍS DE MELO MASCARENHAS NUNES CARDOSO

MESTRADO EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E COMPUTADORES

Júri

Presidente: Prof. Doutor António José Castelo Branco Rodrigues

Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Prof. Doutora Maria Hermínia Caeiro Costa Marçal

JUNHO 2008

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Agradecimentos

Ao Prof. Doutor António Topa pela sua disponibilidade e conselhos que me deu ao longo da elaboração desta Dissertação. A sua contribuição foi fundamental no acompanhamento deste projecto.

À família, à Mãe e aos meus irmãos. Ao Pai que certamente estará orgulhoso.

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Lista de figuras

Número Descrição Página Fig. 1 Geometria de um laser semicondutor e correspondente zona activa

Corrente de injecção para 0.2

9

Fig. 2 12

Fig. 3 Evolução do número total de fotões na cavidade laser, 0.2 Evolução do número total d s na cavidade laser, 0.2

12

Fig. 4 e electrõe

13

Fig. 5 13

Fig. 6 Evolução do número total de fotões na cavidade laser, 0.5 Evolução do número total de electrões na cavidade laser, 0.5

14

Fig. 7 14

Fig. 8 Evolução do número de electrões e fotões com a corrente de injecção Corrente de injecção para 0.2

15

Fig. 9 16

Fig. 10 Evolução do número total de fotões na cavidade laser, 0.2 Evolução do número total d s na cavidade laser, 0.2

17

Fig. 11 e electrõe

17

Fig. 12 18

Fig. 13 Evolução do número total de fotões na cavidade laser, 0.5 Evolução do número total de electrões na cavidade laser, 0.5

18

Fig. 14 19

Fig. 15 Módulo da amplitude do impulso à entrada e à saída 25 Fig. 16 Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra 26 Fig. 17 Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (outro ângulo) 26

Fig. 18 Espectro do impulso ao longo da fibra 27

Fig. 19 Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (vista superior) 27 Fig. 20 Módulo da amplitude à entrada e saída do impulso gaussiano (C=0) 28 Fig. 21 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0) 29 Fig. 22 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0),

outro ângulo

29

Fig. 23 Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0) 30 Fig. 24 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0),

vista superior

30

Fig. 25 Módulo da amplitude à entrada e saída do impulso gaussiano (C<0) 31 Fig. 26 Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (C<0) 32 Fig. 27 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C<0),

outro ângulo

32

Fig. 28 Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra (C<0) 33 Fig. 29 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C<0),

vista superior

33

Fig. 30 Módulo da amplitude à entrada e saída do impulso gaussiano (C>0) 34 Fig. 31 Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (C>0) 35

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Número Descrição Página Fig. 32 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C>0),

outro ângulo

35

Fig. 33 Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra (C>0) 36 Fig. 34 Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C>0),

vista superior

36

Fig. 35 Comparação da largura de impulso com zeta entre os três impulsos gaussianos

37

Fig. 36 Largura mínima do impulso 38

Fig. 37 Largura dos três impulsos, ampliação da Figura 35 39 Fig. 38 Evolução do Solitão fundamental ao longo do espaço de propagação 45

Fig. 39 Vista superior da Figura 38 45

Fig. 40 Evolução do Solitão de 2ª Ordem ao longo do espaço de propagação 46

Fig. 41 Vista superior da figura 40 46

Fig. 42 Evolução do Solitão de 3ª Ordem ao longo do espaço de propagação 47

Fig. 43 Vista superior da figura 42 48

Fig. 44 Espectro do solitão fundamental inicial e final 49

Fig. 45 Propagação do impulso ao longo da fibra 50

Fig. 46 Vista superior da propagação do impulso ao longo da fibra Interacção entre 2 solitões

50

Fig. 47 0, 1

Interacção entre 2 solitões ista superior

53

Fig. 48 0, 1 , v

Interacção entre 2 solitões

53

Fig. 49 /4, 1

Interacção entre 2 solitões , vista superior

54

Fig. 50 /4, 1

54

Fig. 51 /2, 1

Interacção entre 2 solitões , vista superior

55

Fig. 52 /2, 1

55

Fig. 53 0, 1.1

Interacção entre 2 solitões 0, 1.1 , vista superior

56

Fig. 54 56

Fig. 55 Afastamento normalizado entre solitões ao longo da distância de propagação

58

Fig. 56 Esquema de amplificação laser de três níveis 60 Fig. 57 Evolução do coeficiente de ganho em função de e 67 Fig. 58 Perfil espectral do ganho [dB] vs. Comprimento de onda [m] 69 Fig. 59 Evolução da potência de saída para um sinal WDM ao longo do

comprimento da amplificação

70

Fig. A1 Secções eficazes EDFA: Emissão e Absorção 73

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Lista de símbolos

Sím olo b Descrição Área efectiva Coeficiente de atenuação

, Distribuição longitudinal do campo eléctrico na fibra óptica em função de e

Constante de propagação longitudinal

Dispersão da velocidade de grupo (DVG)

Coeficiente de propagação estimulada

Velocidade de propagação da luz no vácuo Parâmetro Chirp Espessura do laser Operador algébrico

Coeficiente de inversão de população Operador linear de dispersão

, ,

Coeficiente de compressão do ganho

, Campo eléctrico

Coeficiente relacional entre secções eficazes de emissão e absorção

, Distribuição transversal do campo eléctrico na fibra óptica em função de e

Frequência normalizada

Densidade do fluxo de fotões Coeficiente de ganho do feixe

Ganho de um amplificador óptico em potência Taxa elementar líquida de recombinação estimulada

Γ

Coeficiente não linear da fibra óptica Factor de confinamento óptico

Constante de Plank Função de Heaviside Corrente de injecção

Profundidade de modulação da corrente de injecção

Corrente de limiar

Constante de propagação no vazio Constante de Boltzmann Comprimento Comprimento de dispersão Comprimento óptimo

Comprimento de onda no vazio

Comprimento de onda associado ao feixe População de electrões

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Densidade média de electrões na zona activa

Número de electrões no limiar de oscilação Índice de refracção do núcleo da fibra óptica

Índice de refracção da bainha da fibra óptica Largura efectiva do impulso

Operador não linear de dispersão Factor de emissão espontânea

Ω

Desvio de frequência

Potência associada ao feixe

Potência de bombeamento (pumping)

Carga do electrão

Metade da separação temporal normalizada entre solitões Fluxo total de electrões

Relação de amplitude entre solitões

Coeficiente de emissão espontânea

Taxa de emissão estimulada

Taxa de absorção Raio efectivo

Concentração total de iões População de fotões

Parâmetro de saturação

Largura efectiva do impulso

Secção eficaz de absorção

Secção eficaz de emissão Comprimento de onda Variável temporal Definição de momento Impulso temporal

Variável tempo normalizada

Tempo médio de vida dos electrões

Tempo médio de vida dos fotões

Diferença de fase entre solitões

,

Amplitude normalizada do solitão médio

Velocidade de grupo

Volume da cavidade do laser na zona activa Largura do laser

Frequência angular

Frequência angular da portadora

Variável espacial

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Resumo

Nesta dissertação são abordados alguns dos principais aspectos associados à operação dos sistemas de comunicações ópticas: emissão, transmissão, gestão da dispersão e amplificação.

Seguindo o percurso de um sinal óptico, desde o emissor até ao receptor, numa primeira fase caracteriza-se o emissor de luz: um laser semicondutor. Nesta primeira etapa, estuda-se o acoplamento de potência ao sistema, caracterizando o emissor por intermédio de um ganho, e analisa-se a sua modulação directa através da corrente de injecção.

