Existência de soluções clássicas para as equações de Burgers e Navier-Stokes

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO ˆ CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA. Existˆ encia de solu¸c˜ oes cl´ assicas para as Equa¸c˜ oes de Burgers e Navier-Stokes. Wilberclay Gon¸calves Melo. Recife, 2007..

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA. Existˆ encia de solu¸c˜ oes cl´ assicas para as Equa¸c˜ oes de Burgers e Navier-Stokes. Disserta¸c˜ ao apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Matemática.. Wilberclay Gon¸calves Melo. Orientador: Pablo Braz e Silva. Recife, 2007..

(3) ..

(4) 2.

(5) ´ DEDICATORIA. A minha fam´ılia.. 3.

(6) AGRADECIMENTOS Aos meus pais Wilton e Edilma, por vários motivos que não vou explicitá-los aqui, pois gastaria muitas páginas; ao professor Pablo Braz por sua orienta¸cão, dedica¸caõ e disponibilidade; ao CNPQ pelo aux´ılio financeiro; aos professores Paulo Zingano e Miguel Loayza, por participarem da banca examinadora; a minha namorada Jamile pela amizade, companheirismo e compreensão; a minha irmã Gardênia, que sempre torceu por mim; a todos meus colegas do dmat-UFPE que contribu´ıram, direta ou indiretamente, para realiza¸caõ deste trabalho; aos meus amigos que compartilharam seus conhecimentos e suas amizades; a todos os professores e funcionários do UFPE e da UNIT que, direta ou indiretamente, tiveram um papel importante na minha forma¸caõ; por todos os momentos da minha vida acadêmica, agrade¸co ao professor Genaro por seus conselhos, amizade, confian¸ca e respeito; a todos os meus amigos sergipanos e pernambucanos, que sempre torceram por mim.. 4.

(7) RESUMO Discutimos existência e unicidade de solu¸cões clássicas para a equa¸caõ de Burgers com viscosidade e para o sistema de Navier-Stokes em duas e três dimensões espaciais. Provamos existência e unicidade de solu¸co˜es locais no tempo para cada um dos modelos estudados. Além disso, para a equa¸cão de Burgers e para as equa¸co˜es de Navier-Stokes bidimensionais, utilizamos estimativas a priori para garantir a existência global de solu¸cões. Indicamos por que o método não pode ser aplicado para o caso tridimensional.. Palavras-chave: solu¸cões, Navier, Stokes.. 5.

(8) ABSTRACT We study existence and uniqueness of classical solutions for the viscous Burgers equation, as well as for the Navier-Stokes system for viscous incompressible fluids, in both two and three space dimensions. We prove local existence of solutions in all cases. Moreover, global existence is shown for two dimensional Navier-Stokes and Burgers. We show why one does not get global solutions for the Navier-Stokes in the three dimensional case.. keys-word: solutions, Navier, Stokes.. 6.

(9) Conte´ udo 1 Introdu¸c˜ ao 1.1 Nota¸co˜es e defini¸co˜es para o Cap´ıtulo 2 . . . 1.2 Nota¸co˜es e defini¸co˜es para o Cap´ıtulo 3 . . . 1.3 Nota¸co˜es e defini¸co˜es para o Cap´ıtulo 4 . . . 1.4 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . 1.5 Alguns resultados para equa¸cões el´ıpticas . . 1.6 Descri¸caõ f´ısica do sistema de Navier-Stokes. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 9 10 11 12 14 19 31. 2 Equa¸c˜ ao de Burgers com viscosidade. 35. Equa¸c˜ ao de Burgers com viscosidade 2.1 Unicidade de solu¸co˜es . . . . . . . 2.2 Estimativas a priori . . . . . . . . 2.3 Existência local de solu¸co˜es . . . 2.4 Existência global de solu¸co˜es . . .. 35 35 38 55 57. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 3 Sistema de Navier-Stokes em duas dimens˜ oes espaciais. 66. Sistema de Navier-Stokes em duas dimens˜ oes espaciais 3.1 Caso periódico em duas dimensões espaciais . . . . . 3.2 Equa¸caõ da vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Formula¸cão da vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Unicidade de solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Estimativas a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Existência local de solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Existência global de solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . .. 66 66 67 71 76 78 89 92. 7. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..

(10) 4 Sistema de Navier-Stokes em trˆ es dimens˜ oes espaciais 4.1 Equa¸caõ da vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Unicidade de solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Estimativas a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Existência local de solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Extensão do intervalo de existência . . . . . . . . . . . . Bibliografia. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 98 98 99 100 105 107 115. 8.

(11) Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao O principal interesse dessa disserta¸cão é identificar o que nos impede de encontrar uma solu¸caõ global para o sistema de Navier-Stokes em três dimensões. Nesse cap´ıtulo, enunciamos algumas nota¸co˜es, damos algumas defini¸cões, estudamos alguns resultados relevantes para o desenvolvimento da disserta¸cão, e retratamos, brevemente, a descri¸cão f´ısica do sistema de Navier-Stokes. No segundo cap´ıtulo, consideramos que todas as fun¸co˜es são de classe C ∞ e 1periódicas. Estudamos quando uma aplica¸cão u : R2 → R, com condi¸caõ inicial u(x, 0) = f (x) é (a u ńica) solu¸caõ da equa¸caõ de Burgers ut = uux +²uxx . Inicialmente supomos que u, com as condi¸co˜es acima, satisfaz essa equa¸caõ. Com isso, provamos que essa solu¸cão é u ńica, ou seja, se uma solu¸cão existe, conseq¨ uentemente é u ńica. Logo em seguida, estimamos todas as derivadas de u em um intervalo de tempo fixo. O mesmo é feito com uma itera¸caõ definida indutivamente por u0 ≡ 0 e un+1 un un+1 + t x n+1 ²uxx para n = 1, 2, 3, .... Com esses controles sobre as derivadas da itera¸caõ acima mostramos que uma solu¸caõ existe localmente. Dessa forma, estendemos essa solu¸cão local a uma solu¸caõ global. No terceiro cap´ıtulo, também admitimos que todas as aplica¸co˜es são de classe ∞ C , todavia de per´ıodo 2π. Primeiramente, supomos que existe uma solu¸cão para o sistema de Navier-Stokes. Assim sendo, provamos que essa solu¸cão é u ńica. Em seguida, damos o conceito de vorticidade. Provamos que encontrar uma solu¸cão do sistema de Navier-Stokes é o mesmo que encontrar uma solu¸cão para o sistema da vorticidade. Realizamos um processo análogo ao que é feito no cap´ıtulo dois com esse u ´ltimo sistema. Com isso, encontramos uma solu¸caõ global do sistema de NavierStokes. 9.

(12) No Cap´ıtulo 4 o principal interesse, além dos que foram relatados nos Cap´ıtulos anteriores, é mostrar por que não podemos utilizar o método relacionado ao caso bidimensional para encontrar uma u ńica solu¸caõ global do sistema de Navier-Stokes em três dimensões. Provamos que quando uma solu¸caõ do sistema de Navier-Stokes é limitada então podemos estender o seu intervalo de existência. Em toda a disserta¸cão consideramos que a nota¸caõ das constantes é mantida mesmo que essa seja modificada, por opera¸cões elementares, a uma nova constante. Por exemplo, k u k ≤ C k u k +K k u k ≤ C k u k . A nossa abordagem segue de perto [3]. Para abordagens utilizando técnicas mais fortes de Análise Funcional, ver [4, 5, 6, 7, 10, 2, 9].. 1.1. Nota¸co ˜es e defini¸c˜ oes para o Cap´ıtulo 2. Primeiramente, denotaremos as derivadas parciais para uma aplica¸caõ que depende de x e t pelos operadores Dxj :=. ∂j ∂j j , D := , t ∂xj ∂tj. (1.1). onde j ∈ N ∪ {0}. Dadas duas aplica¸cões u = u(x, t) e v = v(x, t) definiremos, para cada p ∈ N, o seguinte produto interno (u, v)H p :=. p X. (Dxj u, Dxj v).. (1.2). j=0. Desse produto interno definimos, para cada p ∈ N, a norma H p de uma fun¸caõ u = u(x, t) por ku. k2H p. :=. p X. k Dxj u k2 .. (1.3). u(x, t)v(x, t)dx.. (1.4). j=0. Utilizaremos também o produto Z. 1. (u(·, t), v(·, t)) := 0. 10.

(13) Desse produto induzimos a grandeza Z k u(·, t) k. 2. 1. :=. u2 (x, t)dx,. (1.5). 0. chamada a norma L2 da aplica¸caõ u = u(x, t). Definimos também para a fun¸caõ u = u(x, t) a norma do supremo | u(·, t) |∞ := max{| u(x, t) |; x ∈ [0, 1]}.. 1.2. (1.6). Nota¸co ˜es e defini¸c˜ oes para o Cap´ıtulo 3. Denotemos o operador derivada para uma aplica¸caõ que depende de x, y e t por Dxj :=. ∂j ∂j ∂j j j , D := , D := , t y ∂xj ∂y j ∂tj. (1.7). onde j ∈ N ∪ {0}. Dadas duas aplica¸cões u = u(x, y, t) e v = v(x, y, t) definimos o seguinte produto interno Z 2π Z 2π (u(·, t), v(·, t)) := u(x, y, t)v(x, y, t)dxdy. (1.8) 0. 0. Desse produto interno induzimos a seguinte norma para uma fun¸caõ u = u(x, y, t) Z 2π Z 2π 2 k u(·, t) k := u2 (x, y, t)dxdy. (1.9) 0. 0. Definimos a norma do supremo para uma fun¸cão u = u(x, y, t) por | u(·, t) |∞ := max{|u(x, y, t)|; 0 ≤ x, y ≤ 2π}.. (1.10). Seja u = (u, v), então definimos a norma do supremo de u por | u |∞ := max{| u |∞ , | v |∞ }.. (1.11). A norma L2 de u = (u, v) é dada por k u k2 := k u k2 + k v k2 .. 11. (1.12).

(14) Definimos o Laplaciano de uma aplica¸caõ u = u(x, y, t) por ∆u := Dx2 u + Dy2 u.. (1.13). Dk := Dxk1 Dyk2 ,. (1.14). Defina o operador. onde k = (k1 , k2 ) e | k |= k1 + k2 . Definimos a norma H j por X k u(·, t) k2H j := k Dk u(x, y, t) k2 ,. (1.15). |k|≤j. onde j ∈ N ∪ {0}. Se u = (u, v), definimos k u k2H j := k u k2H j + k v k2H j .. (1.16). Também definimos X. | u(·, t) |2H j :=. k Dk u(x, y, t) k2 .. (1.17). |k|=j. Para u = (u, v), temos | u |2H j := | u |2H j + | v |2H j .. 1.3. (1.18). Nota¸co ˜es e defini¸c˜ oes para o Cap´ıtulo 4. Para aplica¸co˜es de três variáveis defina Dxj :=. ∂j ∂j ∂j ∂j j j j , D := , , D := , D := , t y z ∂xj ∂y j ∂z j ∂tj. (1.19). onde j ∈ N ∪ {0}. Dadas duas fun¸cões reais u = u(x, y, z, t) e v = v(x, y, z, t) de classe C ∞ defina o seguinte produto Z 2π Z 2π Z 2π (u(·, t), v(·, t)) := u(x, y, z, t)v(x, y, z, t) dxdydz. (1.20) 0. 0. 0. Com isso, obtemos uma norma para u = u(x, y, z, t); Z 2π Z 2π Z 2π 2 k u(·, t) k := u2 (x, y, z, t) dxdydz. 0. 0. 0. 12. (1.21).

