ALGORITMO INTERATIVO PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO UNIDIMENSIONAL

ALGORITMO INTERATIVO PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO UNIDIMENSIONAL

Thais Andrea Baldissera Frazzon thais@inf.ufsm.br

Mestranda no Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal de Santa Maria

Adriana Farias de Medeiros adriana@inf.ufsm.br

Aluna do Curso de Ciência da Computação Universidade Federal de Santa Maria

Resumo

Dado um conjunto de n itens com pesos w

, i = 1, ... , n, o Problema de Empacotamento (PE) consiste em encontrar o menor número de bins, de capacidade c, necessários para empacotar os itens, sem desrespeitar a restrição de capacidade. Esta formulação, também engloba uma segunda versão para o problema, o Problema de Empacotamento Dual (PED) ou PE

, no qual se busca minimizar a capacidade de um número fixo de bins de modo que todos os itens sejam alocados aos m bins sem violar as restrições de capacidade. Tanto o PE quanto o PED guardam estreita relação com o problema de seqüenciamento em máquinas paralelas idênticas com o objetivo de minimizar o makespan. O PE é NP-difícil, assim, propõe-se uma heurística, essa interativa, utilizando estratégias de redução, bons limitantes inferiores e superiores, heurísticas construtivas para o PE e heurísticas para solução do problema de seqüenciamento.

Abstract

The bin packing problem consists in finding the minimum number of bins of given capacity which are necessary to pack a certain number of bins. This formulation also entails another problem (DBP), in which we seek to minimize the capacity of a fixed number m of identical bins, so that all itens fit in the m bins without violating the capacity constraints.DBP is equivalent to the problem of scheduling n inedependent jobs having operation times w

on m identical parallel processors with the objective of minimizing the makespan c. So we propose a interactive heuristic, using reduction strategics with good lower and upper bounds, whose hone constructive heuristics to the bin packing problem and heuristics to solve problems of scheduling.

1. Definição do Problema

Neste artigo trabalhar-se-á com o Problema de Empacotamento Unidimensional (PEU), onde são dados n itens, w

sendo o tamanho do item j (w

≤ c) e c a capacidade de cada bin.

Então, o PEU é encontrar o menor número de bins, de modo que a soma dos tamanhos dos itens

alocados a cada bin não seja maior que sua capacidade, ou seja, distribuir todos os itens no

menor número possível de bins, respeitando o tamanho máximo permitido da soma dos itens alocados em cada bin (MARTELLO & TOTH,1990).

Relacionado ao objetivo, pode-se transcrever duas versões para o problema. A primeira (PE

) busca miniminizar o número de bins com uma capacidade fixa. A segunda versão (PE

) busca miniminizar a capacidade para um número fixo de bins (SCHOLL, KLEIN & JÜGENS, 1997).

Ambas as versões do problema são, segundo COFFMAN, GAREY & JOHNSON (1997), NP-Difíceis. Com base nisto, pode-se dizer que, a medida que a dimensão dos problemas de otimização combinatória deste tipo aumenta, o esforço necessário para resolvê-los de maneira exata cresce exponencialmente, portanto o interesse pelo uso de métodos heurísticos também aumenta, pois permite que se encontrem soluções de boa qualidade a um custo computacional razoável (MENDES et al., 2002).

Para acelerar a busca por soluções para o PEU, utilizam-se conceitos matemáticos que minimizam o intervalo onde se encontra a solução ótima. Esse intervalo é determina por limitantes (bounds) inferiores e superiores.

Um limitante inferior, para um problema de minimização, indica que a sua solução ótima (melhor solução possível) terá um valor igual ou superior a esse limitante. Portanto se o limitante inferior para uma determinada instancia for 2, significa que a solução ótima, ou seja, o menor número de bins para a melhor solução possível é 2 ou mais, e nunca menos, excluindo as tentativas frustrantes com um número menor de bins que o encontrado, diminuindo o tempo de execução do algoritmo (MARTELLO & TOTH,1990).

Um limitante superior, por sua vez, indica que a melhor solução para o problema será sempre menor ou igual ao valor encontrado, como no exemplo citado, com limitante inferior igual a 2, se o limitante superior for 5, sabe-se que a solução ótima estará entre 2 e 5 bins.