Numa segunda fase, e já ao nível da transmissão, é analisado o problema da dispersão da velocidade de grupo, como principal perturbação à livre propagação do sinal na fibra quando se procura manter as suas características. Para este estudo, desenvolveu-se um simulador que engloba o processo de cálculo da propagação de impulsos em regime linear.

No campo da gestão da dispersão, aborda-se o tema da não linearidade numa fibra óptica. É analisado o comportamento de um impulso do tipo solitão a propagar-se ao longo da fibra. Apresenta-se um modelo analítico iterativo que é capaz de determinar o sinal produzido à saída da fibra baseado nas suas condições iniciais. A este nível é estudado não só o solitão fundamental, mas também o de 2ª e 3ª ordem, bem como a interferência provocada pela interacção entre solitões.

Para que os sinais atinjam o destino com uma determinada qualidade mínima torna-se necessário amplificá-los, para que estes cubram eficazmente percursos de longas distâncias. Ao abordar a temática da amplificação com recurso a amplificadores do tipo EDFA, temos que estudar o seu dimensionamento, tendo em conta o compromisso entre o ganho introduzido e o comprimento óptimo da fibra para amplificar um sinal WDM.

Palavras-chave

Fibras Ópticas, Lasers Semicondutores, Solitões, Dispersão Temporal, Regime Não-Linear, EDFA

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Abstract

In this thesis, we analyze some of the key processes associated to the optical communication systems operation: emission, transmission, dispersion management and amplification.

Following the route of the optical signal, from the emitter to the detector, in a first step we characterize the light emitter: a semiconductor laser. In this topic we study the power coupling to the system, expressed in terms of a gain, as well as its direct modulation through the injection current.

In a second step, at the transmission level, we analyze the problem of the group velocity dispersion and its perturbation of the signal, which is supposed to keep its characteristics along the fibre. Within this environment, we have developed a numerical simulator for the calculation of the pulse propagation in the linear regime.

In the field of the dispersion management, we address the fibre optics non-linearity. We analyze the behaviour of a soliton type shaped pulse along the fibre. Then, we present an iterative analytical model suitable to calculate the output signal produced at the end of the fiber, based on its initial conditions. At this level, we study the fundamental soliton, and 2nd and 3rd order, as well as the interference generated by the interaction between solitons.

In order to transmit optical pulses that reach their final destination with a given required quality, it is necessary to amplify them so that these can cover long distances efficiently. We address the amplification issue by introducing the EDFA’s. To amplify a certain WDM signal, we need to design the EDFA system by taking into account the balance between the needed gain and the optimal length of the fibre.

Keywords

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Índice

1. Introdução 1 1.1 Enquadramento 1 1.2 Objectivos 3 1.3 Estrutura 4 1.4 Contribuições 5 2. Lasers semicondutores 7 2.1. Modelo do Laser 7 2.2. Limiar de Oscilação 8 2.3. Laser em emissão 10

2.4. Laser emite num intervalo de tempo muito curto 13

2.5. Conclusão 15 3. Dispersão Temporal 17 3.1. Regime linear 17 3.2. Resolução numérica 20 3.3. Simulação 21 3.3.1. Impulso Gaussiano 21 3.3.2. Impulso Supergaussiano 23 3.4. Análise de resultados 30 3.5. Conclusão 32

4. Regime Não-Linear - Solitões 33

4.1. Propagação de Solitões 34

4.1.1. Solitão fundamental 36

4.1.2. Solitão de 2ª ordem 38

4.1.3. Solitão de 3ª ordem 39

4.1.4. Conclusão 41

4.2. Propagação de um Impulso Gaussiano 41

4.3. Interacção entre solitões 43

4.4 Conclusão 50

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5.1 Introdução 51 5.2 Amplificação EDFA 51 5.3 Ganho 53 5.4 Amplificação de um sinal WDM 55 5.5 Comprimento óptimo 58 5.6 Caracterização espectral 60 5.7 Conclusão 63

ANEXO A: Definição de Secções eficazes 65

6. Conclusão 67

6.1 Conclusões principais 67

6.2 Perspectivas de trabalho futuro 69

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1. Introdução

1.1 Enquadramento

Perspectiva histórica

Em 1870, John Tyndall, deu o primeiro passo na pesquisa da propagação guiada da luz. Tyndall demonstrou que a luz poderia ser guiada, por reflexão interna, através de um jacto de água proveniente de um balde com uma fonte de luz e um orifício, para um outro recipiente. Nessa montagem, verificou-se que o feixe de luz se propagava numa trajectória em “zig-zag” reflectida nas paredes ao longo do “túnel” formado pelo jacto de água [1].

Uns anos mais tarde, William Wheeling desenvolveu um método que patenteou como “canal de luz”, acreditando que usando um conjunto de tubos espelhados devidamente combinados conseguiria distribuir luz em várias direcções contendo apenas uma fonte. Contudo a sua teoria fracassaria face à concorrência do desenvolvimento da lâmpada de Edison. Nesse mesmo ano, Graham Bell desenvolveu um sistema de transmissão de voz ao qual catalogou de “fotofone” capaz de transmitir, através de um feixe luminoso em espaço livre, um sinal de voz à distância de 200 metros.

A tecnologia das fibras ópticas só voltaria a sofrer significativos desenvolvimentos na segunda metade do século XX. Em 1950, fora desenvolvido um sistema de transmissão de imagens com o primeiro uso de uma fibra de vidro, produzido em concorrência entre Brian O’Brien da “Americal Optic Company”, Narinder Kapany (que daria origem em 1956 ao termo “fibras ópticas) e alunos do “Imperial College of Science and Technology” em Londres.

A fibra óptica foi então definida como um meio físico de transmissão (em geral um cabo com vários pares de fibra de vidro ou plástico) em que a informação é transportada sob a forma de impulsos de luz.

As primeiras experiências com fibras ópticas não foram bem sucedidas para as comunicações ópticas visto que as perdas inerentes à transmissão de luz eram excessivas, limitando o seu uso à curta distância. Mais tarde, com a introdução de uma camada exterior ao núcleo, a bainha, a situação iria melhorar consideravelmente visto que assim era possível concentrar a luz no núcleo reduzindo as perdas.

Entretanto em 1956 entrara em funcionamento o primeiro cabo submarino transatlântico, o TAT-1 de característica coaxial.

Em 1957, estudos de Física aliados à Óptica permitiram a descoberta de uma nova forma de utilização de luz – o Laser (Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation). Gordon Gould descreveu o dispositivo como uma fonte intensa de luz que produz radiação

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electromagnética monocromática (frequência bem definida) e coerente (relações de fase bem definidas) que se propaga sob um feixe de luz (raios colimados).

Charles Kao e George Hockman publicaram, em 1966, uma proposta de utilização de fibras ópticas como meio de transmissão do sinal óptico proveniente de um laser, caso este obtivesse atenuação inferior a 20dB/km. Tal não se veio a verificar, visto que os primeiros resultados obtidos revelavam atenuações na ordem dos 1000dB/km, o que motivaria a sua não competitividade face a outros meios de transmissão. Deste projecto, viria a verificar-se que as perdas eram provocadas em grande parte por impurezas no vidro.

O progresso continuou e em 1970, a Corning Glass Works, pelas mãos de Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz, conseguiu produzir uma fibra monomodal com uma atenuação de 16dB/km para um comprimento de onda de 633nm.

