Optimização da determinação das correspondências entre objectos deformáveis no espaço modal : [Tese de Mestrado]

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FACULDADE DE CIÊNCIAS E FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

OPTIMIZAÇÃO DA DETERMINAÇÃO DAS

CORRESPONDÊNCIAS ENTRE OBJECTOS

DEFORMÁVEIS NO ESPAÇO MODAL

Maria Luisa Ferreira dos Santos Bastos

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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DE COMPUTADORES FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DO PORTO

Rus do Campo Alegre. 623

4150 -180 PORTO PORTUGAL

Optimização da Determinação das

Correspondências entre Objectos Deformáveis

no Espaço Modal

Dissertação submetida para efeito de atribuição do grau de Mestre em Métodos Computacionais em Ciências e Engenharia pela Universidade do Porto

Maria Luísa Ferreira dos Santos Bastos

Licenciada em Matemática Aplicada à Tecnologia pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto (2000)

Projecto realizado sob a orientação do Professor Doutor João Manuel R. S. Tavares

Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

UNIVERSIDADE DO PORTO BIBLIOTECA Sola Coloc*.10lO~ N.°.Y.S! V..O..D. FACULDADE DE CIÊNCIAS

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AGRADECIMENTOS

A concretização da presente dissertação só foi possível graças ao apoio, à colaboração e ao incentivo de diversas pessoas e entidades, às quais desejo expressar o meu reconhecimento.

Ao Professor Doutor João M. R. S. Taveres, um especial agradecimento pela disponibilidade e empenho com que me orientou na elaboração da presente dissertação.

Ao Professor Doutor A Volgenant, por disponibilizar o artigo e o código fonte do seu algoritmo de optimização utilizado nesta dissertação.

Aos colegas do LOME, pelo bom ambiente proporcionado no decorrer deste trabalho e pelo companheirismo demonstrado.

Gostaria também de agradecer ao INEGI a bolsa de investigação que me concedeu e a possibilidade de realizar este Curso de Mestrado. Ao LOME pelas excelentes instalações e condições de trabalho proporcionadas.

Aos colegas de mestrado pela amizade e entre ajuda demonstrados.

Agradeço, finalmente, à minha família e amigos pelo apoio e incentivo que me têm proporcionado ao longo da minha vida académica.

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Sumário

O tema desta dissertação está inserido no domínio de visão por computador e na área da análise do movimento e/ou deformação de objectos 2D/3D. A determinação de correspondências é uma parte essencial na análise do movimento/deformação de objectos, tendo por isso um grande interesse em áreas como a medicina, indústria e outras áreas de investigação.

No presente contexto, a determinação de correspondências é efectuada entre dois conjuntos de pontos, extraídos de duas imagens diferentes, que podem, por exemplo, definir contornos ou superfícies.

O trabalho previamente desenvolvido pelo orientador desta dissertação, durante os trabalhos do seu doutoramento, deu origem a uma plataforma de desenvolvimento e ensaio, na qual está integrada uma metodologia para a determinação das correspondências entre objectos, usando modelação física e análise modal. No âmbito deste projecto, pretende-se implementar algoritmos baseados em metodologias de optimização global, de forma a melhorar a fase de determinação de correspondências, de índole local, utilizada na metodologia anteriormente desenvolvida. A referida plataforma foi utilizada, no âmbito desta dissertação, para a implementação e ensaio dos novos algoritmos desenvolvidos.

Na elaboração deste projecto, começou-se por estudar a plataforma de desenvolvimento e ensaio. De seguida continuou-se com o estudo do estado da arte, para uma melhor percepção do trabalho existente na área abrangida por este tema. Prosseguiu-se com a selecção dos algoritmos de optimização global a utilizar, segui u-se a sua implementação/integração na plataforma e procedeu-se a alguns ensaios experimentais sobre os algoritmos seleccionados.

Ao longo deste trabalho foram detectadas várias situações nas quais correspondências do tipo "um para vários" e vice-versa poderiam ter um elevado interesse. Como tais correspondências não eram contempladas na metodologia anteriormente desenvolvida, nem tão pouco é habitual encontrar nas referências bibliográficas, a procura de uma solução que respondesse satisfatoriamente a tais situações foi também um dos objectivos desta dissertação. A solução adoptada resolve de forma adequada os casos em que os objectos a emparelhar são constituídos por um diferente número de nodos.

Nesta dissertação é resumidamente descrita a metodologia utilizada para a determinação de correspondências entre objectos, baseada no método dos elementos finitos e na análise modal, previamente desenvolvida e integrada na referida plataforma. É descrito matematicamente o problema em questão, tal como os algoritmos implementados e alguns resultados experimentais obtidos. São também apresentadas algumas conclusões finais e propostos alguns trabalhos futuros.

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Abstract

The subject of this dissertation is in the computer vision domain and in the area of motion and/or deformation analysis of 2D/3D objects. The determination of correspondences (matching) is an essential part of that analysis, having therefore a great interest in areas like medicine, industry and other research areas.

In the current context, the matching is done between two sets of nodal points, extracted from two different images that can, for example, define contours or surfaces objects type.

From the work previously developed by the coordinator of this dissertation, during his PhD thesis, has resulted a development and test platform, in witch was integrated a methodology for object matching, using physical models and modal analysis. The intent of this project is to incorporate algorithms based on global optimization methods in order to improve the matching phase, of local nature, of the previously developed methodology. The referred platform was used, in the scope of this dissertation, for the implementation and test of the new developed algorithms.

The elaboration of this project started with the study of the platform. The work followed with the study of the deformable objects state of the art, for a better perception of the existing work. It continued with the selection of global optimization algorithms and followed with their implementation/integration in the platform. Finally some experimental tests were done using the selected algorithms in the matching phase step.

During this work, have been detected some situations in which correspondences of "one for several" type or vice-versa could have a high interest. As such correspondences were not considered in the previously developed methodology, nor are usually found in bibliographic references, the search for a solution that could answer satisfactorily to such situations was also one of the objectives of this dissertation. The solution adopted is adequate to cases in which contour objects type are formed by a different number of nodes.

In this dissertation, the methodology previously developed and integrated in the related platform and used for the matching process, is briefly described. This methodology is based in the finite elements method and in modal analysis. The problem in question is also mathematically described, the implemented algorithms are briefly explained and some experimental results are exposed. Finally, are drawn the final conclusions and briefly presented plans for further work.

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Sommaire

Le sujet de cette dissertation est inséré dans le domaine de la vision pour l'ordinateur et dans le domaine de l'analyse du mouvement et/ou de la déformation des objets (2D/3D). La détermination des correspondances est une partie essentielle dans l'analyse du mouvement/déformation des objets, avant donne un grand intérêt pour les domaines comme la médecine, l'industrie et d'autres domaines de recherche.

Dans le contexte actuel, la détermination des correspondances est fait entre deux ensembles de points, extraits de deux images différentes, qui peuvent, par exemple, définir contours ou surfaces.

Le travail précédemment développé par le orientem de cette dissertation, pendant les travaux de doctorat, a donné à l'origine à une plateforme de développement et essai, dans lesquelles une méthodologie pour la détermination des correspondances entre objets est intégrée, en utilisant modelage physique et analyse modale. Dan's le contexte de ce projet, est prévu pour mettre en application des algorithmes basés sur des méthodologies d'optimisation global afin d'améliorer la phase de la détermination des correspondances, de la nature locale, utilisée dans la méthodologie précédemment développée. La plateforme référée a été utilisée, dans la portée de cette dissertation, pour la mise en place et le test des nouveaux algorithmes développés.

