Uma Aplicação do Teorema dos Resíduos

Uma Aplicação do Teorema dos Resíduos

Miguel Moreira

Escola Superior de Tecnologia de Setúbal DMAT

José Vieira Antunes

Instit uto Tecnológico e Nuclear LDA

Heitor Pina

Institut o Superior Técnico DEM

R esum o

O movimento rotativo de um rotor numa região con…nada determi-na o escoamento do ‡uído envolvente e o desenvolvimento de forças de interacção ‡uído-estrutura, cujo conheciment o é essencial na previsão do comportamento dinâmico dest e sistema. A determinação explícita das força referidas a partir das equações de Navier-Stokes conduz à necessidade de resolução de integrais de…nidos do tipo,

Gi j_k (H ; X ; Y ) = Z 2¼

0

sini_µcosj _µ

(H ¡ X cosµ ¡ Y sin µ)kdµ;

em que H; X ; e Y são constant es tais que X2_{+ Y}2_{< H}2_{e i; j e k são}

parâmet ros inteiros que podem variar entre zero e quatro.

A aplicação de uma forma particular do teorema dos resíduos da análisecomplexa const itui a solução natural do problema anterior, con-cretizada recorrendo ao auxílio deum manipulador simbólico para fazer face à extensão das manipulações algébricas necessárias.

1 I nt r odução

1.1 For mulação do Pr oblema

Consideremos as forças resultantes do escoamento de ‡uído na região anu-lar representada na …gura 1, determinado pela rotação - do veio circuanu-lar interno de raio R. A determinação destas forças (também designadas ‡uí-do-elásticas) é essencial no estudo do comportamento vibratório dos veios e rotores de equipamentos rotativos em geral. Em Antunes et al. [1], por exemplo, pode encontrar-se uma completa discussão teórica e a motivação para o estudo deste assunto.

.

X t_{( )}

Y t( )

Y

X

R

θ

Ω

( )

uθ_,t

Figura 1: Geometria do escoamento

aproximada recorrendo à seguinte equação,

h(µ; t) = H ¡ X (t) cosµ ¡ Y(t) sin µ; (1) em que X e Y representam factores associados à excentricidade do sistema (posição do centro do veio interior) e H representa a folga que existiria se a excentricidade instantânea referida fosse nula. Naturalmente e para que o veio interior não entre em contacto com a superfície do estator supõe-se que, X (t)2+ Y (t)2< H2_.

As equações de conservação da massa e do momento que permitem mo-delar (simpli…cadamente) o escoamento referido são (ver Antunes et al. [1]):

@h @t +

1 R

@(hu)

@µ = 0; (2)

½ (

@(hu) @t +

1 R

@¡hu2¢ @µ

)

+ ¿ + h R

@p

@µ = 0; (3)

em que u (µ; t) representa uma velocidade tangencial do ‡uído (valor médio na folga) e ¿(µ; t) as tensões de natureza dissipativa. Estas últimas podem ser descritas recorrendo à formulação semi-empírica

¿(u) = ¿r (u) + ¿s(u)

= ¡ 1

2½f (- R ¡ u)2+ 1 2½f u2 = ½f - Ru ¡ 1

2½f - 2R2 (4) onde f representa um apropriado coe…ciente de fricção.

Observe-se que reescrevendo a equação da continuidade (2) como, @u @µ + u

h@h@µ = ¡ Rh @h@t deduz-se,

u(µ; t) = R h

µ ¡

Z µ @h @t ¶

dµ ¶

= R ³ _²

X sin µ¡ Y cosµ + C² ´

tendo em conta (1). De assinalar a presença da constante de integração, C(t), na expressão da velocidade (5),assim obtida.

