GEOMETRIA TEORIA DAS CURVAS

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FUN

GEOMETRIA

TEORIA DAS CURVAS

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GEOMETRIA

TEORIA DAS CURVAS

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GEOMETRIA

TEORIA DAS CURVAS

COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

JOÃO CARLOS MOREIRA

Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA

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Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira

EDITOR: João Carlos Moreira

DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira

DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n

^o

9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/

(5)

Para todos os meus alunos, com carinho.

João Carlos Moreira

(6)

Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Geometria e suas aplicações.

A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos.

Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil.

Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, março de 2019.

João Carlos Moreira

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Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence

ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente

a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x,x pertencente ao

conjunto A.

∃! existe um único (∃! x^∗)(x^∗∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y

∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y

∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y

¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A

→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q

↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q

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GEOMETRIA

TEORIA DAS CURVAS

ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das curvas no ℝ

^𝑛

00 2.1.1 Representação das curvas 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das curvas no ℝ

²

e ℝ

³

00 3.2 Cálculo de perímetro 00

3.3 Cálculo de área 00

4 Abordagem Computacional 00

4.1 Representação das curvas 00

4.2 Algoritmos 00

(9)

5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00

6.3.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.3.2 Prática intuitiva 00

6.3.3 Prática formal 00

6.4 Abordagem Computacional 00

6.4.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.4.2 Prática intuitiva 00

6.4.3 Prática formal 00

7 Referências Bibliográficas

00

(10)

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 2.1 Sistema matemático das curvas

Apresentamos nas próximas seções, os elementos que constituem um sistema matemático (modelo) para o desenvolvimento da teoria das curvas.

2.1.1 Representação algébrica das curvas

CAPÍTULO 2

ABORDAGEM ALGÉBRICA

C. Jordan (1838-1922) foi um matemático francês. Dentre suas principais contribuições, destacamos o tratado

Traité des substituencies et des équations algebraique, publicado em 1870 e

considerado o primeiro livro sobre a teoria de grupos. O teorema da curva de Jordan o tornou muito conhecido entre os matemáticos.

Definição 1.

Uma curva no espaço euclidiano ℝ

ⁿ

é uma função contínua φ ⊆ ℝ × ℝ

ⁿ

. Uma curva é dita parametrizada, se existir um parâmetro t e funções contínuas (∀i)( i ∈ {1, … , n})(x

i

⊆ ℝ × ℝ), tais que

(∀t)(t ∈ D(φ))(φ(t) = (x

₁

(t), x

₂

(t), … , x

_n

(t))).

Neste caso, (∀i)(i ∈ {1, … , n})(x

_i

= x

_i

(t)) , são chamadas de

equações paramétricas da curva.

(11)

2

Escólio.

A linha reta foi uma das primeiras curvas estudadas, no entanto Euclides, em “Os Elementos”, embora dedique muito estudo à linha reta, não a considera uma curva. Na verdade, a primeira definição geral de curva aparece com Jordan em seu Cours d'Analysein de 1893.

Exemplo 1.

Um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝ

ⁿ

, também chamado de reta limitada, pode ser visto como uma curva parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ [0,1])(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚).

Exemplo 2.

Uma linha reta no ℝ

ⁿ

, ou simplesmente reta, também pode ser obtida através do prolongamento de um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝ

ⁿ

e pode ser vista como uma curva parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚).

Por outro lado, as retas que passam por 𝐱 = (x

₁

, x

₂

, … , x

_n

) ∈ ℝ

ⁿ

e tem direção do vetor 𝒗 = (v

₁

, v

₂

, … , v

_n

) ∈ ℝ

ⁿ

, v ≠ 𝟎, são curvas que podem ser parametrizadas por:

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = 𝐱 + t ∙ 𝒗).