(15) Definimos a norma do supremo para uma fun¸cão u = u(x, y, z, t) por | u(·, t) |∞ := max{|u(x, y, z, t)|; 0 ≤ x, y, z ≤ 2π}.. (1.22). Seja u = (u, v, w), então definimos a norma do supremo de u por | u |∞ := max{| u |∞ , | v |∞ , | w |∞ },. (1.23). k u k2 := k u k2 + k v k2 + k w k2 .. (1.24). e a norma L2 por. O Laplaciano da fun¸caõ u = u(x, y, z, t) é dado por ∆u := Dx2 u + Dy2 u + Dz2 u.. (1.25). Dk := Dxk1 Dyk2 Dzk3 ,. (1.26). Defina o operador. onde k = (k1 , k2 , k3 ) e | k |= k1 + k2 + k3 . Definimos a norma H j por X k Dk u(x, y, z, t) k2 , k u(·, t) k2H j :=. (1.27). |k|≤j. onde j ∈ N ∪ {0}. Para u = (u, v, w), definimos k u k2H j := k u k2H j + k v k2H j + k w k2H j .. (1.28). Também definimos X. | u(·, t) |2H j :=. k Dk u(x, y, z, t) k2 .. (1.29). |k|=j. Se u = (u, v, w), temos | u |2H j := | u |2H j + | v |2H j + | w |2H j . Definimos a norma L4 de uma aplica¸cão u por Z 2π Z 2π Z 4 k u kL4 := 0. 0. 13. 2π 0. u4 dxdydz.. (1.30). (1.31).

(16) Seja u = (u, v, w). Então k u k4L4 := k u k4L4 + k v k4L4 + k w k4L4 .. (1.32). Definimos | ξ |H 1 ,T :=. sup {k ξ(·, t) kH 1 } ,. (1.33). 0≤t<T. onde ξ(·, 0) = rot u(·, 0), u = (u, v, w) e T > 0 é uma constante. Para qualquer j = 0, 1, 2, 3, ... denotamos Jk2 (t) = k Dxk u(·, t) k2 + k Dyk u(·, t) k2 + k Dzk u(·, t) k2 ,. (1.34). onde u = (u, v, w). A partir da norma do máximo definimos | u |∞,T :=. sup {| u(·, t) |∞ } ,. (1.35). 0≤t<T. onde u = (u, v, w) e T > 0 é uma constante.. 1.4. Resultados preliminares. 1 1 + = 1, onde 1 < p < ∞. p q Seja X um espa¸co mensurável, com medida µ. Sejam f e g fun¸c˜ oes mensuráveis sobre X, com imagem [0, ∞]. Então. Teorema 1.1 Sejam p e q conjugados expoentes, isto é,. ½Z. Z. p. f g dµ ≤. f dµ. ¾ p1 ½Z. X. X. q. g dµ. ¾ 1q. .. (1.36). X. A desigualdade (1.36) é denominada desigualdade de Hölder. Proposi¸c˜ ao 1.2 Dados dois n´ umeros reais positvos a e b. Então ab ≤. 1 p 1 q a + b, p q. (1.37). onde p e q s˜ ao expoentes conjugados. A desigualdade (1.37) é conhecida como desigualdade de Young. 14.

(17) Lema 1.3 Seja u ∈ C 1 [0, 1]. Então | u |2∞ ≤ k u k2 +2 k u kk ux k .. (1.38). Demonstra¸c˜ ao: Existem n´ umeros reais x1 e x2 , tais que ½ min{| u(x) |: 0 ≤ x ≤ 1} = | u(x1 ) |, max{| u(x) |: 0 ≤ x ≤ 1} = | u(x2 ) | . Suponhamos, sem perda de generalidade, que x1 < x2 . Portanto, Z x2 d 2 2 2 u (x1 ) − u (x2 ) = u (x)dx x1 dx Z x2 = 2 uux dx x1. ≤ 2(u, ux ) ≤ 2 k u kk ux k . Para todo x ∈ [0, 1], temos u2 (x2 ) ≤ u2 (x). Integrando de 0 a 1, Z. 1. 2. u (x2 ) ≤. u2 (x)dx. 0. = k u k2 . Logo, | u |2∞ ≤ u2 (x2 ) + 2 k u kk ux k ≤ k u k2 +2 k u kk ux k . 2 O Lema de Gronwall será muito utilizado. Portanto, nada é mais justo que prová-lo.. 15.

(18) Lema 1.4 Sejam y ∈ C 1 [0, T ], z ∈ C[0, T ] tais que y 0 (t) ≤ Cy(t) + z(t),. (1.39). para todo t ∈ [0, T ], onde C é uma constante não-negativa. Então, ½ ¾ Z t Ct y(t) ≤ e y(0) + | z(τ ) | dτ , ∀ t ∈ [0, T ]. 0. Demonstra¸c˜ ao: Defina f (t) = e−Ct y(t). Pela desigualdade (1.39), temos f 0 (t) = −ce−Ct y(t) + e−Ct y 0 (t) = e−Ct (y 0 (t) − Cy(t)) ≤ e−Ct z(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,. Z. t. f (t) − f (0) ≤. | z(τ ) | dτ. 0. Conseq¨ uentemente,. Z −Ct. e. y(t) − e. −C0. t. y(0) ≤. | z(τ ) | dτ, 0. ou seja,. ½ Ct. y(t) ≤ e. Z. ¾. t. y(0) +. | z(τ ) | dτ. , ∀ t ∈ [0, T ].. 0. 2 Em um determinado momento do Cap´ıtulo 2 precisaremos de uma versão não-linear do Lema de Gronwall. Essa versão é o Lema 1.5 Seja ϕ ∈ C 1 [0, ∞), e sejam y(t) e y0 (t) fun¸c˜ oes de classe C 1 , nãonegativas, definidas para todo t ∈ [0, T ]. Se ½ 0 y (t) ≤ ϕ(y(t)), y00 (t) = ϕ(y0 (t)), ∀ t ∈ [0, T ], (1.40) y(0) ≤ y0 (0), então y(t) ≤ y0 (t), ∀ t ∈ [0, T ].. 16.

(19) Demonstra¸c˜ ao: Sabemos pelo Teorema Fundamental do Cálculo que Z y ϕ(y) − ϕ(y0 ) = ϕ0 (v)dv y ½Z0 1 ¾ 0 = ϕ (y0 + (y − y0 )s)ds {y − y0 }. 0. Z. 1. Defina η(t) = y(t) − y0 (t) e c(t). ϕ0 (y0 (t) + (y(t) − y0 (t))s)ds. Logo,. 0. η 0 (t) = y 0 (t) − y00 (t) ≤ ϕ(y(t)) − ϕ(y0 (t)) = c(t)η(t). Agora, defina z(t) = e−. Rt 0. c(τ )dτ. η(t). Dessa forma,. z 0 (t) = −c(t)e−. Rt 0. c(τ )dτ. η(t) + e−. = [η 0 (t) − c(t)η(t)]e− ≤ 0.. Rt 0. Rt 0. c(τ )dτ 0. η (t). c(τ )dτ. Logo, z(t) é uma aplica¸caõ não-crescente. Usando o sistema (1.40), temos z(0) = = = = ≤. R0. e− 0 c(τ )dτ η(0) e0 η(0) η(0) y(0) − y0 (0) 0.. Assim, z(t) ≤ z(0) ≤ 0, ∀ t ∈ [0, T ]. Utilizando a defini¸caõ de z(t) conclu´ımos que η(t) ≤ 0, ∀ t ∈ [0, T ]. Equivalentemente, y(t) − y0 (t) = η(t) ≤ 0 ⇔ y(t) ≤ y0 (t), ∀ t ∈ [0, T ]. 2 O Lema a seguir é conhecido como Lema de Picard. 17.

(20) Lema 1.6 Seja (σ n (t)) uma seq¨ uência de aplica¸c˜ oes cont´ınuas não-negativas tais que Z t n+1 σ (t) ≤ α + β σ n (τ )dτ, ∀ t ∈ [0, T ], ∀ n ∈ N. 0. para α e β constantes não-negativas. Então σ n (t) ≤ α. n−1 k k X β t k=0. k!. +. β n tn max σ 0 (τ ), ∀ t ∈ [0, T ], ∀ n ∈ N. n! 0≤τ ≤t. Em particular, a seq¨ uência σ n (t) é uniformemente limitada no intervalo [0, T ], para cada T > 0. Se α = 0, então a seq¨ uência σ n (t) converge a 0 uniformemente em [0, T ]. Utilizaremos um resultado proviniente do Teorema de Arzela-Ascoli. Portanto, enunciaremos esse Teorema e em seguida sua aplica¸caõ. Teorema 1.7 Seja A ⊆ Rs um conjunto fechado, e denote uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes n um : A → C com as seguintes propriedades: 1. Para cada ² > 0, existe um δ > 0 independente de m tal que | um (y) − um (y0 ) | ≤ ², se y, y0 ∈ A e k y − y0 k ≤ δ. 2. Existe uma constante K > 0, independente de m, tal que | um (y) | ≤ K, para todo y ∈ A e todo m ∈ N. Então existe uma fun¸c˜ ao u : A → Cn e uma seq¨ uência de ´ındices mj → ∞ tais que ¯ ¯ lim max ¯umj (x, t) − u(x, t)¯ = 0. mj →∞ x,t. oes de classe C ∞ tais que um : Rs → Corol´ ario 1.8 Seja (um ) uma sequência de fun¸c˜ R para todo m ∈ N e ¯ ¯ p+q ¯ ¯ ∂ max ¯¯ p q um (x, t)¯¯ ≤ C(p, q), x,t ∂x ∂t 18.

(21) para cada p, q ∈ N∪{0}. Então existe uma fun¸c˜ ao u : Rs → R ∈ C ∞ e uma seq¨ uência de ´ındices mj → ∞ tais que ¯ p+q ¯ ¯ ∂ ¯ ∂ p+q ¯ lim max ¯ p q um (x, t) − p q u(x, t)¯¯ = 0, mj →∞ x,t ∂x ∂t ∂x ∂t para cada p, q ∈ N ∪ {0}. Em palavras, uma subseq¨ uência de (um ) converge uniformemente, juntamente com todas suas derivadas, a um limite C ∞ .. 1.5. Alguns resultados para equa¸co ˜es el´ıpticas. Lema 1.9 Se F : R2 → R é uma fun¸c˜ ao 2π-peri´ odica (em x, y) com (1, F ) = 0 ent˜ ao o sistema ½ ∆w = F, (1, w) = 0, tem uma u ńica solu¸c˜ ao w 2π-peri´ odica (em x, y). Além disso, existe uma constante K > 0, independente de F , tal que k w k2H 2 ≤ K k F k2 .. Demonstra¸c˜ ao: Representando as aplica¸co˜es F e w por suas respectivas séries de Fourier, obtemos X X ihk,xi Fb(k)eihk,xi , w(x, y) = w(k)e b , F (x, y) = k6=0. k6=0. onde k = (k1 , k2 ), x = (x, y), hk, xi = k1 x + k2 y. Observe que k 6= 0, pois o coeficiente de Fourier de F , por exemplo, é dado por Z 2π Z 2π 1 b F (x, y)e−ihk,xi dxdy. F (k) = (2π)2 0 0. 19.

