Dimens˜ao Fractal Volum´etrica aplicada `a imagens urbanas de sensoriamento
remoto
Andr´e R. Backes
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e Computac¸˜ao
S˜ao Carlos - SP
backes@icmc.usp.br
Adriana B. Bruno
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e Computac¸˜ao
S˜ao Carlos - SP
adbbruno@gmail.com
Mauro N. Barros Filho
Faculdade de Ciˆencias Humanas Esuda
Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Recife - PE
mbarrosfilho@gmail.com
Odemir M. Bruno
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e Computac¸˜ao
S˜ao Carlos - SP
bruno@icmc.usp.br
Resumo
Imagens de sensoriamento remoto s˜ao uma fonte rica em informac¸˜oes sobre a superf´ıcie terrestre. Por meio delas ´e poss´ıvel desenvolver aplicac¸˜oes envolvendo mapeamentos e estudos urbanos. Neste artigo ´e apresentado um estudo sobre a correlac¸˜ao entre complexidade e as caracter´ısticas morfol´ogicas de ´areas urbanas. Em imagens, essas carac-ter´ısticas se apresentam na forma de complexas interac¸˜oes de diferentes tipos de superf´ıcie, onde cada superf´ıcie cor-responde a um tipo diferente de textura. Neste trabalho, o m´etodo de Dimens˜ao Fractal Volum´etrica ´e aplicado em imagens de ´areas urbanas, obtendo assim uma estimativa da complexidade da textura dessas imagens e, conseq¨uen-temente, uma medida das caracter´ısticas morfol´ogicas pre-sentes.
1. Introduc¸˜ao
A utilizac¸˜ao da geometria fractal em vis˜ao computacio-nal vem se consolidando `a medida que novos m´etodos ba-seados em fractais surgem com a finalidade de segmentar ou analisar imagens. Em geral, as imagens n˜ao apresentam as caracter´ısticas formais de um fractal (auto-similaridade
e complexidade infinita), entretanto, quando os m´etodos de dimens˜ao fractal s˜ao aplicados `a objetos n˜ao fractais como as imagens, as medidas obtidas s˜ao relacionadas ao atributo de complexidade [5]. Embora subjetivo, o atributo da com-plexidade pode ser adaptado, de modo a permitir a aferic¸˜ao de outros atributos visuais importantes em vis˜ao compu-tacional tais como: formas [12, 4] e textura [6, 7]. Neste trabalho ´e realizado um estudo de um recente m´etodo de an´alise de textura baseado em fractais - Dimens˜ao fractal volum´etrica aplicada na an´alise da morfologia urbana de imagens de sensoriamento remoto.
A morfologia urbana surge das correlac¸˜oes entre os ele-mentos de uma cidade, tais como edificac¸˜oes, distribuic¸˜ao de lotes e quadras, arranjo das vias, distribuic¸˜ao de espac¸os p´ublicos, ´areas verdes, rios e etc. A complexa estrutura formada por este conjunto varia de acordo com o cresci-mento da cidade, de seu planejacresci-mento, das caracter´ısticas geogr´aficas, ambientais e s´ocio-econˆomicas. Juntos, estes elementos, determinam a ocupac¸˜ao urbana e consequente-mente fatores como qualidade de moradia e qualidade de vida dos habitantes da cidade. Aferir a morfologia urbana entretanto ´e um tarefa dif´ıcil, realizada sobretudo de ma-neira subjetiva. A utilizac¸˜ao de m´etodos de vis˜ao computa-cional na an´alise de imagens urbanas de sensoriamento re-moto podem contribuir para quantificar e tornar a
morfolo-gia urbana menos subjetiva.