Cinco gerações de fibras

Os sistemas de comunicações sobre fibras ópticas foram-se desenvolvendo ao longo de gerações. A primeira, no início dos anos 80, operava na primeira janela (0.8 ), tinha um débito binário de 45Mb/s e um espaçamento de 10 km entre repetidores.

A segunda geração teve origem no ano de 1987, operava na segunda janela temporal (1.3 ) com atenuações inferiores a 1dB/km e dispersão mínima, alcançava débitos de 1.7Gb/s e 50km entre repetidores. Em 1988 foi instalado o primeiro cabo transatlântico de segunda geração, composto por fibras ópticas monomodais – TAT-8 – capaz de suportar 40 mil canais, alcançar 0.28Gb/s e 70km de espaço entre repetidores.

Em 1990 alcança-se a terceira geração comercial, a operar na terceira janela temporal (1. 5 ), alcançando a atenuação mínima absoluta de cerca de 0.2dB/km e débitos binários de 10Gb/s. A grande evolução da terceira geração de fibras dá-se com o aparecimento dos amplificadores ópticos, em detrimento dos regeneradores, que amplificam os sinais sem recorrer ao domínio eléctrico. Este foi o salto para a entrada na era fotónica (all-optical transmission).

Em 1989, o surgimento das fibras amplificadoras dopadas com érbio (EDFA – Erbium-Doped Fiber Amplifiers), onde a amplificação é feita à custa de um bombeamento proveniente de um laser, provocou uma nova revolução no desenvolvimento dos sistemas de comunicação óptica. A implementação das EDFA’s permitiu aumentar o intervalo entre amplificadores para 60 a 100km de distância.

A geração seguinte, a quarta, tem como principais características o facto de trabalhar no domínio óptico, substituindo os anteriores regeneradores, e nela ser aplicada a multiplexagem no comprimento de onda (WDM – Wavelength Division Multiplexing) que possibilitou aumentar a capacidade e velocidade de transmissão.

Nesta altura está por despontar uma quinta geração de sistemas de comunicação óptica. Se por um lado o problema das perdas é corrigido com as fibras amplificadoras, existe ainda a dificuldade a suplantar relacionada com a dispersão. Várias têm sido as técnicas estudadas para compensar o problema da dispersão: a compensação da dispersão; a gestão da dispersão; sistemas com solitões. Em ambos os três casos, existem factores comuns: a

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amplificação óptica em longas distâncias (utilização de EDFA’s na terceira janela), o aumento do débito binário através do recurso ao WDM e a correspondente gestão de dispersão.

Perante este percurso, a evolução das comunicações contarão certamente com as fibras ópticas e a fotónica será o principal suporte das auto-estradas da informação [3, 10].

1.2 Objectivos

O trabalho realizado nesta dissertação centra-se no estudo de sistemas de comunicações baseado em fibras ópticas. Nesta análise iremos fazer uma abordagem do ponto de vista da engenharia de telecomunicações, nomeadamente no percurso de um sinal, desde a sua geração, passando pela propagação e amplificação.

Iremos começar por analisar a geração do sinal, através do estudo dos lasers semicondutores, definindo o seu modelo baseado na equação das taxas. Definiremos o limiar da corrente para a qual o laser se encontra em emissão. Seguidamente, iremos analisar o seu comportamento para diferentes correntes de injecção, avaliando a sua influência ao longo do tempo para com o número de electrões e fotões presentes na cavidade.

A propagação da luz em regime linear comporta alguns problemas a ela inerentes. Tendo por base a equação de um impulso, iremos enunciar o método de resolução numérica que conduz ao cálculo do valor espectral do impulso numa determinada posição. Através da simulação, observaremos o comportamento de um impulso ao longo da sua propagação e a influência que a dispersão temporal introduz nestes sistemas.

Posteriormente iremos analisar a propagação em regime não-linear. Nela abordaremos o compromisso entre a Auto-Modulação de Fase (AMF) e a Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG) como perturbações da propagação de solitões em fibras ópticas. Mais uma vez, enunciaremos o método de análise numérica (Split-Step Fourier Method - SSFM) para o caso das altas frequências. Com o recurso à simulação numérica pretendemos analisar o comportamento do solitão fundamental, de solitões de segunda e terceira ordem, bem como de um impulso gaussiano. Porque na realidade não trabalhamos com ondas isoladas, terminaremos a análise em regime não-linear com o estudo da interacção entre solitões.

Como objectivo final, iremos analisar a amplificação associada a sistemas de comunicações ópticas. Para isso iremos recorrer às EDFA’s (Erbium Doped Fiber Amplifiers) e estudar o compromisso necessário para equilibrar o ganho introduzido face ao comprimento óptimo que a EDFA deverá ter. Analisaremos ainda um caso prático de amplificação de um sinal WDM com quatro canais centrados em outros tantos comprimentos de onda.

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1.3 Estrutura

Tendo por base os objectivos propostos no ponto 1.2, foi estruturado o relatório da dissertação em seis capítulos, que em detalhe se apresentam:

Capítulo 1: O primeiro capítulo é dedicado à introdução ao tema das comunicações ópticas, realizando uma primeira perspectiva histórica da evolução da propagação da luz ao longo dos tempos. São ainda identificados os objectivos propostos para a realização deste trabalho, é feita a sua estrutura e enumeradas as principais contribuições descritas no relatório produzido.

Capítulo 2: Neste capítulo é feita uma primeira introdução às fontes geradoras do sinal luz: os lasers semicondutores. Recorrendo às dimensões e características de uma cavidade laser, determinaremos a sua corrente de limiar bem como a expressão que permite calcular a taxa elementar de recombinação estimulada. Com estes valores realizaremos a simulação do funcionamento do laser para diferentes correntes de injecção.

Capítulo 3: Após a emissão, neste capítulo é abordado o tema da propagação de impulsos em regime linear. É formulada a equação de propagação de impulsos e deduzido o processo de cálculo que permite ilustrar o comportamento do impulso ao longo da fibra influenciado pelo fenómeno da dispersão da velocidade de grupo.

Capítulo 4: Neste capítulo é realizado o estudo da propagação de solitões num ambiente não-linear. Tendo por base a equação que rege a propagação de impulsos neste regime, é deduzido o processo iterativo de resolução do método Split-Step Fourier Method (SSFM). Com o seu auxílio e recorrendo a ferramentas de cálculo, é ilustrado o comportamento dos solitões e sua interacção.

Capítulo 5: Finalizados os processos de emissão e propagação, neste capítulo é estudado o processo de amplificação com recurso às EDFA’s (Erbium Doped Fiber Amplifiers). É deduzida a expressão do ganho e do comprimento óptimo associado, bem como ilustrado e avaliado o problema da amplificação quando estamos perante um sinal WDM de vários canais.

Capítulo 6: O sexto e último capítulo da dissertação foi reservado para resumir as principais conclusões da mesma, tecer algumas considerações e aferir da existência de perspectivas de continuação do trabalho elaborado.

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1.4 Contribuições

As principais contribuições do trabalho desenvolvido ao longo das páginas seguintes ao nível das comunicações ópticas são as seguintes:

a) Caracterização de um laser semicondutor baseado numa geometria exemplo de uma cavidade. Análise do número de fotões e electrões influenciados pela sua corrente de injecção (capítulo 2);

b) Análise do fenómeno da dispersão temporal quando estamos perante a propagação de impulsos em regime linear. Caracterização da amplitude e largura mínima de um impulso influenciado pela dispersão inerente à transmissão (capítulo 3).

c) Observação do comportamento de um solitão ao longo de uma fibra perante o regime não-linear. Dedução do método iterativo que, a partir do impulso inicial, permite calcular o sinal à saída de pequenos troços de fibra. Estudo sobre a influência da interacção entre solitões.

d) Caracterização do método de amplificação com recurso às EDFA’s. Aplicação deste processo a um sinal WDM com vários canais.