(22) Logo, Z 2π Z 2π 1 F (x, y)e−ih0,xi dxdy Fb(0) = (2π)2 0 0 Z 2π Z 2π 1 = F (x, y)dxdy (2π)2 0 0 1 = (1, F ) = 0. (2π)2 Agora, note que, ∆w = wxx + wyy Ã Ã ! ! X X ihk,xi ihk,xi = Dx2 w(k)e b + Dy2 w(k)e b Ã = =. Dx1 X. k6=0. X. ihk,xi. w(k)e b. =. i · k1. k6=0 ihk,xi w(k)e b (−k12 ) +. X. Ã. +. Dy1. X. ! ihk,xi. w(k)e b. i · k2. k6=0 ihk,xi w(k)e b (−k22 ). k6=0. k6=0. X. k6=0. !. 2 w(k)(−k b 1. −. k22 )eihk,xi .. k6=0. Dessa forma, 2 2 b ∆w = F ⇔ w(k)(−k b 1 − k2 ) = F (k) Fb(k) ⇔ w(k) b = − 2 , k1 + k22. pois k 6= 0. Da´ı, w está unicamente determinada pelo coeficiente de Fourier da fun¸caõ F . Resta-nos provar a estimativa enunciada no Lema 1.9. Primeiramente, observe. 20.

(23) que Z (wxx , wyy ) = = = = = =. 2π. Z. 2π. wxx · wyy dxdy Z 2π Z 2π 2π [(wyy wx ) |0 − wx · wyy dx]dy 0 0 Z 2π Z 2π − wx · wyyx dxdy 0 0 Z 2π Z 2π − wx · wyxy dxdy 0 0 Z 2π Z 2π 2π − [(wx wxy ) |0 − wxy · wxy dx]dy 0 0 Z 2π Z 2π wxy · wxy dxdy 0. 0. 0. 0. = k wxy k2 ≥ 0, ou seja, (wxx , wyy ) ≥ 0. Da´ı, k wxx k2 ≤ = = =. k wxx k2 + k wyy k2 +2(wxx , wyy ) k wxx + wyy k2 k ∆w k2 k F k2 .. k wyy k2 ≤ = = =. k wxx k2 + k wyy k2 +2(wxx , wyy ) k wxx + wyy k2 k ∆w k2 k F k2 .. Analogamente,. 21.

(24) Portanto, k wxy k2 = = ≤ ≤. (wxy , wxy ) (wxx , wyy ) k wxx kk wyy k k F k2 .. Utilizando a desigualdade de Poincaré, conclu´ımos que k w k2H 2 = k w k2 + k wx k2 + k wy k2 +2 k wxy k2 + k wxx k2 + k wyy k2 ¡ ¢ ≤ 2 k wxy k2 +C k wxx k2 + k wyy k2 ≤ (2 + 2C) k F k2 , onde C é uma constante positiva. E finalmente, (1, w) = 0, devido à rela¸cão comprovada acima entre os coeficientes de Fourier de F e w, e a hipótese que (1, F ) = 0 . Desta maneira, conclu´ımos a prova do Lema 1.9. 2. Lema 1.10 Sejam F, G : R2 → R fun¸c˜ oes 2π-peri´ odicas (em x, y), de classe C ∞ , tais que ½ Gx − Fy = 0, (1, F ) = (1, G) = 0. Existe uma u ńica solu¸c˜ ao ϕ ∈ C ∞ de ½ ϕx = F, ϕy = G, (1, ϕ) = 0,. (1.41). tendo-se ϕ 2π-peri´ odica em x, y. A fun¸c˜ ao ϕ é também u ńica solu¸c˜ ao 2π-peri´ odica de ½ ∆ϕ = Fx + Gy , (1, ϕ) = 0.. 22.

(25) Demonstra¸c˜ ao: Como na prova do Lema 1.9, representamos as aplica¸co˜es F , G, ϕ por suas respectivas séries de Fourier, ou seja, X X X ihk,xi ihk,xi b F (x, y) = Fb(k)eihk,xi , G(x, y) = G(k)e e ϕ(x, y) = ϕ(k)e b , k6=0. k6=0. k6=0. onde k = (k1 , k2 ), x = (x, y), hk, xi = k1 x + k2 y. Por hipótese, sabemos que Gx − Fy = 0. Assim, b ik1 G(k) − ik2 Fb(k) = 0. Logo, b k1 G(k) − k2 Fb(k) = 0. Suponhamos que o sistema (1.41) é satisfeito. Então ( ik1 ϕ(k) b = Fb(k), b ik2 ϕ(k) b = G(k).. (1.42). (1.43). Multiplicando a primeira equa¸cão de (1.43) por −ik1 e a segunda por −ik2 , chegamos ao sistema ( k12 ϕ(k) b = −ik1 Fb(k), (1.44) 2 b k ϕ(k) b = −ik2 G(k). 2. Somando as equa¸cões do sistema (1.44), obtemos b k12 ϕ(k) b + k22 ϕ(k) b = −ik1 Fb(k) − ik2 G(k). Por conseguinte, b (k12 + k22 )ϕ(k) b = −i(k1 Fb(k) + k2 G(k)). Por fim, ϕ(k) b = −i. b k1 Fb(k) + k2 G(k) , (k12 + k22 ). 23. (1.45).

(26) pois k 6= 0. Reciprocamente, se ϕ(k) b é solu¸caõ de (1.45), temos b k12 Fb(k) + k1 k2 G(k) (k12 + k22 ) b k 2 Fb(k) + k2 k1 G(k) = 1 . (k12 + k22 ). ik1 ϕ(k) b = −i2. Pela equa¸caõ (1.42), conclu´ımos ik1 ϕ(k) b = = =. k12 Fb(k) + k2 k2 Fb(k) (k12 + k22 ) k 2 Fb(k) + k 2 Fb(k) 1. 2. (k12 + k22 ) (k 2 + k 2 )Fb(k) 1. 2. (k12 + k22 ). = Fb(k). Da´ı, ϕx = F . Analogamente, por (1.45), obtemos b k1 k2 Fb(k) + k22 2G(k) (k12 + k22 ) b k1 k2 Fb(k) + k22 G(k) = . (k12 + k22 ). ik2 ϕ(k) b = −i2. Utilizando novamente (1.42), temos ik2 ϕ(k) b = = =. b b k1 k1 G(k) + k22 G(k) 2 2 (k1 + k2 ) b b k12 G(k) + k22 G(k) (k12 + k22 ) b (k12 + k22 )G(k) (k12 + k22 ). b = G(k), ou seja, ϕy = G. Além disso, (1, ϕ) = 0, pois (1, F ) = (1, G) = 0. Com isso, o sistema (1.41) tem solu¸caõ u ńica ϕ devido à unicidade dos coeficientes das séries de Fourier 24.

(27) estabelecidas acima. Agora, note que, ∆ϕ = ϕxx + ϕyy = Fx + Gy . Logo, ∆ϕ = Fx + Gy . Por outro lado, (1, Fx + Gy ) = (1, Fx ) + (1, Gy ) = 0. Dessa forma, pelo Lema 1.9, conclui-se que ϕ é a u ńica solu¸caõ do sistema ½ ∆ϕ = Fx + Gy , (1, ϕ) = 0. Logo o Lema 1.10 está demonstrado.. 2. odicas (em x, y). Se (1, F ) = Lema 1.11 Sejam F, G : R2 → R (∈ C ∞ ) 2π-peri´ (1, G) = 0, então o sistema ½ ux + vy = F, (1.46) vx − uy = G, onde (1, u) = (1, v) = 0, admite uma u ńica solu¸c˜ ao (u, v). Além disso, para j = 1, 2, ... existe uma constante Kj > 0 independente de F , G, tal que ¡ ¢ k u k2H j + k v k2H j ≤ Kj | F |2H j−1 + | G |2H j−1 . (1.47). Demonstra¸c˜ ao: Suponha que o sistema (1.46) tem solu¸caõ. Provaremos que essa solu¸caõ é u ńica. Derivando a primeira equa¸cão de (1.46) em rela¸caõ a x, temos uxx + vyx = Fx .. (1.48). Em seguida, derivando a segunda equa¸cão de (1.46) em rela¸cão a y, encontramos vxy − uyy = Gy . 25. (1.49).

(28) Subtraindo a equa¸cão (1.49) da (1.48), obtemos uxx + vyx − vxy + uyy = Fx − Gy , isto é, ∆u = Fx − Gy . Analogamente, derivando a primeira equa¸caõ de (1.46) em rela¸cão a y, chegamos a uxy + vyy = Fy .. (1.50). Derivando a segunda equa¸cão de (1.46) em rela¸caõ a x, temos vxx − uyx = Gx .. (1.51). Somando as equa¸cões (1.50) e (1.51), conclu´ımos que uxy + vyy + vxx − uyx = Fy + Gx . Logo, ∆v = Fy + Gx . Dessa forma, se u e v são solu¸cões do sistema (1.46), então u e v satisfazem os sistemas ½ ∆u = Fx − Gy , (1.52) (1, u) = 0, e. ½. ∆v = Fy + Gx . (1, v) = 0,. (1.53). Assim a unicidade de u e v são garantidas pelo Lema 1.9. Agora vamos provar que u e v existem, para isso encontraremos uma forma adeq¨ uada de defini-las. Analogamente ao que foi feito na prova do Lema 1.9, trabalharemos com os coeficientes de Fourier de F , G, u e v. Utilizando a primeira equa¸caõ do sistema (1.52), temos b −k12 u b(k) − k22 u b(k) = ik1 Fb(k) − ik2 G(k). Conseq¨ uentemente, b (k12 + k22 )b u(k) = −i(k1 Fb(k) − k2 G(k)). 26.

(29) Por fim, u b(k) = −i. b k1 Fb(k) − k2 G(k) . k12 + k22. O mesmo processo pode ser aplicado a primeira equa¸cão do sistema (1.53). Assim, b −k12 vb(k) − k22 vb(k) = ik2 Fb(k) + ik1 G(k). Da´ı, b v (k) = −i(k2 Fb(k) + k1 G(k)). (k12 + k22 )b Por conseguinte, vb(k) = −i. b k2 Fb(k) + k1 G(k) . k12 + k22. Dessa forma, definimos u e v por seus coeficientes de Fourier  b k1 Fb(k) − k2 G(k)   b(k) = −i ;  u k12 + k22 b  k Fb(k) + k1 G(k)   vb(k) − i 2 . k12 + k22 Logo, u e v solucionam o sistema (1.46). Com efeito, k1 u b(k) = −i. b k12 Fb(k) − k1 k2 G(k) , k12 + k22. k2 vb(k) = −i. b k22 Fb(k) + k1 k2 G(k) . k12 + k22. e. Da´ı, ik1 u b(k) + ik2 vb(k) = = =. b b k12 Fb(k) − k1 k2 G(k) k22 Fb(k) + k1 k2 G(k) + k12 + k22 k12 + k22 k12 Fb(k) + k22 Fb(k) k12 + k22 (k 2 + k 2 )Fb(k) 2. 1. k12 + k22. = Fb(k), 27. (1.54).

(30) ou seja, ux + vy = F. Analogamente, ik1 vb(k) − ik2 u b(k) = =. b b k1 k2 Fb(k) + k12 G(k) k1 k2 Fb(k) − k22 G(k) − k12 + k22 k12 + k22 b b k 2 G(k) + k 2 G(k) 1. k12 (k12. +. 2 k22. b + k22 )G(k) 2 k1 + k22. b = G(k), isto é, vx − uy = G, onde (1, u) = (1, v) = 0, pois, (1, F ) = (1, G) = 0. Portanto, u e v solucionam o sistema (1.46) . Resta-nos provar a estimativa (1.47). Pelo sistema (1.54), obtemos ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ k Fb(k) − k G(k) ¯ ¯ k Fb(k) + k G(k) ¯ b b ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 2 1 |b u(k)|2 + |b v (k)|2 = ¯−i + −i ¯ ¯ ¯ 2 2 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ k1 + k2 k1 + k2 =. 1 2 b {|Fb(k)|2 + |G(k)| } |k|2. Portanto, a estimativa segue.. 2. Lema 1.12 Suponhamos que ξ = ξ(x, y, z) = (ξ1 (x, y, z), ξ2 (x, y, z), ξ3 (x, y, z)) satisfaz div ξ = 0, (1, ξi ) = 0, i = 1, 2, 3. Então o sistema     ξ1 w y − vz  uz − wx   ξ2   = (1.55) Lu :=    ξ3  ,  v x − uy 0 ux + vy + wz 28.

