A aplicação de Gauss de superfícies no espaço de Heisenberg

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

Jos´e Edson Sampaio

A aplica¸c˜

ao de Gauss de superf´ıcies m´ınimas no espa¸co de

Heisenberg

(2)

Jos´

e Edson Sampaio

A aplica¸c˜

ao de Gauss de superf´ıcies m´ınimas no espa¸co de

Heisenberg

Disserta¸cão submetida à Coordena¸cão do Curso de Pós-Gradua¸cão em Ma-temática da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para ob-ten¸cão do grau de Mestre em Matemática.

Orientador:

Prof. Dr. Antonio Caminha Muniz Neto.

(3)

Dedico este trabalho à minha fam´ılia, a meu pai Geraldo Sampaio e à minha mãe Suerda, pela confian¸ca e orgulho em mim depositados. À mi-nha amada esposa Syndel. Ao meu irmão Cris-tiano.

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus pela for¸ca que Ele tem me dado.

Ao meu pai Geraldo Sampaio, pois sem suas palavras de apoio e incentivo com certeza eu n˜ao estaria aqui, e a minha m˜ae Suerda pelo amor e carinho.

`

A minha esposa Syndel pelo amor, carinho, paciência e compreensão, quando, por muitos momentos, foi trocada pelos livros de Matemática ou aguentou meu mau humor, causado pelo estresse da correria do dia-a-dia.

Ao meu irmão e ao meu grande amigo Gilson, pela amizade e companheirismo. Aos meus amigos da UFC, especialmente e em ordem alfabética, a Anderson Feitoza, Breno Rafael, Diego Eloi, Eur´ıpedes Carvalho, João Nunes, João Victor, José Eduardo (Zé), Nicolas e Rui Brasileiro, pelas horas de estudos juntos e pela amizade.

Aos meus amigos Manoel Denis, Weider Lima, Marcos e Francisco das Chagas. Ao meu orientador Antonio Caminha, pelo incentivo e orienta¸cão nos meus estudos. Aos professores da Matemática, em especial, Caminha, Lucas, Fábio, Luquésio, Gleydson e Pacelli, pelo aprendizado proporcionado.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

(5)

Resumo

Nesta disserta¸cão, estudamos as superf´ıcies m´ınimas do grupo de Heisenberg tridi-mensional, bem como a aplica¸cão de Gauss destas superf´ıcies. Inicialmente é feito uma breve exposi¸cão sobre a geometria do grupo de Heisenberg. Então, mostramos que, em tal espa¸co: as únicas superf´ıcies com aplica¸cão de Gauss constante são os planos verti-cais; não existem superf´ıcies totalmente umb´ılicas nem superf´ıcies m´ınimas compactas; toda superf´ıcie m´ınima é, necessariamente, estável. Mostramos, ainda, que as únicas superf´ıcies m´ınimas verticais são os planos verticais. Por fim, apresentamos uma clas-sifica¸cão das superf´ıcies com aplica¸cão de Gauss de posto constante, igual a zero ou um.

Palavras chaves: Aplica¸c˜ao de Gauss. Superf´ıcies m´ınimas. Grupo de Heisenberg.

(6)

Abstract

In this report, we study minimal surfaces of the tridimensional Heisenberg group, as well as their Gauss maps. We begin with a short presentation of the geometry of the Heisenberg group. Then, we show that, in this space: the only surfaces with constant Gauss map are the vertical planes; there are no totally umbilical surfaces nor compact minimal surfaces; every minimal surface is, necessarily, stable. We also show that the only vertical minimal surfaces are vertical planes. Finally, we present a classification of the surfaces with Gauss map of constant rank, equal to zero or one.

Keywords: Gauss map. Minimal surfaces. Heisenberg group.

(7)

Sum´

ario

Resumo iii

Abstract iv

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Preliminares 3

2.1 Grupos de Lie . . . 3

2.2 Excertos de Geometria Riemanniana . . . 8

2.3 O espa¸co de Heisenberg _H3 . . . 10

2.3.1 Curvaturas . . . 13

2.3.2 Isometrias . . . 14

2.3.3 Superf´ıcies . . . 17

2.4 Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais . . . 20

3 Superf´ıcies m´ınimas em _H3 22 3.1 Algumas propriedades de superf´ıcies em H3 . . . 22

3.2 Superf´ıcies m´ınimas em H3 . . . 32

3.3 Estabilidade dos gr´aficos m´ınimos em H3 . . . 35

3.4 Gr´aficos m´ınimos completos . . . 36

4 Uma classifica¸cão parcial dos gráficos m´ınimos em _H3 39 4.1 Superf´ıcies m´ınimas com aplica¸cão de Gauss de posto 0 . . . 39

4.2 Superf´ıcies m´ınimas com aplica¸c˜ao de Gauss de posto 1 . . . 41

Referˆencias Bibliogr´aficas 52

(8)

1

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho, estudamos as superf´ıcies m´ınimas no espa¸co de Heisenberg tridimen-sional H3, damos uma classifica¸cão das superf´ıcies m´ınimas regradas em H3 e, então, classificamos todas as superf´ıcies m´ınimas deH3 que têm aplica¸cão de Gauss com posto constante e menor ou igual a um.

O espa¸co de Heisenberg _H3 ´e um subgrupo do grupo GL(3;R), das matrizes qua-dradas de ordem 3 e invert´ıveis, dado pelos elementos da forma

  

1 a c

0 1 b

0 0 1

 

, (1.1)

com a, b, c_∈ _R. Com a multiplica¸cão de matrizes, é imediato verificar que GL(3;_R) é um grupo de Lie, e que _H3 é um subgrupo de Lie fechado. Mais adiante, muniremos

H3 com uma m´etrica invariante `a esquerda.

Em se tratando de superf´ıcies m´ınimas em _H3, diversos autores publicaram sobre o assunto e, dentre esses, podemos citar M. Bekkar e T. Sari que, em [4], classificaram as superf´ıcies m´ınimas regradas emH3.

Quanto à aplica¸cão de Gauss de superf´ıcies m´ınimas em H3, C. Figueroa, em [14] e em [15], estudou as superf´ıcies m´ınimas em H3 que têm aplica¸cão de Gauss com posto constante e menor ou igual a um, enquanto B. Daniel, em [6], estudou a imagem da aplica¸cão de Gauss de gráficos m´ınimos completos em _H3.

No Cap´ıtulo 2, colecionamos muitas das defini¸cões e resultados sobre Grupos de Lie usados no restante do texto, assim como estudamos a geometria de_H3. Apresentamos, ainda, alguns resultados clássicos sobre equa¸cões diferenciais parciais, relevantes para nossa discussão.

(9)

as-2

sim como o fato de que um gráfico completo e de curvatura média constante deve, necessariamente, ser m´ınimo. Abordamos, ainda, a questão da estabilidade de su-perf´ıcies de curvatura média constante, mostrando que toda superf´ıcie m´ınima emH3 é estável. Ainda no que concerne gráficos completos, mostramos o seguinte teorema tipo Bernstein:

Teorema 1. Se G(f)é um gráfico m´ınimo em _H3, com f inteira e limitada, então f é constante.

Por fim, no Cap´ıtulo 4, classificamos as superf´ıcies m´ınimas verticais de _H3 e mos-tramos que as superf´ıcies m´ınimas de _H3 com aplica¸cão de Gauss de posto constante igual a zero ou igual a um são, a menos de isometrias, regradas. Por fim, conclu´ımos com uma demonstra¸cão do seguinte teorema de classifica¸cão:

Teorema 2. Os gráficos m´ınimos em H3 com aplica¸cão de Gauss de posto constante e igual a um são os gráficos das fun¸cões f da forma

f(x, y) = xy 2 +k

h

log(y+p1 +y2_{) +}_yp_{1 +}_y2i_,

(10)

3

Cap´ıtulo 2

Preliminares

Nesse cap´ıtulo, estabeleceremos algumas defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados usados no decorrer do texto.

2.1 Grupos de Lie

Esta se¸cão reúne alguns resultados sobre grupos de Lie que utilizaremos; para maiores detalhes, referimos o leitor a [26] e [23]. Comecemos relembrando a defini¸cão de grupo de Lie.

Defini¸cão 2.1. Um grupo de Lie G é uma variedade diferenciável, com uma estrutura de grupo tal que a aplica¸cão de multiplica¸cão m:G_×G_→G, dada por m(x, y) =xy, e a aplica¸cão de inversão ι:G_→G, dada por ι(x) =x−1_{, são diferenciáveis.}

Exemplo 2.2. O grupo das matrizes quadradas, de ordem n e invert´ıveis, denotado por GL(n;R), ´e um grupo de Lie, denominado o grupo linear geral de ordem n.

