TÓPICOS DE PROPAGAÇÃO GUIADA

Texto

(1)

TÓPICOS DE PROPAGAÇÃO GUIADA

por

Carlos Varandas1 e Horácio Fernandes2

1Professor Catedrático do IST

2Professor Auxiliar do IST

IST, Abril de 2001

(2)

1. INTRODUÇÃO

Um dos problemas fundamentais da Física Experimental e da Engenharia Electrotécnica consiste na transmissão de energia electromagnética entre dois pontos, os quais podem estar separados por alguns centímetros ou por milhares de kilómetros.

Esta transmissão deve ser feita em condições próximas das ideais, ou seja, sem perdas, sem distorção e sem criar ruído na vizinhança do meio transmissor da energia electromagnética.

As soluções encontradas pelos físicos e engenheiros dependem essencialmente da frequência dos sinais. Para frequências até alguns Gigahertzs, a transmissão da energia pode ser feita utilizando dois condutores paralelos separados por um isolante (cabo eléctrico) ou por um condutor central separado por um isolante de um grande número de condutores muito finos que rodeiam o condutor central (cabo coaxial). Esta última solução é particularmente indicada na banda das radiofrequências e para sinais de baixa potência. Os sinais de radiofrequência de potência elevada são, normalmente, transmitidos por linhas de transmissão de energia. No caso das chamadas micro- ondas (frequências entre 3 e 150 GHz), a energia electromagnética é transmitida utilizando um único condutor oco (guia de ondas), com secção transversal rectangular (guia rectangular) ou circular (guia cilíndrico) (Fig. 1). Os sinais de frequências muito elevadas (ondas sub-milimétricas e ópticas) são transmitidas utilizando meios dieléctricos, de que as bem conhecidas fibras ópticas constituem um exemplo típico.

Num laboratório de Física dos Plasmas, a propagação guiada assume importância particular nas ligações dos emissores de micro-ondas às antenas emissoras e das antenas receptoras à electrónica de tratamento dos sinais. Recordemos que as micro-ondas podem ser usadas na criação, no aquecimento e no diagnóstico de um plasma bem como na geração não-indutiva de corrente de plasma de um tokamak.

b

a a

Figura 1 – Guias rectangular e cilíndrico

1

(3)

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS As equações de Maxwell

t J D H

rot

+

= (1)

t E B

rot

= (2)

ρ

= D

div (3)

=0 B

div (4)

conduzem num meio sem perdas e sem fontes à seguinte equação 1 0

2 2

2 =

t

U U v

lap (5)

onde U representa indistintamente os campos eléctrico ou magnético e em que:

εµ

2 = 1

v (6)

sendo ε e µ a constante dieléctrica e a permeabilidade magnética do meio.

Se o meio for infinito, a equação (5) admite soluções do tipo onda plana electromagnética )

) ( ,

(z t U0 ej t kz

U = ω (7)

em que

v

=k

ω (8)

A análise desta equação de dispersão permite concluir que todas as frequências se podem propagar com velocidades de fase (vf) e de grupo (vg) iguais a v.

Como veremos mais tarde, quando a propagação está limitada ao interior de um condutor metálico, nem todas as frequências se podem propagar e o meio passa a ser dispersivo, ou seja, as velocidades de fase e de grupo passam a depender da frequência da onda.

Estas alterações nas características da propagação resultam das condições fronteira a que os campos eléctrico e magnético têm de obedecer na superfície do condutor. De facto, as equações de Maxwell obrigam a que as componentes tangencial do campo eléctrico (Et) e normal do campo magnético (BN) sejam nulas na superfície de um condutor perfeito1.

=0

= N

t B

E (9)

1 Os condutores de ouro, prata, cobre e bronze podem ser considerados, na prática, como condutores perfeitos.

2

(4)

Este resultado significa que apenas as ondas electromagnéticas cujos campos eléctrico e magnético verificam a condição (9) se propagam no guia de ondas.

Na propagação guiada é costume considerar três tipos de modos:

Transversais Eléctricas (TE), caracterizados pelo facto do campo eléctrico existir no plano perpendicular à direcção de propagação.

Transversais Magnéticos (TM), quando é o campo magnético que não tem componente segundo a direcção de propagação.