(31) com condi¸c˜ oes laterais (1, u) = (1, v) = (1, w) = 0 tem uma u ńica solu¸c˜ ao u. Para cada j = 1, 2, ..., existe uma constante Kj > 0 independente de ξ com k u k2H j ≤ Kj | ξ |2H j−1 .. Demonstra¸c˜ ao: Primeiro consideremos que há uma solu¸caõ para o sistema acima. Assim sendo, ∆u = ξ2z − ξ3y , ∆v = ξ3x − ξ1z , ∆w = ξ1y − ξ2x . Com efeito, ξ2z − ξ3y = (uz − wx )z − (vx − uy )y = uzz − wxz − vxy + uyy = −(wz + vy )x + uyy + uzz . Como ux + vy + wz = 0, então ξ2z − ξ3y = = = =. −(wz + vy )x + uyy + uzz −(−ux )x + uyy + uzz uxx + uyy + uzz ∆u.. ξ3x − ξ1z = = = = = =. (vx − uy )x − (wy − vz )z vxx − uyx − wyz + vzz −(wz + ux )y + vxx + vzz −(−vy )y + vxx + vzz vxx + vyy + vzz ∆v.. Analogamente,. 29.

(32) Por fim, ξ1y − ξ2x = = = = = =. (wy − vz )y − (uz − wx )x wyy − vzy − uzx + wxx −(vy + ux )z + wxx + wyy −(−wz )z + wxx + wyy wxx + wyy + wzz ∆w.. Esses resultados permitem conhecer os coeficientes da série de Fourier de ξ1 , ξ2 , ξ3 em fun¸caõ dos de u, v e w. De fato, suponha que os coeficientes de Fourier de u, v, w e ξj , j = 1, 2, 3, sejam, respectivamente, dados por: u b(k), vb(k), w(k), b ξbj (k), j = 1, 2, 3. Logo, ∆u = ξ2z − ξ3y ⇔ −k 2 u b(k) − k 2 u b(k) − k 2 u b(k) = ik3 ξb2 (k) − ik2 ξb3 (k). 1. 2. 3. Consequentemente, u b(k) = −i. k3 ξb2 (k) − k2 ξb3 (k) , k12 + k22 + k32. lembre que k 6= 0 pelo mesmo motivo do caso bidimensional. Analogamente, ∆v = ξ3x − ξ1z ⇔ −k 2 vb(k) − k 2 vb(k) − k 2 vb(k) = ik1 ξb3 (k) − ik3 ξb1 (k). 1. 2. 3. Da´ı, vb(k) − i. k1 ξb3 (k) − k3 ξb1 (k) . k12 + k22 + k32. Por fim, ∆w = ξ1y − ξ2x ⇔ −k12 w(k) b − k22 w(k) b − k32 w(k) b = ik2 ξb1 (k) − ik1 ξb2 (k). Da´ı, w(k) b −i. k2 ξb1 (k) − k1 ξb2 (k) . k12 + k22 + k32. Com isso, pode-se concluir que se o sistema é sol´ uvel é poss´ıvel provar a unicidade deste através dos coeficientes de Fourier das aplica¸cões u, v, w e ξj , onde j1, 2, 3. Reciprocamente, se forem definidas estas mesmas aplica¸co˜es em termos coeficientes de Fourier encontrados acima o sistema tem solu¸cão. A estimativa segue da rela¸cão existente entre os coeficientes de Fourier. 2. 30.

(33) 1.6. Descri¸c˜ ao f´ısica do sistema de Navier-Stokes. Seja x a posi¸cão de uma part´ıcula em um fluido contido em uma região D ⊆ R3 . Desejamos descrever a trajetória desta part´ıcula neste fluido. Seja x(t) = (x(t), y(t), z(t)). Assim, o campo velocidade u desta part´ıcula é u(x(t), y(t), z(t), t) = (x(t), ˙ y(t), ˙ z(t)), ˙ ou seja, u(x(t), t) =. dx (t). dt. Dessa forma, a acelera¸caõ da part´ıcula é dada por a(t) =. d u(x(t), t). dt. Pela regra de Leibniz, temos a(t) = ux x˙ + uy y˙ + uz z˙ + ut . A partir deste momento utilizaremos a seguinte nota¸caõ u(x, y, z, t) = (u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t)). Da´ı, a acelera¸caõ pode ser escrita como a(t) = uux + vuy + wuz + ut , isto é, a(t) = ∂t u + u · ∇u, onde ∂t u = ut e u · ∇u = uux + vuy + wuz . Defini¸c˜ ao 1.13 O operador D = ∂t + u · ∇ Dt é denominado derivada material. 31.

(34) Deste modo, a acelera¸caõ de uma part´ıcula em um fluido é dada por Du . Dt. a(t) =. Para cada tempo t > 0, admita que o fluido tem uma densidade bem-definida ρ(x, t). Deste modo, se W é uma subregião de D, a massa do fluido em W é dada pela integral Z m(W, t) = ρ(x, t)dV. W. Defini¸c˜ ao 1.14 Um fluido é denominado ideal quando satisfaz a seguinte propriedade: para qualquer movimento do fluido existe uma aplica¸c˜ ao p(x, t) chamada press˜ ao tal que se S é uma superf´ıcie no fluido com um vetor normal unitário n, a for¸ca de tensão exercida através da superf´ıcie S por unidade de área em x ∈ S no tempo t é p(x, t)n. ´ importante ressaltar que, no nossso caso, estamos interessados em fluidos com E viscosidade. Proposi¸c˜ ao 1.15 Seja W uma regi˜ ao no fluido ideal em um tempo particular t > 0. A for¸ca total exercida sobre o fluido dentro de W por meio da tensão sobre sua fronteira é Z S∂W = − pn dA, ∂W. onde S∂W = for¸ca sobre W . Seja a um vetor fixo. Pelo Teorema da divergência, temos Z a · S∂W = − pa · n dA Z∂W = − div(pa) dV W Z = − div(pa) dV W Z = − (grad p) · a dV. W. Como a é arbitrário, então. Z S∂W = −. grad p dV. W. 32.

(35) Defini¸c˜ ao 1.16 Seja b(x, t) a for¸ca externa por unidade de massa atuando sobre o fluido. A for¸ca externa total numa regi˜ ao W do fluido devido ao campo b(x, t) é dada por Z B = − ρb dV. W. Dessa forma, em qualquer ponto do fluido a for¸ca exercida por unidade de volume é dada por −grad p + ρb. Utilizando a segunda Lei de Newton obtemos uma forma diferenciada da Lei do Balan¸co do Momento ρ. Du = −grad p + ρb. Dt. Descrevemos a trajetória de uma part´ıcula em um fluido por uma aplica¸caõ suave ϕ(x, t). Se W é uma subregião da região D, então ϕt (W ) = Wt é o volume de W movendo com o fluxo. A aplica¸cão ϕt é definida por x 7→ ϕ(x, t), para um tempo t ≥ 0 fixo. Com isso, estamos aptos a enunciar o Teorema do Transporte, isto é, o Teorema 1.17 Para qualquer aplica¸c˜ ao f = f (x, t), temos Z Z d Df ρf dV = dV. ρ dt Wt Wt Dt Defini¸c˜ ao 1.18 Dizemos que um fluido é incompress´ıvel quando div u = 0. Defini¸c˜ ao 1.19 Um fluido é homogêneo se ρ = constante em todo espa¸co. Pelo Teorema do transporte, da divergência e o balan¸co do momento é poss´ıvel provar que as equa¸cões de Navier-Stokes são ρ. Du = −∇p + (λ + µ)∇(div u) + µ∆u, Dt. (1.56). 1 onde λ e λ + µ são constantes denominadas primeiro coeficiente de viscosidade e 3 segundo coeficiente de viscosidade, respectivamente. Esta equa¸cão descreve o fluxo 33.

(36) de um fluido viscoso. Se o fluxo em questão for incompress´ıvel e homogêneo, então ρ = c = constante, e conseq¨ uentemente, as equa¸co˜es de Navier-Stokes se tornam  Du   = −grad p’ + ν∆u, Dt (1.57)   div u = 0, µ p é denominado coeficiente de viscosidade cinemática, e p0 = . Para uma c c discussão mais detalhada, ver [1]. onde ν =. 34.

(37) Cap´ıtulo 2 Equa¸c˜ ao de Burgers com viscosidade A Equa¸caõ de Burgers que irá ser estudada é ut = uux + ²uxx , onde u(x) ≡ u(x + 1), para todo x ∈ R e u é de classe C ∞ . Consideremos o problema de valor inicial e de fronteira da Equa¸caõ de Burgers ½ ut = uux + ²uxx , (2.1) u(x, 0) = f (x), onde f ∈ C ∞ , f (x) ≡ f (x + 1) e ² = constante > 0 é a viscosidade. Provaremos que esse problema tem uma u ńica solu¸caõ global.. 2.1. Unicidade de solu¸co ˜es. Teorema 2.1 O problema (2.1) tem no máximo uma solu¸c˜ ao clássica (peri´ odica). Demonstra¸c˜ ao: Suponha que u, v : R × [0, ∞) → R são solu¸co˜es do sistema (2.1). A inten¸caõ é provar que u e v são idênticas. Seja w = u − v. Conseq¨ uentemente, devemos provar que w é a fun¸cão nula. Com efeito, já que u e v solucionam (2.1), temos ut = uux + ²uxx , vt = vvx + ²vxx . 35.

(38) Assim, subtraindo as duas equa¸cões acima conclu´ımos que wt = uux + ²uxx − (vvx + ²vxx ) = uux − vvx + ²(uxx − vxx ). Defina α := u + v. Logo, 1 1 (αw)x = [(u + v)(u − v)]x 2 2 1 2 = [u − v 2 ]x 2 1 = [2uux − 2vvx ] 2 = uux − vvx . Portanto, wt = uux − vvxx + ²(uxx − vxx ) 1 = (αw)x + ²wxx . 2 Note que Z. 1. w(αw)x dx Z 1 1 = (αw, w)|0 − wαwx dx 0 Z 1 = − wαwx dx. (w, (αw)x ) =. 0. 0. = −(w, αwx ). Como (w, (αw)x ) = (w, αx w + αwx ) = (w, αx w) + (w, αwx ) = (w, αx w) − (w, (αw)x ), então (w, (αw)x ) = 36. 1 (w, αx w). 2. (2.2).

(39) Dessa forma, 1d 1 (w, w) = [2 · (w, wt )] 2 dt 2 = (w, wt ) ¶ µ 1 = w, (αw)x + ²wxx 2 µ ¶ 1 = w, (αw)x + ² (w, wxx ) 2 · ¸ 1 1 = (w, αx w) + ²(w, wxx ) 2 2 1 = (w, αx w) + ²(w, wxx ). 4 Integrando por partes, Z. 1. (w, wxx ) =. wwxx dx 0. =. Z. (w, wx )|10 Z. 1. −. wx wx dx 0. 1. = −. wx wx dx 0. = −(wx , wx ). Deste modo, obtemos 1d 1 (w, w) = (w, αx w) + ²(w, wxx ) 2 dt 4 1 = (w, αx w) − ²(wx , wx ) 4 1 ≤ (w, αx w) 4 1 | αx |∞ k w k2 ≤ 4 1 = | αx |∞ (w, w). 4 Seja T > 0 um tempo arbitrário, porém fixo. Assim sendo, | αx (·, t) |∞ ≤ K(T ), para 0 ≤ t ≤ T, 37.

