H H P P 1 1 2 2 C C
Módulo II
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Há ocasiões em que será necessário verificar se uma taxa de juros aplicada a um capital e uma taxa de juros, aplicada para fins de desconto, são equivalentes. Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar, reinvestir, etc..
A fórmula para determinar uma taxa equivalente é:
Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:
i / (1 – i) * n
Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente:
i / (1 + i) * n
Exemplo: Vamos pegar um capital de R$60.000,00 investido a juros simples de 8%
a.m. por 3 meses. Qual a taxa de desconto simples equivalente ? Usando a fórmula:
i / (1 + i) * n = 0,08 / 1,08 * 3 = 0,0222
Ou seja, 2,22% a.m. de desconto é equivalente a 8% a.m. para aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses.
Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples:
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O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Veja o que acontece em uma aplicação financeira por três meses, capitalização mensal:
mês 1: M=P x (1 + i)
mês 2: o principal é igual ao montante do mês anterior: M=P x (1 + i) x (1 + i)
mês 3: o principal é igual ao montante do mês anterior: M=P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando:
É importante lembrar que a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses, e assim por diante.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir do montante ao final do período, o principal.
Exemplos:
1. Quanto renderá uma aplicação de R$ 1000,00 por 1 ano se a taxa oferecida é de 3,5 a.m.? R: R$ 511,07
JUROS COMPOSTOS
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2. Quanto devo aplicar hoje para após 6 meses ter R$ 5000.00 se a taxa é de 8 % a.m.? R: R$ 3150,84
3. Que taxa está sendo paga por uma aplicação que após 3 meses rendeu R$
1311,27 a um capital de R$ 1200,00?
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O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro simples. A fórmula é:
A = N * 1 / (1 + i) n
Exemplo: Suponhamos que você quer descontar um título de R$25.000,00, 2 meses antes do vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m..
Calcule o valor atual do título. Aplicando a fórmula:
A: o que você quer saber N: 25.000,00
i: 3 % ou 0,03 n: 2
Logo: A = 25000 * 1 / (1+0,03) 2 = R$23.564,90 Sequência na HP12C:
25000 [ENTER]
1 [X]
1 [ENTER]
0.03 [+]
2 [Y elevado a X]
[TECLA DE DIVISÃO ] VISOR: 23564,90
DESCONTO COMPOSTO
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1. Qual os juros de uma aplicação de R$ 5000,00 a 1.5 % a.m. por 2 meses?
2. Uma loja vende seus produtos à vista com 5 % de desconto com cheque pré-datado para um mês, sem acréscimo, ou com pré-datado para 2 meses com acréscimo de 3%. Qual a melhor forma de pagamento se a poupança está pagando 3.5 % a.m.?
A melhor forma de pagamento é à vista, já que os juros pagos pela poupança são menores que os cobrados pela loja.
3. Quanto deve ser aplicado hoje para se ter R$ 10000,00 depois de 3 anos, se a taxa de juros for de 5 % a.m.?
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a nível de financiamentos quanto de investimentos. Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrário é chamada de permanente. Apesar da opinião de alguns mutuários da Caixa Econômica, o financiamento da casa própria é temporária, apesar de ter um termo de conclusão bem longo.
Agora, se os termos da renda certa forem iguais é chamada de: Renda Certa de Termo Constante ou Renda Certa Uniforme; senão é uma Renda Certa de Termo Variável.
Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiverem o mesmo intervalo de tempo, diz-se que a renda certa é periódica; caso contrário é não periódica.
Exemplo: Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à variação da TR) e periódica. Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica. Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação), de termo variável e periódica.
Mais algumas definições :
As rendas periódicas podem ser divididas em :
• Postecipadas
• Antecipadas
• Diferidas
Postecipadas são aquelas na qual o pagamento é efetuado no fim de cada período e não na origem.
Exemplo: Pagamento de fatura de cartão de crédito.
Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo.
Exemplo: Financiamentos com pagamento à vista.
Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado período.
Exemplo: Promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias, caso ainda não tenha percebido, os cálculos envolvendo renda certa lembram os cálculos de Juros Compostos e Descontos Compostos comentados anteriormente.
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
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Em linguagem simplificada, a diferença entre esses e os casos de Renda Certa, é que nesse último você calcula quanto teve de juros, sobre uma base de cálculo fixa, podendo a mesma ser dividida em n parcelas; no caso dos Juros Compostos e Descontos Compostos, a base de cálculo varia por período.
