= n! n! xn. (2) exp(a) = e A =

Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins

Sistemas Lineares - Exponencial de Matrizes

(Este texto ´e um rascunho, pode conter pequenos erros.)

1. Exponencial matricial

Seja f(x) =e^x a fun¸c˜ao exponencial. Lembre que f ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em toda a reta, ou seja, sua s´erie de Taylor ao longo de x= 0

(1) f(x) =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ=

∞

X

n=0

1 n!xⁿ representa a fun¸c˜ao para todo x∈R.

Vamos utilizar a express˜ao do lado direito de (1) para definir o que entenderemos por exponencial matricial.

SeA ´e uma matriz n×n qualquer, definimos

(2) exp(A) = e^A=

∞

X

n=0

1 n!Aⁿ.

Sempre que definimos alguma coisa por uma soma infinita, devemos nos preocupar se este objeto

“existe”: no caso, se a s´erie em (2) converge. N˜ao apresentaremos a demonstra¸c˜ao do teorema abaixo, que garante esta convergˆencia.

Teorema 1. Dada uma matrizn×n qualquer, a soma em (2) converge para uma matriz n×n.

De uma certa forma, exponenciar “melhora” a qualidade de matriz. ´E o que veremos na pr´oxima proposi¸c˜ao, que tamb´em fornece outras propriedades dee^A.

Proposi¸c˜ao 2. Seja A uma matriz n×n. Ent˜ao:

a) Se existem matrizes M, B tais que A = M BM⁻¹ ent˜ao Aⁿ = M BⁿM⁻¹, para todo n ∈ N. Al´em disto, e^A=M e^BM⁻¹.

b) A matrix e^A ´e invert´ıvel, e sua inversa ´e a matriz e^−A, ou seja, e^Ae^−A=I =e^−Ae^A. c) Se AB =BA ent˜ao e^A+B=e^Ae^B.

Observe que o item (c) da proposi¸c˜ao anterior n˜ao ´e ´obvio: o produto de matrizes n˜ao ´e, em geral, comutativo. Vocˆe consegue dar exemplos de matrizesA, B n×n tais que AB6=BA?

Todas as propriedades acima podem ser enunciadas com At, para t ∈ R, ao inv´es de A. Por exemplo, se A=M BM⁻¹ ent˜aoe^At =M e^BtM⁻¹.

O teorema abaixo relaciona exponencial de matrizes e equa¸c˜oes diferenciais.

Teorema 3. Seja A uma matriz n×n e considere F(t) =e^At. Ent˜ao F⁰(t) =Ae^At. O Teorema (3) nos diz que e^Atx₀ ´e uma solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes diferenciais

x⁰ =Ax, x(0) =x₀.

Ou seja, para resolver um sistema linear homogˆeneo com coeficientes constantes x⁰ =Ax, onde A ´e uma matriz n×n e x ∈ Rⁿ, com condi¸c˜ao inicial x(0) = x0 ∈ R, basta fazer x(t) = e^Atx0. Precisaremos ent˜ao saber como calcular explicitamente exponenciais de matrizes.

Exemplo 4. Seja

A=

a 0 0 b

. Ent˜ao

e^A = I +A+ 1

2!A²+ 1

3!A³ +. . .

=

1 0 0 0

+

a 0 0 b

+ 1

2

a² 0 0 b²

+ 1

6

a³ 0 0 b³

+. . .

=







1 +a+ 1 2a²+ 1

6a³+. . . 0

0 1 +b+1

2b²+ 1

6b³+. . .







=

e^a 0 0 e^b

,

onde para ver a ´ultima igualdade, basta lembrar da equa¸c˜ao (1).

Exemplo 5. Seja

A=

a −b b a

.

Observe que

A=

a 0 0 a

+

0 −b b 0

.

J´a sabemos como exponenciar a matriz diagonal. Para a outra matriz, observe que se B =

0 −b b 0

ent˜ao

B² =

−b² 0 0 −b²

B³ =

0 b³

−b³ 0

B⁴ =

b⁴ 0 0 b⁴

B⁵ =

0 −b⁵ b⁵ 0

E poss´ıvel estabelecer regras gerais para´ Bⁿ conforme seja o valor de n. Lembrando das s´eries de Taylor de cos(t) e sin(t), obtemos

e^B=

cos(b) −sin(b) sin(b) cos(b)

.