(20)

(21)

2. Lasers semicondutores

Os lasers semicondutores utilizam a corrente eléctrica para produzir luz. O espectro puro que produzem, aliado ao baixo volume, custo reduzido e alta durabilidade faz com que essas fontes luminosas sejam as mais adequadas para aplicações de comunicação de médio e elevado desempenho.

O laser (cuja sigla em inglês significa Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) tem a capacidade de produzir radiação electromagnética com características muito especiais: a luz produzida é monocromática (está centrada num comprimento de onda específico), é coerente (possui relações de fase bem definidas) e é colimada (propaga-se ao longo de um feixe) [4, 6].

O desenvolvimento da era computacional, capaz de processar complexos métodos numéricos de cálculo, faz com que seja possível desenvolver modelos matemáticos que reproduzem com elevada exactidão o comportamento dos lasers semicondutores.

2.1. Modelo do Laser

Os modelos produzidos baseiam-se na simplificação das Leis de Maxwell, dando origem às equações diferenciais denominadas Equações das Taxas, que em regime estacionário,

₀ (2.1) tomam a forma [2] (2.2) (2.3)

em que o ganho, ou taxa elementar líquida de recombinação estimulada é dado por

1 (2.4)

e e representam a população de electrões e fotões respectivamente.

Note-se que pode-se considerar desprezável, devido ao reduzido valor de , ou seja, o efeito de radiação espontânea é mínimo quando comparado com o da radiação estimulada. Assim, obtemos a seguinte simplificaçã da equao ção (2.2)

1

(22)

Quando o laser está a emitir 0 , a equação anterior revela-nos a seguinte condição de oscilação:

1 (2.6)

No limiar de oscilação (threshold) temos 0, e . Reescrevendo a equação (2.3), obtemos a expressão que nos dá a corrente de limiar

(2.7)

Partindo da equação (2.4) e substituindo 0 como já assinalado em cima, obtemos a expressão que nos permite calcular a população de electrões no limiar de oscilação. Para esse objectivo consideremos ainda a equaçã (2.6) o

1 . 0 1 (2.8)

Assim, pela observação da equação (2.8) podemos concluir que neste modelo, a população de electrões é constante, isto é, não depende da corrente de injecção.

Para caracterizarmos um laser semicondutor iremos realizar a simulação do seu funcionamento para um determinado conjunto de características que irá permitir definir o seu comportamento.

Para esse efeito, consideremos os seguintes valores numéricos [2]: 1.55 Comprimento de onda do laser

10 Taxa elementar líquida de emissão estimulada 10 Número de electrões

2 Factor de emissão espontânea 10 Coeficiente de compressão do ganho

3 1.601 10

Tempo médio de vida dos fotões Carga do electrão

2.2. Limiar de Oscilação

Considerando a equação (2.8), p deo mos d tee rminar para este caso o valor numérico de :

1

10 1

10 . 3 10 1.333 10

(23)

1.6 10 1.333 10

2 10 10.677

Assumindo que o tempo de vida dos electrões | , temos

| 1 (2.9)

onde é o número total de electrões, é a densidade média de electrões na zona activa e é o volume da cavidade do laser na zona activa que é dado por

(2.10)

Dimensões da cavidade do laser para a simulação:

Figura 1: Geometria de um laser semicondutor e correspondente zona activa

Largura _{2 10}

Espessura 0.2 10

250 10

Comprimento

Da equação (2.10), substituindo as dimensões da cavidade do laser, obtemos

2 10 · 0.2 10 · 250 10 10

Logo, da equação (2.9), obtemo ts o empo e vi a dos electrões d d

1 1 10 10 ·1.333 10 10 3 10 · 1.333 10 10

(24)

1

2.866 10 3.489

Assim, a corrente de limiar calcula-se a ravt és de

(2.11)

o que, substituindo na equação os valores anteriores

1.602 10 1.333 10

3.489 10 6.121

Consideremos de seguida o cálculo do número de electrões e fotões em regime estacionário, e respectivamente, para duas situações de corrente de injecção. Uma superior à corrente de limiar ( 1.1 ) e outra inferior ( 0.8 ).

2 3. La

r em

1.1

e

.

se

emissão

Como verifica-se a condição de emissão do laser 0 .

Realizando a manipulação algébrica entre as equações (2.4) e (2.6) em ordem ao número de electrões , obtemos a seguinte expres ão: s

1 εS

(2.12)

Do mesmo modo e realizando um processo semelhante entre as equações (2.3) e (2.6) em ordem ao número de fotões , resulta

(2.13)

As equações (2.12) e (2.13) formam um sistema de duas equações com duas incógnitas. Substituindo-lhes os valores considerados para esta simulação numérica, determinamos os valores de e

25 õ

1.467 10

Do resultado obtido, comprova-se que 25 10 1, e que este parâmetro reflectido na equação (2.12) pode ser desprezável. Então, quando o laser se encontra em emissão ( 1.1 ), as equações (2.12) e (2.13) verificam aproximadamente

(25)

1 (2.14)

. (2.15)

Ou seja, quando o laser se encontra em emissão, a equação (2.4) que reflecte a expressão de cálculo da taxa elementar líquida de recombinação estimulada pode ser bem aproximada pelo modelo linear

(2.16)

Querendo isto dizer que a taxa elementar líquida de recombinação estimulada ( ) apenas varia com , isto é, não depende do número de fotões envolvidos [5].

Nas páginas seguintes apresentamos os resultados da simulação realizada, através de recurso ao programa MATLAB, com base nos valores assumidos para o laser no modo de emissão.

.

Figura 2: Corrente de injecção para .

Figura 3: Evolução do número total de fotões na cavidade laser, .

Figura 4: Evolução do número total de electrões na cavidade laser, .

(26)

.

Para o caso acima ilustrado, em que o laser se encontra a funcionar correctamente (a corrente de injecção é superior ao valor de limiar de injecção), ocorre a inversão da população, ou seja, apenas existe emissão de fotões a partir da corrente de limiar, necessária à emissão estimulada. Assim, a recombinação radiativa predomina sobre a geração de pares electrão-lacuna.

Pela observação das figuras 3, 4, 6 e 7 que representam a evolução do número de electrões e fotões na cavidade laser para dois períodos diferentes ( 0.2 e 0.5 ), podemos afirmar que em ambas as ocasiões, quando é aplicada a corrente de injecção , a população de electrões aumenta rapidamente relativamente ao valor inicial em registo contrário ao verificado com o número de fotões, devido à passagem de electrões da banda de valência para a de condução.

O aumento do número de electrões provoca posteriormente uma subida da taxa de emissão estimulada que implica uma resposta do número de fotões fazendo-os subir rapidamente. Essa subida dará origem à recombinação radiativa caracterizada pela diminuição do número de

(27)

electrões na cavidade motivada pela transição de electrões da banda de condução para a de valência.

O processo descrito atrás irá originar novamente uma subida do número de electrões em parelha com a descida do número de fotões já referenciada no início deste ciclo.

Assim se compreende o carácter oscilatório entre electrões e fotões no interior da cavidade laser.