L'élaboration de ce projet a commencé par l'étude de la plateforme de développement et essai. Le travail a suivi avec l'étude l'état de l'art, pour une meilleure perception du travail existant dans le secteur inclus pour ce sujet. 11 a été continué avec la sélection des algorithmes d'optimisation global a employer suivi avec leur implementation/integration Enfin du testes expérimentaux ont été faits sur les algorithmes choisis.

Au long de ce travail ont été détectés plusieurs situations dans que des correspondances du type «un pour plusieurs» ou vice-versa pourraient avoir un intérêt élevé. Car de telles correspondances n'ont pas été contemplées dans la méthodologie précédemment développée, ni aussi peu est habituelle trouver dans les références bibliographiques, la recherche d'une solution qui a répondu d'une manière satisfaisante à de telles situations était également un des objectifs de cette dissertation. La solution adoptée ressort d'une manière appropriée les cas où les objets à apparier sont constitués par un nombre différent de noeuds.

Dans cette dissertation, la méthodologie utilisée pour la détermination des correspondances entre les objets est brièvement décrite. Cette méthodologie est basée dans la méthode d'élément finis, et dans l'analyse modale, précédemment développée et intégrée dans la référé plateforme. Il est décrit mathématiquement le problème en question, tel que les algorithmes mis en application et quelques résultats expérimentaux obtenus. Il sons aussi présentés quelques conclusions finales et considérées quelques travaux futurs.

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índice

Capítulo I: Introdução e Estrutura da Dissertação 3

1.1 Introdução 5 1.2 Objectivos 7 1.3 Introdução aos métodos de emparelhamento 9

1.4 Dados pontuais utilizados 16 1.5 Principais contribuições 19 1.6 Estrutura da dissertação 20 Capítulo II: Fundamentos 21

2.1 Introdução 23 2.2 Método dos elementos finitos e da análise modal 23

2.2.1 Método dos elementos finitos 24

2.2.2 Formulação da análise modal 32 2.2.3 Algoritmo para a obtenção das correspondências 33

2.3 Descrição matemática 35 2.4 Tipos de algoritmos 43 Capítulo III: Implementação 49

3.1 Introdução à plataforma de desenvolvimento e ensaio 51

3.2 Algoritmo Húngaro 54 3.3 Algoritmo Simplex para problemas de fluxo 56

3.4 Algoritmo LAPm 59 3.5 Determinação das correspondências 61

Capítulo IV: Resultados 63 4.1 Introdução 65 4.2 Objectos 2D 65 4.3 Objectos 3D 71 Capítulo V: Conclusões e Trabalho Futuro 75

5.1 Conclusões 77 5.2 Trabalho futuro 81

Bibliografia 85

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DE COMPUTADORES

FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua do Campo Alegre, 823

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Capítulo I

Introdução e Estrutura da Dissertação

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Optimização da Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

1.1 Introdução

Existem diversas aplicações da área do processamento e análise de imagem, como por exemplo, detecção remota - agricultura e florestas, planeamento regional, monitorização de gelo nos oceanos, etc.; aplicações militares - imagens de infravermelhos, etc.; medicina e biologia - tomografia axial computorizada (TAC), ressonância magnética nuclear (NMR), etc.; aplicações industriais - identificação e inspecção de peças, verificação e identificação da perfuração de circuitos impressos, etc.

A análise do movimento tem vindo a ser, nas duas últimas décadas, uma área importante de investigação no domínio da visão por computador, [Tavares, 2000]. O problema da análise de movimento é tradicionalmente definido como a determinação do movimento de um objecto a partir de uma sequência de imagens, a duas ou três dimensões (2D ou 3D), capturadas em dois ou mais instantes de tempo.

Seguir o movimento, numa sequência de imagens ou vídeo, é útil na determinação da posição e/ou outros parâmetros do movimento (ou deformação) de um objecto, perceptível nessa sequência. Os algoritmos de seguimento podem utilizar (1) técnicas de análise de imagem para estimar o movimento, ou (2) modelos dinâmicos para descrever a evolução temporal do movimento.

Existem duas abordagens gerais à análise do movimento para um seguimento visual: (1) métodos diferenciais, que utilizam relações entre os gradientes espaciais e temporais da intensidade da imagem, para o cálculo do fluxo óptico; e (2) técnicas discretas para encontrar as correspondências entre pontos de imagens obtidas em instantes diferentes [Atienza, 1996].

Uma grande percentagem do trabalho desenvolvido na área da análise de movimento foi realizada com o objectivo de obter a estrutura geométrica e também os parâmetros do movimento, a partir de uma sequência de projecções. Tal deve-se à elevada importância desta área no processamento de cenas. Muitos destes trabalhos assumem que os objectos em questão têm formas constantes ao longo de toda a sequência Esta restrição de rigidez é inadequada em muitas situações de análise do movimento, pois muitos objectos reais são deformáveis. Exemplos disso no mundo real são os seres humanos, que apresentam um movimento contínuo não rígido, os tecidos, que se enrugam, as folhas de papel, que se dobram, etc. [Tavares, 2000].

/ - Introdução e estrutura da dissertação •

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DE COMPUTADORES

FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua do Campo Alegre, U23

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Os modelos dinâmicos levam em conta o facto dos objectos físicos poderem ser rígidos ou não rígidos (deformáveis). Mesmo quando estamos perante um objecto com elevada rigidez, a aparência do objecto pode deformar-se, se a geometria utilizada na captação das imagens for alterada Portanto, a utilização de modelos deformáveis é aconselhada, [Tavares, 2000].

A utilização de modelos deformáveis tem grande interesse em áreas como a automação agrícola e da indústria alimentar. Alguns exemplos dessas aplicações são a manipulação de produtos não rígidos, controlo de qualidade e inspecção de produtos agrícolas, e embalagens alimentares [Atienza, 1996]. Outras áreas de grande interesse são a área da imagem médica e da compressão de imagens baseada em modelos. Existem várias aplicações na área biomédica, tais como o estudo do movimento do coração e do pulmão, estudo do fluxo sanguíneo e a análise do crescimento de tumores. Um dos objectivos na imagem cardíaca é a análise do movimento não rígido e a estimação das características da deformação do coração. Um exemplo de aplicação na compressão de imagem baseada em modelos é a teleconferência a elevadas velocidades de transmissão. Desde que os parâmetros do movimento, ou as correspondências pontuais do movimento facial, possam ser estimados, as imagens podem ser eficientemente codificadas e transmitidas, reduzindo significativamente a largura de banda necessária, em comparação com abordagens tradicionais [Tavares, 2000].

A utilização de modelos deformáveis, por si só, não permite a obtenção de correspondências entre diferentes imagens. Para solucionar o problema das correspondências, pode ser utilizada uma metodologia que usa o método dos elementos finitos e obtém os emparelhamentos através da semelhança dos deslocamentos de cada ponto do objecto, no respectivo espaço modal. Assim, descrevendo a forma do objecto em função dos modos próprios de vibração de um modelo de elementos finitos, é possível obter uma descrição robusta e ordenada pela frequência, para essa mesma forma O modelo resultante varia consoante as propriedades físicas consideradas para o objecto em questão. Desta forma representa-se um objecto deformável no espaço modal, obtendo um método robusto para a modelação 3D, reconhecimento de objectos, e seguimento 3D utilizando pontos, contornos, distâncias e fluxo óptico [Tavares, 2000].

Após a determinação das correspondências entre pontos de diferentes imagens, é possível medir as suas diferenças de forma prosseguindo com o reconhecimento de objectos. Além disso, também é possível alinhar ou distorcer um objecto num outro, podendo fundir dados

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Optimização d o Determinação das Correspondências enfre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

obtidos por sensores diferentes, ou compara-los em instantes de tempo ou sob condições diferentes, [Tavares, 2000]. Na área da computação gráfica, a distorção referida acima é designada por morphing.