Ainda, buscando minimizar o tempo e a dificuldade de resolução do problema, utilizam- se os métodos de Redução. Esses métodos visam diminuir o tamanho da instância a ser analisada, fixando alguns itens aos bins, tentando diminuir a dimensão do problema, facilitando sua resolução (MARTELLO & TOTH,1990).

Em Otimização Combinatória, é comum encontrar na literatura vários algoritmos, muitos com excelente desempenho, para resolução de determinado problema. Muitos dos algoritmos propostos para um problema particular são aplicáveis a solução de outro problema através de pequenas adaptações. Percebe-se que o PEU, em especial o PE

, guarda analogia com o problema de seqüenciamento de tarefas em máquinas paralelas idênticas, denominado P||C

. O P||C

é um dos problemas mais estudados da teoria de seqüenciamento.

COFFMAN, GAREY & JOHNSON (1979) provaram que este problema é NP-completo quando o número de máquinas é arbitrário. O problema pode ser resolvido em um tempo pseudo-polinomial quando o número de máquinas é fixo, sendo assim NP-difícil, somente no sentido ordinário. Apesar disso, é conhecido um grande número de algoritmos heurísticos para o P||C

.

O P||C

consiste em alocar n tarefas independentes, J

, ... , J

a m máquinas paralelas idênticas M

, ... , M

, de uma forma não-preemptiva. Supondo n ≥ m ≥ 2 e que cada tarefa J

tem um tempo de execução inteiro e positivo p

, então o objetivo do problema é minimizar o tempo de finalização máximo das tarefas (makespan) definido como: , onde C

é o tempo de execução de todas as tarefas alocadas a máquina M

.

{ }

imax C

Cmax = =

O P||C

pode ser visto como um Problema de Empacotamento Unidimensional, considerando a seguinte equivalência: para uma dada capacidade c e um conjunto de tarefas (itens) J=(J

1

, J

2

, ... , J

n

) cada uma tendo um tempo de processamento (tamanho) inteiro e positivo p

, com 0≤ p

≤ C. O objetivo é encontrar o mínimo valor de m tal que exista uma partição de J em subconjuntos J’

, J’

, ... , J’

, satisfazendo t C

k

i J

J

∑

≤

∈ ′

, para k = 1 , ... , m (MENDES et al., 2002). Veja o quadro 1.

PEU P||C

Número de itens Número de tarefas

Tamanho dos itens Tempo de processamento das tarefas nas máquinas

Capacidade de cada Bin Solução: Makespan Solução: Número de Bins Número de máquinas

Quadro 1: Analogia entre o PEU e P||C

2. Algoritmos de Resolução do PEU

A maioria da literatura para o PE está preocupada com algoritmos aproximativos, estes baseados em estratégias simples e, geralmente, fornecem um resultado satisfatório. Também serão relatados alguns algoritmos heurísticos, híbridos e exatos conhecidos para o problema.

Os algoritmos aproximativos, se dividem em duas classes distintas quanto à ordem que os itens são distribuídos nos bins: os algoritmos on-line, que consideram os itens na ordem em que eles aparecem e os alocam utilizando a estratégia determinada pelo método. Os off-line são aqueles onde já se conhece todos os itens que serão armazenados, e com isso constrói-se uma ordem de prioridade para a distribuição dos itens aos bins. Normalmente, estes procedimentos classificam os itens em ordem não-crescente dos seus tamanhos e os distribuem aos bin de acordo com a estratégia do método utilizado. Algoritmos off-line requerem que os dados do problema sejam estáticos, enquanto que os on-line podem ser aplicados quando os itens chegam dinamicamente a uma estação de processamento (COFFMAN, GAREY & JOHNSON, 1997).

Dos algoritmos aproximativos on-line, pode-se citar Next Fit (NF), First Fit (FF), Best Fit (BF), Worst Fit (WF) , maiores detalhes ver em (COFFMAN, GAREY &

JOHNSON, 1997).

Para o caso off-line, trabalha-se com uma pré-classificação dos itens em ordem não- crescente de seus pesos, obtendo-se: Next Fit Decreasing (NFD), First Fit Decreasing (FFD), Best Fit Decreasing (BFD) e Worst Fit Decreasing (WFD).