Transversais Electromagnéticas (TEM), quando os campos eléctrico e magnético existem no plano normal à direcção de propagação.

Como já sabemos, as ondas planas electromagnéticas são puramente transversais. Ou seja, em propagação guiada apenas os modos TEM admitem soluções do tipo onda plana electromagnética.

No caso dos modos TE e TM existe sempre um campo (o magnético nos modos TE e o eléctrico nos modos TM) que tem componente segundo a direcção de propagação.

3. GUIA RECTANGULAR 3.1. Introdução

Consideremos o guia rectangular e o sistema de coordenadas cartesianas representados na Fig. 2.

Figura 2 – Secção transversal de um guia rectangular

Os campos dos modos que vamos estudar são do tipo ) ) (

, , ,

( j t kzz

e U t z y x

U

= ω

(10)

onde kz representa o número de onda segundo a direcção de propagação: o eixo dos Zs.

3

(5)

3.2. Modos Transversais Eléctricos 3.2.1. Introdução

Vamos admitir que o campo eléctrico apenas tem componentes nas direcções normais à direcção de propagação

y y x

xu E u

E

E = r + r (11) Nestas condições, a equação vectorial (5) conduz às seguintes duas equações escalares

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1

t E v z

E y

E x

Ex x x x

=

+

+

(12)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1

t E v z E y

E x

Ey y y y

=

+

+

(13)

Para facilitar a resolução da equação (12) vamos admitir que:

) ) (

( )

( j t kzz

e y g x f

Ex

= ω

(14) Substituindo (14) em (12) e simplificando obtemos:

fg v j

g f dy jk

g f d dx g

f

d 2

2 2

2 2 2 2

2

) 1 ( )

( = ω

+

+ (15) que podemos escrever na forma

1 0

1 2 2

2 2 2

2

=

+

+ kz

v dy

g d g dx

f d f

ω (16)

Esta equação é do tipo

= + ( ) )

(x G y

F constante = C (17) pelo que a podemos decompor em duas equações

) 1

(x C

F = (18a) ) 2

(y C

G = (18b) ligadas através da condição

C1 +C2 =C (19) que, como veremos mais tarde, assume uma papel determinante na dedução da relação de dispersão destes modos neste guia rectangular.

4

(6)

Nestas condições, a equação (16) conduz a

2 2

1 2

kx

dx f d

f = (20a)

2 2

1 2

ky

dy g d

g = (20b)

com

2 2

2

2

=

kx ky kz ωv

(21) As equações (20) são do tipo oscilador harmónico simples, pelo que admitem as seguintes soluções:

x k sen B x k A x

f ( )= cos x + x (22)

y k sen D y k C y

g( )= cos y + y (23)

em que A, B, C, e D, são constantes de integração cujos valores são determinados a partir das condições fronteira:

Ex = 0 para y=0 e y=b (em qualquer x) (24) e

Ey = 0 para x=0 e x=a (em qualquer y)

Substituindo (22) e (23) em (14), obtemos

( )

) cos

( ) cos

( ) , , ,

( j t kzz

e y k sen D y k C x k sen B x k A t z y x

Ex x x y y

+ +

= ω

(25)

A condição Ex(x,0,z,t)=0 significa que

) 0 ) (

cos

( =

+ j t kzz

e C x k sen B x k

A x x ω

(26) ou seja C = 0 (27)

A condição Ex(x,b,z,t)=0 significa que

) 0 ) (

cos

( =

+ z

kz t ej b k sen D x k sen B x k

A x x y ω

(28) donde concluímos que

5

(7)

senkyb=0 (29) o que conduz a

kyb=nπ (30)

ou seja

b ky = nπ

(31)

Nestas condições

) ) (

cos ( ) , , ,

( j t kzz

e y k sen D x k sen B x k A t z y x

Ex x x y

+

= ω

(32) Vamos agora calcular a componente do campo eléctrico segundo o eixo dos YY’. Podiamos resolver a equação (13) utilizando o mesmo método que foi usado para a equação (12). Contudo, e para demonstrar a riqueza das equações de Maxwell, vamos utilizar a equação

