Uso do gráfico c para dados de contagem autocorrelacionados

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DEPARTAMENTO DE ESTAT´ISTICA CURSO DE ESTAT´ISTICA

FIDEL HENRIQUE FERNANDES

USO DO GR ´AFICO C PARA

DADOS DE CONTAGEM AUTOCORRELACIONADOS

NATAL/RN 2015

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USO DO GR ´AFICO C PARA

DADOS DE CONTAGEM AUTOCORRELACIONADOS

Monografia de gradua¸cão apresentada ao Departamento de Estat´ıstica do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Univer-sidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito para a obten¸cão do grau de bacharel em Estat´ıstica.

Orientador:

Prof. Dr . Pledson Guedes de Medeiros Co-Orientador:

Prof. Dr. Marcelo Bourguignon Pereira

NATAL/RN 2015

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Agrade¸co aos meus pais Flavianildo Henrique Fernandes e Maria Adêjanes Fer-nandes Henrique e ao meu irmão Fred pelo apoio, incentivo e preocupa¸cão com a minha Educa¸cão, e me fizeram perceber que o estudo necessário para a minha forma¸cão profis-sional, agrade¸co pela persistência em continuar no curso de Estat´ıstica, apesar de não ser de muito conhecimentos para eles.

Infelizmente alguns familiares eram contra a minha permanência no curso, pois viam como um curso de pouco reconhecimento na sociedade, a verdade é que, indepen-dente do curso que esteja o que vale é a persistência para poder seguir uma carreira vencedora, com esse inconveniente me fez acreditar ainda mais no meu potencial para poder terminar o curso.

Aos demais familiares que me ajudaram direta e indiretamente e me deram incen-tivo.

Aos meus amigos e companheiros que estiveram presentes na minha jornada de quatro anos do in´ıcio ao fim do curso. Em especial aos amigos Francim´ario, Inara, Joyce, Elias, Andr´e, Kalil e Ramiro.

Agrade¸co ao PET, pelas tardes de estudo junto com meus companheiros compar-tilhando conhecimento.

Ao meu orientador Dr. Pledson Guedes de Medeiros, por ter aceitado ser meu orientador e me ajudado desde o in´ıcio do curso. Se não fosse pela persistência dele em melhorar o curso de Estat´ıstica, talvez não estivesse no curso hoje.

Ao professor Marcelo Bouguignon por ter aceitado o convite de participar da banca examinadora e tamb´em por ser meu Co-orientador, e por ter disponibilizado os dados para aplica¸c˜ao.

Ao professor Andr´e Pinho por ter aceitado convite de participar da banca exami-nadora.

Aos Excelentes professores do Departamento de Estat´ıstica pelas aulas ministra-das, que me ajudaram bastante a ter o conhecimento necess´ario para concluir a minha gradua¸c˜ao.

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A classe dos modelos INARMA é bem adequada para modelar a estrutura e a auto-correla¸cão de processos com marginais Poisson, no contexto de controle estat´ıstico de qualidade. Processos de contagem surgem em diversas situa¸cões, concentraremos no uso do modelo para uma sequência estacionária de valores inteiros (processos de contagem auto regressivos de ordem 1 [INAR(1)],que são processos estocásticos mutuamente inde-pendentes com particular relevância para o gráfico de controle. Considerando o cenário de dados de contagem autocorrelacionados, este trabalho propõe monitorar processos de contagem sob o modelo INAR(1), através do uso gráfico c (gráfico de controle para mo-nitorar o número de não – conformidades da amostra) modificando os limites de controle usuais e adaptando o uso desse modelo ao gráfico (c), também faremos uma análise de sensibilidade do modelo através de simula¸cões do NMA, número de amostras que exce-dem o limite de controle, para diferentes combina¸cões dos parâmetros do gráfico. Essas perturba¸cões e análises dos parâmetros reproduzem o que foi feito em Weiβ(2007) porém inclu´ımos casos adicionais α = 0.9α0, α = 1.1α0, λ = 0.9λ0 e λ = 1.1λ0. Inclu´ımos

tamb´em, na simula¸c˜ao os casos em que α0 = 0. Os resultados mostram que a

autocor-rela¸cão provoca, nos gráficos de controle c, uma sinaliza¸cão mais tardia, quando este sofre alguma perturba¸cão de −20% e −10%. Já quando estamos lidando com uma perturba¸cão de +20% na autocorrela¸cão, o gráfico detecta rápido a mudan¸ca, a medida que o número de não - conformidades aumenta. Por fim, aplicamos a metodologia estudada para um conjunto de dados reais referente à contagem de endere¸cos de IP.

Palavras-Chave: Controle Estat´ıstico de Qualidade, Gr´afico c, INAR(1), INARMA, IP, NMA, Poisson e thinning binomial.

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The class of ARMA models is more appropriate for modeling the structure and the au-tocorrelation processes marginal poisson the statistical quality control context. Counting processes arise in many situations encountered in using the model for a stationary se-quence of integer values in order 1 (INAR (1)) which are mutually independent stochastic processes with particular relevance to the control chart. Considering the context of auto-correlated count data, this paper proposes monitor counting of cases under the the INAR model (1) through c graphic use (control chart to monitor the number of non-conformities sample) modifying the usual control limits and adapting the use of this model to the c chart, Also we will make a model of sensitivity analysis through simulation of NMA, which aims to identify which number of samples execede the control limit for different chart combinations. These disorders and parameters of the analyzes reproduce what was done in Weiβ(2007) but included additional cases α = 0.9α0, α = 1.1α0, λ = 0.9λ0 and

λ = 1.1λ0. Also included in the simulation cases where α0 = 0. The results show that the

autocorrelation causes the graphic control a delayed signal c, when it suffers some distur-bance −20% and −10%, but when dealing with a perturbation +20% the autocorrelation measure that the average number of non - compliance increases, graphic fast detects the change. Finally, we applied the methodology studied for a set of data relating to the actual IP address count.

Keywords: Statistical Quality Control, Graphic c, INAR(1), INARMA, IP, NMA, Pois-son e binomial thinning.

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1 NMAs considerando uma mudan¸ca em λ. . . 27 2 NMAs considerando uma mudan¸ca em α. . . 29 3 NMAs considerando uma mudan¸ca em α e λ por´em _1−αλ constante . . . 30

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1 NMA considerando uma mudan¸ca em λ, para λ0 = 1 e λ0 = 3. . . 28

2 Dados de IP . . . 32

3 Dados de IP. . . 33

4 Dados de IP com outlier . . . 34

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LISTA DE TABELAS 8

LISTA DE FIGURAS 9

1 Introdu¸c˜ao 11

2 Aplica¸c˜ao do Modelo INAR 12

3 Objetivo 12

3.1 Objetivos Gerais . . . 12

3.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 13

3.3 Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . 13

3.4 Software utilizado . . . 13

4 Gráfico de controle c para não-conformidades 13 4.1 Desempenho dos Gráficos de Controle . . . 15

5 Modelo INAR(1) para dados de contagem autocorrelacionados 16 5.1 Operador Thinning Binomial . . . 17

6 O Modelo INAR(1) 18 6.1 Interpreta¸c˜ao . . . 20

6.2 Estacionariedade . . . 21

7 Gr´afico de controle c modificado para dados de contagem autocorrela-cionados 22 7.1 Limites de Controle . . . 25

8 Simula¸cão e Resultados 25 8.1 Desempenho do Gráfico c sob autocorrela¸cão . . . 25

8.2 Aplica¸c˜ao em um conjunto de dados reais . . . 31

8.3 Ajustando os Limites de Controle - Com Outlier . . . 34

8.4 Ajustando os Limites de Controle - Sem Outlier . . . 35

9 Considera¸c˜oes Finais 36 9.1 Sugest˜oes para trabalhos futuros . . . 37

Referˆencias 38

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1 Introdu¸

c˜

ao

O CEP (Controle Estat´ıstico de Processos) é uma área de estudo que trata do monitoramento de processos, na qual estabelece informa¸cão permanente sobre o compor-tamento do processo, possui uma poderosa cole¸cão de ferramentas úteis na obten¸cão da estabilidade do processo através da deteçcão das causas que geram instabilidade.

O gráfico de controle é uma das técnicas principais do controle estat´ıstico de pro-cesso, baseando-se em plotar medidas de uma caracter´ıstica de qualidade do processo versus tempo (ou o número de amostras), sendo uma ferramenta muito útil no monitora-mento do processo. Quando fontes não-usuais de variabilidade estão presentes, os pontos serão plotadas fora dos limites de controle, ver Montgomery (2004) para maiores detalhes. Processos de dados de contagem surgem em muitas situa¸cões diferentes no CEP. Na Indústria de transforma¸cão, por exemplo, monitorar o número de defeitos ou não - conformidades por unidade é de interesse em um processo de produ¸cão, enquanto na indústria de servi¸cos monitorar o número de reclama¸cões em um determinado per´ıodo de tempo é uma caracter´ıstica importante da qualidade. A distribui¸cão marginal de tais processos de contagem muitas vezes pode ser modelada por uma distribui¸cão de Poisson com média λ, na qual o λ > 0 (Weiβ, 2007). Se as variáveis aleatórias que compõem o processo seguirem uma distribui¸cão discreta, o processo é dito de marginal discreta e são conhecidos como processos de contagem ou processos de valores inteiros, (Bourguignon, 2011).

A distribui¸cão Poisson é uma base padrão para o ajuste de dados de contagem, supondo a distribui¸cão marginal Poisson ser estacionária no estado de controle. Com isso, o gráfico c proposto por Shewhart é extremamente utilizado na prática e é também conhecido como gráfico do número de não-conformidades, visto que monitora o número de não - conformidades na amostra. É importante não confundir os termos não-conforme e não-conformidades. O número de itens não-conforme refere-se ao produto defeituoso, e pode ser modelado pela distribui¸cão Binomial e o número de não-conformidades refere-se a defeitos em um produto, e pode ser modelado pela distribui¸cão Poisson.

