m´ etodo dos coeficientes a determinar – v. 1.0

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – ´ AREA II MA129 (C ´ ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4)

aos 11/05/2017, c FERNANDO J. O. SOUZA exemplos opcionais (com ordem maior que 2) do

m´ etodo dos coeficientes a determinar – v. 1.0

[Boyce/DiPrima] - Se¸ c. 4.3, Exerc´ıcio 7: y

( t ) + y

( t ) = t .

Solu¸ c˜ ao da EDO homogˆ enea y

(t) + y

(t) = 0. Para a equa¸c˜ao ca- racter´ıstica 0 = r

+ r

= r

( r

+ 1) = r

( r + 1)( r

− r + 1), as ra´ızes s˜ao: − 1 e 1 ± i √

3

2 , todas com multiplicidade 1; 0 com multiplicidade 3.

∴ y

(t) = C

+C

t+C

t

+C

e

+e

C

cos

√ 3 2 t

!

+ C

sen

√ 3 2 t

!!

,

onde C

, . . . , C

∈ R .

Solu¸ c˜ ao da EDO original. Para se encontrar uma solu¸c˜ao particular da EDO, observe-se que o operador associado `a EDO ´e D

+ D

= D

◦ ( D

+ 1), enquanto o anulador de t ´e D

. Compondo-os, tem-se D

◦ (D

+ D

) = D

◦ D

◦ (D

+ 1) = D

◦ (D

+ 1), cuja EDO homogˆenea tem solu¸c˜ao completa igual a y

acima

acrescida de C

t

+ C

t

(onde C

, C

∈ R ). Isto mostra que a solu¸c˜ao particular da EDO original a ser obtida pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados ´e da forma y

(t) = A t

+ B t

para A e B reais

´

unicos. isto tamb´em pode ser visto ao se corrigir o termo A + Bt (tentativa gen´erica para fun¸c˜oes afins) com o fator t

, onde o 3 ´e a multiplicidade da raiz 0 na equa¸c˜ao caracter´ıstica da EDO homogˆenea associada a D

+ D

: 0 + 1 t = t = ( D

+ D

)[ A t

+ B t

] = 0 + 6 A + 24 Bt ∴ 6 A = 0 e 24 B = 1 ∴ A solu¸c˜ao completa ´e y ( t ) = y

( t ) + t

24

1

y

tamb´em ´e denotada por y

e y

(neste caso, indicando a “solu¸c˜ao complementar”, e n˜ao a “solu¸c˜ ao completa”).

1

Exemplo: y

(t) + y

(t) = 6e

.

Solu¸ c˜ ao. A EDO homogˆenea associada ´e a mesma, resultando na y

ante- rior. J´a a solu¸c˜ao particular vem do fato do anulador de e

ser D − ( − 1) = D + 1, cuja composi¸c˜ao com D

+ D

= ( D + 1) ◦ ( D

− D

+ D

) ´e:

(D + 1) ◦ (D

+ D

) = (D + 1)

◦ (D

− D

+ D

), cuja EDO homogˆenea associada tem solu¸c˜ao completa dada por y

(t) acrescida de C

t e

(onde C

∈ R ). Isto mostra que a solu¸c˜ao particular da EDO original a ser obtida pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados ´e da forma y

(t) = At e

para um ´ unico real A. isto tamb´em pode ser visto ao se corrigir o termo A e

(tentativa gen´erica para m´ ultiplos de e

) com o fator t

= t , onde o 1 ´e a multiplicidade da raiz − 1 na equa¸c˜ao caracter´ıstica da EDO homogˆenea associada a D

+ D

:

6 e

= ( D

+ D

)[ At e

] = (linearidade e teorema do desvio exponencial) Ae

((D − 1)

+ (D − 1)

) [t] = (D

[t] = 0 para  > 1) Ae

(termos de ordem > 1) + 6( − 1)

D + ( − 1)

+ 3( − 1)

D + ( − 1)

[t] = Ae

(0 − 6 D +1+3 D − 1)[ t ] = Ae

( − 3 D )[ t ] = − 3 Ae

∴ 6 = − 3 A ∴ A = − 2.