Conhece-se também o algoritmo híbrido proposto por ALVIN et al. (2001), que tem basicamente a seguinte estrutura:

1. Redução: começa utilizando a redução da instância, eliminando itens e fixando bins;

2. Limitantes: calcula limitante inferior (LI) e superior (LS) para o problema;

3. Construtivo: aplica um algoritmo guloso em LI bins;

4. Redistribuição: faz-se um balanceamento se a melhor solução conhecida for infactível;

5. Melhoramento: aplica-se tecnologias de redução para violações de capacidade;

6. Critério de parada: se a solução for factível, pare. Senão LI = LI + 1 e volta ao passo 1;

ALVIN et al. (1999) apresenta uma variação desse procedimento, onde uma heurística de melhoramento que busca uma redução progressiva do número de bins usados pela fase construtiva do algoritmo é proposta para o PEU. A cada redução utiliza-se um método de busca local para o problema de number partition tentando factibilizar a solução.

FALKENAUER (1996) propõem um método de redução e um algoritmo genético (GA) híbrido para o PE denominado Hybrid Grouping Genetic Algorithm (HGGA). Foi demonstrado, que algoritmos genéticos, se utilizarem uma codificação e operadores que se ajustam a estrutura do problema, além de uma sofisticada otimização local, conseguem resolver de forma eficiente o PEU.

Tem-se o método exato denominado MTP, proposto por MARTELLO & TOTH (1990) que usa como estratégia de ramificação o First Fit Decreasing – FFD, utiliza critérios de dominância e cálculos de limitantes.

Outro método exato híbrido denominado BISON foi proposto por SCHOLL et al.

(1996), esse combina estratégias de busca tabu e de branch and bound , trazendo novos limitantes para o problema e se mostrando eficiente em relação ao MTP, por chegar aos mesmos resultados em um tempo de processamento bem menor.

3. Metodologia

Propõe-se uma heurística interativa, utilizando estratégias de redução, bons limitantes inferiores e superiores e heurísticas construtivas para o PE, e ainda heurísticas propostas para resolução do problema de seqüenciamento. O algoritmo parte de uma instância original para o PEU, que se resume em número de tarefas (n

), capacidade do bin (c) e os tamanhos dos itens (w

, ..., w

).

procedimento interativo;

inicio

cálculo LI;

cálculo LS;

Se LI=LS

PARE e apresente a solução;

Senão

Repita

Se LS-LI=1 m=LI;

executa um algoritmo de seqüênciamento;

Se makespan ≤ c

fixe essa solução como incumbente;

LS=LI;

PARE e apresente a solução;

Senão LI=LS

PARE e apresente a solução;

Senão

m={(LS-LI)/2}+LI;

executa um algoritmo de seqüênciamento;

Se makespan ≤ c

fixe a solução como incumbente;

LS=m;

Senão LI=m+1;

até LI=LS;

fim

Figura 1 Pseudo-código do algoritmo interativo 4. Resultados Computacionais

Para obtenção dos resultados, utiliza-se o CORE (Combinatorial Optimization Resourse Management Environment), um ambiente na internet de utilização e gerenciamento de recursos de otimização combinatória distribuídos, elaborado por SANTOS ( 2002). O ambiente nos oferece um repositório de instâncias para quatro tipos de problemas, uma fácil inserção de novos códigos, um re-uso de códigos muito extensos, e uma facilidade para obter resultados e posteriormente comparar com os demais códigos. O ambiente está totalmente operacional, e uma versão de acesso público pode ser utilizada em http://glover.ce.ufsm.br .

Observa-se na figura 1,a tela do CORE onde verifica-se os tipos de problemas de otimização combinatória disponíveis. No caso, P||Cmax, seqüenciamento de tarefas em máquinas paralelas idênticas, Q||Cmax, seqüenciamento de tarefas em máquinas paralelas uniformes, Bin Packing, o problema de empacotamento em questão, e Number Partition.

Figura 2 Tela do Core com os tipos de problemas disponíveis para resolução no ambiente

Após escolher o problema que se quer resolver, passa-se a escolha das instâncias que

queremos executar o algoritmo. O CORE tem um repositório de instâncias, essas escolhidas por

serem clássicas para o problema e também por conhecermos sua solução ótima. Há a

possibilidade de entrar com uma instancia nova, desde que ela siga o padrão das demais. A

seguir escolhemos o algoritmo construtivo para a sua resolução e o de melhoramento respectivamente. E, para finalizar, define-se o modo de visualização e obtenção do resultado.