Teorias envolvidas no estudo da morfologia de esqueletos e das formas dos animais, segundo as quais espécies diferentes estão relacionadas entre si por deformações, suportam a representação modal [Tavares, 2000].

A determinação de correspondências entre objectos de diferentes imagens é útil no estudo do movimento de objectos em sequências de imagem, na detecção de transformações temporais sofridas por um objecto, no reconhecimento de formas, como em caligrafia, logotipos, peças industriais, etc., [Belongie, 2002].

O principal objectivo desta dissertação é determinar, utilizando uma filosofia global, as correspondências entre dois objectos de dados pontuais (representados em imagens) de um mesmo objecto em diferentes instantes ou de objectos diferentes. Para tal considera-se que os objectos são modelados pelo método dos elementos finitos e procede-se a uma análise dos deslocamentos de cada nodo (pontos) no respectivo espaço modal. Com a optimização global da determinação das correspondências, pretende-se maximizar a semelhança integral dos deslocamentos dos nodos a emparelhar.

1.2 Objectivos

O projecto em que o tema desta dissertação está inserido começou em 1995 [Tavares,

1995; Tavares, 2000], tendo como resultado uma plataforma de desenvolvimento e ensaio, que permite o estudo de diversos métodos de modelação de objectos deformáveis, [Tavares, 2002(b)]. O objectivo deste trabalho é melhorar a metodologia para a determinação das correspondências entre objectos deformáveis, incorporando novas técnicas para a obtenção dessas mesmas correspondências, utilizando conceitos globais. Assim, os objectivos principais delineados para esta dissertação foram os seguintes:

0 A partir de uma matriz, que relaciona os conjuntos de nodos de dois objectos, optimizar a correspondência obtida em termos globais e não locais. Isto é, deverá ser encontrada a solução cujas correspondências conduzem à melhor solução para

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todos os nodos, e não à melhor correspondência para cada um, tal como é realizada na metodologia original, previamente integrada na plataforma de desenvolvimento e ensaio.

0 Na fase de determinação das correspondências deverá ser considerada informação sobre a vizinhança, por exemplo, os nodos vizinhos deverão permanecer vizinhos na imagem seguinte, a ordem dos nodos não deverá ser alterada em demasia ao longo da sequência, etc.

0 A correspondência determinada não deverá implicar uma dobragem do modelo sobre si mesmo.

0 Como existem muitas situações em que a correspondência do tipo "um com um" não deverá ser imposta, na fase da determinação das correspondências deverão também ser permitidos emparelhamentos entre vários nodos e um único nodo e vice-versa. Esta situação não era permitida na metodologia anteriormente desenvolvida e implementada na plataforma, nem foi encontrada uma solução para este problema na pesquisa bibliográfica efectuada no início desta dissertação.

Atendendo aos objectivos traçados, o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação pode resumir-se nas etapas que se seguem.

A primeira concentrou-se no estudo bibliográfico de metodologias e aplicações no domínio da determinação de correspondências na área da análise de imagem. Seguiu-se o estudo da plataforma de desenvolvimento e ensaio, a ser utilizada na implementação, ou integração e adaptação, dos novos algoritmos desenvolvidos ao longo desta dissertação. Após a identificação matemática do problema, procedeu-se à pesquisa de algoritmos de optimização, aplicáveis à resolução do mesmo. De seguida, seleccionaram-se e implementaram-se, integraram-se e adaptaram-se os algoritmos de optimização. Os três algoritmos escolhidos foram seleccionados segundo três critérios: simplicidade; generalidade; e eficiência. À solução óptima, retomada por estes algoritmos, são retirados os emparelhamentos, que não respeitam um nível de confiança estabelecido, sendo assim eliminados os emparelhamentos com um reduzido grau de afinidade. Para além destes pontos, cujo emparelhamento não foi possível, quando os objectos em questão não têm o mesmo número de nodos, alguns deles não estarão obrigatoriamente emparelhados, pois o

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procedimento anteriormente utilizado permite apenas emparelhamentos do tipo "um com um". Devido a estes casos, foi implementado um algoritmo, que emparelha estes nodos com nodos já emparelhados no objecto com menor número de elementos. Este algoritmo poderá ser útil, por exemplo, quando empregado antes do morphing, de forma a não se perder informação. Nele foram também incorporadas as seguintes restrições: os pontos vizinhos devem permanecer vizinhos; a correspondência não deve implicar uma dobragem do modelo sobre si mesmo; a ordem dos nodos não deve ser alterada em demasia.

1.3 Introdução aos métodos de emparelhamento

Em [Maciel, 2001] é apresentado um trabalho que, de certo modo, está relacionado com o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação. Nesse trabalho, o problema da determinação das correspondências é tratado como um problema de optimização inteira, em que o custo é transformado numa função convexa e o domínio do problema é relaxado para um conjunto convexo. Para a determinação dos emparelhamentos entre os objectos em causa, a rigidez é um dos critérios utilizados. No entanto, no presente trabalho considerou-se que os objectos são modelados fisicamente, de forma a ficarem com um comportamento governado pelas propriedades do material virtual adoptado, e que as correspondências deverão ser obtidas sem qualquer tipo de imposição ao nível da rigidez.

Seguidamente, nesta secção, pretende-se dar uma ideia geral de algumas metodologias desenvolvidas até à data, para a determinação das correspondências entre objectos1.

Em muitas situações, surgem dificuldades associadas ao efeito da perspectiva e à presença de outras deformações, não rígidas, que muitas vezes são modeladas como ruído. Para lidar de forma mais adequada com a não rigidez, pode-se utilizar modelos deformáveis e envolver os dados por uma membrana que possa ser deformada de modo a emparelhá-los satisfatoriamente com outros dados. Estes modelos ganharam popularidade depois de serem propostos, na década de oitenta, para utilização na visão por computador e na computação gráfica [Mclnerney, 1996].

Ao longo dos tempos têm surgido vários métodos para a determinação de correspondências entre objectos deformáveis. Algumas das primeiras abordagens podem ser agrupadas numa

1 A descrição apresentada nesta secção foi retirada de [Tavares, 2000, 2002].

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categoria normalmente designada por emparelhamento elástico. Nesta categoria é utilizada uma abordagem baseada em programação dinâmica para determinar as deformações restringidas da forma dos objectos. O algoritmo de pesquisa resultante minimiza a distorção do modelo, enquanto maximiza a correspondência com um objecto na imagem. Tradicionalmente o emparelhamento elástico é computacionalmente lento, apresentando problemas de estabilidade associados ao ruído. Embora o modelo de programação dinâmica tenda a capturar a deformação, ele não modela a física subjacente a esta. Definindo propriedades físicas para o objecto, pretende-se utilizar esse conhecimento para parametrizar a sua representação, de modo a capturar as variações fisicamente admissíveis da sua forma

A ideia de utilizar modelação física de objectos tem vindo a ser sugerida por muitos autores. Contudo, a abordagem descrita em [Terzopoulos, 1988] para obter modelos 3D por ajuste, utilizando membranas e tubos de borracha, concentrou a atenção nos métodos de modelação matemática para simular a dinâmica de objectos reais. Uma motivação para utilizar as representações baseadas em princípios físicos é devida à necessidade corrente, em problemas de visão por computador, de estimar alterações na posição, na orientação e na forma, que são obtidas de forma adequada por este tipo de métodos. Uma outra motivação é a possibilidade existente do utilizador especificar forças que são definidas a partir dos dados a considerar, e definir o comportamento intrinsecamente dinâmico de um modelo físico que pode ser utilizado para resolver problemas de ajuste, de interpolação e de determinação de correspondências.