Neste trabalho, ´e apresentado um estudo de an´alise de imagens urbanas de sensoriamento remoto por meio da Di-mens˜ao Fractal Volum´etrica. Foram utilizadas imagens de sat´elite da cidade de S. Carlos (SP), obtidas pelo Goo-gle Earth. As imagens foram retiradas de diferentes bair-ros residˆencias da cidade. O trabalho ´e uma continuac¸˜ao da pesquisa realizada pelos autores em morfometria urbana de imagens de sensoriamento remoto por fractais [2, 1]. O objetivo do estudo ´e verificar a potencialidade de ex-trair informac¸˜oes relacionadas ao urbanismo por meio da an´alise de textura das regi˜oes da cidade. O artigo descreve o m´etodo de estimativa da Dimens˜ao Fractal Volum´etrica, na seq¨uˆencia s˜ao detalhados os experimentos realizados com o mosaico de bairros da cidade. Foram consideradas duas abordagens experimentais: classificac¸˜ao das imagens e a sua corroborac¸˜ao com aspectos urban´ısticos e a recuperac¸˜ao de imagens por similaridade. Os resultados obtidos s˜ao apre-sentados e a capacidade da t´ecnica em aferir caracter´ısticas urbanas ´e discutida.
2. Dimens˜ao Fractal Volum´etrica
Entende-se por Dimens˜ao Fractal uma medida capaz de representar o n´ıvel de complexidade/irregularidade de um objeto. Diferente da dimens˜ao topol´ogica, um valor inteiro que representa o n´umero de dimens˜oes do espac¸o onde o objeto se encontra, a Dimens˜ao Fractal utiliza um valor fra-cion´ario para descrever o qu˜ao irregular um objeto ´e e/ou quanto do espac¸o ele ocupa [13, 15].
A literatura apresenta uma vasta quantidade de m´etodos para estimar a Dimens˜ao Fractal de um objeto. Dentre os m´etodos existentes, o m´etodo de Bouligand-Minkowski destaca-se por apresentar os resultados mais precisos. Esse m´etodo se baseia no estudo da ´area de influˆencia, A(r), criada a partir da dilatac¸˜ao de um objeto A por um disco de raio r. A ´area de influˆencia A(r) computada ´e muito sens´ıvel a alterac¸˜oes estruturais do objeto, de modo que mesmo pequenas alterac¸˜oes podem ser detectadas [13, 15, 8].
A Dimens˜ao Fractal de Bouligand-Minkowski, DF , ´e definida como: DF = N − lim r→0 log A(r) log r (1) com A(r) = p ∈ RN|∃p0 ∈ A : |p − p0| ≤ r , (2) onde N representa o n´umero de dimens˜oes do espac¸o onde o objeto se encontra. No caso de imagens bin´arias, N = 2.
No m´etodo proposto, a imagem A ∈ R2 ´e conside-rada como um superf´ıcie S ∈ R3. Cada pixel da imagem
´e convertido para um ponto p = (y, x, z), p ∈ S, com
z = A(y, x), onde A(y, x) ´e a intensidade do pixel (y, x) na imagem A, permitindo a aplicac¸˜ao do m´etodo em ima-gens de texturas [3].
Aplicando o m´etodo de Bouligand-Minkowski sobre a superf´ıcie S, ´e possivel estimar a dimens˜ao Fractal, DF , de S e, conseq¨uentemente, da textura original:
F D = 3 − lim r→0 log V (r) log r (3) com V (r) = p ∈ R3|∃p0 ∈ S : |p − p0| ≤ r , (4) onde V (r) representa o volume de influˆencia calculado a partir da dilatac¸˜ao de cada ponto de S utilizando uma es-fera de raio r.
De acordo com o valor do raio r, o volume de uma es-fera produzida por um ponto p ∈ S interfere no volume de outras esferas, perturbando a maneira como o volume de in-fluˆencia aumenta (Figura 1). Isto torna volume de inin-fluˆencia V (r) bastante sens´ıvel as mudanc¸as estruturais da textura, permitindo a detecc¸˜ao de mesmo pequenas mudanc¸as [3].
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1. Exemplo do volume de influ ˆencia de uma textura: (a) Textura original; (b) Tex-tura modelada como uma superf´ıcie; (c)-(d) Volume de influ ˆencia para diferentes valores de raio (r = {3, 5}).