Logo, a solu¸c˜ao completa da EDO dada ´e: y(t) = y

(t) − 2te

.

Quest˜ ao em um 2

E.E. de 2009.2: y

(t) + 4y

(t) = 8 sen (2t).

Solu¸ c˜ ao. Associado `a EDO dada, est˜ao o operador P ( D ) = D

+ 4 D e a equa¸c˜ao caracter´ıstica 0 = r

+ 4r = r(r

+ 4), cujas ra´ızes s˜ao 0 e ± 2i, todas com multiplicidade 1. Logo, a solu¸c˜ao complementar (da EDO homogˆe- nea associada) ´e y

( t ) = C

+ C

sen (2 t ) + C

cos (2 t ), onde C

, C

, C

∈ R . Observe-se que a EDO homogˆenea z

(t) + 4z

(t) = 0 em termos de fun¸c˜oes complexas z(t) da vari´avel real t tem solu¸c˜ao completa dada por:

z

( t ) = E

+ E

e

+ E

e

, onde E

, . . . , E

∈ C

Um caminho para se encontrar uma solu¸c˜ao particular da EDO dada pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados ´e: 8 sen (2 t ) = ℑ (8 e

). Resolva-se, pois, a EDO ( D

+4 D )[ z ( t )] = e

para z ( t ) fun¸c˜ao complexa da vari´avel real t. Mas P (D) = (D − 2i) ◦ (D + 2i) ◦ D, enquanto o anulador de e

´e D − 2i.

Compondo-os, tem-se (D − 2i)

◦ (D+2i) ◦ D, cuja EDO homogˆenea associada

2

tem solu¸c˜ao completa dada por z

(t) + E

t e

, onde E

∈ C ´e qualquer. Isto mostra que uma solu¸c˜ao particular para a EDO complexa n˜ao-homogˆenea

´e da forma Ht e

para um n´ umero complexo H a ser determinado. Isto tamb´em pode ser visto ao se corrigir o termo H e

(tentativa gen´erica para m´ ultiplos de e

) com o fator t

, onde o 1 ´e a multiplicidade da raiz 2 i na equa¸c˜ao caracter´ıstica da EDO homogˆenea associada a P (D):

8 e

= (D

+ 4D)[z

(t)] = (D

+ 4D)[He

t] = (por linearidade e pelo teorema do desvio exponencial) He

((D + 2i)

+ 4(D + 2i)) [t] = He

(termos de ordem > 1) + (3 · 4i

D + 8i

) + 4D + 8i

[t]

= He

(4(1 − 3)D − 8i + 8i)[t] = − 8He

· 1 ∴ 8 = − 8H ∴ H = − 1. Mas:

( D

+ 4 D )[ y

( t )] = ℑ (8 e

) = ℑ (( D

+ 4 D )[ z

( t )]) = ( D

+ 4 D ) [ ℑ ( z

( t ))] ∴ pode-se tomar y

(t) = ℑ (z

(t)) = ℑ ( − t e

) = − t ℑ (e

) = − t sen (2t) ∴ A solu¸c˜ao completa da EDO dada ´e:

y ( t ) = C

+ C

sen (2 t ) + C

cos (2 t ) − t sen (2 t ), onde C

, C

, C

∈ R .