Em [Kass, 1988] é introduzido este tipo de modelação na área do seguimento de contornos 2D através de contornos activos. Diversos autores têm utilizado contornos activos para segmentar e seguir vários objectos em simultâneo. Um exemplo de tal utilização pode ser encontrado em [Paragios, 2000], na detecção e seguimento de pessoas e veículos em movimento.

A importância das características utilizadas na robustez do seguimento de formas deformáveis é abordado em [Nascimento, 2002], nomeadamente no seguimento de lábios. O conceito inicial dos contornos activos, originou o desenvolvimento de modelos deformáveis especializados para: (1) a pesquisa e reconhecimento de faces [Yuille, 1992]; (2) a interpretação de linguagem gestual, [Blake, 1993; Harrow, 1998]; (3) o emparelhamento elástico de dados de imagens médicas [Bajcsy, 1989; Duncan, 1991;

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Staib, 1991]; (4) a extracção de características dos lábios no auxilio da interpretação da voz humana [Matthews, 2002], etc.

Ainda que as primeiras representações de objectos baseadas em princípios físicos permitissem uma melhor modelação das deformações não rígidas, [Tavares, 2002(a)], elas apresentam a desvantagem de serem baseadas na técnica das diferenças finitas, para a discretízação e integração numérica das equações físicas inerentes. A utilização das diferenças finitas origina problemas severos com a amostragem, pois não permite a fixação das molas elásticas em diferentes pontos dos nados de discretízação. Este problema pode ser compensado pelo aumento do número de pontos de discretizaçâo, mas o tempo de cálculo é fortemente penalizado.

Para resolver de forma adequada os problemas associados à amostragem e à escala, pode-se utilizar o método dos elementos finitos na modelação física. Esta abordagem foi considerada na modelação de objectos sólidos deformáveis super-quadráticos em [Pentland, 1990; Pentlad, 1991], e posteriormente em [Terzopoulos, 1991]. Em [Cohen, 1990] é apresentada uma formulação para os contornos activos, utilizando o método dos elementos finitos.

No método dos elementos finitos, as funções de interpolação usadas permitem a consideração da continuidade das propriedades do material, de forma a serem integradas ao longo da região de interesse. Apesar da similaridade das equações resultantes, tal abordagem é bastante diferente da baseada na técnica das diferenças finitas [Pentland, 1991; Bathe, 1996; Segerlind, 1984]. Particularmente significativo é o facto do método dos elementos finitos disponibilizar uma caracterização analítica da superfície entre nodos e poder garantir a convergência para uma solução [Bathe, 1996], enquanto os métodos que utilizam a técnica das diferenças finitas não o permitem

Contudo, indiferentemente da utilização do método dos elementos finitos ou das diferenças finitas, as representações baseadas em princípios físicos não podem ser utilizadas directamente na comparação de objectos. Virtualmente, todos os métodos baseados em

splines, em placas finas ou polinómios apresentam esta inadequação para a obtenção de

descrições canónicas [Sclaroff, 1995]. Tal problema deve-se ao facto de os parâmetros para as superfícies poderem ser definidos de forma arbitrária e assim não serem invariantes às alterações do ponto de vista, às oclusões, ou às deformações não rígidas. Para uma qualquer representação que utilize malhas, o único método geral para determinar se duas superfícies são equivalentes é gerar um número de pontos amostrados em posições

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correspondentes nas duas superfícies e observar a distância entre esses dois conjuntos de pontos. Além de se tratar de uma abordagem grosseira e custosa, pode acontecer que as superfícies apresentem parametrizações bastante diferentes, o que implica o aumento da dificuldade na geração dos pontos de amostragem em posições correspondentes.

Para resolver o problema da não unicidade da representação obtida pela utilização de modelos deformáveis, segundo princípios físicos, foi apresentada uma solução baseada na análise modal em [Pentlad, 1991]. Na análise modal, as equações resultantes do método dos elementos finitos são simplificadas por expressões destas equações dinâmicas, utilizando os vectores próprios do modelo. Estes vectores próprios são designados por modos de deformação do modelo e, em conjunto, formam uma base ortogonal ordenada pela frequência para representação da forma do mesmo. A análise modal foi aplicada em problemas de obtenção da forma e de reconhecimento [Pentland, 1990; Pentlad, 1991(a); Pentland, 1989(a)], e também para o seguimento de movimento não rígido [Pentland, 1989(b); Pentlad, 1991(b)].

Os modos utilizados para descrever a deformação de um objecto são determinados pela resolução de um problema de valores próprios de uma matriz de elevadas dimensões. Tal significa que a análise modal pode apresentar a desvantagem de a base modal ser de difícil cálculo em tempo real. Contudo, verificou-se que para uma classe particular de formas similares, os modos podem ser pré-calculados e generalizados [Pentland, 1990; Pentlad, 1991(b)]. Para alguns caso com topologias esféricas e tubulares é demonstrado que os modos de deformação podem ser determinados de forma analítica [Nastar, 1993 ; Nastar, 1994].

A utilização da representação modal proporciona uma solução computacionalmente conveniente para a obtenção de um modelo de elementos finitos paramétricos, ao mesmo tempo que revolve os problemas associados à amostragem e à não unicidade. Porém, um outro problema continua sem resolução. Em cada um dos métodos baseados em princípios físicos, a ligação por uma mola virtual entre pontos de dois objectos especifica implicitamente as correspondências entre alguns dos nodos dos objectos deformáveis. Geralmente, a correspondência a utilizar para o estabelecimento destas ligações não é conhecida e deve ser determinada. Por vezes, para o método apresentar um bom desempenho, o utilizador necessita de especificar manualmente quais as ligações adequadas a serem consideradas. Este é o processo mais problemático da modelação segundo princípios físicos. Tal não deve ser surpreendente, pois este problema é similar ao

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da determinação das correspondências entre objectos existente em muitas aplicações de visão por computador.

Existe uma classe de métodos próprios que derivam a sua parametrização directamente a partir da forma dos dados e, deste modo, evitam o problema da fixação das molas virtuais. Algumas destas técnicas também tentam determinar, de forma explicita e automática as correspondências entre conjuntos de pontos característicos, enquanto outras evitam especificar a correspondência ao nível de características, mas procuram emparelhar imagens utilizando abordagens mais globais. Tal como na análise modal, cada um dos métodos próprios decompõe a deformação do objecto numa base ortogonal e ordenada Geralmente estes métodos dividem-se em três categorias: formas próprias, deformações próprias e imagens próprias:

0 Formas próprias: A ideia base dos métodos baseados em formas próprias é descrever a forma através de uma matriz simétrica e definida positiva, medindo a ligação existente entre os dados pontuais. Esta descrição da forma pode ser decomposta de maneira única num conjunto de componentes lineares por análise dos vectores próprios da matriz de forma, e os vectores próprios resultantes podem ser utilizados para descrever as deformações mais significativas para tal classe de objectos. Estas deformações principais são similares aos eixos de simetria generalizados de um objecto, pois descrevem os eixos principais da sua deformação. Uma destas matrizes para a descrição da forma - a matriz de proximidade [Shapiro, 1992(a); Shapiro, 1992(b); Shapiro, 1991; Tavares, 1997; Tavares, 2000] - é fortemente relacionada com a teoria potencial clássica e descreve as distâncias com ponderação Gaussiana entre dados pontuais. Os vectores próprios desta matriz podem ser utilizados para determinar a correspondência entre dois conjuntos de pontos.