3. Experimentos
Experimentos foram realizados visando verificar a correlac¸˜ao entre a Dimens˜ao Fractal obtida pelo m´etodo proposto e caracter´ısticas morfol´ogicas de ´areas urba-nas (tamanho de quadra, geometria das quadras, tamanho
das ruas, disposic¸˜ao de prac¸as e ´areas verdes). A morfolo-gia de uma ´area urbana se apresenta em imagens de senso-riamento remoto na forma de complexas interac¸˜oes de dife-rentes tipos de superf´ıcie, onde cada superf´ıcie corresponde a um tipo diferente de textura [10, 11]. Diferentes tex-turas, por sua vez, apresentam diferentes organizac¸˜oes em seus pixels, o que resulta em um volume de in-fluˆencia V (r) caracter´ıstico para aquele padr˜ao de textura. Isso possibilita o uso de V (r) como uma assinatura de tex-tura capaz de descrever o padr˜ao de distribuic¸˜ao de seus pi-xels, e conseq¨uentemente, sua complexidade. Por meio da Dimens˜ao Fractal ´e poss´ıvel obter uma estimativa da com-plexidade dessa textura e, conseq¨uentemente, uma medida das caracter´ısticas de morfologia urbana.
Para a realizac¸˜ao dos experimentos um conjunto de gens de sensoriamento remoto foi considerado. Essas ima-gens foram obtidas a partir do software Google Earth R.
Elas representam regi˜oes com diferentes condic¸˜oes de habi-tabilidade e desenvolvimento urbano da cidade de S˜ao Car-los, interior do estado de S˜ao Paulo. Ao todo, foram consi-deradas 75 imagens de 200 × 200 pixels, provenientes de diferentes regi˜oes da cidade (Figura 2). Um m´ınimo de 2 e m´aximo de 5 imagens foram obtidas para cada regi˜ao da ci-dade. As imagens foram obtidas a uma altitude de 10.000 p´es, sendo a informac¸˜ao de cor descartada, ou seja, apenas seus n´ıveis de cinza foram considerados durante as etapas de an´alise e estimativa da Dimens˜ao Fractal.
Os experimentos realizados tiveram como objetivos prin-cipais a classificac¸˜ao e a comparac¸˜ao das imagens obtidas segundo a complexidade das caracter´ısticas morfol´ogicas existentes. Desse modo, ´e poss´ıvel avaliar de maneira quan-titativa o n´ıvel de desenvolvimento urbano dessa regi˜ao.
4. Resultados
Uma etapa importante na realizac¸˜ao dos experimentos ´e a escolha do valor do raio de dilatac¸˜ao r a ser utilizado. Isso por que esse valor est´a relacionado a quantidade de informac¸˜ao extra´ıda da textura. A medida que o raio r au-menta, mais informac¸˜ao sobre a textura em diferentes es-calas ´e incorporada ao volume de influˆencia, V (r). No en-tanto, ap´os determinado raio, a informac¸˜ao adicionada ao volume se torna irrelevante. Isso ocorre por que as esfe-ras dilatadas se tornam excessivamente grandes, de modo que toda a informac¸˜ao relevante j´a esta incorporada ao vo-lume. Assim, essa nova informac¸˜ao n˜ao representa mais a interac¸˜ao entre pixels da imagem e acaba por agir como um ru´ıdo nos dados. Nos experimentos realizados o valor do raio de dilatac¸˜ao foi empiricamente definido como r = 5.
