Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

Estudo Analítico da Transferência de Calor num Escoamento

Laminar de um Fluido de Bingham com Dissipação Viscosa

Jorge Avelino Da Cunha Faria

Relatório do Projecto Final – MIEM

Orientador:

Prof. Paulo José da Silva Martins Coelho

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

iii

Resumo

Neste trabalho realizou-se um estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar, em tubos de secção circular, de um fluido de Bingham com dissipação viscosa. Obteve-se assim, por integração da equação de energia, as equações de cálculo do número Nusselt,Nu, e dos perfis de temperatura num escoamento laminar completamente desenvolvido, com fluxo de calor constante na parede e dissipação viscosa. Posteriormente, analisou-se o comportamento dos perfis de temperatura e do número de Nusselt e a influência sobre estes do número de Brinkman generalizado, Br*, e das características do fluido.

Inicialmente, fez-se uma análise para um dado fluido de Bingham estudando-se o efeito do número de Reynolds e do diâmetro da conduta sobre o número de Nusselt. Posteriormente, realizou-se uma análise do efeito do número de Brinkman sobre o número de Nusselt de uma forma genérica e que, portanto, é válida para qualquer fluido de Bingham, e diâmetro de tubagem, em regime laminar. Seguidamente, efectuou-se uma análise dos perfis de temperatura, para diferentes números de Brinkman e diferentes valores do parâmetro U+.

A correcta contabilização do calor gerado por efeitos viscosos por parte do número de Brinkman é crucial para a correcta determinação posterior do número de Nusselt.

iv

Analytical study about the heat transfer in a laminar flow, in circular cross section tubes, of a Bingham fluid with viscous dissipation

Abstract

In this dissertation it was realized an analytical study about the heat transfer in a laminar flow, in circular cross section tubes, of a Bingham fluid with viscous dissipation. The mathematical expressions of Nusselt, Nu, and temperature profile were obtained from the integration of the energy equation for a fully developed laminar flow, with constant heat flux on the wall and viscous dissipation. The behavior of the temperature profiles and Nusselt number and influence on these of the generalized Brinkman number, *

Br , and the fluid characteristics was then studied.

Initially, it was analyzed, for a certain Bingham fluid, the effect of the Reynolds number and the tube diameter in Nusselt number. Afterwards, a generic analysis of the Brinkman number effect upon the Nusselt number, valid for any Bingham fluid and pipe diameter, in laminar flow conditions was elaborated. The temperature profiles were also analyzed, for different Brinkman numbers and different values of U+.

The proper accounting, by the Brinkman number, of the heat generated by viscous effects it’s crucial for the correct Nusselt number determination.

v Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao Professor Paulo José da Silva Martins Coelho por toda a sua disponibilidade, ajuda, paciência e presença constante em todos os momentos. Muito obrigado por tudo.

Agradeço ao meu pai, Armindo, amigo de todas as horas, sempre disponível e presente, que tanto lutou comigo para que este objectivo fosse concretizado. Um obrigado à minha mãe, Arminda, por todo o apoio demonstrado, obrigado pela confiança que sempre depositaste em mim. Agradeço a todos os meus irmãos.

Quero agradecer também à pessoa que me tem acompanhado e apoiado ao longo destes anos para vencer esta luta, obrigada Marisa.

vi Índice de figuras

Figura 1.1 Variação da tensão de corte em função da taxa de deformação para os fluidos

puramente viscosos ... 2

Figura 1.2 Comparação das curvas de viscosidade do Modelo de Bingham e Lei de Potência, 1 n< ... 6

Figura 1.3 Comparação do perfil de velocidades dado pelo Modelo de Bingham, com o obtido pela Lei de Potência. Equações (1.4) e (1.7) respectivamente ... 7

Figura 1.4 Relação entre a viscosidade e a taxa de deformação... 9

Figura 2.1 Escoamento laminar estacionário e as suas condições de fronteira ... 20

Figura 4.1 Análise do número de Nu relativamente ao número de Re' para diferentes diâmetros ... 30

Figura 4.2 Perfis de velocidade adimensionalizados para vários diâmetros de conduta e 1000 Re'= ... 31

Figura 4.3 Relação entre o parâmetroaeU+ ... 33

Figura 4.4 Análise para o caso de * 0 Br > ... 34

Figura 4.5 Inverso do Nu para * 0 Br = ... 35

Figura 4.6 Análise para o caso de * 0 Br ≤ ... 37

Figura 4.7 Análise para o caso de Br>0 da literatura ... 38

Figura 5.1 Dissipação viscosa em função do raio ... 40

Figura 5.2 Perfis de temperatura em função de r* para U+ =0, 001e 0≤Br*≤1 ... 41

Figura 5.3 Perfis de temperatura em função de r* para U+ =0, 001e Br*≥1 ... 42

Figura 5.4 Perfis de temperatura em função de r* para U+ =0, 001e− ≤1 Br*≤0 ... 43

Figura 5.5 Perfis de temperatura em função de r* para U+ =0, 001eBr*≤ −1 ... 43

Figura 5.6 Ampliação do perfil de temperaturas junto à parede para * 1 Br 0 − ≤ ≤ ... 44

Figura 5.7 Perfis de temperatura para * 0, 2 Br = − e vários valores de U+ ... 45

Figura B.1 Perfis de temperatura em função de r* para U+=0, 2e 0≤Br*≤1 ... 68

Figura B.2 Perfis de temperatura em função de r* para U+=0, 2 e − ≤1 Br*≤0 ... 69

Figura B.3 Perfis de temperatura em função de r* para U+=100 e * 0≤Br ≤1 ... 69

Figura B.4 Perfis de temperatura em função de r* para U+=100 e * 1 Br 0 − ≤ ≤ ... 70

Figura B.5 Perfis de temperatura em função de r* para U+=0, 2 e Br*≥1 ... 70

Figura B.6 Perfis de temperatura em função de r* para U+=0, 2eBr*≤ −1 ... 71

vii Figura B.8 Perfis de temperatura em função de r* para U+=100 e *

1

viii Índice de tabelas

Tabela 1. Características do fluido ... 29 Tabela A.12. Relação entre o parâmetro U+ e o Nu com variação do Br* ... 51

ix Nomenclatura

*

Br _{Número de Brinkman generalizado} *

8 w w

Br =Uτ q Br Número de Brinkman Br=ηU2 q Dɺ_w

Cp Calor específico do fluido kJ/kgK

D _{Diâmetro do tubo m}

ij

D Tensor de deformação Pa

f Coeficiente de fricção de Darcy 16 ' F

f = Re ou 64 '

f = Re

h Coeficiente de convecção W/m2K

k Condutividade térmica W/mK

n _{Índice de potência (modelo lei de potência)} Nu Número de Nusselt

P Pressão N/m2

P _{Perímetro da tubagem m}

Pe Número de Péclet

w

qɺ _{Fluxo de calor constante na parede, positivo quando aquece o fluido W/m}2

R Raio da conduta m

r Coordenada radial m

0

r

Posição radial na conduta onde τ_rx =τ₀ m

*

r Coordenada radial adimensional r* =r R Re Número de Reynolds m T ≡T Temperatura da mistura K w T Temperatura da parede K 0 T Temperatura de entrada K * T Temperatura adimensional