Figura 3: Tela do Core de escolha dos algoritmos para resolução do problema escolhido.

Abaixo têm-se as tabelas com os resultados do Algoritmo. Em cada tabela mostra-se a identificação da instância, a solução encontrada pelo algoritmo interativo com seu tempo computacional em segundos e após a melhor solução encontrada na literatura para a dada instância. As instâncias foram escolhidas por serem clássicas para o PE e também por já ser conhecido a melhor solução encontrada até hoje para elas, facilitando as futuras comparações e analise de seus resultados.

Algoritmo Interativo Algoritmo Interativo

Instância Solução Tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo u120_00 49 0,069 48 u250_00 100 0,123 99 u120_01 49 0,059 49 u250_01 100 0,124 100 u120_02 46 0,055 46 u250_02 102 0,119 102 u120_03 50 0,061 49 u250_03 101 0,133 100 u120_04 50 0,068 50 u250_04 102 0,182 101 u120_05 48 0,053 48 u250_05 102 0,124 101 u120_06 48 0,053 48 u250_06 102 0,142 102 u120_07 50 0,061 49 u250_07 106 0,162 103 u120_08 51 0,061 50 u250_08 106 0,121 105 u120_09 47 0,063 46 u250_09 101 0,132 101 u120_10 52 0,068 52 u250_10 105 0,122 105 u120_11 50 0,069 49 u250_11 102 0,148 101 u120_12 48 0,06 48 u250_12 106 0,258 105 u120_13 49 0,052 49 u250_13 104 0,143 102 u120_14 50 0,058 50 u250_14 100 0,132 100 u120_15 48 0,061 48 u250_15 106 0,209 105 u120_16 52 0,065 52 u250_16 98 0,131 97 u120_17 53 0,063 52 u250_17 100 0,184 100 u120_18 49 0,061 49 u250_18 101 0,136 100 u120_19 50 0,065 49 u250_19 103 0,133 102

Tabela 1: Resultados Computacionais para instâncias uniformes com 120 e 250 itens

Algoritmo Interativo Algoritmo Interativo

Instância Solução Tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo u500_00 200 0,474 198 U1000_00 403 1,652 399 u500_01 203 0,376 201 U1000_01 409 1,334 406 u500_02 203 0,328 202 U1000_02 415 1,213 411 u500_03 206 0,305 204 U1000_03 416 1,333 411 u500_04 206 0,331 206 U1000_04 400 1,302 397 u500_05 208 0,519 206 U1000_05 402 1,619 399 u500_06 209 0,348 207 U1000_06 398 1,648 395 u500_07 206 0,316 204 U1000_07 408 1,334 404 u500_08 197 0,338 196 U1000_08 402 1,438 399 u500_09 203 0,335 202 U1000_09 402 1,548 397 u500_10 201 0,384 200 U1000_10 403 1,468 400 u500_11 202 0,42 200 U1000_11 404 1,583 401 u500_12 200 0,344 199 U1000_12 397 1,722 393 u500_13 197 0,376 196 U1000_13 398 1,34 396 u500_14 205 0,341 204 U1000_14 398 1,606 394 u500_15 203 0,322 201 U1000_15 406 1,407 402 u500_16 203 0,321 202 U1000_16 407 1,304 404 u500_17 199 0,332 198 U1000_17 407 1,386 404 u500_18 204 0,331 202 U1000_18 402 1,511 399 U500_19 199 0,378 196 U1000_19 402 1,53 400

Tabela 2: Resultados Computacionais para instâncias uniformes com 500 e 1000 tens

Algoritmo Interativo Algoritmo Interativo

Instância Solução tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo T060_00 21 0,052 20 t120_00 41 0,124 40 T060_01 21 0,065 20 t120_01 41 0,081 40 T060_02 21 0,04 20 t120_02 41 0,066 40 T060_03 21 0,045 20 t120_03 41 0,08 40 T060_04 21 0,062 20 t120_04 41 0,251 40 T060_05 21 0,052 20 t120_05 41 0,073 40 T060_06 21 0,052 20 t120_06 41 0,086 40 T060_07 21 0,052 20 t120_07 41 0,054 40 T060_08 21 0,046 20 t120_08 41 0,172 40 T060_09 21 0,045 20 t120_09 41 0,09 40 T060_10 21 0,045 20 t120_10 41 0,106 40 T060_11 21 0,053 20 t120_11 41 0,075 40 T060_12 21 0,053 20 t120_12 41 0,073 40 T060_13 21 0,051 20 t120_13 41 0,12 40 T060_14 21 0,056 20 t120_14 41 0,124 40 T060_15 21 0,056 20 t120_15 41 0,14 40 T060_16 21 0,063 20 t120_16 41 0,087 40 T060_17 21 0,057 20 t120_17 41 0,115 40