De fato, a identifica¸c˜ao natural do espa¸co vetorialM(n;R) das matrizes quadradas de ordem n com _Rn2

torna GL(n;_R) um aberto de M(n;_R), uma vez que

GL(n;R) ={A _∈M(n;R); detA₆= 0}

e det : M(n;R) → R é uma aplica¸cão cont´ınua. Assim, GL(n;R) é uma variedade diferenciável. Por outro lado, como as aplica¸cões de multiplica¸cão (A, B)7−→AB e de inversãoA _7−→A−1 _{são claramente diferenciáveis, temos que GL(}_n_;_R_{) é um grupo de} Lie.

(11)

2.1. Grupos de Lie 4

Defini¸c˜ao 2.4. SejamGeH grupos de Lie. Um homomorfismo de grupos de Lie entre

G e H é uma aplica¸cão diferenciável φ :G_→H que também é um homomorfismo de grupos.

Dizemos que os grupos de LieG eH são isomorfos se existir um homomorfismo de grupos de Lie φ : G _→ H que também é um difeomorfismo; neste caso, φ é chamado um isomorfismo de grupos de Lie. Um isomorfismo de grupos de Lie φ : G _→ G é chamado um automorfismo de grupos de Lie.

Defini¸cão 2.5. Seja G um grupo de Lie. Um homomorfismo de grupos de Lie φ : (_R,+) _→Gé denominado um subgrupo a um parâmetro de G.

Um exemplo relevante de homomorfismo de grupos de Lie ´e o que segue.

Exemplo 2.6. A restri¸cão a GL(n;R) da aplica¸cão determinante, det : GL(n;R) _→ (R∗,_·), é um homomorfismo de grupos de Lie.

De fato, já sabemos que det é diferenciável; por outro lado, ela é um homomorfismo de grupos, uma vez que det(AB) = det(A)_·det(B), para todasA, B _∈GL(n;R), pelo teorema de Binet.

Sendo G um grupo de Lie, definimos, para cada p _∈ G, a transla¸c˜ao `a esquerda

Lp :G→G por

Lp(x) = px, ∀x∈G.

Denotando por X(G) o espa¸co dos campos de vetores diferenci´aveis em G, temos a seguinte defini¸c˜ao importante.

Defini¸cão 2.7. Dizemos que um campo X _∈ X(G) é invariante à esquerda se para todo p_∈G tem-se (dLp)x(Xx) =Xpx.

Denotaremos por Lie(G) o conjunto de todos os campos invariantes `a esquerda em

Ge escreveremosdLp(X) = X, para todop∈G, para significar queX ∈Lie(G). Uma

vez quedLp :T G→T G´e linear em cada fibra e para todo p∈G, temos que Lie(G) ´e

um subespa¸co vetorial deX(G).

Outro conceito muito importante para a teoria de grupos de Lie é aquele de álgebra de Lie, conforme ensina a defini¸cão a seguir.

Defini¸cão 2.8. Uma álgebra de Lie é um espa¸co vetorialg, munido com uma aplica¸cão [·,_·] :g_×g_→g, a qual é bilinear, antissimétrica e tal que

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0, (2.1)

(12)

A aplica¸cão [_·,_·] : g_×g _→ g da defini¸cão acima é denominada o colchete de Lie de g, ao passo que a identidade (2.1) é conhecida na literatura como a identidade de Jacobi.

Exemplo 2.9. Se M é uma variedade diferenciável, então X(M), munido com o col-chete de campos de vetores, é uma álgebra de Lie. Realmente, X(M) é um espa¸co vetorial e, como é bem sabido, o colchete de campos de vetores satisfaz a identidade de Jacobi.

Defini¸cão 2.10. Se g é uma álgebra de Lie, um subespa¸co linear h _⊂ g é chamado uma subálgebra de Lie de g se h é fechado sob o colchete de Lie de g.

SeGé um grupo de Lie, mostraremos a seguir que Lie(G), munido com o colchete de campos de vetores é uma álgebra de Lie. Para ver isto, precisamos do seguinte resultado, o qual é útil em si mesmo.

Lema 2.11. Sejam M e N variedades diferenciáveis e F : M _→ N uma aplica¸cão diferenciável. Se V1, V2 ∈ X(M) e W1, W2 ∈ X(N) são campos de vetores tais que

Wi =dF(Vi), para i= 1,2, então [W1, W2] =dF([V1, V2]). Demonstra¸cão. Veja [26], Cap´ıtulo 4, Proposi¸cão 4.16.

Proposi¸cão 2.12. Se G é um grupo de Lie e X, Y _∈Lie(G), então [X, Y]_∈Lie(G). Demonstra¸cão. Uma vez que dLp(X) = X e dLp(Y) = Y, para todo p ∈ G, temos,

pelo lema anterior, que

dLp([X, Y]) = [dLp(X), dLp(Y)] = [X, Y],

tamb´em para todo p_∈G. Logo, [X, Y]_∈Lie(G).

Além de ser uma álgebra de Lie, Lie(G) tem dimensão finita. Mais precisamente, temos o seguinte resultado.

Teorema 2.13. Se G é um grupo de Lie, então a aplica¸cão ε : Lie(G) → TeG, dada

por ε(X) = Xe, para todo X ∈ Lie(G), ´e um isomorfismo de espa¸cos vetoriais. Em

particular, dim Lie(G) = dimG.

Demonstra¸c˜ao. Claramente, ε ´e linear. Dado V _∈ TeG, defina um campo de vetores

˜

V em G (em princ´ıpio n˜ao necessariamente suave) pondo ˜Vp = (dLp)e(V), para todo

p_∈G. É fácil ver que ˜Ve =V, uma vez que (dLe)e é a identidade deTeG.

Mostremos, agora, que ˜V é diferenciável. Para tanto, é suficiente mostrar que, se

(13)

˜

V f :U _→Rtambém é diferenciável. Escolha uma curva diferenciávelγ : (₋ǫ, ǫ)_→G, tal que γ(0) =e eγ′(0) =V. Então, para p_∈U, temos

( ˜V f)(p) = ˜Vpf

= ((dLp)e(V))f

= V(f _◦Lp)

= γ′₍₀₎₍_f_◦_L_p₎

= _dtd(f_◦Lp◦γ)(t)

_t

=0.

(2.2)

Assim, definindo ϕ: (−ǫ, ǫ)×U _→G por ϕ(t, p) =f _◦Lp◦γ(t) =f(pγ(t)), segue dos

c´alculos acima que

( ˜V f)(p) = ∂ϕ

∂t(0, p).

Comoϕ é claramente diferenciável, temos ˜V f é diferenciável. Observe, agora, que dLp◦dLq =d(Lp◦Lq) =dLpq, de sorte que

(dLp)q( ˜Vq) = (dLp)q(dLq)e(V) = (dLpq)e(V) = ˜Vpq.

Portanto, ˜V _∈Lie(G) e, assim, ε ´e sobrejetiva.

Agora, se X _∈ Lie(G) é tal que ε(X) = Xe = 0, então X é o campo nulo, pois,

para p_∈G, temos Xp = (dLp)e(Xe) = (dLp)e(0) = 0. Mas, sendo linear e com n´ucleo

trivial, a aplica¸c˜aoε ´e injetiva.

A prova do teorema anterior permite definir um colchete de Lie em TeG pondo,

para V, W _∈TeG,

[V, W] = [ ˜V ,W˜]e, (2.3)

onde ˜V e ˜W são as extensões de V e W a campos invariantes à esquerda em G, constru´ıdas de acordo com o referido teorema. Segue diretamente da Proposi¸cão 2.12 que o colchete [_·,_·] : TeG×TeG → TeG, definido como acima, é um colchete de Lie

para TeG. Isto posto, temos a seguinte defini¸c˜ao importante.

Defini¸cão 2.14. Se G é um grupo de Lie, então TeG, munido com o colchete de Lie

definido em (2.3), ´e denominado a ´algebra de Lie de G.

Sempre que não houver perigo de confusão, denotaremos a álgebra de Lie de um grupo de Lie Gsimplesmente por g.