Trabalharemos aqui com cálculos de renda certas do tipo periódicos, de termos constantes e temporários, os quais são, usualmente, os mais pedidos em concursos. Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada depende de ser postecipada, antecipada ou diferida. Assim, se for:
Postecipada a fórmula é: V = T * an¬i Antecipada a fórmula é: V = T+T * an-1¬i Diferida a fórmula é: V = T * an¬i / (1+i) * m
m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida de 3 meses, m será 2. Para saber o valor de an¬i, você pode:
-usar as tabelas, ou
-calcular usando a fórmula:
an¬i = (1+i) n -1 / i * (1+i) n.
Exemplo 1:
n: 12 T: 2800 i: 8% ou 0,08
Logo: V = T + T * an – 1 ¬ i
V = 2800 + 2800 * a11¬8% = R$22.789,10
Para facilitar a compreensão, vamos detalhar como esta conta é feita na HP12C:
V = 2800 + 2800 * a11¬8%
A fórmula é simples, o segredo aqui é descobrir o valor de a11¬8%.
Conforme vimos nesta página, este valor pode ser calculado pela fórmula:
an¬i = (1+i) n -1 / i * (1+i) n.
Traduzindo isso para os números do problema, temos:
a11¬8 = (1+0,08) 11 -1 / 0,08 * (1+0,08) 11
CALCULANDO VALOR ATUAL EM CASOS DE RENDAS CERTAS
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A sequência de teclas na HP12C para chegar ao valor de a11¬8 é:
1,08 [ENTER]
11 [y elevado a x]
1 [ - ]
0,08 [ENTER]
1,08 [ENTER]
11 [y elevado a x]
[x]
[/]
Visor: 7,1389
Como temos o valor de a11¬8, fica fácil terminar a conta:
V = 2800 + 2800 * a11¬8%
Substituindo o valor de a11¬8%:
V = 2800 + 2800 * 7,1389
Sequência de teclas na HP12C:
2800 [ENTER]
2800 [ENTER]
7,1389 [x]
[+]
VISOR: 22789,1
Exemplo 2: Um dormitório é vendido em 4 prestações de R$750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses após a compra (esse é um caso de diferida). Sabendo que a loja trabalha com juros de 6% a.m., calcule o valor à vista .
Aplicando a fórmula:
n: 4 T: 750 m: 2
i: 6% ou 0,06
Logo: V = 750 * a4¬6% / (1+0.06) 2 = 750 * 3,465106 / 1,1236 = R$2.312,95
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Esse sistema é utilizado mais em países europeus. Assim, se você fizer negócios com a Alemanha, Suíça e outros é bem capaz de você encontrar esse tipo de amortização. O que o torna diferente ? Enquanto que nos outros sistemas de amortização os juros são pagos no vencimento, neste sistema os juros são pagos antecipadamente. Ou seja, quanto você contrai o empréstimo os juros do primeiro período são pagos; quando for pagar a 1ª parcela pagará, também, os juros antecipados da 2ª parcela e assim por diante.
A prestação é calculada pela fórmula : p = C * i / 1 - (1 - i) n
Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um financiamento em um banco suíço com juros de 4% a.a., a ser pago em 5 anos. Calcule a prestação anual.
Aplicando a fórmula:
p = C * i / 1 - (1 - i) n
Logo p= 300000 * 0,04 / 1- (1 – 0,04) 5 = R$64.995,80
Ou seja, ao final você pagará R$336.979,02 em 5 prestações, correspondente R$300.000,00 ao valor de amortização e R$36.979,02 aos juros. Verificamos que R$64.995,80 vezes 5 anuidades dá R$324.979,00 o que resulta em uma diferença de R$12.000. Só que você paga os juros antecipados, 4% sobre R$300.000 é R$12.000.
Mostramos abaixo uma tabela para melhor entendimento.
Parc. Juros Anuidade Saldo
12.000,00 12.000,00 1 300.000,00 9.400,00
64.995,80 235.004,00 2 235.004,20 6.800,00
64.995,80 170.008,00 3 170.008,40 4.200,00
64.995,80 105.013,00 4 105.012,60 1.601,00
64.995,80 40.017,00 5 40.016,80
64.995,80 -24.979,00
Total = R$336.979,00
SISTEMA ALEMÃO DE AMORTIZAÇÃO
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A sequência de teclas a serem pressionadas na HP12C para resolver o exemplo anterior é:
300000 [ENTER]
0.04 [x]
1 [ENTER]
0,96 [ENTER]
5 [ X elevado a Y ] [ - ]
[ / ]
Visor: 64995,80
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Neste sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em um único pagamento, normalmente ao final, enquanto os juros são pagos periodicamente. Nesse caso, não existem cálculos complexos. Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálculo de juros simples que você terá o total de juros, dividindo o mesmo pelo período, obtendo os pagamentos mensais
Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um financiamento em um Banco Americano com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:
Calculando:
300.000 * 4% * 5 = R$60.000,00
Ou seja, você ao final você pagará $ 360.000,00 em 5 prestações, correspondendo R$300.000,00 ao valor de amortização, paga de uma única vez ao final do período e R$60.000,00 de juros, pagos em 5 prestações iguais de R$12.000,00
Na HP12C, a sequência de teclas a serem pressionadas é:
300000 [ENTER]
0.04[x]
5[x]
Visor: 60000,00
Há casos em que o cliente , não desejando pagar de uma só vez o valor do principal,
negocia com o banco a criação de um fundo de amortização denominado SINKING FUND de forma que, ao final do período o total de fundo seja igual ao valor a pagar. Um tipo de caderneta de poupança forçada vamos assim dizer. A prestação é calculada pela fórmula:
M=T * Sn¬i
Ou se você preferir, divida o principal pelo número de prestações, que você terá o valor do depósito mensal a ser feito.