1.2 D et er minação das For ças Fluído-elást icas

Denotando por FX(t) e FY(t) as componentes segundo X e Y da força resultante que o ‡uído exerce no rotor, pode mostrar-se que

FX(t) = ¡ L R Z _2¼

0 p(µ; t) cosµdµ = L R Z _2¼

0

@p(µ; t)

@µ sin µdµ; (6)

FY(t) = ¡ L R Z _2¼

0 p(µ; t) sin µdµ = ¡ L R Z _2¼

0

@p(µ; t)

@µ cosµdµ; (7)

em que R e L representam o raio e o comprimento do rotor. Assim, inte-grando entre 0 e 2¼, as seguintes formas equivalentes da equação (3),

¡ @p_@µsin µ = ½

½ ½

R@(hu)_h@t + @(_h@µhu2) ¾

+ R¿(u)_h ¾

sin µ; (8)

¡ @p_@µcosµ = ½

½ ½

R@(hu)_h@t + @(_h@µhu2) ¾

+ R¿(u)_h ¾

cosµ; (9)

deduz-se,

FX(t) = ¡ ½R2L Z _2¼

0

@(hu)

h@t sin µdµ ¡ ½RL Z _2¼

0

@¡hu2¢

h@µ sin µdµ (10)

¡ R2_L Z _2¼

0

¿(u)

h sin µdµ;

FY(t) = ½R2L Z _2¼

0

@(hu)

h@t cosµdµ + ½RL Z _2¼

0

@¡hu2¢

h@µ cosµdµ (11)

+ R2_L Z _2¼

0

¿(u)

h cosµdµ:

Tendo em conta a expressão conhecida da velocidade (5), facilmente se veri…ca que cada um dos integrais de…nidos representados nas equações (10) e (11), pode ser descrito com base em integrais de…nidos elementares do tipo,

Gi j_k (H ; X ; Y) = Z _2¼

0

sini_{µ cos}j _µ

(H ¡ X cosµ ¡ Y sin µ)kdµ; 0 i ; j ; k 4: (12)

de…nidos indicados: R_2¼

0

@(hu2₎

h@µ sin µdµ = 2R2 µ µ ³ _²

X ´2

¡ ³Y² ´2¶

G21 2 +

²

2XY G² 302 ¶

+ 2R2³¡ X² Y G² 102 + C ³ _²

X G112 + ² Y G202

´ ´

¡ R2µ ³_X² ´2_{X G}40 3 + X

³ _² Y

´2 G22

3 ¡ 2X ² XY G² 313

¶

¡ R2³_C2_{X G}20

3 + 2CX ³ _²

X G303 ¡ ² Y G213

´ ´

¡ R2 µ

¡ ³X² ´2

Y G31 3 ¡ Y

³ _² Y

´2 G13

3 + 2 ²

X Y Y G² 223 ¶

¡ R2³¡ C2Y G11₃ ¡ 2CY³X G² 213 ¡ ² Y G123

´ ´ :

Torna-se assim claro que a obtenção de expressões analíticas que descre-vam FX (t) e FY (t) está dependente do cálculo dos integrais de…nidos do tipo (12) em função dos parâmetros H , X e Y.

Re…ra-se que o seu cálculo recorrendo às técnicas da análise real depen-dente da computação prévia das primitivas envolvidas não é uma tarefa fácil, conduzindo frequentemente a expressões muito pesadas.

2 A aplicação do Teor ema dos R esíduos

O procedimento natural para calcular estes integrais de…nidos (12) consiste na utilização do resultado elementar (consequência do teorema dos resíduos) da análise complexa (proposição 1) que seguidamente se expõe.

Pr op osit ion 1 Seja R (x; y) uma função racional em x e y cujo denomi-nador não se anula na circunferência centrada na origem e de raio unitário. Então

Z _2¼

0 R (cosµ; sin µ) dµ = 2¼i X

[resíduos de f (z) no interior de D ] (13)

em que

f (z) = R ¡₁

2 ¡

z + 1 z ¢

; 1 2i ¡

z ¡ 1 z

¢¢

iz (14)

e D representa o interior do círculo unitário centrado na origem. Proof. Consultar Marsden [2], pg 302, por exemplo.

Pr op osit ion 2 Suponha-se que f tem um polo de ordem k em z0. Então

Res(f ; z0) = lim_{z! z}

0

©(k¡ 1)_(z) (k ¡ 1)! ;

em que © (z) = (z ¡ z0)kf (z).

Pr oof. Consultar Marsden [2], pg 272.

2.1 Exemplo de A plicação

Ilustremos a aplicação destes resultados no cálculo de

G00

3 (H ; X ; Y) = Z _2¼

0

1

(H ¡ X cosµ ¡ Y sin µ)3dµ;

supondo naturalmente que H > 0 e X2_{+ Y}2_{< H}2_.