Exemplo 2.15. O espa¸co vetorial M(n,_R), das matrizes quadradas de ordem n, mu-nido com o colchete comutador,

(14)

para todas A, B _∈ M(n,R), é uma álgebra de Lie, a qual será denotada por gl(n,R). ´

E poss´ıvel provar (cf. Proposi¸cão4.23 de[26]) quegl(n,R)é isomorfa à álgebra de Lie do grupo linear geral GL(n,_R).

A continua¸cão, anotamos mais um conceito relevante à teoria básica de grupos de Lie.

Defini¸cão 2.16. Sejam g e h álgebras de Lie. Uma aplica¸cão A : g _→ h é um homomorfismo de álgebras de Lie se for linear e preservar os colchetes correspondentes, ou seja, se

A([X, Y]) = [A(X), A(Y)], _∀X, Y _∈g.

Dizemos que um homomorfismo de álgebras de Lie A : g _→ h é um isomorfismo (de álgebras de Lie) se for bijetivo. Nesse caso, é imediato verificar que a aplica¸cão inversa A−1 _:_h _→ _g_{, além de ser linear, também é um homomorfismo de álgebras de} Lie. Dizemos, então, que g eh são álgebras de Lie isomorfas.

O Teorema 2.13 garante que, ao munirmosTeG com o colchete de Lie (2.3),

torna-mos ε: Lie(G)_→TeG um exemplo de isomorfismo de ´algebras de Lie. Assim, sempre

que conveniente, consideraremos Lie(G) como a ´algebra de Lie de G.

Se M, N e P são variedades diferenciáveis, e F : M _→ N e G : N _→ P são aplica¸cões diferenciáveis, sabemos que d(G_◦F) = dG_◦dF, como aplica¸cões de T M

em T P. Sabemos tamb´em que a aplica¸c˜ao identidade idM :M →M induz, para cada

p_∈M, a aplica¸c˜ao identidade deTpM, ou seja, qued(idM)p =idTpM. Podemos, agora,

enunciar e provar o resultado a seguir.

Teorema 2.17. SeGe H são grupos de Lie isomorfos, então suas respectivas álgebras de Lie g e h são também isomorfas.

Demonstra¸cão. SeF :G_→Hé um isomorfismo de grupos de Lie, temos em particular que F é um difeomorfismo e F(e) = e; portanto, dFe : g → h é um isomorfismo de

espa¸cos vetoriais. Agora, o Lema 2.11, juntamente com o fato deF ser difeomorfismo, garante que

dF([X, Y]) = [dF(X), dF(Y)], _∀X, Y _∈Lie(G).

Aplicando ambos os lados da igualdade acima eme, vemos que, de fato, dFe :g→h´e

um homomorfismo de ´algebras de Lie.

ComoF−1 _:_H_→_G_{também é um homomorfismo de grupos de Lie, conclu´ımos, de} maneira análoga, quedF_e−1 :h_→g é um homomorfismo de álgebras de Lie. Ademais, a discussão que precede o enunciado garante que dF_e−1_◦dFe e dFe◦dFe−1 são inversas

(15)

2.2. Excertos de Geometria Riemanniana 8

Finalizamos este curto apanhado sobre grupos de Lie enunciando, sem demons-tra¸c˜ao, o seguinte resultado profundo, conhecido na literatura como o teorema do subgrupo fechado.

Teorema 2.18. SeGé um grupo de Lie e H _⊂Gé um subgrupo que e um subconjunto fechado de G, então H é um subgrupo de Lie mergulhado de G.

Demonstra¸c˜ao. Veja [26], Teorema 20.10.

2.2 Excertos de Geometria Riemanniana

Nesta curta se¸cão, colecionamos alguns fatos básicos de Geometria Riemanniana, os quais se revelarão úteis posteriormente, sendo [11], [33], [27] e [18] as referências prin-cipais

Defini¸cão 2.19. SejamM e N variedade Riemannianas. Um difeomorfismof :M _→ N é uma isometria se f preservar as métricas de M e de N, no seguinte sentido:

hv, w_ip =hdfp(v), dfp(w)if(p), para todos p_∈M e v, w_∈TpM.

Recordemos, agora, o importante conceito de geod´esica de uma variedade Rieman-niana.

Defini¸c˜ao 2.20. Sejam M uma variedade Riemanniana com conex˜ao de Levi Civita

∇. Uma curva suave γ : I _→ M, onde I _⊂ _R é um intervalo aberto, é denominada uma geodésica de M se

Dγ′

dt = 0, ∀t ∈I,

onde D

dt denota a deriva¸c˜ao covariante, ao longo deγ, correspondente a ∇.

De posse da defini¸cão acima, uma certa elabora¸cão do teorema de existência e unicidade de equa¸cões diferenciais ordinárias fornece o seguinte resultado importante.

Lema 2.21. Seja M uma variedade Riemanniana. Dados p_∈M e v _∈TpM, existem

um intervalo I _⊂_R, contendo 0, e uma ´unica geod´esica γ :I _→M, tal queγ(0) =p e

γ′_{(0) =}_v_.

Demonstra¸c˜ao. Veja [27], Teorema 4.10.

Sempre que não houver perigo de confusão, denotaremos a curva dada pelo lema acima por γv, sendo Iv seu dom´ınio maximal de defini¸cão. Com tais nota¸cões,

(16)

2.2. Excertos de Geometria Riemanniana 9

Proposi¸cão 2.22. Sejam M uma variedade Riemanniana e p _∈M um ponto fixado. SeDp denota o conjunto dos vetores v ∈TpM tal que [0,1]⊂Iv, entãoDp é um aberto

de TpM. Ademais, a aplica¸c˜ao expp :Dp →M, definida por

expp(v) =γv(1), v ∈Dp,

´e diferenci´avel.

Demonstra¸c˜ao. Veja [27], Proposi¸c˜ao 5.7.

Nas nota¸cões da proposi¸cão acima, dizemos que expp : Dp → M é a aplica¸cão

exponencial deM em p. É bem sabido (cf. Proposi¸cão 30 do cap´ıtulo 3 de [33]) que, para todo p_∈ M, existe uma vizinhan¸ca Bp da origem de TpM tal que expp|Bp é um

difeomorfismo sobre um abertoUp deM, tal que expp(0) = p. Nesse caso, dizemos que

Up ´e uma vizinhan¸ca normal dep em M.

Uma vez que uma isometriaf :M _→N entre variedades Riemannianas preserva as métricas envolvidas e, sendo um difeomorfismo, também preserva colchetes de campos, segue da fórmula de Koszul (cf. Teorema 11 do cap´ıtulo 3 de [33]) que f preserva as conexões de Levi Civita de M e de N. Portanto, é imediato que f aplica geodésicas deM em geodésicas de N. Temos, agora, o seguinte resultado.

Teorema 2.23. Se φ e ψ s˜ao isometrias de uma variedade Riemanniana conexa M, tais que φ(p) =ψ(p) e dφp =dψp, para algum p∈M, ent˜ao φ=ψ.

Demonstra¸c˜ao. Defina U = {q _∈ M; φ(q) = ψ(q)e dφq = dψq}. Temos U 6= ∅, uma

vez que p _∈ U. Ademais, por continuidade, temos U fechado em M. Agora, sejam

q _∈ U e Uq uma vizinhan¸ca normal de q em M. Se r ∈ Up, seja v ∈ TqM tal que

γv(1) = expq(v) =r. A discuss˜ao anterior, juntamente com o fato de q ∈ U, garante

que

ψ(r) = ψ(γv(1)) =γdψq(v)(1) =γdφq(v)(1) =φ(γv(1)) =φ(r).

Logo, φ = ψ em Uq e, ent˜ao, dφq = dψq, para todo q ∈ Uq, de sorte que Uq ⊂ U.

Poranto,U ´e aberto em M e, como M ´e conexa, temos U =M.

A continua¸c˜ao, sejamG um grupo de Lie munido como uma m´etrica Riemanniana

h·,_·i e _∇ a conex˜ao de Levi Civita correspondente.

Defini¸cão 2.24. Nas nota¸cões acima, dizemos que a métrica h·,_·i de G é invariante à esquerda se Lp for uma isometria de G, para todo p∈G.

(17)

2.3. O espa¸co de Heisenberg _H3 10

Teorema 2.25. Sejam G um grupo de Lie com uma m´etrica invariante `a esquerda e Φ : G _→ G um automorfismo. Se dΦe : TeG → TeG preserva o produto interno

induzido em TeG pela métrica de G, então Φé uma isometria.

Demonstra¸c˜ao. Uma vez que Φ ´e um homomorfismo de G, temos Φ◦Lp =LΦ(p)◦Φ, para todop_∈Ge, da´ı, dΦpq◦(dLp)q = (dLΦ(p))Φ(q)◦dΦq, para todos p, q ∈G.