(40) onde K(T ) é uma constante dependendo de T . Por conseguinte, d 1 k w(·, t) k2 ≤ K(T ) k w(·, t) k2 , para 0 ≤ t ≤ T. dt 2 Pelo Lema de Gronwall, inferimos que 1. k w(·, t) k2 ≤ e 2 K(T )t k w(·, 0) k2 = 0, para 0 ≤ t ≤ T, pois w(x, 0) = u(x, 0) − v(x, 0) = f (x) − f (x) = 0. Como T é arbitrário, conclu´ımos que w(·, t) = 0, ∀ t ≥ 0. Portanto, u(·, t) = v(·, t), ∀ t ≥ 0. 2. 2.2. Estimativas a priori. Supondo que existe uma solu¸cão u do sistema (2.1), provaremos algumas estimativas para u e suas derivadas. Lema 2.2 Existem um tempo T > 0 e uma constante K2 > 0, ambas dependendo somente de k f kH 2 , com a seguinte propriedade: se uma solu¸c˜ ao u(x, t) (peri´ odica) do sistema (2.1) é definida para 0 ≤ t ≤ T , então k u(·, t) kH 2 ≤ K2 , em 0 ≤ t ≤ T.. Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos que u seja uma solu¸caõ do sistema (2.1). Assim sendo, desejamos controlar as normas L2 das aplica¸cões u, ux e uxx por constantes, que 38.

(41) dependem somente de k f kH 2 , em algum intervalo de tempo que será determinado no decorrer da demonstra¸cão. Para isso, tome o produto interno de u com a primeira equa¸caõ do sistema (2.1). Da´ı, 1d (u, u) = (u, ut ) 2 dt = (u, uux + ²uxx ) = (u, uux ) + ²(u, uxx ). Observe que 1 (u, uux ) = − (u, ux u). 2 Logo, (u, uux ) = 0. Por conseguinte, 1d (u, u) = 2 dt = = = ≤. (u, uux ) + ²(uxx , u) ²(uxx , u) −²(ux , ux ) −² k ux k2 0.. Logo d k u(·, t) k2 ≤ 0. dt Integrando de 0 a t, obtemos k u(·, t) k ≤ k u(·, 0) k = k f k .. (2.3). Ou seja, conseguimos controlar a norma L2 de u por uma constante que depende somente da norma H 2 de f . Como u é periódica, vale a seguinte desigualdade de Poincaré k ux k ≤ C k uxx k, 39. (2.4).

(42) onde C é uma constante positiva. Assim, se controlarmos a norma L2 da aplica¸caõ uxx encontraremos uma cota superior para a norma L2 da fun¸caõ ux . Dessa forma, derivando a primeira equa¸cão do sistema (2.1) duas vezes em rela¸cão a x obtemos uxxt = (uux )xx + ²uxxxx . Logo, tomando o produto interno com uxx , 1d (uxx , uxx ) = 2 dt = = = = ≤ = = = =. (uxx , uxxt ). (uxx , (uux )xx + ²uxxxx ) (uxx , (uux )xx ) + ²(uxx , uxxxx ) (uxx , (uux )xx ) − ²(uxxx , uxxx ) (uxx , (uux )xx ) − ² k uxxx k2 (uxx , (uux )xx ) (uxx , (ux ux + uuxx )x ) (uxx , uxx ux + ux uxx + ux uxx + uuxxx ) (uxx , 3ux uxx + uuxxx ), 3(uxx , ux uxx ) + (uxx , uuxxx ) 1 = 3(uxx , ux uxx ) − (uxx , ux uxx ) 2 5 (uxx , ux uxx ). = 2. Assim, utilizando a equa¸caõ (1.38) e a desigualdade de Pincaré (2.4), d k uxx k2 ≤ 5(uxx , ux uxx ) dt ≤ 5 | ux |∞ k uxx k2 1. ≤ 5C k uxx k (k ux k2 +2 k ux kk uxx k) 2 1. ≤ 5C k uxx k (C k uxx k2 +C k uxx k2 ) 2 ≤ 5C k uxx kk uxx k2 ≤ 5C k uxx k3 . Para estimar k uxx k, utilizaremos o Lema 1.5. Deste modo, defina 3. y(t) = k uxx (·, t) k2 , ϕ(y(t)) = 5Cy(t) 2 . 40.

(43) Assim sendo, y 0 (t) ≤ ϕ(y(t)). Agora, analisemos o seguinte sistema  3  y00 (t) = 5Cy02 (t), . (2.5). 2. y0 (0) =k fxx k .. Observe que y0 (t) é não-decrescente. De fato, 3. y00 (t) = 5Cy02 (t) ≥ 0. Logo, como y0 (0) > 0, temos que y0 (t) > 0 para t ≥ 0. A solu¸cão do sistema (2.5) é y0 (t) = µ. 1 5Ct 1 − + 2 k fxx k. ¶2 .. Assim, lim y0 (t) =. t→T∞. lim2. µ. t→ 5Ckf. xx k. = ∞, onde T∞ :=. 1 1 5Ct + − 2 k fxx k. ¶2. 2 > 0. Agora, defina 5C k fxx k T :=. 1 < T∞ , 5C k fxx k. (2.6). note que T depende somente de k f kH 2 . Dessa forma pelo Lema 1.5 conclu´ımos que y(t) ≤ y0 (t), para 0 ≤ t ≤ T < T∞ , ou seja, k uxx (·, t) k ≤. p. y0 (t), para 0 ≤ t ≤ T < T∞ . 41.

(44) Como y0 (t) é não-decrescente, então k uxx (·, t) k ≤. p. y0 (T ).. Mas, p. 1 1 + kfxx k 1 = 1 − 2kf1xx k + kfxx k. y0 (T ) =. − 5C T 2. = 2 k fxx k . Da´ı, k uxx (·, t) k ≤ 2 k fxx k, ∀ t ∈ [0, T ].. (2.7). Portanto, a norma L2 de uxx é controlada por uma constante que depende somente da norma H 2 de f , conseq¨ uentemente, a de ux também é, pela desigualdade de Poincaré (2.4). Com isso, as desigualdades (2.3), (2.4) e (2.7) implicam k u(·, t) k2H 2 = ≤ ≤ ≤. k u k2 + k ux k2 + k uxx k2 k f k2 +C k uxx k2 + k uxx k2 k f k2 +C k fxx k2 C k f k2H 2 , ∀ t ∈ [0, T ].. Desta maneira finalizamos a prova do Lema 2.2.. 2. A partir deste momento o nosso interesse é conseguir estimativas para todas as derivadas espaciais de u no mesmo intervalo de tempo do Lema 2.2. Assim sendo, enunciemos o ao C ∞ (peri´ odica) do sistema (2.1) definida Lema 2.3 Suponha que u é uma solu¸c˜ para 0 ≤ t ≤ T , onde T está definido em (2.6). Para cada j = 2, 3, ... existe uma constante Kj > 0 dependendo somente de k f kH j , com k u(·, t) kH j ≤ Kj , ∀ t ∈ [0, T ].. 42.

(45) Demonstra¸c˜ ao: Para demonstrar esse resultado vamos utilizar indu¸caõ sobre j. O caso j = 2 foi provado no Lema 2.2. Suponhamos que a desigualdade acima seja válida para j − 1. Vamos provar que o Lema continua verdadeiro para j. Aplicando o operador Dxj (ver nota¸caõ (1.1)) ao sistema (2.1) obtemos  j  Dx ut = Dxj (uux ) + ²Dxj+2 u, . Dxj ut (·, 0) = Dxj f.. Portanto, 1d j (D u, Dxj u) = (Dxj u, Dxj ut ) 2 dt x = (Dxj u, Dxj (uux ) + ²Dxj+2 u) = (Dxj u, Dxj (uux )) + ²(Dxj u, Dxj+2 u). Integrando por partes, temos (Dxj u, Dxj+2 u). Z. 1. = 0. =. Dxj uDxj+2 udx Z. (Dxj u, Dxj+1 u) |10 Z. 1. = − 0. 1. − 0. Dxj+1 uDxj+1 udx. Dxj+1 ux Dxj+1 ux dx. = −(Dxj+1 u, Dxj+1 u) = −(Dxj+1 u, Dxj+1 u) = − k Dxj+1 u k2 . Logo, 1d j (D u, Dxj u) = (Dxj u, Dxj (uux )) − ² k Dxj+1 u k2 . 2 dt x A regra de Leibniz nos diz que ¶ j µ X j j Dx (uux ) = Dxν uDxj+1−ν u, para todo j ∈ N ∪ {0}. ν ν=0. Dessa forma, para estimar (Dxj u, Dxj (uux )) analisaremos o produto interno (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u), em três casos: 43. (2.8). (2.9).

(46) 1. Primeiramente, consideremos que ν = 1, 2, ..., j − 2. Logo, pelas desigualdades (1.38) e (2.4), obtemos (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u) ≤ ≤ ≤ ≤. | Dxν u |∞ k Dxj u kk Dxj+1−ν u k | Dxν u |∞ k u kH j k u kH j | Dxν u |∞ k u k2H j C k Dxν+1 u kk u k2H j .. Como ν ≤ j − 2, então ν + 1 ≤ j − 1. Por conseguinte, (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u) ≤ C k u kH j−1 k u k2H j . 2. Se ν = j − 1 ou ν = j, temos (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u) ≤ | Dxj+1−ν u |∞ k Dxj u kk Dxν u k ≤ | Dxj+1−ν u |∞ k u k2H j . Novamente pelas desigualdades (1.38) e (2.4), conclu´ımos que (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u) ≤ | Dxj+1−ν u |∞ k u k2H j ≤ C k Dxj+2−ν u kk u k2H j . Como ν = j ≥ 3 ou ν = j − 1 ≥ 2, então ν ≥ 3. Assim, j + 2 − ν ≤ j − 1. Com isso, (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u) ≤ C k u kH j−1 k u k2H j . 3. Se ν = 0, obtemos (Dxj u, Dx0 uDxj+1−0 u) = (Dxj u, uDxj+1 u) = −(((Dxj u)u)x , Dxj u). Esta u ´ltima igualdade é facilmente verificada. De fato, integrando por partes, Z 1 j j+1 (Dx u, uDx u) = (Dxj u)u(Dxj u)dx 0 Z 1 j j 1 = ((Dx u)u, Dx u) |0 − ((Dxj u)u)x (Dxj u)dx 0 Z 1 = − ((Dxj u)u)x (Dxj u)dx 0. = −(((Dxj u)u)x , Dxj u). 44.

(47) Portanto, (Dxj u, uDxj+1 u) = −(((Dxj u)u)x , Dxj u) = −((Dxj+1 u)u + (Dxj u)ux , Dxj u) = −((Dxj+1 u)u, Dxj u) − ((Dxj u)ux , Dxj u). Por isso, 2(Dxj u, uDxj+1 u) = −((Dxj u)ux , Dxj u). Deste modo, pelas desigualdades (1.38) e (2.4), 1 (Dxj u, uDxj+1 u) = − ((Dxj u)ux , Dxj u) 2 1 ≤ | ux |∞ k Dxj u k2 2 ≤ C k uxx kk u k2H j ≤ C k u kH j−1 k u k2H j , pois j−1 ≥ 2. Dessa forma, fica estabelecido o caso 3. Agora, de posse das estimativas encontradas nos três casos, substituimos a expressão (2.8) em (2.9). Por conseguinte, Ã ! ¶ j µ X 1d j j (D u, Dxj u) = Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u − ² k Dxj+1 u k2 ν 2 dt x ν=0 j µ X j ¶ ≤ (Dxj u, Dxν uDxj+1−ν u) ν ν=0 ¶ j µ X j ≤ C k u kH j−1 k u k2H j . ν ν=0. Portanto, d k Dxj u k2 ≤ Cj k u kH j−1 k u k2H j , dt onde Cj > 0 depende de j. Pela hipótese de indu¸caõ, k u kH j−1 ≤ Kj−1 , onde Kj−1 depende somente de k f kH j−1 . 45.

