Algoritmos de ordenação: Inserção e Shellsort

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Algoritmos de ordenação:

Inserção e Shellsort

Algoritmos e Estruturas de Dados I

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

Slides adaptados dos slides do livro texto (Ziviani) e dos slides de aula dos professores Davi Menotti (DECOM/UFOP) e Antônio Alfredo Ferreira Loureiro (DCC/UFMG).

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1. Ordenação por inserção



Algoritmo utilizado pelo jogador de cartas:



As cartas são ordenadas da esquerda para direita uma por uma.



O jogador escolhe a segunda carta e verifica se ela deve ficar antes ou na posição que está.



Depois a terceira carta é classificada, deslocando-a até sua correta posição.



O jogador realiza esse procedimento até

ordenar todas as cartas

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1. Ordenação por inserção

 Algoritmo:



Em cada passo a partir de i=2 faça:



Selecione o i-ésimo item da sequência fonte.



Coloque-o no lugar apropriado na sequência destino de

acordo com o critério de ordenação.

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1. Ordenação por inserção



O método é ilustrado abaixo:

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1. Ordenação por inserção

 Considerações sobre o algoritmo:



O processo de ordenação pode ser terminado pelas condições:



Um item com chave menor que o item em consideração é encontrado.



O final da sequência destino é atingido à esquerda.



Solução: utilizar um registro sentinela na posição

zero do vetor.

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1. Ordenação por inserção

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1. Ordenação por inserção



Sentinela: na posição zero do vetor é colocado o próprio registro em consideração.

0 1 2 3 4 5 6

Chaves iniciais O R D E N A

i = 2 R O R D E N A

i = 3 D D O R E N A

i = 4 E D E O R N A

i = 5 N D E N O R A

i = 6 A A D E N O R

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1. Ordenação por inserção

 Seja C(n) a função que conta o número de comparações.

 No anel mais interno (while), na i-ésima

iteração, o valor de C

_i

é:

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1. Ordenação por inserção

 Melhor caso: vetor já está ordenado.

 C

_i

(n) = 1

0 1 2 3 4 5 6

Chaves iniciais A D E N O R

i = 2 D A D E N O R

i = 3 E A D E N O R

i = 4 N A D E N O R

i = 5 O A D E N O R

i = 6 R A D E N O R

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1. Ordenação por inserção

 Pior caso: vetor em ordem decrescente.

 C

_i

(n) = i

0 1 2 3 4 5 6

Chaves iniciais R O N E D A

i = 2 O O R N E D A

i = 3 N N O R E D A

i = 4 E E N O R D A

i = 5 D D E N O R A

i = 6 A A D E N O R

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1. Ordenação por inserção

 Caso médio: assume que todas as

permutações de n são igualmente prováveis.

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1. Ordenação por inserção



O anel mais externo (for) realiza n-1 iterações:



Logo, o número de comparações é igual a:

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1. Ordenação por inserção

 Seja M (n) a função que conta o número de movimentações de registros.

 O número de movimentações na i-ésima

iteração é:

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1. Ordenação por inserção

C_i(n)-1: subtrai 1 pois faz uma comparação a

mais para sair

M O V I M

E N T A Ç

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1. Ordenação por inserção



O número total de movimentações é calculado por:

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1. Ordenação por inserção



Exemplo de pior caso:

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1. Ordenação por inserção

 O número mínimo de comparações e movimentos ocorre quando os itens estão originalmente em ordem.



Para arquivos já ordenados o algoritmo descobre, a um custo O(n), que cada item já está no seu lugar.

 O número máximo ocorre quando os itens

estão originalmente na ordem reversa.

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1. Ordenação por inserção

 É o método a ser utilizado quando o arquivo está “quase” ordenado.

 É um bom método quando se deseja adicionar uns poucos itens a um arquivo ordenado, pois o custo é linear.

 O algoritmo de ordenação por inserção é

estável.

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2. Shellsort



Proposto por Shell em 1959.



É uma extensão do algoritmo de ordenação por inserção.



Problema com o algoritmo de ordenação por inserção:



Troca itens adjacentes para determinar o ponto de inserção.



São efetuadas n − 1 comparações e movimentações para encontrar ponto de inserção quando o menor item está na posição mais à direita no vetor.



O método de Shell contorna este problema permitindo

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2. Shellsort

 Itens que estão separados h posições são rearranjados de tal forma que todo h-ésimo item leva a uma sequência ordenada.

 Ordenação por inserção através de

incrementos decrescentes.

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2. Shellsort



Exemplo de utilização:

Posições 1 e 5 / 2 e 6

Posições 1, 3 e 5 / 2, 4 e 6 Corresponde ao inserção.

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2. Shellsort



Como escolher o valor de h:

h(s) = 1, para s = 1.

h(s) = 3h(s - 1) + 1, para s > 1.*



A sequência para h corresponde a 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1.093, 3.280, ...



Knuth (1973) mostrou experimentalmente que esta

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2. Shellsort

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2. Shellsort

 Quando h = 1, o Shellsort corresponde ao

algoritmo de inserção.

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2. Shellsort

 Porque o Shellsort é mais eficiente?



A razão da eficiência do algoritmo ainda não é conhecida.



Sabe-se que cada incremento não deve ser múltiplo do anterior.



Várias sequências para h foram experimentadas.

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2. Shellsort

 A implementação do Shellsort não utiliza registros sentinelas.

 Seriam necessários h registros sentinelas,

uma para cada h-ordenação.

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2. Shellsort

 Conjecturas referente ao número de

comparações para a sequência de Knuth:

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2. Shellsort

 Vantagens:



Shellsort é uma ótima opção para arquivos de tamanho moderado (± 10000 itens).



Sua implementação é simples e requer uma quantidade de código pequena.

 Desvantagens:



O tempo de execução do algoritmo é sensível à

ordem inicial do arquivo.

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Referências