Denotemos por h·,_·i a m´etrica de Ge sejam p_∈G, v, w_∈TpGe ve = (dLp)−e1(v) e

we = (dLp)−e1(w), ambos vetores em TeG. Segue de nossas hip´oteses que

hdΦp(v), dΦp(w)iΦ(p) = hdΦp◦(dLp)e(ve), dΦp(w)◦(dLp)e(we)iΦ(p) = _h(dLΦ(p))e◦dΦe(ve),(dLΦ(p))e◦dΦe(we)iΦ(p) = hdΦe(ve), dΦe(we)ie

= hve, weie

= h(dLp)e(ve),(dLp)e(we)ip

= hv, w_ip.

Mas, como Ψ ´e um difeomorfismo e p _∈G foi escolhido arbitrariamente, segue que Φ ´e uma isometria de G.

2.3 O espa¸

co de Heisenberg

_H

₃

Nesta se¸cão definimos o Grupo de Heisenberg_H3 e apresentamos algumas propriedades desse grupo, visto como um grupo de Lie com uma métrica invariante à esquerda.

Defini¸c˜ao 2.26. Seja GL(3,R) o grupo das matrizes 3_×3 invert´ıveis. Definimos o grupo de Heisenberg 3-dimensional _H3 ⊂GL(3,R) por

H3 =

    

  

1 a c

0 1 b

0 0 1

 

; (a, b, c)∈R

3

    

,

munido com a estrutura de grupo deGL(3,R).

J´a que _H3 ´e claramente um subconjunto fechado de GL(3,R) o Teorema 2.18 que

H3 ´e um subgrupo de Lie de GL(3,R) e, portanto, H3 ´e um grupo de Lie.

Além disso, seα:I _{→ H}3 é uma curva diferenciável, existem fun¸cõesa, b, c:I →R diferenciáveis tais que

α(t) =

  

1 a(t) c(t) 0 1 b(t)

0 0 1

 

(18)

Derivando, temos

α′(t) =

  

0 a′(t) c′(t) 0 0 b′(t)

0 0 0

 

, para todo t ∈I.

Assim, a ´algebra de Lie h3 de H3 ´e constitu´ıda dos elementos da forma

A=

  

0 x z

0 0 y

0 0 0

 

, (x, y, z)∈R

3_.

Como _H3 ⊂ GL(3,R), então (veja [26], proposi¸cão 20.3) a aplica¸cão exponencial exp :h3 → H3 é dada por

exp(A) =

∞

X

k=0

Ak

k!, A ∈h.

MasH3 ´e 2-nilpotente, ent˜ao

exp(A) = I+A+A 2

2 =

  

1 x z+xy₂

0 1 y

0 0 1

  .

Donde vemos, facilmente, que a aplica¸cão exponencial é um difeomorfismo global. Então, fazendo a identifica¸cão canônica da álgebra de Lie h3 com R3 e usando a aplica¸cão exponencial como parametriza¸cão global, o espa¸co de HeisenbergH3 identifica-se comR3, pois se munirmos R3 com a seguinte opera¸cão

p_∗q =exp−1(exp(p)exp(q)), p, q _∈_R3,

ou, mais explicitamente,

(x1, y1, z1)∗(x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2+ 1₂(x1y2−x2y1)), (2.4)

temos que a aplica¸cão exp : R3 → H3 é um isomorfismo de grupos de Lie. Assim, de agora em diante, módulo o isomorfismo dado por exp consideramos _H3 como R3 munido com o produto dado em (2.4).

(19)

todoq_{∈ H}3. É fácil verificar que sua diferencial na identidade é dada por

dLp =

  

1 0 0

0 1 0

−y

2

x

2 1

  .

´

E tamb´em interessante conhecermos o cochete de Lie de h3 = R3, ent˜ao sendo

{e1, e2, e3} ∈h3 a base canônica do h3 é fácil ver que o colchete de Lie em termos dessa base é dado por

[e1, e2] =e3 e [e1, e3] = [e2, e3] = 0. (2.5)

Usando tal base, que ´e uma base na identidade de _H3, definimos para cada i= 1,2,3 o campoEi por

Ei(p) =dLp(ei). (2.6)

Da´ı

E1(p) = dLp(e1) = (1,0,−y₂) = ∂x∂

p− y

2

∂ ∂z

p

E2(p) = dLp(e2) = (0,1,x₂) = _∂y∂

_p+x₂_∂z∂ _p

E3(p) = dLp(e1) = (0,0,1) = _∂z∂

p.

(2.7)

Então, para cada p = (x, y, z) _{∈ H}3 e v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) ∈ TpH3 definimos uma métrica invariante à esquerdads2 em _H3 fazendo

ds2p(v, w) =hdLp−1(v), dL_p₋1(w)iR3.

Assim, temos

ds2_p(v, w) =_h(v1, v2, v3+1₂(xv2−yv1)),(w1, w2, w3+₂1(xw2−yw1))iR3,

e, portanto,

ds2 =dx2+dy2+ (dz+y 2dy−

x

2dx)

2_. _(2.8)

Do fato de Lp ser uma isometria para todo p ∈ H3 e {e1, e2, e3} ser uma base ortonormal paraTeH3 =h3, temos que {E1, E2, E3}é uma base de campos de vetores ortonormais invariantes à esquerda. Para cada p _{∈ H}3 a base {E1(p), E2(p), E3(p)} é chamada base canônica deTpH3.

De agora em diante denotaremos ds2p(v, w) por hv, wip ou, simplesmente hv, wi

(20)

que

hX(p), Y(p)_i=_hdLpX(e), dLpY(e)i=hX(e), Y(e)i, para todo p∈ H3. Logo, Z_hX, Y_i= 0. Portanto,

hZ,_∇XYi=−

1

2(h[Y, Z], Xi+h[X, Z], Yi+h[Y, X], Zi). (2.9) Assim, para i, j, k _{∈ {}1,2,3_}, temos

hEk,∇EjEii=−

1

2(h[Ei, Ek], Eji+h[Ej, Ek], Eii+h[Ei, Ej], Eki). (2.10) Como

∇EjEi =

3

X

k=1

hEk,∇EjEiiEk, (2.11)

parai, j _{∈ {}1,2,3}, substituindo (2.10) em (2.11) obtemos a conex˜ao ∇ em termos da base {E1, E2, E3},

∇E1E2 =

1

2E3 = −∇E2E1

∇E1E3 = −

1

2E2 = ∇E3E1

∇E2E3 =

1

2E1 = ∇E3E2

∇EiEi = 0,

(2.12)

para i= 1,2,3.

2.3.1 Curvaturas

Como conhecido a curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma aplica¸cão que a cada X, Y _∈X(M) associa uma aplica¸cão R(X, Y) :X(M)_→X(M) dada por

R(X, Y)Z =∇X∇YZ− ∇Y∇XZ − ∇[X,Y]Z, ∀Z ∈X(M).

SeR denota a curvatura de H3, escrevemosRijk =R(Ei, Ej)Ek, para i, j, k ∈ {1,2,3},

onde {E1, E2, E3} é a base de campos vetoriais invariantes à esquerda como na se¸cão anterior. Da´ı, para conhecermos R é suficiente conhecermos os R′_ijks, já que a base

{E1, E2, E3}ja ´e conhecida.

Proposi¸c˜ao 2.27. Riij = 0, i, j ∈ {1,2,3}, R121 = 3₄E2, R122 = −3₄E1, R123 = 0,

R131 =−1₄E3, R132 = 0, R133= 1₄E1, R231 = 0, R232 =−1₄E3 e R233= 1₄E2.

(21)

forma an´aloga. De fato,

R121 = ∇E1∇E2E1− ∇E2∇E1E1− ∇[E1,E2]E1

= ∇E1(−

1

2E3)− ∇E1(0)− ∇E3E1

= 1

4E2+ 1 2E2

= 3

4E2.

Agora, para cada ponto p_{∈ H}3 eX, Y ∈TpH3 vetores linearmente independentes, a curvatura seccionalK de_H3 no ponto pdo plano gerado po {X, Y}´e dada por

K(X, Y) = hR(X, Y)X, Yi

kX_∧Y_k2 , (2.13)

onde _kX_∧Y_k =p

kX_k2_k_Y_k2_{− h}_{X, Y}_i2_{. Da´ı, usando a proposi¸c˜ao 2.27 temos que a} curvatura seccional em termos da base _{E1, E2, E3}´e dada por

K(E1, E2) = h₄3E2, E2i = 3₄

K(E1, E3) = h−1₄E3, E3i = −1₄

K(E2, E3) = h−1₄E3, E3i = −1₄.