Quando o impulso de corrente termina a oscilação tende a estabilizar e o número de electrões e fotões tende para um valor constante.

Figura 8: Evolução do número de electrões e fotões com a corrente de injecção

2 4. La

r em

0.8

e

.

se

ite num intervalo de tempo muito curto

Como não se verifica a condição de emissão do laser. Logo o laser não está em acção 0 .

Para o cálculo do número de electrões ( ) não podemos utilizar a mesma equação (2.12) uma vez que esta apenas é válida para o caso em que o laser se encontra a emitir.

Sendo assim e partindo da equação (2.3) com a independência do número de fotões ( 0), obtemos uma expressão mais simplificada que nos permite de imediato alcançar o valor de electrões no laser

. (2.17)

Do mesmo modo que anteriormente, substituindo os valores numéricos, obtemos:

(28)

.

(29)

Este novo ambiente de análise leva-nos a concluir que o número de fotões envolvidos é irrisório comparativamente com a solução anterior. No instante imediatamente anterior a 0 temos apenas a corrente de injecção 0.8 , a qual por ser inferior à de limiar, é insuficiente para ocorrer inversão de população. No instante 0, consideramos que a corrente que passamos a ter é 0.8 1.8 , passando assim a existir emissão estimulada, visto que . A diferença para a simulação anterior prende-se com a condição inicial 0, que provoca um atraso de reacção do laser. Após o instante 0, é extinta o que fará com que 0.8 , verificando que a corrente não é a suficiente para que ocorra emissão, fazendo com que o número de fotões tenda a cair para zero.

Desta simulação podemos concluir que o facto de existir uma descontinuidade na corrente de injecção acima do valor de limiar, o laser entrará num regime transitório que rapidamente se anulará.

Ou seja, se ocorrerá emissão estimulada de fotões. Caso a corrente de injecção seja inferior à de limiar, , a emissão é inexistente.

2.5. Conclusão

No primeiro caso, ( 1.1 e ), analisámos a evolução do número de fotões e electrões na cavidade de um laser quando influenciados pela corrente de injecção. Devido ao facto desta ser sempre superior à corrente de limiar o laser funciona sem interrupções. De realçar ainda é o facto do carácter oscilatório que o número de electrões e fotões adquire e que, após a duração do impulso, tende a estabilizar.

(30)

Na segunda análise, ( 0.8 e ), o laser apenas tem a corrente de injecção superior à de limiar num curto espaço de tempo, mais concretamente no instante 0 quando (

), o que leva a que ocorra um atraso na resposta do dispositivo e consequentemente no aumento do número de fotões comparativamente com a emissão em pleno. Esta situação faz com que o número de fotões ocorridos seja insignificante e insuficiente para a ocorrência de emissão. O dispositivo entra num regime transitório que fará com que rapidamente o número de fotões tenda para zero.

(31)

3. Dispersão Temporal

A propagação da luz através das fibras ópticas sofre alguns contra tempos que faz com que os sistemas de comunicações ópticos não possam ser considerados ideais. É nesse sentido que surge o fenómeno da dispersão temporal como um problema que impõe algumas limitações à implementação das comunicações ópticas [2, 7, 8, 9, 10].

3.1. Regime linear

Para a análise da dispersão nas fibras ópticas durante a propagação de impulsos, vamos inicialmente deduzir a equação que traduz o desenvolvimento dos impulsos ao longo de uma fibra óptica monomodal em regime linear.

Considerando um impulso 0, dado por:

0, 2 1 exp /2 2 1 exp /2 (3.1)

onde 5 e é a função de Heaviside, e que o mesmo se encontra à entrada 0 da fibra óptica, e que modula uma portadora de frequência , a equação do campo eléctrico que por suposto se polariza segundo é dada por

, , 0, , , 0, (3.2)

em que

, , 0, , 0,

0, 0, exp (3.3)

Sendo o regime monomodal, , representa a variação transversal do modo e 0, a variação longitudinal.

Considerando um ponto 0, o cálculo do campo eléctrico é dado pelas transformadas de Fourier do campo para 0

, , exp

(32)

Às quais correspondem as seguin es in ersas t v , 1 2 , exp , 1 2 , exp (3.5)

Das equações (3.3) tiramos que

, ,

, 0, 0,

0, 0, (3.6)

Sendo a constante de propagação longitudinal do modo fundamental e se tivermos em conta que,

, 0, exp (3.7)

Considerando as equações anteriores e aplica d (3. ) e (3.7), n o 6

,

0, exp (3.8)

Aplicando a transform da inversa da mes a m neira que em (3.5), obtemos a m a

, 1

2

exp 0, Ω exp Ω Ω Ω (3.9)

Em que se introduziu o desvio de frequência Ω em relação à portadora ,

Ω

(3.10)

Para simplificar o cálculo do integral da equação (3.9), vamos introduzir o desenvolvimento em série de Taylor da função Ω :

Ω Ω Ω ! (3.11) Ω (3.12) E podemos escrever , , exp (3.13) , 1 2 0, Ω exp Ω Ω Ω (3.14)

Por comparação entre as equações (3.3) e o conjunto (3.13) e (3.14) podemos observar que elas dependem de e de Ω, respectivamente, permitindo inferir que a função , tem uma variação mais rápida no tempo que , , tendo-se assim |Ω| . Porque os impulsos são

(33)

de banda estreita, é aceitável considerar desprezáveis os termos de ordem superior a 3 e assim obter de (3.12) a seguinte equação

Ω Ω 1

2

β Ω 1

6β Ω (3.15)

Retomando o cálculo da propagação de impulsos partindo de 0, como forma de chegar a , , definimos , 1 2 0, Ω , , Ω Ω (3.16) onde , , Ω exp Ω Ω (3.17) resulta da equação (3.14) ! , (3.18) Sendo (3.19)

Caso queiramos considerar as perdas do sistema representadas por , o coeficiente de atenuação de potência, voltamos a escrever a equação do seguinte modo

! , 2 , (3.20)

Deste modo obtemos a equação diferencial linear em que é possível obter , a partir de 0,

! 2 0 (3.21)

Considerando a equação anterior,

1

2

1

6 2 0 (3.22)

Em que os coeficientes são obtidos da equaçã (3.19) originando o

1

(3.23)

1 (3.24)

onde representa a velocidade de grupo e ao coeficiente dá-se o nome de Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG).

(34)

3.2. Resolução numérica

Para a realização da simulação numérica da propagação de impulsos em regime linear, consideramos desprezáveis as perdas, 0, e os efeitos dispersivos, 0. A equação (3.22) ficará simplificada a

1

2 0 (3.25)

De modo a normalizar a equação da propagação de impulsos em regime linear realizamos as seguintes mudanças de variáveis:

|

| (3.26)

(3.27)

(3.28)

Em que está definido como o comprimento de dispersão e zeta e tau são, respectivamente, variáveis adimensionais para o espaço e tempo.

Ao passarmos a escrever a equação (3.25) com o auxílio às novas variáveis normalizadas , obtemos

1 0 (3.29)

1 (3.30)

e daqui obtemos a equação pretendida num formato mais simples:

1

2 0 (3.31)

Aplicando a transformada de Fourier à equação anterior e considerando uma frequência normalizada tal que:

Ω (3.32)

obtemos

, 1

2 , (3.33)

que tem como solução

, 0, exp 1

(35)

Assim, podemos enunciar três etapas de resolução numérica que conduzem o cálculo do valor espectral do impulso em qualquer posição zeta a partir do impulso inicial:

(i) Cálculo da FFT 0, 0, (3.35)

(ii) Cálculo de , , 0, exp

2 1

(iii) Cálculo da IFFT , , (3.36)

3.3. Simulação

3.3.1. Impulso Gaussiano

Impulso 1

Nota: As simulações são realizadas para uma distância de 1250km.