T060_18 21 0,053 20 t120_18 41 0,081 40 T060_19 21 0,045 20 t120_19 41 0,073 40

Tabela 3: Resultados Computacionais para instâncias triplets com 60 e 120 itens

Algoritmo Interativo Algoritmo Interativo

Instância Solução Tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo T249_00 85 0,326 83 t501_00 169 1,145 167 T249_01 85 0,348 83 t501_01 169 0,835 167 T249_02 86 0,415 83 t501_02 170 1,282 167 T249_03 85 0,254 83 t501_03 170 1,209 167 T249_04 84 0,167 83 t501_04 171 1,327 167 T249_05 85 0,346 83 t501_05 170 1,255 167 T249_06 85 0,331 83 t501_06 171 1,395 167 T249_07 85 0,308 83 t501_07 171 1,325 167 T249_08 85 0,349 83 t501_08 170 1,133 167 T249_09 85 0,331 83 t501_09 173 1,844 167 T249_10 84 0,189 83 t501_10 170 1,09 167 T249_11 84 0,281 83 t501_11 172 1,859 167 T249_12 85 0,326 83 t501_12 171 1,269 167 T249_13 85 0,314 83 t501_13 172 1,659 167 T249_14 85 0,309 83 t501_14 170 1,141 167 T249_15 85 0,328 83 t501_15 171 1,393 167 T249_16 85 0,353 83 t501_16 171 1,422 167 T249_17 86 0,373 83 t501_17 171 1,456 167 T249_18 85 0,311 83 t501_18 170 1,023 167 T249_19 84 0.233 83 t501_19 170 1.118 167

Tabela 4: Resultados Computacionais para instâncias triplets com 249 e 501 itens 5.Análise dos Resultados e Conclusão

Para analisar o conjunto de instâncias, foram utilizadas duas técnicas estatísticas:

Análise de Regressão e Análise de Correlação de Pearson ( Snedecor et al. , 1989) ( Chapra et al.,1985 ) ( Wonnacott et al.,1990) .

Abaixo vê-se um gráfico de regressão do conjunto de instâncias u500, que demostra a média dos resultados encontrados comparados a outros algoritmos híbridos:

Falkenauer (1996) e Alvin (2001) e com o exato MTP (Martello & Toth, 1990).

194 196 198 200 202 204 206 208 210 212

194 196 198 200 202 204 206 208

MTP

Algoritmos

Alg Interativo Alvin Faukenauer Linear (Alvin) Linear (Faukenauer) Linear (Alg Interativo)

Faukenauer = Ótimo

Alg_Interativo = 0,9861*Ótimo + 4,3048 Alvin = 0,9851*Ótimo + 5,5418

Baseado nos resultados e nas analises realizadas, o algoritmo interativo mostrou-se bom, tanto em qualidade de solução, como em tempo computacional, chegando a um coeficiente de explicação do modelo de regressão médio de 0,979, ou seja, 97,9% dos valores do ótimo, MTP de Martello & Toth (1990), são explicados pelo modelo do algoritmo interativo.

Em relação ao algoritmo Alvin (2001) o algoritmo interativo obteve melhor qualidade de solução e um tempo computacional equivalente.

Em relação ao algoritmo Faukenauer (1996) o algoritmo proposto esteve atrás em qualidade de solução cerca de 2%. O algoritmo proposto por Faukenauer não está no ambiente, por esse fato não demonstramos seu tempo computacional aqui, porém vês-se que na literatura que seu tempo computacional é bastante superior ao algoritmo interativo.

Foi proposto e testado um novo algoritmo híbrido para o PEU que interage com uma heurística desenvolvida para um outro problema de otimização , o P||C

.Foi implementado dentro do ambiente CORE, o que possibilitou um reuso de código extenso, rapidez na implementação e uma fácil comparação com algoritmos para o mesmo problema.

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