U Velocidade média de escoamento m/s

u Componente velocidade axial m/s

*

u Componente velocidade axial adimensional u* =u U

v Componente velocidade radial m/s

*

x

Vɺ Caudal volúmico m3/s

Wɺ _{Potência dissipada por fricção kW}

wɺ _{Potência dissipada por fricção por unidade de área kW/m}2 *

x Coordenada axial adimensional x* =x D

x Coordenada axial m

α Difusividade térmica W/m2k

γɺ Taxa de deformação s-1

η Viscosidade de corte Ns/m2

0

µ Viscosidade plástica (modelo de Bingham) Ns/m2

µ Viscosidade Ns/m2

ν Viscosidade cinemática Ns/m2

ρ Massa volúmica do fluido kg/m3

0

τ Tensão de cedência (modelo de Bingham) Pa rx

τ Tensão de corte Pa

w

τ Tensão de corte da parede Pa

*

xi Índice de conteúdos

1 Introdução... 1

1.1 Modelos Reológicos ... 1

1.2 Números adimensionais ... 7

1.2.1 Número de Reynolds e número de Prandtl ... 7

1.2.2 Número de Nusselt ... 10

1.2.3 Forma genérica do número de Brinkman ... 11

1.2.4 Número de Bingham ... 12

1.3 Revisão Bibliográfica ... 12

1.4 Objectivo ... 14

2 Equação de Energia e condições fronteira ... 15

2.1 Introdução ... 15

2.2 Equações diferenciais ... 15

2.3 Adimensionalização das equações ... 16

2.4 Apresentação das Condições de Fronteira ... 19

2.4.1 Adimensionalização das condições de fronteira ... 21

2.5 Expressão de cálculo do número de Nusselt ... 21

3 Integração da Equação de Energia ... 23

3.1 Introdução ... 23

3.2 Integração da equação da energia ... 23

3.3 Cálculo da temperatura da mistura ... 25

3.4 Cálculo do número de Nusselt ... 26

4 Análise do efeito da dissipação viscosa no Nu ... 29

4.1 Introdução ... 29

4.2 Análise do número de Nurelativamente ao número de Re' ... 29

4.3 Parâmetro U+ ... 31

4.4 Relação entre o número de Nusselt e o parâmetro U+ ... 33

4.4.1 Análise para caso de Br* >0 ... 34

4.4.2 Análise para caso de Br*<0 ... 35

4.4.3 Análise do caso de Br>0 usando a expressão da literatura ... 37

5 Análise do perfil de temperaturas e influência da dissipação viscosa ... 39

5.1 Introdução ... 39

xii

5.3 Análise do perfil de temperaturas ... 41

5.3.1 Perfis de temperatura para U+ =0, 001 ... 41

5.3.2 Perfis de temperatura para Br*= −0, 2 e vários valores de U+ ... 44

6 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros ... 47

6.1 Conclusões ... 47

6.2 Sugestões para trabalhos futuros ... 47

Referências Bibliográficas ... 48

ANEXO A ... 50

1 1 Introdução

Neste capítulo, para além da revisão bibliográfica, será apresentada toda a informação relevante para uma melhor compreensão da metodologia utilizada. Para tal, será feito inicialmente uma apresentação dos modelos reológicos relevantes e dos perfis de velocidade inerentes, bem como dos números adimensionais usados.

1.1 Modelos Reológicos

O estudo da transferência de calor dos fluidos não-Newtonianos é mais complicado do que a dos fluidos Newtonianos devido à sua natureza não linear da relação tensão/deformação. A principal razão da necessidade do estudo dos fluidos não-Newtonianos deve-se, por um lado, à sua natureza complexa e às suas interacções complexas com o escoamento, e por outro lado, à necessidade cada vez maior de melhorar os métodos de dimensionamento de equipamentos, ao nível da transferência de calor e de perdas de carga, onde sejam intervenientes fluidos não-Newtonianos.

Metzner A. B. (1965) classificou os fluidos em três grupos distintos: • Fluidos puramente viscosos;

• Fluidos viscoelásticos;

• Fluidos dependentes do tempo.

Os fluidos Newtonianos são uma subclasse dos fluidos puramente viscosos.

Os fluidos não-Newtonianos puramente viscosos estão divididos em duas categorias, fluidos espessantes regressivos (pseudoplásticos), onde existe uma diminuição de viscosidade com a taxa de deformação e os fluidos dilatantes, em que existe o aumento da viscosidade com o aumento da taxa de deformação. A figura 1.1 exibe de uma forma simples a evolução da tensão de corte em função da velocidade de deformação para os fluidos puramente viscosos.

2

Figura 1.1 Variação da tensão de corte em função da taxa de deformação para os fluidos puramente viscosos

Os fluidos viscoelásticos, além de poderem possuir uma tensão de corte dependente da taxa de deformação, idêntica às dos fluidos inelásticos, possuem memória, ou seja, apresentam características elásticas.

De acordo com a literatura, a transferência de calor dos fluidos viscoelásticos numa conduta de secção circular com escoamento laminar não difere significativamente da transferência de calor dos fluidos inelásticos que possuam a mesma curva de viscosidade, pelo menos em escoamentos onde o perfil de velocidades se encontra plenamente desenvolvido.

Num escoamento de fluidos Newtonianos dentro de um tubo a transição de laminar para turbulento é tipicamente definida por Re=2100.

Num escoamento para fluidos não-Newtonianos puramente viscosos, a literatura apresenta um ligeiro aumento de Re na transição de laminar para turbulento, no entanto, o

valor de 2100 pode continuar a ser usado como critério de transição.

Num escoamento de fluidos viscoelásticos, o número Re de transição é

significativamente maior que 2100, sendo aproximadamente de 6000, o que torna o regime laminar mais comum nestes fluidos.

1.1.1 Fluido de Bingham

Este tipo de fluido necessita ser sujeito a uma tensão inicial, superior à tensão de cedência do modelo, τ₀, para haver escoamento.

A viscosidade plástica µ0 e a tensão de cedência τ0 são os parâmetros do modelo

3 η µ τ γ= ₀+ _{0 ɺ} para τ_rx ≥τ₀

(1.1) γɺ=0 para τ_rx ≤τ₀

Onde a variável η representa a viscosidade de corte que tende para o valor de

0

µ quando a taxa de deformação, γɺ , tende para um valor muito elevado.

Num escoamento genérico, a taxa de deformação é igual ao segundo invariante do tensor taxa de deformação

( )

D_ij , que no caso de escoamento desenvolvido numa conduta de secção circular fica reduzido a du dr.