0 Deformações próprias: Em [Cootes, 1992] é introduzido um método para capturar as propriedades invariantes de uma classe de formas, baseado na ideia de determinar as variações principais de um modelo de contorno. O modelo tem por base a representação de objectos como um conjunto de pontos etiquetados e a análise estatística das suas variações num conjunto de treino. Uma matriz de co-variância é construída para a descrição dos deslocamentos dos pontos do modelo,

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relativamente ao centróide do protótipo. Seguidamente é realizada uma análise de componentes principais desta matriz de co-variância e um reduzido número das componentes mais significativas é utilizado para o controlo das deformações do modelo. Esta técnica tem a vantagem de poder ser treinada de forma a capturar a informação ao longo dos eixos mais importantes de variação para o conjunto de treino e para a variação estimada nos novos modelos que sejam encontrados na mesma classe de objectos. A técnica é baseada directamente nos pontos característicos amostrados. Quando estes pontos são determinados em vistas diferentes, ou resultam de densidades de amostragem distintas, as matrizes de forma serão diferentes, mesmo que a pose e a forma do objecto sejam idênticas. O método também não pode incorporar informação acerca da conectividade entre características, isto é, os dados são tratados como nuvens de pontos idênticos. Uma desvantagem ainda mais significativa deste método é a inadequação para deformações acentuadas, a menos que previamente sejam dadas as correspondências entre características [Sclaroff, 1995]. Numa tentativa de diminuir os problemas associados a esta metodologia surgiram várias propostas de melhoramentos, [Tavares, 2002(a)]. Assim, em [Hill, 1994] é apresentada uma solução para a determinação automática dos pontos a serem utilizados na geração dos modelos e para a determinação da correspondência pontual, sendo apresentados resultados em imagens do coração e da mão. Este problema da geração automática dos nodos dos modelos é também abordado em [Hill, 2000]. Assim, é proposto um novo algoritmo para a determinação das correspondências entre contornos de duas formas não rígidas. Em [Cootes, 1995] estes modelos são complementados com modelos de forma baseados na análise dos elementos finitos. A solução apresentada baseia-se na tradução das deformações admissíveis pela utilização dos modos de vibração do modelo finito, quando existem poucas formas de treino, e na consideração de mais modos estatísticos, quando um maior número de formas de treino está disponível. Em [Cootes, 2001] esta metodologia é enriquecida com informação sobre a variação do nível de cinzento, obtida por aprendizagem sobre o conjunto de treino. Esta abordagem é aplicada na obtenção de modelos robustos para faces. Um problema associado às formas próprias está relacionado com a possibilidade de, durante o movimento do objecto em causa, ocorrer a divisão da forma ou a fusão com uma outra. Uma sugestão para solucionar este problema é proposta em [Hall, 2000], passando pela utilização de métodos determinísticos.

(20)

O Imagens próprias: Um outro grupo de métodos de descrição própria é designado por imagens próprias, pois estes métodos executam o cálculo das componentes principais directamente a partir das imagens originais. Utilizando esta abordagem foram construídos sistemas que executam com estabilidade o reconhecimento de faces, o reconhecimento de veículos, o seguimento de veículos em estrada, etc. Por exemplo, em [Matthew, 1991] é utilizada esta técnica para a descrição de novas faces por determinação das variações principais num vasto conjunto de treino de imagens em níveis de cinzento. Como originalmente proposta, esta técnica apresenta problemas relativos a alterações na escala, na orientação e na iluminação. Em [Pentland, 1994; Moghaddan, 1994] este método foi estendido de forma a incorporar espaços próprios modulares, que podem incluir informação sobre alterações do ponto de vista, e modelos próprios para melhor modelar características faciais como os olhos, o nariz e a boca, [Tavares, 2002(a)]. A utilização de subespaços para o reconhecimento de faces, o reconhecimento de linguagem gestual e a detecção de objectos é também realizada em [Moghaddan, 1997]. Em [Belhumeur, 1997] é apresentada uma abordagem baseada na análise de componentes principais para o reconhecimento de faces, que é invariante à iluminação e às suas variações. A análise de componentes principais é também utilizada em [Craw, 1999] para a detecção e reconhecimento de faces, em [Ohba, 1997] para o reconhecimento de múltiplos objectos e em [Swets, 1996] para o reconhecimento de faces e outros objectos. O reconhecimento de faces humanas obtidas segundo ângulos diferentes é tratado em [Sehad, 2000(a)], através da utilização de três subespaços próprios. Já em [Sehad, 2000(b)] a identificação é conseguida pela utilização de redes neuronais. Uma abordagem para tornar os sistemas de reconhecimento de faces imunes ao efeito de envelhecimento é proposta em [Lanitis, 2002]. A base da abordagem é um modelo facial estatístico, que permite a codificação da imagem da face, de forma compacta e reversível. Um conjunto de imagens de treino é utilizado para aprender a relação entre a representação codificada e a face actual do indivíduo em questão. Por vezes, o número de imagens disponíveis para treino é diminuto. Numa tentativa de responder a estas situações, é proposta em [Martinez, 2002] uma abordagem que apenas considera uma amostra por classe. A solução proposta tende a ser imune às oclusões parciais, às variações de expressão facial e à imprecisão de localização. Geralmente, apesar dos aperfeiçoamentos que tem vindo a sofrer, este método não

/ - Introdução e estrutura da dissertação '" UNIVERSIDADE DO PORTO

FACULDADE DE CIÊNCIAS B I B L I O T E C A

(21)

consegue contemplar adequadamente os problemas associados ao escalamento, à rotação e às deformações [Sclaroff, 1995].

1.4 Dados pontuais utilizados

Nesta secção são descritos resumidamente os procedimentos utilizados na determinação dos dados pontuais (usados para testar os algoritmos integrados ao longo desta dissertação) de cada objecto presente numa dada imagem2. São primeiro apresentados os procedimentos

para objectos 2D do tipo contorno e seguidamente para objectos 3D do tipo superfície. Para objectos 2D do tipo contorno, o principal procedimento utilizado para segmentar os contornos de uma dada imagem pode ser decomposto nas seguintes etapas:

1. Aplicação de um detector de intensidade à imagem original;

2. Seguimento das orlas detectadas utilizando-se um algoritmo com histerese, com um dado valor de limiar para início de um contorno e um limiar determinado localmente para agregação;

3. Selecção do contorno com interesse e sua amostragem, que pode ser equiespaçada ou dependente, por exemplo, da curvatura;

Para determinar as correspondências entre dois contornos, usa-se modelação física através da utilização de um único elemento finito isoparamétrico 2D de Sclaroff (secção 2.2.1) para modelar cada um dos objectos. Utilizando este modelo, o contorno delimita um objecto virtual com propriedades elásticas obtendo-se um modelo semelhante a uma membrana elástica

Para objectos 3D, sendo os dados originais do objecto em consideração já definidos por três coordenadas, a sua modelação é realizada por intermédio de um elemento finito isoparamétrico 3D de Sclaroff. Como por vezes o volume original de dados é demasiado elevado, foi utilizado um algoritmo de decimação [Schroeder, 1998, 1999], que permite a simplificação de malhas poligonais e assim diminuir os custos computacionais exigidos

2 A descrição apresentada nesta secção foi retirada de [Tavares, 2000].

(22)

sem perder informação necessária. Por vezes, também se verificou a necessidade de se proceder à suavização da malha poligonal reduzindo-se assim o ruído associado às altas-frequências. Verificando-se tal necessidade, utilizou-se um algoritmo que ajusta a posição dos nodos através de uma suavização Laplaciana [Schroeder, 1998,1999].

