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ANÁLISE DE ERROS EM DISCIPLINAS MATEMÁTICAS: UM ESTUDO COM ALUNOS DE ENGENHARIA E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

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Academic year: 2021

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Helena Noronha Cury1 Cármen R.J.Azambuja2 Francisco A.R.Silveira3 Neda da S. Gonçalves4 Beatriz Konzen5 Resumo:

O presente trabalho apresenta a primeira fase de uma investigação realizada em doze Instituições de Ensino Superior no Rio Grande do Sul, em um projeto financiado pelo CNPq e com uma equipe formada por docentes dessas IES. Após a leitura e discussão de textos relacionados com erros em Matemática, os investigadores propuseram a aplicação de um teste, com questões de múltipla escolha, para as quais os alunos deveriam, também, apresentar a resolução. De cada Universidade, foram escolhidas uma ou duas turmas de calouros de disciplinas matemáticas. A amostra, composta por cerca de 400 alunos, produziu um conjunto de dados que estão sendo analisados, quantitativa e qualitativamente. Para apresentar a pesquisa e suscitar discussões com colegas de outras Universidades brasileiras que também se ressentem das dificuldades do ensino de disciplinas matemáticas, especialmente nos cursos de Engenharia, apresentamos o levantamento do número de acertos, erros e respostas em branco de duas das turmas participantes e discutimos em profundidade as respostas a uma questão. Foi realizada a detecção e categorização dos erros e uma discussão sobre possíveis causas. Experiências similares têm sido apresentadas em artigos e eventos da área de Ensino de Engenharia e nosso objetivo é proporcionar uma oportunidade de iniciar um debate amplo, em que soluções já experimentadas por outras IES possam ser compartilhadas por todos os interessados.

Palavras-chave: Análise de erros; Ensino de Matemática; Cursos superiores

1

Professora da Faculdade de Matemática da PUCRS, Licenciada e Bacharel em Matemática, Doutora em Educação. PUCRS, Av. Ipiranga, 6681, Porto Alegre, RS. E-mail: curyhn@pucrs.br

2

Professora da Faculdade de Matemática da PUCRS, Licenciada e Bacharel em Matemática, Mestre em Educação. E-mail: cazambuja@pucrs.br

3

Professor da Faculdade de Matemática da PUCRS, Licenciado em Matemática, Mestre em Informática. E-mail: farsilveira@pucrs.br

4

Professora da Faculdade de Matemática da PUCRS, Licenciada em Matemática, Mestre em Matemática. E-mail: neda@pucrs.br

5

Aluna do Curso de Matemática da PUCRS, Bolsista de Iniciação Científica da FAPERGS. E-mail: mmfrantz@terra.com.br

(2)

1 INTRODUÇÃO

A análise de erros é uma abordagem de pesquisa que vem sendo desenvolvida em Matemática desde o início do século XX, com enfoques diversos, segundo os pressupostos teóricos assumidos pelos pesquisadores. Inicialmente, havia uma preocupação com os erros cometidos por alunos de séries iniciais e com conteúdos básicos, como as quatro operações. As pesquisas americanas apoiavam-se, em geral, no behaviourismo e procuravam as causas dos erros para eliminá-los. Na Europa, principalmente na Alemanha, as investigações tinham a influência da Gestalt e da Psicanálise, enfocando, assim, aspectos psicológicos para as causas dos erros. (RADATZ, 1980).

Na década de 70 do século passado, muitas pesquisas foram desenvolvidas sob os pressupostos do processamento da informação; investigadores como Newell e Simon procuravam mapear o funcionamento do cérebro, em comparação com o de uma máquina, buscando padrões de raciocínio e, dessa forma, suas abordagens metodológicas (os protocolos verbais e o “pensar em voz alta”) foram sendo utilizados por pesquisadores preocupados especificamente com os erros, especialmente na resolução de problemas matemáticos. (RESNICK; FORD, 1990).