Div E = 0 (33a)

que podemos escrever na forma

=0

+

+

z E y E x

Ex y z

(33b)

Como Ez = 0

=0

+

y E x

Ex y

(34a)

ou seja

x

E y

Ey x

=

(34b)

Substituindo (29) em (31b) obtemos:

) ) (

cos

( z

kz t ej y k sen D x k k B x k sen y Ak

E

y x

x x

x

y

+

=

ω

(35) donde concluimos que:

) cos (

) cos (

) , , ,

( t kzz

e y k k

x D k B x k sen A k t z y x

E y

y x x

x

y

+

= ω

(36) As condições fronteira

Ey =0 para x=0 e x=a (em qualquer y) conduzem a

6

(8)

) 0 cos (

cos =

j t kzz

e y ky k

x D k B

kx x y ω

ou seja

B = 0 (37)

e a

0 ) , , ,

(a y z t = Ey

) 0

cos ( =

j t kzz

e y k k

a D k sen A

k y

y x x

ω

donde concluímos que

=0 a k sen x ou seja

a kx mπ

= (38)

3.2.2. Relação de dispersão

Substituindo (35) e (28) em (21) obtemos a relação de dispersão dos modos transversais eléctricos num guia rectangular

2 2 2 2 2

k v b n a

m

z

ω π

π =

(39)

que podemos escrever na forma

(40)

2 2 2 2 =ωc +kzv ω

em que

2 2

+

=

b n a

m

c

π

ω π (41)

A análise destas equações permite tirar as seguintes conclusões:

(i) Nem todas as ondas se podem propagar na forma de modos TE num guia rectangular. De facto, escrevendo (40) na forma:

2

1 2

c

z v

k = ω ω (42)

concluimos que apenas frequências maiores que ωc conduzem a propagação (para ω = ωc kz = 0 e para ω<ωc kz é imaginário (puro)

7

(9)

(ii) A frequência de corte depende das dimensões do guia (a e b), da velocidade de propagação no espaço livre do meio dieléctrico que preenche o guia e do grau do modo TE (m e n). Estes inteiros (m e n) definem o número de meios comprimentos de onda “cabem” do guia, de modo a que o campo eléctrico verifique as condições fronteiras nas paredes metálicas do guia. Note-se ainda que quanto menores forem as dimensões do guia, maiores são as frequências de corte.

(iii) O meio é dispersivo, ou seja, as velocidades de fase e de grupo dependem da frequência

2 2

2 1

1

=

=

=

ω ω ω

ω ω ω

c c z

f

v v

v k (43)

2 2

2 1 1

=

=

=

=

ω ω ω

ω c

f z

z

g v

v v v k

v k (44)

(iv) Para frequências muito superiores à frequência de corte kωv

(45) ou seja as ondas propagam-se praticamente como se não existissem as paredes metálicas do guia.

A Fig. 3 apresenta o diagrama de dispersão dos modos TE10 e TE01

va v a

c

π

ω π =

=

2

10 (46a)

ωc01 =vπb (46b)

admitindo que a>b.

kz

π π ω=

k vz

a a

b ω

8

(10)

A título de curiosidade, calculemos as frequências de corte destes dois modos para um guia rectangular com a = 1 cm e b = 0.5 cm, preenchido por vácuo

GHz a Hz

c

fc 1.5 10 15

10 2

10 3 2

1 10

2 8

10 = × =

×

= ×

= π

π

GHz B Hz

cb

fc 3 10 30

10 5 . 0 2

10 2

1 10

2 8

01 = × =

×

×

= ×

= π

π

3.2.3. Estrutura dos campos eléctrico e magnético

Fazendo as substituições convenientes em (14) e (39) obtemos as seguintes expressões para as componentes do campo eléctrico de um modo TEmn:

)

cos j( t kzz

e y k sen x k E

Ex ox x y

= ω

(47)

) cos j( t kzz

e y k x k sen E

Ey oy x y

= ω

(48) em que

AD

Eox = (49) e

y x

oy k

AD k

E = (50) O campo magnético destes modos pode ser determinado a partir da equação de Maxwell

t E B

rot

= r

(51a)

ou seja

y 0

x

z y x

E E

z y x

u u u t B

=

r r r

(51b)

z x y y

x x y

y u E x u E

z u E z E t

B r r r





+

=

(51c)