1. Comecemos por determinar a função f (z) nos termos da proposição 1,

f (z) = R ¡₁

2 ¡

z + 1 z ¢

; 1 2i ¡

z ¡ 1 z

¢¢

i z

= 1

iz¡H ¡ X 1 2 ¡

z + 1 z ¢

¡ Y 1 2i ¡

z ¡ 1 z

¢¢₃

= ¡ 8z2

i ((X ¡ i Y) z2_{¡ 2H z + X + i Y )}3

= ¡ 8z2

i (X ¡ i Y)3(z ¡ z1)3(z ¡ z2)3 ;

em que

z1= _{(X ¡ i Y)}1 ³

H + p H2_{¡ X}2_{¡ Y}2´

e

z2= 1 (X ¡ i Y)

³

H ¡ p H2_{¡ X}2_{¡ Y}2´

são polos de ordem 3.

2. Repare-se que z2 é o único polo que se localiza no interior do cír-culo unitário. Calculemos então o resíduo de f em z2 com base na proposição 2. Seja,

© (z) = ¡ 8z2

então

Res(f ; z2) = 1_{2z! z}lim

2©

00_{(z) :}

Concluíndo-se,

Res(f ; z2) = i¡ 16z 2

2¡ 16z12¡ 64z1z2 2 (X ¡ i Y)3(z1¡ z2)5

:

3. Substituindo em (13) e simpli…cando obtemos …nalmente o resultado desejado:

Z _2¼

0

1

(H ¡ X cosµ ¡ Y sin µ)3dµ = ¼ 16z2

2+ 16z21+ 64z1z2 (X ¡ i Y )3(z1¡ z2)5

= ¼ ¡

2H2_{+ X}2_{+ Y}2¢ ³ p

H2_{¡ X}2_{¡ Y}2´5: (15)

3 Conclusões

No apêndice A podem encontrar-se os integrais de…nidos do tipo Gi j_k calcu-lados pela via apresentada.

De referir que a metodologia referida se bem que conceptualmente sim-ples exige a realização de computações algébricas extensas e pesadas que só puderam ser facilmente ultrapassadas com o recurso a um manipulador simbólico.

Este trabalho reforça a ideia da importância de se considerar na for-mação do Engenheiro uma sólida preparação matemática (nomeadamente e em particular o conhecimento de alguns resultados elementares da análise complexa) e a familiaridade na utilização das ferramentas computacionais de manipulação simbólica actualmente disponíveis.

Refer ências

[1] Antunes, J., Axisa, F. and Grunenwald, T., Dynamics of rotors im-mersed in eccentric annular ‡ow. Part1:Theory, Journal of Fluid and Structures (1996), 10, 893-918.

A

I nt egr ais A zimut ais

G00 1 =

2¼ p

H2_{¡ X}2_{¡ Y}2 (16)

G01₁ = 8 < :

0 se X = Y = 0 2¼X H ¡

p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

(X2_{+ Y}2₎p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎ c.c.

(17)

G10₁ = 8 < :

0 se X = Y = 0 2¼Y H ¡

p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

(X2_{+ Y}2₎p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎; c.c.

(18)

G11₁ = 8 < :

0 se X = Y = 0 ¡ 2¼Y X X2+ Y2¡ 2H2+ 2

p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)H

(X2_{+ Y}2₎2p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎ ; c.c.

(19)

G20₁ = 8 < :

¼

H se X = Y = 0

2¼X2(X2+ Y2)¡ H2(X2¡ Y2)+ H(X2¡ Y2) p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

(X2_{+ Y}2₎2p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎ ; c.c

(20)

G02

1 = G001 ¡ G201 =

= 8 < :

¼

H se X = Y = 0;

2¼X2Y2+ Y4+ H2X2¡ H2Y2¡ H p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)X2_{+ H}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)Y2

(X2_{+ Y}2₎2p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎ ; c.c.

