Tópicos em Ensino de Física

Tópicos em Ensino de Física

AULA 2: Mecânica Quântica

Prof. Dr. Hércules Alves de Oliveira Junior

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática (DAMAT) Mestrado Profissional em Ensino de Ciência e Tecnologia (PPGECT)

Revista Brasileira de Ensino de Ciência e Tecnologia (RBECT)

Ponta Grossa, Out/2020

1

A Física Clássica (Problemas)

2

Surgimento da Física Quântica

3

Postulados da Mecânica Quântica

4

Fenômenos estranhos: Tunelamento, Gato de Schrödinger

1

A Física Clássica (Problemas)

2

Surgimento da Física Quântica

3

Postulados da Mecânica Quântica

4

Fenômenos estranhos: Tunelamento, Gato de Schrödinger

1

A Física Clássica (Problemas)

2

Surgimento da Física Quântica

3

Postulados da Mecânica Quântica

4

Fenômenos estranhos: Tunelamento, Gato de Schrödinger

1

A Física Clássica (Problemas)

2

Surgimento da Física Quântica

3

Postulados da Mecânica Quântica

4

Fenômenos estranhos: Tunelamento, Gato de Schrödinger

Mecânica de Newton

Determinação do estado do sistema através das equações

~ F i = m~ a i ~ F i ( ~ r i ,~ v i , t) = m d ² ~ r i

dt ² (1)

Trajetória

Mecânica de Newton

Determinação do estado do sistema através das equações

~ F i = m~ a i ~ F i ( ~ r i ,~ v i , t) = m d ² ~ r i

dt ² (1)

Trajetória

Mecânica de Newton

Determinação do estado do sistema através das equações

~ F i = m~ a i ~ F i ( ~ r i ,~ v i , t) = m d ² ~ r i

dt ² (1)

Trajetória

Trajetória - Movimento Circular

Trajetória - Soco, Colisão, Queda Livre

Forma Integro-Diferencial I

~ E · d ~ A = q _env

₀ (2)

I

~ B · d ~ A = 0 (3) I

~ E · d~ s = − d dt

Z

~ B · d ~ A (4) I

~ B · d ~ A = µ 0 0

d dt

Z

~ E · d ~ A + µ 0 i (5)

Forma Diferencial

∇ · ~ E = 4πρ( ~ r, t) (6)

∇ · ~ B = 0 (7)

∇ × ~ E + 1 c

∂~ B

∂t = 0 (8)

∇ × ~ B − 1 c

∂~ E

∂t = 4π

c ~ j( ~ r, t) (9)

Lei de Gauss, Lei de Faraday, Lei de Ampère - Maxwell.

Forma Integro-Diferencial I

~ E · d ~ A = q _env

₀ (2)

I

~ B · d ~ A = 0 (3) I

~ E · d~ s = − d dt

Z

~ B · d ~ A (4) I

~ B · d ~ A = µ 0 0

d dt

Z

~ E · d ~ A + µ 0 i (5)

Forma Diferencial

∇ · ~ E = 4πρ( ~ r, t) (6)

∇ · ~ B = 0 (7)

∇ × ~ E + 1 c

∂~ B

∂t = 0 (8)

∇ × ~ B − 1 c

∂~ E

∂t = 4π

c ~ j( ~ r, t) (9)

Lei de Gauss, Lei de Faraday, Lei de Ampère - Maxwell.

Estabilidade do Átomo

Através da Teoria Eletromagnética o átomo emite radiação

Espectro discreto

Espectro discreto

Difração

Difração

Difração

Efeito Fotoelétrico

Radiação de Corpo Negro

Forno

Radiação de Corpo Negro

Absorve totalmente a radiação incidente

Radiação de Corpo Negro

Absorve totalmente a radiação incidente

Radiação de Corpo Negro

Principais problemas

1

Radiação de corpo negro;

2

Efeito fotoelétrico;

3

Difração da luz e elétrons (onda ou partícula?);

4

Estabilidade do átomo;

Principais problemas

1

Radiação de corpo negro;

2

Efeito fotoelétrico;

3

Difração da luz e elétrons (onda ou partícula?);