A aceitação do erro como construtor do conhecimento, com apoio nas idéias de Piaget, trouxe novas formas de investigar os erros. Borasi (1985), por exemplo, entende que temos várias alternativas para usar os erros, conforme o foco escolhido (conteúdos matemáticos, natureza da disciplina ou o processo de aprendizagem) e os objetivos do estudo (eliminação dos erros ou exploração e descoberta a partir deles).

Nas últimas décadas do século XX, investigadores franceses procuraram outras formas de encarar o tema, a partir do conceito de obstáculo epistemológico, proposto por Bachelard. Nesse caso, os erros eram considerados bons indicadores das concepções dos alunos sobre um determinado conteúdo e, de acordo com a concepção (adequada, pertinente e inadequada, não-pertinente e errônea), surgiam os tipos de erro. De qualquer forma, estes eram considerados necessários para que o aluno ultrapassasse as etapas de compreensão dos conceitos e chegasse às concepções adequadas. (EL BOUAZZOUI, 1988).

No Brasil, os erros dos alunos têm sido analisados nas pesquisas sobre dificuldades de aprendizagem, sob os mais diversos pressupostos teóricos. Por exemplo, há trabalhos que empregam abordagem psicanalítica (BALDINO; CABRAL, 1999), outros que seguem idéias de Piaget sobre as etapas de desenvolvimento cognitivo (MACEDO, 1990), outros, ainda, que se apóiam em análises estatísticas (CAZORLA, 2002). Algumas investigações se inserem em trabalhos específicos sobre avaliação, como a pesquisa de Ribeiro (2001), sobre o desempenho dos alunos no SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) ou o trabalho de uma equipe que analisou os resultados do AVA (Avaliação do Rendimento Escolar) aplicados a estudantes da 4ª à 8ª séries do Paraná. (PARANÁ, 2000).

No ensino superior, além de trabalhos específicos sobre dificuldades de estudantes de disciplinas matemáticas (FLEMMING; LUZ; COELHO, 1999; LACHINI, 2001; NASCIMENTO, 2001), há pesquisas sobre análise de erros em Cálculo, desenvolvidas desde 1989. (CURY, 2003). Nessas últimas, uma metodologia de pesquisa vem sendo desenvolvida, com detecção, classificação e análise dos erros, com o objetivo de encontrar possíveis causas e elaborar estratégias de ensino que auxiliem os alunos a superar suas dificuldades.

Neste artigo, apresentamos a fase inicial de uma pesquisa em andamento, com recursos advindos do CNPq, em projeto encaminhado ao Edital Universal 2004.

2 A PESQUISA SOBRE ERROS EM DISCIPLINAS MATEMÁTICAS DE CURSOS SUPERIORES O projeto “Análise de erros em disciplinas matemáticas de cursos superiores”, iniciado em 2005 e com término previsto para 2007, procura soluções para o seguinte problema: como superar dificuldades em Matemática, evidenciadas pelos erros cometidos por alunos ingressantes em cursos da área de Ciências Exatas? Para obter respostas para o problema, o projeto tem os seguintes objetivos: a) Analisar e classificar erros cometidos por alunos ingressantes em disciplinas matemáticas de cursos superiores; b) elaborar e desenvolver atividades de sala de aula, para explorar as dificuldades detectadas; c) avaliar os resultados da experiência e a possibilidade de re-aplicação em diferentes IES do Estado do Rio Grande do Sul e do País.

A pesquisa está sendo desenvolvida por uma equipe, coordenada pela professora proponente do projeto e por docentes que trabalham nas seguintes Instituições de Ensino Superior do Rio Grande do Sul: Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUCRS), de Porto Alegre; Universidade do Rio dos Sinos (UNISINOS), de São Leopoldo; Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), de Santa Maria; Universidade de Caxias do Sul (UCS); Universidade de Passo Fundo (UPF); Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), de Canoas; Universidade Estadual do Rio Grande do Sul (UERGS); Faculdades Porto-Alegrenses (FAPA), de Porto Alegre. Além desses professores, ainda compõe o grupo uma aluna bolsista de Iniciação Científica da FAPERGS, que desenvolve investigação específica sobre erros em Álgebra.