0, 2 1 exp /2 2 1 exp /2 (3.37)

Com 5 e em que é a função de Heaviside.

Figura 15: Módulo da amplitude do impulso à entrada e à saída

(36)

Figura 16: Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra

Figura 17: Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (outro ângulo)

Face à dispersão da velocidade de grupo (DVG) existente, verifica-se um alargamento progressivo do impulso ao longo da fibra óptica. As várias frequências que o compõem irão propagar-se com diferentes velocidades, existindo componentes que estarão em atraso relativamente a outras.

(37)

Figura 19: Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (vista superior)

O alargamento do impulso é motivado pela sobreposição de frequências que irão interferir com as suas adjacentes provocando interferência intersimbólica na fibra. Relativamente à amplitude, verifica-se que a mesma sofre uma atenuação significativa ao longo do percurso da fibra (Figura 15).

Se desprezarmos a atenuação, o espectro do impulso mantém as suas características ao longo do comprimento da fibra (Figura 18), visto que nenhuma das componentes espectrais se vai atenuar.

3.3.2. Impulso Supergaussiano

Nota: As simulações são realizadas para uma distância de 250km e com a variação do parâmetro de chirp [11].

0, exp 1

2 (3.38)

Impulso 2 –

Substituindo 0 na equação anterior obtemos a expr ssãoe do impulso em estudo.

0, exp 1

(38)

Figura 20: Módulo da amplitude à entrada e saída do impulso gaussiano (C=0)

Figura 21: Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0)

Figura 22: Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0), outro ângulo

Pela observação dos cinco gráficos anteriores que representam o Impulso 2, podemos afirmar que o impulso gaussiano é muito mais sensível à dispersão que o estudado primeiramente. Apesar de diminuirmos a distância de observação em cinco vezes (de 1250 para 250 ) é nítido que o impulso à entrada é mais estreito no tempo (Figura 15 vs Figura 20) e que o fenómeno dispersão provoca um maior alargamento do mesmo à saída. Tal facto deve-se à proporcionalidade inversa entre tempo e frequência, que irá registar um maior número de componentes em interferência com as adjacentes.

(39)

Figura 23: Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra (C=0)

(40)

Ou seja, se pretendemos dimensionar a utilização de um impulso em longas distâncias, temos de estabelecer uma relação de equilíbrio entre tempo e frequência, para que se consiga atingir ritmos elevados de tempo e simultaneamente baixos níveis de dispersão (menor frequência).

Impulso 3 – 0

Substituindo na equação (3.38), 2, que respeita a condição de teste para o impulso 3, obtemos a seguinte equação que usare os para a simulação. m

0, exp 1 2

2 (3.40)

Figura 25: Módulo da amplitude à entrada e saída do impulso gaussiano (C<0)

Figura 26: Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (C<0)

Figura 27: Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C<0), outro ângulo

(41)

Figura 28: Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra (C<0)

(42)

Analisando os gráficos apresentados para o impulso 3, podemos aferir que a presença de chirp com valor negativo reforça o aumento da largura da sua componente espectral.

Ou seja, em vez de compensar a dispersão, este fenómeno agrava a situação presente no impulso anterior sem chirp revelando-se inapropriada a sua aplicação.

Impulso 4 – 0

Substituindo na equação (3.38), 2, que respeita a condição de teste para o impulso 4, obtemos a equação seguinte que usare os para a simulação. m

0, exp 1 2

2 (3.41)

Figura 30: Módulo da amplitude à entrada e saída do impulso gaussiano (C>0)

Figura 31: Módulo da amplitude do impulso ao longo da fibra (C>0)

Figura 32: Módulo da amplitude do impulso gaussiano ao longo da fibra (C>0), outro ângulo

(43)

Figura 33: Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra (C>0)

(44)

O Impulso 4 apresentado nas cinco figuras anteriores (Figuras 30 a 34) é um gaussiano com parâmetro chirp positivo. Numa primeira análise, podemos afirmar que a presença do chirp no início da ligação vai contrariar inicialmente o alargamento do impulso. Contudo, este só pode ser introduzido à entrada da fibra o que faz com que o seu efeito seja limitado, terminando quando é alcançado o estreitamento máximo do impulso. Daí para a frente o efeito dispersivo volta a dominar a estrutura do impulso fazendo com que este se alargue progressivamente alcançando para esta simulação resultados piores no final da ligação considerada do que o impulso que não contempla a presença de chirp.

3.4. Análise de resultados

A interferência inter-simbólica registada na propagação dos impulsos depende directamente do alargamento dos impulsos provocado pelo fenómeno da dispersão e condiciona o débito binário da transmissão digital.

De modo a podermos comparar o desempenho de cada um dos impulsos gaussianos na ligação em análise, introduzimos a e n d fi ição do momento:

|

, |

| , | (3.42)

Definindo também a largura efectiva do impulso

(3.43)

(45)

O estreitamento do impulso é esperado quando se verifica 0. Se analisarmos os gráficos que representam os módulos da amplitude do impulso (Figuras 20, 25 e 30), podemos constatar que na Figura 30 ocorre um estreitamento inicial como é também visível na Figura 31. Este efeito verifica-se quando o parâmetro de chirp é positivo 0).

Percorrendo a largura do impulso com chirp positivo, conseguimos concluir que a largura mínima do mesmo é alcançada para 0.163 (Figura 36).

Figura 36: Largura mínima do impulso

Num campo de análise de 250km, esta largura mínima alcançada corresponde a

| | 20 (3.44)

Da análise à Figura 36 concluímos que o impulso com chirp negativo é sempre aquele que alcança piores resultados, acentuando-se o efeito da dispersão, visto que se obtém sempre maior largura do impulso.

Na figura seguinte (Figura 37) conseguimos prever que para 0.607 existe um cruzamento de trajectórias entre a gaussiana sem chirp e a que o tem positivo. Quer isto dizer que a partir deste ponto, para 0.607 76 , o impulso sem chirp tem menor alargamento de impulso, revelando-se a melhor solução.

(46)

Figura 37: Largura dos três impulsos (aproximação da Figura 35)

3.5. Conclusão

Em resumo, a solução óptima seria manipular o uso do chirp. De modo a utilizar o seu efeito positivo nos impulsos gaussianos deveremos considerar a sua utilização para soluções curtas até 0.607. Para além disso, ou seja, para distâncias superiores a 76 km, tipicamente aquelas que queremos considera, os resultados alcançados pelo impulso gaussiano puro atingem e demonstram menor largura espectral.

Contudo a realização desta solução não é executável. Para responder a estas condições desejaríamos contar com um efeito de chirp linear, o que na prática não existe. Pela sua definição, o chirp é um desvio dinâmico da frequência provocado pela modulação interna de um laser. Ora, sendo ele dinâmico, na prática não o conseguimos utilizar como linear.

(47)

4. Regime Não-Linear - Solitões

O desenvolvimento dos estudos feitos durante o início da década de 90 fez com que os solitões passassem de mera curiosidade científica a um tipo de modulação atractivo nos sistemas de comunicações ópticas.

A palavra solitão surge para descrever o comportamento de uma onda que apresenta os efeitos dispersivos (alargamento da largura de um impulso e decréscimo da amplitude) equilibrados com os não lineares (“compressão” da largura e aumento da amplitude) de tal modo que essa onda se propaga no tempo sem alteração de forma e imune a colisões.