(48) Assim, d k Dxj u k2 ≤ Cj k u kH j−1 k u k2H j dt = Cj k u kH j−1 (k u k2H j−1 + k Dxj u k2 ) 2 ≤ Cj Kj−1 (Kj−1 + k Dxj u k2 ) ≤ Kj−1 (1+ k Dxj u k2 ), ∀ t ∈ [0, T ], onde Kj−1 = Kj−1 (k f kH j−1 ). Note que, o tempo T > 0 é o definido em (2.6). Pelo Lema de Gronwall (Lema 1.4), temos µ ¶ Z t 2 2 Kj−1 t j j k Dx u(·, t) k ≤ e k Dx u(·, 0) k + Kj−1 dτ Kj−1 T. ≤ e (k Kj−1 T ≤ e (k. 0 j 2 Dx u(·, 0) k +Kj−1 T ) Dxj f k2 +Kj−1 T ), ∀ t. ∈ [0, T ].. Por fim k u k2H j. = k u k2H j−1 + k Dxj u k2 2 ≤ Kj−1 + eKj−1 T (k Dxj f k2 +Kj−1 T ) =: Kj2 , ∀ t ∈ [0, T ],. onde Kj = Kj (k f kH j ), pois T = T (k f kH 2 ) e Kj−1 = Kj−1 (k f kH j−1 ). Logo, k u(·, t) kH j ≤ Kj , ∀ t ∈ [0, T ] e Kj depende somente de k f kH j . Assim, encerramos a prova do Lema 2.3.. 2. Uma consequência importante do Lema 2.3 é que as derivadas mistas ∂ p+q u(x, t) , ∀ p, q ∈ N ∪ {0}. ∂xp ∂tq também podem ser estimadas no intervalo de tempo [0, T ]. Por exemplo, o sistema (2.1) nos diz que ut = uux + ²uxx .. 46.

(49) Logo, | ut | = ≤ ≤ ≤. | uux + ²uxx | | uux | +² | uxx | | u || ux | +² | uxx | C, ∀ t ∈ [0, T ],. onde C > 0 depende somente de k f kH 2 . Derivando a primeira equa¸caõ do sistema (2.1) em rela¸caõ a x, temos utx = (uux )x + ²uxxx = ux ux + uuxx + ²uxxx . Logo, | utx | = | ux ux + uuxx + ²uxxx | ≤ | ux ux | + | uuxx | +² | uxxx | ≤ | ux || ux | + | u || uxx | +² | uxx |. Dessa forma, é poss´ıvel estimar todas as derivadas mistas de u. Pelo Lema 1.3, temos | u |2∞ ≤ k u k2 +2 k u kk ux k . Da´ı, | u |2∞ ≤ C 2 k ux k2 +2C k ux k2 ≤ C k ux k 2 , ou seja, | u |∞ ≤ C k ux k . A seguinte estimativa é importante: | u |∞ ≤ C k ux k ≤ C k u kH 2 ≤ K2 , ∀ [0, T ]. 47. (2.10).

(50) onde a desigualdade (2.10) foi utilizada e K2 = K2 (k f kH 2 ) > 0 é uma constante. Agora, consideremos uma seq¨ uencia (un ) de fun¸co˜es periódicas definida indutivamente 0 por u ≡ f e ½ n+1 ut = un un+1 + ²un+1 x xx , (2.11) un+1 (x, 0) = f (x), n = 0, 1, 2, ... , Lema 2.4 Existe T1 = T1 (k f kH 2 ) > 0 tal que k un (·, t) kH 2 ≤ 2 k f kH 2 , ∀ t ∈ [0, T1 ], ∀ n ∈ N ∪ {0}.. Demonstra¸c˜ ao: Provaremos esse Lema por indu¸cão sobre n. Para n = 0 o resultado é óbvio. Denote w = un e v = un+1 . Portanto, suporemos que o resultado é válido para w e provaremos, a partir disto, que o mesmo pode ser dito a respeito de v. Nesta nova nota¸cão, o sistema (2.11) se torna ½ vt = wvx + ²vxx , (2.12) v(x, 0) = f (x). Portanto, 1d (v, v) = 2 dt = = = = ≤ = ≤ ≤ ≤. (v, vt ) (v, wvx + ²vxx ) (v, wvx ) + ²(v, vxx ) (v, wvx ) − ²(vx , vx ) (v, wvx ) − ² k vx k2 (v, wvx ) 1 − (v, wx v) 2 1 | w x |∞ k v k 2 2 1 C k wxx kk v k2 2 1 C k w kH 2 k v k2H 2 . 2. Logo, d k v k2 ≤ C k w kH 2 k v k2H 2 . dt 48.

(51) Derivando a primeira equa¸cão do sistema (2.12) em rela¸cão x, obtemos vxt = (wvx )x + ²vxxx . Conseq¨ uentemente, 1d (vx , vx ) = 2 dt = = = = ≤. (vx , vxt ) (vx , (wvx )x + ²vxxx ) (vx , (wvx )x ) + ²(vx , vxxx ) (vx , (wvx )x ) − ²(vxx , vxx ) (vx , (wvx )x ) − ² k vxx k2 (vx , (wvx )x ).. Pela equa¸caõ (2.2), (vx , (wvx )x ) =. 1 (vx , wx vx ). 2. Logo, 1d 1 k vx k 2 ≤ | wx |∞ k vx k2 2 dt 2 ≤ C k wxx kk vx k2 ≤ C k w kH 2 k v k2H 2 . Analogamente, derivando a equa¸cão (2.13) em rela¸caõ a x, temos que vxxt = (wvx )xx + ²vxxxx . Por um racioc´ınio análogo, 1d (vxx , vxx ) = 2 dt = = = = ≤ = = =. (vxx , vxxt ) (vxx , (wvx )xx + ²vxxxx ) (vxx , (wvx )xx ) + ²(vxx , vxxxx ) (vxx , (wvx )xx ) − ²(vxxx , vxxx ) (vxx , (wvx )xx ) − ² k vxxx k2 , (vxx , (wvx )xx ) (vxx , (wx vx + wvxx )x ) (vxx , wxx vx + wx vxx + wx vxx + wvxxx ) (vxx , wxx vx + 2wx vxx + wvxxx ), 49. (2.13).

(52) ou seja, d (vxx , vxx ) = dt = = ≤ ≤ ≤ = ≤. 2(vxx , wxx vx ) + 4(vxx , wx vxx ) + 2(vxx , wvxxx ) 2(vxx , wxx vx ) + 4(vxx , wx vxx ) − (vxx , wx vxx ) 2(vxx , wxx vx ) + 3(vxx , wx vxx ) 2 | vx |∞ k vxx kk wxx k +3 | wx |∞ k vxx k2 C k vxx kk vxx kk wxx k +3 | wx |∞ k v kH 2 C k v kH 2 k wxx k +3 | wx |∞ k v kH 2 C k v k2H 2 k wxx k C k w kH 2 k v k2H 2 .. Dessa forma, pela hipótese de indu¸cão, d d d d k v k2H 2 = k v k2 + k vx k2 + k vxx k2 dt dt dt dt ≤ C k w kH 2 k v k2H 2 ≤ C k un kH 2 k v k2H 2 ≤ C k f kH 2 k v k2H 2 , ∀ t ∈ [0, T1 ], já que k un (·, t) kH 2 ≤ 2 k f kH 2 , ∀ t ∈ [0, T1 ]. Aplicando o Lema de Gronwall, conclu´ımos k v(·, t) k2H 2 ≤ ≤ ≤ ≤. eCkf kH 2 t {k v(·, 0) k2H 2 } eCkf kH 2 t {k un+1 (·, 0) k2H 2 } eCkf kH 2 t {k f k2H 2 } eCkf kH 2 T1 {k f k2H 2 }.. Escolha T1 > 0, menor se necessário, tal que eCkf kH 2 T1 ≤ 4. Dessa forma, k un+1 (·, t) k2H 2 ≤ eCkf kH 2 T1 {k f k2H 2 } ≤ 4 k f k2H 2 , ∀ t ∈ [0, T1 ]. Portanto, k un (·, t) kH 2 ≤ 2 k f kH 2 , ∀ t ∈ [0, T1 ], ∀ n ∈ N. 50.

(53) O que conclui a prova do Lema 2.4. 2 n A seguir, demonstraremos que todas as derivadas espaciais de u , para todo n ∈ N, podem ser estimadas no intervalo de tempo [0, T1 ], com T1 determinado no Lema 2.4. Lema 2.5 Para cada j = 2, 3, ..., existe Kj > 0 tal que k un (·, t) kH j ≤ Kj , ∀ t ∈ [0, T1 ], ∀ n ∈ N ∪ {0}. A constante Kj depende de k f kH j , mas é independente de n (e de ² > 0). Demonstra¸c˜ ao: Para provarmos este resultado utilizaremos indu¸caõ sobre j. Para j = 2, este resultado segue do Lema 2.4. Seja j ≥ 3 e defina w = un e v = un+1 . Suponha que, k w kH j−1 ≤ Kj−1 , k v kH j−1 ≤ Kj−1 , ∀ t ∈ [0, T1 ]. Aplicando o operador Dxj ao sistema (2.12), conclu´ımos que  j  Dx vt = Dxj (wvx ) + ²Dxj+2 v, . Dxj vt (·, 0) = Dxj f.. Logo, 1d j (Dx v, Dxj v) = 2 dt = = = = ≤. (Dxj v, Dxj vt ) (Dxj v, Dxj (wvx ) + ²Dxj+2 v) (Dxj v, Dxj (wvx )) + ²(Dxj v, Dxj+2 v) (Dxj v, Dxj (wvx )) − ²(Dxj+1 v, Dxj+1 v) (Dxj v, Dxj (wvx )) − ² k Dxj+1 v k2 (Dxj v, Dxj (wvx )).. Pela regra de Leibniz, temos que Dxj (wvx ). ¶ j µ X j = Dxν wDxj+1−ν v. ν ν=0. 51. (2.14).

(54) Logo, Ã ! ¶ j µ X d j k Dxj v k2 ≤ 2 Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v ν dt ν=0 j µ X j ¶ ≤ 2 (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) ν ν=0 j. ≤ Cj. X. (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v),. ν=0. onde Cj > 0 depende de j. 1. Se ν = 1, 2, 3, ..., j − 2, então (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) ≤ | Dxν w |∞ k Dxj v kk Dxj+1−ν v k ≤ C k Dxν+1 w kk Dxj v kk Dxj+1−ν v k . Como ν + 1 ≤ j − 1, então pela primeira desigualdade em (2.14), temos k Dxν+1 w k ≤ k w kH j−1 ≤ Kj−1 . Observe que j + 1 − ν ≤ j. Logo, pela desigualdade de Poincaré, k Dxj+1−ν v k ≤ Cj k Dxj v k, onde Cj > 0 é depende de j. Dessa forma, (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) ≤ Cj Kj−1 k Dxj v kk Dxj v k = Cj Kj−1 k Dxj v k2 . 2. Agora, se ν = j − 1, então utilizando o fato que j ≥ 3, temos (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) = = ≤ ≤ ≤ 52. (Dxj v, Dxj−1 wDxj+1−(j−1) v) (Dxj v, (Dxj−1 w)vxx ) | vxx |∞ k Dxj v kk Dxj−1 w k Cj k w kH j−1 k vxxx kk Dxj v k Cj Kj−1 k Dxj v k2 ..