Utilizando o item (c) da Proposi¸c˜ao 2, segue que e^A =

e^a 0 0 e^a

cos(b) −sin(b) sin(b) cos(b)

=

e^acos(b) −e^asin(b) e^asin(b) e^acos(b)

.

Exemplo 6. Resolva o sistema de equa¸c˜oes diferenciais x⁰ = 3x−y,

y⁰ = x+ 3y.

Solu¸c˜ao: Observe que a matriz do sistema ´e A=

3 −1 1 3

.

Portanto, a solu¸c˜ao do sistema de EDO’s ´e z(t) = (x(t), y(t) =

e^3tcos(t) −e^3tsin(t) e^3tsin(t) e^3tcos(t)

c1

c2

,

ou seja, z(t) = (c₁e^3tcos(t)−c₂e^3tsin(t), c₁e^3tsin(t) +c₂e^3tsin(t)), onde c₁, c₂ s˜ao constantes reais.

Exemplo 7. ***Seja

A=

at t 0 at

.

Use constru¸c˜oes parecidas com os exemplos anteriores para provar que e^A=

e^a te^a 0 e^a

Os exemplos anteriores esgotam as possibilidade de matrizes 2×2 em forma de Jordan. Uti- lizando o item (a) da Proposi¸c˜ao 2, conseguimos exponenciar qualquer matriz 2×2. Para matrizes de dimens˜oes maiores, uma boa estrat´egia ´e utilizar a proposi¸c˜ao abaixo:

Proposi¸c˜ao 8. Suponha que A ´e uma matriz n×n em blocos, com estrutura de blocos dada por A= (A1, A2, . . . , Ak). Ent˜ao e^A tamb´em ´e uma matriz em blocos, com e^A= (e^A1, e^A2, . . . , e^Ak).

Exemplo 9. Seja

A=











 7

2 −3 3 2

5 1 0 5













Ent˜ao, utilizando os resultados anteriores, obtemos que

e^A=











 e⁷

e²cos(3) −e²sin(3) e²sin(3) e²cos(3)

e⁵ e⁵ 0 e⁵













(Os espa¸cos vazios das matrizes s˜ao todos iguais a zero.)

Exemplo 10. Encontre a solu¸c˜ao geral do sistema de equa¸c˜oes diferenciais















˙

x₁ = 7x₁

˙

x₂ = 2x₂−3x₃

˙

x₃ = 3x₂+ 2x₃

˙

x₄ = 5x₄+x₆

˙

x₅ = 5x₆

Solu¸c˜ao: Observe que a matriz deste sistema ´e a mesma matriz A do Exemplo 9, portanto, j´a calculamos e^A. A solu¸c˜ao geral do sistema de EDO’s anterior ´e dada por x(t) = e^Atx₀, onde x₀ = (c₁, c₂, c₃, c₄, c₅) s˜ao constantes (condi¸c˜oes iniciais). Desta forma

x(t) = e^Atx0 =











 e^7t

e^2tcos(3t) −e^2tsin(3t) e^2tsin(3t) e^2tcos(3t)

e^5t te^5t 0 e^5t























 c₁ c₂ c₃ c₄ c₅













2. Autovalores e autovetores

At´e agora sabemos resolver sistemas de EDO’s lineares homogˆeneas cuja matriz dos coeficientes seja dada em blocos, onde os blocos s˜ao matrizes como as dos Exemplos (4), (5) e (7).

Veremos agora uma forma de resolver qualquer sistema, utilizando autovalores/autovetores e a Proposi¸c˜ao 2.

Lembre que o item (a) da Proposi¸c˜ao (2) nos diz que, dada uma matriz A, se for poss´ıvel encontrar matrizes B e M tais que A=M BM⁻¹ ent˜aoe^At =M e^BtM⁻¹.

Exemplo 11. Resolva o sistema de equa¸c˜oes diferenciais x⁰₁ = x₁+x₂,

x⁰₂ = 4x₁+x₂. Seja

A=

1 1 4 1

a matriz do sistema. Note que esta matriz n˜ao ´e como as dos Exemplos 4, 5 ou 7. Por´em, temos que (verifique!!) se

M =

−1 1 2 2

ent˜ao

M⁻¹AM =

−1 0 0 3

Logo, seB ´e a matriz da direita na ´ultima equa¸c˜ao, temosM⁻¹AM =B, ou seja,A=M BM⁻¹. Portanto, e^At =M e^BtM⁻¹. Assim, a solu¸c˜ao da EDO ´e dada por x(t) = (M e^BtM⁻¹)x₀, onde x₀ = (c₁, c₂)´e um vetor de condi¸c˜oes iniciais. Explicitamente, temos

x(t) = 1

2e^−t+1 2e^3t

c₁ +

1

4e^3t− 1 4e^−t

c₂, e^3t−e^−t c₁+

1

2e^−t+ 1/2e^3t

c₂

. Vocˆe deve estar se perguntando: De onde sa´ıram as matrizes B e M? A matriz B ´e a matriz dos autovalores de A, e a matriz M ´e uma matriz com autovalores de A em suas colunas.