(2.14)

O que prova que_H3 n˜ao ´e um espa¸co de curvatura seccional constante.

2.3.2 Isometrias

Nesta se¸c˜ao, explicitamos o grupo de isometrias de _H3. Para isso faremos uso do seguinte

Lema 2.28. Se Ψ : H3 → H3 é uma isometria tal que Ψ(0) = 0, então Ψ é dada por um dos itens abaixo:

1. Ψ(x, y, z) = (xcosθ₋ysinθ, xsinθ+ycosθ, z) 2. Ψ(x, y, z) = (xcosθ+ysinθ, xsinθ₋ycosθ,₋z),

para algum θ _∈[0,2π).

Demonstra¸c˜ao. Seja{e1, e2, e3}a base canˆonica de h3 e

A=

  

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(22)

a matriz que representadΨ0 :h3 →h3nessa base. Assim, para todov = (v1, v2, v3)∈h3

dΨ0(v) = (a11v1+a12v2+a13v3, a21v1+a22v2+a23v3, a31v1+a32v2+a33v3).

ComodΨ0 ´e um automorfismo da ´algebrah3 e [e1, e2] =e3 temos que

dΨ0(e3) = [dΨ0e1, dΨ0e2].

EscrevendodΨ0(ei) =

3

P

j=1

ajiej parai= 1,2,3 e usando que o colchete ´e bilinear, temos

[dΨ0(e1), dΨ0(e2)] = 3

X

j,k=1

aj1ak2[ej, ek]

= (a11a22−a21a12)e3.

Logo, dΨ0(e3) = (a11a22−a21a12)e3, o que nos d´a,

a13 = 0

a23 = 0

a33 = a11a22−a21a12.

(2.15)

Uma vez quedΨ0 preserva o produto interno,dΨ−₀1 tamb´em preserva o produto interno e, desde que AAt =I, At ´e a matriz que representa dΨ₀−1 na base _{e1, e2, e3}. Por um argumento similar ao feito acima, temos que

a31 = 0

a32 = 0.

(2.16)

Da´ı, usando as igualdades de (2.15) e (2.16), obtemos

AAt =

  

a2₁₁+a2₁₂ a11a21+a12a22 0

a21a11+a22a12 a221+a222 0

0 0 (a11a22−a21a12)2

 

 (2.17)

ComoAAt₌_I _{obtemos o seguinte sistema:}

          

a11a21+a12a22 = 0

a2₁₁+a2₁₂ = 1

a2₂₁+a2₂₂ = 1

a11a22−a21a12 = ±1.

(23)

Agora, multiplicando a primeira equa¸cão de (2.18) pora21 e a ultima equa¸cão por a22 e então somando os resultados obtemos

a11(a2₂₁+a2₂₂) = _±a22.

Logo, pela terceira equa¸c˜ao de (2.18), temos a11 = ±a22 e subtraindo a segunda da terceira equa¸c˜ao de (2.18), obtemosa2₂₁ =a2₁₂.

Restam os seguintes dois casos que nos permitir˜ao encontrar as duas componentes conexas do grupo de isometrias deH3.

i) a11a22−a21a12= 1.

Da argumenta¸cão anterior, segue que a33 = 1 e a11 = a22. Se a11 6= 0, então a primeira equa¸cão de (2.18) nos dá a11(a21+a12) = 0 e, assim, a21=−a12. Se a11= 0, então a quarta equa¸cão de (2.18) nos dá a21a12 = −1 e como a221 = a212 temos que

a21=−a12. Logo, em qualquer caso, temos que A ´e da forma

A=

  

cosθ ₋sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1

  .

Se Φ :_H3 → H3 ´e dada por

Φ(x, y, z) = (xcosθ₋ysinθ, xsinθ+ycosθ, z),

temos que Φ(0) = 0 e dΦ0 também é representada na base canônica por A. Assim,

dΦ0 = dΨ0 e Φ(0) = Ψ(0). Al´em disso, Φ ´e um automorfismo de H3, pois para (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) em H3 temos,

x1y2−x2y1 = (x1cosθ−y1sinθ)(x2sinθ+y2cosθ)

−(x2cosθ−y2sinθ)(x1sinθ+y1cosθ),

e, portanto,

Φ((x1, y1, z1)∗(x2, y2, z2)) = Φ((x1, y1, z1))∗Φ((x2, y2, z2)).

Logo, pelos Teoremas 2.25 e 2.23, segue que Φ ´e uma isometria de _H3 e Ψ = Φ.

ii) a11a22−a21a12=−1.

(24)

ea21 =a12. Assim, A ´e da forma,

A=

  

cosθ sinθ 0 sinθ ₋cosθ 0

0 0 −1

  .

Al´em disto, como no caso anterior, a aplica¸c˜ao Φ :_H3 → H3 dada por

Φ(x, y, z) = (xcosθ+ysinθ, xsinθ₋ycosθ,₋z),

é um automorfismo de _H3 com Φ(0) = 0 e dΦ0 = dΨ0. Então, novamente pelos Teoremas 2.25 e 2.23 Φ é uma isometria de _H3 e Ψ = Φ.

Isso conclui a prova do lema.

Teorema 2.29. SejaΦ :H3 → H3 uma isometria tal queΦ(0) =p. Ent˜aoΦ =Lp◦Ψ,

onde Ψ´e uma isometria dada pelo lema acima.

Demonstra¸cão. ComoLp−1 e Φ são isometrias então L_p₋1 ◦Φ é uma isometria tal que

Lp−1◦Φ(0) = 0. Logo, pelo lema 2.28 temos queL_p₋1◦Φ = Ψ, onde Ψ ´e uma isometria

dada pelo lema 2.28. Como Lp−1 = (L_p)−1, o resultado segue.

2.3.3 Superf´ıcies

Defini¸cão 2.30. Dizemos que um conjunto S _{⊂ H}3 é uma superf´ıcie em H3 se, para todo ponto p_∈S, existem um aberto Ω⊂R2 e uma fun¸cão ϕ : Ω→S, com p_∈ϕ(Ω) satisfazendo

1. ϕ ´e um homeomorfismo entre Ω e ϕ(Ω);

2. ϕ ´e diferenci´avel;

3. dϕq ´e injetiva para todo q∈Ω.

Defini¸cão 2.31. Seja S uma superf´ıcie em _H3. Dizemos que S é uma superf´ıcie não-paramétrica se, existem um aberto Ω_⊂R2 e uma fun¸cão f : Ω_→R diferenciável tais que S é igual a um dos conjuntos abaixo:

1. G(f) ={(x, y, f(x, y))∈ H3; (x, y)∈Ω}; 2. G1(f) =_{(f(x, y), x, y)_{∈ H}3; (x, y)_∈Ω_}; 3. G2(f) =_{(x, f(x, y), y)_{∈ H}3; (x, y)_∈Ω_}.

(25)

A partir de agora, assumiremos que o aberto Ω_⊂R2 ´e conexo.

Teorema 2.32. Se S é uma superf´ıcie em H3 então S é localmente não-paramétrica, ou seja, para todo ponto p _∈ S existe uma vizinhan¸ca Vp ⊂S de p, tal que Vp é uma

superf´ıcie n˜ao-param´etrica.

Demonstra¸c˜ao. Ver [28] (cap´ıtulo V, teorema 12).

Agora, seja S uma superf´ıcie em H3 que é localmente o gráfico de uma fun¸cão diferenciável f : Ω→R, onde Ω é um aberto do R2. Temos, então, que

X(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y)∈Ω, (2.19)

é uma parametriza¸cão local para S. Assim, sep = (x, y, f(x, y)), uma base do espa¸co tangenteTpS associada a essa parametriza¸cão é constitu´ıda pelos vetores

Xx =

∂

∂xX(x, y) = (1,0, fx)

Xy =

∂

∂yX(x, y) = (0,1, fy),

de modo que,

Xx =E1+ (fx+y₂)E3

Xy =E2+ (fy− x₂)E3.

(2.20)

O campo normal aS no ponto p´e expresso por

η(x, y) = Xx×Xy

kXx×Xyk

= ₋fx+y2

ω

E1−

_f

y−x2

ω

E2+ω1E3, (2.21)

onde ω=p

1 + (fx+ y₂)2+ (fy − x₂)2. Denotemos por f1 =fx+ y₂ e f2 =fy− x₂.