A suposi¸cão mais importante relativa aos gráficos de controle é a de independência. Entretanto, processos de contagem provenientes da fabrica¸cão ou servi¸co de indústria muitas vezes apresentam autocorrela¸cão. A autocorrela¸cão pode ser compreendida como um mecanismo existente no processo, que faz com que os dados não sejam independentes entre si ao longo do tempo ver Silva (2012). Referente ao uso do gráfico c, podemos inferir que o número de não-conformidades de um determinado item pode ser influenciada pelo mesmo item em tempos diferentes, logo pode-se modificar os gráficos existentes de controle, de tal modo que eles podem ser aplicados diretamente aos dados de contagem autocorrelacionados.

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intei-ros não negativos e, em particular, séries de contagens. Os modelos usuais, quer lineares quer não lineares, para séries temporais não são neste caso adequados pois o produto de uma constante real por uma variável aleatória de valor inteiro produz uma variável aleatória real, ver Bourguignon (2011). Al-Osh e Alzaid (1987) recorreram à opera¸cão thinning binomial definida por Steutel e Van Harn (1979) para substituir a opera¸cão de multiplica¸cão usual e propuseram o modelo autoregressivo de valores Inteiros (INAR). O modelo INAR respeita a caracter´ıstica de contagem dos dados, retornando em suas simula¸cões apenas valores inteiros não negativos, obtendo em suas modelagens e previsões os valores que acompanham as séries de contagem. Os modelos INAR explicam as ca-racter´ısticas da série apenas com os dados da própria série, baseado nas caracter´ısticas probabil´ısticas destes.

Assim, justifica-se a proposta de realizar um estudo do controle estat´ıstico de quali-dade, utilizando-se dos modelos de séries temporais para o tratamento de variáveis discre-tas de não-conformidades autocorrelacionadas para dados de contagem, e a apresenta¸cão e discussão do uso do gráfico c, submetidas ao modelo (INAR).

2 Aplica¸

c˜

ao do Modelo INAR

Franke e Seligmann (1993), Freeland e McCabe (2004). No mercado, os modelos de contagem são muito utilizados em problemas de comportamento de compra, em que a quantidade de venda de um produto segue uma distribui¸cão discreta, além disso, trata-se de uma variável inteira não-negativa, tratando da classe de modelos INAR. Outra aplica¸cão bastante encontrada diz respeito ao problema de migra¸cão, que trata a série de número de pessoas residentes num local determinado. Em economia, é comum estudar os números de a¸cões vendidas em um per´ıodo de tempo.

3 Objetivo

3.1 Objetivos Gerais

O objetivo geral desta monografia é modelar o número de não conformidades na amostra para dados de contagem autocorrelacionados para ser visto no gráfico c, através do modelo de sequências estacionárias de valores inteiros (processos de contagem de ordem 1 INAR(1)), modificando os limites de controle usuais e adaptando o uso desse modelo ao gráfico c.

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3.2 Objetivos Espec´ıficos

• Verificar o efeito da autocorrela¸cão para diferentes combina¸cões dos parâmetros nos limites de controle.

• Analisar o desempenho através de simula¸cões do NMA, o número médio de amostras até detectar mudan¸ca no processo, para diferentes mudan¸cas na média

• Aplicar as metodologias estudadas para um conjunto de dados reais. Os dados foram tirados do artigo de Weiβ (2007).

3.3 Organiza¸

c˜

ao do Trabalho

Esta monografia é dividida em sete cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 2, iremos mostrar o gráfico de controle c usual para o número de não - conformidades, sem a presen¸ca de autocorrela¸cão.

No Cap´ıtulo 3, será feita uma introdu¸cão sobre o processo autorregressivo de valores inteiros de ordem 1 [INAR(1)] e do operador thinnning binomial, que será de extrema importância para o entendimento dos demais cap´ıtulos.

No Cap´ıtulo 4, será realizada a demonstra¸cão do gráfico de controle c modificado para dados de contagem autocorrelacionados, através da fun¸cão geradora de probabili-dade, e feita a representa¸cão dos limites de controle.

No Cap´ıtulo 5, será apresentado o método de simula¸cão, sendo medido o desempe-nho do gráfico c sob autocorrela¸cão e apresentados os resultados numéricos encontrados. No Cap´ıtulo 6, será feita uma aplica¸cão em um conjunto de dados reais e por fim, são apresentadas as conclusões no Cap´ıtulo 7.

Para manter a uniformidade do padr˜ao matem´atico da sa´ıda do R, optou-se utilizar “.” no lugar de “,”.

3.4 Software utilizado

Como estamos trabalhando com o contexto de modelos de séries temporais jun-tamente com o uso do gráfico de controle, é indispensável o uso computacional. Por esse motivo, todas as figuras e programas implementados foram realizados no software R, versão 3.2.2, na plataforma Windows.

4 Gr´

afico de controle c para n˜

ao-conformidades

Um item não-conforme é uma unidade de produto que não satisfaz uma ou mais das especifica¸cões para aquele produto. Cada ponto determinado, na qual uma especi-fica¸cão não está satisfeita, resulta em um defeito ou não-conformidade. Por conseguinte,

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um item não-conforme conterá pelo menos uma não-conformidade. Porém, dependendo da natureza e severidade, é poss´ıvel para uma unidade conter várias não-conformidades e não ter sido classificada como não-conforme.

Considerando um exemplo de Montgomery (2004), suponha que estejamos fabri-cando microcomputadores. Cada unidade poderia ter uma ou mais falhas no acabamento do gabinete, mas como essas falhas não afetam a opera¸cão funcional da unidade, essa unidade poderia ser classificada como conforme. No entanto, se há muitas dessas falhas, o computador seria classificado como não-conforme, uma vez que as falhas seriam muito vis´ıveis no computador, o que dificultaria sua venda.

Os gráficos de controle c assumem, em geral, que a ocorrência de não-conformidades em amostras de tamanho constante é bem modelada pela distribui¸cão Poisson.

Supõe-se em geral que a variável aleatória C, número de não-conformidades em qualquer quantidade definida do produto, tem distribui¸cão de Poisson, isto é:

P(C = c) = e

−λ_λc

c! , c = 0, 1, 2, ...

em que, c é o número de não-conformidades (valor particular da Variável C ) e λ > 0 representa o número médio de não-conformidades na quantidade de produto considerada. Sabemos que tanto a média como a variância da distribui¸cão de Poisson são parâmetros de C. Assim, os limites de controle 3-sigma para o gráfico de controle para não-conformidades são dados por: LSCc = c + 3 √ c; LMc = c; (1) LICc = c − 3 √ c.

Supondo que um valor padr˜ao para c esteja dispon´ıvel, se esses c´alculos resultarem em um valor negativo para o LICc, simplesmente atribu´ımos LICc= 0, ver Montgomery (2004).

Na maioria das aplica¸cões dos gráficos de controle a distribui¸cão de Poisson é o mo-delo correto e impl´ıcito no processo. Porém, mistura de vários tipos de não-conformidades podem conduzir a situa¸cões em que o número total de não-conformidades não é modelado adequadamente pela distribui¸cão Poisson, ver Russo (2002). Uma das situa¸cões comuns em que podem ocorrer esse fato é quando os dados de contagem apresentam muitos ou poucos zeros. Uma distribui¸cão que pode ser usada para modelar dados de contagem em unidade de dispersão é a binomial negativa, que foi estudada por Sheaffer e Leavenworth (1976).

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4.1 Desempenho dos Gr´

aficos de Controle

O desempenho de um gráfico de controle está altamente ligado à rapidez com que ele detecta a presen¸ca de uma causa especial, para que o processo volte a ficar sob controle o quanto antes, o que é desejado. Esse desempenho é medido pelo valor de NMA, número médio de amostras até se detectar a mudan¸ca no gráfico de controle. Se as observa¸cões, cuja caracter´ıstica está sendo controlada, são independentes, o número de oberva¸cões necessárias até um primeiro ponto exceder os limites de controle é uma variável aleatória cuja distribui¸cão é geométrica com parâmetro p ver, Montgomery (2004), tal que a média da distribui¸cão geométrica é igual a 1/p. Quando as observa¸cões são independentes, o NMA é o inverso do poder de deteçcão do gráfico de controle, isto é, o NMA = 1/p, em que o resultado desta equa¸cão avalia o desempenho do gráfico. Já quando o processo está sob controle usa-se NMAF, número médio de amostras até um alarme falso, tal que NMAF = 1/α1.

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Havendo um risco α1 de um valor cair fora dos limites de controle. Esse tipo de

erro mencionado com probabilidade γ, é chamado de Erro tipo I, ou comumente chamado de (“alarme falso”). O cálculo do erro tipo I, associado ao gráfico c, sendo α0 e λ0 são

parˆametros em controle, ´e dado da seguinte forma:

α1 = 1 − P [Ci ≤ LSC|λ0]. (2)

O NMAF ´e definido como:

N M AF = 1/[1 − P [Ci ≤ LSC|α1 = α0 e λ = λ0]], (3)

j´a o NMA ´e,

N M A = 1/[1 − P [Ci ≤ LSC|α1 6= α0 e λ 6= λ0]]. (4)

5 Modelo INAR(1) para dados de contagem

autocor-relacionados

No presente cap´ıtulo aborda-se o método para identificar, ajustar e diagnosticar os modelos para dados de contagem autocorrelacionados. Nos estudos envolvendo séries temporais de valor inteiro não-negativo, em especial de séries de contagem, esses modelos são amplamente empregados nas mais diversas áreas de estudo. Em Controle de Qualidade é comum utilizar a distribui¸cão binomial na modelagem de número de pe¸cas defeituosas de uma linha de produ¸cão, ver Montgomery (2004), e utiliza-se a distribui¸cão de poisson para modelar o número total de não-conformidades em uma unidade.

