ANÁLISE DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM UM AÇO SAE 1020
EM UM CARREGAMENTO DE TORÇÃO POR MEIO DE
ELEMENTOS FINITOS
Jonathas Barros de Sousa1, Filipe Lima dos Santos2
Resumo: Na engenharia é frequente o uso de softwares especializados que auxiliam engenheiros nas mais diversas frentes, essa área é definida como Engenharia Assistida por Computador ou Computer Aided Engineering (CAE). Apesar dessas ferramentas facilitarem tarefas cotidianas do engenheiro, cabe a ele conhecimento geral e capacidade de abstração para uma precisa utilização. O objetivo do artigo é o estudo da concentração de tensão por meio de um carregamento de torção e a análise de forma prática, utilizando software com o Método dos Elementos Finitos (FEM). Analisando a importância do refinamento de malha e das ferramentas de convergência foram realizadas simulações computacionais utilizando o programa comercial ANSYS, para isto foi feita uma variação na quantidade de elementos de malha do modelo, aplicação de torque na geometria e teste de convergência da malha para encontrar o valor das tensões máximas e sua região onde ocorreu, bem como os erros obtidos nas simulações e comparando com literaturas. O material simulado foi o aço SAE 1020 devido à sua excelente conformabilidade, sendo amplamente utilizando por causa do seu custo x benefício.
Palavras-chave: Concentração de Tensão; Carregamento de torção; Elementos Finitos; Refinamento de malha; Simulação computacional;
1.
INTRODUÇÃOOs engenheiros enfrentam diariamente problemas técnicos nos mais diferentes graus de dificuldade e para uma resolução precisa e satisfatória é necessário o uso de uma gama de ferramentas matemáticas. Na área de cálculo estrutural, particularmente, deve-se garantir que a estrutura do objeto de estudo não estará exposta a falhas sob as mais diversas situações de operação. O êxito é dependente da compreensão da natureza física da falha e das ferramentas usadas para modelar a falha. [1]
As estruturas na prática, geralmente, apresentam complexidades que tornam inviáveis métodos analíticos, estes permitiriam resultados exatos devido a análise em infinitos pontos da estrutura. Faz-se então o uso de modelos matemáticos, procurando agregar todos os dados significativos para o fenômeno, desprezando variáveis que não alterem consideravelmente o comportamento do caso [2].
Com a evolução da tecnologia, ferramentas de simulação virtual como o Ansys Workbench 18.1 foram desenvolvidas baseada no Método de Elementos Finitos, resultando em praticidade de operação, redução de custo e prazo, em razão da diminuição do uso de protótipos físicos [1].
O método consiste na discretização, resumindo-se em dividir a estrutura de um sistema contínuo em partes separadas distintas, interligadas em pontos discretos. Podendo aplicar operações padrões para produzir equações algébricas simultâneas que são processadas com auxílio de computadores estas equações são aplicadas na etapa de construção do modelo, escolhendo o elemento adequado que represente uma dada situação física. Como é o caso deste trabalho que fará simulação de um carregamento de torção. A fidelidade do resultado é diretamente relacionada com a alimentação do programa, devendo estas informações serem precisas e relevantes, mostrando a importância do projetista na abstração de cada caso comparando com valores presentes em literaturas [1].
2.
DESENVOLVIMENTOO artigo tem como objetivo o estudo da concentração de tensão em um carregamento de torção através do uso de softwares baseado no Método dos Elementos Finitos. As etapas desse artigo compreendem: revisão bibliográfica, simulação computacional e análise dos resultados para averiguar a aplicação.
A revisão bibliográfica foi desenvolvida baseada em artigos e livros. Com o intuito de aprofundar o conhecimento a respeito de conceitos sobre concentração de tensão, análise de estruturas e método numérico.
A simulação computacional será moldada para construir um modelo de análise de concentração de tensão em um carregamento de torção, este terá os resultados comparados com soluções analíticas presentes em artigos e livros didáticos. Para a modelagem do carregamento de torção, será utilizado o programa comercial ANSYS.