Os coeficientes da primeira forma fundamental de S s˜ao

E =hXx, Xxi= 1 + (fx+y₂)2

F =_hXx, Xyi= (fx+y₂)(fx−x₂) (2.22)

G=hXy, Xyi= 1 + (fx−x₂)2.

MunindoS com a métrica induzida de H3, temos que se X e Y campos de vetores em S, a conexão Riemanniana de S, denotada por∇, é dada por

∇XY = ∇XY

T

(26)

onde _∇_XYT ´e a componente tangencial de _∇_XY com X e Y extens˜oes locais de X

eY respectivamente. Da f´ormula de Weingarten para hipersuperf´ıcies, temos

Aηv =−∇vη, v ∈TpS.

Recorde que os coeficientes da segunda forma fundamental s˜ao dados por

L=−h∇Xxη, Xxi M =_−h∇Xxη, Xyi N =_−h∇Xyη, Xyi.

Usando as express˜oes (2.20), (2.21) e (2.12), temos

∇Xxη

(2.21) = ∇Xx

h

−fx+y2

ω

E1−

_f

y−x2

ω

E2+_ω1E3

i

= ₋fx+y2

ω

xE1− fx+y2

ω ∇XxE1−

_f_x−x

2

ω

xE2

−fx−x2

ω ∇XxE2+

1

ω

xE3+

1

ω∇XxE3

(2.20)

= −fx+y2

ω

xE1− fx+y2

ω ∇E1E1−

(fx+y2) 2

ω ∇E3E1− _f

y−x

2

ω

xE2

−fy−x2

ω ∇E1E2 −

(fy−x2)(fx+

y

2)

ω ∇E3E2+

1

ω

xE3+

1

ω∇E1E3

+fx+y2

ω ∇E3E3

(2.12)

= h₋fx+y2

ω

x−

(fy−x2)(fx+

y

2)

2ω

i

E1+

h₍_f

x+y2) 2

−1

2ω −

_f

y−x2

ω

x

i

E2

+h 1

ω

x− fy−x2

2ω

i

E3

∇Xyη

(2.21) = _∇Xy

h

−fx+y2

ω

E1−

_f

y−x2

ω

E2+ω1E3

i

= −fx+y2

ω

yE1− fx+y2

ω ∇XyE1−

_f

y−x2

ω

yE2− fy−x2

ω ∇XyE2

+ 1

ω

yE3+

1

ω∇XyE3

(2.20)

= −fx+y2

ω

yE1− fx+y2

ω ∇E2E1−

(fx+y2)(fy−

x

2)

ω ∇E3E1− _f

y−x2

ω

yE2

−fy−x2

ω ∇E2E2−

(fy−x2) 2

ω ∇E3E2+

1

ω

yE3+

1

ω∇E2E3+

fy−x

2

ω ∇E3E3

(2.12) =

1−(fy−x

2) 2

2ω −

_f

x+y2

ω

y

E1+

(fy−x

2)(fx+

y

2)

2ω −

_f

y−x2

ω y E2 +

(fx+y2)

2ω +

1

ω

y

(27)

2.4. Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais 20

Portanto os coeficientes da segunda forma fundamental podem ser reescritos como

L= fxx+(fx+y2)(fy−

x

2)

ω

M = fxy+12(fy−

x

2) 2

−1 2(fx+

y

2) 2

ω (2.23)

N = fyy−(fx+y2)(fy−

x

2)

ω .

2.4 Equa¸

c˜

oes Diferenciais Parciais

Apresentamos nesta se¸cão, algumas fatos básicos sobre equa¸cões diferenciais parciais. Considere a seguinte equa¸cão diferencial parcial

F[u] =F(x, y, u, Du, D2u) = 0, (2.24)

com F : Γ = Ω _× R ×R2 × S(2,R) _→ R, onde S(2,R) é o espa¸co das matrizes reais de ordem 2 simétricas. Os elementos de Γ são escritos como (x, y, z, p, r) onde

p= (p1, p2) ∈ R2 e r = (rij)2×2 ∈ S(2,R). Nós assumimos que F é diferenciável com respeito aos rij’s.

Defini¸c˜ao 2.33. O operador definido em (2.24) ´e dito el´ıptico em u_∈C2_(Ω) _se

∂F ∂rij

(x, y, u, Du, D2u)

2×2

´e uma matriz positiva definida.

Apresentamos agora, o seguinte princ´ıpio do m´aximo para o operador (2.24)

Teorema 2.34. Sejam u0, u1 ∈C2(Ω)∩C0(Ω), e suponha que s˜ao satisfeitas: 1. F _∈C1(Γ);

2. F ´e el´ıptico em todas as fun¸c˜oes tu1+ (1−t)u0, para 0≤t≤1;

3. ∂F

∂u ≤0 em Ω.

Se u1 ≤u0 em ∂Ω e F[u1]≥F[u0] em Ω, ent˜ao ou u1 < u0 em Ω ou u0 ≡u1 em Ω. Demonstra¸c˜ao. Veja [25], Teorema 2.3.1.

Da teoria de equa¸c˜oes diferenciais parciais el´ıpticas, temos o seguinte

(28)

2.4. Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais 21

Demonstra¸c˜ao. Veja [21].

(29)

22

Cap´ıtulo 3

Superf´ıcies m´ınimas em

_H

₃

Neste cap´ıtulo introduzimos a aplica¸c˜ao de Gauss de uma superf´ıcie em um grupo de Lie e apresentamos alguns resultados sobre as superf´ıcies do espa¸co de Heisenberg_H3, com enfoque nas superf´ıcies m´ınimas.

3.1 Algumas propriedades de superf´ıcies em

_H

₃

Sabemos que a aplica¸cão de Gauss de uma superf´ıcie orientada do R3 nada mais é do que a transla¸cão do vetor normal unitário em qualquer ponto dessa superf´ıcie para a origem do R3, que é a identidade do grupo de Lie (R3,+). Isso nos motiva a definir a aplica¸cão de Gauss em um grupo de Lie qualquer, da forma abaixo:

Defini¸cão 3.1. Seja S uma hipersuperf´ıcie orientável de um grupo de Lie G de di-mensão n, munido com uma métrica invariante à esquerda. A aplica¸cão

γ :S _→Sn−1 =_{v _∈g;_|v_|= 1_},

onde γ(p) = dL−1

p ◦η(p), g ´e a ´algebra de Lie de G e η o campo de vetores normal

unitário de S, é chamada a aplica¸cão de Gauss de S.

Observe que dγ(TpS) ⊂ Tγ(p)S = {γ(p)}⊥ = dLp−1(T_pS) para todo p ∈ S. De

fato, a inclusão dγ(TpS) ⊂ Tγ(p)S é óbvia pela defini¸cão de diferencial e como Lp−1 é

uma isometria e TpS = {η(p)}⊥, temos que Tγ(p)S = {γ(p)}⊥. Pelo fato de Tγ(p)S =

dLp−1(T_pS), temos a outra igualdade. LogodL_p◦dγ_p ´e uma aplica¸c˜ao de T_pS em T_pS,

uma vez quedLp(dLp−1(T_pS)) =T_pS. Com isto, temos o seguinte

Teorema 3.2. Seja S uma hipersuperf´ıcie orient´avel de um grupo de Lie n-dimensional G. Ent˜ao

(30)

3.1. Algumas propriedades de superf´ıcies em _H3 23

ondeAη ´e o operador de Weingarten,αη¯(v) =∇vη¯e η¯´e o campo de vetores invariante

a esquerda tal que η¯(p) =η(p).

Demonstra¸c˜ao. Sejamp_∈S e{X1, ..., Xn}uma base ortonormal de TpGtal que Xn=

η(p). Denotemos por E1, ..., En as transla¸c˜oes `a esquerda de X1, ..., Xn. Observe que,

nesse caso, temos ¯η =En.

Assim, dado q_∈S, podemos escrever

η(q) =

n

X

i=1

αiEi(q),

onde αj(p) = 0 para j = 1, ..., n−1 e αn(p) = 1. Portanto

γ(q) = dLq−1 ◦η(q) =dL_q₋1

n

X

i=1

αiEi

!

(q) =

n

X

i=1

αi(q)Ei(e).

Assim, para v _∈TpS, temos

dγp(v) =v n

X

i=1

αiEi(e)

!

=

n

X

i=1

v(αi)Ei(e).