(55) 3. Se ν = j, (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) = (Dxj v, Dxj wDxj+1−j v) = (Dxj v, (Dxj w)vx ). Como j − 1 ≥ 2, (Dxj v, (Dxj w)vx ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤. | vx |∞ k Dxj v kk Dxj w k C k vxx kk Dxj v kk Dxj w k C k v kH j−1 k Dxj v kk Dxj w k CKj−1 k Dxj v kk Dxj w k CKj−1 (k Dxj v k2 + k Dxj w k2 ).. 4. Resta somente estudarmos o caso em que ν = 0. Nesse caso, (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) = (Dxj v, wDxj+1−0 v) = (Dxj v, wDxj+1 v) 1 = − (Dxj v, wx Dxj v) 2 1 ≤ | wx |∞ k Dxj v k2 2 ≤ C k wxx kk Dxj v k2 ≤ Cj k w kH j−1 k Dxj v k2 ≤ Cj Kj−1 k Dxj v k2 , isto é, (Dxj v, wDxj+1 v) ≤ Cj Kj−1 k Dxj v k2 . Portanto, estabelecemos o caso 4. Usando as estimativas encontradas nos quatro casos acima, obtemos j. X d k Dxj v k2 ≤ Cj (Dxj v, Dxν wDxj+1−ν v) dt ν=0 ≤ Cj Kj−1 k Dxj v k2 +Cj Kj−1 k Dxj v k2 +Cj Kj−1 (k Dxj v k2 + k Dxj w k2 ) ≤ Kj (k Dxj v k2 + k Dxj w k2 ), ∀ t ∈ [0, T1 ], Kj = Kj (k f kH j−1 ). 53.

(56) Pelo Lema de Gronwall, conclu´ımos que ½ ¾ Z t j 2 Kj t j 2 j 2 k Dx v(·, t) k ≤ e k Dx v(·, 0) k + | Kj k Dx w(·, τ ) k | dτ 0 ¾ ½ Z t j 2 j 2 Kj t ≤ e k Dx v(·, 0) k + Kj k Dx w(·, τ ) k dτ 0 ¾ ½ Z t 2 2 Kj T1 j j ≤ e k Dx f k +Kj k Dx w(·, τ ) k dτ 0 ½ ¾ Z t j 2 j 2 ≤ Kj k Dx f k + k Dx w(·, τ ) k dτ . 0. Dessa forma, k. Dxj un+1 (·, t). 2. k. ½ Z j 2 ≤ Kj k Dx f k +. ¾. t. k 0. Dxj un (·, τ ). 2. k dτ. , ∀ t ∈ [0, T1 ].. Aplicando o Lema de Picard (ver Lema 1.6), conclu´ımos que a seq¨ uência (Dxj un (·, t)) é uniformemente limitada para todo t ∈ [0, T1 ], isto é, existe uma constante λj ≥ 0 que depende de k Dxj f k , mas independe de n e de ² > 0, tal que k Dxj un (·, t) k ≤ λj , ∀ t ∈ [0, T1 ], n = 0, 1, .... Por conseguinte, k un k2H j. = k un k2H j−1 + k Dxj un k2 2 ≤ Kj−1 + λ2j =: Kj2 , ∀ t ∈ [0, T1 ],. onde Kj = Kj (k f kH j ). Com isso, o Lema 2.5 está provado.. 2. O Lema 2.5 nos permite estimar a seq¨ uência (un ) juntamente com todas as suas derivadas mistas. Ou seja, aplicando o Lema 2.5, ¯ p+q ¯ ¯ ∂ ¯ n ¯ ¯ ≤ C(p, q), ∀ t ∈ [0, T1 ]. u (x, t) (2.15) ¯ ∂xp ∂tq ¯ Note também que, a seq¨ uência (Dxj un ) está limitada na norma do máximo. Com efeito, | Dxj un |∞ ≤ C k Dxj+2 un k ≤ C k un kH j+2 ≤ CKj+2 , ∀ t ∈ [0, T1 ], onde Kj+2 = Kj+2 (k f kH j+2 ) > 0. 54.

(57) 2.3. Existˆ encia local de solu¸c˜ oes. Teorema 2.6 Seja T1 = T1 (k f kH 2 ) determinado como no Lema 2.4. Para qualquer ² > 0, o sistema (2.1) tem uma u ńica solu¸c˜ ao peri´ odica u(x, t) de classe C ∞ definida para todo t ∈ [0, T1 ]. Demonstra¸c˜ ao: Seja (un ) a seq¨ uência definida indutivamente no sistema (2.11) e n+1 n n denote v = u − u e w = u − un−1 . Portanto, vt = = = = =. − unt un+1 t n−1 n + ²un+1 ux − ²unxx un un+1 xx − u x n − un unx + un unx − un−1 unx + ²un+1 un un+1 xx − ²uxx x n un (un+1 − unx ) + unx (un − un−1 ) + ²(un+1 xx − uxx ) x un vx + unx w + ²vxx .. Além disso, v(x, 0) = un+1 (x, 0) − un (x, 0) = f (x) − f (x) = 0. Resumindo, temos ½. vt = un vx + unx w + ²vxx , v(x, 0) = 0.. Com isso, pelo Lema 2.5, temos 1d k v k2 = (v, vt ) 2 dt = (v, un vx + unx w + ²vxx ) = (v, un vx ) + (v, unx w) + ²(v, vxx ) 1 = − (v, unx v) + (v, unx w) − ²(vx , vx ) 2 1 = − (v, unx v) + (v, unx w) − ² k vx k2 2. 55. (2.16).

(58) onde K2 = K2 (k f kH 2 ) é independente de n. Portanto, 1 1d k v k2 ≤ − (v, unx v) + (v, unx w) 2 dt 2 1 n ≤ | u |∞ k v k2 + | unx |∞ k v kk w k 2 x ≤ C k unxx k (k v k2 + k v kk w k) ≤ K2 (k v k2 + k w k2 ), ∀ t ∈ [0, T1 ]. onde K2 = K2 (k f kH 2 ) é independente de n. Usando o Lema de Gronwall, ½ ¾ Z t 2 2K2 t 2 2 k v(·, t) k ≤ e k v(·, 0) k + | 2K2 k w(·, τ ) k | dτ 0 Z t ≤ K k w(·, τ ) k2 dτ, ∀ t ∈ [0, T1 ], 0. onde K = K(k f kH 2 ) é independente de n. Portanto, Z t n+1 n 2 k u (·, t) − u (·, t) k ≤ K k un (·, τ ) − un−1 (·, τ ) k2 dτ, ∀ t ∈ [0, T1 ]. 0. Assim, pelo Lema de Picard, temos lim (un+1 − un ) = 0, uniformemente,. n→∞. e, além disso, (un ) é de Cauchy. Como L2 é um espa¸co métrico completo, então lim un = u ∈ L2 .. n→∞. Utilizando o Corolário 1.8, a estimativa dada em (2.15) nos permite concluir que un → u ∈ C ∞ e que as derivadas mistas de un convergem às respectivas derivadas mistas da aplica¸cão u, isto é, ∂ p+q n ∂ p+q u (x, t) = u(x, t), ∀ p, q ∈ N ∪ {0}. n→∞ ∂xp ∂tq ∂xp ∂tq lim. Deste modo, fazendo n tender a infinito no sistema (2.11), temos ( n+1 = lim (un un+1 lim un+1 x ) + ² lim uxx , t n→∞. n→∞. lim un+1 (x, 0) = f (x).. n→∞. 56. n→∞.

(59) Portanto, ½. ut = uux + ²uxx , u(x, 0) = f (x),. ou seja, o sistema (2.1) tem uma u ńica solu¸cão u (periódica) de classe C ∞ no intervalo [0, T1 ]. 2. 2.4. Existˆ encia global de solu¸c˜ oes. Nesta se¸caõ estenderemos o intervalo de existência da u ńica solu¸cão da equa¸caõ de Burgers. Para isso, utilizaremos o Teorema da existência local juntamente com as estimativas provadas nas se¸co˜es anteriores. Lema 2.7 Seja u uma solu¸c˜ ao C ∞ do sistema (2.1) no intervalo [0, T ]. Então | u(·, t) |∞ ≤ | u(·, 0) |∞ , ∀ t ∈ [0, T ].. Demonstra¸c˜ ao: Seja λ > 0 uma constante e defina v(x, t) = e−λt u(x, t), onde u é a solu¸caõ do sistema (2.1) no intervalo [0, T ]. Assim, vt = = = = = =. (e−λt u(x, t))t e−λt ut − λe−λt u e−λt (ut − λu) e−λt (uux + ²uxx − λu) ue−λt ux + ²e−λt uxx − λe−λt u uvx + ²vxx − λv,. isto é vt = uvx + ²vxx − λv.. (2.17). Suponha, por absurdo, que a aplica¸cão v(x, t) assume um máximo em (x0 , t0 ), com v(x0 , t0 ) > 0 e que 0 < t0 ≤ T . Dessa forma, vt (x0 , t0 ) ≥ 0, vx (x0 , t0 ) = 0, vxx (x0 , t0 ) ≤ 0. 57.

(60) Todavia, pela equa¸caõ (2.17), temos 0 ≤ vt (x0 , t0 ) = u(x0 , t0 )vx (x0 , t0 ) + ²vxx (x0 , t0 ) − λv(x0 , t0 ) < 0, o que é uma contradi¸caõ. Logo, t0 = 0. Portanto, um máximo positivo só pode ocorrer quando t = 0. De maneira análoga, podemos mostrar que um m´ınimo negativo só pode acontecer em t = 0. Desse modo, | v(·, t) |∞ ≤ | v(·, 0) |∞ , ∀ t ≥ 0. Isto é equivalente a | e−λt u(x, t) |∞ ≤ | e−0·λ u(x, 0) |∞ , ∀ t ≥ 0, ou seja, e−λt | u(x, t) |∞ ≤ | u(x, 0) |∞ , ∀ t ≥ 0. Fazendo λ → 0, obtemos | u(x, t) |∞ ≤ | u(x, 0) |∞ = | f |∞ , ∀ t ≥ 0. 2 Teorema 2.8 Seja f = f (x) uma fun¸c˜ ao C ∞ com per´ıodo 1, e denote u ∈ C ∞ a solu¸c˜ ao peri´ odica do sistema (2.1) no intervalo [0, T ]. Existe uma constante K > 0, dependendo apenas de k f kH 2 (e ² > 0), mas independente de T , com k u(·, t) kH 2 ≤ K, ∀ t ∈ [0, T ].. (2.18). Demonstra¸c˜ ao: Para estimarmos a norma H 2 de u precisamos estimar a norma L2 das aplica¸co˜es u, ux e uxx . Como u é solu¸caõ do sistema (2.1) no intervalo [0, T ], então 1d (u, u) = (u, ut ) 2 dt = (u, uux + ²uxx ) = (u, uux ) + ²(u, uxx ) = −²(ux , ux ) = −² k ux k2 . 58.