A análise foi dividida em duas etapas, a primeira relacionada com a variação de parâmetros na construção da malha, a segunda consiste na comparação entre os dados experimentais e os presentes na literatura.
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
2.1. Fundamentação Teórica
Um carregamento de torção será analisado por meio de simulações computacionais no software Ansys Workbench 18.1. Software este que trabalha com o Método dos Elementos Finitos. Antes disso será exposto o que é carregamento de torção e o método dos elementos infinitos, bem como os erros que podem vir ocorrer na simulação. Logo em seguida será mostrado como será feita esta simulação e os seus resultados. Por último eles serão comparados com a literatura e as razões dos seus possíveis erros.
2.1.1. Carregamento de Torção
A fórmula de torção, τmáx = Tc/J, pode ser aplicada a regiões de um eixo que tenham seção transversal circular constante ou ligeiramente cônica. Quando surgem mudanças repentinas na seção transversal, a distribuição da tensão de cisalhamento e da deformação por cisalhamento no eixo tornam-se complexas e só podem ser obtidas por meios experimentais ou, possivelmente, por análise matemática baseada na teoria da elasticidade.
Para que o engenheiro não precise executar uma análise complexas da tensão em uma descontinuidade do eixo, a tensão de cisalhamento máxima pode ser determinada para uma geométrica específica com a utilização de um
fator de concentração de tensão por torção, K. Um exemplo para o filete de rebaixo é mostrado na Figura 1.
Figura 1 – Gráfico K x r/d [4]
Para usar esse gráfico, em primeiro lugar, temos de determinar a razão geométrica D/d para definir a curva adequada e, então, uma vez calculada a abscissa r/d, o valor de K é determinado ao longo da ordenada. Em seguida, a tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação
τmáx = KTc/J (1) Aqui, a fórmula de torção é aplicada ao menos dos dois eixos interligados, visto que τmáx ocorre na base do filete.
Podemos observar pelo gráfico que uma aumento no raio r do filete provoca um decréscimo em K. Por consequência, a tensão de cisalhamento máxima no eixo pode ser reduzida aumentando o raio do filete. Além disso, se o diâmetro do eixo maior for reduzido, a razão D/d será menor, assim como o valor de K e, portanto, τmáx será mais baixa.
Como no caso de elementos carregados axialmente, os fatores de concentração de tensão por torção sempre devem ser utilizados no projeto de eixos feitos de materiais frágeis que serão submetidos a carregamentos de fadiga ou de torção cíclica. Essas condições dão origem à formação de trincas na concentração de tensão, o que muitas vezes pode resultar na falha repentina do eixo. Entende-se também que, se um grande carregamento de torção estático for aplicado a um eixo feito de um material dúctil, deformações inelásticas podem-se desenvolver no interior do eixo. Como resultado de escoamento, a distribuição de tensão se tornará mais uniformemente distribuída em todo o eixo, de modo que a tensão máxima resultante não será limitada na concentração de tensão. [4]
2.1.2 Análise Geométrica
Na necessidade de resolver um problema de análise estrutural, deve-se analisar primeiramente a classificação de sua geometria, modelo do material constituinte e ações aplicadas. A maneira que o Método dos Elementos Finitos será aplicado dependerá de algumas simplificações particulares ao caso, então serão citados alguns aspectos que devem ser avaliados antes da fase de análise de estrutura. [5]
Na análise dinâmica ou estática são observadas as acelerações vinculadas as forças de inercia. Contudo, em algumas situações, analisa-se as ações aplicadas de forma suficientemente lenta ao ponto de tornar-se desprezíveis as forças de inércia gerando um modelo estático. [5]
Na análise linear ou não linear, os deslocamentos de nós são ínfimos quando comparados as dimensões de segmentos da peça, assume-se que não há influência da pequena variação de geometria da peça nos esforços e tensões, portanto o ensaio é feito com geometria inicial indeformada. Se esse princípio não for considerado, a análise é considerada não linear. [5]
No tipo de estrutura adota-se a geometria do elemento para classificá-lo como reticular, laminar ou solido. Estruturas laminares possuem uma face média e desenvolve-se para ambos lados, permanecendo adjacente, podendo adotar uma lâmina como exemplo, pois a espessura é inferior quando comparada as outras dimensões. Estruturas reticuladas apresentam bases prismáticas, as quais possuem dimensões transversais inferiores no momento que são comparadas com o comprimento de eixo. Estruturas sólidas são quaisquer elementos que não apresentem características dos conjuntos acima. Podendo ser citadas ainda outras estruturas consideradas assimétricas, estas podem ser sólidos ou lâminas de revolução. [5]
2.1.3 Método dos Elementos Finitos
A elaboração do Método de Elementos Finitos necessita da presença de uma equação integral que possa substituir o integral sobre o domínio de complexo por um somatório de integrais estendidos a um subdomínio de geometria simplificada [5]. Demostrada no seguinte exemplo de uma função f integrando o volume V.