Compondo com dLp, obtemos

dLp◦dγp(v) =dLp n

X

i=1

v(αi)Ei(e)

!

=

n

X

i=1

v(αi)Ei(p). (3.1)

Por outro lado,

∇vη|p = ∇v n

X

i=1

αiEi

! p = n X i=1

v(αi)Ei(p) + n

X

i=1

αi(p)∇vEi

_p

(3.1)

= dLp ◦dγp(v) +∇vEn|p

= dLp ◦dγp(v) +αη¯(v), donde segue o resultado.

(31)

De fato, seX é a parametriza¸cão dada como em (2.19) e Y :S2 _→ Ω é a proje¸cão˜ ortogonal no plano xy, temos que a representa¸cão deγ nessas parametriza¸cões é dada por

˜

γ(x, y) = Y _◦γ_◦X(x, y) =−fx+y2

ω

,₋fy−x2

ω

, (x, y)∈Ω. (3.2) Consequentemente, a matriz que representa dLp◦dγp na base {Xx, Xy}´e dada por

dLp◦dγp =

 

−fx+y2

ω

x −

_f

x+y2

ω

y

−fy−x2

ω

x −

_f

y−x2

ω y  . Assim

det(dLp◦dγp) =

_f

x+y2

ω

x

_f

x−x2

ω

y −

_f

x−x2

ω

x

_f

x+y2

ω

y

= fxxfyy−f 2

xy +14

ω4 . (3.3)

Sabemos que a matriz de Aη ´e dada por

Aη =

LG₋M F F2

−EG

M G₋N F F2

−EG M E₋LF

F2

−EG

N E₋M F F2

−EG

!

.

Usando as igualdades em (2.22) e em (2.23), temos

Aη =

 

_f

x+y2

ω

x−

1 2ω(fx+

y

2)(fy −

x

2)

_f

x+y2

ω

y+

1

2ω(1−(fy − x

2) 2₎

_f

y−x2

ω

x+

1

2ω((fx+ y

2)2−1)

_f

y−x2

ω

y+

1 2ω(fx+

y

2)(fy−

x

2)



. (3.4)

Ent˜ao, αη¯ ´e dada pela seguinte matriz

αη¯ = 1 2ω

−(fx+ y₂)(fy − ₂x) 1−(fy− x₂)2

(fx+ y₂)2−1 (fx+y₂)(fy− x₂)

!

, (3.5)

onde ω´e como em (2.21). Observe que, nesse caso, o tra¸co de αη¯ ´e zero. Agora, olhando paradγ apresentamos o seguinte

Lema 3.3. Seja S uma hipersuperf´ıcie de um grupo de Lie G. Se p _∈ S é um ponto tal que dγp ≡0 então dLp−1(T_pS) é uma subalgebra de Lie de g com codimensão 1.

Demonstra¸cão. Sep _∈S é tal que dγp ≡0, então pelo Teorema 3.2, temos αη¯ =−Aη

em p e, desde que Aη é um operador simétrico, assim o éαη¯.

(32)

1, ..., n₋1 e E =γ(p). Sendo

αη¯ = (h∇EiE, Eji), i, j = 1, ..., n−1,

a matriz deαη¯, temos que

h∇EiE, Eji=h∇EjE, Eii, i, j = 1, ..., n−1, (3.6)

já queαη¯é um operador simétrico. Da equa¸cão (2.9), a derivada covariante é dada por

hEj,∇EiEi=−

1

2(h[E, Ei], Eji+h[E, Ej], Eii+h[Ei, Ej], Ei). (3.7) Fazendo uso de (3.6) e (3.7), temos que

h[Ei, Ej], Ei= 0, i, j = 1, ...n−1,

isto ´e, [Ei, Ej]∈dLp−1(T_pS) =span{E₁, ..., E_n

−1}.

Isso mostra que se V, W _∈ dLp−1(T_pS) ent˜ao [V, W] ∈ dL_p₋1(T_pS) e, portanto,

dLp−1(T_pS) ´e uma subalgebra de Lie deg com dimens˜ao n−1.

Para o próximo resultado, a seguinte defini¸cão é necessária.

Defini¸c˜ao 3.4. Uma superf´ıcie S _{⊂ H}3 ´e dita uma superf´ıcie vertical no ponto p∈S se, ∂

∂z

p ∈TpS. S ´e dita vertical se ela ´e vertical em todos os seus pontos.

Proposi¸c˜ao 3.5. Seja S uma superf´ıcie em _H3.

a) Se S é um gráfico então S não é vertical em nenhum de seus pontos.

b) S é uma superf´ıcie vertical se, e somente se, a menos de isometria S é localmente da forma (t, a(t), s), (t, s)_∈Ω, onde Ωé um aberto conexo de R2.

Demonstra¸cão. a) Se S = G(f) e X é uma parametriza¸cão associada a fun¸cão f, sabemos que

Xx=E1+f1E3

Xy =E2+f2E3.

Suponha que existe um pontop_∈ S tal que S ´e vertical em p, ent˜ao existema, b_∈ R

tais que

E3 =aXx+bXy.

Logo,

E3 =aE1+bE2+ (af1 +bf2)E3.

(33)

b) Se S é parametrizada por X(t, s) = (t, a(t), s), é claro que S é vertical pois

Xs =E3. Reciprocamente, se S ´e uma superf´ıcie vertical, ent˜ao pelo item anterior S

não é localmente um gráfico. Pelo Teorema 2.32 ela é localmente da forma G1(f) ou

G2(f). No entanto, se S é localmente da forma G1(f), o Lema 2.28 item 1, garante que a aplica¸cão Ψ :H3 → H3 dada por Ψ(x, y, z) = (y,−x, z) é uma isometria, basta tomarθ =π.Assim, se (f(t, s), t, s)_∈S, então Ψ(f(t, s), t, s) = (t,₋f(t, s), s)_∈G2(g), onde g = ₋f. Segue que G1(f) é isométrico a G2(g). Portanto podemos supor que

S é localmente da forma G2(f) e, assim, temos que X(t, s) = (t, f(t, s), s) é uma parametriza¸cão paraS. Da´ı

Xt = (1, ft,0)

= E1+ftE2 + (f₂ − tf₂t)E3

Xs = (0, fs,1)

= fsE2+ (1− tf₂s)E3.

ComoS ´e vertical, para todo p_∈S existem a, b_∈R tais que

E3 = aXt+bXs

= aE1+ (aft+bfs)E2+ [a(₂f − tf₂t) +b(1−tf₂s)]E3.

Logo a = 0, aft+bfs = 0 e a(f₂ − tf₂t) +b(1− tf₂s) = 1 e, consequentemente, fs ≡ 0 e

b= 1. Portanto f n˜ao depende de s e o resultado segue.

Proposi¸cão 3.6. Seja S uma superf´ıcie em H3. Então para todo ponto p_∈S, temos que S é vertical em p ou é, localmente em p, o gráfico de uma fun¸cão diferenciável f.

Demonstra¸cão. Seja p _∈ S. Se S for localmente um gráfico em p, nada há a fazer. Suponha que S é, localmente, da forma G1(f). Assim, X(t, s) = (f(t, s), t, s) é uma parametriza¸cão paraG1(f) tal que

Xt = (ft,1,0)

= ftE1+E2 + (tf₂t − f₂)E3

Xs = (fs,0,1)

= fsE1+ (1 + tf₂s)E3.

Então, parap= (f(t0, s0), t0, s0), temos que E3(p)∈TpS se, e somente se,fs(t0, s0) = 0. Portanto se S não é vertical em p, então fs(t0, s0) 6= 0. Definindo F(t, x, s) =

(34)

(x, t)_∈B. Da´ı, se (x, t)_∈B e s=g(x, t) temos

(f(t, s), t, s) = (f(t, g(x, t)), t, s) = (x, t, g(x, t)).

Logo S ´e localmente o gr´afico deg.

SeS é localmente da forma G2(f), raciocinando de modo análoga ao caso anterior conclu´ımos queSé localmente um gráfico em torno dos pontos onde ela não é vertical.

Teorema 3.7. Os planos verticais são as únicas superf´ıcies conexas em H3 com a propriedade que sua aplica¸cão de Gauss é constante.