(21)

G00

2 = 2¼H p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎2 (22)

G01

2 = 2¼X p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎2 (23)

G10

2 = 2¼Y p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

G20₂ = 8 > < > :

¼

H2 se X = Y = 0

2¼ ³

H Y2_(Y2_{+ X}2_)+(H2_(X2_{¡ Y}2_{)¡ X}4_{+ Y}4₎³_{H ¡} p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´ ´

(X2_{+ Y}2₎2³p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3 ; c.c.

(25)

G02

2 = G002 ¡ G202 (26)

G11 2 =

8 < :

0 se X = Y = 0

2¼X YH(¡ 2H2+ 3(X2+ Y2))+ 2(H2¡ Y2¡ X2) p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎

³_p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3_(X2_{+ Y}2₎2 ; c.c.

(27)

G30₂ = 2¼Y¡ 3 p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)X2_{¡ 3H X}2_{¡ 2H Y}2_{+ 3}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)H2_{+ 3H}3

³_p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3³_{H +}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3 (28)

G03₂ = 2¼X ¡ 3 p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)Y2_{¡ 3H Y}2_{¡ 2H X}2_{+ 3}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)H2_{+ 3H}3

³p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3³_{H +}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3 (29)

G12

2 = G102 ¡ G302 (30)

G21

2 = G012 ¡ G032 (31)

G00 3 =

¡

2H2_{+ X}2_{+ Y}2¢ ¼ ³ p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5

(32)

G20₃ = ¼_{³ p}H2¡ X2+ 2Y2

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5 (33)

G02

G11 3 = ¼

3X Y ³ p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5

(35)

G10 3 = 3¼

H Y ³ p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5

(36)

G01

3 = 3¼³ p H X

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5

(37)

G30

3 = ¼Y ³

9H4_{+ 9}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)(H3_{¡ X}2_{H)¡ 4H}2_Y2_{¡ 15H}2_X2_{¡ 2Y}4_{+ 4Y}2_X2_{+ 6X}4´

³_p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5³_{H +}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3

(38)

G12

3 = G103 ¡ G303 (39)

G03₃ = ¼X ³

9H4_{+ 9}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2_)(H3_{¡ Y}2_{H)¡ 4H}2_X2_{¡ 15H}2_Y2_{¡ 2X}4_{+ 4Y}2_X2_{+ 6Y}4´

³p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5³_{H +}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´3

(40)

G21₃ = G01₃ ¡ G03₃ (41)

G40₃ = 3¼(2H

6_{¡ 5H}4_X2_{+ 4H}2_X4_{¡ X}6_{+ 3H}4_Y2_{¡ 6H}2_X2_Y2_{+ 3X}4_Y2_{¡ 4H}2_Y4_{+ 4X}2_Y4₎

³p

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5³_{H +}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´4

+ 3¼2H(H4¡ 2H2X2+ X4+ 2H2Y2¡ 2X2Y2¡ Y4)

(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎2³_{H +}p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´4 (42)

G04

3 = G003 ¡ 2G203 + G403 (43)

G22₃ = G20₃ ¡ G40₃ (44)

G31

3 = 3¼X Y

3X4_{+ X}2_Y2_{¡ 7H}2_X2_{¡ 2Y}4_{¡ H}2_Y2_{+ 4H}4

³

H +p(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´4³p_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´5

+ 3¼X Y³ 4H(H2¡ X2)

H +p(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎´4_(H2_{¡ X}2_{¡ Y}2₎2 (45)

G13

B

Simbologia U t ilizada

C (t) ¡ Constante (dependente do tempo) associada à integração da equação da continuidade;

f ¡ Coe…ciente de fricção na parede do rotor/ parede do estator; FX(t); FY(t)¡ Forças ‡uidoelásticas;

h(µ; t)¡ Folga local;

L ¡ Comprimento mergulhado do veio (rotor); p(µ; t)¡ Pressão azimutal;

R¡ Raio do veio (rotor) imerso; t¡ Tempo;

u(µ; t)¡ Velocidade tangencial local; X (t); Y (t)¡ Posição do veio (rotor); µ¡ Ângulo azimutal;

½¡ Massa volúmica do ‡uído;

¿(u) ¡ Tensão de corte total (como função de u);

¿r(u) ¡ Tensão de corte na parede do rotor (como função de u); ¿s(u) ¡ Tensão de corte na parede do estator (como função de u); - ¡ Velocidade angular do rotor;