CONJUNTO DOS N ´UMEROS IRRACIONAIS
Todo n´umero escrito na forma de um n´umero decimal infinito e n˜ao peri´odico ´e umn´umero irracional.
Exemplos:
A √
2 = 1,414213562...
B √
3 = 1,732050808...
C √
5 = 2,236067978...
D √
10 = 3,16227766...
Conv´em destacar que:
1 Os n´umeros irracionais n˜aopodem ser escritos na forma de fra¸c˜ao.
2 Para cada n´umero irracional absoluto, temos um n´umero irracional positivo e um n´umero irracional negativo.
Veja estes exemplos:
3 Nem toda raiz quadrada ´e n´umero irracional. Existem n´umeros racionais quadrados perfeitos. S˜ao aqueles n´umeros para os quais se pode encontrar uma raiz quadrada emQ
Veja estes exemplos:
√
9 ´e um n´umero racional, pois √ 9 = 3.
√
0,36 ´e um n´umero racional, pois√
0,36 = 0,6.
r1
4 ´e um n´umero racional, pois r1
4 = 1 2.
4 H´a outros tipos de ra´ızes que s˜ao n´umeros irracionais.
Veja estes exemplos:
√3
4 = 1,58740... √4
7 = 1,62657... √5
10 = 1,58487...
As vezes, a radicia¸c˜` ao conduz-nos a um resultado racional. Veja os exemplos:
√3
27 ´e um n´umero racional, pois √3 27 = 3.
√4
16 ´e um n´umero racional, pois √4 16 = 2.
UM POUCO DE HIST ´ORIA A descoberta de que√
2 n˜ao podia ser representado por uma fra¸c˜ao causou espanto nos matem´aticos da Escola de Pit´agoras (cerca de 500 anos a. C.). Eles estavam convencidos dee que existiam apenas os n´umeros racionais e de que todas as grandezas podiam ser representadas por eles.
Hoje, com os computadores, esses n´umero j´a foi calculado com milhares de casas decimais, e nenhum per´ıodo foi encontrado em sua d´ızima.
√
2 = 1,4142135624193391662...
Os matem´aticos provaram que realmente,√
2 tem infinitas casas decimais e n˜ao apresenta per´ıodo:
ele ´e um exemplo de n´umero irracional. Tamb´em foi provado que existem infinitos n´umeros irracionais.
LEMBRETES
EXERC´ICIOS DE FIXAC¸ ˜AO
1. Determine as ra´ızes apenas quando forem n´umeros naturais:
(a) √ 1 (b) √
2 (c) √
3 (d) √
4
(e) √ 5 (f) √
6 (g) √
7 (h) √
8
(i) √ 9 (j) √
10 (k) √
11 (l) √
12
(m) √ 13 (n) √
14 (o) √
15 (p) √
16 Responda:
(a) Quais dos n´umeros s˜ao racionais?
(b) Quais dos n´umeros s˜ao irracionais?
2. Quais dos seguintes n´umeros s˜ao racionais e quais s˜ao irracionais?
(a) √ 0 (b) √
18
(c) √ 49 (d) √
54
(e) √ 72 (f) √
100
(g) √ 200 (h) √
900 3. Voc e j´a sabe que√
81 = 9 e √
100 = 10. Indique cinco n´umeros irracionais situados entre 9 e 10.
PI - UM N ´UMERO IRRACIONAL FAMOSO
Os matem´aticos mostraram que existem infinitos n´umeros irracionais. Os n´umeros irracionais que mais aparecem no ensino fundamental s˜ao√
2,√ 3,√
5,√
10 eπ. A raiz quadrada de 3 ´e um n´umero pr´oximo de 1,732050808, ou seja, 1,7320508082 ´e pr´oximo de 3.
Mas o que ´e o n´umeroπ (pi)?
Esse n´umero tem infinitas casas decimais e n˜ao apresenta per´ıodo.
O valor apresentado paraπ termina com reticˆencias, pois n˜ao ´e poss´ıvel represent´a-lo em sua totalidade.
Podemos encontrar o n´umeroπ na f´ormula do per´ımetro do c´ırculo, como veremos a seguir.
DESCOBRINDO O VALOR DE π
O diˆametro e o per´ımetro de um c´ırculo est˜ao relacionados de uma forma muito interessante...
Fa¸ca esteexperimento seguindo as instru¸c˜oes indicadas:
Material:
a) um prato.
b) fita m´etrica.
Instru¸c˜oes:
1º Contorne um prato com a fita m´etrica para medir seu per´ımetro.
2º Me¸ca o diˆametrodo prato e anote o resultado.
3º Divida essas medidas.
Vocˆe deve ter encontrado um n´umero pr´oximo de 3,1 ou 3,2, dependendo do rigor das medi¸c˜oes efetuadas.
Repita o experimento com objetos maiores, como uma roda de bicicleta.
Quanto maior o objeto, mais perto do valor correto vocˆe chegar´a, pois o erro de medi¸c˜ao.
Os matem´aticos conclu´ıram, ap´os muitas determina¸c˜oes por processos mais rigorosos, que o quociente entre o per´ımetro de um c´ırculo e o respec- tivo diˆametro ´e sempre o mesmo, seja qual for o tamanho do c´ırculo, e ´e representado pela letra gregaπ.
π= 3,14159265...
EXERC´ICIOS DE FIXAC¸ ˜AO
Para os exerc´ıcios a seguir, usar π = 3,14
4. Em cada um dos c´ırculos, me¸ca o diˆametro e calcule o per´ımetro.
5. Uma pista de ciclismo tem a seguinte forma:
Qual o comprimento dessa pista?
6. O diˆametro da roda de uma bicicleta ´e 52 cm. Determinar a distˆancia percorrida pela bicicleta ap´os 10 revolu¸c˜oes completas da roda.
7. Quantos metros de arame s˜ao necess´arios para fazer uma cerca com 3 fios em volta do terreno indicado pela figura ao lado?
8. Uma alian¸ca tem 4,71 cm de comprimento. Quanto mede seu diˆametro?
CONJUNTO DOS N ´UMEROS REAIS
O conjunto dos n´umeros racionais com o conjunto dos n´umeros irracionais formam o conjunto dos n´umeros reais, que ´e representado porR.
Exemplos:
A 3 ´e um n´umero racional. ´E tamb´em umn´umero real.
B −5 ´e um n´umero racional. ´E tamb´em um n´umero real.
C 1,75 ´e um n´umero racional. ´E tamb´em um n´umero real.
D √
10 ´e um n´umero irracional. ´E tamb´em um n´umero real.
Como todo n´umero natural ´e inteiro, todo n´umero inteiro ´e racional e todo n´umero racional ´e real, temos:
REPRESENTAC¸ ˜AO GEOM ´ETRICA DE R Observe a representa¸c˜ao de alguns n´umeros reais na reta:
Quando estudarmos os triˆangulos retˆangulos, aprendemos a representar com mais precis˜ao n´umeros irracionais, como√
2 e−√ 3.
Note que:
E importante saber que entre dois n´´ umeros reais distintos existem infinitos n´umeros reais.
ORGANIZANDO OS N ´UMEROS
Vamos, por meio de exemplos, organizar os diferentes tipos de n´umeros que j´a estudamos, com seus respectivos nomes.
O n´umero 3 ´e natural, inteiro, racional ereal.
O n´umero−5 n˜ao ´e natural, mas ´e inteiro, racional ereal.
O n´umero 4,7 n˜ao ´e natural, nem inteiro, mas ´e racional ereal.
O n´umero√
2 n˜ao ´e natural, n˜ao ´e inteiro, n˜ao ´e racional, mas ´e real.
EXERC´ICIOS DE FIXAC¸ ˜AO
9. Responda:
(a) Todo n´umero natural ´e real?
(b) Todo n´umero inteiro ´e real?
(c) Todo n´umero racional ´e inteiro?
(d) Todo n´umero real ´e racional?
(e) Todo n´umero racional ´e real?
(f) Todo n´umero irracional ´e real?
10. Situe √
12 entre dois n´umeros inteiros consecutivos.
11. Entre quais n´umeros inteiros consecutivos est˜ao compreendidos os n´umeros irracionais?
(a) √
19 (b) √
43 (c) √
85 12. Quais n´umeros inteiros est˜ao entre−√
10 e √ 10?
13. Sejam os n´umeros:
Quais deles est˜ao compreendidos entre 6 e 10?
14. O n´umero (1,4)2 ´e maior ou menor que 2?
15. Em cada item, indique o maior dos n´umeros:
(a) 8 ou√ 16?
(b) √
6 ou 3?
(c) 6,3 ou√ 40?
(d) 4,5 ou√ 20?
(e) π ou √ 9?
(f) √
15 ou π?
EXERC´ICIOS COMPLEMENTARES 1. Sejam os n´umeros:
(a) Quais s˜ao inteiros?
(b) Quais s˜ao racionais?
(c) Quais s˜ao irracionais?
(d) Qual nome pode ser dado a todos eles?
2. Indique se cada n´umero ´e racional ou irracional:
3. Escreva os quatro termos seguintes da sequˆencia:
√3
1, √3 2, √3
3, √3 4, √3
5, √3 6, ...
Quais n´umeros desta sequˆencia s˜ao racionais?
4. Resolva as express˜oes e responda:
(a) O n´umerox´e natural?
(b) O n´umeroy´e inteiro?
(c) O n´umeroz´e natural?
(d) O n´umerot´e racional?
5. Qual das compara¸c˜oes abaixo ´e verdadeira?
(a) √
3<0,2 (b) √
3>3 (c) √
2>√
3 (d) √
5>√ 3 6. Dados os n´umeros abaixo, responda:
(a) Qual ´e o maior? (b) Qual ´e o menor?
7. Em cada um dos itens, indique o n´umero maior:
(a) √
15 ou 4? (b) √
10 ou 3? (c) √
50 ou 7,1? (d) √
30 ou 5,4?
8. Quais s˜ao os n´umeros naturais menores que:
(a) √
5? (b) √
30?
9. (Saresp-SP) Qual a senten¸ca correta?
(a) Numa reta real, o n´umero 3
2 est´a mais pr´oximo do zero do que o n´umero√ 3.
(b) Numa reta real, o n´umero 5
3 est´a mais pr´oximo do zero do que o n´umero 4 3. (c) Na reta real, o ponto que representa o n´umero√
28 est´a entre 4 e 5.
(d) Na reta real, o ponto que representa o n´umero−√
3 est´a entre 0 e−1.
10. Quais s˜ao os n´umeros inteiros maiores 5
3 que e menores que 2π?
11. O diˆametro do aro de uma cesta de basquete mede 39 cm. Qual o per´ımetro do aro?
12. Calcule o per´ımetro da figura:
13. Um pneu anda 21,98 metros para a frente quando d´a 7 voltas. Qual seu diˆametro?
14. (Olimp´ıada de Matem´atica-SP) Considere como verdadeiras as quatro afirma¸c˜oes:
O n´umeroa´e maior que o n´umerob.
O n´umeroa´e menor que o n´umero d.
O n´umerod´e menor que o n´umeroc.
O n´umerob´e menor que o n´umeroc.
Que conclus˜ao pode-se tirar?
(a) a < b < c < d (b) b < a < c < d (c) b < a < d < c (d) b < d < a < c
15. No transcorrer do tempo, foram utilizadas diferentes aproxima¸c˜oes para o valor deπ. Na tabela abaixo est˜ao indicados alguns desses valores.
Com o aux´ılio da calculadora, assinale o povo que utilizava a melhor aproxima¸c˜ao do valor de π.
(a) Eg´ıpcios. (b) Gregos. (c) Romanos. (d) Hindus.
16. Observe os n´umeros dos quadros e atribua a cada um deles o valor 1 se for irracional e 2 se for racional:
Qual ´e a soma dos valores atribu´ıdos?
PARA SE DIVERTIR
TESTES DE REVIS ˜AO
1. (PUC-RJ) Assinale a afirma¸c˜ao verdadeira:
(a) √
2 = 1,414 (b) √
2 = 1,4142 (c) √
2 = 1,41421
(d) nenhuma das anteriores.
2. (Osec-SP) Toda d´ızima peri´odica simples ou d´ızima peri´odica composta ´e:
(a) n´umero inteiro.
(b) n´umero racional.
(c) n´umero irracional.
(d) nenhuma das anteriores.
3. Qual das afirma¸c˜oes ´e verdadeira?
(a) √
10 ´e racional e√
100 ´e racional.
(b) √
10 ´e irracional e√
100 ´e racional.
(c) √
10 ´e racional e√
100 ´e irracional.
(d) √
10 ´e irracional e√
100 ´e irracional.
4. (PUC-SP) Sabe-se que o produto de dois n´umeros irracionais pode ser um n´umero raci- onal. Um exemplo ´e:
(a) 1·√ 3 =√
3 (b) √
2·√ 3 =√
6
(c) √ 4·√
9 =√ 36 (d) √
3·√
12 =√ 36 5. O n´umero−√
5 est´a compreendido entre:
(a) −6 e −4.
(b) −5 e −4.
(c) −3 e−2.
(d) −2 e−1.
6. (Cesgranrio-RJ) Um n´√ umero x, que satisfaz 35<x<√
39, ´e:
(a) 6 (b) 5,7
(c) 5,8 (d) 6,6 7. O valor da express˜ao
√ 81 +√
√ 49 81−√
49: (a) ´e um n´umero inteiro.
(b) ´e um n´umero irracional.
(c) n˜ao ´e um n´umero real.
(d) n˜ao ´e um n´umero racional.
8. A figura mostra uma cartela de bot˜oes. Se o raio de cada bot˜ao acomodado ´e 4 mm, as di- mens˜oes do retˆangulo s˜ao:
(a) 9 mm e 21 mm.
(b) 9 mm e 42 mm.
(c) 24 mm e 56 mm.
(d) 4,5 mm e 10,5 mm.
9. (Mack-SP) Se uma pessoa der quatro voltas em torno de um canteiro circular de 1,5 m de raio, esta pessoa percorrer´a:
(a) 12 π m.
(b) 15 π m.
(c) 16π m.
(d) 18 π m.
10. Um ciclista de uma prova de resistˆencia deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio 200 m. O n´umero aproximado de voltas que ele deve dar ´e:
(a) 200 (b) 300
(c) 400 (d) 500
11. A figura abaixo representa o trajeto que uma formiga faz para ir deAat´eB, utilizando o ca- minho indicado com setas. Qual distˆancia ela percorreu?
(a) 57,1 m (b) 62,1 m
(c) 72,1 m (d) 77,1 m
12. O pneu de um ve´ıculo, com 80 cm de diˆametro, ao dar uma volta completa, percorre, aproxi- madamente, uma distˆancia de:
