DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Nº 1079

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FUNÇÕES DE FORMA DE ORDEM SUPERIOR BASEADAS EM H(CURL) PARA O MÉTODO SEM MALHA DE AREST

Luilly Alejandro Garcia Ortiz

DATA DA DEFESA: 30/08/2018

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Universidade Federal de Minas Gerais

Escola de Engenharia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

FUNÇÕES DE FORMA DE ORDEM SUPERIOR BASEADAS EM

H(CURL) PARA O MÉTODO SEM MALHA DE AREST

Luilly Alejandro Garcia Ortiz

Dissertação de Mestrado submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Renato Cardoso Mesquita

Belo Horizonte - MG Agosto de 2018

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Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co a Deus por me dar saúde, sabedoria e fortaleza f´ısica para realizar este trabalho e para superar todos os obstáculos que se apresentam na minha vida. A minha mãe, Celmira Ortiz, por ter me ensinado esse conjunto de valores que só em casa são apreendidos e que hoje, fora de casa, são a base para eu cumprir com minhas metas e sonhos propostos. A ela, por estar comigo naqueles momentos complicados no come¸co do meu mestrado, por ser meu maior exemplo de vida e por ser meu motor do dia a dia. MEUS triunfos sempre serão TEUS triunfos. Te amo madre!

A meus irmãos Yency, Carlos, Edgar e a minha sobrinha Hanna, por cada mensagem e palavra de ânimo. Quero agradecer de forma especial a meu irmão Carlos que sem o apoio econômico dele este sonho não teria sido realizado. Também, aos outros membros da minha fam´ılia pelo apoio prestado durante este tempo.

A meu orientador Renato Cardoso Mesquita e coorientador Na´ısses Zoia Lima, por terem acreditado em mim para a elabora¸cão desde trabalho, pela excelente orienta¸cão e pela paciência com meu portunhol. Pela educa¸cão para realizar as diferentes cr´ıticas construtivas durante meu mestrado. Aos profs. Fernando José da Silva Moreira e Cássio Gon¸calves do Rego, pela forma¸cão acadêmica durante minha mestrado. Todos eles, serão de inspira¸cão para minha forma¸cão como docente.

A todos meus amigos e colegas com os quais compartilhei tempo durante meu mestra-do, de forma especial ao José (El patrón) e o Andrés pelo apoio e amizade de muitos anos. À Maria e a o Diego por terem me recebido na sua casa sem me conhecer e pela disponibilidade ante de qualquer situa¸cão. Ao pessoal do Laboratório de Otimiza¸cão de Projetos assistidos por Computador (Lopac) pela parceria e a tradu¸cão automática. Aos times de futsal da en-genharia (griffo) e da UFMG, por terem me acolhido no seu time e continuar apoiando essa minha louca paixão pelo futebol. A essa menina feia, horrorosa e chata por me acompanhar neste tempo, por tantas madrugadas de conversas fora só para eu não dormir e conseguir acabar meus trabalhos, por dar esse “toque” diferente a minha vida, para ela muito obrigado.

`

A CAPES pelo apoio financeiro e `a FUMP pelo excelente atendimento durante meu mestrado.

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Resumo

O Método sem Malha de Aresta é um método numérico em que, diferentemente dos métodos sem malha tradicionais, se constrói as aproxima¸cões baseado em arestas ao invés de nós. Uma das finalidade deste método é garantir a condi¸cão do divergente nulo e eliminar os modos espúrios presentes na solu¸cão numérica. Nesta disserta¸cão é desenvolvida uma for-mula¸cão matemática para gerar as fun¸cões de forma vetoriais, de modo que quatro, cinco e seis arestas possam ser tomadas no dom´ınio de suporte. Para isso, a ordem do polinômio das fun¸cões de base deve ser aumentada. As fun¸cões de base estão baseadas nos espa¸cos H(curl) e no caso de quatro arestas também estão baseadas nos elementos de primeiro tipo de Nédélec. Para testar as novas fun¸cões de forma vetoriais o método é aplicado a vários problemas eletromagnéticos. O método sem malha de aresta consegue resolver satisfatoria-mente esses problemas, isto é, a solu¸cão numérica satisfaz a condi¸cão tanto do divergente nulo, como da continuidade da componente tangencial do campo elétrico entre dois materiais diferentes além da solu¸cão numérica não apresentar modos espúrios. As novas fun¸cões de for-ma vetoriais geram um incremento na ordem de convergência quando seis arestas são usadas no dom´ınio de suporte, pois esta fun¸cão de base utiliza um polinômio de ordem mais elevada.

Palavras clave: Espa¸cos H(curl), Fun¸c˜oes de forma vetoriais de alto ordem, M´

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v

Abstract

The Edge Meshless Method (EMM) is a numerical method that unlike traditional mesh-less methods, constructs its approximations based on edges instead of nodes. One of the purposes of this method is to guarantee the condition of the null divergent and to eliminate the spurious modes present in the numerical solution. In this dissertation a mathematical formulation is developed to generate the vector shape functions, so that four, five and six edges can be taken in the support domain. For this, the order of the basic polynomial fun-ctions must be increased. The basic funfun-ctions are based on the H (curl) spaces and in the case of four edges are also based on N´ed´elec’s element of first type. The EMM with the new vector shape functions is applied to several electromagnetic problems, for which the permeability and permittivity of the materials are modified. The meshless method can solve these problems satisfactorily, that is, the numerical solution satisfies both the null divergent condition and the continuity of the tangential component of the electric field between two different materia. Besides, the numerical solution does not present spurious modes. The new vector-shape functions generate an increase in the order of convergence when six edges are used in the support domain, because the base function uses a high-order polynomial.

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Agradecimentos III Resumo IV Lista de figuras IX Lista de tabelas X Lista de S´ımbolos X 1 Introdu¸c˜ao 2

2 Revis˜ao Bibliogr´afica 6

2.1 Elementos Finitos de Aresta . . . 7

2.2 M´etodo sem Malha de Aresta com fun¸c˜oes de forma originais . . . 11

2.3 Método sem Malha de Arestas com fun¸cões de forma vetoriais baseadas nos elementos de primeiro tipo de Nédélec . . . 16

3 Fun¸c˜oes de Forma Vetoriais com mais arestas no dom´ınio de suporte 18 3.1 Fun¸c˜oes de forma vetoriais para 4 arestas no dom´ınio de suporte . . . 18

3.2 Fun¸cões de forma vetoriais para 5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte baseadas no elemento de primeiro tipo de Nédélec . . . 19

3.3 Fun¸c˜oes de forma de aresta vetoriais em H(curl) para 5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte baseadas apenas nos espa¸cos H(curl) . . . 24

4 Resultados Num´ericos 28 4.1 Circula¸c˜ao nas arestas . . . 29

4.2 Interpola¸c˜ao de campos vetoriais . . . 34

4.3 Problema de autovalores . . . 38

4.3.1 Defini¸c˜ao do problema . . . 38

4.3.2 Guia de onda com meio homogˆeneo e isotr´opico . . . 41

4.3.3 Guia de onda com saliência e meio homogêneo e anisotrópico . . . 46

4.3.4 Guia de onda com meio não homogêneo e anisotrópico . . . 47

4.4 O EMM com ordem polinomial h´ıbrida . . . 50

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Sumario vii

5 Conclus˜oes 56

5.1 Trabalhos Futuros . . . 57

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1-1. Distribui¸cão de nós na fronteira e no dom´ınio nos métodos sem malha. Figura

retirada de [12] . . . 3

1-2. Distribui¸c˜ao de arestas na fronteira e no dom´ınio nos m´etodos Mfree. . . 4

2-1. Elemento Triangular. . . 7

2-2. Elemento Quadrangular. . . 10

2-3. Fun¸cão φ dependente da distância contida nas fun¸cões de forma vetoriais de aresta. . . 13

3-1. Representa¸cão gráfica das fun¸cões de forma vetoriais para 4 arestas no dom´ınio de suporte. (a)−→N1, (b)−→N2, (c)−→N3 e (d)−→N4 . . . 20

3-2. Representa¸cão gráfica das fun¸cões de forma vetoriais para 5 arestas no dom´ınio de suporte. (a)−→N1, (b)−→N2, (c)−→N3, (d)−→N4 e (e)−→N5 . . . 26

3-3. Representa¸cão gráfica das fun¸cões de forma vetoriais para 5 arestas no dom´ınio de suporte. (a)−→N1, (b)−→N2, (c)−→N3, (d)−→N4, (e)−→N5 e (f )−→N6 . . . 27

4-1. Distribui¸c˜ao de arestas quadrilateral e a circula¸c˜ao nas arestas. . . 30

4-2. Distribui¸c˜oes de arestas para 5 arestas no dom´ınio de suporte. . . 31

4-3. Distribui¸c˜ao de arestas para seis arestas no dom´ınio de suporte. . . 33

4-4. Distribui¸c˜ao de arestas para trˆes, quatro, cinco e seis arestas no dom´ınio de suporte. . . 35

4-5. N´ıveis de erro para as fun¸cões de forma com 5 arestas no dom´ınio de suporte. 36 4-6. N´ıveis de erro para as fun¸cões de forma com 6 arestas no dom´ınio de suporte. 36 4-7. Evolu¸cão do erro em fun¸cão do número de arestas. . . 37

4-8. Representa¸c˜ao do campo el´etrico aproximado. . . 37

4-9. Evolu¸c˜ao do erro no calculo dos autovalores no guia de onda quadrado para 3, 4, 5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte. . . 45