(3)

A pesquisa faz uso de métodos quantitativos e qualitativos, desenvolvendo as seguintes estratégias de ação: 1) Revisar a bibliografia sobre análise de erros em Matemática, cometidos por alunos da Educação Básica e Superior, para avaliar os resultados obtidos e as atividades de ensino já testadas; 2) elaborar teste e aplicá-lo a alunos ingressantes de disciplinas matemáticas, de cada uma das IES envolvidas no projeto; 3) tabular os dados e analisá-los, quantitativa e qualitativamente; 4) a partir dos resultados, elaborar atividades de ensino, escolhendo conteúdos e e metodologias apropriados a cada caso; 5) desenvolver as atividades, escolhendo turmas específicas em cada IES e avaliando os resultados, por meio de testes e questionários aplicados aos alunos, observações de sala de aula e entrevistas com os professores; 6) analisar as experiências, a partir dos dados coletados e debatidos pelos membros da equipe, para verificar a possibilidade de aplicação em outras IES; 7) elaborar artigos relatando as experiências, para apresentação em congressos ou publicação em periódicos da área.

Na parte quantitativa da pesquisa, para a elaboração e análise dos testes e questionários a serem aplicados aos alunos, serão levados em conta elementos de estatística, tanto para a confecção dos instrumentos como para a escolha das amostras de alunos. Os conteúdos matemáticos serão escolhidos de acordo com as dificuldades já encontradas em pesquisas anteriores, estudadas na revisão da bibliografia sobre o tema.

Na parte qualitativa da investigação, serão empregadas estratégias de análise de erros, já validadas em pesquisas anteriores (CURY, 2003; CURY; CASSOL, 2004). A metodologia para análise dos erros segue, em linhas gerais, os passos da análise de conteúdo, apresentadas em Bardin (1979) e Patton (1980). Ao escolher as questões para a análise dos erros, realiza-se uma primeira leitura para decidir os tipos a serem considerados na contagem inicial. A releitura permite tomar decisões sobre as unidades de análise, que são posteriormente categorizadas, segundo critérios decididos a priori ou a posteriori. A descrição de cada classe permite uma compreensão mais aprofundada dos erros, pois as hipóteses sobre suas causas são interpretadas com base nas descrições e apontam para possibilidades de exploração dos erros.

Para a elaboração do teste inicial, aplicado em turmas de alunos calouros de cursos que apresentam disciplinas matemáticas em seus currículos, nas Instituições de Ensino Superior envolvidas no projeto – sendo cada IES representada por no máximo duas turmas, entre 20 e 40 alunos cada – foram escolhidas questões de vestibulares da PUCRS, anteriores a 2005, para as quais já havia o levantamento do número de acertos e erros. Em reunião da equipe do projeto, foram discutidos os problemas que envolviam tópicos fundamentais para o desenvolvimento das disciplinas em questão, sendo algumas questões de vestibular substituídas por outras, propostas por membros da equipe e consideradas mais adequadas para análise. Feitos os ajustes, o teste, composto por 12 questões de múltipla escolha, foi enviado a todos os membros da equipe e aplicado em 12 turmas, num total de 445 alunos. No teste que é apresentado em anexo, neste artigo, optamos por eliminar as alternativas que envolvem gráficos de funções, pela exigüidade de espaço, mas indicamos o tipo de gráfico inserido.

Os resultados aqui apresentados são relativos a duas turmas de alunos da PUCRS, sendo uma delas de Cálculo Básico, composta por 20 alunos de cursos de Engenharia e a outra composta por 26 estudantes de Cálculo A, do curso de Ciência da Computação.

Os cursos de Engenharia da PUCRS, cujos currículos reformulados foram implantados em 2003, têm a disciplina de Cálculo Básico para calouros, com quatro créditos, enfatizando conteúdos vistos no ensino médio ma direcionados para o Cálculo, como funções, equações paramétricas, vetores, matrizes, determinantes, cônicas e quádricas, etc. Somente no curso de Engenharia Química, a disciplina inicial de Matemática tem oito créditos e engloba os conteúdos tradicionalmente apresentados em cursos iniciais de Cálculo, desde o estudo de funções até métodos de integração, encerrando com tópicos de seqüências e séries. Optamos por trabalhar com a turma de Cálculo Básico, visto que é formada por estudantes de Engenharia Civil e de Produção, além de alunos da Licenciatura em Matemática.

