EXAME DE INGRESSO 2

EXAME DE INGRESSO

2 ^◦ Semestre/2006

Parte 3

19/04/2006 - Per´ıodo da Manh˜ a

Instru¸ c˜ oes

• Verifique se a folha de respostas que vocˆ e recebeu corresponde ao c´ odigo que identifica o seu nome na lista afixada na porta de entrada da sala.

N˜ ao escreva o seu nome na prova. Ela dever´ a ser identificada apenas atrav´ es do c´ odigo. Destaque o t´ıquete grampeado e verifique se ele corresponde ao seu nome e ao c´ odigo de identifica¸c˜ ao. Guarde-o como comprovante.

• Esta prova constitui a terceira parte do exame de ingresso ` a p´ os-gradua¸c˜ ao do IFUSP. Ela cont´ em problemas e quest˜ oes de Eletromagnetismo (E) e Mecˆ anica Quˆ antica (Q). O tempo de dura¸c˜ ao dessa prova ser´ a de 3 horas. O tempo m´ınimo de permanˆ encia na sala ser´ a de 90 minutos. Procure fazer todas as quest˜ oes e problemas.

• A nota final de cada uma dessas disciplinas ser´ a obtida a partir dos resultados das provas de ontem e de hoje. O conjunto das quest˜ oes e problemas de cada disciplina tem o mesmo valor.

• Fa¸ ca cada quest˜ ao ou problema na p´ agina correspondente da folha de respostas. As p´ aginas ser˜ ao reorganizadas para a corre¸c˜ ao. Se precisar de mais espa¸co, fale com o professor respons´ avel pela aplica¸c˜ ao do exame, que lhe dar´ a uma folha extra.

Bom trabalho.

E3. As propriedades eletromagn´ eticas da ionosfera terrestre podem ser descritas por uma permeabilidade magn´ etica µ = µ

e uma constante diel´ etrica dependente da freq¨ uˆ encia (angular) ω na forma

(ω) =

1 − ω

ω

.

O parˆ ametro ω

´ e determinado pela composi¸c˜ ao da ionosfera. Considere uma onda plana numa determinada regi˜ ao da ionosfera cujo campo el´ etrico ´ e dado por

E = E

e

. (a) Obtenha a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao k(ω).

(b) Para que valores de ω uma onda eletromagn´ etica propaga neste meio?

(c) Qual a velocidade de fase v

de uma onda eletromagn´ etica neste meio?

(d) ´ E poss´ıvel que v

seja maior que a velocidade da luz no v´ acuo c? Explique.

(e) Qual a velocidade de grupo v

desta onda? Esta velocidade pode ser maior que c?

E4. Considere um cabo coaxial formado por duas cascas cil´ındricas condutoras de raios a e b (b > a). Um material de permeabilidade magn´ etica µ ocupa o espa¸co entre as cascas cil´ındricas, que s˜ ao percorridas por uma corrente constante I ao longo de seu comprimento como mostra a figura abaixo. Determine:

(a) O campo H em todo espa¸co;

(b) o campo magn´ etico B em todo espa¸co;

(c) a magnetiza¸c˜ ao M em todo espa¸co;

(d) as correntes de magnetiza¸c˜ ao em todo o espa¸co;

(e) a energia armazenada no cabo por unidade de comprimento.

a

b

I I

1

Q3. Considere o ´ atomo de h´ elio (He).

(a) Escreva o seu hamiltoniano ˆ H

, tratando o n´ ucleo como uma carga pontual de massa infinita.

(b) Considere o hamiltoniano do He sem o termo repulsivo intereletrˆ onico como um hamiltoniano de ordem zero ˆ H

. Utilizando resultados para o estado fun- damental de um ´ atomo hidrogen´ oide,

ψ

(r) = Z

πa

exp (−Zr/a

) , E

= − Z

e

2a

determine a autofun¸c˜ ao ψ

(r

,r

) e a autoenergia E

correspondentes ao estado fundamental de ˆ H

. Compare a autoenergia com o resultado experimental para o ´ atomo de He, E

= −78,8 eV.

(c) Escreva uma fun¸c˜ ao de estado aproximada para o ´ atomo de He, ψ

(r

m

,r

m

), a partir da autofun¸c˜ ao do ´ıtem anterior e das fun¸c˜ oes de spin χ

e χ

corres- pondendo ` as componentes m

= +

e m

= −

, respectivamente.

(d) Obtenha uma melhor aproxima¸c˜ ao para a energia do estado fundamental do He considerando o termo repulsivo descartado acima como uma perturba¸c˜ ao e utilizando teoria de perturba¸c˜ ao de primeira ordem.

Dados:

Z

πa

Z Z

e

e

r

d

r

d

r

= 5Ze

8a

; r

≡ |r

− r

| Raio de Bohr: a

= h ¯

m

e

; e

2a

= 13,6 eV

Q4. Considere um sistema quˆ antico descrito por um espa¸co vetorial de duas dimens˜ oes gerado por dois vetores de base ortonormais |1i e |2i. Seja ˆ H o hamiltoniano do sistema, cujos elementos de matriz s˜ ao

h1| H|1i ˆ = h2| H|2i ˆ = a h1| H|2i ˆ = h2| H|1i ˆ = b.

Considere agora um outro observ´ avel ˆ S cujos elementos de matriz s˜ ao h1| S|1i ˆ = 1

h2| S|2i ˆ = −1

h1| S|2i ˆ = h2| S|1i ˆ = 0.

(a) Quais s˜ ao os autovalores e autovetores de ˆ H?

(b) Suponha que o estado do sistema seja |ψi =

2

(|1i + |2i). Quais os poss´ıveis resultados, com suas respectivas probabilidades, das medidas de ˆ H e ˆ S?

(c) Suponha que em t = 0 o sistema esteja no estado |ψ(0)i = |1i. Qual o estado para um tempo t, |ψ(t)i? Para quais instantes de tempo uma medida de ˆ S fornece o valor −1 com 100% de probabilidade?

(d) Os operadores ˆ S e ˆ H podem ser diagonalizados simultaneamente? Justifique.

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