Faremos agora um exemplo em dimens˜ao 3.

Exemplo 12. Resolva o sistema de EDO’s







x⁰₁ = −x₁+x₃, x⁰₂ = 3x₂+x₃, x⁰₃ = 2x₂+ 2x₃.

Solu¸c˜ao: Seja

A =





−1 0 1 0 3 1 0 2 2





Precisamos calcular e^At. Como a matriz A n˜ao est´a dada em blocos, n˜ao sabemos calcular rap- idamente sua exponencial. Vamos calcular os autovalores de A, construir a matriz M com seus autovetores e ent˜ao a matriz M⁻¹AM ser´a mais simples.

O polinˆomio caracter´ıstico de A ´e pA(λ) = λ³−4λ²−λ+ 4. Suas ra´ızes s˜ao −1, 1 e 4. Vamos determinar um autovetor associado a cada um dos autovalores.

autovetores associados a λ=−1: v₁ = (1,0,0) autovetores associados a λ= 1: v₁ = (1,−1,2) autovetores associados a λ= 4: v₁ = (1,5,5)

Seja

M =





1 1 1

0 −1 5

0 2 5



.

Note que as colunas de M s˜ao os autovetores de A, na ordem crescente de seus autovalores.

Al´em disto, A=M BM⁻¹, onde

B =





−1 0 0 0 1 0 0 0 4



.

Portanto, a solu¸c˜ao da EDO ´e dada por x(t) = e^Atx₀ = (M e^BtM⁻¹)x₀, onde x₀ ´e um vetor de constantes. Explicitamente, temos

x(t) =





e^−tc1 + ₁₅² e^4t+¹₅e^−t− ¹₃e^t

c2+ ¹₁5e^4t− ²₅e^−t+ ¹₃e^t c3 1

3e^t+ ²₃e^4t

c₂+ ¹₃e^4t− ¹₃e^t c₃

−²₃e^t+ ²₃e^4t

c2+ ²₃e^t+¹₃e^4t c3





T

Exemplo 13. Resolva o sistema de EDO’s











x⁰₁ = −x₁+x₃+x₄, x⁰₂ = x₂+x₄,

x⁰₃ = x₁+x₂+ 2x₃, x⁰₄ = x₁−x₂+ 2x₄. Solu¸c˜ao: Seja

A=









−1 0 1 1

0 1 0 1

1 1 2 0

1 −1 0 2









Assim como no exemplo anterior, n˜ao sabemos calcular diretamente e^At. O polinˆomio caracter´ıstico da matriz A ´e

p(λ) =λ⁴−4λ³+ 2λ²+ 9λ−12 = λ²−3λ+ 3

λ²−λ−4

Portanto, os autovalores de A s˜ao 1 2 ± 1

2

√17 e 3 2 ± i

2

√3. Vamos calcular os autovetores.

autovetores associados a λ= 1 2 +1

2

√17: v₁ = −11 8 + 5

8

√17, 2

−1 +√ 17,1

2

−5 + 3√ 17

−3 +√ 17

! ,1

!

autovetores associados a λ= 1 2 − 1

2

√17: v₂ = −11 8 −5

8

√17,− 2 1 +√

17,1 2

5 + 3√ 17 3 +√

17

! ,1

!

autovetores associados a λ= 3 2 + i

2

√3: v₃ =

0, 2 1 +i√

3,−1,1

autovetores associados a λ= 3 2 − i

2

√3: v₄ =

0, 2 i√

3−1,−1,1

Se constru´ırmos a matriz M como antes, colocando os autovetores v₁, v₂, v₃, v₄ nas colunas, obteremos uma matriz diagonal, por´em uma matriz complexa. Construiremos a matriz M de uma forma um pouco diferente.

As duas primeiras colunas, como ser˜ao relativas aos autovalores reais, ser˜ao preenchidas com os autovalores.