O curso de Ciência da Computação apresenta a disciplina de Cálculo A com conteúdos de Cálculo Diferencial, relativos a funções, limites e derivadas. A turma foi escolhida para englobar, na pesquisa, um outro curso da área de Ciências Exatas da PUCRS.

3 OS RESULTADOS OBTIDOS EM DUAS TURMAS

Todas as IES participantes do projeto vão realizar análise dos dados com a mesma metodologia. Posteriormente, serão elaboradas estratégias de ensino, com explicitação da abordagem em empregada em cada uma delas (resolução de problemas, modelagem, uso de jogos, uso de informática, etc.), observação e descrição das atitudes dos alunos ao realizar as atividades e entrevistas com os professores participantes da equipe, que vão ser responsáveis pelas atividades e observações.

Sobre a primeira fase da pesquisa, em que estão sendo analisadas as respostas às questões do teste, vamos apresentar, neste artigo, os resultados quantitativos de duas turmas da PUCRS, juntamente com o exame aprofundado de uma das questões. Com isso, será exemplificada a metodologia de análise utilizada por todos os pesquisadores da equipe.

(4)

No teste aplicado aos alunos, as questões foram digitadas na coluna à esquerda da folha e, à direita, havia espaço em branco para que os alunos indicassem os cálculos ou descrevessem os raciocínios empregados para a obtenção da resposta. Após marcar uma alternativa em cada questão, os estudantes passavam as respostas para uma grade, entregando todo o material, sem identificar-se. Dessa forma, tivemos acesso à grade e, também, aos cálculos desenvolvidos por eles.

Em cada turma, foi determinado o número de acertos, erros e respostas em branco, para cada questão. O resultado das duas turmas da PUCRS é apresentado no quadro 1, a seguir.

Questão Nº alunos que acertaram % Nº alunos que erraram % Nº alunos que não responderam %

Nº alunos que erraram ou não responderam % 1 22 48 21 46 3 7 24 52 2 23 50 22 48 1 2 23 50 3 14 30 18 39 14 30 32 70 4 7 15 33 72 6 13 39 85 5 13 28 20 43 13 28 33 72 6 23 50 21 46 2 4 23 50 7 27 59 12 26 7 15 19 41 8 15 33 25 54 6 13 31 67 9 15 33 25 54 6 13 31 67 10 33 72 10 22 3 7 13 28 11 30 65 15 33 1 2 16 35 12 11 24 17 37 18 39 35 76

Quadro 1 – Número de alunos que acertaram, erraram ou não responderam

Consideramos que as dificuldades dos estudantes se evidenciam pelas respostas erradas mas também pela ausência de resolução; dessa forma, analisando o quadro, vemos que a questão 4 foi a que apresentou maiores dificuldades, seguida da 12 (que trata de resolução de uma equação com frações algébricas) e da 5 (que exige conhecimentos de gráfico da função quadrática e das condições de definição da função raiz).

4 A ANÁLISE DE UMA QUESTÃO

Para exemplificar a classificação dos erros encontrados na parte escrita do teste, escolhemos a questão que apresentou a maior percentagem de respostas erradas ou em branco, que foi a questão 4, reproduzida a seguir:

Um gaúcho, para fazer seu chimarrão, retira toda a erva-mate de uma caixa de forma cúbica, totalmente cheia, de 6 cm de aresta interna. Sabendo que a erva-mate ocupa 2/3 da cuia, o volume desta, em cm3, é

a) 72 b) 216 c) 288 d) 324 e) 648

Categorizamos os erros em classes, de acordo com semelhanças de resolução. Em primeiro lugar, temos os erros do tipo I, cometidos por 10 alunos, que simplesmente calcularam o volume da caixa cúbica, encontrando 216 cm3 como resposta. Consideramos que este tipo de erro pode ter várias causas e as resoluções apresentadas não deixaram ver as diferenças de raciocínio, pois a maior parte dos alunos simplesmente escreveu 6.6.6=216 ou 6.6=36.6=216. Já aí se nota a falta de cuidado com a linguagem matemática, pois os alunos, ao encadearem cálculos, podem, às vezes, perder o significado dos dados com os quais estão trabalhando, visto que, evidentemente, 6.6 é diferente de 216!