4

Estabilidade do átomo;

Principais problemas

1

Radiação de corpo negro;

2

Efeito fotoelétrico;

3

Difração da luz e elétrons (onda ou partícula?);

4

Estabilidade do átomo;

Principais problemas

1

Radiação de corpo negro;

2

Efeito fotoelétrico;

3

Difração da luz e elétrons (onda ou partícula?);

4

Estabilidade do átomo;

Solução - Max Planck (1900)

Ideia: Radiação emitida pelo corpo negro se dá em pacotes Quanta E = nhν, n = 1, 2, 3, · · · , h = 6, 62 × 10 ⁻³⁴ Js (10)

Energia Discreta.

Efeito Fotoelétrico - A. Einstein (1905)

E = hν, K = hν − w (11)

Luz era uma Partícula.

Espectro discreto Átomo - Niels Bohr (1913)

L = n } , } = h/2π (12)

Átomo - Niels Bohr (1913)

E = − mZ ² e ⁴

(4π 0 ) ² 2} ² n ² ∆E = hν = E f − E i (13)

Para o átomo de Hidrogênio - E = −13, 6eV = −21, 7 × 10 ⁻¹⁹ J

Onda de Matéria - Louis de Broglie (1924)

E = hν p = h

λ p = mv (14)

Princípio da Incerteza - Werner Heisenberg (1927)

∆p∆x = }

2 (15)

Mecânica Clássica

1

O estado da partícula em qualquer tempo é especificado por

x(t), p(t) (16)

1 - Mecânica Quântica

1

O estado é dado pelo vetor

|ψi (17)

(Paul Dirac - Álgebra Linear)

2

Ket - |ψi, bra - hψ|, BraKet:

hψ|ψi (18)

|ψi = |1i + |2i + · · · + |ni

(19)

Mecânica Clássica

1

O estado da partícula em qualquer tempo é especificado por

x(t), p(t) (16)

1 - Mecânica Quântica

1

O estado é dado pelo vetor

|ψi (17)

(Paul Dirac - Álgebra Linear)

2

Ket - |ψi, bra - hψ|, BraKet:

hψ|ψi (18)

|ψi = |1i + |2i + · · · + |ni

(19)

Mecânica Clássica

1

Toda variável dinâmica é uma função de x( ~ r) e de p, como o momento angular

~ L = ~ r × ~ p, L x = xp (20) Eq. de Autovalores

Ax = λx, A =

1 2 3 4

(21)

2 - Mecânica Quântica

1

As variáveis x e p são operadores

ˆ x, ˆ p = } ˆ k = −i } d dx (22) Eq. de Autovalores

ˆ x|xi = x|xi, (23)

Mecânica Clássica

1

Toda variável dinâmica é uma função de x( ~ r) e de p, como o momento angular

~ L = ~ r × ~ p, L x = xp (20) Eq. de Autovalores

Ax = λx, A =

1 2 3 4

(21)

2 - Mecânica Quântica

1

As variáveis x e p são operadores

ˆ x, ˆ p = } ˆ k = −i } d dx (22) Eq. de Autovalores

ˆ x|xi = x|xi, (23)

Mecânica Clássica

1

Se a partícula está num estado (x, p), a medida ω resultará em

ω(x, p). (24)

3 - Mecânica Quântica

1

O estado é

|ψi = |x ₁ , p ₁ i + |x ₂ , p ₂ i (25)

2

p = mv, Neste caso: 50% em 1 e 50% em 2!

3

Surge a descrição do mundo Probabilístico!

P(x) =

n

X

i=1

|hx _i |ψi| ² = Z

hψ|xihx|ψidx, (26)

hx|ψi, ~ a · ~ b (27)

Mecânica Clássica

1

Se a partícula está num estado (x, p), a medida ω resultará em

ω(x, p). (24)

3 - Mecânica Quântica

1

O estado é

|ψi = |x ₁ , p ₁ i + |x ₂ , p ₂ i (25)

2

p = mv, Neste caso: 50% em 1 e 50% em 2!

3

Surge a descrição do mundo Probabilístico!