As duas ´ultimas colunas, por´em, sejam preenchidas de outra forma: sejaµo autovalor complexo que tem parte imagin´aria positiva, no nosso caso µ = 3

2 + i 2

√3. O autovetor associado a este autovalor ´e v₃. Seja u a parte real de v₃ e w a parte imagin´aria de v₃, ou seja:

u =

0,1 2,−1,1

w =

0,−1 2

√3,0,0

Vamos construir uma matriz M que tem como colunas v1, v2, u, w:

M =

















1/2 ^−11/2+5/2

√ 17

(^{−3/2+1/2√17})(^3/2+1/2√17) 1/2 ^{−11/2−5/2}

√ 17

(^{−3/2−1/2√17})(^{3/2−1/2√17}) 0 0

−1/2 + 1/2√ 17⁻¹

−1/2−1/2√ 17⁻¹

1/2 −1/2√ 3 1/2^−5/2+3/2

√ 17

−3/2+1/2√

17 1/2^−5/2−3/2

√ 17

−3/2−1/2√

17 −1 0

1 1 1 0

















Esta matriz satisfaz (verifique!!)

M⁻¹AM =



















−877+219√ 17

(^{−59+13√17})(^−6+√17) 0 0 0

0 ₁₇⁴

√

17(^{−1513+363√17})

(^{−59+13√17})(^−6+√17) 0 0

0 0 3/2 1/2√

3

0 0 −1/2√

3 3/2



















Agora basta exponenciar cada bloco e pronto! A solu¸c˜ao da EDO ser´a da forma e^At = (M e^BtM⁻¹)x0,

onde x₀ ´e um vetor de constantes.

3. Sistemas n˜ao-homogˆeneos

Veremos como aplicar a teoria anterior para os sistemas n˜ao-homogˆeneos, ou seja, sistema de EDO’s da forma

(3) x˙ =Ax+b(t),

onde b(t) ´e uma fun¸c˜ao vetorial.

Assim como no caso 1-dimensional, tentaremos encontrar um fator integrante, s´o que agora utilizando a exponencial de matrizes.

Come¸camos reescrevendo o sistema (3) como

˙

x−Ax =b(t).

Agora multiplicamos a equa¸c˜ao por e^−At (`a direita):

e^−Atx˙ −e^−AtAx=e^−Atb(t).

Agora, o lado esquerdo da equa¸c˜ao coincide com d

dt e^−Atx(t)

. Logo, podemos reescrever a equa¸c˜ao anterior como

d

dt e^−Atx(t)

=e^−Atb(t).

Integrando obtemos

e^−Atx(t) = Z

e^−Atb(t)dt

Resolvendo esta integral indefinida obtemosg(t) +c (g ´e uma fun¸c˜ao vetorial e c´e um vetor de constantes). Multiplicando a equa¸c˜ao anterior por e^tA, obtemos finalmente

x(t) =e^Atg(t) +e^Atc, que ´e a solu¸c˜ao geral da EDO (3).

Claro que o passo fundamental deste processo ´e encontrar a integral indefinida de e^−Atb(t).

Veremos num exemplo como o procedimento funciona na pr´atica.

Exemplo 14. Considere a equa¸c˜ao diferencial

x˙1 = −2x1+x2+ 2e^t,

˙

x₂ = x₁ −2x₂+ 3t.

Assim, considere

A=

−2 1 1 −2

, b(t) =

2e^−t 3t

. Desta forma,

e^At =







 1

2e^−3t+1

2e^−t 1

2e^−t− 1 2e^−3t 1

2e^−t− 1

2e^−3t 1

2e^−3t+1 2e^−t









e da´ı

e^−Atb(t) =







1 + e^2t− 3

2te^3t+ 3 2te^t

−e^2t+ 1 + 3

2te^t+3 2te^3t







Agora integramos cada fun¸c˜ao coordenada de e^−Atb(t), obtendo

g(t) =









t+ 1

2e^2t− 1

2te^3t+ 1

6e^3t+3

2te^t− 3 2e^t

−1

2e^2t+t+3

2te^t− 3 2e^t+1

2te^3t−1 6e^3t







 Desta forma, a solu¸c˜ao geral da EDO ´e

x(t) = e^tAg(t) +e^tA(c₁, c₂)^T.

Note que para calculare^At ´e preciso colocar a matrizAna forma padr˜ao, calculando seus autoval- ores e autovetores. Al´em disto, quando calculamos g(t)´e preciso recorrer a t´ecnicas de integra¸c˜ao aprendidas no C´alculo I, como por exemplo integra¸c˜ao por partes.