A observa¸cão de uma variável aleatória (v.a.) tomada sequencialmente em dife-rentes instantes do tempo é chamada de série temporal. Seja T um conjunto arbitrário e X ∈ R, uma série temporal X é denotada por {Xt}t∈T. Uma série temporal pode ser

classificada como cont´ınua ou discreta, dependendo do evento que se observa ao longo do tempo, ver Lima (2013).

Neste trabalho vamos abordar séries temporais discretas, em espec´ıfico, séries de observa¸cões inteiras. O estudo desta série temporal incorpora a análise de modelos não muito comuns chamados de INAR. Segundo Weiβ (2007), em se tratando de processos de contagem autocorrelacionados, embora as opera¸cões usuais matemáticas sejam bem definidas em N0 = {1, 2, 3, · · ·}, os modelos ARMA padrão, desenvolvidos para séries

temporais de valor real não podem ser utilizados, uma vez que a multiplica¸cão de um número real por uma variável aleatória de valor inteiro resulta normalmente em um valor não inteiro, como t´ınhamos abordado anteriormente. Em decorrência desse fato, Steutel e Van Harn (1979), propõem uma opera¸cão probabil´ıstica, chamada thinning binomial,

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com uma alternativa adequada para multiplica¸c˜ao escalar.

5.1 Operador Thinning Binomial

Nesta se¸c˜ao ´e apresentado o operador thinning binomial, pertencente a classe de operadores Thinning, que foi proposto por Steutel e Van Harn (1979). Juntamente com algumas propriedades importantes do mesmo.

Defini¸cão 5.1 Sejam N uma variável aleatória de valor inteiro não negativo e α um número real tais que α ∈ [0, 1]. O operador thinning binomial denotador por “ ◦” é definido como: α ◦ N = N X i=1 Xi, (5)

em que {Xi}i∈N uma sequência de variáveis aleatórias (v.a.,s) independentes e

identica-mente distribu´ıdas (i.i.d.), chamada s´erie de contagem, tais que P (Xi = 1) = 1 − P (Xi =

0) = α, assim {Xi}i∈N tem distribui¸c˜ao de Bernoulli de valor esperado α, independente

da v.a. N , inteira não-negativa. da Silva (2005) e Bourguignon (2011) apresentam e demonstram as propriedades do operador thinning, e iremos abordar algumas a seguir, sendo demonstradas no Apêndice A. Em decorrência da defini¸cão do operador thinning binomial, temos o seguinte lema.

LEMA 5.1 Sejam N1 e N2 vari´aveis aleat´orias identicamente distribu´ıdas de valores

inteiros n˜ao-negativos, e α1 e α2 constantes reais n˜ao-negativas tal que α1 ∈ [0, 1] e α2 ∈

[0, 1]. Portanto, de acordo com o operador definido em 5 1. 0 ◦ N1 = 0; 2. 1 ◦ N1 = N1; 3. α1 ◦ (α2 ◦ N1) = (α1α2) ◦ N1; 4. α1 ◦ (N1+ N2) = α1 ◦ N1+ α1 ◦ N2; 5. E(α1 ◦ N1) = α1E(N1); 6. E[(α1 ◦ N1)N2] = α1E(N1N2);

7. (α1 ◦ N1)|N1 = n1 possui distribui¸c˜ao Binomial (n1, α1);

8. V ar(α1 ◦ N1) = α21V ar(N1) + α1(1 − α1)E(N1);

(18)

O operador thinning binomial possui forte interpreta¸cão na prática pois representa a parte do valor observado no passado que continuará sendo observado no instante ativo. Num problema de migra¸cão, o thinning binomial representa o número de pessoas remanescentes de um instante de tempo para outro, que não migraram; por sua vez a probabilidade α indica a chance de cada pessoa não migrar, isto é, a taxa com que os valores em t − 1 ‘sobrevivam’até t, ver Lima (2013).

Bourguignon (2011) informa que alguns autores generalizaram o conceito de opera¸cão thinning, permitindo que as séries de contagem sigam qualquer distribui¸cão discreta. Dada a defini¸cão e algumas propriedades do operador thinning binomial, podemos agora definir o modelo autoregressivo de primeira ordem para valores inteiros proposto por Al-Osh e Alzaid (1987).

6 O Modelo INAR(1)

O presente trabalho, aborda o membro mais popular da fam´ılia INARMA, o modelo INAR(1). Baseado na Defini¸cão 5, o modelo autoregressivo de Valores inteiros de ordem 1 [INAR(1)], introduzido por Al-Osh e Alzaid (1987) é definido da seguinte forma: Defini¸cão 6.1 Um processo estocástico discreto de valor inteiro não-negativo {Nt}t∈Z, o

modelo INAR(1) é expresso como fun¸cão da última oberva¸cão da série, apresentado como:

Nt = α ◦ Nt−1+ t, t ≥ 1, (6)

em que α ∈ [0, 1], t é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e

identica-mente distribu´ıdas de valores inteiros não-negativos, com uma certa média e variância, respectivamente, E(t) = λ e V ar(t) = σ2 finita.

O modelo INAR(1) com as suas inúmeras funcionalidades, considera somente a informa¸cão do momento imediatamente anterior, assim como os modelos autorregressivos de ordem 1. Com os avan¸cos computacionais, a necessidade de um modelo mais robusto tornou-se necessário para capturar toda a informa¸cão quanto à estrutura do histórico dos dados. Foi nesse sentido que os modelos foram introduzidos com maior complexidade, analogamente aos modelos AR(p), definindo o modelo genérico INAR(p) de ordem p, discutidas por Alzaid e Al-Osh (1990).

A distribui¸cão marginal do modelo pode ser expressa em termos da sequência de {t}t∈Z é dada por Al-Osh e Alzaid (1987) como:

N1 = 1

N2 = α ◦ 1+ 2

(19)

= α ◦ (α ◦ 1) + α ◦ 2 + 3 = α2 ◦ 1+ α ◦ 2+ 3 .. . Nn d = ∞ X j=0 αj ◦ n−j.

O s´ımbolo=, quer dizer que a distribui¸c˜d ao marginal é igual em probabilidade. Com base nas propriedades do thinning binomial, a média e a variância do processo Xt como

defi-nido em 6, supondo que o t, tem uma certa média λ e variância σ2, são dadas por:

E[Nt] = E[α ◦ Nt−1+ t] = αE[Nt−1] + λ = αE[α ◦ Nt−2+ λ] + λ = α2E[Nt−2] + αλ + λ .. . = αtE[X0] + λ t−1 X j=0 αj.

(20)

e a variˆancia apresentada em Bourguignon (2011) pode ser obtida da seguinte forma:

var[Nt] = var[α ◦ Nt−1+ t]

= var[α ◦ Nt−1] + var[t]

= E[(α ◦ Nt−1)2] − E[α ◦ Nt−1]2+ E[2t] − E[t]2

= α2E[N_t−12 ] + var[Nt−1]E[Nt−1] − α2E[Nt−1]2 + σ2+ λ2− λ2

= α2E[N2

t−1] − E[Nt−1]2 + α(1 − α)E[Nt−1] + σ2

= α2var[Nt−1] + α(1 − α)E[Nt−1] + σ2

= α2α2var[Nt−2+ α(1 − α)E[Nt−2]] + σ2 + α(1 − α)E[Nt−1] + σ2

= α4var[Nt−2] + α(1 − α) [σ3E[Nt−2] + αE[Nt−1]] + (α2+ 1)σ2

.. . = α2tvar[X0] + (1 − α) t X j=1 α2j−1E[Xt−j] + σ2 t X j=1 α2(j−1).

6.1 Interpreta¸

c˜

ao

Segundo Lima (2013) e Bourguignon (2011), podemos interpretar o modelo INAR(1) da seguinte forma: Nt |{z} Popula¸c˜ao no tempo t = α ◦ Nt−1 | {z } Sobreviventes no tempo t−1 + t |{z} Imigrantes ou nascimentos (7)

• α ◦ Nt−1 é responsável pela captura de toda a informa¸cão que o histórico traz.

Quando pensamos no processo de compra ou venda, α ◦ Nt−1 ´e interpretado como

consumidores remanescentes dado o último conjunto de compradores, sendo a série temporal que continua sendo observada com uma probabilidade associada α, α ∈ (0, 1) ou habitantes remanescentes em uma região no caso de migra¸cão.

• té uma variável aleatória discreta não negativa com média λ e variância σ2

indepen-dente de α ◦ Nt−1 e apresenta a inova¸c˜ao em t, uma parte n˜ao correlacionada com o

passado. (Al-Osh e Alzaid, 1987) propõem o modelo com a inova¸cão seguindo a dis-tribui¸cão poisson, porém as distribui¸cões geométrica ou binomial negativa também podem ser consideradas como sugerido por Mckenzie (1986).

• Nt é o número de reclama¸cões não atendidas dos clientes, que consiste de queixas

novas e passadas. Nt tamb´em pode ser o n´umero de produtos, que consiste nos

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mas ainda funcionam.

Notamos que o processo INAR(1) têm inúmeras interpreta¸cões, e se aplica em muitas situa¸cões práticas. Por exemplo, Ntpode descrever o número de itens de uma determinada

empresa, t pode descrever os novos itens e Nt−1− α ◦ Nt−1 pode descrever os itens que

foram perdidos no ´ultimo per´ıodo.

No contexto de CEP, estamos interessados em processos estacionários. Já que esta-mos trabalhando com modelos de séries temporais da fam´ılia INARMA, as metodologias envolvendo esses modelos necessitam de algumas suposi¸cões com respeito à estrutura de correla¸cão do processo estocástico suposto. Uma delas que iremos abordar neste trabalho é a estacionariedade fraca, essa propriedade estabelece que os momentos de primeira e segunda ordens do processo não variam sob transla¸cões do tempo.