O segundo tipo de erros, detectado em oito provas, mostra que os estudantes calcularam o volume da caixa cúbica (216 cm3 ) e, após, acharam a terça parte (72 cm3 ), somando ao volume da caixa, obtendo como resposta 288 cm3 . Como 1/3 é a parte da cuia que fica sem erva, pode-se pensar, inicialmente, que os alunos estivessem calculando esta parte. No entanto, ao somar o volume da caixa (que ocupa os 2/3 da cuia) parece que os alunos raciocinaram que o total de erva-mate (216 cm3), ocupando 2/3 da cuia, somado a 1/3 da mesma, daria o volume de toda a cuia. No entanto, o erro nos parece, então, de interpretação, pois o terço que estava vazio era da cuia e não da caixa!

O erro do tipo III, cometido por dois alunos, consistiu em calcular o volume da caixa (216 cm3), a seguir, calcular 2/3 deste volume (144 cm3) e subtrair este valor dos 216 cm3 , obtendo 72 cm3. Neste caso,

(5)

novamente nos parece que há uma interpretação errônea do que significa uma determinada fração de um todo, pois não estávamos indicando que a erva ocupava 2/3 da caixa, mas da cuia! De qualquer forma, o que o aluno obteve foi 1/3 do volume da caixa, o que, no problema, não foi pedido e nem tem significado.

O erro do tipo IV, cometido por dois estudantes, consistiu em multiplicar o valor 216 por 3, obtendo 648. Como não há indicação do raciocínio, apenas este cálculo, não conseguimos interpretá-lo.

Classificamos cinco resoluções em uma categoria à parte, que chamamos de erros do tipo V, pois não foi possível detectar semelhanças de resolução nem entender os cálculos apresentados. Para ilustrar, copiamos aqui algumas dessas respostas:

3 a) 63 = 36 x 6 x 6 96 - 24 72

Ora, se tentarmos entender o que foi feito, em primeiro lugar, aparece um erro grave, que se destaca na “conta de vezes”, em que o aluno, ao multiplicar 36 por 6, obtém 96, porque “vai 3” para a coluna da dezena, proveniente, segundo parece, das dezenas do número 36 (6 x 6). A resposta indicada por este aluno foi 72 cm3, mas o que, efetivamente, justifica esse dado, não nos parece claro.

b) Outra resposta impossível de ser analisada (e que o aluno, de antemão, já mostrou que fugia ao seu entendimento, encerrando a solução com uma frase: “Sei lá!” ), apresenta o desenho de uma figura que parece ser um quadrado, seguida de valores e cálculos incompreensíveis:

11 x = L 2.L 2.L 2 x L 2 4 . 2 . 2 2 8 . 2 2 162 2=1 2 3 = x

Na grade de respostas, este aluno indicou “288” como solução, o que não parece vir do raciocínio anterior.

Além dessas classes de erros, ainda consideramos a categoria VI, dos 10 alunos que não responderam nem tentaram fazer cálculo algum, inclusive tendo, alguns, acrescentado: “Não lembro” ou “Não sei a fórmula do volume”.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ainda que a pesquisa esteja em sua fase inicial, a experiência de investigações anteriores (CURY, 2003; CURY e CASSOL, 2004), serve de apoio para considerar que há enormes problemas de formação básica dos alunos calouros de disciplinas matemáticas da área de Ciências Exatas. Nesta questão 4, especialmente analisada, poderíamos pensar que houve um erro de leitura e interpretação, em que o estudante confundiu a expressão “volume desta” com “volume da caixa”. No entanto, uma releitura atenta poderia dar a pista, pois, se pedíssemos o volume da caixa, não haveria sentido em citar a cuia. Quando um estudante diz que não lembra a fórmula do volume, este fato é preocupante, pois é a mais simples fórmula de volume, a do cubo, obtida simplesmente pelo conceito de volume como produto das três dimensões.