Para qualquer fluido a escoar num tubo de secção circular, um balanço de forças a um elemento de fluido cilíndrico num troço de conduta conduz à seguinte relação:

(

)

2

rx dP dx r

τ = (1.2) onde τ_rx é tensão de corte, P é a pressão e r é a coordenada radial. Como na parede a coordenada r é igual ao raio do tubo, r =R, e a tensão de corte é igual à tensão de corte na parede,τrx = −τw, a equação anterior toma a seguinte forma:

τ_rx = −τ_wr R (1.3)

Combinando a equação anterior com a equação do modelo reológico em causa, neste caso para o fluido de Bingham, e substituindo neste γɺ por du dr é possível obter por integração a expressão do perfil de velocidades bem como da velocidade média, ver Khatyr et al. (2002) e Coelho e Pinho (2008). O perfil de velocidades do fluido de Bingham em escoamento laminar numa conduta de secção circular é pois dado por:

4

( )

(

)

2 0 4 2 0 4 2 1 2 1 4 1 3 3 2 1 0 4 1 3 3 r r a R R U se r r R a a u r a U se r r a a   _{   } − − −                _{≤ ≤}   _{− +} =  −  _{≤ ≤}  − +   (1.4)

onde, a representa os quocientes τ τ_{0 w} =r R₀ =r₀*, sendo r a posição radial abaixo do qual ₀

a taxa de deformação é nula, onde τ₀ é a tensão de cedência do fluido de Bingham e U

representa a velocidade média na conduta, sendo dada pela seguinte expressão:

4 4 0 0 0 0 4 1 4 1 1 1 8 3 3 8 3 3 w w w w D D U τ τ τ τ a a µ τ τ µ  _{ }  _{ }   = − +   = _ − + _         (1.5)

1.1.2 Fluido Lei da Potência

Este modelo é aqui apresentado pois vai ser utilizado para definir o número de Reynolds generalizado que vai caracterizar o escoamento, conforme se verá na próxima secção. Este modelo é caracterizado pela seguinte relação entre a viscosidade de corte e a taxa de deformação:

η γ

( )

ɺ =Kγɺn−1 (1.6)

onde, n é o índice de potência e o K o índice de consistência, a taxa de deformação γɺ é

obtida pelo segundo invariante do tensor taxa de deformação

( )

D_ij , que, como se referiu anteriormente, no caso de escoamento desenvolvido numa conduta de secção circular fica reduzido a γɺ=du dr.

Para n=1 obtém-se um fluido com viscosidade constante, Newtoniano. Quanto mais pequeno for o n, maior é a redução da viscosidade com a taxa de deformação, fluido pseudoplástico e para n>1 temos os fluidos dilatantes.

5 De um modo análogo ao referido anteriormente para o modelo de Bingham é possível obter o perfil de velocidades num escoamento laminar numa conduta de secção circular para um fluido lei de potência. O referido perfil é dado pela seguinte equação:

( 1) 3 1 1 1 n n u n r n R U +   + _   _ = −_{ }   +     (1.7)

Sendo a velocidade média U dada pela seguinte equação, Byrd et al. (1987):

1 1 3 n w R U K n τ   = _{ }    +     (1.8)

1.1.3 Comparação dos Modelos Bingham e Lei de Potência

Na figura 1.2 apresenta-se, de forma genérica, as curvas de viscosidade dos modelos de Bingham, equação (1.1), e lei de potência, n<1, equação (1.6). Como se pode ver o fluido de Bingham apresenta também características pseudoplásticas com a viscosidade a tender para um patamar de valor µ₀, para taxas de deformação mais elevadas. Como seria de esperar, num gráfico Log-Log, a representação da viscosidade com a taxa de deformação, no modelo lei de potência, adquire uma forma linear.

6

Figura 1.2 Comparação das curvas de viscosidade do Modelo de Bingham e Lei de Potência, n<1

Na figura 1.3, comparam-se vários perfis de velocidade adimensional, numa conduta de secção circular, para os fluidos de Bingham, apenas função de a , equação (1.4), e lei de

potência, apenas função de n , equação (1.7). Como se pode ver, para a=0 o perfil de velocidade é coincidente com o de n=1, perfil este Newtoniano, o mesmo sucedendo no extremo oposto, a=1 e n=0, onde o perfil de velocidade tende para um perfil pistão.

7

Figura 1.3 Comparação do perfil de velocidades dado pelo Modelo de Bingham, com o obtido pela Lei de Potência. Equações (1.4) e (1.7) respectivamente

1.2 Números adimensionais

Nesta secção vão ser apresentados todos os números adimensionais utilizados ou referidos neste trabalho e o seu significado.

1.2.1 Número de Reynolds e número de Prandtl

O número de Reynolds, que é comum para os fluidos Newtonianos e não-Newtonianos, representa o quociente entre as forças de inércia e as forças viscosas, e é definido por:

U D

Re ρ

η

= (1.9)

onde, ρ é a massa volúmica do fluido, U a velocidade média na conduta, D o diâmetro da

8 As forças viscosas têm grande importância para valores de Re baixos e as forças de inércia assumem um papel preponderante para valores de Re superiores a 2100.

O número de Prandtl, também é utilizado em fluidos Newtonianos e não-Newtonianos, representa a razão entre a difusividade da quantidade de movimento e a difusividade térmica:

p v v Pr k C α ρ = =       (1.10)

Onde, ν é a viscosidade cinemática e α é a difusividade térmica do fluido que é definida por k ρC_p , onde k é condutividade térmica do fluido, ρ a massa volúmica do fluido e C_p o calor específico.

O produto entre o número de Reynolds e o número de Prandtl é chamado de número de Péclet e é dado por:

p U DC U D Pe RePr k ρ α = = = (1.11)

Este é independente da viscosidade do fluido, no entanto, continua a ser dependente de outras propriedades do fluido.

Para fluidos não-Newtonianos que obedecem à lei de potência a escoar no interior de condutas, é frequentemente utilizado um número de Reynolds e de Prandtl generalizado. O número de Reynolds, '

Re , é calculado de forma a que o coeficiente de fricção de Fanning,

F

f , ou de Darcy, f , para fluidos Newtonianos e não-Newtonianos num escoamento laminar tende a convergir numa só curva, que é dada por f_F =16 Re' ou f =64 Re' .