(12)

3

Exemplo 4. (Cônicas) Uma cônica é definida como o

conjunto dos pontos cujas distâncias a um ponto fixo, chamado de foco, é proporcional a sua distância à uma reta fixa, chamada de diretriz. Tais curvas são parábolas, elipses ou hipérboles, se a constante de proporcionalidade 𝑒, chamada de excentricidade, for igual a 1, menor que um ou maior que um, respectivamente.

Considerando um ponto arbitrário (𝑥, 𝑦) da curva no sistema ortogonal cartesiano, a diretriz como sendo o eixo da abscissa e o foco 𝐹(0, 𝑦 ) no eixo da ordenada, teremos que:

φ(t) = {

(1 − t) ∙ 𝐱₁+ t ∙ 𝐱2, t ∈ [0,1) (2 − t) ∙ 𝐱₂+ (t − 1) ∙ 𝐱3, t ∈ [1,2)

⋮

(m − 1 − t) ∙ 𝐱_m−2+ (t − (m − 2)) ∙ 𝐱_m−1, t ∈ [m − 2, m − 1) (m − t) ∙ 𝐱_m−1+ (t − (m − 1)) ∙ 𝐱m, t ∈ [m − 1, m]

.

Uma curva poligonal é também chamada de caminho poligonal, polilinha, figura retilínea, curva linear por partes ou linha quebrada.

Quando suas extremidades coincidem; isto é, 𝐱

_m

= 𝐱

₁

, a curva poligonal é dita fechada, caso contrário será dita aberta.

Os pontos 𝐱

₁

, 𝐱

₂

, 𝐱

₃

, … , 𝐱

_m−1

e 𝐱

_m

e os segmentos 𝐱

₁

𝐱

₂

, 𝐱

₂

𝐱

₃

, … , 𝐱

_m−1

𝐱

_m

são os vértices e lados adjacentes da curva poligonal, respectivamente.

Uma curva poligonal é dita simples, quando

dois lados quaisquer do polígono 𝐱

_i

𝐱

_i+1

𝐱

_j

𝐱

_j+1

se

interceptam somente quando são adjacentes ou

quando a curva é fechada; caso contrário, é dita curva

poligonal entrelaçada ou com auto intersecção.

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4 1 J. Kepler (1571-1630), em 1602, disse acreditar que a órbita de Marte era oval, depois descobriu que era uma elipse com o sol no foco. De fato, ele introduziu a palavra "foco" e publicou sua descoberta em 1609. A excentricidade das órbitas planetárias é pequena (isto é, elas estão próximas dos círculos). A excentricidade de Marte é 1/11 e da Terra é 1/60.

2 G. Galileu (1564-1642) mostrou que os projéteis seguem caminhos parabólicos e B. Pascal (1623-1662) considerou a parábola como uma projeção central do círculo.

3 Em 1705, E. Halley (1656-1742) mostrou que o cometa, que agora recebe o seu nome, tinha sua órbita elíptica em torno do sol. A excentricidade do cometa de Halley é de 0,9675, portanto está próxima de uma parábola (excentricidade 1).

4 A área da elipse é 𝜋𝑎𝑏. Não existe uma fórmula exata para o comprimento de uma elipse em funções elementares e isso levou ao estudo de funções elípticas. C. P. Ramanujan (1938- 1974), em 1914, deu fórmula aproximada 𝜋 (3 (a + b) -

√(a + 3b) ∙ (3a + b)]) para o seu comprimento.

5 D. Gregory (1659-1708) e I. Newton (1643-1727) consideraram as propriedades de uma parábola que trazem raios paralelos de luz a um foco.

6 Curvas também podem ser representadas algebricamente em coordenadas retangulares ou polares.

𝑒 = √𝑥

²

+ (𝑦 − 𝑦

₀

)

²

|𝑦| ↔ 𝑒

²

𝑦

²

= 𝑥

²

+ (𝑦 − 𝑦

₀

)

²

ou

(𝑦

₀

)

²

− 2𝑦

₀

𝑦 + (1 − 𝑒

²

)𝑦

²

+ 𝑥

²

= 0

(14)

5 ser usada para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais. Mais tarde, foi estudado por Dinostratus em 350 a.C., que usou a curva para quadrar o círculo.

𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 ( 𝜋𝑥 2𝑎 ) ou 𝑟 = 2𝑎𝜃

𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜃) .

8

Uma subclasse importante das curvas algébricas são as obtidas por:

∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗

𝑚₂

𝑗=0

∙ 𝑥^𝑖

𝑚₁

𝑖=0

∙ 𝑦^𝑗= 0.

9 (Kampyle de Eudoxus) Curva estudada por Eudoxus (c. 408 a.C. – 355 a.C.) relacionada ao problema clássico de duplicação do cubo.

𝑎

²

𝑥

⁴

= 𝑏

⁴

(𝑥

²

+ 𝑦

²

) ou

𝑟 =

^𝑏²

𝑎𝑐𝑜𝑠²(𝜃)

.

10 (Espiral de Arquimedes) Essa espiral foi estudada por Arquimedes (c. 287 a.C. – 212 a.C.) em cerca de 225 a.C. na obra

“On Spirals”. Ela já havia sido considerada pelo seu

amigo Conon.

𝑟 = 𝑎𝜃.

11 (Conchoid) O Concóide, foi estudado pelo matemático grego Nicomedes (c. 280 a.C. – 210 a.C.) em cerca de 200 a.C. e está relacionado ao problema da duplicação do cubo.

(𝑥 − 𝑏)

²

( 𝑥

²

+ 𝑦

²

) − 𝑎

²

𝑥

²

= 0 ou

𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑐(𝜃)

(15)

6 12 (Cissoide de Diocles) Esta curva, que significa "em forma de hera", foi inventada por Diocles (c. 240 a.C. – 180 a.C.) em cerca de 180 a.C., em conexão com sua tentativa de duplicar o cubo por métodos geométricos.

𝑦

²

= 𝑥

³

(2𝑎 − 𝑥)

ou

𝑟 = 2𝑎𝑡𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃).

13 (Spiric Sections) Depois que Menaechmus construiu seções cônicas cortando um cone por um plano, por volta de 150 a.C., que foi 200 anos depois, o matemático grego Perseus investigou as curvas obtidas cortando um toro por um plano que é paralelo à linha através do centro do buraco de o toro.

(𝑟

²

− 𝑎

²

+𝑐

²

+ 𝑥

²

+𝑦

²

)

²

= 4𝑟

²

(𝑥

²

+𝑐

²

).

Definição 2.

Uma curva parametrizada é dita diferenciável no ponto t

₀

∈ D(φ) se existir o limite

ℎ→0

lim

φ(t

₀

+ h) − φ(t

₀

)

ℎ .

Neste caso, denotamos por φ´(t

₀

) = lim

ℎ→0

φ(t₀+h)−φ(t₀)

ℎ

a

derivada de φ no ponto t

₀

. Quando φ for diferenciável em todos os pontos de 𝐼 ⊆ D(φ), φ é dita diferenciável em 𝐼 e

(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐼)(∃φ´(t)) ∧ (φ´(𝑡) = lim

ℎ→0

φ(t + h) − φ(t)

ℎ ).

Neste caso, φ´ é a função derivada de primeira ordem

(16)

7

Definição 3. Se uma curva

φ ⊆ ℝ × ℝ

ⁿ

parametrizada por t, tem derivada não nula no ponto t

₀

, isto é φ´(t

₀

) ≠ 𝟎, então existirá a reta que passa por φ(t

0

) e têm direção do vetor φ´(t

₀

), chamada de reta tangente a curva φ no ponto φ(t

0

) que pode ser parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(r(t) = φ(t

₀

) + t ∙ φ´(t

₀

)).

Caso (∄φ´(t

₀

)) ∨ (φ´(t

₀