Num primeiro experimento, al´em do c´alculo da Di-mens˜ao Fractal, foi tamb´em realizada a classificac¸˜ao das imagens. Para tanto, utilizou-se um classificador hier´arquico aplicado sobre o logaritmo da curva de
vo-lume de influˆencia, log V (r), de cada imagem conside-rada. A m´etrica utilizada foi a distˆancia euclidiana m´edia entre as curvas das amostras, pois esta sofre menor inter-ferˆencia de valores esp´urios. Como resultado, percebe-se um aumento da Dimens˜ao Fractal e, conseq¨uentemente, da complexidade, a medida que se afasta do centro da ci-dade. Isso indica que ´areas perif´ericas apresentam um car´ater mais heterogˆeneo, ou seja, sua organizac¸˜ao das es-truturas morfol´ogicas apresenta um padr˜ao mais ca´otico quando comparadas as ´areas centrais da cidade. Isso ocorre por que ´areas centrais das cidades s˜ao, em ge-ral, alvo de maior n´umero de benfeitorias, portanto, n˜ao sofrem de processos de ocupac¸˜ao espontˆaneos ou infor-mal [9, 14]. Esse aumento de complexidade tamb´em ´e notado em regi˜oes equidistantes do centro da cidade, indi-cando uma organizac¸˜ao de estruturas morfol´ogicas seme-lhante.
A Figura 3 apresenta os an´eis concˆentricos delimitando as regi˜oes a partir do marco central da cidade de S˜ao Carlos (Prac¸a Dom Jos´e Marcondes Homem de Melo). As ´areas analisadas durante o experimento est˜ao destaca-das no gr´afico, onde cada cor, escolhida ao acaso, repre-senta um grupo de ´areas com complexidade semelhante. As distorc¸˜oes presentes na disposic¸˜ao das regi˜oes segundo o seu n´ıvel de complexidade se devem principalmente por dois motivos: (i) a geometria da cidade n˜ao ser exatamente circular e (ii) a realizac¸˜ao de obras de infra-estrutura e pla-nejamento em regi˜oes mais afastadas do centro, diminuindo assim a sua complexidade.
Um segundo experimento foi realizado para demons-trar a performance do m´etodo em aplicac¸˜oes envolvendo a recuperac¸˜ao de imagens por conte´udo. A Figura 4 ilustra os resultados de trˆes buscas diferentes realizadas no conjunto de imagens. Nela, a imagem disposta a esquerda representa a imagem entrada na busca. As imagens restantes (partindo da esquerda para a direita) s˜ao aquelas que se mostraram mais similares `a imagem de entrada.
Os resultados da busca por similaridade confirmam a existˆencia de uma separac¸˜ao das diferentes regi˜oes da ci-dade segundo o seu n´ıvel de complexici-dade e, conseq¨uen-temente, as diferenc¸as na organizac¸˜ao das estruturas mor-fol´ogicas em diferentes ´areas.
5. Conclus˜oes
Este trabalho apresentou um estudo sobre a utilizac¸˜ao do m´etodo de Dimens˜ao Fractal Volum´etrica na an´alise de texturas de imagens de sensoriamento remoto de ´areas ur-banas. A textura presente neste tipo de imagem ´e o re-sultado de uma complexa interac¸˜ao entre diferentes carac-ter´ısticas morfol´ogicas (tamanho de quadra, geometria das quadras, tamanho das ruas, disposic¸˜ao de prac¸as e ´areas ver-des) da regi˜ao analisada, sendo portanto uma rica fonte de
1,2334 1,2904 1,3567 1,4035
Figura 2. Exemplo de imagens de sat ´elite de diferentes ´areas obtidas a 10.000 p ´es de altitude e seus respectivos valores de Dimens ˜ao Fractal.
Figura 3. An ´eis conc ˆentricos, apresentando as regi ˜oes a partir do marco central da cidade e sua Dimens ˜ao Fractal.
informac¸˜oes sobre a superf´ıcie terrestre. Al´em disso, essas caracter´ısticas est˜ao tamb´em relacionadas com a qualidade de vida e o n´ıvel de desenvolvimento da regi˜ao.
Os resultados obtidos demonstram que a Dimens˜ao Fractal Volum´etrica ´e capaz de quantificar a complexi-dade dessas texturas, de modo a permitir a comparac¸˜ao e recuperac¸˜ao de imagens de diferentes regi˜oes da cidade se-gundo o seu n´ıvel de desenvolvimento urbano, evidenci-ando, portanto, a existˆencia de uma correlac¸˜ao entre as
medidas realizadas pelo m´etodo e o desenvolvimento ur-bano.