( )

1 ' 1 2 _' ' ' ' ' 1 8 8 , , 8 n n n _n P ' ' P n U k C D C U U D U D K Re Pr D K k k η ρ ρ η η − − − −   =   = = = =   (1.12)

O coeficiente K está relacionado com o índice de consistência'

( )

K e o índice de potência

( )

n , sendo dado pela seguinte expressão:

9 ' 3 1 4 n K K n +   =     (1.13)

K’ surgiu na equação que calcula a tensão de corte na parede, τ_w, para um escoamento laminar completamente desenvolvido numa conduta de secção circular, '

(

)

8 n

w K U D

τ = e

'

η não é mais que o quociente de τw por γ =ɺ 8U D, sendo esta última a taxa de deformação na parede num escoamento laminar de um fluido Newtoniano num tubo de secção circular. Esta definição de número de Reynolds será também a definição que irá ser utilizada neste trabalho, com o n e a viscosidade, sendo calculados para cada valor local da taxa de deformação, γ =ɺ 8U D, consoante a curva de viscosidade do modelo de Bingham utilizado, conforme se esquematiza na figura 1.4:

log (

µ

)

log (

γ

ɺ )

µ

8u D

γ

ɺ

=

Modelo lei de potência,

µ

=

K

γ

_ɺ

n−1

, que é

tangente à curva de viscosidade no ponto

8u D

γ

ɺ

=

, declive igual a n-1

Figura 1.4 Relação entre a viscosidade e a taxa de deformação

O cálculo do nlocal pode ser realizado facilmente através da expressão da derivada da viscosidade em ordem à taxa de deformação do modelo lei de potência que é dada por:

( 2) 2 ( 1) n ( 1) d K n n d µ _{γ τ γ} γɺ = − ɺ − = − ɺ− (1.14)

10 Ou seja, nlocal, para qualquer fluido, é dado pela seguinte expressão:

2 local 1 d n d µ γ γ τ = ɺ + ɺ (1.15)

que aplicada ao modelo de Bingham origina a seguinte expressão para nlocal:

(

)

2 0 local 2 0 0 0 0 1 1 1 1 n τ γ γ µ γ τ µ γ τ = − + = − + + + ɺ ɺ ɺ ɺ (1.16)

Por sua vez _{' '}

(

)

local 1

(

)

(

)

local 1

(

)

local local local local

8 n 3 1 4 8 n 3 1 4

K U D n n K U D n n

η = − = + − = + µ

em que µ será a viscosidade no ponto da curva de viscosidade em que γɺ=8U D, ver figura 1.4. Para mais detalhes sobre esta metodologia, consultar o trabalho de Diogo Cruz (2010).

1.2.2 Número de Nusselt

A análise das condições de fronteira da equação da energia introduz o conceito do coeficiente de convecção, h . Este é definido como o rácio entre o fluxo de calor por unidade de área, _{qɺ , e uma diferença de temperatura. O fluxo de calor na parede é positivo quando w} está a entrar para o fluido. A diferença de temperaturas é a diferença entre a temperatura da parede, T_w, e a temperatura de mistura, T .

O número de Nusselt é definido pela equação Nu=hD k, normaliza o coeficiente de convecção, h , definido pela equação h=qɺ_w T_w−T com a condutibilidade térmica do fluido,

k, e o comprimento característico da conduta, neste caso é o diâmetro, D , e compara o calor transferido por convecção com o calor transferido por condução para um mesmo ∆T.

Para um fluido lei de potência, o número de Nusselt num escoamento laminar num tubo de secção circular com fluxo de calor constante na parede é dado, de acordo com Barleta (1997), pela seguinte equação:

(

)(

)

2 8 5 1 3 1 3l 12 1 n n Nu n n ∞ + + = + + (1.17)

11 1.2.3 Forma genérica do número de Brinkman

Quando os efeitos de dissipação são importantes num escoamento, o número de Brinkman(Br) é bastante usado para quantificar a relação entre o calor gerado por dissipação viscosa e o calor trocado na parede. Este grupo adimensional foi chamado de Brinkman, no seguimento do trabalho do mesmo autor de 1951, após este ter resolvido o problema de transferência de calor num escoamento laminar Newtoniano num tubo com a dissipação viscosa.

O número de Brinkman generalizado,Br*, foi introduzido por Coelho e Pinho (2009) e destaca-se por contabilizar correctamente a potência dissipada por atrito viscoso,wɺ , com

w

wɺ =τ U, independentemente do fluido ou secção da conduta. Embora este número adimensional fosse mais correctamente apresentado pelo rácio w q_{ɺ ɺ , onde w} qɺ representa o _w

calor transferido na parede da tubagem, foi introduzida uma pequena modificação para assegurar uma equivalência com a anterior definição do número de Brinkman para fluidos Newtonianos em regime laminar. Assim, foi introduzido o coeficiente 8, fazendo com que o número de Brinkman generalizado seja definido por:

* 8 _w w Br q = ɺ ɺ (1.18)

Como o caso de estudo é efectuado para fluxo de calor constante na parede, temos então: * 8 w w U Br q τ = ɺ (1.19)

Normalmente, o número de Brinkman para fluidos Newtonianos é contabilizado através da seguinte equação:

2 w U Br q D η = ɺ (1.20a) 2 * w 8 8 8 w w w U U U U Br Br q D D q q η _η τ = = = = ɺ ɺ ɺ (1.20b)

12 Sendo o quociente 8U D a taxa de deformação na parede num escoamento laminar dentro de uma conduta de secção circular de um fluido Newtoniano, o produto 8η U D não é mais que a tensão de corte na parede, τw, e assim se mostra que a definição Br* está implícita na definição original do número de Brinkman. Num fluido cuja viscosidade varie com a taxa de deformação, a utilização da definição patente na equação (1.20a), onde a viscosidade η é frequentemente substituída por uma viscosidade característica do fluido em detrimento da definição (1.20b), não traduz com rigor o quociente potência dissipada /potência na parede, acarretando consequências nefastas quando se pretende contabilizar ou comparar o efeito da dissipação viscosa em escoamentos de diferentes fluidos não-Newtonianos e, por vezes, para o mesmo fluido em escoamentos com números de Reynolds distintos.

1.2.4 Número de Bingham

O número de Bingham surge quando se trabalha com fluidos de Bingham e serve para quantificar a importância da tensão de cedência, Poole e Chhabra (2010), sendo definido da seguinte forma: 0 0 D Bn U τ µ = (1.21) 1.3 Revisão Bibliográfica

Dos diversos trabalhos realizados até à actualidade sobre soluções analíticas para transferência de calor no interior de um tubo circular de um fluido de Bingham, serão apenas mencionados os que estiveram na origem da realização do presente trabalho.

Ravindra Kumar (1964) efectuou um estudo analítico sobre os efeitos da dissipação e da transferência de calor em escoamento laminar de um fluido de Bingham numa conduta de secção circular, por integração directa da equação da energia para escoamento totalmente desenvolvido e desprezando a condução axial. Contudo, no referido trabalho, o autor negligenciou o efeito da dissipação no cálculo do gradiente de temperatura axial. Deste modo, o resultado obtido só está correcto para a ausência da dissipação viscosa.

Num outro trabalho, mais recente, R. Khatyr et al. (2003), estudaram a transferência de calor para três situações assimptóticas distintas de distribuição axial do fluxo de calor na

13 parede e para os casos de temperatura de parede constante e escoamento exterior sobre o tubo de um fluido isotérmico, tudo para um escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido:

• No primeiro caso, quando a distribuição axial de calor qɺ_w tende para zero, isto é, o número local de Brinkman tende para infinito, os resultados mostraram que o valor assimptótico de Nusselt é zero;

• No segundo caso, onde a distribuição axial de calor não tende para zero, enquanto dqɺ_w dx tende para zero, o valor assimptótico de Nusselt é diferente de zero e depende unicamente do número de Brinkman assimptótico Br_∞ e do raio do núcleo a . Verificou-se que a dissipação viscosa e o esforço de corte

têm um papel importante na determinação das características da transferência de calor de um escoamento completamente desenvolvido;

• No terceiro caso, a distribuição axial de calor qɺw tende para infinito, enquanto

w

dqɺ dx tende para uma constante positiva.