P(x) =

n

X

i=1

|hx _i |ψi| ² = Z

hψ|xihx|ψidx, (26)

hx|ψi, ~ a · ~ b (27)

Mecânica Clássica Mecânica Quântica

Mecânica Clássica Mecânica Quântica

4 - Mecânica Clássica

1

As variáveis mudam com o tempo de acordo com

˙ x = ∂H

∂p , p ˙ = − ∂H

∂x (28) H = K + V = p ²

2m + 1 2 mωx ²

(29)

4 - Mecânica Quântica

1

O estado |ψ(t)i evolui no tempo de acordo com a Equação de Schrödinger

H|ψ(t)i ˆ = E|ψ(t)i (30)

H|ψ(t)i ˆ = i } d

dt |ψ(t)i (31)

4 - Mecânica Clássica

1

As variáveis mudam com o tempo de acordo com

˙ x = ∂H

∂p , p ˙ = − ∂H

∂x (28) H = K + V = p ²

2m + 1 2 mωx ²

(29)

4 - Mecânica Quântica

1

O estado |ψ(t)i evolui no tempo de acordo com a Equação de Schrödinger

H|ψ(t)i ˆ = E|ψ(t)i (30)

H|ψ(t)i ˆ = i } d

dt |ψ(t)i (31)

4 - Mecânica Clássica

1

As variáveis mudam com o tempo de acordo com

˙ x = ∂H

∂p , p ˙ = − ∂H

∂x (28) H = K + V = p ²

2m + 1 2 mωx ²

(29)

4 - Mecânica Quântica

1

O estado |ψ(t)i evolui no tempo de acordo com a Equação de Schrödinger

H|ψ(t)i ˆ = E|ψ(t)i (30)

H|ψ(t)i ˆ = i } d

dt |ψ(t)i (31)

Eq. de Schrödinger

hx| H|ψ(t)i ˆ = hx|i } d

dt |ψ(t)i (32)

− } ²

2m ∇ ² ψ(t) + 1

2 mωx ² ψ(t) = i } d

dt |ψ(t)i (33) Em x

− } ² 2m

d ² ψ(x, t) dx ² + 1

2 mωx ² ψ(x, t) = i } dψ(x, t)

dt (34)

Oscilador Harmônico

OLIVEIRA, H. A.; DELBEN, G. J., Oscilador Harmônico Duplo difuso,Rev. Bras. Ensino Fis. v. 42, 2020.

Eq. de Schrödinger

hx| H|ψ(t)i ˆ = hx|i } d

dt |ψ(t)i (32)

− } ²

2m ∇ ² ψ(t) + 1

2 mωx ² ψ(t) = i } d

dt |ψ(t)i (33) Em x

− } ² 2m

d ² ψ(x, t) dx ² + 1

2 mωx ² ψ(x, t) = i } dψ(x, t)

dt (34)

Oscilador Harmônico

OLIVEIRA, H. A.; DELBEN, G. J., Oscilador Harmônico Duplo difuso,Rev. Bras. Ensino Fis. v. 42, 2020.

Eq. de Schrödinger

hx| H|ψ(t)i ˆ = hx|i } d

dt |ψ(t)i (32)

− } ²

2m ∇ ² ψ(t) + 1

2 mωx ² ψ(t) = i } d

dt |ψ(t)i (33)

Em x

− } ² 2m

d ² ψ(x, t) dx ² + 1

2 mωx ² ψ(x, t) = i } dψ(x, t)

dt (34)

Oscilador Harmônico

OLIVEIRA, H. A.; DELBEN, G. J., Oscilador Harmônico Duplo difuso,Rev. Bras. Ensino Fis. v. 42, 2020.

