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Regra da cadeia. Sejam A R 2 aberto não vazio, de R 2, f : A R uma função, γ : I R R 2 curva parametrizada dada por

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Academic year: 2022

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Texto

(1)

Regra da cadeia

SejamA⊆R2 aberto n˜ao vazio, de R2,f :A→Ruma fun¸c˜ao, γ:I ⊆R→R2 curva parametrizada dada por

γ(t) .

= (x(t),y(t)), para cada t∈I, (1) comγ(t)∈A, parat ∈I, onde I ´e um intervalo aberto deR. Mostraremos que se as fun¸c˜oes f, seja cont´ınua com derivadas parciais de 1.a ordem cont´ınuas em~xo .

=γ(to), eγ ´e diferenci´avel em eto ∈I, respectivamente, ent˜ao a fun¸c˜ao compostaF .

=f ◦γ, F(t) .

=f[γ(t)] =f[(x(t),y(t))], para t∈I, (2) tamb´em ser´a diferenci´avel em to (figura abaixo).

Al´em disso, encontraremos uma express˜ao para a derivadaF 0(to)

(2)

Teorema

(Regra da cadeia) Sejam A⊆R2 aberto e n˜ao vazio, em R2, f :A→Rfun¸c˜ao eγ :I →R2 curva parametrizada, de modo que γ(t)∈A, para cada t ∈I .

Suponhamos a curva parametrizadaγ :I →R2 seja diferenci´avel em to e a fun¸c˜ao f seja cont´ınua, com derivadas parciais de 1.a ordem cont´ınuas em~xo .

=γ(to). Ent˜ao a fun¸c˜ao F :I →R, definida por

F(t) .

= [f ◦γ](t), para cada t∈I, (3) ser´a diferenci´avel em to e:

d(f ◦γ)

dt (to)(3)= F0(to) = (fx(~xo)),fy(~xo))•γ0(to)

~ xo=γ(t.

o)

=

∂f

∂x[γ(to)],∂f

∂y[γ(to)]

•γ0(to). (4)

(3)

Observa¸c˜ao

Se a curva parametrizadaγ :I →R2, ´e dada por γ(t) = (x(t),y(t)), para t∈I

´e uma curva parametrizada diferenci´avel em to, γ(to) = (xo,yo) e γ0(to) =

dx

dt(to),dy dt(to)

, poderemos reescrever (4), da seguinte forma:

d(f ◦γ) dt (to)(4)=

∂f

∂x(xo,yo),∂f

∂y(xo,yo)

• dx

dt(to),dy dt(to)

= ∂f

∂x(xo,yo)dx

dt(to) + ∂f

∂y(xo,yo)dy

dt(to), (5)

ou, omitindo os pontos(xo,yo) e to, escreveremos:

d(f ◦γ)

dt = dF

dt = ∂f

∂x dx dt + ∂f

∂y dy

dt , (6)

onde a fun¸c˜ao F :I →R´e dada por F(t) .

=f[x(t),y(t)], para t ∈I.

(4)

Observa¸c˜ao

Temos um an´alogo ao Teorema acima para fun¸c˜oes de n vari´aveis reais e curvas parametrizadas emRn, isto ´e, para uma fun¸c˜ao

f :A⊆Rn→R

e uma curva parametrizadaγ :I →A⊆Rn, onde satisfazendo condi¸c˜oes an´alogas `as do Teorema acima teremos que a fun¸c˜ao F .

=f ◦γ, ent˜ao d(f ◦γ)

dt (to) =F0(to) =

n

X

i=1

∂f

∂xi (~xo)dxi

dt (to), (7) ondeγ :I →A⊆Rn, ´e dada por

γ(t) .

= (x1(t),· · · ,xn(t)), para t ∈I, satisfazendo: ~xo =γ(to).

(5)

Exemplo

Consideremos a fun¸c˜ao f :R2 →R, dada por f(x,y) .

=x2y, para cada (x,y)∈R2 (8) e a curva parametrizadaγ :R→R2, dada por

γ(t) .

=

et2,2t+ 1

, para cada t ∈R. (9) Verifique que a fun¸c˜ao F .

=f ◦γ :R→R´e diferenci´avel emR e calcule dF

dt(t), para cada t ∈R. Resolu¸c˜ao:notemos que

fx(x,y)(8)= ∂

∂x x2y

=2x y, (10)

fy(x,y)(8)= ∂

∂y x2y

=x2, para (x,y)∈R2. (11) e γ(t) = (x(t),y(t)) =

et2,2t+ 1

, para t ∈R, (12)

0 0 0 (12) 2

(6)

Logo, as derivadas parciais de 1.a ordem def s˜ao cont´ınuas emR2 e assim, da regra da cadeia, parat ∈R, segue que:

d F

dt (t) = d(f ◦γ) dt (t)(4)=

∂f

∂x[γ(t)],∂f

∂y[γ(t)]

•γ0(t)

= ∂f

∂x[x(t),y(t)],∂f

∂y[x(t),y(t)]

•(x0(t),y0(t))

(11) e (13)

= 2x(t)y(t),[x(t)]2

2t et2,2

x(t)(12)=et2,y(t)(12)= 2t+1

=

2et2(2t+ 1),e2t2

2t et2,2

= 2e2t2 4t2+ 2t+ 2

, para t∈R.

2

(7)

Nas notas de aula resolvemos o:

Exerc´ıcio

Consideremos a fun¸c˜ao f :R2 →R, dada por f(x,y) .

=x2−y2, para (x,y)∈R2 e a curva parametrizadaγ :R→R2, dada por

γ(t) = (x(t),y(t)) .

= t,t3

, para t ∈R. Mostre que a fun¸c˜ao F .

= (f ◦γ) :R→R´e diferenci´avel emR e calcule dF

dt(t), para cada t ∈R.

(8)

Observa¸c˜ao

Seja A⊆R2 um subconjunto aberto n˜ao vazio e(xo,yo)∈A.

Suponhamos que a fun¸c˜ao f :A →R seja cont´ınua, com derivadas parciais cont´ınuas em~xo .

= (xo,yo)∈A, e que a fun¸c˜ao y:I ⊆R→R seja diferenci´avel em xo ∈I,de modo que

(x,y(x))∈A, para x ∈I , com y(xo) =yo.

Logo se considerarmos a curva parametrizadaγ :I →A⊆R2 dada por

γ(x) .

= (x,y(x)), para x ∈I, (14) temos que a curva parametrizadaγ :I →A⊆R2 ser´a

diferenci´avel em xo e γ(I)⊆A.

(9)

continuando...

Observa¸c˜ao

Logo, da regra da cadeia, a fun¸c˜ao F = (f ◦γ) :I →R dada por F(x) .

= (f ◦γ)(x)(14)= f(x,y(x)), para x ∈I, (15) ser´a diferenci´avel em xo e

dF

dx(xo)(4)= ∂f

∂x[γ(xo)]dx

dx(xo) + ∂f

∂y[γ(xo)]dy dx(xo)

(14)= ∂f

∂x(xo,yo)·1 + ∂f

∂y(xo,yo)dy dx(xo)

= ∂f

∂x(xo,yo) + ∂f

∂y(xo,yo)y0(xo). (16)

(10)

Observa¸c˜ao

Notemos que, na situa¸c˜ao acima, o tra¸co da curva parametrizada γ:I →A⊆R2 coincide com o gr´afico de uma fun¸c˜ao da vari´avel x , a saber, ser´a o gr´afico da fun¸c˜ao y =y(x), para x ∈I .

A figura abaixo ilustra a situa¸c˜ao acima.

Referências

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