Com interesse para o presente trabalho está o resultado do segundo caso, fluxo de calor constante na parede, onde a equação para o número de Nusselt obtida só foi testada pelos autores para o caso limite do fluido Newtoniano, a=0, mas falha quando testada para a outra situação limite, a=1, situação em que o perfil de velocidades é o mesmo do caso de um fluido lei de potência para o qual n=0, ver secção 1.1.3, perfil pistão, a que corresponde o número de Nusselt de 8, mas que, pela equação apresentada no trabalho em questão resulta num valor infinito. Tal facto pode ficar a dever-se a um erro tipográfico, mas o resultado é o mesmo, i.e., uma equação inútil.

T.Min e J.Y. Yoo (1999) efectuaram um estudo analítico de um escoamento laminar em desenvolvimento térmico de um fluido de Bingham num tubo circular com fluxo de calor uniforme na parede.

Em particular, demonstraram que as características da transferência de calor na região de entrada são afectadas significativamente pelo tensão de corte com a inclusão da dissipação viscosa.

Quando o raio adimensional r =₀ a é zero e o número de Peclet tende para um valor infinito, as soluções coincidem exactamente com as soluções referidas em estudos anteriores para fluidos Newtonianos. Verificaram também que o número de Nusselt, para o fluido de Bingham, é menos afectado pelo número de Brinkman para elevadas tensões de corte. De notar, que o Br utilizado por estes autores não foi o generalizado, pelo que, é de esperar que

14 A solução obtida por estes autores para o escoamento desenvolvido, na ausência de dissipação, está aparentemente correcta pois verifica ambas as situações limite, fluido Newtoniano e fluido lei de potência com n=0 equação (1.6).

P.M Coelho e F.T Pinho efectuaram um estudo, em 2008, onde apresentam uma nova forma de cálculo do número de Brinkman, denominado de número de Brinkman generalizado, que permite quantificar correctamente os efeitos de aquecimento por dissipação viscosa, de maneira que com esta nova definição o mesmo valor numérico de Br significa exactamente a

mesma relação de potência gerada por dissipação e potência que atravessa a parede do tubo, independentemente do fluido, algo que não sucedia até então. Com base neste novo Br , serão

realizadas análises, mais fiáveis que as actuais, sobre o efeito da dissipação na transferência de calor em fluidos de Bingham.

1.4 Objectivo

Por integração da equação diferencial de energia para escoamento laminar totalmente desenvolvido ir-se-á pois tentar comparar a solução assim obtida com a solução para o número de Nusselt do artigo de Min e Yoo (1999), uma vez que mediante as análises referidas anteriormente aos artigos de Ravindra Kumar e ao artigo R. Khatyr et al, as soluções nelas apresentadas não estão, ao que tudo indica, totalmente correctas.

Tirando partido da definição do número de Brinkman generalizado, que contabiliza correctamente a dissipação viscosa no escoamento, pretende-se neste trabalho estudar a influência deste fenómeno na transferência de calor com fluxo de calor constante na parede (arrefecimento e aquecimento), de uma forma nunca realizada até à data, já que nenhum trabalho publicado utilizou a definição generalizada do número de Brinkman. Para tal, ir-se-á estudar a influência da reologia e dos números de Reynolds, de Brinkman e de Bingham no comportamento dos perfis de temperatura e do número de Nusselt.

15 2 Equação de Energia e condições fronteira

2.1 Introdução

Neste capítulo serão adimensionalisadas e simplificadas as equações que vão ser usadas no caso em estudo.

2.2 Equações diferenciais

A equação da energia (2.1) é válida para perfis de velocidade totalmente desenvolvidos e em desenvolvimento em condutas circulares na ausência de rotação, w=0. No entanto, poderá ser simplificada para casos de perfis de velocidade totalmente desenvolvidos em que v=0, ∂ ∂ =v r 0. As simplificações são normalmente usadas na obtenção de soluções analíticas em escoamentos totalmente desenvolvidos, as integrações da equação da energia na sua forma mais abrangente, conforme se mostra na equação (2.1), só são realizadas recorrendo a integrações numéricas.

1 p p rx T T T T u v C u C v kr k x r r r r x x r r ρ ∂_∂ +ρ ∂_∂ = _∂∂  ∂_∂ +_∂∂  ∂_∂ +τ ∂_∂ +∂_∂        (2.1)

A primeira parcela do lado esquerdo da equação (2.1) está relacionada com a convecção de calor na direcção axial e, a segunda parcela, com a convecção de calor na direcção radial. A primeira parcela do lado direito da equação corresponde ao balanço de calor transportado por condução na direcção radial. A segunda parcela do lado direito da equação está relacionada com o balanço de calor transportado por condução na direcção axial. Por fim, a última parcela no lado direito da equação corresponde ao importante efeito da dissipação viscosa, que é bastante relevante para fluidos muito viscosos e que neste trabalho irá ser considerado, visto estar associados com números de Pr elevados nos quais é lícito assumir que o perfil de velocidades já está totalmente desenvolvido na entrada da conduta.

Uma vez que o perfil se encontra totalmente desenvolvido não vamos ter velocidade segundo a direcção radial

( )

v , podemos também desprezar a condução axial face à condução

16 radial, prática usual quando o Pe é elevado,

(

Pe>50

)

para fluidos Newtonianos, Özişik (1985), e assim obtemos uma equação passível de ser integrada analiticamente:

1 p rx T T u C u kr x r r r r ρ ∂_∂ = _∂∂  ∂_∂ +τ ∂_∂      (2.2)

2.3 Adimensionalização das equações

O primeiro passo será adimensionalizar todas as variáveis da equação da energia, as variáveis adimensionais serão assinaladas com um asterisco.