Outro fato curioso e que deverá ser aprofundado em discussões posteriores pela equipe de pesquisa, refere-se ao fato de que o problema em questão foi aplicado a alunos de IES gaúchas, em que o hábito de beber chimarrão faz parte da cultura. Sempre se pensa que a contextualização de um problema permite ao aluno um

3 32

1

(6)

melhor entendimento e uma motivação para a resolução. Mas este exemplo pode nos levar a questionar uma contextualização sem ter uma base em conteúdos.

Nosso objetivo, ao apresentar esta primeira fase de uma pesquisa em andamento, é questionar o ensino de disciplinas matemáticas em cursos superiores e suas dificuldades, atestadas por investigações como as de Flemming, Luz e Coelho (1999), de Nascimento (2001) e de Cury (2003), especialmente levando em conta a evasão e reprovação constatadas em muitas IES. Podemos continuar a colocar Cálculo I no primeiro semestre? É válida a experiência de um Pré-Cálculo? Como poderíamos recuperar conteúdos pré-requisitos, de uma forma que já levasse os estudantes a modificar hábitos de resolução de problemas? Essas são questões discutidas com freqüência, em livros, artigos e eventos, e temos a consciência de que muito ainda será necessário debater para conseguirmos levar nossos alunos calouros a desenvolverem novas atitudes frente ao saber, especialmente em uma época em que o excesso de informação é considerado conhecimento e muitos alunos se acostumam a esperar que a Internet lhes dê a resposta para todas as perguntas.

REFERÊNCIAS

BALDINO, R.R.; CABRAL, T. C.B. Erro do significado ou significado do erro. Boletim Gepem, n.35, p. 9-41, 1999.

BARDIN, L. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, 1979.

BORASI, R. Using errors as springboards for the learning of mathematics: an introduction. Focus on Learning Problems in Mathematics, v.7, n.3-4, p.1-14, 1985.

CAZORLA, Irene. A relação entre a habilidade viso-pictórica e o domínio de conceitos estatísticos na leitura de gráficos. 2002. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2002.

CURY, H.N. Análise de erros e análise de conteúdo: subsídios para uma proposta metodológica. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos. Anais... Santos: SBEM, 2003. CD-ROM

CURY, H.N.; CASSOL, M. Análise de erros em cálculo: uma pesquisa para embasar mudanças. Acta Scientiae, v.6, n.1, p. 27-36, jan./ jun. 2004

EL BOUAZZOUI, Habiba. Conceptions des élèves et des professeurs àpropos de la notion de continuité d'une fonction. 1988. Tese (Doutorado)- Faculté des Sciences de l'Education, Université Laval, 1988.

FLEMMING, D. M.; LUZ, E. F.; COELHO, C. Tendências atuais do ensino das disciplinas da área de matemática nos cursos de engenharia. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 27, 1999, Natal. Anais.... Natal: UFRN, 1999. CD-ROM.

LACHINI, J. Subsídios para explicar o fracasso de alunos em cálculo. In: LAUDARES, J.B., LACHINI, J. (Org.). A prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001. p. 146-190.

MACEDO, Lino de. Para uma visão construtivista do erro no contexto escolar. In: SÃO PAULO. Secretaria de Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Coletânea de Textos de Psicologia: psicologia da educação. São Paulo, 1990. v.1. p.346-362.

NASCIMENTO, J.L. Uma abordagem para o estudo de limites com uso de pré-conceitos do cálculo diferencial e integral. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 29, 2001, Porto Alegre. Anais.... Porto Alegre: PUCRS, 2001. CD-ROM.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Caderno AVA 2000 Matemática: uma análise pedagógica. Curitiba, 2001.

PATTON, M. Q. Qualitative evaluation methods . London: Sage, 1980.