(61) Logo, d k u(·, t) k2 ≤ −2² k ux (·, t) k2 ≤ 0. dt Integrando de 0 a t, temos Z t 2 2 2 − k u(·, 0) k ≤ k u(·, t) k − k u(·, 0) k ≤ −2² k ux k2 ≤ 0. (2.19) 0. Dessa maneira,.  Z    2²   . t. k ux (·, τ ) k2 dτ ≤ k u(·, 0) k2 , (2.20). 0. k u(·, t) k2 ≤ k u(·, 0) k2 ,. para todo t ∈ [0, T ]. Encontremos uma estimativa para norma L2 da aplica¸cão ux . Derivando o sistema (2.1) em rela¸cão a x, temos ½ uxt = (uux )x + ²uxxx , ux (·, 0) = fx . Assim, 1d k ux k2 = 2 dt = = = ≤. (ux , uxt ) (ux , (uux )x + ²uxxx ) (ux , (uux )x ) + ²(ux , uxxx ) −(uxx , uux ) − ²(uxx , uxx ) | u |∞ k uxx kk ux k −² k uxx k2 ,. Como para todo ² > 0 temos que | u |∞ k ux kk uxx k ≤. 1 ² | u |2∞ k ux k2 + k uxx k2 . 2² 2. Então aplicando o Lema 2.7, obtemos 1 d k ux k 2 ≤ | u |2∞ k ux k2 +² k uxx k2 −2² k uxx k2 dt ² 1 = | u |2∞ k ux k2 −² k uxx k2 ² 1 | f |2∞ k ux k2 −² k uxx k2 . ≤ ² 59.

(62) Assim, Z t. ¶ 1 2 2 2 | f |∞ k ux (·, τ ) k −² k uxx (·, τ ) k dτ ² 0 Z t Z t 1 2 2 ≤ | f |∞ k ux (·, τ ) k dτ − ² k uxx (·, τ ) k2 dτ. ² 0 0. d k ux (·, τ ) k2 dτ ≤ dt. 0. Z tµ. Portanto, 2. k ux (·, t) k − k ux (·, 0) k. 2. 1 ≤ | f |2∞ ². Z. Z. t. t. 2. k ux (·, τ ) k dτ − ² 0. k uxx (·, τ ) k2 dτ.. 0. Aplicando a primeira desigualdade em (2.20), conclu´ımos que Z t Z t 1 2 2 2 2 k uxx (·, τ ) k2 dτ k ux (·, τ ) k dτ − ² k ux (·, t) k ≤ k ux (·, 0) k + | f |∞ ² Z t 0 Z t 0 C ≤ k fx k 2 + k fx k 2 k ux (·, τ ) k2 dτ − ² k uxx (·, τ ) k2 dτ ² 0 0 C 2 2 1 2 ≤ k fx k + k fx k k f k , ∀ t ∈ [0, T ] ² 2² Logo max k ux (·, t) k2 ≤ k fx k2 +. 0≤t≤T. C 1 k fx k2 k f k2 . ² 2². (2.21). Observe que 2. k ux (·, T ) k. 1 ≤ k fx k + | f |2∞ ². Z. Z. T. 2. T. 2. k ux (·, τ ) k dτ − ² 0. k uxx (·, τ ) k2 dτ.. 0. Portanto, usando a primeiraequa¸cão do sistema (2.20), temos Z. T. ² 0. Z T 1 2 k ux (·, τ ) k2 dτ − k ux (·, T ) k2 k uxx (·, τ ) k dτ ≤ k fx k + | f |∞ ² 0 Z T C 2 2 k ux (·, τ ) k2 dτ ≤ k fx k + k fx k ² 0 C 1 ≤ k fx k 2 + k fx k 2 k f k2 . ² 2² 2. 2. 60.

(63) Realizando cálculos análogos para uxx , é poss´ıvel mostrar que Z t Z t 25 2 2 2 2 k uxx (·, τ ) k dτ − ² k uxxx (·, τ ) k2 dτ. k uxx (·, t) k ≤ k uxx (·, 0) k + | f |∞ ² 0 0 De fato, derivando o sistema (2.1) duas vezes em rela¸cão a x, obtemos ½ uxxt = (uux )xx + ²uxxxx , uxx (·, 0) = fxx . Da´ı, pelo Lema 2.7, 1d (uxx , uxx ) = 2 dt = = = = = = = ≤. (uxx , uxxt ). (uxx , (uux )xx + ²uxxxx ) (uxx , (uux )xx ) + ²(uxx , uxxxx ) (uxx , (uux )xx ) − ² k uxxx k2 (uxx , uuxxx + 3uxx ux ) − ² k uxxx k2 (uxx , uuxxx ) + 3(uxx , uxx ux ) − ² k uxxx k2 (uxx , uuxxx ) − 6(uxx , uuxxx ) − ² k uxxx k2 − 5(uxx , uuxxx ) − ² k uxxx k2 5 | u |∞ k uxx kk uxxx k −² k uxxx k2 √ 5 ≤ √ | f |∞ k uxx k ² k uxxx k −² k uxxx k2 ² 25 ² ≤ | f |2∞ k uxx k2 + k uxxx k2 −² k uxxx k2 2² 2 25 ² = | f |2∞ k uxx k2 − k uxxx k2 . 2² 2. Logo, integrando de 0 a t, temos Z t Z t 25 2 2 k uxx (·, t) k ≤ k uxx (·, 0) k + | f |∞ k uxx (·, τ ) k dτ − ² k uxxx (·, τ ) k2 dτ. ² 0 0 Z T 2 Analogamente, max k uxx (·, t) k e ² k uxxx (·, τ ) k2 dτ podem ser estimados por 2. 2. 0≤t≤T. 0. constantes que dependem somente de k f kH 2 . Com isso, k u kH 2 ≤ K, 61.

(64) onde K = K(k f kH 2 ) é independente de T . Isto conclui a prova do Teorema 2.8. 2 Vamos provar o Teorema da existência de solu¸co˜es globais para o sistema (2.1). Esse é o ńica solu¸c˜ ao 1-peri´ odica Teorema 2.9 Seja f ∈ C ∞ . O sistema (2.1) tem uma u u ∈ C ∞ definida para todo t ∈ [0, ∞). Demonstra¸c˜ ao: Pelo Teorema 2.6, sabemos que existe T1 > 0 e uma aplica¸caõ ∞ u ∈ C que é solu¸caõ do sistema (2.1) para todo t ∈ [0, T1 ]. E, pelo Teorema 2.8, conclu´ımos que existe K > 0, tal que k u(·, t) kH 2 ≤ K, ∀ t ∈ [0, T1 ].. (2.22). k u(·, T1 ) kH 2 ≤ K.. (2.23). Em particular,. Agora, considere a fun¸caõ x 7→ u(x, T1 ), e considere o sistema (2.1) com essa condi¸caõ inicial. Novamente pelo Teorema 2.6, existe T2 > 0 dependendo somente da norma H 2 de u(x, T1 ) e uma solu¸cão v ∈ C ∞ do sistema (2.1) no intervalo [0, T2 ], com condi¸caõ inicial u(x, T1 ). Pelo Teorema 2.8, temos k v(·, t) kH 2 ≤ K, ∀ t ∈ [0, T2 ], a constante K é a constante que foi encontrada na desigaldade (2.22), basta observar a desigualdade (2.23). Em particular, k v(·, T2 ) kH 2 ≤ K. Agora, defina a aplica¸caõ w por ½ u(·, t), se 0 ≤ t ≤ T1 ; w(·, t) = v(·, t − T1 ), se T1 ≤ t ≤ T1 + T2 . Afirmamos que w é de classe C ∞ e é solu¸caõ do sistema (2.1) para t ∈ [0, T1 + T2 ]. Além disso, k w(·, T1 + T2 ) kH 2 ≤ K. Para provar esses fatos, primeiro note que essa aplica¸caõ está bem definida, pois v(·, T1 − T1 ) = v(·, 0) = u(·, T1 ). 62.

(65) Como u(·, t) e v(·, t − T1 ) são de classe C ∞ nos intervalos [0, T1 ] e [T1 , T1 + T2 ], respectivamente, então provar que w(·, t) ∈ C ∞ é equivalente a mostrar que Dtj w(·, t) existe e é cont´ınua no ponto t = T1 , para todo j = 0, 1, 2, .... Assim sendo, demonstraremos apenas a continuidade de Dtj w(·, t) no ponto t = T1 realizando indu¸cão sobre j. Se j = 1, temos lim+. h→0. w(·, T1 + h) − w(·, T1 ) v(·, h) − v(·, 0) = lim+ h→0 h h = vt (·, 0).. Por outro lado, lim−. h→0. w(·, T1 + h) − w(·, T1 ) u(·, T1 + h) − u(·, T1 ) = lim− h→0 h h = ut (·, T1 ).. Como u e v são solu¸co˜es da primeira equa¸caõ do sistema (2.1) nos intervalos [0, T1 ] e [0, T2 ], respectivamente, temos ut (·, T1 ) = u(·, T1 )ux (·, T1 ) + ²uxx (·, T1 ) = v(·, 0)vx (·, 0) + ²vxx (·, 0) = vt (·, 0). Com isso, wt (·, T1 ) = ut (·, T1 ) = vt (·, 0), isto é, a fun¸caõ wt existe e é cont´ınua em t = T1 . Agora, suponhamos que Dtj w existe e é cont´ınua no ponto t = T1 . Observe que, Dtj w(·, T1 + h) − Dtj w(·, T1 ) Dtj v(·, h) − Dtj v(·, 0) lim = lim+ h→0+ h→0 h h j+1 = Dt v(·, 0). Por outro lado, lim−. h→0. Dj u(·, T1 + h) − Dtj u(·, T1 ) Dtj w(·, T1 + h) − Dtj w(·, T1 ) = lim− t h→0 h h j+1 = Dt u(·, T1 ). 63.

(66) Porém, aplicando o operador Dtj à primeira equa¸caõ do sistema (2.1), temos Dtj+1 u = Dtj (uux ) + ²Dtj uxx . Pela regra de Leibniz, Dtj (uux ). =. j µ ¶ X j k=0. k. Dtk uDtj−k ux .. Dessa forma, pela hipótese de indu¸cão, conclu´ımos j µ ¶ X j j Dt (uux )(·, T1 ) = Dtk u(·, T1 )Dtj−k ux (·, T1 ) k k=0 j µ ¶ X j = Dtk v(·, 0)Dtj−k vx (·, 0) k =. k=0 Dtj (vvx )(·, 0).. Assim, obtemos Dtj+1 u(·, T1 ) = Dtj (uux )(·, T1 ) + ²Dtj uxx (·, T1 ) = Dtj (vvx )(·, 0) + ²Dtj vxx (·, 0) = Dtj+1 v(·, 0). Portanto, Dtj+1 w(·, T1 ) = Dtj+1 u(·, T1 ) = Dtj+1 v(·, 0). Deste modo, Dtj+1 w existe e é cont´ınua em t = T1 . O que conclui a indu¸caõ. Portanto, w é uma aplica¸cão de classe C ∞ e é solu¸cão do sistema (2.1) no intervalo de tempo t ∈ [0, T1 + T2 ], pois u e v o são nos intervalos [0, T1 ] e [0, T2 ], respectivamente. Note que, k w(·, T1 + T2 ) kH 2 = k v(·, T2 ) kH 2 ≤ K. Considere, agora, a fun¸cão x 7→ w(·, T1 + T2 ). Pelo Teorema 2.6 e pela demonstra¸caõ do Lema 2.4, existe uma u ńica solu¸caõ z de classe C ∞ do sistema (2.1) no intervalo de tempo t ∈ [0, T2 ], tal que z(·, 0) = w(·, T1 + T2 ). Assim, pelo Teorema 2.8, k z(·, t) kH 2 ≤ K, ∀ t ∈ [0, T2 ]. 64.