6.2 Estacionariedade

Segundo Lima (2013) e Russo (2002), a série é dita estacionária quando ela é cons-tante no tempo, mantendo o equil´ıbrio estat´ıstico e suas caracter´ısticas probabil´ısticas. Se uma série é estritamente estacionária, então todo subconjunto das variáveis também possuem a mesma caracter´ıstica estacionária, para qualquer valor. Do ponto de vista intuitivo, uma série é estacionária se:

• não há mudan¸ca sistemática da média; • não há mudan¸ca sistemática na variância; • não há varia¸cões estritamente periódicas;

Em CEP, quando estamos modelando e analisando gr´aficos de controle de uma determinada caracter´ıstica de qualidade, espera-se que o processo mantenha-se constante dentro dos limites de controle. Diante desse fato, ao longo deste trabalho vamos assumir que a sequˆencia {t}t∈Z ∼ P o(λ). Dessa forma, o processo INAR(1) dado por Nt =

α ◦ Nt−1+ t, é estacionário quando |α| < 1 e não estacionário quando |α| = 1.

A investiga¸cão dos modelos de séries temporais consiste, quase que exclusivamente, das etapas de identifica¸cão e estima¸cão do modelo. Para a identifica¸cão e a estima¸cão, no contexto de processos estacionários, destacam-se como principais ferramentas as fun¸cões de autocorrela¸cão (ACF) e de autocorrela¸cão parcial (PACF). A fun¸cão de autocorrela¸cão do processo INAR(1) proposto por Al-Osh e Alzaid (1987) é dado por:

ρ(k) = γ(k)/γ(0) = αk, k = 0, 1, 2, · · · (8) Notemos que a autocorrela¸cão parcial de primeira ordem é a própria estimativa do α e é semelhante para o processo AR(1), dessa forma, ρ(1) =_b α._b

(22)

7 Gr´

afico de controle c modificado para dados de

con-tagem autocorrelacionados

Neste cap´ıtulo iremos abordar um dos objetivos do trabalho que é modelar o uso do gráfico c através do modelo de sequências estacionárias de valores inteiros submetidos ao modelo INAR(1). Ao estudar gráfico de controle para o número de não-conformidades assumimos, em geral, que a ocorrência de não-conformidades na amostra é bem modelada pela distribui¸cão Poisson.

Os gráficos de controle tradicionais baseiam-se no pressuposto das oberva¸cões se-rem normalmente distribu´ıdas e independentes. Porém, quando tratamos de processos de contagem provenientes da fabrica¸cão ou servi¸co de indústrias, muitas vezes apresen-tam autocorrela¸cão. Tais processos com esse efeito de autocorrela¸cão passam a quebrar o pressuposto de independência das observa¸cões, podendo assim prejudicar o desempenho dos gráficos de controles tradicionais. Dessa forma, surge a necessidade de modificar os gráficos de controle existentes, de tal maneira que eles possam ser aplicados diretamente aos dados de contagem autocorrelacionados. Utilizando o conceito do modelo INAR(1) e assumindo Nt estacionário de acordo com 6 e {t}t∈Z ∼ P o(λ), tem-se que o valor

espe-rado e a variˆancia s˜ao:

E[Nt] =

λ

1 − α e V ar[Nt] = λ

1 − α (9)

Para a demonstra¸c˜ao desse resultado, utilizaremos o conceito de fun¸c˜ao geradora de pro-babilidade apresentado em Donadelli (2013) e descrito a seguir.

(23)

Defini¸cão 7.1 Se X assume valores naturais, a fun¸cão geradora de probabilidade de X é a fun¸cão geradora da fun¸cão de massa de probabilidade de X, logo.

GX(t) = E(tX) =

X

i≥0

P (X = i)ti. (10)

Como P (1) = 1 a s´erie converge absolutamente, pelo menos, ∀ t ∈ (−1, 1). Derivando P , em rela¸c˜ao a t, temos: P (t) = X i≥0 iP (X = i)ti−1 , portanto, P0(1) = E(X) e P00(1) + P0(1) = E(X2) V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2.

Dada a defini¸cão 7.1, primeiro fa¸camos o cálculo da fun¸cão geradora de probabilidade da poisson.

Seja X uma variável discreta com distribui¸cão poisson, com parâmetro λ, ou seja, X ∼ P o(λ). Então GX(t) = E[tX] = ∞ X k=0 tk_e−λ_λk k! = e−λ ∞ X k=0 (tλ)k k! (11) = e−λetλ = eλ(t−1).

Definido a fun¸cão geradora de probabilidade e realizando o cálculo da fun¸cão geradora de probabilidade da Poisson, vamos demonstrar o resultado em 9. Suponha que Nt−1

tem distribui¸cão Poisson com média _1−αλ , logo a sua fun¸cão geradora de probabilidade é exp _1−αλ (t − 1).

Seja GN(t) = E(tN) a fun¸c˜ao geradora de probabilidade de N . Se Y = α ◦ N = N

X

i=1

Xi, como estamos tratando de um processo estacion´ario e os N0, Nt−1, Nt−2, . . . s˜ao

(24)

GY(t) = Gα◦Nt−1 = GNt−1(GX(t)) = GNt−1(1 − α + αt),

em que, GX(t) ´e a fun¸c˜ao geradora de probabilidade da Bernoulli(α). Como supomos que

Nt−1 tem a fun¸c˜ao geradora de probabilidade igual `a exp _1−αλ (t − 1) , substituindo o t

por 1−α+αt temos, Gα◦Nt−1(1−α+αt) = exp

λ

1−α(1 − α + αt − 1) = exp λ

1−αα(t − 1),

sendo que {Xi}i∈Ntem distribui¸c˜ao de Bernoulli de valor esperado α, independente da v.a.

N , inteira n˜ao - negativa. Como {t}t∈Z∼ P o(λ) logo a fun¸c˜ao geradora de probabilidade

´_{e G}t = exp(λ(t − 1)) e, como vimos na se¸c˜ao anterior que {t}t∈Z ´e independente de Nt,

a fun¸c˜ao geradora de probabilidade de Nt´e definida como o produto, logo:

GNt(t) = Gα◦Nt−1Gt(t) = exp λ 1 − αα(t − 1) exp(λ(t − 1)) = exp λ(t − 1) α 1 − α + 1 (12) = exp λ(t − 1)α + 1 − α 1 − α = exp λ 1 − α(t − 1) .

Derivando Nt em rela¸c˜ao t temos:

E[Nt] = ∂ ∂tGNt(t) t=1 = exp λ 1 − α(t − 1) λ 1 − α t=1 = λ 1 − α E[Nt2] = ∂2 ∂t2GNt(t) t=1 = exp λ 1 − α(t − 1) λ 1 − α λ 1 − α + exp λ 1 − α(t − 1) λ 1 − α t=1 = λ 1 − α 2 + λ 1 − α

Dessa forma, a variˆancia de Nt ´e a seguinte:

V ar[Nt] = E[Nt2] − (E[Nt])2 = _1−αλ

2

+ _1−αλ − λ 1−α

2

(25)

7.1 Limites de Controle

A variável aleatória Nttem sua média e variância iguais submetidas ao modelo em

(6). Assumindo tsendo i.i.d. com distribui¸cão P o(λ), a média e a variância de té dada

por λ = σ2 = λ. Ent˜ao (Nt) tem distribui¸c˜ao marginal P o _1−αλ . Portanto, para um

gráfico de controle do número de não - conformidades submetidos a autocorrela¸cão com média em controle e assumindo λ = λ0 e α = α0. Assim, os valores de Nt são plotados

no gráfico de controle para não - conformidades com limites três - sigma como segue:

LSCc = λ0 1 − α0 + 3 r λ0 1 − α0 ; LMc = λ0 1 − α0 ; (13) LICc = λ0 1 − α0 − 3 r λ0 1 − α0 .

Se esses cálculos resultarem em um valor pequeno para o LIC, atribui-se LIC = 0. Nota-se que quando o α = 0, Nota-sem a preNota-sen¸ca de autocorrela¸cão, temos a expressão (1), ou seja, os limites de controle do gráfico c tradicional.

O erro tipo I associado ao gráfico c modificado é semelhante a Equa¸cão (2), a diferen¸ca está na média, visto que iremos corroborar a presen¸ca do α (autocorrela¸cão). O número médio de alarmes falsos (NMAF), fica semelhante, sendo N M AF = _α1

1 e : α1 = 1 − P Ci ≤ LSC λ0 1 − α0 . (14)

8 Simula¸

c˜

ao e Resultados

8.1 Desempenho do Gr´

afico c sob autocorrela¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo, focaremos no outro objetivo deste trabalho que é verificar o efeito da autocorrela¸cão para diferentes combina¸cões dos parâmetros, no limite de controle, e analisaremos o desempenho através de simula¸cão do NMA. O estudo da simula¸cão busca avaliar o comportamento do modelo, que tem como objetivo identificar qual o número de amostras até se detectar que o processo saiu de controle, quando o gráfico c é subme-tido ao modelo INAR(1) para diferentes combina¸cões dos parâmetros. Primeiro gerou-se 10.000 amostras do modelo INAR(1), com 1000 observa¸cões cada uma e, em cada amostra, guardamos a posi¸cão da observa¸cão que ultrapassa o limite de controle, armazenada em um vetor de tamanho 10.000. A média desse vetor resultará no número médio de amos-tras até detectar mudan¸ca (NMA). Para várias combina¸cões dos parâmetros em controle

(26)

(λ0, α0) os resultados dos NMAs s˜ao mostrados, tanto para o processo em controle quanto

para fora de controle, a t´ıtulo de compara¸cão. Os estados fora de controle considerados para este estudo, são definidos com mudan¸cas de ±10% e ± 20% em um dos verdadeiros parâmetros λ e α, comparados aos valores em controle λ0 e α0. Quanto menor o NMA

mais rápido o gráfico detecta mudan¸ca, o que é desejado. O parâmetro da probabilidade α associado ao operador thinning binomial pertence ao conjunto {0.0,0.2,0.4,0.6}. As pertuba¸cões que realizamos foram:

λ = λ0, mas α = 1.1α0, α = 1.2α0, α = 0.8α0 e α = 0.9α0 α = α0, mas λ = 1.1λ0, λ = 1.2λ0, λ = 0.8λ0 e λ = 0.9λ0 λ 1 − α = λ0 1 − α0 , mas α = 1.1α0, α = 1.2α0, α = 0.8α0, α = 0.9α0

(27)

Essas pertuba¸cões e análises acima reproduzem o que foi feito em Weiβ (2007) porém inclu´ımos casos adicionais α = 0, 9α0, α = 1, 1α0, λ = 0, 9λ0e λ = 1.1λ0. Inclu´ımos

tamb´em, na simula¸c˜ao os casos em que α0 = 0.