RADATZ, Hendrik. Students'errors in the mathematical learning process: a survey. For the Learning of Mathematics, v.1, n.1, p.16-20, July 1980.

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RESNICK, Lauren B., FORD, Wendy W. La enseñanza de las matemáticasy sus fundamentos psicológicos. Barcelona: Paidós, 1990.

RIBEIRO, A. J. Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. 2001. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2001.

Anexo: Teste aplicado Prezado(a) aluno(a):

Estamos desenvolvendo um projeto de pesquisa para analisar dificuldades encontradas pelos alunos ao resolver questões de Matemática. Solicitamos sua colaboração no sentido de resolver as questões abaixo. Utilize o espaço em branco à direita de cada uma para indicar seus cálculos ou explicar seu raciocínio e, após selecionar a alternativa que lhe parece correta, marque a resposta na grade em anexo. Entregue todo o material, não sendo necessário identificar-se. Agradecemos sua colaboração.

1) Uma escada de 6 metros de comprimento está encostada em um muro, conforme a figura. O valor de y é

a)

6 – x

b)

6 + x

c)

36 – x

2

d)

2 36+x

y

e)

36

x

2

x

2) Duas grandezas representadas por x e y são diretamente proporcionais. Um modelo gráfico para a representação dessa relação é ... (as alternativas indicam gráficos de função linear, exponencial, potência positiva, par e ímpar, e função raiz).

3) Se x ≠ 2 e x ≠ 0 então a expressão

x

x

x

x

x

16

8

6

2 2 3

+

pode ser escrita como

a) x + 3 b)

8

3

+

x

c) 8x d)

3

4

+

x

e) 16

4) Um gaúcho, para fazer seu chimarrão, retira toda a erva-mate de uma caixa de forma cúbica, totalmente cheia, de 6 cm de aresta interna. Sabendo que a erva-mate ocupa 2/3 da cuia, o volume desta, em cm3, é

a) 72 b) 216 c) 288 d) 324 e) 648

5) Considerando a função f definida por f (x) = x2 – 1, a representação gráfica da função g dada por

g ( x ) = | - f( x ) | - 2 é... (as alternativas indicam gráficos resultantes de movimentos de translação ou simetria do gráfico da função original, bem como aqueles que representam módulo das anteriores).

6) A figura a seguir mostra uma janela em que a parte superior é formada por um semi-círculo e a parte inferior por um retângulo, cuja altura h possui o dobro da medida da base b. A medida total da janela é

2 3 a) b

2 5 b) b

2 c) b

d)

2

b

e) b

6

(8)

7) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por 

<

+

+

=

8

4

),

1

(

200

4

0

),

(

50

)

(

2

t

t

t

t

t

t

f

O número de peças produzidas nas primeiras cinco horas de trabalho é a) 40 b) 200 c) 1000 d) 1200 2200

8) A função f é definida por f(x)= g(x) . A representação gráfica de g(x) está esboçada abaixo. O domínio da função f é...(o gráfico representa a função g(x)= - x2 + 4 ).

a) [ -12; 4 ] b) [ 0; 4 ] c) ( 0; 4 ) d) ( -2; 2 ) e) [ -2; 2 ]

9) A reta r de equação y = a x + b, passa pelo ponto ( 0, -1 ) e, para cada unidade de variação de x, apresenta uma variação de y em 7 unidades. Sua equação é

a) y = 7 x + 1 b) y = x – 7 c) y = 7x – 1 d) y = x + 7 e) y = -7x - 1

10) O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ 41.000,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ 28.000,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em reais, é

a) 5.000 b) 13.000 c) 18.000 d) 23.000 e) 41.000

11) Um produto foi revendido por R$ 1.035,00, com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Esse produto foi adquirido por a) R$ 1.020,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 935,00 d) R$ 900,00 e) R$ 835,00 12) O conjunto-solução, em

, da equação

45

19

2

2

9

2

1

5

1

2

+

+

=

+

+

+

x

x

x

x

é a) {-4 , -5 } b) { - 5 } c) { - 4 } d) { 4 } e) { 5 }

Referências

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