Começaremos então por adimensionalizar as seguintes variáveis: x, r e u como se pode ver nas seguintes equações:

* x x D = (2.3) * r r R = (2.4) * u u U = (2.5)

Aplicando as definições anteriores na equação (1.4), obtemos a seguinte equação adimensionalizada para o perfil de velocidade:

( )

(

)

(

)

2 * * * 4 * 2 * 4 2 1 2 1 1 4 1 3 3 2 1 0 4 1 3 3 r a r se a r a a u a se r a a a   _{− − −}       _{≤ ≤}  − +  =  ₋ ≤ ≤   _{− +}  (2.6)

17 As adimensionalizações da temperatura e da tensão de corte serão apresentadas nas equações (2.7) e (2.8) respectivamente: * 0 w T T T q D k − = ɺ (2.7) * rx w τ τ τ = (2.8)

Substituindo a equação (1.3) na equação (2.8) obtemos a seguinte equação:

*

xr r R

τ = − (2.9)

Ou seja, combinando a equação (2.4) com a equação (2.9) podemos dizer que:

* *

xr

r τ

− =

Introduzindo as adimensionalizações atrás referidas na equação de energia obtemos a seguinte equação: * * * * * * * 2 * * * *

1

1

w w w p xr

q D T

q D

T

U

u

C Uu

k

r

k D x

R

k r

r

r

R

r

τ

ρ

∂

_∂

=

_∂

∂





∂

_∂





+

τ





∂

_∂













ɺ

ɺ

(2.10)

Dividindo a equação (2.10) por qɺw obtemos a seguinte equação:

* _{* * *} * * * 2 * * * *

2

1

p w xr w

C Uu

_T

_R

_T

_U

_u

r

k

x

R r

r

r

q R

r

ρ

_∂

_∂



_∂



_{τ τ}



_∂



=





+





∂

∂



∂



ɺ



∂



(2.11)

Atendendo às definições de Brinkman equação (1.19) e de Peclet equação (1.11), obtemos uma equação ainda mais simplificada:

18 * * * * * * * * * * *

2

8

8

w p xr w

T

k

T

U

u

C Uu

r

k

x

R r

r

r

q R

r

τ

ρ

∂

_∂

=

_∂

∂





∂

_∂





+

τ





∂

_∂









ɺ





(2.12)

A equação final fica:

* * * * * * * * * * * *

1

4

4

Pe

T

T

u

u

r

r Br

x

r r

r

r









∂

∂

∂

∂

⋅

=





−





∂

∂



∂





∂



(2.13)

Esta será pois a equação da energia adimensional, passível ainda de algumas simplificações, conforme se verá seguidamente.

Considerando um balanço de energia num volume de controlo a um troço de conduta teremos: 2 4 w w p D q D dx U Dɺ π + πτ dx=ρ πU C dT (2.14) Simplificando a equação (2.14):

(

)

₄ p w w U DC dT q U dx ρ τ + = ɺ (2.15)

Adimensionalizando a equação anterior obtém-se:

(

)

* * 4 p w w w U DC q D dT q U k Ddx ρ τ + = ɺ ɺ (2.16)

Atendendo às definições de Brinkman e de Péclet obtemos:

(

)

* * * 4 1 8 T Br x Pe ∂ _{= +} ∂ (2.17)

19 Substituindo a equação (2.17) na equação (2.13), verifica-se que para um escoamento desenvolvido, v=0, a equação da energia adimensional deixará de depender do número Péclet: * * * * * * * * * * *

1

(1 8

)

T

4

u

u

Br

r

r Br

r r

r

r









∂

∂

∂

+

=





−





∂



∂





∂



(2.18) Sabendo que: * * * 4 * * 12( ) 1 4 3 0 0 a r se a r u a a r se r a  ₋ ≤ ≤ ∂  = − + ∂ _ ≤ ≤  (2.19)

Para simplificar a forma das equações consideramos que

Ω =a4−4a+3, (2.20)

e atendendo à equação do perfil de velocidade, equação (2.6), obtém-se a seguinte equação de energia para o caso concreto do fluido de Bingham.

( ) ( )

( )

2 * * * * * * * * * * * * 2 _* * * * * * *

6 1

2 1

1

12(

)

(1 8

)

4

1

6 1

1

(1 8

)

0

r

a

r

T

a r

Br

r

r Br

se

a r

r r

r

a

T

Br

r

se

r

a

r r

r

 

₋

₋

₋











∂

∂

−





 



₊

₌

₋

_{≤ ≤}











_Ω

_∂

_

_∂

_

_

_Ω

_





₋

_∂

_

_∂

_

+

=

≤ ≤



_

_

Ω

∂

∂









(2.21)

As condições fronteira, que vão permitir integrar esta equação, são apresentadas seguidamente.

2.4 Apresentação das Condições de Fronteira

Considerando o escoamento laminar estacionário de um fluido de Bingham através de uma conduta rectilínea de secção circular como se pode ver na figura 2.1, a região I é a zona

20 do perfil de velocidade onde há gradiente de velocidade e a região II é a zona onde a taxa de deformação é nula, perfil de velocidade uniforme. As condições de fronteira do escoamento são definidas pelas seguintes equações:

Figura 2.1 Escoamento laminar estacionário e as suas condições de fronteira

r=0 , T 0 r ∂ = ∂ (2.22) Para r=r₀ , T _I T _II r r ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ e (2.23) T r x_I( , )₀ =T r x_II( , )₀ E para r=R ,k T q_w r ∂ = ∂ ɺ e (2.24) T =T x_w( )

21 2.4.1 Adimensionalização das condições de fronteira

Adimensionalizando as condições de fronteira vamos obter:

r*=0, * * 0 T r ∂ ₌ ∂ (2.25) Para r* =a, * * * I * II T T r r ∂ ₌∂ ∂ ∂ e * * I II T =T (2.26) E para r*=1 , * * 1 2 2 T R R r D R ∂ _{= = =} ∂ (2.27)

2.5 Expressão de cálculo do número de Nusselt

Partindo da equação que traduz a lei de Newton do arrefecimento,

( ),

w w

qɺ =h T −T (2.28)

eadimensionalizando-a obtêm a seguinte equação:

* * ( ) w w w q D q h T T k = − ɺ ɺ (2.29)

simplificando-a obtemos a equação de cálculo do número de Nusselt:

* * 1 ( _w ) hD Nu k T T = = − (2.30)

22 A temperatura de mistura, T , que vai ser usada no cálculo do número de Nusselt, é obtida através da seguinte expressão:

0 2 2 R ruT dr T R U π π =

∫

(2.31)

Adimensionalizando a equação anterior obtemos:

1 * * * * * 0 2 T =

∫

r u T dr (2.32)

23 3 Integração da Equação de Energia

3.1 Introdução

Neste capítulo ir-se-á integrar a equação da energia, para posteriormente obtermos as equações da distribuição da temperatura, da temperatura de mistura e a equação do número de Nusselt.

Vamos também fazer uma breve comparação com a solução apresenta no artigo de Min e Yoo (1999).