4-10.Guia de onda com saliência e meio homogêneo anisotrópico. . . 46

4-11.Evolu¸cão do erro do autovalor 1 para o guia de onda com saliência e meio homogêneo anisotrópico. . . 48

4-12.Geometria da guia de onda inomogênea anisotrópica . . . 48 4-13.Distribui¸cões das arestas no guia de onda com meio inomogêneo anisotrópico 49 4-14.Distribui¸cões de arestas para as poss´ıveis combina¸cões das fun¸cões de forma. 51

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Lista de Figuras ix 4-15.Varia¸cão dos erros dos autovalores para o guia de onda homogêneo isotrópico

em fun¸cão do número de arestas quando são combinadas várias ordens de fun¸cões de forma vetoriais. . . 52 4-16.Geometrias dos problemas apresentando a distribui¸cão quadrangular das

ares-tas com comprimento igual a 50 % das aresares-tas originais. . . 53 4-17.Erro da aproxima¸c˜ao vs comprimento das arestas. . . 54

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4-1. Autovalores para quatro arestas no dom´ınio de suporte. . . 43 4-2. Autovalores para cinco arestas no dom´ınio de suporte. . . 43 4-3. Autovalores para 6 arestas no dom´ınio de suporte. . . 44 4-4. Autovalores para três, quatro, cinco e seis arestas no dom´ınio de suporte. . . 44 4-5. Solu¸cão numérica para o guia de onda com saliência e meio homogêneo

an-isotrópico. . . 47 4-6. Solu¸cão numérica para o guia de onda com meio inomogêneo anisotrópico

utilizando a distribui¸cão 1. . . 49 4-7. Solu¸cão numérica para o guia de onda com meio inomogêneo anisotrópico

utilizando a distribui¸cão 2 de arestas. . . 50 4-8. Solu¸cão numérica para cavidade quadrada com comprimento das arestas igual

0, 0001 %. . . 54 4-9. Solu¸cão numérica para o guia de onda com saliência, meio homogêneo

an-isotrópico e comprimento das arestas igual a 0, 0001 %. . . 55 4-10.Solu¸cão numérica para o guia de onda com meio inomogêneo anisotrópico

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Lista de S´ımbolos

Condutividade

Permissividade el´etrica

0 Permissividade el´etrica do v´acuo

r Permissividade el´etrica relativa

Γn Fronteira com condi¸c˜ao de contorno de terceiro tipo

ˆ

ti Vetor unitário na dire¸cão da i-ésima aresta do dom´ınio de suporte das fun¸cões

de forma do EMM ˆ

tpj Vetor unit´ario predefinido das fun¸c˜oes de forma do EMM

˜

Pk Espa¸cos de polinˆomios homogˆeneos de grau k

Pk Espa¸cos de polinˆomios de grau k

βni E o vetor coluna contendo os n coeficientes da fun¸c˜ao de forma da i-´esima aresta´

no dom´ınio de suporte

Li E o vetor coluna que contem os comprimentos das arestas´

Rk _{Espa¸cos de polinˆomios conforme H (curl)}

L2 _{Espa¸co de Hilbert.}

µ Permeabilidade magn´etica

µ0 Permeabilidade magn´etica do v´acuo

µr Permeabilidade magn´etica relativa

− →

φi Fun¸c˜ao de forma vetorial da i-´esima aresta do EMM

−

→_ϕ _{Fun¸c˜ao de teste no m´etodo de elementos finitos.} −

→

(13)

− →

D Densidade de fluxo elétrico ou indu¸cão elétrica − → E Campo elétrico − →_H _{Campo magnético} −

→_t _{Vetor tangente unitário na borda de um triângulo ou quadrilátero.} −→

Wt Fun¸c˜ao de teste vetorial do m´etodo dos res´ıduos ponderados

φi Fun¸cão associada à i-ésima aresta das fun¸cões de forma do EMM

ρ Densidade volum´etrica de carga el´etrica

ρs Densidade superficial de carga

BQ Matriz de momentos das fun¸c˜oes de forma do EMM

Bu Matriz com os termos de vetores nas dire¸c˜oes das arestas das fun¸c˜oes de forma

do EMM

CQ Matriz de momentos dos vetores predefinidos das fun¸c˜oes de forma do EMM

cs Vetor contendo as circula¸c˜oes dos campos vetoriais nas arestas

Cu Matriz com os termos de vetores predefinidos das fun¸c˜oes de forma do EMM

ci Circula¸c˜ao do campo vetorial na i-´esima aresta

ek Aresta k

k0 N´umero de onda para onda no v´acuo

Sk _{Espa¸cos auxiliares formados pelos polinˆomios} _P

k.

C Quadrado de referˆencia.

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1 Introdu¸c˜

ao

Técnicas de simula¸cão computacional são amplamente usadas para modelar e investigar fenômenos f´ısicos. As equa¸cões de Maxwell são um grupo de equa¸cões diferenciais parciais que governam os fenômenos eletromagnéticos macroscópicos e para a maioria dos proble-mas eletromagnéticos não têm uma solu¸cão anal´ıtica. Por isto, são amplamente solucionadas usando métodos numéricos, como o Método dos Elementos Finitos (Finite Element Method, FEM ) [1] e o Método das Diferen¸cas Finitas (Finite Difference Method, FDM ) [2]. Nestes métodos, o dom´ınio espacial é discretizado em elementos, uma malha deverá ser predefini-da para fornecer uma certa rela¸cão entre os nós e sistema de equa¸cões algébricas para o problema pode ser gerado a partir de contribui¸cões de todos os elementos [3]. Para cons-truir suas aproxima¸cões, são utilizadas fun¸cões de base escalares. Quando estes métodos são aplicados a problemas eletromagnéticos vetoriais, governados pelas equa¸cões de Maxwell [4], são observadas algumas dificuldades, entre elas, a não verifica¸cão da condi¸cão do divergente nulo e portanto, a presen¸ca dos modos espúrios na solu¸cão numérica, a dificuldade de impor as condi¸cões de interface na fronteira entre dois materiais diferentes e a dificuldade de im-por condi¸cões de contorno vetoriais, a dificuldade de tratar bordas e quinas em condutores devido às singularidades de campo associadas a essas estruturas [5]. Para contornar esses problemas, é proposto em [6] uma nova abordagem para o método de elementos finitos que usa fun¸cões de bases vetoriais ou elementos vetoriais que atribuem os graus de liberdade às arestas e não aos nós, gerando os chamados elementos de aresta. Anos mais tarde, Nédélec em [7] apresenta a constru¸cão das fun¸cões de forma para tetraedros e hexaedros baseadas nos elementos de arestas, onde os graus de liberdade são associados às arestas, faces e volumes que compõem os tetraedros e hexaedros.

Os Métodos sem Malha (Meshless Method, Mfree) são usados para estabelecer um sis-tema de equa¸cões algébricas para todo o dom´ınio sem o uso de uma malha predefinida. Os Métodos sem Malha, tais como Element Free Galerkin (EFG) [8], Point Interpolation Met-hod (PIM) [9], Meshless Local Petrov-Galerkin MetMet-hod (MLPG) [10], entre outros, usam um conjunto de nós espalhados no dom´ınio e sua fronteira para gerar suas aproxima¸cões. Estes nós não formam uma malha, ou seja, não é requerida informa¸cão sobre a conexão entre os nós (Ver Figura 1-1). Estes métodos utilizam fun¸cões de base escalares similares às do FEM clássico, portanto, quando são aplicados a problemas eletromagnéticos vetoriais apresentam os mesmos problemas expostos anteriormente para o FEM. A fim de superar esses inconvenientes, em [11] é apresentada uma formula¸cão mista para o método sem malha

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nodal, em que são usados multiplicadores de Lagrange para impor a condi¸cão do divergente nulo. Como as fun¸cões de forma são constru´ıdas a partir de nós, continua-se associando um grau de liberdade a cada componente de campo vetorial. Como consequência da utiliza¸cão dos multiplicadores de Lagrange, a ordem matricial do sistema a ser resolvido é aumentada consideravelmente. Em [12] são usadas formas fracas enfraquecidas e o método da penalidade para garantir o divergente nulo e eliminar os modos espúrios. Uma vantagem é que a ordem do sistema não é alterada mas, em contrapartida, se faz necessário um grau de liberdade para cada componente. Também é necessário encontrar o fator de penalidade, que varia de problema para problema. Além disso, os modos espúrios não são eliminados por completo, mas sim deslocados para diferentes faixas. Outra alternativa para suprimir os modos espúrios é proposta em [13], onde são desenvolvidas as fun¸cões de base radial vetorial (Vector Radial Base Functions, VRBF ), para o método sem malha e estas são usadas junto com a forma fraca do problema para sua solu¸cão. O método é aplicado ao problema de autovalor de Max-well e à propaga¸cão em um guia de onda e para os dois problemas a solu¸cão numérica não é corrompida por modos espúrios. As desvantagens encontradas no cálculo da solu¸cão são a sensibilidade aos parâmetros da RBF utilizada e a dificuldade de se impor as condi¸cões de interface entre materiais e as condi¸cões de contorno. Outro trabalho na linha das fun¸cões de base radial (Radial Base Function, RBF ) é apresentado em [14], para este caso as RBFs são aplicadas em um guia de onda homogêneo e de forma arbitrária, conseguindo o cálculo eficiente e confiável dos modos do guia de onda. Ainda neste trabalho é desenvolvido um algoritmo de refinamento iterativo, que gera automaticamente novos pontos de coloca¸cão e parâmetros de forma definidos localmente para as RBFs, até que uma convergência prescrita seja alcan¸cada. Isto remove o problema da dependência dos parâmetros das RBFs, mas a dificuldade de se impor condi¸cões de interface e de contorno continua a existir.