9

(11)

( ) )

(

cos t kzz

e k j y k x k sen

Eoy x y z

z E t

Bx y

=

=

ω

) cos (

2 t kzz

e y k x k sen k E

Bx oy x y

= ω

ω (52)

) ) (

(

cos t kzz

e k j y k sen x k z E

E t B

z y

x ox x

y

=

=

ω

)

cos ( z

kz e t

y k sen x k k E

By z ox x y

= ω

ω (53)

=

=

x E y E t

Bz x y

) ) (

cos cos

cos cos

( j t kzz

e y k x k E k y k x k k

Eox y x y x oy x y

= ω

) ) (

cos cos

cos cos

1 (

2 z

kz t ej y k x k E k y k x k k j E

B ox y x y x oy x y

= ω

ω (54)

É interessante verificar, até para validar os nossos cálculos, que as componentes do campo magnético verificam as condições fronteiras, ou seja:

Bx = 0 para x = 0 e x = a (55) By = 0 para y = 0 e y = b (56)

3.3. Modos Transversais Magnéticos

O leitor poderá repetir o raciocínio expresso na secção anterior, admitindo agora que o campo magnético é puramente transversal.

y y x

xu B u

B

Br = r + r (57) Irá concluir que os modos TMmn têm a mesma frequência de corte dos modos TEmn, embora, obviamente, a estrutura dos campos seja, por definição, diferente.

10

(12)

4. GUIA CILÍNDRICO 4.1. Introdução

Vamos, agora, estudar a propagação de ondas electromagnéticas num guia cilíndrico de raio a.

Poderiamos usar um procedimento semelhante ao utilizado no caso do guia rectangular, com a substituição das coordenadas cartesianas pelas cilíndricas. Contudo, vamos seguir uma outra metodologia que permite evidenciar, uma vez mais, a riqueza e a flexibilidade das equações de Maxwell.

Em coordenadas cilíndricas, a equação (5) escreve-se na forma

1 0 1

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 =

+

+

+

t U v z

U U

r r U r r

Ur r r r r

ϕ (58)

em que

) ) (

, ( ) , , ,

( z

kz t ej r U t z r

U

= ω

ϕ

ϕ r

r (59)

Vamos resolver a equação (55) para a componente do campo segundo a direcção de propagação (Ez num modo TM ou Hz num modo TE).

z z Uz k Uz

r r U r r

U 2

2 2 2 2

2 1 1 =

+

+

ϕ (60)

com

2 2

2 2

kz

k =ωv

(61) Admitindo que:

) (62) (

) ( ) ,

(r ϕ R r F ϕ

Uz =

podemos escrever (60) na forma

F R d k

F d r

R dr dR r F F dr

R

d 2

2 2 2 2

2 + + =

ϕ (63a)

ou seja

F d

F d r

R k dr dR r dr drdR R d

r 2

2

2 2 2

2

2 + + = ϕ (63b)

11

(13)

O primeiro membro desta equação depende apenas de r enquanto o segundo membro é uma função de ϕ. Para que a equação se verifique, para todos os valores de r e de ϕ é preciso que cada um dos seus membros seja igual a uma constante

2 2 2 2

2

2 + +k r =+υ

R dr dR r dr drdR R d

r (64a)

2 2 2

ϕ =υ + F

d F d

(64b)

Estas equações admitem soluções do tipo ) ( )

( )

(r AJ kr BN kr

R = υ + υ (65) F(ϕ)=Ccosυϕ+Dsenυϕ (66) onde Jυ (kr) e Nυ (kr) representam funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie de ordem υ e A, B, C e D são constantes de integração que se determinam a partir das condições fronteiras. Como os campos têm de ser finitos para r=0, a constante B tem de ser nula dado que Nυ(0)= .