Agradecimentos
Odemir M. Bruno agradece ao CNPq (Procs. #303746/2004-1 e #504476/2007-6) e a FAPESP (Proc. #06/54367-9). Andr´e R. Backes agradece a FAPESP (Proc. #06/54367-9) pelo apoio financeiro ao
douto-(a)
(b)
(c)
Figura 4. Exemplos de recuperac¸ ˜ao de imagens por conte ´udo realizadas na base.
rado. Adriana B. Bruno agradece ao CNPq pela bolsa de iniciac¸˜ao cient´ıfica. Mauro N. Barros Filho agradece a Fa-cepe (BFP-0055-6.0407).
Referˆencias
[1] A. R. Backes, A. B. Bruno, M. N. B. Filho, and O. M. Bruno. An´alise da complexidade de texturas em imagens urbanas utilizando dimens˜ao fractal. In IX Simp´osio Brasileiro de Geoinform´atica, pages 215–220, 2007.
[2] A. R. Backes, A. B. Bruno, M. N. B. Filho, and O. M. Bruno. Dimens˜ao fractal aplicada em imagens de sat´elite de ´areas urbanas. In III Workshop de Vis˜ao Computacional, pages –, 2007.
[3] A. R. Backes, D. Casanova, and O. M. Bruno. Plant leaf identification based on volumetric fractal dimension. Inter-national Journal of Pattern Recognition and Artificial Intel-ligence (to appear), 2008.
[4] O. M. Bruno, R. de Oliveira Plotze, M. Falvo, and M. de Cas-tro. Fractal dimension applied to plant identification. Infor-mation Sciences, 178(12):2722–2733, 2008.
[5] M. Carlin. Measuring the complexity of non-fractal sha-pes by a fractal method. Pattern Recognition Letters, 21(11):1013–1017, 2000.
[6] B. B. Chaudhuri and N. Sarkar. Texture segmentation using fractal dimension. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 17(1):72–77, 1995.
[7] G. Dougherty and G. M. Henebry. Fractal signature and lacunarity in the measurement of the texture of trabecular bone in clinical CT images. Medical Engineering & Phy-sics, 23(6):369–380, 2001.
[8] K. J. Falconer. Fractal geometry : mathematical foundations and applications. Chichester ; New York : Wiley, 1990, 288 p. CALL NUM: QA614.86 .F35 1990, 1990.
[9] C. Iovan, D. Boldo, M. Cord, and M. Erikson. Automatic ex-traction and classification of vegetation areas from high re-solution images in urban areas. In Scandinavian Conference on Image Analysis, pages 858–867, 2007.
[10] J. Lourenc¸o, L. Ramos, R. A. R. Ramos, H. Santos, and D. Fernandes. Urban areas identification through clustering trials and the use of neural networks. 2005.
[11] M. Pesaresi. Textural classification of very high-resolution satellite imagery: Empirical estimation of the relationship between window size and detection accuracy in urban en-vironment. In International Conference on Image Proces-sing, pages I:114–118, 1999.
[12] R. O. Plotze, J. G. Padua, M. Falvo, M. L. C. Vieira, G. C. X. Oliveira, and O. M. Bruno. Leaf shape analysis by the mul-tiscale minkowski fractal dimension, a new morphometric method: a study in passiflora l. (passifloraceae). Canadian Journal of Botany-Revue Canadienne de Botanique, 83:287– 301, 2005.
[13] M. Schroeder. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes From an Infinite Paradise. W. H. Freeman, 1996.
[14] A. J. Tatem, H. G. Lewis, P. M. Atkinson, and M. S. Ni-xon. Super-resolution mapping of urban scenes from IKO-NOS imagery using a Hopfield neural network. IEEE, 2001. [15] C. Tricot. Curves and Fractal Dimension. Springer-Verlag,