Nas tabelas abaixo encontram-se os resultados que ilustram o efeito no desempenho do gr´afico c modificado, para mudan¸cas de ±10% e ±20% em λ0, medidos pelo n´umero

médio de amostras até se detectar mudan¸ca (NMA). É importante frisar que quanto menor o NMA mais rápido o gráfico detecta a mudan¸ca. Para as situa¸cões em controle, λ = λ0

e α = α0 os NMAFs dispostos na coluna referente a λ = λ0 variam de acordo com a

combina¸cão dos parâmetros. Isto acontece em fun¸cão do processo ser discreto o que faz com quenos NMAFs variem e não fiquem tão próximos.

Tabela 1: NMAs considerando uma mudan¸ca em λ. NMA λ0 α0 λ = λ0 λ = 1.1.λ0 λ = 1.2.λ0 λ = 0.8.λ0 λ = 0.9.λ0 1 0.0 271 183 127 712 436 1 0.2 107 76 54 272 171 1 0.4 136 88 60 406 219 1 0.6 263 134 86 954 477 3 0.0 265 146 84 1186 530 3 0.2 187 100 60 902 390 3 0.4 181 90 50 1048 413 3 0.6 215 97 46 2059 591 5 0.0 180 91 49 1099 420 5 0.2 193 88 47 1422 487 5 0.4 186 78 37 1779 504 5 0.6 432 132 52 1672 1321 7 0.0 174 79 39 1421 457 7 0.2 248 99 46 2683 756 7 0.4 225 82 34 837 627 7 0.6 448 125 42 542 1125 9 0.0 410 154 66 4650 1344 9 0.2 342 117 50 709 791 9 0.4 305 92 35 410 672 9 0.6 335 80 26 144 438

Fonte: Elaborada pelo autor

Na Tabela 1 observa-se que o efeito da autocorrela¸c˜ao prejudica o desempenho do gr´afico de controle, quando estamos lidando com os valores de α0 = {0.2, 0.4, 0.6}.

Considerando λ0 = 1 e α0 = {0.2, 0.4, 0.6}, aumentar o valor de α0implica em um aumento

no NMAF, demorando-se mais a ter um alarme falso, podemos ver claramente na Figura 1. Isso se deve a, > α0 ⇒> LSC ⇒> N M AF por ser discreto n˜ao consegue NMAF mais

(28)

pr´oximos, o mesmo acontece quando fixamos o α0: > λ ⇒ LSC >⇒ N M AF >. Por´em

para um n´umero alto de λ0, a medida que α0 aumenta, o NMA diminui. Por exemplo,

considere λ0 = 9 e α0 = {0.0, 0.2, 0.4, 0.6} o n´umero m´edio de amostras diminui. Fixando

uma situa¸c˜ao em controle, λ0 = 5 e α0 = 0.6, uma perturba¸c˜ao de λ = 1.1λ0 e λ = 1.2λ0

o NMA diminui, já em rela¸cão à mudan¸ca de λ = 0.8λ0 λ = 0.9λ0, o NMA aumenta, ou

seja, para detectar desvios positivos em λ0 o NMA, vai diminuindo, mas para detectar

desvios negativos em λ0 o NMA, vai aumentando.

Considerando α0 = 0, estamos tratando sem autocorrela¸c˜ao, ou seja, resulta no

gr´afico de controle c tradicional. Na Figura 1, a linha vertical pontilhada refere-se ao estado em controle, λ = λ0.

Figura 1: NMA considerando uma mudan¸ca em λ, para λ0 = 1 e λ0 = 3.

(29)

Tabela 2: NMAs considerando uma mudan¸ca em α. NMA λ0 α0 α = α0 α = 1.1.α0 α = 1.2.α0 α = 0.8.α0 α = 0.9.α0 1 0.0 271 278 273 270 272 1 0.2 107 97 89 132 121 1 0.4 136 98 71 249 182 1 0.6 263 98 34 1177 569 3 0.0 265 262 263 262 266 3 0.2 187 156 132 263 219 3 0.4 181 111 64 488 300 3 0.6 215 55 13 2904 827 5 0.0 180 183 181 182 182 5 0.2 193 192 128 289 241 5 0.4 186 107 51 619 336 5 0.6 432 53 11 1304 1621 7 0.0 174 175 174 175 174 7 0.2 248 193 149 409 316 7 0.4 225 127 50 720 430 7 0.6 448 35 8 366 1034 9 0.0 410 417 414 415 411 9 0.2 342 239 191 532 410 9 0.4 305 124 53 684 538 9 0.6 335 35 5 94 338

A partir da Tabela 2, vale ressaltar que considerando as perturba¸c˜oes de ±20% e ±10% e supondo α0 = 0 e λ0 = {1, 3, 5, 7, 9}, os NMAs para essas situa¸c˜oes se tornam

pr´oximos pois consideramos α0 = 0. Agora quando se analisa com o efeito da

autocor-rela¸c˜ao positiva, α > α0 implica um NMA menor para > α0 e > λ0, fixando uma situa¸c˜ao

em controle λ0 = 1 e α0 = 0.6, o gráfico torna-se sens´ıvel à uma pertuba¸cão de α = 1.1α0

e α = 1.2α0, tornando valores de NMA pequenos, no entanto, α < α0 implica um NMA

maior para > α0 e > λ0, fixado o NMAF vemos que > α0 implica um NMA menor.

Por exemplo, para α = 0.8α0 e α = 0.9α0 o NMA aumenta consideravelmente. Um

ou-tro resultado importante ´e que, uma pertuba¸c˜ao de +20%, supondo λ0 = {1, 3, 5, 7, 9}

e α0 = 0.6, os NMAs diminuem a medida que o λ0 aumenta, ou seja, no contexto do

gráfico c, quando aumentamos a média de não-conformidades, o gráfico detecta rápido a mudan¸ca. Quanto maior o valor de α0, mais autocorrelacionadas são as variáveis. Faz

sentido pois α > α0 implica mais autocorrela¸c˜ao. Esse monitoramento ´e bom para

de-tectar desvios positivos em α0 pois o NMA, vai diminuindo, mas ´e ruim para detectar

(30)

Tabela 3: NMAs considerando uma mudan¸ca em α e λ por´em λ 1−α constante NMA λ0/(1 − α0) α0 α = α0 α = 1.1.α0 α = 1.2.α0 α = 0.8.α0 α = 0.9.α0 3 0.0 266 262 261 263 268 3 0.2 269 263 267 264 263 3 0.4 264 264 361 261 263 3 0.6 271 285 322 263 269 6 0.0 277 273 274 275 272 6 0.2 277 275 270 274 272 6 0.4 274 277 276 273 272 6 0.6 288 295 326 274 277 9 0.0 413 416 419 412 414 9 0.2 413 418 418 407 409 9 0.4 406 416 409 409 415 9 0.6 429 441 492 416 412 12 0.0 320 324 325 317 321 12 0.2 315 319 316 269 325 12 0.4 312 322 323 325 323 12 0.6 327 343 381 318 322 15 0.0 283 281 283 280 289 15 0.2 282 283 290 282 282 15 0.4 341 292 280 262 287 15 0.6 365 307 342 284 292

Na Tabela 3, estamos considerando λ0

1−α0 constante, ent˜ao tendo em vista a

mu-dan¸ca em λ e α não identificamos mudan¸ca “significativa” no NMA em nenhum das perturba¸cões, uma vez que o gráfico c concentra exclusivamente na distribui¸cão marginal

λ0

1−α0

, que permanece inalterada. Podemos dizer que para esta situa¸cão da Tabela 3 a abordagem utilizada não foi útil para detectar mudan¸ca em nenhumas das situa¸cões.

As rotinas computacionais utilizadas para a constru¸cão das Tabelas 1, 2 e 3 são apresentadas no Apêndice B.

(31)

8.2 Aplica¸

c˜

ao em um conjunto de dados reais

Neste cap´ıtulo aplicaremos a metodologia estudada em um conjunto de dados reais. Os dados são provenientes de Weiβ (2007) e o objetivo da aplica¸cão é utilizar o monito-ramento via gráfico c modificado para o modelo INAR(1) como feito em Weiβ (2007), e comparar as estimativas realizadas pelos estimadores usuais da literatura com o estimador proposto por Bourguignon e Vasconcellos (2014). Os dados consistem em contagem de endere¸cos de IP.

O servidor do Departamento de Estat´ıstica da Universidade de Wursburg recolhe dados de acessos relativos a página do servidor. Os dados foram coletados de maneira que o número de diferentes IPs registrados em per´ıodos de 2 minutos de dura¸cão pode ser lido. Foram analisados os dados que foram coletados no per´ıodo de Novembro e Dezembro de 2005, ou seja, estamos interessados em contar quantos usuários estão acessando a página do servidor. Nos limitamos apenas a acessos que ocorreram entre 10 horas da manhã e 6 horas da noite, resultando em uma série temporal diária de comprimento 241 cada. Como exemplo ilustrativo, vamos analisar a seguinte série de tempo recolhidos em 29 de Novembro de 2005. Na Figura 2a se encontra a série.