Figura 1-1: Distribui¸cão de nós na fronteira e no dom´ınio nos métodos sem malha. Figura retirada de [12]

Baseado na ideia dos elementos de aresta, foi proposto por [15] o Método sem Mal-ha de Aresta (Edge Meshless Method, EMM). Tal método consiste em espalMal-har uma série de arestas pela fronteira e dom´ınio para criar as fun¸cões que são utilizadas para computar a solu¸cão (ver Figura 1-2), onde, de forma similar ao FEM de Aresta, os graus de liber-dade são associados às arestas e não aos nós. Para gerar as fun¸cões de forma, as fun¸cões de base devem satisfazer a condi¸cão da circula¸cão em cada aresta do dom´ınio de suporte

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4 1 Introdu¸cão e, consequentemente, as condi¸cões de Dirichlet são impostas de forma simples. É utilizada como fun¸cão de base uma fun¸cão que depende da distância entre a aresta e o ponto onde é calculada a aproxima¸cão, garantindo-se que o divergente nulo seja imposto pelas fun¸cões de aproxima¸cão. O EMM consegue gerar solu¸cões numéricas sem presen¸ca dos modos espúrios e, além disso, satisfaz as condi¸cões de continuidade na interface entre diferentes meios. Este resultado é obtido apenas quando são utilizadas três e quatro arestas no dom´ınio de suporte. Quando o número de arestas no dom´ınio de suporte é aumentado, a solu¸cão numérica é corrompida pelos modos espúrios.

Figura 1-2: Distribui¸cão de arestas na fronteira e no dom´ınio nos métodos Mfree. Posteriormente, uma nova estratégia para gerar as fun¸cões de forma é proposto em [16], na qual as novas fun¸cões de forma estão baseadas na teoria dos elementos de primeiro tipo de Nédélec e nos espa¸cos H(curl). O polinômio utilizado na fun¸cão de base é de primeira ordem e o espa¸co de fun¸cões tem dimensão igual a três. Consequentemente, são utilizadas três arestas no dom´ınio de suporte. O EMM com estas fun¸cões de forma vetoriais consegue satisfazer a condi¸cão do divergente nulo e a solu¸cão numérica não é corrompida pelos modos espúrios. Além disto, são realizados testes onde o comprimento das arestas tende para zero e a solu¸cão numérica continua correta. Este fato indica a possibilidade de trabalhar com um método sem malha nodal com fun¸cões vetoriais cumprindo todos os requisitos para pertencer a H(curl).

Nesta disserta¸cão, é proposto um novo caminho para gerar as fun¸cões de forma veto-riais, de modo que quatro, cinco e seis arestas possam ser tomadas no dom´ınio de suporte e no qual as fun¸cões de forma também são baseadas nos espa¸cos H(curl). Para gerar as no-vas fun¸cões de forma, a ordem do polinômio nas fun¸cões de base é aumentada, utilizando inicialmente os espa¸cos polinomiais dos elementos de Nédélec de primeiro tipo. É mostrado que essa abordagem funciona corretamente para quatro arestas mas falha para 5 e 6 arestas. Por isto, nesta disserta¸cão é proposto uma nova abordagem para a constru¸cão dos espa¸cos polinomiais para 5 e 6 arestas, conforme é detalhado no Capitulo 3. O EMM é então aplicado

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a vários problemas eletromagnéticos, gerando solu¸cões numéricas que satisfazem a condi¸cão do divergente nulo, sem a presen¸ca dos modos espúrios e cumprindo as condi¸cões de conti-nuidade na interface entre meios diferentes.

A presente disserta¸cão está organizada da seguinte forma: no Cap´ıtulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica do método de elementos finitos de aresta e do método sem malha de aresta; no Cap´ıtulo 3 é apresentada a constru¸cão das fun¸cões de forma de aresta com um número maior de arestas (quatro, cinco e seis) aumentando a ordem dos polinômios usados na formula¸cão; no Cap´ıtulo 4 são apresentados os resultados da aplica¸cão do EMM com as novas fun¸cões de forma a problemas eletromagnéticos; no Cap´ıtulo 5 são apresentadas as conclusões e as propostas de trabalhos futuros.

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2 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Os Métodos Sem Malha nodais utilizam nós para gerar suas fun¸cões de forma, por isso trabalham com fun¸cões de base escalares para gerar suas aproxima¸cões. Quando estes métodos são aplicados a problemas eletromagnéticos vetoriais são observadas algumas difi-culdades como o não cumprimento da condi¸cão do divergente nulo e, portanto, a presen¸ca dos modos espúrios na solu¸cão numérica, a dificuldade de impor as condi¸cões de contorno na interface entre materiais diferentes e a dificuldade de tratar bordas e quinas elétricas condutoras devido às singularidades de campo associadas a essas estruturas [5].

Estas dificuldades também estão presentes no Método dos Elementos Finitos. Para este método é apresentada como solu¸cão a estas dificuldades o Método dos Elementos Finitos de Aresta [5], onde as fun¸cões são associadas a cada aresta do elemento e possuem as seguintes vantagens: primeiro, produzir solu¸cões com divergente nulo e, portanto, sem modos espúrios; segundo, garantir a continuidade tangencial do campo ao longo das arestas e, consequen-temente, entre elementos, fazendo com que as condi¸cões de continuidade na interface entre diferentes materiais sejam satisfeitas de maneira simples; e terceiro, não onerar computacio-nalmente o método numérico, pois associam apenas um grau de liberdade a cada aresta da malha, ao contrário do método nodal que associa um grau de liberdade por dimensão do problema para cada nó da malha.

Uma forma de contornar estas dificuldades nos Métodos Sem Malha é apresentada em [12]: o Método Sem Malha de Aresta, que baseia-se no conceito dos elementos finitos de aresta. Este método espalha arestas pelo dom´ınio e sua fronteira e, para gerar as aproxi-ma¸cões, são utilizadas fun¸cões de base vetoriais, ao invés de escalares como nos métodos sem malha tradicionais. Desta forma, é poss´ıvel aproveitar as vantagens fornecidas pelo método dos elementos finitos de aresta nos métodos sem malha.

Neste cap´ıtulo será abordado o método dos elementos finitos de aresta, que é a base conceitual do EMM; posteriormente é apresentada a formula¸cão matemática inicial do EMM e, finalmente, é apresentada a formula¸cão matemática para gerar as fun¸cões de forma para três arestas no dom´ınio de suporte.

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2.1. Elementos Finitos de Aresta

Para introduzir o conceito de Elementos de Aresta em malhas triangulares, considere o elemento triangular da Figura 2-1. Os n´os est˜ao enumerados de 1 a 3, assim como as arestas.

Figura 2-1: Elemento Triangular.

A constru¸cão das fun¸cões de forma em Elementos Finitos de Aresta para malhas trian-gulares e quadrantrian-gulares é proposta inicialmente em [7]. Em [17], é apresentada de forma mais detalhada a constru¸cão das fun¸cões de forma em duas e três dimensões para o FEM conforme H(curl) baseado nos elementos de primeiro tipo de Nédélec.

Para a constru¸cão das fun¸cões de forma vetoriais deste tipo, considera-se Ω um dom´ınio Lipschitziano, aberto e limitado com uma fronteira regular ∂Ω. Os espa¸cos de Sobolev são subespa¸cos vetoriais dos espa¸cos Hs(Ω) para qualquer s _{∈ R e H}t(∂Ω) para qualquer t _∈ [−1, 1] e são definidos no dom´ınio Ω e na sua fronteira ∂Ω, respectivamente [18]. Os espa¸cos das fun¸cões vetoriais H (curl) são definidos em [17] como:

H (curl; Ω) =_{{φ ∈ [L}2(Ω)]d: curlφ_{∈ [L}2(Ω)]d˜_} (2-1) onde d é a dimensão dos espa¸cos e L2_{(Ω) é o espa¸co de Hilbert de fun¸cões com quadrado}

integr´avel.

E os subespa¸cos Sk _{s˜ao definidos como:}

Sk ={p ∈ (˜Pk)d : p· bx = d

X

i=1

pixi ≡ 0} (2-2)

onde ˜Pk são os espa¸cos de polinômios homogêneos de grau k e bx é um ponto dentro do

elemento de referˆencia. Para d = 2, o espa¸co Sk _{tem dimens˜ao igual a k. E para d = 3, S}k

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8 2 Revisão Bibliográfica A fam´ılia de elementos de primeiro tipo de Nédélec conforme no espa¸co H(curl; Ω) é baseado nos espa¸cos polinomiais:

Rk _{= (}_P

k−1)d ⊕ Sk (2-3)

ondePk−1 é o espa¸co polinomial de grau k− 1 e a dimensão dos espa¸cos Rké dada por [17]:

dim(_Rk) = k(k + 2) para d = 2 (2-4)

Nesta disserta¸cão trabalha-se em duas dimensões (2D). Para grau de polinômio igual a 1, R1 _{tem dimensão igual a 3 e é dado por:}

R1 _{= (}_P

0)2⊕ S1 (2-5)

onde S1 _{´e dado por:}

S1 ={p ∈ (˜P1)2 : p· bx = 2

X

i=1

pixi ≡ 0} (2-6)

portanto, S1 _{´e igual a [17]:}

S1 = ξ1 y −x (2-7) Substituindo a Equa¸c˜ao 2-7 na Equa¸c˜ao 2-5, o espa¸co R1 _{pode ser escrito da seguinte}

forma: R1 ₌ 1 0 , 0 1 , y −x (2-8) Sendo, então, a fun¸cão de forma para a i-ésima aresta do elemento triangular dada por:

− → Ni = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y −x (2-9) onde βi s˜ao os coeficientes a serem encontrados.