∫ 𝑓𝑑𝑣 𝑉 = ∑ ∫ 𝑓𝑑𝑣𝑉 𝑛 𝑖=1 (2) Implicando na função: V = ∑𝑛 𝑉𝑖 𝑖=1 (3)
Realiza-se o somatório, após calculado todas as integrais dos subdomínios Vi, para obter a integral estendida de todo domínio. Cada elemento finito é representado por um subdomínio em Vi. Para melhor compreensão do Método dos Elementos Finitos, faz-se o uso de estruturas reticuladas para determinar as leis apropriadas ao processo, onde a análise torna-se mais delicada. [5]
O estudo inicia com a relação entre forças e deslocamento nodas para cada elemento individual. A constante elástica de uma mola, que é dada com a proporção entre força aplicada e deslocamento de um ponto observado, é capaz de representar, de forma bruta, um coeficiente de rigidez. [5]
Os elementos finitos utilizam o mesmo princípio em um conceito mais amplo, uma vez que a condição acima é observada em apenas uma dimensão. Uma viga, por exemplo, apresenta simultaneamente abundantes componentes de rigidez, como rigidez axial, flexão, torção e o cisalhamento. [5]
Todas essas interações lineares são facilmente caracterizadas no computador pelo auxílio da álgebra matricial. Componentes de forças atuantes no elemento são representados no estado de matriz coluna, semelhantemente, podemos resolver os inúmeros componentes de deslocamento, ilustrado na equação 4. Definimos assim o conceito de matriz de rigidez de um elemento finito.
{f} = [k] * [d] (4) Sendo:
k: matriz quadrada abrangendo os coeficientes de rigidez.
d: matriz coluna que retrata os deslocamentos nodais dos elementos. 2.1.4 Erro Matemático
O modelo matemático é uma abstração do sistema físico real, nessa concepção são realizadas várias simplificações geométricas do domínio e a estrutura operacional da solução. Por consequência do processo, a definição de um modelo, discretização de um domínio e a solução numérica do sistema de equações resultantes instituem incertezas na validade dos resultados. Para essas etapas citadas podemos relacionar e classificar em três erros distintos. [6]
O erro na modelagem matemática, que é determinado pela desigualdade entre valores calculados e valores pontuais medidos no sistema físico, a veracidade da hipótese minimiza o intervalo do erro [6].
Os erros de discretização, definido como a diferença entre a solução exata e a aproximada calculada, este decorrente do posicionamento do domínio e das preferencias nas funções de interpolação. Simplificação na modelagem dos elementos, dificuldade de modelar singularidades mais complexas e contornos curvos, são fontes comuns desse tipo de erro [6].
A aplicação de uma malha extremamente fina para obter uma melhor descrição de um objeto, com geometria relativamente pouco complexa, pode levar a ocorrências de erros. Mesmo com uma aplicação efetiva das ferramentas na construção da malha, pode ocorrer dificuldades de adaptação da rede com a geometria do modelo. Além disso, um número maior de elementos resulta em uma maior quantidade de operações matemáticas envolvidas, partindo da premissa que o método é aproximado, esse processo poderá contribuir para a propagação de erros numéricos [7].