(32)

Figura 2: Dados de IP

(a) Gr´afico da S´erie

Amostra 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8

(b) Fun¸cão de Autocorrela¸cão e Autocorrela¸cão

Parcial 0 2 4 6 8 10 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Lag A CF 2 4 6 8 10 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Lag P ar tial A CF

Fonte: Elaborado pelo Autor

A fun¸cão de autocorrela¸cão e autocorrela¸cão parcial emp´ırica indicam que um mo-delo de primeira ordem pode ser uma escolha adequada, comρ(1) = 0.22, como vemos na_b Figura 2b. A média e a variância são estimadas em 1.32 e 1.39, respectivamente. Percebe-mos que a média e a variância são aproximadamente iguais, tornando-se razoável a escolha do modelo Poisson INAR(1) para ajustar os dados, uma vez que a variância dividido pelo média resulta em um valor próximo de um. Os parâmetros iniciais estimados são dados porα = 0.22 e b_b λ = 1.03. A estima¸cão do vetor de parâmetros do modelo INAR(1) é feita utilizando métodos estat´ısticos convencionais. Estes parâmetros estimados, foram obtidos através dos estimadores usuais da literatura Yule-Wallker, M´ınimos Quadrados Condici-onais e Máxima Verossimilhan¸ca Condicional, em que são bem explicados na disserta¸cão de Bourguignon (2011) e Lima (2013). Maiores detalhes sobre esses estimadores podem ser foram disponibilizados na disserta¸cão de.

Usando o estimador de Bourguignon e Vasconcellos (2014), os parˆametros estima-dos foram, α = 0.18 e e_e λ = 1.08. O gr´afico c com limites de 3-sigmas resultaria em um LIC = 0 e LSC = 4, ficaria da seguinte forma LSC = _1−0,0,221,03 + 3

r 1,03 1−0,22 = 4 e LIC = _1−0,0,221,03 − 3 r 1,03 1−0,22

(33)

exato para o N M AF = 88.16 é obtido a partir da Equa¸cão (3), é bastante pequeno para fins práticos, por isso, decidimos usar o LIC = 0 e LSC = 5, tendo um N M AF = 415, 16. Além disso, verificamos na Figura 2a a presen¸ca de um único outlier N224 = 8 que foi no

per´ıodo de (17 : 26 : 00) para (17 : 27 : 59). A an´alise do outlier N224 = 8 torna razo´avel

supor que houve, de fato, apenas um único usuário ativo no momento 224. Portanto, decidimos substituir o outlier para N224 = 1, como consequência disso, tivemos altera¸cões

da média e variância que foram, respectivamente para, 1, 29 e 1, 20 e a fun¸cão de Auto-correla¸cão de primeira ordem foi para 0, 29. Figura 3 mostra a série ACF e PACF sem a presen¸ca do outlier. A fun¸cão de autocorrela¸cão parcial mostra o modelo de primeira ordem é adequado para ajustar os dados, uma vez que a variância dividido pelo média resulta em um valor próximo de um, indicando que o modelo Poison INAR(1) ainda é razoável para modelar os dados e as estimativas obtidas pelos estimadores usuais passam a,α = 0.29 e b_b λ = 0.91, resultando em um N M AF = 480.726, enquanto que o estimador de Bourguignon e Vasconcellos (2014) apresenta, α = 0.34 e e_e λ = 0.84, resultando em um N M AF = 468.38, razoavelmente próximos, com LSC = 5.

Figura 3: Dados de IP.

(a) Gr´afico da s´erie

Amostra 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5

(b) Fun¸cão de Autocorrela¸cão e Autocorrela¸cão

Parcial 0 2 4 6 8 10 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Lag A CF 2 4 6 8 10 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Lag P ar tial A CF

(34)

8.3 Ajustando os Limites de Controle - Com Outlier

Apresentaremos agora o gráfico de controle c, comparando os estimadores usuais com o proposto por Bourguignon e Vasconcellos (2014). Os limites de controle ajustados para a série com outlier são mostrados abaixo, para ambos os estimadores.

Figura 4: Dados de IP com outlier

(a) Gráfico da série com os limites do gráfico c

modificado usando os estimadores usuais

Amostra 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 λ =1.03 α =0.22

(b) Gráfico da série com os limites do gráfico c

modificado usando o estimador de (Bourguignon e Vasconcellos, 2014) Amostra x 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 λ ~ =1.08 α~₌_0.18

Na Figura 4, podemos perceber que os limites de controle para o gráfico c modifi-cado são iguais, mesmo que as estimativas sejam diferentes. A explica¸cão para isso, é que os dados são discretos e os limites de controle obtidos são valores inteiros, já que na prática não há diferen¸ca se LSC = 5 ; 5, 1 ou 5, 9, por exemplo, já que P (C ≤ 5, 5) = P (C ≤ 5).

(35)

8.4 Ajustando os Limites de Controle - Sem Outlier

Apresentaremos agora os limites de controle ajustados aos dados sem `a presen¸ca de outlier.

Figura 5: Dados de IP sem outlier

(a) Gráfico da Série com os limites do gráfico c

modificado usando os estimadores usuais

Amostra 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 λ =0.91 α =0.29

(b) Gráfico da Série com os limites do gráfico

c modificado usando o estimador de (Bourguig-non e Vasconcellos, 2014) Amostra y 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 λ ~₌ 0.84 α ~₌_0.34

Novamente, a mesma interpreta¸cão vale para a Figura 5. Contudo, podemos com-parar os estimadores não só pelos limites de controle obtidos, mas sim pelas estimativas do modelo Poisson INAR(1), que foram diferentes para os estimadores que utilizamos. Optamos por analisar a série sem a presen¸ca de outlier, então, obtemos as estimativas dos parâmetros do modelo INAR(1) com os estimadores usuais foramα = 0.29 e b_b λ = 0.91, já as estimativas dos parâmetros do modelo INAR(1) utilizando o estimador de Bourguig-non e Vasconcellos (2014), foram α = 0.34 e e_e λ = 0.84. Como o α representa a taxa de sobreviventes no tempo t − 1 e o λ representa a taxa de imigrantes, ou seja, a estimativa do erro, em que foi visto na Equa¸cão (7). Então, um usuário observado no per´ıodo t estava também ativo no per´ıodo t − 1 com probabilidade 0.29, ou seja, está novamente acessando o servidor, visto que seria a taxa de usuários ativos no per´ıodo t está também ativo no per´ıodo t − 1. Com o estimador de Bourguignon e Vasconcellos (2014), obtemos uma probabilidade maior de usuários ativos no per´ıodo t−1, sendo 0.34. Já o λ refere-se a taxa de imigrante, referente ao erro, ou seja, o número de usuários que chegarão a acessar

(36)

a p´agina do servidor em t com probabilidade 0.91. Usando o outro estimador obtemos uma probabilidade de 0.84, menor em rela¸c˜ao aos estimadores usuais.

9 Considera¸

c˜

oes Finais

Este trabalho procurou apresentar uma metodologia alternativa às técnicas tradi-cionais de CEP, através de gráficos de controle modificados para análise do gráfico c para não-conformidades na amostra para dados de contagem autocorrelacionados submetidos ao modelo INAR(1).

Dessa forma, foi realizado uma revisão do modelo INAR(1) através do operador thinning binomial, o que tornou-se necessário, pois os modelos usuais de séries temporais não são adequados para modelar dados de contagem. Através do modelo INAR(1) pode-mos modificar os gráficos existentes de controle para dados de contagem para o gráfico c, na qual chegamos as expressões dos limites de controle.

O INAR(1) é um modelo simples e ajustável para muitas situa¸cões práticas que sur-gem no contexto de CEP. Utilizando a simula¸cão computacional foi poss´ıvel criar cenários que representavam estes gráficos sob diferentes situa¸cões de autocorrela¸cão, usamos per-turba¸cões de ±10% e ±20% para as diferentes combina¸cões dos parâmetros e medimos o seu desempenho, através do número médio de amostras até detectar mudan¸ca (NMA).

Em fun¸cão das variáveis serem discretas não é poss´ıvel encontrar um NMAF ideal, assim eles apenas coincidem grosseiramente.

O gráfico não é útil para detectar mudan¸ca quando λ0

1−α0 ´e fixo. J´a para

mu-dan¸cas apenas em λ0 ou apenas em α0, o gráfico é útil para detectar mudan¸cas positivas

nos parâmetros, que é a situa¸cão mais interessante, em geral, buscando um aumento no número médio de não conformidades do processo. Porém, não é útil para detectar mudan¸ca que diminuam esses parâmetros o que indicariam melhoria do processo.

Diante do que foi exposto, pode-se concluir que autocorrela¸cão provoca nos gráficos de controle c uma sinaliza¸cão mais tardia quando este sofre alguma perturba¸cão de −20% e −10%, no entanto quando estamos lidando com uma perturba¸cão de +20% na autocor-rela¸cão, a medida que deslocamento aumenta, o gráfico detecta rápido a mudan¸ca situa¸cão semelhante ocorre para mudan¸ca em λ.

A aplica¸cão do modelo INAR(1), usando os estimadores usuais da literatura e o estimador de Bourguignon e Vasconcellos (2014), obtiveram resultados semelhantes para a obten¸cão dos limites de controle para o gráfico c modificado para dados de contagem autocorrelacionados. Enquanto para a estimativa do α de Bourguignon de Vasconcel-_e los (2014), obteve uma probabilidade maior, ou seja, uma taxa maior em rela¸cão aos estimadores usuais.