Para ordem do polinômio k = 2, R2 _{tem dimensão igual a 8 (ver Equa¸cão 2-4) e é}

definido por:

R2 = (P1)2⊕ S2 (2-10)

onde S2 _{´e definido por:}

S2 ₌_{{p ∈ (˜P} 2)2 : p· bx = 2 X i=1 pixi ≡ 0} (2-11)

(21)

E assume a forma [17]: S2 = ξ1 xy −x2 + ξ2 y2 −xy (2-12) Substituindo a Equa¸c˜ao 2-12 em 2-10 obt´em-se a base do espa¸coR2_:

R2 = 1 0 , 0 1 , y 0 , x 0 , 0 y , 0 x , xy −x2 , y2 −xy (2-13) Neste tipo de elementos de Nédélec, os graus de liberdade são distribu´ıdos tanto nas arestas como no interior do elemento. Seja K o triangulo de referência, −→t o vetor tangente unitário com rela¸cão à aresta de um triângulo ou quadrilátero, orientado no sentido anti-horário em rela¸cão ao triângulo ou quadrilátero correspondente e −→ϕ a fun¸cão de teste. Os graus de liberdade são atribu´ıdos da seguinte forma [17]:

Graus de liberdade na aresta

Para cada aresta e do triangulo de referencia K da Figura 2-1 tem-se A(−→u ) :=

Z

e

(−→t · −→u )ϕds ∀ ϕ ∈ Pk−1 (e) (2-14)

onde Pk−1 é o espa¸co de polinômios de grau k− 1 associado a fun¸cão de teste da aresta (e),

com um total de 3k graus de liberdade na arestas. Graus de liberdade no interior do elemento

A(−→u ) := Z K − →_u _{· −}→_{ϕ dx} _{∀ −}→_ϕ _{∈ (P}_k −2(K))2 (2-15)

onde Pk−2 é o espa¸co de polinômios de grau k− 2 associado a fun¸cão de teste de cada

ele-mento, com um total de k(k− 1) graus de liberdade no interior do elemento.

Para k = 1, a dimensão dos espa¸cos é igual a três, portanto é atribu´ıdo um grau de liberdade a cada aresta. Para k = 2, a dimensão dos espa¸cos é igual a 8, neste caso são atribu´ıdos dois graus de liberdade por cada aresta e dois graus de liberdade no interior do elemento.

Expandindo o conceito de Elemento de Aresta para malhas quadrangulares, a Figura 2-2 representa o elemento de referência. Primeiramente, definem-se os espa¸cos polinomiais vetoriais Pl,m, que são os espa¸cos de polinômios com grau máximo l em bx e m em by. Os

espa¸cos utilizados para a constru¸cão das fun¸cões de forma vetoriais em 2D são [17]: ρk = u = u1 u2 : u1 ∈ Pk−1,k; u2 ∈ Pk,k−1 (2-16)

(22)

10 2 Revis˜ao Bibliogr´afica

Figura 2-2: Elemento Quadrangular. E possuem dimens˜ao [17]:

dim(ρk) = 4k + 2k(k− 1) para d=2 (2-17)

Com o grau de polinˆomio igual a um (k = 1), o espa¸co ρk _{tem dimens˜ao igual a 4 e}

sua base ´e denotada por:

ρ1 = 1 0 , 0 1 , y 0 , 0 x (2-18) Com esta base, a fun¸c˜ao de forma vetorial ´e dada por [17]:

− → Ni = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x (2-19) Os graus de liberdade para o elemento quadrangular s˜ao atribu´ıdos tanto `as arestas quanto ao interior do elemento da seguinte forma:

Graus de liberdade na aresta

Para cada aresta e do quadrado de referencia C da Figura 2-2 tem-se A(−→u ) :=

Z

e

(−→t · −→u )ϕds ∀ ϕ ∈ Pk−1 (e) (2-20)

ondePk−1 é o espa¸co de polinômios de grau k− 1 associado a fun¸cão de teste da aresta (e),

com um total de 4k graus de liberdade na arestas. Graus de liberdade no interior do elemento

(23)

A(−→u ) := Z C − →_u _{· −}→_{ϕ dx} _{∀ −}→_{ϕ =} ϕ1 ϕ2 , ϕ1 ∈ Pk−2,k−1, ϕ2 ∈ Pk−1,k−2 (2-21)

com um total de 2k(k_{− 1) graus de liberdade no interior do elemento.}

Para k = 1, a dimensão dos espa¸cos é igual a quatro, portanto é atribu´ıdo um grau de liberdade a cada aresta. Para k = 2, a dimensão dos espa¸cos é igual a 12, neste caso são atribu´ıdos dois graus de liberdade por cada aresta e quatro graus de liberdade no interior do elemento.

2.2. M´

etodo sem Malha de Aresta com fun¸c˜

oes de forma

originais

Considere um campo vetorial −→u dentro de um dom´ınio Ω e −→uh _{como a aproxima¸c˜ao do}

campo vetorial. Um grupo de arestas é espalhado no dom´ınio e em sua fronteira. Para realizar a aproxima¸cão em um ponto x, é definido o dom´ınio de suporte do ponto o qual determina o número de arestas que são utilizadas para aproximar o valor da fun¸cão no ponto. As arestas que são parte do dom´ınio de suporte recebem o nome de arestas de suporte. Na Figura 1-2 é apresentado o dom´ınio de suporte para dois pontos, x1 e x2. A aproxima¸cão do campo

vetorial em um ponto ´e dada por [12]:

− → Uh(x) = n X i=1 φi(x)ˆtiai+ m X j=1 ˆ tpjbj (2-22)

onde o primeiro termo está associado à contribui¸cão de cada aresta de suporte na aproxi-ma¸cão do campo vetorial; o segundo termo não tem rela¸cão com as arestas de suporte, mas é utilizado para garantir a reprodu¸cão de campos vetoriais constantes. O parâmetro φi é a

fun¸cão de suporte de cada aresta, n é o número de arestas de suporte, ˆti é o vetor unitário na

dire¸cão da i-ésima aresta no dom´ınio de suporte, ai é o coeficiente de interpola¸cão da fun¸cão

φ associado à i-ésima aresta do dom´ınio de suporte. Na parte constante e independente das arestas, ˆtpj é um vetor unitário predefindo em uma dire¸cão espec´ıfica, m é o número de

ve-tores predefinidos na aproxima¸cão, e bj é o coeficiente de interpola¸cão associado ao j-ésimo

(24)

12 2 Revis˜ao Bibliogr´afica ∇ ·−→Uh(x) =∇ · n X i=1 φi(x)ˆtiai+∇ · m X j=1 ˆ tpjbj = n X i=1 ∇ · (φi(x)ˆti)ai+ m X j=1 ∇ · (ˆtpj)bj = n X i=1 ∇ · (φi(x)ˆti)ai = 0 (2-23)

Como os vetores ˆtpj e o coeficiente bj, são constantes o segundo somatório é cancelado.

Da Equa¸c˜ao 2-23 tem-se:

∇ · (φi(x)ˆti) = 0 (2-24)

Aplicando uma identidade vetorial na Equa¸c˜ao 2-24, tem-se:

∇ · (φi(x)ˆti) = φ(x)∇ · ˆti+ ˆti· ∇φi(x)

= ˆti· ∇φi(x) = 0 (2-25)

Para satisfazer a Equa¸cão 2-25, podemos especificar φ como uma fun¸cão da distância di entre o ponto x e a reta de suporte da aresta ei, de tal forma que este varie apenas na

dire¸cão ortogonal à aresta. Desta forma, a condi¸cão do divergente nulo é garantida. Uma poss´ıvel escolha para φ é a fun¸cão linear em rela¸cão à distância di [12]:

φi(x) = 1−

di(x)

dwi

(2-26) onde dwi é o parâmetro que controla o alcance da fun¸cão de suporte, ou visto de outra

maneira, pode ser o raio de influˆencia da aresta ei. A Figura 2-3 mostra a fun¸c˜ao linear φ

considerando uma aresta com pontos extremos (-10;0) e (10;0). A Equa¸c˜ao 2-22 pode ser escrita na sua forma matricial, como:

− →_Uh_{(x) = B}T u(x)a + CTub (2-27) onde BT_u(x) = [ φ1(x)ˆt1, φ2(x)ˆt2, · · · , φn(x)ˆtn] CT_u = [ ˆtp1, ˆtp2, · · · , ˆtpm] a = [a1, a2, · · · , an]T b = [b1, b2, · · · , bm]T (2-28)

(25)

−10 −5 0 5 10 −10 −5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Eixo x Eixo y φi (x)

Figura 2-3: Fun¸cão φ dependente da distância contida nas fun¸cões de forma vetoriais de aresta.