Obs. Outro caminho (mais longo) para se encontrar uma solu¸c˜ao particular

´e observar que a tentativa gen´erica para m´ ultiplos de sen (2 t ) ´e

A sen (2t) + B cos (2t). Como isto faz parte de y

, necessita-se disto vezes a potˆencia de t com o menor expoente natural que retira aquela tentativa ge- n´erica de y

, no caso, t . Logo, y

( t ) = At sen (2 t ) + Bt cos (2 t ). Tal formato pode ser justificado de forma menos tentativa ao se considerar o anulador D

+ 4 de 8 sen (2t). Compondo-o com P (D), tem-se (D

+ 4)

◦ D, cuja EDO homogˆenea associada tem solu¸c˜ao completa dada por

y

( t )+ C

t sen (2 t )+ C

t cos (2 t ), onde C

, C

∈ R s˜ao quaisquer. Isto mostra que a EDO dada admite uma solu¸c˜ao particular da forma

At sen (2 t ) + Bt cos (2 t ) com n´ umeros reais A e B a serem determinados.

Agora, substitui-se y

na EDO dada para se achar um sistema de equa¸c˜oes em A e B que os determine (esta etapa ´e longa). Da´ı, calculam-se A = − 1 e B = 0.

3

[Boyce/DiPrima] - Se¸ c. 4.3, Exemplo 2:

y

( t ) + 2 y

( t ) + y ( t ) = 3 sen( t ) − 5 cos ( t ).

Resumo da solu¸ c˜ ao da EDO homogˆ enea: 0 = r

+ 2r

+ 1 = (r

+ 1)

tem ra´ızes ± i com multiplicidade 2 cada. Assim:

y

(t) = (C

+ C

t) cos (t) + (C

+ C

t) sen(t), onde C

, . . . , C

∈ R Observe-se que a EDO homogˆenea z

(t) + 2z

(t) + z(t) = 0 em termos de fun¸c˜oes complexas z ( t ) da vari´avel real t tem solu¸c˜ao completa dada por:

z

(t) = (E

+ E

t)e

+ (E

+ E

t)e

, onde E

, . . . , E

∈ C

Solu¸ c˜ ao da EDO original: 3 sen(t) − 5 cos (t) = 3 ℑ (e

) − 5 ℜ (e

). Resolva- se, pois, a EDO (D

+ 2D

+ 1)[z(t)] = e

para z(t) fun¸c˜ao complexa da vari´avel real t. D

+ 2D

+ 1 = (D − i)

◦ (D + i)

´e o operador original, enquanto o anulador de e

´e D − i. Compondo-os, tem-se

(D − i) ◦ (D

+ 2D

+ 1) = (D − i)

◦ (D + i)

, cuja EDO homogˆenea associ- ada tem solu¸c˜ao completa dada por z

(t) + E

t

e

, onde E

∈ C ´e qualquer.

Isto mostra que a solu¸c˜ao particular para a EDO complexa n˜ao-homogˆenea ´e da forma Ht

e

para um ´ unico n´ umero complexo H . Isto tamb´em pode ser visto ao se corrigir o termo H e

(tentativa gen´erica para m´ ultiplos de e

) com o fator t

, onde o 2 ´e a multiplicidade da raiz i na equa¸c˜ao caracter´ıstica da EDO homogˆenea associada a D

+ 2 D

+ 1:

e

= (D

+ 2D

+ 1)[z

(t)] = (D

+ 2D

+ 1)[He

t

] = (por linearidade e pelo teorema do desvio exponencial) He

(( D + i )

+ 2( D + i )

+ 1) [ t

] = He

(termos de ordem > 2) + (6 i

D

+ 4 i

D + i

) + 2( D

+ 2 iD + i

) + 1

[ t

]

= He

( − 4D

+ 0 + 0)[t

] = − 8He

∴ H = − 1

8 . Mas:

3 ℑ (e

) − 5 ℜ (e

) = (D

+ 2D

+ 1)[y

(t)] ∴ y

(t) = 3 ℑ (z

(t)) − 5 ℜ (z

(t)) = 3 ℑ

− t

8 e

− 5 ℜ

− t

8 e

= t

8 5 ℜ ( e

) − 3 ℑ ( e

)

= t

8 (5 cos ( t ) − 3 sen( t )) Logo, a solu¸c˜ao completa da EDO dada ´e y(t) = y

(t) + t

8 (5 cos (t) − 3 sen(t)).

4