Em várias situações da Visão por Computador, um objecto presente numa dada imagem 2D é uma representação de um objecto 3D real, existindo uma forte relação entre o nível de brilho de cada pixel que constitui o objecto na imagem e uma característica importante do objecto real. Exemplos de tais relações podem ser verificados, por exemplo, em análise de reconhecimento de faces e em imagens de pedobarografia dinâmica (ver Capítulo IV). Se o nível de cada pixel do objecto na imagem 2D traduzir uma propriedade do objecto real, então torna-se útil proceder à modelação do objecto utilizando-se a referida informação. Assim, utilizando-se para cada/wxe/ as suas duas coordenadas imagem e o seu nível de brilho como a respectiva terceira coordenada, obtêm-se as superfícies de intensidade.

Apesar de se poderem considerar todos os pixels que constituem o objecto na imagem original, tal implicaria um custo computacional exagerado. Por isso, procede-se à amostragem regular do objecto na imagem 2D, utilizando-se uma grelha rectangular. Com este tipo de amostragem reduz-se significativamente o número de nodos a considerar na modelação, mas poderá haver perda de informação em algumas zonas do objecto, assim como podem existir zonas homogéneas do objecto com demasiados nodos. Tendo presente esta desvantagem da amostragem regular, foi também implementada em [Tavares, 2000] uma amostragem adaptativa, em que são utilizados os pontos máximos locais de intensidade como "sementes" de amostragens radiais que resultam da análise dos respectivos perfis de intensidade. Seguidamente são descritos os procedimentos para obter as superfícies de intensidade, a partir de imagens 2D, utilizando-se amostragem regular e amostragem adaptativa.

Na primeira abordagem começa-se por realizar um pré-processamento na imagem original de forma a remover o ruído e a diminuir a influência dos pixels "degenerados". De seguida realiza-se a amostragem do objecto presente na imagem 2D e constrói-se a superfície de intensidade utilizando o algoritmo Delaunay 2D, para se obter a triangulação dos pixels resultantes da amostragem, e utiliza-se o nível de brilho de cada pixel como a sua terceira coordenada Estando construída a superfície poligonal, realiza-se a sua simplificação, de forma a reduzir os nodos em excesso nas zonas homogéneas, e suaviza-se a malha, de

(23)

forma a reduzir o ruído associado às altas-frequências. Os procedimentos envolvidos nesta abordagem podem ser descritos do seguinte modo:

1. Desprezam-se os pixels considerados como ruído e aplica-se um filtro Gaussiano de forma a suavizar a imagem original;

2. Determina-se o rectângulo que circunscreve o objecto a modelar e realiza-se uma amostragem rectangular e regular desse rectângulo;

3. Realiza-se a triangulação dos pontos amostrados através do algoritmo 2D de

Delaunay e considera-se o nível de brilho de cada pixel na imagem original como a

sua terceira coordenada;

4. Realiza-se uma simplificação da malha triangular resultante de maneira a diminuir o número de nodos a considerar, com consequente redução dos custos computacionais;

5. Realiza-se uma suavização da malha, para reduzir o ruído associado às altas-frequências.

Na segunda abordagem é utilizada informação sobre a variação dos brilhos àos pixels que constituem o objecto na imagem. De forma resumida, este algoritmo pode ser descrito do seguinte modo:

1. Os máximos locais de intensidade são considerados como "sementes" da amostragem;

2. Centradas em cada "semente", são realizadas várias análises radiais dos perfis de brilho, separadas entre si de um determinado ângulo;

3. Na análise dos perfis de brilho, pixels que apresentam valores de intensidade traduzindo variações assinaláveis são considerados como nodos da superfície.

/ - Introdução e estrutura da dissertação

(24)

Com esta amostragem adaptativa, as superfícies de intensidade são mais consistentes com o objecto presente na imagem original, sendo constituídas por um número mais reduzido nas zonas mais homogéneas.

Para determinar as correspondências entre duas superfícies distintas, foi utilizado um tipo de modelação, utilizando um único elemento finito isoparamétrico 3D de Sclaroff, para modelar cada uma das superfícies. Com este modelo, os nodos que constituem a superfície são envolvidos por uma película elástica, o que origina um modelo do tipo "casca", com as células totalmente preenchidas pelo material virtual adoptado.

1.5 Principais contribuições

Como principais contribuições obtidas com o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação destacam-se as seguintes:

1. A utilização de uma filosofia global na determinação das correspondências: cada

nodo a emparelhar, passou a ser considerado como pertencente a um modelo, em

vez de ser tratado de forma independente, como acontece na metodologia anteriormente implementada de cariz local.

2. A utilização de métodos de optimização global, em objectos deformáveis representados em imagens 2D/3D, realizando-se as devidas adaptações.

3. Comparação da aplicabilidade dos métodos de optimização Húngaro, Simplex e

LAPm no problema da determinação de correspondências entre objectos.

4. Desenvolvimento de um novo algoritmo que determina as devidas correspondências para os nodos em excesso, presentes nos problemas de emparelhamento de dois objectos do tipo contorno, constituídos por diferentes números de nodos.

(25)

1.6 Estrutura da dissertação

De seguida é apresentada a estrutura desta dissertação, descrevendo sucintamente o conteúdo de cada capítulo.

No capítulo II são sumariamente apresentados os fundamentos que suportam este trabalho. Nele constam a metodologia base, previamente implementada na plataforma de desenvolvimento e ensaio, [Tavares, 2000, 2002(a)], que incorpora o método dos elementos finitos, a formulação modal e uma metodologia para a determinação das correspondências, baseada numa filosofia local. Além disso, é feita uma descrição matemática do problema que se pretende resolver e são mencionados alguns tipos de algoritmos específicos para a resolução de problemas deste tipo.

No capítulo III é apresentada uma introdução à plataforma de desenvolvimento e ensaio que foi utilizada. Esta plataforma está descrita com mais detalhe em [Tavares, 2000, 2002(a)]. De seguida são apresentados os algoritmos de optimização, implementados e integrados na mesma, para a determinação das correspondências. Na última secção deste capítulo são descritos os procedimentos e restrições aplicados na determinação das correspondências entre dois ou mais modos.

O capítulo IV é constituído por alguns exemplos de resultados experimentais e pela análise dos mesmos. Os resultados têm em vista comparar os diferentes algoritmos integrados para a determinação das correspondências, analisando a sua eficiência em diferentes casos.

No capítulo V são apresentadas algumas conclusões finais sobre o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação. Também são indicadas algumas perspectivas de trabalho futuro, as quais poderão ser consideradas no prosseguimento do trabalho realizado.

Seguem-se todas as referências bibliográficas citadas nesta dissertação.

(26)

Capítulo II

Fundamentos

(27)

■ ■ ■ ■ ' . . ■ '

2:1 Introdução

Na metodologia base para a determinação das correspondências entre dois objectos é construída uma matriz, que relaciona os dois conjuntos de pontos [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000]. Neste capítulo encontra-se uma breve descrição, retirada de [Tavares, 2000], da metodologia utilizada para a construção dessa matriz, previamente implementada na plataforma de desenvolvimento e ensaio utilizada

Segue-se uma interpretação matemática do problema que se pretende resolver. Nesse ponto, conclui-se que o mesmo pode escrever-se como um problema de optimização, e mais especificamente, como um problema de afectação.

Com isto, segue-se a exposição de tipos de algoritmos para a resolução de problemas de programação matemática lineares, [Nemhauser, 1988; Lõbel, 2000], e de problemas de afectação (caso particular dos anteriores), [deli' Amico, 2000].

2.2 Método dos elementos finitos e da análise modal

Nesta secção é resumidamente descrita a metodologia previamente adoptada na plataforma, [Tavares, 2000], para a determinação da matriz que relaciona os nodos de dois objectos. Esta matriz será denominada matriz de afinidade. Cada elemento da matriz de afinidade (linha /', coluna j) é uma medida da relação entre o nodo i do objecto na primeira imagem e o nodo j do objecto na segunda imagem. Com isto, pretende-se determinar as correspondências entre os dois conjuntos de nodos, de forma a que exista apenas um emparelhamento por linha e por coluna, ou seja, um nodo de uma imagem apenas pode ser emparelhado com um nodo da outra imagem. Cada um desses emparelhamentos tem que ser o melhor para cada um dos dois nodos envolvidos.