3.2 Integração da equação da energia

Com a ajuda do programa de cálculo, Derive 5, procedeu-se à primeira integração da equação da energia, obtendo a seguinte equação para as derivadas da temperatura em ordem ao raio: * *2 * *2 *2 * *2 * * 1 * * * *2 2 *2 2 * 2 * * * 48 [2 ( 1) 1] 2 [4 (2 3) 3( 2)] 1 2 24 ( 1) 3 ( 1) 0 I II Br r a r r C r a r r T se a r r r Br r a C r a T se r a r r _∂  _{− − + + Ω + − − −} = ≤ ≤   ∂ Ω      _{− +Ω + −}  _∂   _{ } = ≤ ≤    _{∂ Ω}    (3.1) Para a condição: * 0 r = , * * II 0 T r ∂ ₌ ∂ (3.2) 2

0

C

=

Para a condição: * r =a, * * I II T T r r ∂ ₌∂ ∂ ∂ (3.3)

24 4 1

2

a

C

=

Ω

Mediante os resultados da constantes C₁ e C₂ verificamos a condição de fronteira:

* 1 r = , * * 1 2 I T r ∂ ₌ ∂ (3.4)

Ficando a equação final com as constantes C₁e C₂ substituídas:

* * *2 * *2 4 *2 * *2 *2 * * * * * 2 * 2 * * *

48

[2 (

1)

1]

4

(2

3) 3 (

2)

1

2

24

(

1)

3 (

1)

0

I II

T

Br r

a r

r

a

ar

r

r r

se a r

r

r

Br r a

r a

T

se

r

a

r



_∂



_{− − + + +}

_{− −}

₋

=

≤ ≤





∂

Ω











_{− +}

₋





_∂





₌





_{≤ ≤}







_∂

_Ω







(3.5) 2ª Integração da equação de dT* dr*: 4 * * * * *2 * *2 * * 3 *2 * * * 4 2 ln( ) [48 (4 (2 3) 3( 2)) 8 (4 9) 9( 4)] 1 2 24 3 (8 1) 0 2( 2 3) I II a r r Br a r r a r r T C se a r r Br T C se r a a a  _{− − − + − − −} = + + ≤ ≤  _{Ω Ω}   +  _{= + ≤ ≤}  _{+ +}  (3.6)

Para a condição de fronteira:

* 1 r = e * * I w T =T * * 3 48 (4 3) 40 27 24 w Br a a C =T + − + − Ω (3.7) Para a condição de fronteira:

*

r =a e * *

II I

25 * 3 2 3 2 4 * 4 2 2 2 48 ( 3) 13 13 13 27 ln( ) 24(1 )( 2 3) 2( 1) ( 2 3) w Br a a a a a a a a C T a a a a a a + + − + + + − = + + − + + − + + (3.8)

Ficando a equação final com as constantes C₃e C₄ substituídas:

( )

( )

* 4 * * * 2 2 4 * * * * * 1 ln( ) 0 2( 1) ( 2 3) ln( ) 2 II w I w se a r a a T T Z se r a a a a a r T T J r r ≤ ≤ = + + ≤ ≤ − + +  = + +  _Ω     (3.9) sendo:

( )

* * * * *2 * *2 * *3 *2 * * ( 1)[48 ( 1)[4 (2 1) 3( 2 1)] 8 (4 5 5) 9( 3 3)] 24 r Br r a r r r a r r r r r J r − − + − + + + − − − + − − Ω = (3.10) e

( )

* 3 2 *2 *2 3 2 *2 *2 2 * 48 [ (1 6 ) 3(2 1)] 13 13 (13 36 ) 9(4 3) 24(1 )( 2 3) Br a a a r r a a a r r a a a Z r + + − + − + + + − + − − + + = (3.11)

3.3 Cálculo da temperatura da mistura

A temperatura da mistura será calculada através da seguinte equação (2.30), apresentando-se desta forma:

1 * * * * * * * * * 0 2 2 a II II I I a T =

∫

r u T dr +

∫

r u T dr (3.12)

Substituindo e calculando obtemos para a temperatura da mistura a seguinte equação final: 8 * * * 2 2 2 2 ln( ) 2( 2 3) ( 2 1) w a a T T Br S a a a a = + − + + + − + (3.13)

26 sendo: 7 6 5 4 3 2 3 2 2 195 2211 1203 4397 617 617 6327 3465 1680(1 ) ( 2 3) a a a a a a a S a a a + + − − − + − = − + + (3.14)

3.4 Cálculo do número de Nusselt

Para calcular o número de Nusselt utilizamos a equação (2.30), ficamos então com a seguinte equação final:

8 7 6 5 4 3 2 * 2 2 2 2 3 2 2 1 ln( ) 195 2211 1203 4397 617 617 6327 3465 2( 2 3) ( 2 1) 1680( 1) ( 2 3) Nu a a a a a a a a a Br a a a a a a a = + + − − − + − − + + + − + − + + (3.15)

Para testar a validade desta equação fez-se a=0, situação equivalente ao caso de um fluido Newtoniano, tendo-se obtido a solução esperada de Nu=48 (48Br*+11), Pinho e Oliveira (2000), fazendo Br* =0 e a tender para 1, obtém-se Nu=8, valor também esperado já que para a=1 o perfil de velocidade do fluido de Bingham é igual ao do fluido lei de potência para n=0, figura 1.3, e para n=0 o valor do número de Nusselt dado pela equação (1.17) é precisamente 8.

Equação para o número de Nusselt do artigo de Min e Yoo (1999) é a seguinte:

2 _{2 4 5 6 7 8 8} 4 4 2 3 3 11 68 62 10 2 13 ln( ) 2 (3 4 ) (3 4 ) 48 105 135 4 27 15 15 1008 18 Nu a a a a a a a a a Br a a a a =  _{ }     − _{  }− + − − + + − − + _  _{− +}  _{− +}   _   _ (3.16)

Estes autores definiram a equação de Br da seguinte forma:

2 0 w U Br q R µ = ɺ (3.17)

27 Como a definição de Br usada é diferente, as equações de Nu apresentam-se algebricamente diferentes, no entanto, as equações são formalmente idênticas para o caso do número de Brinkman ser igual a zero.

29 4 Análise do efeito da dissipação viscosa no Nu

4.1 Introdução

Neste capítulo ir-se-á fazer fundamentalmente uma análise do efeito da dissipação viscosa no número de Nusselt. Inicialmente, far-se-á uma análise para um dado fluido de Bingham analisando-se o efeito do número de Reynolds e do diâmetro da conduta sobre o número de Nusselt. E posteriormente, realizar-se-á uma análise do efeito do número de Brinkman sobre o número de Nusselt de uma forma genérica e que, portanto, é válida para qualquer fluido de Bingham e quaisquer condições de escoamento em regime laminar. Esta última maneira de apresentar os dados, por ter um carácter genérico, reveste-se de um grande interesse prático.

4.2 Análise do número de Nurelativamente ao número de Re'

Em virtude do número de Reynolds ser um grupo adimensional relevante nos escoamentos de fluidos e na transferência de calor, optou-se por iniciar esta análise com uma avaliação da forma como o número Nusselt e o número de Reynolds podem representar os dados da transferência de calor no interior de um tubo para um fluido de Bingham.

Recorrendo à equação (3.15) e à definição de número de Reynolds dada pela equação (1.12), utilizando a metodologia proposta na equação (1.16) para o cálculo do índice de potência, representou-se na figura 4.1, a evolução do número de Nusselt em função do número de Reynolds para o caso do número de Brinkman ser igual a zero. As características do fluido de Bingham utilizado nesta análise são dadas na tabela 1.

Tabela 1. Características do fluido

0

τ 3 Pa

0

30

Figura 4.1 Análise do número de Nu relativamente ao número de Re' para diferentes diâmetros

O facto de se optar por realizar esta análise para números de Reynolds até 6000 está relacionado com a constatação experimental de que o regime laminar pode existir a este valor elevado de Re′ para fluidos viscoelásticos, Hartnett e Cho (1998), o que, embora não sendo o caso do fluido em análise, permite apresentar dados que possam vir a ter interesse noutros casos.