Eq. de Schrödinger

− } ² 2m

d ² ψ(x, t)

dx ² + V(x)ψ(x, t) = i } dψ(x, t)

dt (35)

Equação de Onda!

d ² f (x, t) dx ² = 1

c ²

df (x, t)

dt (36)

Orbitais

H|ψ(t)i ˆ = i } d

dt |ψ(t)i (37)

− } ²

2µ ∇ ² ψ( ~ r) − e ²

r ψ( ~ r) = Eψ( ~ r) (38) Usar coordenadas esféricas:

x = rsenθcosφ (39)

y = rsenθsenφ (40)

z = rcosθ (41)

Orbitais

H|ψ(t)i ˆ = i } d

dt |ψ(t)i (37)

− } ²

2µ ∇ ² ψ( ~ r) − e ²

r ψ( ~ r) = Eψ( ~ r) (38) Usar coordenadas esféricas:

x = rsenθcosφ (39)

y = rsenθsenφ (40)

z = rcosθ (41)

Orbitais Solução

ψ(r, θ, φ) = R(r)f (θ)g(φ) (42) Eq. de Schrödinger

1 r ²

∂

∂r

r ² ∂ψ

∂r

+ 1 r ² senθ

∂

∂θ

senθ ∂ψ

∂θ

+ 1

r ² sen ² θ

∂ ² ψ

∂θ ² + 2µ } ²

E − e ²

r

ψ = 0 (43)

Orbitais

∂ ² g

∂φ ² = −m ² _l g (44)

Solução

g(φ) = e ^im

^φ (45)

m l - Número quântico magnético (azimutal)

m _l = −l, −l + 1, . . . , 0, 1, . . . , l − 1, l (46)

Orbitais 1 senθ

∂

∂θ

senθ ∂f

∂θ

+

l(l + 1) − m ² _l sen ² θ

f = 0 (47) Solução: Polinômios de Legendre

f (θ) = (−1) ^m s

2l + 1 4π

(l − m)!

(l + m)! (1 − cos ² θ) ^m/2 × d ^m

d(cosθ) ^m

(−1) ^l 2 ^l l!

d ^l (1 − cos ² θ) ^l d(cosθ) ^l

(48) l - Número quântico do momento angular orbital

l = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1 (49)

Parte Radial 1 r ²

r ² ∂R

∂r

+ 2µ } ²

E − e ²

r } ² 2µ

R = 0 (50)

Solução: Polinômios de Legendre R nl (r) = −{

2Z na ₀

3 (n − l − 1)!

2n[(n + 1)!] ³ }e ^−ρ/2 ρ ^l L ^2l+1 _n+l (ρ) (51) Parte Radial

n - Número quântico do principal, L ^2l+1 _n+l - Polinômios de Laguerre!

n = 1, 2, 3, . . . , ∞ (52)

Parte Radial N íveis de Energia

E = − Z ² e ²

2n ² a ₀ (53)

Raio de Bohr

a ₀ = } ²

m _e e ² (54)

Densidade de probabilidade P =

Z ∞

0

Z π

0

Z 2π

0

ψ ^∗ _nlm ψ nlm drdθdφ (55) Função de onda

ψ nlm = R nl (r)Y _l ^m (θ, φ) (56)

Mecânica Quântica

Mecânica Quântica

Poço de Potencial

Poço de Potencial

H|Ei ˆ = E|Ei (57)

hx| H|Ei ˆ = Ehx|Ei (58)

− } ² 2m

d ² ψ E

dx ² + V(x)ψ E = Eψ E (59)

Poço de Potencial Solução:

ψ E = hx|ni = r 2

L cos nπx

L

, n = 1, 3, 5, . . . (60)

ψ E = hx|ni = r 2

L sen nπx

L

, n = 2, 4, 6, . . . (61) E = n ² π ² } ²

2mL ² , n = 1, 2, 3, . . . (62)

Barreira de Potencial

Barreira de Potencial

Barreira de Potencial Solução:

ψ E = Ae ^ikx + Be ^−ikx , k =

√ 2mE

} (63)

ψ E = Ce ^qx + Be ^−qx , q =

p 2mE(V o − E)

} (64)

Euler

e ^ikx = cos(kx) + isen(kx) (65)

Barreira de Potencial

Força da mente

Estados do gato: P(vivo) = 50%, P(morto) = 50%

|ψ gato i = 1

√

2 [|vivoi + |mortoi] (66)

Estados do gato:

Gato de Schrödinger

|ψ _gato i = ^{√ 1}

2 [|vivoi + |mortoi]

Gato de Schrödinger

Gato de Schrödinger

Gato de Schrödinger

Matemática da Mecânica Quântica

1

Vetores de estado |ψi (notação de Dirac)

2

Álgebra Linear

3

Conectar |ψi com Ψ( ~ r, t) através dos postulados da MQ.