Os coeficientes ai e bj na Equa¸cão 2-28 são determinados fazendo com que a circula¸cão

do campo −→U seja satisfeita sobre cada aresta ek do dom´ınio de suporte de x. Para cada

aresta ek, tem-se: Z ek − → U _·−→dl = Z ek − → Uh_·−→dl , k = 1,_{· · · , n} (2-29)

Substituindo a Equa¸c˜ao 2-27 na 2-29, obt´em-se: Z

ek

(BT_u(x)a + CT_ub)_·−→dl = ck, k = 1,· · · , n (2-30)

onde ck é a circula¸cão do campo −→U sobre a aresta ek. A Equa¸cão 2-30 pode ser escrita na

forma matricial:

BQa + CQb = cs (2-31)

onde cs é um vetor que contém as circula¸cões ck sobre as n arestas do dom´ınio de suporte,

BQ e CQ s˜ao dados por:

BQ=       R e1φ1tˆ1· − → dl R_e 1φ2ˆt2· − → dl _{· · ·} R_e 1φnˆtn· − → dl R e2φ1tˆ1· − → dl R_e 2φ2ˆt2· − → dl _{· · ·} R_e 2φnˆtn· − → dl ... ... . .. ... R enφ1ˆt1· − → dl R_e_nφ2ˆt2·−→dl · · · R enφnˆtn· − → dl      , (2-32) CQ=       R e1ˆtp1· − → dl R_e₁tˆp2·−→dl · · · R e1ˆtpm· − → dl R e2ˆtp1· − → dl R_e₂tˆp2·−→dl · · · R e2ˆtpm· − → dl ... ... . .. ... R enˆtp1· − → dl R_e nˆtp2· − → dl _{· · ·} R_e ntˆpm· − → dl      . (2-33)

(26)

14 2 Revisão Bibliográfica O sistema de equa¸cões 2-31 possui n equa¸cões e n + m incógnitas, portanto, não possui solu¸cão única. Uma forma de tornar o sistema determinado e com solu¸cão única é impor a seguinte restri¸cão [15]:

CT_Qa = 0 (2-34)

Multiplicando a Equa¸cão 2-31 por B−1_Q e fazendo algumas manipula¸cões matemáticas, tem-se:

a = B−1_Q cs− BTQCQb (2-35)

Substituindo a Equa¸c˜ao 2-35 em 2-34, chega-se:

b = Sbcs (2-36)

onde

Sb = [CTQB−1Q CQ]−1CTQB−1Q (2-37)

Agora substituindo a Equa¸c˜ao 2-36 em 2-35, chega-se a

a = Sacs (2-38)

onde

Sa = B−1Q [1− CQSb] (2-39)

Combinando as Equa¸cões 2-38 e 2-36 com a Equa¸cão 2-27, a aproxima¸cão−→Uh _{pode ser}

escrita como: − → Uh(x) = n X i=1 − → φi(x)ci = Φ(x)cs (2-40)

onde −→φi corresponde à fun¸cão de forma vetorial da i-ésima aresta do dom´ınio de suporte,

Φ(x) ´e a matriz das fun¸c˜oes de forma vetoriais de cada aresta do dom´ınio do suporte: Φ(x) = [−→φ1(x), −→φ2(x), · · · , −→φn(x)] (2-41)

e sua express˜ao ´e

Φ(x) = BT_u(x)Sa+ CTuSb (2-42)

Levando a Equa¸cão 2-42 na Equa¸cão 2-40 e aplicando o rotacional na aproxima¸cão de campo −→Uh _tem-se:

(27)

∇ ×−→Uh(x) =_{∇ × Φ(x)c}s

= [∇ × Φ(x)]cs (2-43)

Tomando s´o o rotacional das fun¸c˜oes de forma

∇ × Φ(x) = ∇ × (BTu(x)Sa+ CTuSb) =_{∇ × B}T_u(x)Sa = [∇ × BT u(x)]Sa (2-44) onde ∇ × BT u(x) = [∇ × φ1(x)ˆt1, ∇ × φ2(x)ˆt2, · · · , ∇ × φn(x)ˆtn] (2-45) Da identidade vetorial ∇ × u−→v = u∇ × −→v − −→v × ∇u (2-46) pode-se escrever ∇ × φi(x)ˆti = φi(x)∇ × ˆti− ˆti× ∇φi(x) =−ˆti× ∇φi(x) =_∇φi(x)× ˆti (2-47)

onde ∇ × ˆti = 0 uma vez que ˆti ´e constante. Aplicando a Equa¸c˜ao 2-47 para cada termo da

Equa¸c˜ao 2-45, tem-se que

∇ × BTu(x) = [∇φ1(x)× ˆt1, ∇φ2(x)× ˆt2, · · · , ∇φn(x)× ˆtn] (2-48)

Na Equa¸cão 2-40, as fun¸cões de forma são constru´ıdas para satisfazer a condi¸cão do divergente nulo. Além disso, a circula¸cão do campo vetorial é satisfeita sobre cada aresta no dom´ınio e, desta forma, é poss´ıvel garantir de forma simplificada a condi¸cão de Dirichlet mediante a distribui¸cão de arestas na fronteira que são governadas por esta condi¸cão. Nume-ricamente é observado que a circula¸cão das fun¸cões de forma sobre as outras arestas é nula [12]. Isto pode ser expressado matematicamente como:

Z

ek

− →_φ

i·−→dl = δik (2-49)

onde as fun¸cões de forma constituem uma fun¸cão de interpola¸cão para campos vetoriais e o δik é dado por:

(28)

16 2 Revis˜ao Bibliogr´afica

δik =

(

1 se k = i

0 se k _{6= i} (2-50)

2.3. M´

etodo sem Malha de Arestas com fun¸c˜

oes de

forma vetoriais baseadas nos elementos de primeiro

tipo de N´

ed´

elec

Nesta se¸cão é apresentada a formula¸cão matemática para gerar as fun¸cões de forma vetoriais em H(curl) para o método sem malha de aresta quando são utilizadas três arestas no dom´ınio de suporte. Estas fun¸cões foram introduzidas por [16] e são baseadas nos ele-mentos de primeiro tipo de Nédélec utilizando uma distribui¸cão de arestas triangular [7]. O procedimento para criar as fun¸cões de forma é o mesmo apresentado na Se¸cão 2.1, onde para um polinômio de ordem igual a 1, a fun¸cão de forma vetorial é a apresentada na Equa¸cão 2-9. Seja −→uh _{a aproxima¸cão do vetor de campo −}→_{u no dom´ınio Ω. Um grupo de arestas é}

distribu´ıdo sobre o dom´ınio e seu contorno como mostrado na Figura 1-2. A aproxima¸cão em um ponto x é dada pela Equa¸cão 2-40.

Como três coeficientes precisam ser encontrados para gerar as fun¸cões de forma ve-toriais, três arestas no dom´ınio de suporte são tomadas. Para garantir que as fun¸cões −→Ni

apenas tenham componente tangencial ao longo da aresta ek, fazemos com que a circula¸c˜ao

da aresta seja igual a um sobre ela e zero nas outras arestas, isto ´e: Z

ek

− →

Ni·−→t k dl = δik (2-51)

onde −→t k é o vetor unitário na dire¸cão da aresta ek e o δik é definido na Equa¸cão 2-50.

Portanto, o seguinte sistema ´e resolvido para encontrar os coeficientes βni.

Aβi = Li, i = 1...n (2-52) onde A =    t1x t1y R e1(yt1x− xt1y) dl ... ... ... tnx tny R en(ytnx− xtny) dl    (2-53)

(29)

βi= [β1i, β2i, β3i... βni, ]T (2-54)

(Li)j =

1 lj

δij (2-55)

onde n é o número de arestas no dom´ınio de suporte, βni é o vetor coluna contendo os n

coeficientes da fun¸cão de forma da i-ésima aresta no dom´ınio de suporte e Lié o vetor coluna

que contem os comprimentos das arestas. Para trˆes arestas no dom´ınio de suporte tem-se:

A =    t1x t1y R e1(yt1x− xt1y) dl t2x t2y R e2(yt2x− xt2y) dl t3x t3y R e3(yt3x− xt3y) dl    (2-56) βi = [β1i, β2i, β3i]T (2-57) L1 =   1/l1 0 0   L2 =   0 1/l2 0   L3 =   0 0 1/l3   (2-58)

onde tix e tiy são as componentes dos vetores unitários da i-ésima aresta no dom´ınio de

suporte e, li denota o comprimento da aresta i-´esima aresta.

Uma vez que as fun¸cões de forma são definidas, a aproxima¸cão −→uh _{pode ser escrita}

como: − →_uh ₌ 3 X i=1 − → Nici = Φ(x)cs (2-59)

onde cs é um vetor que contém a circula¸cão do campo vetorial sobre cada aresta de suporte

e Φ é a matriz que contém as fun¸cões de forma:

Φ(x) =h −→N1 −→N2 −→N3 i e cs=   c1 c2 c3   (2-60)

(30)

3 Fun¸c˜

oes de Forma Vetoriais com mais

arestas no dom´ınio de suporte

Agora o Método sem Malha de Aresta é estendido para trabalhar com mais arestas no dom´ınio de suporte. Neste cap´ıtulo propõe-se a cria¸cão das fun¸cões de forma vetoriais baseadas nos espa¸cos H(curl) e nos elementos de primeiro tipo de Nédélec, de tal forma que 4, 5 e 6 arestas possam ser tomadas no dom´ınio de suporte.