Como se pode ver pela figura 4.1 o Re', só por si, não é suficiente para caracterizar a transferência de calor, ao contrário do que sucede com a perda de carga em tubos, ver Cruz (2010). Esta característica deve-se à circunstância de embora para o mesmo Re' só existir um coeficiente de atrito, f , o mesmo não ocorre com a tensão de corte na parede, τ_w. Assim, para os mesmos Re' e Br, é possível haver vários valores de τ_w, como o Nusselt é apenas função do quociente τ τ_{0 w}existe um número de Nusselt diferente para cada diâmetro de tubagem em virtude da tensão de corte na parede ser também diferente para cada diâmetro.

O facto do número de Nusselt diminuir com o aumento do número de Reynolds e com a diminuição do diâmetro, está relacionado com a inerente diminuição do quociente

0 w

a=τ τ . À medida que este último diminui, o perfil de velocidade afasta-se do perfil pistão, a velocidade junto à parede diminui e, consequentemente, o mesmo sucede com o coeficiente de convecção e necessariamente com o número de Nusselt. Na figura 4.2 representam-se os

31 perfis de velocidade adimensionalizados para os três diâmetros analisados e um número de Reynolds igual a 1000, podendo-se observar o fenómeno anteriormente descrito.

Podemos pois concluir que a relação do número de Nusselt com o número de Reynolds, Re' não será a representação mais apropriada para a análise que se pretende fazer, uma vez que Re' não congrega a totalidade dos efeitos que afectam a transferência de calor num fluido de Bingham.

Figura 4.2 Perfis de velocidade adimensionalizados para vários diâmetros de conduta e Re'=1000

4.3 Parâmetro U+

Como se viu anteriormente o número de Nusselt não é só função do número de Reynolds, mas, para um dado Brinkman, depende exclusivamente do quociente τ τ₀ / _w, ver equação (3.15), que por sua vez depende univocamente do parâmetro

(

)

0 0

8 8

U+=U µ Dτ = Bn em que Bn é o número de Bingham, Coelho e Pinho (2008).

Assim sendo, surgiu a ideia de realizar o estudo do número de Nusselt em função deste parâmetro, tornando a análise simultaneamente genérica e com um grande carácter prático, pois para um dado valor de U+, que só depende das características geométricas, de escoamento e do próprio fluido, existe um e um só número de Nusselt.

32 O rácio a=τ τ_{0 w} pode ser obtido através da resolução da seguinte equação, Coelho e Pinho (2008):

( )

1 4 0 0 0 0 0 w w w 8 4 1 1 8 3 3 U D Bn τ τ τ τ µ τ τ τ − _{ }       = =  − +       _   _ (4.1)

cuja solução é a seguinte:

(

)

(

)

5 6 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 2 4 a=  B +C − __ B −B C +C −B −C __   (4.2) com:

(

)

2

(

3 2

)

3 4 3 27 144 288 256 B= U++ − U+ U+ + U+ + U++ (4.3) ,

(

)

2

(

3 2

)

3 4 3 27 144 288 256 C= U++ + U+ U+ + U+ + U++ (4.4) e

( )

0 0 8 8 U U Dτ µ Bn + _{= = (4.5)}

Como se referiu anteriormente, dada a relação explícita entre o número de Nusselt e parâmetro a e entre este último e o parâmetro U+, que simultaneamente congrega os dados sobre o fluido, através de τ0 e µ0, e do escoamento, através da velocidade média e do diâmetro, é possível apresentar uma relação entre Nu e U+ que é válida para qualquer fluido de Bingham num dado escoamento laminar. Deste modo, o cálculo do número de Nusselt em regime laminar resume-se ao cálculo do parâmetro U+ e à posterior consulta de uma tabela, gráfico ou equação que permita encontrar o Nu respectivo.

33 Uma outra vantagem desta abordagem é que o efeito da dissipação viscosa sobre o número de Nusselt pode, também ela, ser feita de uma forma genérica utilizando também para o efeito o parâmetro U+. Esta análise irá ser realizada seguidamente.

Na figura 5 apresenta-se graficamente a função matemática (4.2) onde se pode ver que com o aumento do parâmetro U+de zero até um valor muito elevado, o parâmetro a=τ τ_{0 w}, diminui desde um até zero.

Figura 4.3 Relação entre o parâmetroaeU+

4.4 Relação entre o número de Nusselt e o parâmetro U+

Recorrendo à equação (3.15) e à sua relação com o parâmetro U+, equações (4.1) a (4.5) ir-se-á analisar nesta secção o comportamento do número de Nusselt em função do parâmetro U+ para vários números de Brinkman positivos, aquecimento, q_ɺw >0, e negativos,

w 0

qɺ < .

34 4.4.1 Análise para caso de Br* >0

Na figura 4.4, representamos o número de Nusselt em função do parâmetro U+, tendo-se variado o número de Brinkman generalizado. No anexo A encontram-tendo-se tabelados os valores Nu em função de U+e *

Br para facilitar a leitura e aumentar a precisão dos valores

que venham a ser necessários num caso prático.

Verificou-se que um aumento do número de Brinkman generalizado, para os mesmos valores do parâmetro U+, provoca uma diminuição do número de Nusselt. Para Br *

superiores a um, o Nu praticamente deixa de ser função de U+, passando a depender apenas do número de Brinkman. Esta dependência exclusiva do número de Brinkman deve-se ao maior peso que este adquire no denominador da equação (3.15).

Figura 4.4 Análise para o caso de * 0 Br >

Na figura 4.5 representa-se graficamente as parcelas que estão no denominador da equação (3.15) e que só dependem do parâmetro a, em função de U+.

35

Figura 4.5 Inverso do Nu para * 0 Br =

Como se pode ver, esta parcela varia entre 1/8 e 11/48, um número de Brinkman igual ou superior a um já é pois suficientemente grande, comparativamente com 11/48, para se tornar predominante e fazer com que o número de Nusselt deixe de ser função de U+.

A diminuição do número de Nusselt com o aumento do número de Brinkman já era expectável pois revendo a equação de cálculo do coeficiente de convecção, h=qɺ_w (T_w−T), aumentando a dissipação viscosa a diferença de temperaturas Tw−T também aumenta, o calor gerado por dissipação viscosa é libertado junto à parede aumentando a temperatura desta, diminuindo assim o coeficiente de convecção e, consequentemente, o número de Nusselt. No capítulo seguinte ir-se-á realizar um estudo mais detalhado da evolução da temperatura e da localização da potência dissipada por atrito.

4.4.2 Análise para caso de Br*<0

Na figura 4.6 representamos a evolução dos mesmos grupos adimensionais da figura 4.4, mas desta vez para valores de Br negativos, caso do arrefecimento. *

Para números de Brinkman negativos e inferiores, em valor absoluto, a 1/8, ver figura 4.5, o número de Nusselt é sempre positivo e aumenta com o aumento de Br em valor *