Espaço Vetorial

Um Espaço Vetorial V é uma coleção de objetos chamados Vetores {| 1 i, | 2 i, · · · , |ni} (vetores em R ⁿ { ~ v ₁ ,~ v ₂ , · · · ,~ v n } ), definido com as duas operações:

1

Soma - |ui + |vi ∈ V;

2

Multiplicação por escalar a|ui ∈ V.

a pode ser um número real ou complexo.

Propriedades

1. a(|ui + |wi) = a|ui + a|wi distributiva

2. (a + b)|ui = a|ui + b|ui distributiva

3. a(b|ui) = (ab|ui) associativa

4. |ui + |wi = |wi + |ui comutativa

Propriedades

5. |vi + (|ui + |wi) = (|vi + |wi) + a|wi associativa 6. |ui + | 0 i = |ui existe um vetor nulo 7. |ui + | − ui = |0i) existe o inverso do vetor Exemplo

O conjunto das matrizes 2 × 2:

a b c d

+

a ⁰ b ⁰ c ⁰ d ⁰

(67)

α a b

c d

(68)

Exemplo

O conjunto das matrizes 2 × 2:

0 0 0 0

−a −b

−c −d

(69) a b

c 1

(70)

Vetores simples ~ u = (u x , u x , u x ), ~ v = (v x , v x , 2).

LD e LI

Um grupo de N vetores não-nulos é Linearmente Independente se a equação

N

X

i=1

a i |ii = | 0 i (71)

só tem a solução trivial (com todos a i = 0). Caso exista uma solução não-trivial, o conjunto é Linearmente Dependente.

Exemplo: LD ou LI?

|1i =

0 1 0 0

|2i =

1 1 0 1

|3i =

− 2 − 1

0 −2

(72)

a = −1, b = 2, c = 1, LD.

Dimensão

A Dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de veotres LI que ele possui.

V ⁿ ( R ) é um espaço vetorial real de dimensão n e V ⁿ ( C ) é um espaço vetorial complexo de dimensão n.

Exemplo: EV matrizes 2 × 2 1 0

0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(73)

Definição

Um conjunto de n vetores LI em V ⁿ forma uma Base.

Teorema

Os componentes de um vetor em uma base são únicas

|vi =

n

X

i=1

v _i |ii |vi =

n

X

i=1

v ⁰ _i |ii (74)

|0i =

n

X

i=1

(v i − v ⁰ _i )|ii (75)

Eletromagnetísmo

As equações da Mec. Clássica e do Eletromagnetístmo são equações que relacionam vetores do tipo seta.

~ F = m~ a ∇ × ~ ~ E + 1 c

∂~ B

∂t = 0 (76)

Essas setas, ~ F, ~ B e ~ E

Existem independentemente de uma base, no entanto para fazer os cálculos escolhemos um sistema de eixos cartesianos ˆ i, ˆ j, ˆ k.

Base:

~ E = E x ˆ i + E y ˆ j + E z ˆ k (77)

∂E z

− ∂E y

+ 1 ∂B x

= 0 (78)

Mecânica Quântica

As equações da Mec. Quântica são relações entre vetores de um

espaço vetorial de estados físicos. Os cálculos são feitos (EDP)

quando escolhemos um base para o EV e escrevemos os vetores nessa

base.

Mecânica Quântica Sejam |vi = P n

i=1 v _i |ii e |wi = P n

i=1 w _i |ii, então

|vi + |wi =

n

X

i=1

(v i + w i )|ii (79)

a|vi =

n

X

i=1

(av i )|ii (80)

Os vetores hv| (chamado de Bra) pertence ao espaço dual dos vetores

|vi (chamado de Ket).

Correspondência

|vi + |wi = |ui (81)

hv| + hw| = hu| (82)

Correspondência

|avi = a|ui (83)

hav| = hu|a ^∗ (84)

Complexo conjugado. z = a + ib, z ^∗ = a − ib,

hw|vi (85) Propriedades

hw|vi = hv|wi ^∗ (86)

hv|vi ≥ 0 (87)

hw|(a|vi + b|zi) = ahw|vi + bhw|zi (88) Correspondência

|avi = a|ui (89)

hav| = hu|a ^∗ (90)

Sejam

|vi = P n

i=1 v i |ii e |wi = P n

i=1 w i |ii, então hw|vi =

n

X

i=1

v _i hw|ii (91)

hw|ii = hi|wi ^∗ =

n

X

i=1

w ^∗ _j v i hj|ii (92)

hw|vi =

n

X

i=1 n

X

j=1

w ^∗ _j v _i hj|ii (93)

Se

hi|ji = δ ij (94)

hw|vi =

n

X

i=1

w ^∗ _j v i (95)

Norma

||v|| = p

hv|vi (96)

OBS:

hw| + |vi (97)

Não existe!

Um Subespaço S de um EV V é um Subconjunto de vetores do EV que tem as mesmas propriedades do EV.

Propriedades Operações:

1

Soma - |ui + |vi ∈ S ;

2

Multiplicação por escalar a|ui ∈ S.

a pode ser um número real ou complexo.

Exemplo: Matrizes 2 × 2 da forma a b

c 0

(98)

e

a b

(99)

Transformação Linear

Um Operador é uma instrução para transformar um vetor |ui em outro

|u ⁰ i .

Ω|ui ˆ = |u ⁰ i (100)

Espaço dual

hu| Ω = ˆ hu ⁰ | (101)

Duas propriedades devem ser seguidas para ser uma Transformação Linear

L(u + v) = L(u) + L(v) (102)

L(au) = aL(u) (103)

Duas propriedades devem ser seguidas para ser uma Transformação Linear

L(u + v) = L(u) + L(v) (104)

L(au) = aL(u) (105)

Em MQ

Ω [α|vi ˆ + β|wi] = α( ˆ Ω|vi) + β( ˆ Ω|wi) (106)

Ω [αhv| ˆ + βhw|] = α(hv| Ω) + ˆ β(hw| Ω) ˆ (107)

Operador Identidade

ˆ I|vi = |vi (108)

Exemplo: Operador rotação de π/2 na direção ˆ i

R|1i ˆ = |1i (109)

R|2i ˆ = |3i (110)

R|3i ˆ = −|2i (111)

Conhecendo a ação de um Operador em uma base podemos conher a operação sobre qualquer vetor do EV

Λ|ii ˆ = |i ⁰ i (112)

|vi =

n

X

i=1

v _i |ii (113)

Λ|vi ˆ =

n

X

i=1

v i Λ|ii ˆ =

n

X

i=1

v i |i ⁰ i (114)

torna um sequência

podemos conher a operação sobre qualquer vetor do EV

Λ ˆ ˆ Ω|vi = ˆ Λ( ˆ Ω|vi) = ˆ Λ| Ωvi ˆ (115)

Λ ˆ ˆ Ω 6= ˆ Ω ˆ Λ (116)

Comutador h

Λ, ˆ Ω ˆ i

= ˆ Λ ˆ Ω − Ω ˆ ˆ Λ (117) Operador Identidade

R(j)ˆ ˆ R(i)|1i = ˆ R(j)|1i = −|3i (118)

Comutador

h Λ, ˆ Ωˆ ˆ θ i

= ˆ Λ ˆ Ωˆ θ − Ωˆ ˆ θ Λ ˆ (119) h Λ, ˆ Ωˆ ˆ θ

i

= ˆ Λ ˆ Ωˆ θ − Ωˆ ˆ θ Λ + ˆ ˆ Ω ˆ Λˆ θ − Ω ˆ ˆ Λˆ θ (120) h Λ, ˆ Ωˆ ˆ θ i

= ˆ Ω h Λ, ˆ θ ˆ i

+ h Λ, ˆ Ω ˆ i

θ ˆ (121)

O Inverso

Λ ˆ ⁻¹ Λ = ˆ ˆ Λ ˆ Λ ⁻¹ = ˆ I (122)

( ˆ Ω ˆ Λ) ⁻¹ = ˆ Λ ⁻¹ Ω ˆ ⁻¹ (123)

Mecânica Clássica

1

Se a partícula está num estado (x, p), a medida ω resultará em

ω(x, p). (124)

3 - Mecânica Quântica

1

O estado é

|ψi = |x ₁ , p ₁ i + |x ₂ , p ₂ i (125)

2

p = mv, Neste caso: 50% em 1 e 50% em 2!

3

Surge a descrição do mundo Probabilístico!

P(x) =

n

X

i=1

|hx _i |ψi| ² = Z

hψ|xihx|ψidx, (126)

hx|ψi, ~ a · ~ b (127)

Mecânica Clássica

1

Se a partícula está num estado (x, p), a medida ω resultará em

ω(x, p). (124)

3 - Mecânica Quântica

1

O estado é

|ψi = |x ₁ , p ₁ i + |x ₂ , p ₂ i (125)

2

p = mv, Neste caso: 50% em 1 e 50% em 2!

3

Surge a descrição do mundo Probabilístico!

P(x) =

n

X

i=1

|hx _i |ψi| ² = Z

hψ|xihx|ψidx, (126)

hx|ψi, ~ a · ~ b (127)

Stern-Gerlach 1921

Spin - S. Operador ˆ S.

Sz

ˆ S z |+i = ~

2 |+i (128)

ˆ S z |−i = − ~

2 |−i (129)

Matrizes de Pauli

S z = ~ 2

1 0 0 − 1

= ~

2 σ z (130)

Estado do sistema

|±i = 1

√

2 (|+i + |−i) (131)

1

Quântico −→ discreto

2

Probabilidades

3

Princípio de incerteza

4

Não há separação do observador e observado

5

Princípio de superposição

6

Grandezas que não comutam

7

Não-localidade

8

~ fixa uma escala

9

Dualidade Onda-partícula

Bibliografia básica

1

SAKURAI, J.J.; NAPOLITANO, Jim. Mecânica Quântica Moderna, tradução Silvio R. Dahmen, Bookman, 2a. Ed., 2013.

2

Eisberg, Resnick; Física Quântica, Ed. Campus.

3

GRECA, Ileana Maria; HERSCOVITZ, Victoria Elnecave, Introdução à Mecânica Quântica, Textos de Apoio ao Professor de Física, n.13 (2002). Disponível em

4

NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.

5

NOVAES, Marcel, STUDART, Nelson. Mecânica Quântica

Básica: Versão preliminar, 2014.

Bibliografia complementar

1

CARUSO, F.; OGURO, V. Física Moderna, Rio de Janeiro, Campus/Elsevier ,2006.

2

FEYNMAN, R.P.; LEIGHTON, R.B.; SANDS, M. vol. III.

Lições de Física de Feynman, Bookman, 2008.

3

GRIFFITHS, David J.. Mecânica Quântica, tradução Lara Freitas, 2a. Ed. Pearson-Prentice Hall, 2011.

4

MCINTYRE, D.; MANOGUE, C. A; TATE, J. Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012.

5

PESSOA Jr., O., Conceitos de Fìsica Quântica, 2 vols., Livraria da Fìsica, 2003.

6

PIZA, A.F.R. de Toledo, Mecânica Quântica, EDUSP, 2a. ed.,

2009.

Bibliografia utilizada

1

Introdução: Eisberg; Resnick, Física Quântica, Ed. Campus.

2

Introdução: NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica:

Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.

3

SAKURAI, J.J.; NAPOLITANO, Jim., Mecânica Quântica Moderna, tradução Silvio R. Dahmen, Bookman, 2a. Ed., 2013.

4

Cohen-Tannoudji; Diu; Laloë, Quantum Mechanics, Vol. 1., Wiley-VCH, 2005.

5

OLIVEIRA, H. A.; DELBEN, G. J., Oscilador Harmônico Duplo difuso, Rev. Bras. Ensino Fis. v. 42, 2020.

https://doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2019-0237

Agradecimentos

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Obrigado a todos!