Com a capacidade da mecânica computacional de melhorar automaticamente uma solução numérica, usando o cálculo de estimativas do erro de discretização, fez-se possível o uso automático de processos adaptativos. A solução será otimizada de forma a obter um resultado mais refinado com um menor esforço computacional, atuando em regiões do domínio onde a solução se apresenta de alguma maneira deficiente. Desta forma, desenvolveu-se o conceito de estimador de erro, que em poucas palavras, identifica as regiões do domínio a serem refinadas, com medidas qualitativas fornecendo um valor numérico aproximado da diferença entre as soluções [6]. 2.1.5. Métodos Adaptativos
Os métodos adaptativos consistem em modificar a malha e/ou grau polinomial até alcançar um nível de precisão estabelecido. Para guiar esse método utiliza-se o princípio de equidistribuição do erro, que utiliza a premissa de uniformidade e redução do erro medido nos elementos da malha para garantir maior qualidade de aproximação. Atuando em regiões nas quais os estimados de erro identificam valores muito acima dos encontrados no restante da malha. [8]
Dentre as várias maneiras de construção do método adaptativo, podemos destacar h e refinamento-p. Refinamento-h mantém a posição de interpolação polinomial, alterando o tamanho e consequentemente a quantidade de elementos. Refinamento-p aumenta o grau polinomial da aproximação sem alterar a geométrica da malha em questão.
Zienkiewicz, Taylor e Zhu (2005) demonstraram a divisão dos métodos acima em subcategorias. Os autores enumeram três metodologias distintas para refinamento-h e duas para refinamento-p. Para o primeiro caso temos: • Subdivisão de elementos: as regiões nas quais o erro é ressaltado tem seus elementos divididos em elementos menores, mantendo o contorno original;
• Completa regeneração: é gerada uma malha completamente nova, na qual o tamanho e quantidade de elementos podem variar livremente;
• Refinamento-r: os nós são ajustados da forma para obter uma maior qualidade da resposta aproximada, sendo o número total de nós inalterado.
Para o segundo caso temos um aumento do grau polinomial da aproximação que acontece de forma: • Uniforme, ao longo de todo o domínio;
• Localmente, utilizando o refinamento hierárquico.
Segundo Proença (2009), em regiões de resposta com distribuições suaves o refinamento-p revelou-se mais eficiente, ao mesmo tempo que refinamento-h é mais satisfatório em regiões de resposta com grandes gradientes localizados. Existem situações em que os refinamentos combinados estrategicamente, definido como refinamento-hp, fornece valores altíssimos de convergência. [10]
O controle de precisão de uma solução pode ser feito através do refinamento da malha utilizando ferramentas de construção e edição de malha ou por meio da ferramenta de convergência como parte do processo de solução. A ferramenta controla a convergência para um grau de erro predefinido para os resultados encontrados,
possuindo como avaliação a alteração percentual estabelecida na resolução, identificando e enriquecendo o modelo em zonas favoráveis. [11]
Para a construção de uma solução com a ferramenta de convergência adaptativa, de forma geral, o software usa uma malha base para uma primeira solução, estes elementos de malhas são analisados por dois critérios distintos. O primeiro explora essencialmente o tamanho do elemento, identificando os maiores em zonas críticas, que são suprimidos e substituídos por uma representação de elementos finitos mais refinada. O segundo opera a norma de Zienkiewich e Zhu, usando o refinamento-h como método adaptativo. As regiões nas quais os erros são exorbitantes, tem seus elementos colocados na fila para refinamento, esse processo é feito até que se atinja o nível de alteração percentual estabelecido. [11]
2.2 Metodologia
O software de métodos de elementos finitos utilizado foi o ANSYS Workbench versão 18.1, aplicando o módulo de análise Static Structural. O material simulado é o Aço SAE 1020, com propriedades revisadas no Apêndice B - Propriedades de Materiais de Engenharia Selecionados [12], estas estão representadas abaixo:
Tabela 1. Propriedades do Aço SAE 1020. [12]
Massa Específica (g/cm3) 7,85 Módulo de Elasticidade (Gpa) 2,07
Coeficiente de Poisson 0,3
Coeficiente Linear de Expansão Térmica (10-6(°C)-1) 11,7 Condutividade Térmica (W/m.k) 51,9
Calor Específico (J/kg.K) 486
Resistividade Elétrica – Recozido (Ω.m) 1,60.10-7
Foram feitas quatro simulações em um eixo de dimensões 300 x 100 x 50 (comprimento, diâmetro maior e diâmetro menor respectivamente), variando apenas o raio de abaulamento entre 7,5mm; 10mm; 12,5mm e 15mm respectivamente.