3.1. Fun¸c˜

oes de forma vetoriais para 4 arestas no dom´ınio

de suporte

A seguir é apresentada a gera¸cão das fun¸cões de forma vetoriais para o EMM quando são utilizadas quatro arestas no dom´ınio de suporte. As fun¸cões de forma estão baseadas nos espa¸cos H (curl) e nos elementos de primeiro tipo de Nédélec utilizando uma distribui¸cão de arestas quadrilateral [7]. A cria¸cão da fun¸cão de forma segue o procedimento apresentado na Se¸cão 2.1, onde para um polinômio de ordem 1, a fun¸cão de forma vetorial é apresentada na Equa¸cão 2-19.

Para este caso, é necessário encontrar quatro coeficientes para gerar a fun¸cão de forma vetorial, portanto quatro arestas são utilizadas no dom´ınio de suporte. Os coeficientes são encontrados aplicando a condi¸cão de circula¸cão imposta na Equa¸cão 2-51 e solucionando o sistema da Equa¸cão 2-52 para quatro arestas, n = 4. A matriz A e o vetor coluna βi são

dados por: A =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl    (3-1) βi = [β1i, β2i, β3i, β4i]T (3-2)

e Li segue a forma da Equa¸c˜ao 2-55 modificado para 4 arestas, isto ´e, possui 4 linhas.

Desta forma, a aproxima¸c˜ao da Equa¸c˜ao 2-40 para quatro arestas no dom´ınio de suporte pode ser escrita como:

(31)

~uh = 4 X i=1 − → Nici = Φ(x)cs (3-3) onde, Φ(x) =h −→N1 −→N2 −→N3 −→N4 i e cs=      c1 c2 c3 c4      (3-4)

A Figura 3-1 apresenta as fun¸cões de forma para o quadrado da Figura 2-2. Lembran-do que a circula¸cão deve ser igual a 1 sob a mesma aresta e zero nas outras, de moLembran-do que, o vetor resultante da circula¸cão forma um angulo diferente de 90o _{com a mesma aresta e é}

perpendicular `as outras arestas no dom´ınio de suporte.

Sendo obtidas a fun¸cão de forma, serão realizados no Capitulo 4, dois testes para verificar seu correto comportamento. Primeiramente será testada a condi¸cão de circula¸cão nas arestas e posteriormente, o EMM é aplicado na resolu¸cão do problema de autovalores de um guia de onda quadrada. Conforme será visto, a fun¸cão de forma vetorial satisfaz a condi¸cão de circula¸cão e consegue gerar solu¸cões numéricas sem a presen¸ca de modos espúrios no problema de autovalores.

3.2. Fun¸c˜

oes de forma vetoriais para 5 e 6 arestas no

dom´ınio de suporte baseadas no elemento de

primeiro tipo de N´

ed´

elec

Nesta se¸cão são apresentadas as fun¸cões de forma vetoriais, de modo que 5 e 6 arestas possam ser tomadas no dom´ınio de suporte. Estas fun¸cões são baseadas nos espa¸cos H (curl) e nos elementos de primeiro tipo de Nédélec utilizando uma distribui¸cão de arestas triangular [7].

Para gerar as fun¸cões de forma, o grau do polinômio da Equa¸cão 2-3 é aumentado (k = 2). A dimensão dos espa¸cos é igual a 8 e sua base é dada pela Equa¸cão 2-13. No FEM de Aresta os graus de liberdade são atribu´ıdos da seguinte forma: dois para cada aresta (to-talizando 6) e dois no interior do elemento. Nos métodos sem malhas não existe o conceito de “elemento”, devido a isso, nesta formula¸cão os graus de liberdade serão todos associados às arestas. Então, tomando o polinômio completo na fun¸cão de base, precisam-se de 8 arestas no dom´ınio de suporte pois, conforme a Equa¸cão 2-13, os espa¸cos R2 _{tem dimensão igual a}

(32)

20 3 Fun¸c˜oes de Forma Vetoriais com mais arestas no dom´ınio de suporte −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 1 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 2 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 (b) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Aresta 3 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Aresta 4 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 (d)

Figura 3-1: Representa¸cão gráfica das fun¸cões de forma vetoriais para 4 arestas no dom´ınio de suporte. (a)−→N1, (b)−→N2, (c)−→N3 e (d)−→N4

8. Como a dimensão dos espa¸cos deve ser 5 e 6, para atribuir um grau de liberdade a cada aresta e assim tomar 5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte, utiliza-se um polinômio incompleto na base. São formadas três fun¸cões de forma vetoriais: nas fun¸cões das Equa¸cões 3-5 e 3-6 são tomados os termos da Equa¸cão 2-19 e é adicionado um quinto termo com componente

(33)

de grau elevado; na fun¸cão da Equa¸cão 3-7 combinam-se os dois últimos termos da Equa¸cão 2-19 e são adicionados os dois termos com grau elevado da fun¸cão de base expressada na Equa¸cão 2-13. − →_N1 5i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 −xy (3-5) − → N25i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i xy −x2 (3-6) − → N3_5i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y −x + β4i y2 −xy + β5i xy −x2 (3-7) onde o sub´ındice indica a quantidade de arestas que devem ser tomadas no dom´ınio de su-porte e o sobrescrito numera as fun¸cões de forma que tomam o mesmo número de arestas.

Como são necessários cinco coeficientes para gerar as fun¸cões de forma vetoriais, então cinco arestas são utilizadas no dom´ınio de suporte. Para cada fun¸cão de forma, os coeficientes são obtidos solucionando o sistema da Equa¸cão 2-52. Para cada sistema, a matriz A é dada por: A1₅ =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl R e1(y 2_t 1x− xyt1y) dl ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl R en(y 2_t nx− xytny) dl    (3-8) A2₅ =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl R e1(xyt1x− x 2_t 1y) dl ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl R en(xytnx− x 2_t ny) dl    (3-9) A3₅ =    t1x t1y R e1(yt1x− xt1y) dl R e1(y 2_t 1x− xyt1y) dl R e1(xyt1x− x 2_t 1y) dl ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx− xtny) dl R en(y 2_t nx− xytny) dl R en(xytnx− x 2_t ny) dl    (3-10) Para os três sistemas é utilizado o mesmo vetor coluna βni

βi = [β1i, β2i, β3i, β4i, β5i]T (3-11)

(34)

22 3 Fun¸c˜oes de Forma Vetoriais com mais arestas no dom´ınio de suporte A aproxima¸c˜ao do campo −→uh _{para 5 arestas no dom´ınio de suporte pode ser escrita}

como: ~uh = 5 X i=1 − → Nici = Φ(x)cs (3-12)

onde Φ e cs seguem a forma da Equa¸c˜ao 3-4 modificada para cinco arestas.

No Cap´ıtulo 4, é testado o correto funcionamento das fun¸cões de forma aplicando-as à solu¸cão dos mesmos dois testes da se¸cão anterior. Conforme será mostrado, as três fun¸cões de forma garantem a condi¸cão de circula¸cão e no problema de autovalores, as fun¸cões de forma geram solu¸cões numéricas corrompidas pelos modos espúrios.

Para seis arestas no dom´ınio de suporte, são geradas três fun¸cões de forma da seguinte maneira: N1

6i tomando os seis primeiros termos da Equa¸c˜ao 2-13, N6i2 tomando os termos

da Equa¸cão 2-19 e adicionados os dois últimos termos de grau elevada da fun¸cão de base expressada na Equa¸cão 2-13 e N3

6i tomando os quatro primeiros e os dois ´ultimos termos da

Equa¸cão 2-13. − → N1_6i = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i x 0 + β6i 0 y (3-13) − → N2_6i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 −xy + β6i xy −x2 (3-14) − →_N3 6i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i x 0 + β4i 0 y + β5i y2 −xy + β6i xy −x2 (3-15) Seis coeficientes precisam ser encontrados, então seis arestas são tomadas no dom´ınio de suporte. Os coeficientes de cada fun¸cão de forma são encontrados aplicando a condi¸cão de circula¸cão imposta na Equa¸cão 2-51 e solucionando o sistema da Equa¸cão 2-52 para seis arestas no dom´ınio de suporte. Para cada sistema, a matriz A é dada por:

A1₆ =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl R e1(xt1x) dl R e1(yt1y) dl ... ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl R en(xtnx) dl R en(ytny) dl    (3-16) A2₆ =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl R e1(y 2_t 1x− xyt1y) dl R e1(xyt1x− x 2_t 1y) dl ... ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl R en(y 2_t nx− xytny) dl R en(xytnx− x 2_t ny) dl    (3-17)

(35)

A3₆ =    t1x t1y R e1(xt1x) dl R e1(yt1y) dl R e1(y 2_t 1x− xyt1y) dl R e1(xyt1x− x 2_t 1y) dl ... ... ... ... ... ... tnx tny R en(xtnx) dl R en(ytny) dl R en(y 2_t nx− xytny) dl R en(xytnx− x 2_t ny) dl    (3-18) Para os trˆes sistemas ´e utilizado o mesmo vetor coluna βi

βi= [β1i, β2i, β3i, β4i, β5i, β6i]T (3-19)

e Li para cada sistema segue a forma da Equa¸c˜ao 2-58 modificado para 6 arestas.