SISTEMA AMERICANO
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Também conhecido como Sistema Price, em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII. Já a denominação Sistema Francês vem do fato de esse sistema ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula :
T * an¬i
Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferença entre o valor dos juros e da prestação.
Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:
Aplicando a fórmula:
F: 300000
T: Valor das prestações n: 5
i: 4% ou 0,04
F = T * an¬i e T = F / an¬i
Logo: T = 300000 / a5¬4% = 300000 / 4,451822 = R$67.388,13
Ou seja, ao final você pagará R$336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$300.000,00 ao valor de amortização e R$36.940,65 aos juros .
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SISTEMA PRICE)
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Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pela quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor da prestação.
Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você precisará montar uma planilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo é usado pelo SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais.
Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:
O valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade de períodos, ou seja:
300.000 / 5 = 60.000.
Os juros são calculados sobre os saldos da prestação, assim:
1º mês
300.000 * 4% = R$12.000,00 2º mês
240.000 * 4% = R$9.600,00 3º mês
180.000 * 4% = R$7.200,00 4º mês
120.000 * 4% = R$4.800,00 5º mês
60.000 * 4% = R$2.400,00
Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, no primeiro mês você pagará R$72.000,00 de prestação mas do saldo devedor será subtraído apenas o valor da amortização que é R$60.000,00 e assim por diante.
Ou seja, você ao final você pagará R$336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de R$72.000,00, a segunda de R$69.600,00, a terceira de R$67.200,00, a quarta de R$64.800 e a quinta de R$62.400,00. Disso, R$300.000, 00 corresponde ao principal e R$36.000,00 aos juros.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
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Esse sistema é baseado no SAC e no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual à média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições. Esse é o caso típico daquela frase, para que simplificar se podemos complicar... na verdade é apenas mais uma forma de se fazer um pagamento, uma outra alternativa que o cliente tem para quitar suas dívidas.
Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:
Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo que temos a fazer é somar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois.
Ou seja, você ao final você pagará $ 336.470,34 em 5 prestações, divididas da seguinte forma :
1ª - $ 69.694,06 2ª - $ 68.494,07 3ª - $ 67.294,07 4ª - $ 66.094,07 5ª - $ 64.894,07
Sabemos que R$300.000, 00 corresponde ao principal e R$36.470,34 aos juros.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)
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BÁSICO
Juros Simples: ... j = C * i * n
Montante ( Juros Simples):... M = C * (1 + i * n)
Juros Compostos: ... Cn = C
* (1 + i) n
Desconto Composto: ... A = N * 1 / (1+i) n
Desconto Comercial Simples: ... d = N * i * n
Valor Atual: ... A = N * (1 – i * n)
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Entre duas taxas (juros compostos):
DE PARA FÓRMULA
a.m. a.a. ia = (1 + im) * 12 - 1 a.d. a.m. im = (1 + id) * 30 - 1 a.d. a.a. ia = (1 + id) *360 - 1 a.a. a.m. im = (1 + ia) * 1 / 12 - 1 a.m. a.d. ia = (1 + im) *1 / 30 - 1 a.a. a.d. id = (1 + ia) * 1 / 360 - 1
ENTRE APLICAÇÃO E DESCONTO (SIMPLES) :
Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:
i / 1- i.n
Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente:
i / 1+ i.n
LISTA DE FÓRMULAS
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RENDAS CERTAS
Valor Atual (Postecipada): ... V
= T * an¬i
Valor Atual (Antecipada): ...V = T + T
* an - 1¬i
Valor Atual (Diferida):... V = T * an¬i / (1 + i) * m
Montante:... M = T * Sn¬i
an¬i: ... (1+i) n -1 / i * (1+i) n