(37)

9.1 Sugest˜

oes para trabalhos futuros

Uma extensão deste trabalho seria trabalho com gráfico de controle para dados de contagem autocorrelacionados, referente a dados com sobredispersão, cuja variância é maior do que a média. A ideia, seria usar os gráficos e através de simula¸cões, verificar o comportamento para diferentes combina¸cões dos parâmetros.

Quando analisamos dados reais uma alternativa a ser implementada seria a ob-ten¸c˜ao dos limites de controle via processo de reamostragem, bootstrap.

(38)

Referˆ

encias

[1] Al-Osh, M. A.; Alzaid, A. A. First-order integer-valued autoregressive (inar (1)) process. Journal of Time Series Analysis,1987, 8, 261-275.

[2] Alzaid, A.;Al-Osh, M. An integer-valued pth-order autoregressive structure(Inar (p)) process. Journal of Applied Probability,1990, pp. 314-324.

[3] Bourguignon, M. Modelos Inar Sazonais e de Ra´ızes Unit´arias. Tese de Doutorado, Universidade Federal de Pernambuco, 2011.

[4] Bourguignon, M.;Vasconcellos, K. Improved estimation for Poisson Inar (1) models. Journal of Statistical Computation and Simulation, 2014, pp. 1-17.

[5] da Silva, I. M. M. Contributions to the analysis of discrete-valued time series. Tese de Doutorado, Universidade do Porto, 2005.

[6] Donadelli, J. Fun¸c˜ao geradora de probabilidade e soma de vari´aveis independentes. https://anotacoesdeaula.wordpress.com/2013/05/21/impe bc1414-fgp/, 2013, acesso em 03/12/2015.

[7] Franke, J.;Seligmann, T. Conditional maximum likelihood estimates for inar (1) pro-cesses and their application to modelling epileptic seizure counts. Developments in time series analysis, 1993, pp. 310-330.

[8] Freeland, R.;McCabe, B. P. Analysis of low count time series data by Poisson auto-regression. Journal of Time Series Analysis, 2004, 25, pp. 701-722.

[9] Lima, T. A. C. Modelos INAR e RCINAR, estima¸cão e aplica¸cão. Disserta¸cão de Mestrado,Universidade de São Paulo, 2013.

[10] Montgomery, D. C. Introdu¸cão ao controle estat´ıstico da qualidade. LTC, 2004. [11] Russo, S. L. Gráficos de controle para variáveis não-conformes autocorrelacionadas.

Tese de Doutorado, Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.

[12] Sheaffer, R.;Leavenworth, R. The negative binomial model for counts in units of varying size. Journal of Quality Technology, 8 ,1976.

[13] Silva, L. A. O Efeito da Autocorrela¸cão no Poder de Deteçcão do Gráfico de Médias(X) com Modelos Autorregressivos de ordem 1 e 2, Univerisidade Federal do Rio Grande do Norte, 2012.

[14] Steutel, F.;Van Harn, K. Discrete analogues of self-decomposability and stability. The Annals of Probability, 1979, pp. 893-899.

(39)

[15] Weiβ, C. H. Controlling correlated processes of poisson counts. Quality and reliability engineering international, 2007, v.23,pp. 741-754.

(40)

Apˆ

endice A

Algumas demonstra¸

c˜

oes do Operador Thinning Binomial

A seguir as demonstra¸c˜oes das propriedades do LEMA 3.1.1, da p´agina 17. 1. 0 ◦ N1 = N1 X i=1 tal que P (Xi = 1) = α = 0 ⇒ P (Xi = 0) = 1 − α = 1. Dessa forma, 0 ◦ N1 = N1 X i=1 X1 = N1 X i=1 0 = 0. 2. 1 ◦ N1 = N1 X i=1 Xi tal que P (Xi = 1) = α = 1 assim, 1 ◦ N1 = N1 X i=1 Xi = N1 X i=1 1 = N1. 3. α1◦ (α2◦ N2) = (α1α2) ◦ N2

Seja GN(t) = E(tN) a fun¸c˜ao geradora de probabilidade de N . Se Y = α1◦ N = N

X

j=1

zj, temos que

GY(t) = Gα1◦N(t) = GN(Gz(t)) = G(α1t + 1 − α1),

em que Gz(t) ´e a fun¸c˜ao geradora de probabilidade da Bernoulli(α1). Fazendo

Y = α2◦ N = N X j=1 zj e H = α1◦ Y = Y X j=1 hj, temos que GH(t) = GY(Gh(t)) = GN(Gz(Gh(t))) = GN(α1α2t + 1 − α1α2) Portanto, α1◦ (α2◦ N ) = (α1α2) ◦ N .

(41)

4. α1◦ (N1+ N2) = α1◦ N1+ α2◦ N2 α1◦(N1+N2) = N1+N2 X i=1 Xi = N1 X i=1 Xi+ N2 X i=N1+1 = α1◦N1+ N2 X i=1 Xi+N1 = α1◦N1+α1◦N2. 5. E[α1◦ N1] = E[E[(α1◦ N1)|N1]] = E " E " _N 1 X i=1 Xi|N1 ## = E "_N 1 X i=1 E[Xi|N1] # = E "_N 1 X i=1 E[X1] # = E "_N 1 X i=1 α1 # = E[α1N1] = α1E[N1]. 6. E[(α1◦ N1)N2] = E " _N₁ X i=1 Xi ! N2 # = E[X1+ X2+ · · · + XN1N2] = E[X1N2+ X2N2+ · · · + XN1N2]

= E[X1]E[N2] + E[X2]E[N2] + · · · + E[XN1E[N2]]

= E[N2] [E[N1] + E[X2] + · · · + E[XN1]]

= E[N2] [E[N1+ X2+ · · · + XN1]]

= E[N2]E[α1 ◦ N1]

= α1E[N1]E[N2]

(42)

8. V ar(α1◦ N1) = α21V ar(N1) + α1(1 − α1)E(N1).

Notemos que, a variˆancia pode ser escrita da seguinte forma: V ar(Y ) = E(V ar(Y |X))+ V ar(E(Y |X)).

V ar(α1◦ N1) = V ar(E(α1◦ N1|N1)) + E(V ar(α1◦ N1|N1))

= V ar(α1N1) + E(α1(1 − α1)N1)

= α2₁V ar(N1) + α1(1 − α1)E(N1).

Apˆ

endice B - Rotina Computacional

########## Fun¸c~oes ######################### ########## INAR(1) ############

##Modelo INAR(1) -> Xt = \alpha o Xt-1 + It #It => vari´avel discreta poisson(\lambda) Inar1 <- function(alpha,lambda,n){

y0 <- lambda/(1-alpha) #Esperan¸ca de Xt => E(Xt) b <- 5*n

y <- numeric() y[1] <-round(y0,0) k <- 2

while(k <= (n + b)){

opbin <- rbinom(1, y[k-1], alpha) poisson <- rpois(1, lambda)

y[k] <- opbin + poisson k <- k + 1

}

y[(b + 1):(n + b)]

}

######### Fun¸c~ao que gera o NMA ############

NMA<-function(alfa,lambida,k,mud2,mud){ nma <- NULL

LSC<-lambida/(1-alfa)+k*sqrt(lambida/(1-alfa))

LIC<-max(0,lambida/(1-alfa)-k*sqrt(lambida/(1-alfa))) rep <- 10000

(43)

for(i in 1:rep){ #print(i)

j <- 0 inar <- LSC r <- 10000

while((inar <= LSC) && (inar >= LIC) && (j < r)){ inar = Inar1(alfa*mud2,lambida*mud,1) j <- j + 1 } nma[i] <- j } return(nma) }

#################NMAs para diferentes situa¸c~oes dos par^ametros############ # REMOVENDO TODOS OS OBJETOS DA ´AREA DE TRABALHO

rm(list = ls()) args(NMA)

#Sem autocorrela¸c~ao

M <- NMA(0,1,3,1,1) ; mean(M)

mu0 <- NMA(0.2,1,3,1,1) ; mean(mu0) #=107.1711 mu01 <- NMA(0.4,1,3,1,1) ; mean(mu01) #=134.5859 mu02 <- NMA(0.6,1,3,1,1) ; mean(mu02) #263.3284

########Suponha o processo em controle com \mu0 = 3 mu03 <- NMA(0.2,3,3,1,1) ; mean(mu03)

mu04 <- NMA(0.4,3,3,1,1) ; mean(mu04) mu05 <- NMA(0.6,3,3,1,1) ; mean(mu05)

######Suponha o processo em controle com \mu0 = 5 mu06 <- NMA(0.2,5,3,1,1) ; mean(mu06)

(44)

##Sem autocorrela¸c~ao

x1 <- NMA(0,3,3,1,1) ; mean(x1) x2 <- NMA(0,5,3,1,1) ; mean(x2) x3 <- NMA(0,7,3,1,1) ; mean(x3) x4 <- NMA(0,9,3,1,1) ; mean(x4)

##############MUDANÇA NA MÉDIA DO PROCESSO (AUMENTO DE 20%) ############# ###### Mudan¸ca na média \lambda = 1.2 * \lambda0 , alfa0 = 0.2

args(NMA)

lamb0<- NMA(0.0,1,3,1,1.2) ; mean(lamb0) #Sem autocorrela¸c~ao lam1 <- NMA(0.2,1,3,1,1.2) ; mean(lam1)

lam2 <- NMA(0.4,1,3,1,1.2) ; mean(lam2) lam3 <- NMA(0.6,1,3,1,1.2) ; mean(lam3)

###### Mudan¸ca na m´edia \lambda = 1.2 * \lambda0 , alfa0 =0.2 lam4 <- NMA(0.2,3,3,1,1.2) ; mean(lam4)

###### Mudan¸ca na m´edia \lambda = 1.2 * \lambda0 , alfa0 =0.2

lam13 <- NMA(0.2,9,3,1,1.2) ; mean(lam13) lam14 <- NMA(0.4,9,3,1,1.2) ; mean(lam14) lam15 <- NMA(0.6,9,3,1,1.2) ; mean(lam15)