A aproxima¸c˜ao de campo −→uh _{para seis arestas ´e dada por:}

~uh = 6 X i=1 − → Nici = Φ(x)cs (3-20)

onde Φ e cs seguem a forma da Equa¸c˜ao 3-4 modificada para seis arestas.

No Cap´ıtulo 4 aplicam-se os mesmos dois testes utilizados para 4 e 5 arestas no dom´ınio de suporte com a finalidade de testar o correto funcionamento das fun¸c˜oes de forma. As fun¸c˜oes de forma N1

6i e N6i3 não garantem a condi¸cão de circula¸cão, porque as matrizes A16 e

A3

6 se tornam singulares. A fun¸cão N6i2 satisfaz a condi¸cão de circula¸cão, mas no problema

de autovalores, modos espúrios são encontrados na solu¸cão numérica.

As fun¸cões de forma com base completa e com os graus de liberdade atribu´ıdos de ma-neira correta seriam livres de modos espúrios. Então, as fun¸cões de forma vetoriais geradas para 3 e 4 arestas no dom´ınio de suporte, expressadas nas Equa¸cões 2-9 e 2-19 funcionam também corretamente para os Métodos sem Malha vetoriais. Já as fun¸cões de forma vetoriais para 5 e 6 arestas baseadas nos elementos de Nédélec, foram constru´ıdas de forma incompleta e seus graus de liberdade não seguem as regras impostas pelas equa¸cões 2-14 e 2-15. Por isso não se tem a garantia da ausência de modos espúrios.

Para tentar remediar este fato, uma análise comparativa é realizada entre a fun¸cão de forma para 5 arestas e as fun¸cões de forma para 3 e 4 arestas no dom´ınio de suporte. A análise consiste em comparar e modificar cada componente do polinômio que compõe as fun¸cões de forma para 5 arestas, onde as modifica¸cões tendem a colocar o mesmo polinômio da fun¸cão de base para quatro arestas no dom´ınio de suporte e adicionar um quinto termo para que a fun¸cão de forma tenha divergência nula e assim eliminar os modos espúrios. Da analise é conclu´ıdo que cada componente do divergente da fun¸cão de base deve ser igual a zero, isto é, na fun¸cão de base a variável x não pode estar na componente bx e a variável y não pode estar na componente y. Por este motivo, é proposto na se¸cão 3.3 a constru¸cão deb

(36)

24 3 Fun¸cões de Forma Vetoriais com mais arestas no dom´ınio de suporte fun¸cões polinomiais que não são baseadas nos elementos de primeiro tipo de Nédélec, mas somente nos espa¸cos H(curl).

3.3. Fun¸c˜

oes de forma de aresta vetoriais em H(curl) para

5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte baseadas apenas

nos espa¸cos H(curl)

Nesta se¸cão, introduzimos uma nova maneira de construir as fun¸cões de forma vetoriais para 5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte. As fun¸cões estão baseadas nos espa¸cos H (curl) e, além disso, é imposta a nova condi¸cão discutida no final da se¸cão anterior: cada componente do divergente deve ser nula. Sejam os espa¸cos das fun¸cões de base definidos por:

Lk ₌ u = u1 u2 : u1, u2 ∈ Pk; ∂u1 ∂x = 0; ∂u2 ∂y = 0 (3-21) onde Pk ´e o espa¸co de polinˆomios de grau k.

As fun¸cões de base para três e quatro arestas no dom´ınio de suporte, Equa¸cões 2-8 e 2-18, podem ser geradas considerando k = 1 na Equa¸cão 3-21. Para gerar as fun¸cões de forma com 5 e 6 arestas no dom´ınio de suporte, o grau do polinômio da Equa¸cão 3-21 é aumentado para k = 2. Para gerar a fun¸cão de base com 5 arestas no dom´ınio de suporte, toma-se os termos da Equa¸cão 2-18 e adiciona-se um quinto termo de modo que, cada componente do divergente da fun¸cão de base seja igual a zero. Também define-se o sinal negativo na componente y baseado na fun¸cão de base desenvolvida para os elementos de primeiro tipob de Nédélec. Sendo assim, a base dos espa¸cos para cinco arestas é dada por:

L2 ₌ 1 0 , 0 1 , y 0 , 0 x y2 −x2 (3-22) A Equa¸cão 3-22 é tomada como base para construir a base dos espa¸cos polinomiais de 6 arestas no dom´ınio de suporte. Para o sexto termo da fun¸cão, o quinto termo na Equa¸cão 3-22 é divido em dois. Esta divisão tem duas vantagens: a primeira é obter graus de liberdade separados para os termos y2 _e_−x2 _{e assim, ter um maior controle sobre eles; a segunda é que}

são usadas as mesmas variáveis em cada componente, garantindo assim a condi¸cão de que cada componente do divergente seja nula. Desta forma, a fun¸cão de base para seis arestas é:

ρ2 = 1 0 , 0 1 , y 0 , 0 x y2 0 0 −x2 (3-23) Substituindo as Equa¸cões 3-22 e 3-23 na Equa¸cão 2-40, as fun¸cões de forma para cinco e seis arestas no dom´ınio de suporte são expressas como:

(37)

− → N4_5i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 −x2 (3-24) − → N4_6i= β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 0 + β6i 0 −x2 (3-25) Como é necessário encontrar 5 e 6 coeficientes para gerar as fun¸cões de forma, cinco e seis arestas são tomadas no dom´ınio de suporte. Os coeficientes das fun¸cões de forma são encontrados aplicando a condi¸cão de circula¸cão. Para 5 arestas, o sistema da Equa¸cão 2-52 é dado por:

A4₅ =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl R e1(y 2_t 1x− x2t1y) dl ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl R en(y 2_t nx− x2tny) dl    (3-26) βi = [β1i, β2i, β3i, β4i, β5i]T (3-27)

e para 6 arestas no dom´ınio de suporte o sistema ´e dado por:

A46 =    t1x t1y R e1(yt1x) dl R e1(xt1y) dl R e1(y 2_t 1x) dl R e1(−x 2_t 1y) dl ... ... ... ... ... ... tnx tny R en(ytnx) dl R en(xtny) dl R en(y 2_t nx) dl R en(−x 2_t ny) dl    (3-28) βi= [β1i, β2i, β3i, β4i, β5i, β6i]T (3-29)

onde Li para ambos sistemas, segue a forma da Equa¸c˜ao 2-55 modificada para 5 e 6 arestas,

respectivamente.

A aproxima¸cão de −→uh _{para 5 e 6 arestas é dada pelas Equa¸cões 3-12 e 3-20,}

respecti-vamente.

As Figuras 3-2 e 3-3 apresenta as fun¸cões de forma quando são tomadas 5 e 6 ares-tas no dom´ınio de suporte. Lembrando que a circula¸cão deve ser igual a 1 sob a mesma aresta e zero nas outras, de modo que, o vetor resultante da circula¸cão forma um angulo di-ferente de 90o _{com a mesma aresta e é perpendicular às outras arestas no dom´ınio de suporte.}

No Cap´ıtulo 4 será testado o correto funcionamento destas fun¸cões de forma vetoriais, aplicando os mesmo dois testes das se¸cões anteriores. Será mostrado que as duas fun¸cões de forma satisfazem a condi¸cão de circula¸cão e no problema de autovalores, geram solu¸cões livres de modos espúrios.

(38)

26 3 Fun¸c˜oes de Forma Vetoriais com mais arestas no dom´ınio de suporte −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 1 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 2 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 (b) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 3 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 4 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 (d) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 5 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 (e)

Figura 3-2: Representa¸cão gráfica das fun¸cões de forma vetoriais para 5 arestas no dom´ınio de suporte. (a)−→N1, (b)−→N2, (c)→−N3, (d)−→N4 e (e)−→N5

(39)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 1 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 Edge 6 (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 2 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 Edge 6 (b) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Aresta 3 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 Edge 6 (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Aresta 4 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 Edge 6 (d) −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 5 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 Edge 6 (e) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aresta 6 Edge 1 Edge 2 Edge 3 Edge 4 Edge 5 Edge 6 (f)

Figura 3-3: Representa¸cão gráfica das fun¸cões de forma vetoriais para 5 arestas no dom´ınio de suporte. (a)−→N1, (b)−→N2, (c)−→N3, (d)−→N4, (e)−→N5 e (f )−→N6

(40)

4 Resultados Num´

ericos

Neste cap´ıtulo são avaliadas as fun¸cões de forma vetoriais apresentadas no cap´ıtulo anterior. Para isso, primeiro é testada a circula¸cão do campo nas arestas. Com este teste garantimos que as fun¸cões de forma satisfa¸cam a condi¸cão de delta de Kronecker. Uma vez atendia essa condi¸cão, a condi¸cão de contorno de Dirichlet são imposta de forma simplifi-cadas. Logo, o EMM é aplicado a diversos problemas eletromagnéticos, onde é testada a interpola¸cão de campo vetorial, além da condi¸cão do divergente nulo e a condi¸cão de con-tinuidade na interface entre dois meios diferentes. Finalmente, são apresentados dois testes importantes, o primeiro quando o comprimento das arestas tende para um ponto e o segundo quando são tomados diferentes números de arestas no dom´ınio de suporte para solucionar um problema.