Na secção 2.2.3 é apresentado o algoritmo previamente implementado na plataforma utilizada, para a determinação das correspondências entre dois objectos. Este algoritmo será usado na análise dos resultados, para efeitos de comparação com os algoritmos integrados no decorrer desta dissertação.

(28)

Optimização da Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modo/

2.2.1 Método dos elementos finitos

O método dos elementos finitos é um método computacional de análise, que surgiu no seguimento do aumento da complexidade das estruturas e da capacidade dos computadores3. Este método pode ser utilizado na modelação física, para resolver de forma

adequada os problemas associados à amostragem e à escala. As funções de interpolação usadas com o método dos elementos finitos, permitem a consideração da continuidade das propriedades do material, de forma a serem integradas ao longo da região de interesse. Quando comparado com o método das diferenças finitas [Bathe, 1996], este método tem as vantagens de permitir uma caracterização analítica da superfície entre nodos e poder garantir a convergência para uma solução. Apesar do método dos elementos finitos considerar os elementos como contínuos, ele é um procedimento de discretização, pois exprime os deslocamentos, as deformações e as tensões em qualquer ponto de um elemento contínuo em termos de um número finito de deslocamentos nos seus nodos, usando funções de interpolação apropriadas. Outras vantagens deste método são: (1) a equação do movimento para o sistema global é obtida pelo agrupamento das equações de cada elemento finito utilizado na modelação (o movimento em qualquer ponto do interior de cada um destes elementos é obtido por intermédio de interpolação, sendo as funções utilizadas, normalmente, polinómios de grau reduzido e iguais para elementos do mesmo tipo); (2) a generalização de problemas 2D e 3D construídos com vários materiais e com fronteiras irregulares pode ser obtida com facilidade. No presente contexto, a vantagem da utilização do método dos elementos finitos prende-se com a atribuição de um comportamento físico aos objectos em questão, através da adopção de um dado material virtual na modelação. As propriedades do material virtual adoptado na construção do modelo de elementos finitos regem o comportamento do objecto respectivo.

No método dos elementos finitos, o sistema global é substituído por um agrupamento de elementos finitos equivalente, [Bathe, 1996; Tavares, 2000]. Cada um dos elementos finitos é uma estrutura mais simples. Para obter uma solução numérica pelo método dos elementos finitos é necessário:

0 Subdividir o sistema global contínuo em elementos finitos;

(29)

O Para cada elemento finito e, calcular a sua matriz de rigidez [l6e)} e, para problemas

dinâmicos, a suas matrizes de massa [Aée)] e de amortecimento [Óe)], relativamente

a um referencial local conveniente;

0 Determinar o vector de cargas aplicadas ao sistema global {R};

0 Estabelecer as equações de equilíbrio para o sistema global:

[K] {U} = {R}, para sistemas estáticos, e

[M]{Û} + [C]{Ù] + [K]{Uy = {R}, para sistemas dinâmicos,

onde {jj} e {û} são a primeira e segunda derivadas de {u} (vector dos deslocamentos) em ordem ao tempo, respectivamente;

0 Calcular as variáveis do problema em questão tais como deslocamentos, velocidades, deformações e tensões.

Neste método, [Tavares, 2000], o corpo em questão é aproximado pela consideração de que o mesmo é equivalente a um conjunto de elementos finitos discretos agrupados, de forma adequada, pelos pontos nodais localizados nas suas fronteiras. Os deslocamentos

{uw}, referenciados a um sistema de coordenadas local (x,y,z), são assumidos como

sendo função dos deslocamentos dos nodos que o constituem Deste modo, para o deslocamento e tem-se:

{u(°%,y,z)=[NM\x,y,z){U} (2.1)

onde [N(e)] é a matriz das funções de forma (ou matriz de interpolação dos

deslocamentos) e {U} é o vector dos deslocamentos de todos os m pontos nodais do conjunto agrupado relativamente ao sistema de coordenadas global, com três componentes.

(30)

A escolha do elemento a utilizar e a construção das correspondentes entradas na matriz [NM], que depende da sua geometria do seu número de graus de liberdade e dos

requisitos de convergência, constituem as etapas básicas do método dos elementos finitos. Apesar de todos os deslocamentos nodais do conjunto agrupado estarem representados no vector {£/}, deve-se notar que, para um dado elemento, apenas os deslocamentos nos seus nodos afectam a distribuição dos deslocamentos e das deformações no seu interior.

Assumindo os deslocamentos da equação (2.1), pode-se agora determinar para o elemento e as deformações {eM} :

{«W}(w) .{jfi>\w)iu). (2.2)

onde a matriz [BM], geralmente designada por matriz de deformação, relaciona os

deslocamentos com as deformações e é obtida pela apropriada derivação e combinação das linhas da matriz [ # « ] [Bathe, 1996].

A solução obtida por este método aproxima-se da solução exacta, com o aumento do número de elementos finitos utilizados na modelação, ou pela utilização de elementos finitos mais complexos.

De seguida é apresentada a construção das matrizes de massa [ M ] e rigidez [K], para modelos 2D e 3D, relativas a um tipo de elemento finito: o modelo finito isoparamétrico de Sclaroff, [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000].

Para objectos 2D, com um único elemento finito de Sclaroff é possível modelar-se um objecto definido pelos seus pontos sem a necessidade de existência de ordem entre eles. Nesta técnica de modelação utilizam-se os próprios dados pontuais do objecto em questão para a construção das matrizes de massa e rigidez, considerando esses pontos como os nodos do elemento finito a ser considerado. Em primeiro lugar, desenvolve-se uma formulação para o elemento finito utilizando funções Gaussianas como interpoladores de Galerkin [Tavares, 2000] e, seguidamente, utilizam-se estes interpoladores para obter as matrizes generalizadas de massa e rigidez.

Como é descrito em [Tavares, 2000], dado um conjunto de m pontos amostrados de um objecto (Xf) é necessário construir as matrizes de massa e rigidez apropriadas. O primeiro

passo é optar por um conjunto de funções de interpolação, a partir das quais seja possível derivar as matrizes de forma [N] e de deformação [B]

(31)

No presente contexto pretende-se examinar os modos próprios de uma nuvem de dados pontuais. Para isso, dispõe-se de um certo número de medidas dispersas e pretende-se encontrar um conjunto de funções de base que permitam a inserção e movimentação de dados pontuais. Funções de base Gaussiana são candidatas ideais para este tipo de problema de interpolação, tendo estas a seguinte forma:

gj{x) = e-\^íl^)! (2.3)

onde Xt é o centro de dimensão n da função Gaussiana e a é o desvio padrão que

controla a interacção entre os dados.

Nesta modelação desenvolvem-se as funções de interpolação /J, como a soma de m funções de base, uma por cada dado pontual Xf :

m

hi(X)^aikgk(x), (2.4)

onde ailc são os coeficientes que satisfazem os requisitos para as funções de forma. A

matriz dos coeficientes de interpolação [A] pode ser determinada por inversão da matriz [G] definida como:

" a M ».

gl

(x

m

)~

[G]= ■: :

M

x

ò - s

m

{x

m

)

Utilizando os interpoladores Gaussianos como funções de forma para a aproximação de Galerkin, é possível formular facilmente elementos finitos de qualquer dimensão, os quais podem ser obtidos por agrupamento de Gaussianos de menor dimensão. Um aspecto bastante útil dos interpoladores Gaussianos é o facto de serem factorizáveis, ou seja, interpoladores multidimensionais podem ser formados a partir de Gaussianos de menor dimensão. Este facto não só reduz o custo computacional, como pode ser também útil para implementações de hardware VLSI ou redes neuronais, [Tavares, 2000].