Em 1973, Hasegawa e Tappert [12] idealizaram a utilização de solitões em comunicações ópticas através de uma demonstração em que defenderam que os mesmos se iriam propagar de acordo com a equação de Schrödinger.

A possibilidade de manter solitões na fibra óptica foi o compromisso alcançado entre a Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG) e a Auto-Modulação de Fase (AMF).

Se os dois efeitos actuarem em separado, ambos vão servir de limitações aos sistemas. Contudo, em regime de dispersão anómalo, é possível “jogar” simultaneamente com os dois para que, numa fibra óptica monomodal, o efeito da AMF compense o alargamento dos impulsos induzido pela DVG, factor em referência no capítulo anterior.

Se desprezarmos as perdas, nesta situação, os impulsos irão propagar-se ao longo da fibra mantendo a sua forma inalterada, sendo então chamados de solitões ópticos.

O split-step Fourier Method (SSFM) é um método de análise numérica usado na resolução de equações não lineares de propagação de impulsos em fibras ópticas. O nome do Método tem origem nas suas duas etapas de resolução.

Em primeiro lugar, o método executa o cálculo da solução em pequenos passos, tratando a linearidade e a não linearidade separadamente.

Seguidamente, é utilizada a transformada de Fourier porque o passo linear é realizado no domínio da frequência, enquanto o não linear está desenvolvido no domínio do tempo.

Em fibra óptica interagem simultaneamente linearidades e não linearidades tornando difícil encontrar uma solução analítica, contudo o uso do Método split-step Fourier permite encontrar uma solução [13, 14, 15, 16, 17].

Analisemos a equação que rege a propagação de impulsos na fibra em regime não linear:

1

2 | |

Γ

2 · (4.1)

(48)

4.1. Propagação de Solitões

Restrinjamos a análise à zona de dispersão anómala onde podem ocorrer solitões claros. Assim temos 1, e a equação (4.1) assume a forma

1

2 · | |

Γ

2 (4.2)

Podemos escrever a equação (4.2) na sua forma compacta designando e como operadores de dispersão (termos lineares) e de não linearidade, respectivamente.

, (4.3)

Ambos estão definidos no domínio da variável adimensional tempo, , e podem-se escrever como:

1

2 · (4.4)

Γ

2 | | (4.5)

Para se efectuar a resolução numérica da equação, comecemos por separar a análise linear da não linear, optando por anular primeiramente o efeito da dispersão .

Dessa acção obtemos apenas o efeito não linear

· , Γ

2 | | · , (4.6)

A solução desta equação apresenta-se

, exp · · 0,

(4.7)

Em que 0, 0, é o impulso incidente na fibra [18].

Conhecendo a forma do impulso que incide na fibra em , podemos determiná-la, através de um esquema iterativo de passo lon itudinal , para qualquer g

, exp · · exp · · 0,

(4.8)

que resulta em

, exp · · , (4.9)

Façamos agora a análise ao efeito linear dispersivo , anulando o não linear .

· , 1

2 · · , (4.10)

(49)

, , . exp . .

, 1

2 , . exp . .

(4.11)

Nestas condições, o operador diferencial dispersivo transforma-se num operador algébrico transmitido por

2 · (4.12)

Aplicando os resultados à equação (4.10) que pretendemos resolver, esta toma uma nova forma

· ,

2 · · , (4.13)

A equação anterior apresenta a solução

, exp · .

, (4.14)

As duas soluções apresentadas – equações (4.9) e (4.14) – permitem, através de processos iterativos, efectuar o cálculo do sinal à saída de cada um dos pequenos troços consecutivos definidos como passos longitudinais .

Ao longo da fibra, o número de iterações necessárias à definição do sinal é inversamente proporcional ao tamanho do passo longitudinal . Quanto maior for este, menor o número de iterações necessárias e vice-versa.

Existe portanto um compromisso a calibrar em cada caso consoante o desejável (entre os extremos “Opção 1” e “Opção 2”), sendo que passos extremamente pequenos originam mais iterações, consequentemente maior tempo de processamento, mas a vantagem de obter menor margem de erro. O inverso também se verifica.

Opção 1 Opção 2

Passo longitudinal Curto Longo

Número de iterações Mais Menos

Tempo de cálculo Maior Menor

(50)

O processo iterativo atrás descrito que resume o Split-Step Fourier Method (SSFM) pode ser representado através de um simples diagrama de blocos:

0. ,

0,

1. ,

,

· · exp

· · | |

2. ,

,

3. ,

,

· · ·

· exp

· · ·

4. ,

,

0. Impulso inicial à entrada da fibra. 1. Análise do efeito não linear

2. Aplicação da Transformada de Fourier 3. Análise do efeito linear

4. Aplicação da Transformada de Fourier Inversa

O processo iterativo de resolução do método SSFM repete-se com o aumento do passo longitudinal (bloco à direita) - , , - até que se atinja o final da fibra óptica.

4.1.1. Solitão fundamental

Evolução do solitão fundamental no intervalo 0

(51)

Figura 38: Evolução do Solitão fundamental ao longo do espaço de propagação

Pela observação dos gráficos das Figuras 38 e 39 podemos concluir que na situação do solitão fundamental, a onda preserva a sua forma ao longo da propagação na fibra.

Este é o cenário ideal, sem perdas. No entanto, a execução real do cenário que a AMF compensa totalmente e em pleno a DVG é impossível visto que há que contabilizar as perdas. Neste caso a onda solitária mantém as características no final da fibra tal qual aquelas com que se apresentou à entrada, não se verificando qualquer alteração à amplitude e largura do impulso.

(52)

4.1.2. Solitão de 2ª ordem

Evolução do solitão de segunda ordem no intervalo 0

2sech (4.16)

Figura 40: Evolução do Solitão de 2ª Ordem ao longo do espaço de propagação

(53)

Contrariamente ao exemplo anterior do solitão fundamental, o solitão de segunda ordem faz variar as suas características de forma e amplitude ao longo da propagação na fibra.

Nesta situação, o relacionamento entre a AMF e a DVG é variável em intervalos de tempo constantes. Assim, poderemos aferir que em certos intervalos, o impulso é predominantemente influenciado pela AMF, noutros pela DVG.

O princípio da conservação de energia faz com que ao haver um estreitamento no impulso, este dará origem a um pico visível sensivelmente a meio da distância normalizada. Percorrida a distância em análise, o solitão de 2ª ordem volta a ter a forma e amplitude inicial. Concluímos assim que a distância normalizada analisada corresponde a um período do solitão de 2ª ordem:

.

4.1.3. Solitão de 3ª ordem

Evolução do solitão de terceira ordem on intervalo 0

3sech (4.17)

(54)

Figura 43: Vista superior da Figura anterior

As Figuras que ilustram o comportamento do Solitão de 3ª ordem revelam características diferentes em relação aos anteriores. Apesar da semelhança inicial, com o solitão de 2ª ordem, em que o impulso se contrai, este fenómeno ocorre em metade da distância normalizada. Essa compressão faz com que a amplitude do impulso atinja o seu máximo devido à conservação de energia.

De seguida, o impulso divide-se em duas partes, quando , voltando à sua forma inicial ao atingir o final da distância normalizada, em .

A evolução do solitão de 3ª ordem ao longo da fibra revela que a AMF e DVG não se compensam, fazendo com que exista inicialmente um alargamento do espectro, havendo um desvio para o azul na cauda e para o vermelho na frente da onda.