Conhecidas as componentes E2 e Hz, as outras componentes dos campos eléctrico e magnético podem ser determinadas resolvendo as equações

t E B

rot

=

t H E

rot

=ε

em ordem a E2 e Hz

+

= ϕ

ωµ z

z z

r H

j r r jk E E k12

(67)

+

= r

j H E r jk

E k z z ωµ z

ϕ

ϕ

2

1 (68)

= r

jk H E r j H k

z z r z

ϕ ωε

2

1 (69)

12

(14)

+

r H r jk r

Ez z z

ωε

= j

Hϕ k12

(70)

4.2. Modos Transversais Magnéticos

Os modos transversais magnéticos (TMnl) são caracterizados pela existência de uma componente longitudinal do campo eléctrico definido por:

ϕ n kr AJ

Ez = n( )cos (71) e que tem de ser nula para r=a

Jn(ka)= Pnl (72) em que ρnl representa o zero de ordem l da função de Bessel Jn(x)=0.

As expressões (61) e (72) permitem determinar a relação de dispersão destes modos

2 2 2 2

z

nl k

v

a =

ρ ω

(73) que podemos escrever na forma

(74)

2 2 2 2 =ωc +kzv ω

com

a v

nl

c

=ρ

ω (75)

4.3. Modos Transversais Eléctricos

Neste caso, a componente longitudinal do campo magnético é da forma

0 (76) cos

) (kr n J

B Hz = n

pelo que, usando (69), concluimos que:

r j H E k

= 12 ωµ 2

ϕ (77a)

0 cos )

'(kr n

J k B j

n

= ωµ (78b) Esta componente do campo eléctrico tem de ser nula em r=a, pelo que

(79)

0 ' (ka)= ρ Jn

ou seja

k anl ρ'

= (80) onde ρnl representa o zero de ordem l da função de Bessel Jn' (x)=0.

13

(15)

Uma vez mais usando as expressões (61) e (79) obtemos a relação de dispersão dos modos transversais eléctrico num guia cilindrico

(81)

2 2 2 2 =ωc +kzv ω

em que

a v

nl c

ρ'

ω = (82)

4.4. Comparação das frequências de corte dos modos transversais magnético e eléctrico

A consulta a uma tabela de zeros das funções de Bessel permite construir, utilizando as expressões (72) e (78) a Figura 4 que representa as frequências de corte dos modos TE e TM de ordem inferior.

A análise desta figura permite concluir o seguinte:

(i) Ao contrário do que acontecia no guia rectangular, os modos TE e TM da mesma ordem (mesmos valores de m e n) não possuem a mesma frequência de corte.

(ii) O modo fundamental, isto é, o modo com a menor frequência do corte é o modo TE11(ρ11=1.84).

(iii) O modo transversal magnético com menor frequência de corte é o modo TE01(p01=2.405).

5. CAVIDADE CILÍNDRICA

Quando truncamos um guia de ondas por dois condutores perfeitos, normais às paredes do guia, obtemos uma cavidade electromagnética ressonante. A Figura 3 apresenta uma cavidade cilíndrica.

As estruturas dos campos electromagnéticos que se podem propagar nesta cavidade podem ser deduzidas a partir das equações de Maxwell escritas em coordenadas cilíndricas.

14

(16)

j rHr z

r E

Ez ϕ ωµ

ϕ =

(83.a)

µ ϕ ω H r j

Ez z

Er =+

(83.b)

Hz r r j

rE E

r ωµ

ϕ

ϕ =

( ) (83.c)

Er r z j

r H

Hz ϕ ωε

ϕ =+

(84.a)

ε ϕ ω E r j

Hz z

Hr =+

(84.b)

Ez r j Hr

r rH ωε

ϕ

ϕ =+

( ) (84.c)

A dedução das expressões gerais dos modos TEmnl e TMmnl é complexa, pelo que iremos centrar a nossa atenção na estrutura do modo que possui a menor frequência de ressonância e que pode ser facilmente excitado: TM010. Para este modo podemos considerar que não há variação do campo eléctrico segundo z e dos campos eléctrico e magnético segundo ϕ. Nestas condições, e atendendo a que Hz=0, as equações anteriores reduzem-se a:

ωµHϕ r j

Ez

=

(85.a)

Ez r j r rHϕ = ωε

( ) (85.b)

as quais significam que o modo TM010 é caracterizado por um campo eléctrico que apenas tem componente segundo z

(86)

z z E Er = µr

e por um campo magnético que apenas possui componente segundo ϕ.

15

Imagem

Referências

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