As fun¸c˜oes de forma a serem testadas s˜ao: − → N3 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y −x − → N4 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x − → N1₅ = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 −xy − →_N2 5 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i xy −x2 − →_N3 5 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y −x + β4i y2 −xy + β5i xy −x2 − →_N4 5 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 −x2

(41)

− →_N1 6 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i x 0 + β6i 0 y − →_N2 6 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 −xy + β6i xy −x2 − → N36 = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i x 0 + β4i 0 y + β5i y2 −xy + β6i xy −x2 − → N4₆ = β1i 1 0 + β2i 0 1 + β3i y 0 + β4i 0 x + β5i y2 0 + β6i 0 x2

onde o sub´ındice indica a quantidade de arestas que devem ser tomadas no dom´ınio de su-porte e o sobrescrito identifica a fun¸c˜ao de forma entre aquelas que tomam o mesmo n´umero de arestas.

4.1. Circula¸c˜

ao nas arestas

A circula¸cão do campo vetorial é satisfeita sobre cada aresta no dom´ınio e, desta forma, é poss´ıvel garantir de forma simplificada a condi¸cão de Dirichlet mediante a distribui¸cão de arestas na fronteira que são governadas por esta. Assim, é limitando o esfor¸co extra necessário para lidar com as condi¸cões de contorno essenciais. A circula¸cão nas arestas é expressa na Equa¸cão 2-51.

A insolvência é definida como uma expressão para a compatibilidade do conjunto de graus de liberdade com o espa¸co polinomial onde são definidas as fun¸cões de base (Rk_{, ρ}k_,_Lk_).

Diz-se que o sistema expresso na Equa¸cão 2-51 é insolvente se e somente se existe uma única base que pertence ao espa¸co polinomial definido e satisfaz a propriedade de delta de Kro-necker [19].

Para quatro arestas no dom´ınio de suporte, ´e usada a fun¸c˜ao de forma vetorial−→N4. A

circula¸cão é calculada nas arestas de um quadrado com dimensões [0, 1]_{×[1, 0]. A Figura 4-1} mostra a distribui¸cão de arestas utilizada. A matriz da Equa¸cão 4-1 apresenta os resultados da circula¸cão nas arestas. Observa-se que a circula¸cão das fun¸cões de forma têm valor igual a 1 na própria aresta e zero nas outras, portanto a fun¸cão de forma vetorial −→N4 satisfaz a

(42)

30 4 Resultados Num´ericos −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figura 4-1: Distribui¸c˜ao de arestas quadrilateral e a circula¸c˜ao nas arestas.

condi¸c˜ao de circula¸c˜ao.      1 0 0 0 −2, 2204 × 10−16 ₁ ₀ ₀ 0 0 1 0 0 0 −2,2204 × 10−16 ₁      (4-1)

Para as fun¸cões de forma vetoriais com 5 arestas no dom´ınio de suporte, são testados duas distribui¸cão de arestas, conforme a Figura 4-2. Primeiro, é testado a distribui¸cão de arestas “contra slash”. As fun¸cões de forma vetoriais utilizadas são −→N1

5, − → N2 5, − → N3 5 e − → N4 5, os

resultados da circula¸cão nas arestas para essas fun¸cões são apresentados nas Equa¸cões 4-2, 4-3, 4-4 e 4-5, respectivamente. Observa-se que as quatro fun¸cões de forma satisfazem a pro-priedade da circula¸cão nas arestas.

       1 0 0 0 0 −2, 4409 × 10−16 ₁ ₀ ₀ ₀ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4, 2793_{× 10}−16 _{1, 9429}_{× 10}−16 _{−3, 3307 × 10}−16 _{−1, 5360 × 10}−16 ₁        (4-2)

(43)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

(a) Distribui¸c˜ao de arestas sentido “slash”.

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

(b) Disrtribui¸c˜ao de arestas sentido “contra

slash”.

Figura 4-2: Distribui¸c˜oes de arestas para 5 arestas no dom´ınio de suporte.

       1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 _{−4, 4409 × 10}−16 ₁ ₀ 1, 3878_{× 10}−16 _{1, 4165}_{× 10}−16 _{−4,2666 × 10}−16 _{−8, 3267 × 10}−17 ₁        (4-3)        1 0 0 0 0 −1, 6653 × 10−16 ₁ ₀ _{−2, 7756 × 10}−17 _{4, 4409}_{× 10}−16 0 0 1 0 0 −1, 5701 × 10−16 _{1, 1102}_{× 10}−16 _{−3, 3307 × 10}−16 ₁ _{4, 4409}_{× 10}−16 3, 6082_{× 10}−16 _{2, 7756}_{× 10}−17 _{−2, 4980 × 10}−16 ₀ ₁        (4-4)        1 0 0 0 0 −2, 2204 × 10−16 ₁ ₀ ₀ ₀ 0 0 1 0 0 0 0 −2, 2204 × 10−16 ₁ ₀ −1, 3878 × 10−17 _{−1, 6653 × 10}−16 _{−8, 3267 × 10}−17 _{2, 0142}_{× 10}−16 ₁        (4-5)

Agora é testada a distribui¸cão de arestas sentido “slash”. Para as fun¸cões de forma vetoriais −→N1

5 e −→N25, são apresentados os resultados da circula¸cão nas Equa¸cões 4-6 e 4-7,

respectivamente. Pode ser observado que as duas fun¸cões de forma satisfazem a propriedade de circula¸cão nas arestas. Por outro lado, na Equa¸cão 4-8 são apresentado os resultados da circula¸cão nas arestas utilizando as fun¸cões de forma vetoriais−→N3

5 e

− → N4

5. Observa-se que n˜ao

é poss´ıvel encontrar os coeficientes da fun¸cões de forma vetoriais, pois no sistema de equa¸cões 2-52, as matrizes A3

(44)

32 4 Resultados Numéricos as fun¸cões de forma vetoriais não podem ser geradas.

Uma matriz quadrada é singular se e somente se seu determinante for nulo. O deter-minante de uma matriz é nulo quando duas filas ou colunas são iguais ou proporcionais. A matriz A4

5, expressa na Equa¸cão 4-10, tem as colunas três e quatro proporcionais, pois após

de efetuar a opera¸c˜ao coluna 4 = coluna 4 + coluna 5, as colunas 3 e 4 s˜ao iguais.

       1 0 0 0 0 −4, 4409 × 10−16 ₁ ₀ ₀ ₀ 0 0 1 0 0 1, 1102× 10−16 _{1, 1102}_{× 10}−16 _{−1, 1102 × 10}−16 ₁ _{−2, 2204 × 10}−16 −1, 1102 × 10−16 _{6, 1016}_{× 10}−17 _{−5, 5511 × 10}−17 _{−3, 7549 × 10}−17 ₁        (4-6)        1 0 0 0 0 −1, 1102 × 10−16 ₁ _{1, 1102}_{× 10}−16 _{1, 1102}_{× 10}−16 _{−2, 2204 × 10}−16 0 0 1 0 0 0 0 _{−4, 4409 × 10}−16 ₁ ₀ −5, 5511 × 10−17 _{3, 7549}_{× 10}−17 _{−1, 1102 × 10}−16 _{−6, 1016 × 10}−17 ₁        (4-7)        N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN        (4-8) A3₅ =        1 0 0 0 0 1 0 1 0, 5 1 0 1 0 0 0 0 1 −1 −1 −0, 5 0, 7071 0, 7071 0 −2, 7756 × 10−17 _{2, 7756}_{× 10}−17        (4-9) A4₅ =        1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 ₋₁ 0, 7071 0, 7071 0, 3536 0, 3536 0        (4-10)

Finalmente são testadas as fun¸cões de forma vetoriais para seis arestas no dom´ınio de suporte. A Figura 4-3 mostra a distribui¸cão de arestas utilizada. Para as fun¸cões de forma vetoriais−→N1

6 e−→N36 são apresentados os resultados da circula¸cão nas arestas na Equa¸cão 4-11.

Observa-se que não é poss´ıvel encontrar os coeficientes das fun¸cões de forma, pois as matrizes A1

6 e A36, expressas nas Equa¸c˜oes 3-16 e 3-18 tornam-se singulares. Portanto as fun¸c˜oes de

(45)

As matrizes A1

6 e A36 apresentadas nas Equa¸c˜oes 4-12 e 4-13, respectivamente, tem

de-terminante nulo. Nas duas matrizes, as colunas 1 e 3 são proporcionais, porque depois de realizar a opera¸cão coluna 3 = coluna 3_{∗ 2, as colunas 1 e 3 são iguais.}

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figura 4-3: Distribui¸c˜ao de arestas para seis arestas no dom´ınio de suporte.

         N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN N aN          (4-11) A1₆ =          1 0 0, 5 0 0 0 1 0 0, 5 1 0 0 0 1 0 0 0 0, 5 0 1 0 0 1 0, 5 −0, 7071 −0, 7071 −0, 3536 −0, 3536 −0, 3536 −0, 3536 0, 7071 _{−0, 7071} 0, 3536 0, 3536 _{−0, 3536 −0, 3536}          (4-12) A3₆ =          1 0 0, 5 0 0 0 1 0 0, 5 0 1 0, 5 0 1 0 0, 5 0 0 0 1 0 0, 5 _{−0, 5} ₋₁ −0, 7071 −0, 7071 −0, 3536 −0, 3536 0 0 0, 7071 _{−0, 7071} 0, 3536 _{−0, 3536 0, 3536 0, 3536}          (4-13)

Por outro lado, as fun¸c˜oes de forma vectoriais −→N2 6 e

− → N4

6 satisfazem a condi¸c˜ao de