(32)

Na formulação do elemento finito de Sclaroff começa-se por construir uma matriz de interpolação [N] de dimensão (2x2m), em que m é o número de pontos utilizados. Esta matriz é construída a partir das funções de forma /Í, da equação (2.4):

[N] = 0

K °

0 i\

o

A partir desta, a matriz de massa [M] para um elemento de área A é escrita da seguinte forma:

[M] = [ M L

[o]

[0] [M]a,

em que [ M L é simétrica, de dimensão (mx/w), definida positivamente e os seus

elementos têm a forma:

k,l

onde p é a densidade do material adoptado, ga é o elemento (kj) da matriz [G] e f l ^ é

o elemento (x,y) da matriz de coeficientes

[A]-A matriz de rigidez [K] com dimensão {2m x 2m) resulta na forma:

[K] = [Klaa [K\ab

[Klba IKibb

onde cada uma das quatro submatrizes tem dimensão (mxm), é simétrica, definida positivamente e [K]ab = [K\ba ■ Os elementos da submatriz [K]aa têm a forma

kl

i+# (*£+#£)

4cr2

&H '

(33)

Optimização da Deferminação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

em que P e 4 são funções do módulo de elasticidade de Young E e do coeficiente de Poisson v:

p= E{\-o) £=. l - 2 »

(l + v)(l-2v) 2(1-u) e

xkl=(xk-xl),ytí=(yk-yl)

Os elementos da submatriz [K]bb tem a forma:

k,l

1+É tó+#*«)' 4a2 VÍH

Finalmente, os elementos de [K]^ e [j^]ia têm a forma:

4ÍXZ kJ

Na construção do elemento finito de Sclaroff são utilizadas funções de base Gaussianas (equação (2.3)), para construir as funções de forma que são utilizadas na formulação das matrizes de massa e de rigidez. Nestas funções são consideradas as distâncias Euclidianas entre os nodos que constituem o elemento finito. Com o intuito de adequar esta técnica para a modelação de objectos do tipo contorno, em [Tavares, 2000] foram consideradas as distâncias entre os nodos, determinadas ao longo do contorno. Assim, a equação para objectos do tipo contorno, equivalente à equação (2.3), é modificada para:

* ( ' / ) - e-dh$/(2o*)

onde disty é a distância ao longo do contorno entre os nodos i e / Com esta modificação consegue-se ponderar, de forma mais adequada a este tipo de objectos, a influência exercida por cada nodo sobre os restantes. Esta ponderação assume maior importância nos casos em que se pretende diminuir a influência exercida sobre os pontos que constituem

(34)

zonas particulares de um contorno, pelos pontos cuja distância Euclidiana é reduzida, apesar de estarem muito afastadas ao longo do mesmo.

De seguida será apresentada a determinação das matrizes de massa e rigidez para os elementos tridimensionais utilizados na modelação de objectos 3D, considerando-se o elemento finito isoparamétrico de Sclaroff, [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000].

Para se determinarem as matrizes de massa e de rigidez, começa-se por construir a matriz das funções de forma [JV] de dimensão (3x3m), sendo m o número de dados pontuais para o elemento, ou seja, o seu número de nodos:

[N] =

\ - K o

0 - - - 0 / ¾ o -•• o o 0 0 • • 0 "

K

0 • • 0 = 0 \ ■

• K\

[NL O O 0 [N]aa 0 0 0 [N]a onde[jvL=[A i\ ••• hm].

A partir desta, [Tavares, 2000], a matriz de massa [M] é escrita da seguinte forma:

[M] =

[ M L [0] [0] [0] [ M l [0] [0] [0] [ML

onde a submatriz [ M L , de dimensão (mxm), é simétrica e definida positiva. Os elementos desta matriz têm a forma:

k,i

onde p é a densidade do material adoptado, a^ è o elemento (x,y) da matriz de coeficientes [Ã\ e gkl=gk(Xl) é o elemento (k,l) da matriz [G] ■

A matriz de rigidez [ # ] , com dimensão (3m x 3m), tem a forma:

(35)

Opfimização da Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

[K] =

' W i [K\2 [K\3

[KÍ2 [K]n [K]*

\K-\M YK\23 LAJ33

Note-se que esta matriz é simétrica e, como são utilizadas funções de base Gaussianas, as suas submatrizes também o são e todas elas têm dimensão

(mxm)-Os elementos das submatrizes [K\u [K]^, [K]33, [K\2, [K\3 e [Kh têm a forma

í+í *«+£tó+^)

4a2 Su ' [K]22lJ=x3/2a/3Ya*aj,

l + # ?+$(%+%)*

Au2 k,l l + # *M+itë +^ « ) 4a2 \ £ « •

[*L

;r/2/?(a + #) _4<r Y*a*afl**yii48H > k,l ÍKh n/2P{a + Ç) _4a-

Z

a

*

a

Â^«>/ÍH'

*,/

[*K =

7 -^^jiyki^yjgk! > onde xa =(xk -x,), % =(yk -yt), za =(zk -z,) e a = v / ( l - u ) . // - Fundamentos 31

(36)

2.2.2 Formulação da análise modal

Após a construção de um modelo físico para cada objecto a emparelhar, é utilizada a informação das estruturas, através do cálculo dos vectores próprios dos dois objectos a emparelhar, e as correspondências são obtidas através da análise dos deslocamentos de cada nodo no respectivo espaço modal.

Podemos expor o sistema de equações do equilíbrio dinâmico do modelo de elementos finitos agrupados4:

[M]{Ù} + [C]{Ù} + [K]{U} = {R}

numa base definida pelos vectores próprios de [M]"1 [K]. Estes vectores próprios e

respectivos valores próprios são obtidos, resolvendo o seguinte sistema:

WWr^MW,

(2.5)

em que, {¢) é o vector próprio designado por vector de forma para o modo i ou modo próprio de vibração, a>? é o valor próprio correspondente e o, é a frequência de vibração associada ao mesmo modo.

A equação (2.5) pode ser escrita como [£][$>] = [M][<D][£í] onde, [<D] é a matriz dos vectores próprios ordenados por coluna e em ordem crescente das frequências que lhes estão associadas; e [Q] é a matriz diagonal dos valores próprios, também ordenados por ordem crescente. Para um objecto 2D constituído por m nodos, tem-se:

[<">]=[M,|"-|WJ=

K

ML

e

[a]

=

co; a. 2m

(37)

e para um objecto 3D constituído por m nodos:

[*HMhlHj=

O vector coluna {¢). descreve o deslocamento modal para cada nodo do modelo devido ao modo de vibração i, enquanto os vectores {«}. e {v}. (e {w}i para objectos 3D) são

designados por vectores característica e, em conjunto, descrevem a localização do nodo i no espaço modal.

Os primeiros modos da matriz [<D] são os modos de corpo rígido (três em 2D e seis em 3D). Os restantes modos associam-se a movimentos não rígidos, sendo os primeiros deste tipo associados a deformações mais globais e os últimos (de elevada frequência) a deformações essencialmente locais, [Tavares, 2000].

2.2.3 Algoritmo para a obtenção das correspondências

Consideremos que temos dois objectos, aproximados por dois modelos de elementos finitos, t e t +1 com nem pontos, respectivamente.

Resumidamente, o trabalho anteriormente desenvolvido, [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000], na fase da determinação das correspondências entre objectos deformáveis, no espaço modal, consiste em: