Universidade Federal de Viçosa Campus UFV-Florestal Matemática - Licenciatura

Universidade Federal de Vi¸cosa

Campus UFV-Florestal

Matem´

atica - Licenciatura

N´ıvel 3

Gabarito ORM nv.3

Resolu¸c˜ao de quest˜oes do n´ıvel 3 da Olimp´ıada Regional de Ma-tem´atica.

Quest˜ao 1) Sejam os triˆangulos ABC e DEF. No triˆangulo ABC s˜ao dadas as seguintes medidas: AB=4, AC=5, mais ainda, temos que tal triˆangulo ´e retˆangulo em B, e o ˆangulo C mede 56º. No triˆangulo DEF, tem-se: DE=8 e EF=x, com os ˆangulos F e E medindo respectivamente 56º e 90º. Determine a raz˜ao de proporcionalidade de ABC por DEF e o valor de x.

A proporcionalidade e o valor de x s˜ao, respectivamente: a) 1₂ e 6

b) 1₂ e 9 c) 2 e 10 d) 2 e 6

a) 1₂ e 10

Quest˜ao 2) (modificada) Um trabalho de Matem´atica tem 45 quest˜oes de estat´ıstica e 35 de ´algebra. Marcelo errou 13% das quest˜oes de estat´ıstica e acertou 68% do total das quest˜oes. Qual foi o percentual das quest˜oes de ´algebra que ele acertou?

(Dica: Use seus conhecimentos sobre arredondamento para resolver a quest˜ao) a) 43%

b) 40% c) 55% d) 58% e) 60%

Quest˜ao 3) (modificada) Um comerciante est´a vendendo um r´adio, e decidiu redefinir o pre¸co dele, reduzindo em 25%. Mas, dias depois, acabou arrependido do ato, e assim ele aumentou o pre¸co em 25%. Comparado o pre¸co inicial, ao final, o pre¸co final do r´adio ficou:

a) 6,25% menor b) 6,25% maior

c) O mesmo d) 6,75% menor

Quest˜ao 4) Certa bact´eria tem sua muta¸c˜ao dada de forma exponencial. Essa muta¸c˜ao ´e dada em raz˜ao do tempo e pode ser representada pela fun¸c˜ao: f (t) = q.5t_{, onde t ´e o tempo e q ´e a}

quantidade inicial de bact´erias. Considere a quantidade inicial de bact´erias igual a 20. Quanto tempo ser´a necess´ario para que tenham 62500 bact´erias?

a) 5 b) 7 c) 4 d) 3

Quest˜ao 5) Em uma cidade do interior de S˜ao Paulo o boletim referente `a vacina¸c˜ao con-tra COVID-19, tem sido atualizado diariamente. Na ´ultima semana o boletim apresentou-se da seguinte forma:

a

Data Total de vacinas aplicadas

Segunda 12/08 4

Ter¸ca 13/08 16

Quarta 14/08 64

Quinta 15/08 256

Notando a raz˜ao do crescimento da notifica¸c˜ao de casos, e considerando que continue vacinando nessa mesma propor¸c˜ao, marque a alternativa que determina respectivamente o total de vacinas no dia 20/08 e quantas pessoas vacinadas ter˜ao ao todo.

a) 262.144 e 349.524 b) 1.048.576 e 349.524

c) 65.536 e 349.524 d) 262.144 e 87.380

e) 1.048.576 e 87.380

Quest˜ao 6) Certo dia, dois irm˜aos decidiram comprar juntos um aparelho de videogame. Carlos pagou 68% do valor total do aparelho, e Alberto pagou o restante. Sabendo que o aparelho custa R$150,00, e que cada um ganhou desconto de 25% j´a que compraram o aparelho `a vista, quanto Carlos e Alberto ter˜ao de pagar pelo aparelho `a vista, respectivamente?

b) R%76,00 e R%36,50 c) R%75,50 e R%35,00 d) R%75,00 e R%35,50

e) Nenhuma das alternativas

Quest˜ao 7) Certo dia, Warley analisou uma fam´ılia muito curiosa, ap´os a ana´alise, ele concluiu que Aria ´e irm˜a de Beto. Carla ´e m˜ae de Beto. Davi ´e pai de Carla. Ellen ´e m˜ae de Davi. Ao final da an´alise, ele descobriu que h´a uma rela¸c˜ao entre Aria e Davi, que rela¸c˜ao ´e essa?

a) Aria ´e neta de Davi b) Aria ´e filha de Davi

c) Aria ´e sobrinha de Davi d) Aria ´e prima de Davi

e) Aria ´e irm˜a de Davi

Quest˜ao 8) Ao chegar na escola, a professora percebeu que uma de suas trˆes alunas (Vit´oria, Jana´ıne e Paula) havia deixado uma ma¸c˜a na mesa dela. Perguntando a elas sobre quem deixou a ma¸c˜a, cada uma respondeu:

• Jana´ıne: Quem deixou a ma¸c˜a n˜ao fui eu, professora; • Paula: Quem deixou a ma¸c˜a fui eu;

• Vit´oria: Quem deixou a ma¸c˜a foi a Paula.

Qual a alternativa correta, sabendo que apenas uma delas deixou a ma¸c˜a e apenas uma delas disse a verdade, respectivamente?

a) Vit´oria e Jana´ıne b) Jana´ıne e Paula

c) Vit´oria e Paula d) Jana´ıne e Vit´oria

Quest˜ao 9)(Modificada) Em uma urna cont´em duas bolas azuis, oito bolas pretas e algumas bolas brancas. Uma bola ´e retirada ao acaso dessa urna, sua cor ´e observada e a bola ´e devolvida `

a urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, outra bola dessa urna. Para quais quantidades de bolas brancas, a probabilidade das duas bolas retiradas terem a mesma cor vale 1₂?

a) x=2 ou x=18 b) x=1 ou x=9

c) x=2 ou x=8 d) x=1 ou x=18

Quest˜ao 10) (modificada) Para assar uma torta, s˜ao necess´arios 13 minutos para aquecer o forno, e mais 21 minutos para assar 1₂ receita de torta. Aurora est´a fazendo uma torta que cont´em 3,5 receitas. A que horas ela deve ligar o forno para que a torta fique pronta `as 16 horas?

a) 13h20min b) 13h

c) 14h20min d) 14h

e) Nenhuma das op¸c˜oes acima.

Quest˜ao 11) Ap´os uma corre¸c˜ao das provas da Olimp´ıada Regional de Matem´atica, foram distribu´ıdas algumas medalhas, sendo elas de ouro, prata, e bronze. Luiz, Luan, Paula, Vit´oria, Jana´ıne, Sara, Dhavy e Ana participaram dessa olimp´ıada, e apenas trˆes deles foram premiados. Sabendo que cada participante premiado pode receber uma ´unica medalha, de quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premia¸c˜ao?

a) 336 b) 350 c) 380 d) 335 e) 346

Quest˜ao 12) Albert deseja ir ao supermercado. Tal supermercado se encontra na Avenida Brasil representada pela equa¸c˜ao 1, dada por r : 8x + 6y + 25. J´a Albert, se encontra nas posi¸c˜ao indicada pelo ponto A no plano cartesiano abaixo:

Determine a distˆancia de Albert `a avenida em metros. Obs.: Calcule em km e converta o resultado para metros.

a) 100m b) 0,1m

c) 1000m d) 10m

e) 1km

Quest˜ao 13) Em Felixlˆandia, 25% dos gatos pensam que s˜ao ratos e 35% dos ratos pensam que s˜ao gatos. Um m´edico veterin´ario chegou `a cidade e, resolveu testar todos os gatos e ratos verificando que 40% do total, pensava ser gato. Que propor¸c˜ao dos animais testados eram ratos?

a) 7₈ b) 13₂₀ c) ₂₀7 d) 8 7 e) ₁₃7

Quest˜ao 14) Eduarda est´a fazendo brigadeiros para vender. Para produzir 50 brigadeiros, ela gasta um total de R$27,50. Ela pretende vender cada brigadeiro por R$1,50. Quantos brigadeiros ela precisa vender, no m´ınimo, para obter um lucro maior que R$650,00?

a) 685 brigadeiros b) 680 brigadeiros c) 701 brigadeiros d) 692 brigadeiros e) 689 brigadeiros

Quest˜ao 15) Uma Topologia sobre um conjunto X finito ´e um conjunto τ com as seguintes propriedades:

i. X e ∅ devem pertencer a τ .

ii. Para qualquer elemento de τ , tanto a uni˜ao quanto a interse¸c˜ao desse elemento dois a dois com todos os outros elementos de τ devem tamb´em pertencer a τ .

Qual dos conjuntos abaixo representa uma Topologia sobre o conjunto X = {1, 2, 3}? a) τ = {∅, {1}, {3}, {1, 3}, X}

b) τ = {∅, {1}, {2}, {3}, X} c) τ = {∅, {1, 2}, {2, 3}, X} d) τ = {∅, {1}, {3}, {1, 2}}

SOLUC¸ ˜OES Quest˜ao 1

• Temos que ABC ´e semelhante a DEF pelo caso ˆangulo-ˆangulo, afinal, ∠ABC = ∠DEF , e ∠ACB = ∠DF E.

• Da´ı podemos identificar o segmento AB, que ´e oposto ao ∠ABC de 90◦_{, ao segmento DE,}

que ´_{e oposto ao ∠DEF tamb´em de 90}◦.

• Sendo AB = 4 e DE = 8, a raz˜ao de proporcionalidade entre o triˆangulo ABC e DEF ´e de 4/8 = 1/2.

• Al´em disso, sendo ABC um triˆangulo retˆangulo em B, temos que (AB)2_{+ (BC)}2 _{= (AC)}2_,

e com isso (BC)2 _{= 5}2_{− 4}2 _{= 9, sendo BC = 3 portanto.}

• O segmento BC ´e identificado com o segmento EF , e sendo a raz˜ao deles 1/2, obtemos que 3

x = 1

2, e portanto x = 6.

• A alternativa correta ´e, portanto, a letra a. Quest˜ao 2

• Primeiro passo, encontrar o n´umero de quest˜oes erradas em estat´ısticas pelo Marcelo. Isso corresponde a 13% de 45 resultando em 5,85 com arredondamento para 6.

• Segundo passo, encontrar o n´umero total de quest˜oes acertadas que corresponde a 68% do total de quest˜oes propostas (80; 45 de estat´ıstica + 35 de ´algebra), resultando em 54, 4 que com arredondamento volta a 54.

• Terceiro passo, encontrar o n´umero de acertos em ´algebra. Visto que temos o n´umero de acertos em estat´ıstica e o n´umero total de acertos, conseguimos chegar ao n´umero de quest˜oes acertadas em ´algebra. Basta realizar a opera¸c˜ao 54 − 39 (acertos no total − acertos em estat´ıstica), resultando em 15 que ´e o n´umero de acertos em ´algebra.

• Quarto passo ´e encontrar a porcentagem de acertos em ´algebra do total de quest˜oes tamb´em em ´algebra. Sabemos que os acertos s˜ao 15 e o total 35. Logo, realizando uma regra de trˆes, chegamos que a porcentagem de acertos em ´algebra foi de aproximadamente 43%.

• Alternativa correta letra a. Quest˜ao 3

• Suponhamos inicialmente que o pre¸co do r´adio ´e 1000 reais. Como o vendedor abaixou o pre¸co em 25%, o novo pre¸co ´e de 750 reais. Como houve um aumento de 25% novamente, devemos calcular o novo pre¸co em cima de 750 reais e n˜ao mais de 1000. logo, com o aumento de 25% nos 750, chegamos que o novo pre¸co do r´adio ´e de 937,5 reais. Para saber a porcentagem que diminuiu, fazemos uma regra de trˆes com o valor inicial (1000) e o valor final (937,5) obtendo 6, 25%.

• Alternativa correta letra a Quest˜ao 4

62.500 = 20.5t Agora basta testarmos os valores para t 62.500 = 20.55 Portanto, t = 5

Quest˜ao 5

A quest˜ao ´e uma simples utiliza¸c˜ao da f´ormula de termo da progress˜ao geom´etrica, e da soma de termos da progress˜ao geom´etrica.

Sabemos que a raz˜ao q da PG ´e 4, pois dividimos o segundo termo pelo primeiro, ou qualquer termo pelo termo anterior. Assim utilizaremos as seguintes f´ormulas:

a

= a

× q

e s

=

a1×(qn−1)

q−1

Primeiro vamos descobrir o nono termo da PG, que ´

e o n´

umero de vacinas do

dia 20/08

a

= 4 × 4

a

= 4 × 65.536

a

= 262.144

Portanto, o n´

umero de vacinados no dia 20/08 foi de 262.144 pessoas. Agora

vamos descobrir o total de vacinados at´

e o dia 20/08 por meio da f´

ormula de soma

de termos:

s

=

s

=

s

=

s

= 349.524

Assim, o n´

umero total de vacinados at´

e o dia 20/08 foi de 349.524. E a alternativa

correta ´

e a letra a)

Quest˜

ao 6

Escrevendo os dados do problemas temos:

Pre¸co total do Videogame= R

$150,00

Desconto ganhado= 25%

Carlos pagou= 68%

Retirando 25% de R

$150,00 vemos que o pre¸co final do Videogame foi R$112,50.

Diante disso, sabemos que Carlos pagou 68% que equivale `

a 76,50 restando para

Alberto pagar R

$36,00 que equivale `a 32% do aparelho.

Resposta correta ´

e R

$76,50 e R$36,00.

Quest˜

ao 7 Primeiro fa¸camos um esbo¸co de uma ´

arvore geneal´

ogica com os

dados fornecidos. Observe:

Por hip´

otese, Aria e Beto s˜

ao irm˜

aos. Sendo assim, temos (suposi¸c˜

ao) que Carla

seja m˜

ae de Aria, tal qual ela ´

e de Beto.

tamb´

em avˆ

o de Aria. Logo, Aria ´

e neta de Davi

Quest˜

ao 8

Ao analisarmos as frases ditas por Jana´ıne, Paula e Vit´

oria, precisamos verificar

cada alternativa.

a) Vit´

oria e Jana´ıne: Se Vit´

oria deixou a ma¸c˜

a, apenas a Jana´ıne estar´

a falando

a verdade;

b) Jana´ıne e Vit´

oria: Se Jana´ıne deixou a ma¸c˜

a, a Vit´

oria estar´

a mentindo, logo,

as duas estar˜

ao mentindo;

c) Jana´ıne e Paula: Se Jana´ıne deixou a ma¸c˜

a, a Paula estar´

a mentindo, logo,

as duas estar˜

ao mentindo;

d) Vit´

oria e Paula: Se Vit´

oria deixou a ma¸c˜

a, a Paula estar´

a mentindo, logo, as

duas estar˜

ao mentindo;

e) Paula e Jana´ıne: Se Paula deixou a ma¸c˜

a, Jana´ıne estar´

a dizendo a verdade,

ent˜

ao as duas estar˜

ao dizendo a verdade.

Logo, como apenas uma deixou a ma¸c˜

a e apenas uma disse a verdade, a resposta

correta ´

e alternativa (a).

Quest˜

ao 9

Bolas Azuis: 2

Bolas Pretas: 8

Bolas brancas: x

Espa¸

co Amostral=2+8+x =x+10 bolas

Lembre-se: os eventos tem reposi¸c˜

ao.

Vamos considerar 3 situa¸c˜

oes:

1. 2 bolas da cor azul

2 x+10

.

=

2. 2 bolas da cor preta

.

=

3. 2 bolas da cor preta

x x+10

.

=

Todos esses eventos s˜

ao independentes, ent˜

ao, a probabilidade da uni˜

ao dos 3

eventos, ser´

a igual a soma das probabilidades individuais. Assim, temos:

4 (x+10)2

+

+

=

=

2(68 + x

) = x

+ 20x + 100

2x

+ 136 = x

+ 20x + 100

x

− 20x + 36 = 0

∆ = (20)

− 4(1).(36)

∆ = 400 − 144

∆ = 256

x =

=

x

= 2 e x

= 18

Alternativa A.

Quest˜

ao 10

Passo 1) Se, para fazer 1/2 receita, gastamos 21 minutos, basta descobrir

quantos minutos gastaremos para fazer 3,5 receitas, que equivale a 7/2. Para

isso, usaremos multiplica¸c˜

ao cruzada.

0, 5 = 21min

3, 5 = x

x = 147min

Passo 2) Realizamos novamente a multiplica¸c˜

ao cruzada, para verificarmos

quantas horas equivalem 147 minutos.

60min = 1h

147min = x

60x = 147

x = 2, 45horas

Dessa forma, temos que 147 minutos ´

e igual a 2,45 horas. Sabendo disso,

precisamos descobrir quantos minutos s˜

ao 0,45 horas.

1h = 60min

0, 45h = x

x = 27min

Ent˜

ao, 2,45 horas equivalem a 2h e 27min. Logo, basta somarmos com o tempo

que o forno demora para aquecer, e subtrairmos pela hora que ela quer que a

torta fique pronta.

2h27min + 13min = 2h40min

16h − 2h40min = 13h20min

Logo, a resposta ´

e 13h20.

Quest˜

ao 11

Basta o aluno notar que s˜

ao 3 medalhas a serem distribu´ıdas a 8 alunos,

portanto o mesmo pode resolver utilizando um arranjo simples

A

=

n!

(n − p)!

logo,

A

=

8!

(8 − 3)!

A

=

8!

(5)!

A

=

8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5!

(5)!

A

= 8 ∗ 7 ∗ 6∗

A

= 336

Quest˜

ao 12:

Basta fazer distˆ

ancia de ponto a reta:

d

=

→ d

=

=

10

. Logo, 0,1km que ´

e igual a 100

metros

Quest˜

ao 13:

0, 35R + 0, 75G = 0, 4(R + G)

0, 35R + 0, 75G = 0, 4R + 0, 4G

0, 05R = 0, 35G

R = 7G

R

R + G

=

7G

8G

=

7

8

Quest˜

ao 14:

Tendo em vista que

• A cada 50 brigadeiros s˜ao gastos 27, 50;

• Cada brigadeiro ´e vendido por 1,50;

• A cada 50 brigadeiros ela recebe ao todo, sem os gastos, 75,00 e desses 75 seu

lucro ´

e de 47,50;

• Deseja obter um lucro acima de 650,00, temos:

650

47, 5

= 13, 6842

Quest˜

ao 15

Com o enunciado podemos utilizar o item (i) ´

e poss´ıvel descartar as letras d) e f )

Resta o aluno fazer uma analise das letras a) , b) e c)

Para isso o mesmo deve fazer o uso do item (ii);

Analisando b) t = {∅, {1} , {2} {3} , X}

O aluno deve notar que o problema aparece ao se olhar para a uni˜

ao dos

elementos

{1} ∪ {2} = {1, 2} e olhando para b, temos {1, 2} 6∈ t

Analogamente o aluno pode analisar as duas outras letras restante, a e c, com a

analise da a, n˜

ao a nada a falar pois cumpre todas as propriedades.

Caso o aluno olhe para a letra c o erro aparecer´

a na interse¸c˜

ao dos elementos.

{1, 2} ∩ {2, 3} = {2} 6∈ t.