Uma malha foi gerada através da ferramenta Mesh, porém como ela era muito grosseira e para padronizar os elementos de elaboração da malha do modelo, foi aplicado a ferramenta Sizing para controlar forma e dimensão.
Desta forma foi aplicada uma malha dominante com elementos hexadecimais com nós de meia costuras, estes últimos para melhorar a qualidade geométrica da mesma. Através do Sizing será controlada a dimensão dos elementos de malha variando com o estudo do caso.
No módulo Static Structural, foi inserido Fixed Support na face da placa paralela ao eixo XY de normal negativa, para manter o eixo fixo ao sofrer um toque, aplicado na face oposta através da ferramente Moment com um valor 50 N.m com sentido e direção do eixo X negativo demonstrado. Tanto o Fixed Support como o Moment são demostrados nas Figuras [2] e [3], respectivamente, a seguir:
Figura 3 – Moment. (Autoria própria)
Para analisar a simulação emprega-se a ferramenta de solução Stress Equivalente (von-Mises) que permite calcular qualquer estado de tensão arbitrário, sendo representado como valor único de tensão positiva, expresso em quatro algarismos na base 106. Tem como base a teoria de critério de falha de von-Mises utilizada em materiais dúcteis.
Foram solicitadas 10 iterações para cada eixo, sempre com as mesmas dimensões da ferramenta Sizing. As malhas tiveram como padrão 0,005m, e subsequentemente esse valor foi reduzindo a cada modelagem até a malha obter um alto nível de refinamento. Construiu-se uma tabela para cada eixo relacionando o número de elementos presentes em cada malha e sua respectiva tensão máxima no final da modelagem.
As ferramentas citadas anteriormente foram aplicadas nos 4 eixos. Os resultados obtidos de tensão máxima, assim como, as dimensões de cada raio de abaulamento foram aplicadas na geração do fator de concentração de tensão.
2.3 Resultados e Discussões
Em ambas as quatro simulações foram aplicados o mesmo parâmetro Sizing, para refinar a malha com 0,005m, ilustrado na Figura a seguir:
As simulações foram explanadas em tabelas constituídas por número de elementos apresentados em cada malha e sua respectiva tensão máxima, o erro máximo permitido nas simulações foi de apenas 2%. Em todas as 4 simulações, foi exigido um número máximo de 10 iterações, porém a malha convergiu com apenas 3.
Figura 4 – Gráfico mostrando o exato momento em que a malha da quarta geometria convergiu. (Autoria própria)
Como as geometrias são iguais, variando apenas o raio de abaulamento, o número de iterações feitas para encontrar a convergência da malha foram os mesmos, como também as variações nas tensões máximas foram poucas. O percentual de erros não chegou ao limite máximo de 2%, somente em um caso ficou acima de 0%. Na medida em que a malha foi refinada, foram aumentando os números de nós e elementos na geometria e na mesma medida, houve um aumento no número de erros [7], conforme podemos ver na Tabela 2:
Tabela 2. Parâmetros das malhas escolhidas em todas as simulações. (Autoria própria) Geometrias Tensão máxima (Pa) Número de iterações Erro (%) Nós Elementos Geometria 1 4,5536 x 106 3 -0,14124 508941 364052 Geometria 2 4,3397 x 106 3 -1,8837 x 10-2 1319717 946700 Geometria 3 4,2107 x 106 3 0,4686 1603587 1158643 Geometria 4 4,1008 x 106 3 -0,27004 1555034 1123125 As figuras na próxima página mostram que as tensões máximas ocorrem na base do raio de abaulamento ao ser aplicado um carregamento de torção no diâmetro inferior, segundo está escrito na revisão bibliográfica. [4]
Figura 5 – Geometria 1 após o teste de convergência da malha aplicado. (Autoria própria)
Figura 6 – Geometria 3 após o teste de convergência da malha aplicado. (Autoria própria)
Figura 6 – Geometria 4 após o teste de convergência da malha aplicado. (Autoria própria)
Os valores de tensão máxima encontrados nas 4 simulações, juntamente com o torque e os diâmetros do eixo menor foram inseridos na equação (1), para calcular o fator de concentração de tensão por torção (K). Os resultados encontrados foram inseridos no gráfico da Figura 7 e comparados com o valor da literatura.
Figura 7 – Comparação entre os valores “K x r/d” da literatura, com os valores de “K x r/d”calculados com os valores das tensões máximas encontradas nas simulações. (Autoria própria)
De acordo com a revisão bibliográfica, na medida em que aumenta o raio de abaulamento r, reduz-se o valor de K e com isso a tensão máxima será mais baixa [4], e é isto que pode ser constatado no gráfico e nas simulações feitas, ao comparar os valores obtidos através das simulações com a literatura. A diferença entre os pontos das duas curvas pode ser chamada de “erro de discretização”, que é a desigualdade entre valores calculados e os valores exatos. As causas desse erro podem ter sido em decorrência do posicionamento dos domínios, dificuldade de modelar singularidades mais complexas e contornos curvos, como também simplificação de valores ao realizar os cálculos [7]. O valor médio calculado desse erro é de 0.15. Já o erro relativo médio é de 13,1%.
3.
CONCLUSÕESNeste trabalho foi analisar um carregamento de torção por meio de um software de simulação. Através destas simulações foi possível identificar as regiões que ele ocorre no eixo e os erros ocorridos quando as simulações foram feitas. Por meio de bibliografias foi possível comprovar a veracidade dos resultados, comparando com os valores presentes na literatura, bem como as razões que levaram aos erros.
Com resultados encontrados, um engenheiro deve procurar saber o que fazer para solucionar problemas durante a sua rotina e corrigir os erros cometidos na simulação. Um software é capaz de fazer algo que custaria muito tempo e trabalho, assim sendo adiantar outros serviços no seu dia-a-dia e mostrar uma maior eficácia.
Cabe nós como futuros profissionais da área somar o conhecimento adquirido em sala de aula com os avanços tecnológicos, para assim fazer a diferença no mercado de trabalho, que cada vez mais utiliza-se destes avanços para melhorar o desempenho em suas atribuições.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ALVES FILHO, A. Elementos Finitos–A base da tecnologia CAE, 2018.
[2] DE CASTRO, E. C. Procedimento para análise numérica com software ansys de uma viga em flexão com a forma t. REEC-Revista Eletrônica de Engenharia Civil, v. 14, n. 1.
[3] DE MENDONÇA, É. M. Análise de concentração de tensões e fadiga em uma junta soldada. Projeto de Graduação—Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2016.
[4] HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais, 2010. [5] AZEVEDO, Á. F.M. Método dos elementos finitos, 2011.
[6] LAS CASAS, E. B.; MAGALHAES, Max de Castro. Implementação computacional de estimador de erro baseado em técnicas superconvergentes de recuperação. 1995.
[7] MEIRELES, J. F. Análise dinâmica de estruturas por modelos de elementos finitos identificados experimentalmente. 2008.
[8] LINS, R. M. Estimador de erro a posteriori baseado em recuperação do gradiente para o método dos elementos finitos generalizados. 2011.
[9] ZIENKIEWICZ, OLEK C.; TAYLOR, ROBERT L.; ZHU, Jian Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Elsevier, 2005.
[10] PROENÇA, S. P. B. (2009). Introdução aos Métodos Numéricos – Notas de Aula. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
[12] CALLISTER JUNIOR, WILLIAM D. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. Rio de Janeiro: LTC, v. 589, p. 249, 2002.