A ocorrência da AMF produz frequências elevadas na cauda do impulso. Em simultâneo, a presença da DVG faz com que essas frequências viagem mais rapidamente do que a frente do impulso, produzindo a primeira contracção (pico) visível nas Figuras 42 e 43.

Este fenómeno produz um aumento da intensidade na zona central do impulso. A co-existência da AMF e DVG exerce uma nova alteração no espectro do impulso fazendo com que este se divida em duas partes idênticas e paralelas.

No final do período existe nova alteração do espectro, ocorrendo de novo um aumento de intensidade (segundo pico) até o impulso adquirir a forma inicial revelada.

(55)

4.1.4. Conclusão

Analisando os três solitões de três ordens distintas cujos espectros foram expostos nas páginas anteriores e considerando a sua utilização em aplicações de telecomunicações, podemos concluir que o solitão fundamental, de primeira ordem, é aquele que traduz a utilização ideal, visto que, na ausência de perdas, a detecção de impulsos pode ser realizada a qualquer distância já que o mesmo mantém as suas características inalteradas ao longo da sua propagação.

O caso do solitão de terceira ordem é aquele que produz os piores resultados da análise. Se a detecção do impulso fosse realizada na zona média do período, onde o fenómeno da divisão do mesmo ocorre, a observação produzida iria revelar a existência de dois impulsos, o que na verdade não é o que se passa.

4.2. Propagação de um Impulso Gaussiano

Evolução do solitão fundamental no intervalo 0 5

(56)

Figura 45: Propagação do impulso ao longo da fibra

(57)

Dos gráficos anteriores representativos do espectro do solitão fundamental com 5, por comparação com o caso em que 0, notamos que existe um alargamento temporal à medida que o impulso se propaga na fibra. Assim podemos inferir que o alargamento temporal do espectro cresce quando ∞.

Podemos ainda relacionar o alargamento temporal com a diminuição da amplitude do impulso, facto visível nas figuras 44 a 46. A atenuação na amplitude é crescente quanto mais se avança na fibra ∞, fazendo com que exista uma relação directa entre o alargamento temporal do espectro e a diminuição da sua amplitude, efeito que se atribui à conservação de energia.

Esta não é uma solução viável visto que a função não é periódica, e que o espectro tem uma variação constante. Aumentando alarga-se temporalmente o espectro e diminui-se a amplitude de um modo progressivo, nunca se atingindo os valores do impulso à entrada na fibra.

4.3. Interacção entre solitões

O estudo da interacção entre solitões consecutivos num mesmo canal ganha especial importância nos sistemas de comunicação óptica, pois é necessário ter em conta os fenómenos que daí derivam quando estamos perante uma comunicação digital.

A co-existência entre solitões é uma situação real num sistema de telecomunicações pois nele estamos interessados em transmitir uma sequência de impulsos e não apenas um impulso isolado.

Sendo assim, torna-se relevante o estudo da perturbação entre impulsos provocado pela presença de outros na propagação de solitões.

Nesta análise iremos observar o comportamento e a variação da distância entre dois solitões ao longo do campo de propagação considerado. Dessa distância é possível extrair a existência e importância do efeito de interferência inter-simbólica (ISI) presente nestes sistemas de comunicação.

Para analisar a interacção entre solitões, recorremos à resolução aproximada da equação não-linear de Schrödinger que reflecte a distância entre dois solitões servindo-se de relações de amplitude e fase entre ambos.

A solução encontrada, que aqui iremos considerar como o impulso colocado à entrada da fibra, é a seguinte:

(58)

Em que,

Metade da separação temporal normalizada entre solitões; Relação de amplitude entre solitões

Diferença de fase entre solitões Distância de propagação

Nas simulações seguintes iremos considerar 0 90 e 3.5

Para análise do comportamento entre impulsos examinaremos o estudo de quatro exemplos. Primeiramente o caso em que as amplitudes são iguais e não existe diferença de fase (a). Nos dois seguintes (b) e (c) introduziremos variação de fase, fechando a análise com os impulsos em fase, mas diferentes amplitudes (d).

(59)

(a)

0,

1

Figura 47: Interacção entre 2 solitões ,

(60)

(b) ,

1

Figura 49: Interacção entre 2 solitões ,

(61)

(c) ,

1

Figura 51: Interacção entre 2 solitões ,

(62)

(d)

0,

1.1

Figura 53: Interacção entre 2 solitões , .

(63)

Análise de resultados

(a)

0,

1

Da análise aos gráficos apresentados nas Figuras 47 e 48, em que os dois solitões têm a mesma amplitude e estão em fase, podemos concluir que, periodicamente, os solitões se sobrepõem originando picos de amplitude. Entre o período de sobreposição, os solitões afastam-se, adquirindo formas independentes e voltam-se a atrair, sobrepondo-se novamente num ciclo que se repete periodicamente.

Assim, em termos de telecomunicações, esta hipótese não se revela como uma boa solução, visto que a informação contida num solitão irá ser mal interpretada caso estejamos na zona de sobreposição, o que para dados aleatórios não é possível prever a sua ocorrência.

(b) ,

1

Neste caso, atendendo ao exposto nas Figuras 49 e 50, verifica-se que, para a mesma amplitude e considerando uma certa desfasagem π/4, a distância entre solitões aumenta à medida que estes se propagam ao longo da fibra.

(c) ,

1

Neste caso, a conclusão que se retira da análise às Figuras 51 e 52 é idêntica ao exposto acima, considerando que o aumento da desfasagem reflecte um crescimento na distância entre solitões.

Ambas as soluções anteriores revelam-se igualmente inadequadas à arquitectura de telecomunicações, visto que num sistema real em que coabitam cadeias de bits, o afastamento progressivo poderá originar interferência entre os vários símbolos (ISI).

(d)

0

,

1.1

Esta configuração, ilustrada nas Figuras 53 e 54, permite afirmar que ao longo da propagação na fibra os dois solitões não convergem nem se afastam indefinidamente. A sua variação em torno da distância inicial é menor quanto maior for a relação entre as suas amplitudes. Esta parece em teoria ser a solução mais adequada, contudo a implementação deste sistema tem um grau de complexidade elevada, visto que seria necessário que o método de execução alcançado memorizasse e fizesse a análise dos impulsos enviados, tornando-se um processo penoso sabendo que estamos a lidar com dados aleatórios.

(64)

4.4 Conclusão

Figura 55: Afastamento normalizado entre solitões ao longo da distância de propagação

Através da análise da Figura 55 podemos comprovar com maior precisão as conclusões atingidas anteriormente. No primeiro caso (azul: 1 | 0) os solitões colidem periodicamente. Caso a recolha de informação seja realizada nesse período de colisão, essa será errónea pois não se consegue distinguir os solitões.

Nos dois casos seguintes – (vermelho: 1 | /4) e (verde: 1 | /2) a distância entre solitões aumenta n i finitamente podendo originar a interferência entre símbolos vizinhos. O último caso (preto: 1.1 | 0) é o que nos transmite melhores resultados. Apesar de haver uma pequena oscilação na distância entre solitões, esse afastamento é limitado e perfeitamente identificável, o que nos permite identificar a informação recolhida pelos solitões.

Em resumo, os solitões permitem transmitir dados por canal a um ritmo muito mais elevado, visto que não sofrem efeitos dispersivos. No entanto, no modo de transmissão multicanal a sua implementação possui algumas limitações.