(45)

args(NMA) #Sem autocorrela¸c~ao a1 <- NMA(0,3,3,1,1.2) ; mean(a1) a2 <- NMA(0,5,3,1,1.2) ; mean(a2) a3 <- NMA(0,7,3,1,1.2) ; mean(a3) a4 <- NMA(0,9,3,1,1.2) ; mean(a4) ################################################################## ########## Mudan¸ca na m´edia = lambda = 1.1 * lambda0 ########## args(NMA) ##### lambda = 1 x0<- NMA(0,1,3,1,1.1) ; mean(x0) x1 <- NMA(0.2,1,3,1,1.1) ; mean(x1) x2 <- NMA(0.4,1,3,1,1.1) ; mean(x2) x3 <- NMA(0.6,1,3,1,1.1) ; mean(x3) ##### lambda = 3 x4 <- NMA(0,3,3,1,1.1) x4 <- NMA(0.2,3,3,1,1.1) ; mean(x4) x5 <- NMA(0.4,3,3,1,1.1) ; mean(x5) x6 <- NMA(0.6,3,3,1,1.1) ; mean(x6) ##### lambda = 5 x7 <- NMA(0.2,5,3,1,1.1) ; mean(x7) x8 <- NMA(0.4,5,3,1,1.1) ; mean(x8) x9 <- NMA(0.6,5,3,1,1.1) ; mean(x9) ##### lambda = 7 x10 <- NMA(0.2,7,3,1,1.1) ; mean(x10) x11 <- NMA(0.4,7,3,1,1.1) ; mean(x11) x12 <- NMA(0.6,7,3,1,1.1) ; mean(x12) ##### lambda = 9 x13 <- NMA(0.2,9,3,1,1.1) ; mean(x13) x14 <- NMA(0.4,9,3,1,1.1) ; mean(x14) x15 <- NMA(0.6,9,3,1,1.1) ; mean(x15)

(46)

#Sem autocorrela¸c~ao alfa = 0 b <- NMA(0,1,3,1,1.1) ; mean(b) b1 <- NMA(0,3,3,1,1.1) ; mean(b1) b2 <- NMA(0,5,3,1,1.1) ; mean(b2) b3 <- NMA(0,7,3,1,1.1) ; mean(b3) b4 <- NMA(0,9,3,1,1.1) ; mean(b4)

########## Mudan¸ca na m´edia = lambda = 0.9 * lambda0 ########## xx0 <- NMA(0,1,3,1,0.9) ; mean(xx0) #Sem autocorrela¸c~ao

xx1 <- NMA(0.2,1,3,1,0.9) ; mean(xx1) # lambda = 1 xx2 <- NMA(0.4,1,3,1,0.9) ; mean(xx2) # lambda = 1 xx3 <- NMA(0.6,1,3,1,0.9) ; mean(xx3) # lambda = 1

xx10 <- NMA(0.2,7,3,1,0.9); mean(xx10) # lambda = 7 xx11 <- NMA(0.4,7,3,1,0.9); mean(xx11) # lambda = 7 xx12 <- NMA(0.6,7,3,1,0.9); mean(xx12) # lambda = 7

xx13 <- NMA(0.2,9,3,1,0.9); mean(xx13) # lambda = 9 xx14 <- NMA(0.4,9,3,1,0.9); mean(xx14) # lambda = 9 xx15 <- NMA(0.6,9,3,1,0.9); mean(xx15) # lambda = 9

#Sem autocorrela¸c~ao c1 <- NMA(0,3,3,1,0.9) ; mean(c1) c2 <- NMA(0,5,3,1,0.9) ; mean(c2) c3 <- NMA(0,7,3,1,0.9) ; mean(c3) c4 <- NMA(0,9,3,1,0.9) ; mean(c4) ######################################################################### ############ MUDANÇA NA MÉDIA (DECRÉCIMO DE 20%) ##############

(47)

###### Mudan¸ca na m´edia \lambda = 0.8 * \lambda0 , alfa0 = 0.2, 0.4 e 0.6 la1 <- NMA(0.2,1,3,1,0.8) ; mean(la1)

la2 <- NMA(0.4,1,3,1,0.8) ; mean(la2) la3 <- NMA(0.6,1,3,1,0.8) ; mean(la3)

###### Mudan¸ca na m´edia \lambda = 0.8 * \lambda0 , alfa0 = 0.2, 0.4 e 0.6 la10 <- NMA(0.2,7,3,1,0.8) ; mean(la10) #lambida = 7

la11 <- NMA(0.4,7,3,1,0.8) ; mean(la11) #lambida = 7 la12 <- NMA(0.6,7,3,1,0.8) ; mean(la12) #lambida = 7

###### Mudan¸ca na m´edia \lambda = 0.8 * \lambda0 , alfa0 = 0.2, 0.4 e 0.6 la13 <- NMA(0.2,9,3,1,0.8) ; mean(la13) #lambida = 9

la14 <- NMA(0.4,9,3,1,0.8) ; mean(la14) #lambida = 9 la15 <- NMA(0.6,9,3,1,0.8) ; mean(la15) #lambida = 9

#Sem autocorrela¸c~ao, ou seja, alfa = 0 => Gr´afico c tradicional d1 <- NMA(0,3,3,1,0.8) ; mean(d1)

d2 <- NMA(0,5,3,1,0.8) ; mean(d2) d3 <- NMA(0,7,3,1,0.8) ; mean(d3) d4 <- NMA(0,9,3,1,0.8) ; mean(d4)

############################################################################ #Mudan¸ca na autocorrela¸c~ao \alpha = 0.8 * \aplha0 , alfa0 = 0.2, 0.4 e 0.6

aut1 <- NMA(0.2,1,3,0.8,1) ; mean(aut1) #lambida = 1 aut2 <- NMA(0.4,1,3,0.8,1) ; mean(aut2) #lambida = 1 aut3 <- NMA(0.6,1,3,0.8,1) ; mean(aut3) #lambida = 1

(48)

##########Mudan¸ca na autocorrela¸c~ao do processo ############# ##### Em controle

####### Em controle alfa = alfa0 , alfa0 = 0.2 ####### lambda0 = 1

al1 <- NMA(0.2,1,3,1,1) ; mean(al1) al2 <- NMA(0.4,1,3,1,1) ; mean(al2) al3 <- NMA(0.6,1,3,1,1) ; mean(al3)

############################################################################# ########## MUDANÇA NA AUTOCORRELAÇ~AO (ACRÉCIMO DE 20% )#########

#Mudan¸ca no alfa <=> alfa = 1.2 alfa0 , lambda = 1 , alfa0 = 0.2. 0.4 e 0.6 alp1 <- NMA(0.2,1,3,1.2,1) ; mean(alp1)

alp2 <- NMA(0.4,1,3,1.2,1) ; mean(alp2) alp3 <- NMA(0.6,1,3,1.2,1) ; mean(alp3)

(49)

alp7 <- NMA(0.2,5,3,1.2,1) ; mean(alp7) alp8 <- NMA(0.4,5,3,1.2,1) ; mean(alp8) alp9 <- NMA(0.6,5,3,1.2,1) ; mean(alp9)

#Sem autocorrela¸c~ao alfa = 0.

e <- NMA(0,1,3,1.2,1) ; mean(e) #273 e1 <- NMA(0,3,3,1.2,1) ; mean(e1) e2 <- NMA(0,5,3,1.2,1) ; mean(e2) e3 <- NMA(0,7,3,1.2,1) ; mean(e3) e4 <- NMA(0,9,3,1.2,1) ; mean(e4) ############################################################################# ########### Mudan¸ca na autocorrela¸c~ao alfa = 1.1. alfa0 ###############

#lambda = 1

al1 <- NMA(0.2,1,3,1.1,1) ; mean(al1) al2 <- NMA(0.4,1,3,1.1,1) ; mean(al2) al3 <- NMA(0.6,1,3,1.1,1) ; mean(al3)

#lambda = 3

#lambda = 5

(50)

#lambda = 9

#Sem autocorrela¸c~ao args(NMA) d <-NMA(0,1,3,1.1,1) ; mean(d) d1 <-NMA(0,3,3,1.1,1) ; mean(d1) d2 <-NMA(0,5,3,1.1,1) ; mean(d2) d3 <-NMA(0,7,3,1.1,1) ; mean(d3) d4 <-NMA(0,9,3,1.1,1) ; mean(d4) ####################################################################### ########## MUDANÇA NA AUTOCORRELAÇ~AO (DECRÉCIMO DE 20%) ########

args(NMA)

#Mudan¸ca no alfa alfa = 0.8 * alfa0 , lambida = 1, alfa0 = 0.2. 0.4 e 0.6 aut1 <-NMA(0.2,1,3,0.8,1) ; mean(aut1)

aut2 <-NMA(0.4,1,3,0.8,1) ; mean(aut2) aut3 <-NMA(0.6,1,3,0.8,1) ; mean(aut3)

#Mudan¸ca no alfa alfa = 0.8 * alfa0, lambida = 3,alfa0 = 0.2. 0.4 e 0.6 aut4 <-NMA(0.2,3,3,0.8,1) ; mean(aut4)

aut5 <-NMA(0.4,3,3,0.8,1) ; mean(aut5) aut6 <-NMA(0.6,3,3,0.8,1) ; mean(aut6)

#Mudan¸ca no alfa alfa = 0.8 * alfa0, lambida = 5,alfa0 = 0.2. 0.4 e 0.6

aut7 <- NMA(0.2,5,3,0.8,1) ; mean(aut7) aut8 <- NMA(0.4,5,3,0.8,1) ; mean(aut8) aut8 <- NMA(0.6,5,3,0.8,1) ; mean(aut9)

#Mudan¸ca no alfa alfa = 0.8 * alfa0, lambida = 7,alfa0 = 0.2. 0.4 e 0.6