Demonstra¸c˜ao. Mostremos primeiramente que os planos verticais satisfazem tal pro-priedade. Pelo item b) da Proposi¸c˜ao 3.5, uma superf´ıcie vertical S pode ser parame-trizada por

X(t, s) = (t, a(t), s), (t, s)_∈Ω,

onde Ω é um aberto doR2. Desta forma, a base associada à essa parametriza¸cão é

Xt = (1, a′(t),0)

= E1+a′E2+1₂(a−ta′)E3

Xs = (0,0,1)

= E3

(3.8)

seu o vetor normal unit´ario ´e expresso por

η = a′

σE1−

1

σE2, (3.9)

ondeσ=p1 + (a′₎2_{. Da equa¸c˜ao (3.9), obtemos que}_η_{´e constante se, e somente se,}_a′

é constante e isso ocorre se, e somente se,aé uma fun¸cão afim. Segue queηé constante se, e somente se,S é um plano. Mas como γ(p) = dL−_p1_◦η(p), conclu´ımos que, nesse caso, γ é constante se, e somente se, η é constante.

Logo os planos verticais são as únicas superf´ıcies verticais que possuem aplica¸cão de Gauss constante.

Mostremos, agora, que, de fato, essas são as únicas superf´ıcies satisfazendo tal propriedade. Suponha que existe uma superf´ıcie conexaSque não é vertical e, portanto, não é um plano vertical e que tem aplica¸cão de Gauss constante. Então existe p _∈ S

(35)

pelo Lema 3.3,dLp−1(T_pS) ´e uma sub´algebra de Lie deh₃. Observe que

[dLp−1(X_x), dL_p₋1(X_y)] = dL_p₋1[X_x, X_y]

= dLp−1[E₁ + (f_x+

y

2)E3, E2+ (fy−

x

2)E3] = dLp−1E₃

= e3.

Da´ıe3 ∈dLp−1(T_pS) e, portanto, existev ∈T_pS tal que

dLp−1(v) = e₃.

Sev =aXx+bXy, temos que

dLp−1(v) = dL_p₋1(aX_x+bX_y)

= dLp−1(aE₁+bE₂+ (a(f_x+ y

2) +b(fy−

x

2))E3)

= ae1+be2+ (a(fx+₂y) +b(fy −x₂))e3.

Donde segue quea=b = 0 e isso é uma contradi¸cão ao fato que e3 6= 0. Portanto não pode existir tal superf´ıcieS e isso prova o teorema.

Outro resultado sobre superf´ıcies em _H3 ´e o seguinte

Teorema 3.8. N˜ao existe superf´ıcie totalmente umb´ılica em H3.

Demonstra¸cão. Suponha que existe uma superf´ıcie totalmente umb´ılicaS _{⊂ H}3. Pela proposi¸cão 3.6 há dois poss´ıveis casos a considerar:

a) S é (localmente) o gráfico de uma fun¸cão diferenciável f.

ComoSé totalmente umb´ılica, existe uma fun¸cão diferenciávelλ:S _→_Rtal que para todop_∈S e todo v _∈TpS tem-se

Aη(v) =λ(p)v.

Em particular, sendo X(x, y) = (x, y, f(x, y)) a parametriza¸cão associada à fun¸cão f,

Aη(Xx) =λXx

(36)

Para hipersuperf´ıcies totalmente umb´ılicas, vale a seguinte rela¸c˜ao

R(Xx, Xy)η = ∇Xx∇Xyη− ∇Xy∇Xxη

= ∇Xx(−λXy)− ∇Xy(−λXx)

= ₋Xy(λ)Xx−λ∇XxXy+Xx(λ)Xy +λ∇XyXx

= ₋λyXx+λxXy. (3.10)

Usando (2.20) e (2.21), obtemos

R(Xx, Xy)η = R(E1+f1E3, E2+f2E3)(−f_ω1E1− f_ω2E2+_ω1E3) = _ω1

−34f1E2+ 3

4f2E1+ 1

4f1f2E3+ 3

4f2E1− 1

4f1f2E3− 1 4f1E2

= f2

ωE1− f1

ωE2,

e usando (3.10), temos que

λx =−

f1

ω e λy =−

f2

ω. (3.11)

Mas isso implica que dLp ◦dγp tem matriz simétrica na base associada à fun¸cão f,

uma vez que λ é diferenciável e λxy =λyx. Aplicando o Teorema 3.2, temos que αη¯ é simétrica, portanto pela iguadade (3.5) temos,

1

2ω(1−(fy − x

2) 2_{) =} 1

2ω((fx+ y

2) 2₋₁₎_,

e, assim,

(fy− x₂)2+ (fx+y₂)2 = 2.

Disso implica queω =√3. Com o fato de λxy =λyx temos que

(fy − x₂)x = (fx+ y₂)y,

o que ´e uma contradi¸c˜ao.

b) S é localmente da forma (t, a(t), s) (t, s) _∈ Ω _⊂ R2. Uma base associada à parametriza¸cãoX(t, s) = (t, a(t), s) foi calculada em (3.8). Os coeficientes da primeira forma fundamental nessa base são dados por

E = hXt, Xti = 1 + (a′)2+ 1₄(a−ta′)2

F = hXt, Xsi = a−ta

′

2

G = hXs, Xsi = 1.

(37)

Enquanto os coeficientes da segunda forma fundamental nessa mesma base s˜ao

L = _−h∇Xtη, Xti =

(a₋ta′₎₍₁₊₍_a′₎2

)−2a′′

2√1+(a′₎2

M = −h∇Xtη, Xsi =

√

1+(a′₎2

2

N = _−h∇Xsη, Xsi = 0.

(3.13)

Desde que assumimos que a superf´ıcie ´e totalmente umb´ılica, conclu´ımos que o operador de Weingarten tem matriz diagonal em qualquer base, em particular, na base{Xt, Xs}.

Logo 0 =N F₋M G, o que é uma contradi¸cão, desde queM >0. Segue que não existe superf´ıcie totalmente umb´ılica em_H3.

Observa¸cão 1. J. Van der Veken ([40]) deu uma classifica¸cão completa das superf´ıcies totalmente umb´ılicas em espa¸cos homogêneos 3-dimensionais com grupo de isometrias 4-dimensional. R. Souam e E. Toubiana ([39]) obtiveram o mesmo resultado de forma independente.

Para finalizar essa se¸c˜ao calculamos a curvatura seccional de um gr´afico em H3.

Teorema 3.9. Seja S uma superf´ıcie que é um gráfico em H3 dado por (x, y, f(x, y)) com (x, y)_∈Ω_⊂_R2_{. Então a curvatura seccional} _K _{de S é dada por}

ω4K = ω2(f_xy2 ₋fxxfyy− 1₄)−(1 +q2)[(fxy + ₂1)2 −fxxfyy]

−(1 +p2)[(fxy −1₂)2−fxxfyy] +pq(fyy−fxx)

onde p=fx+y₂, q =fy− x₂ e ω= (1 +p2+q2)

1 2.

Demonstra¸c˜ao. Recordemos a seguinte f´ormula de Gauss,

K(Xx, Xy)−K(Xx, Xy) = detAη, (3.14)

onde_{Xx, Xy}é uma base deTpSassociada à parametriza¸cão dada como em (2.19) com

p= (x, y, f(x, y)) e sendo K e K as curvaturas seccionais deS e_H3, respectivamente. Nesta base, temos

∇XxXx

(2.20) = _∇Xx

E1+ (fx+ y₂)E3

= ∇XxE1+ (fx+

y

2)xE3+ (fx+

y

2)∇XxE3

(2.20)

= _∇E1E1+ (fx+

y

2)∇E3E1+fxxE3+ (fx+

y

2)∇E1E3

+(fx+y₂)2∇E3E3

(2.12)

(38)

∇XyXx

(2.20) = _∇Xy

E1+ (fx+ y₂)E3

= ∇XyE1+ (fx+

y

2)yE3+ (fx+

y

2)∇XyE3

(2.20)

= _∇E2E1+ (fy −

x

2)∇E3E1+ (fxy+

1

2)E3+ (fx+

y

2)∇E2E3

+(fx+y₂)(fy −x₂)∇E3E3

(2.12)

= 1₂(fx+ y₂)E1− 1₂(fy − x₂)E2+fxyE3. Da´ı

∇Xy∇XxXx = ∇Xy

−(fx+y₂)E2+fxxE3

= ₋(fx+y₂)yE2−(fx+ y₂)∇XyE2+fxxyE3+fxx∇XyE3

= −(fxy+ 1₂)E2−(fx+ y₂)∇E2E2−(fx+

y

2)(fy−

x

2)∇E3E2

+fxxyE3+fxx∇E2E3+fxx(fy−

x

2)∇E3E3

= ₁

2fxx− 1 2(fx+

y

2)(fy−

x

2)

E1−(fxy+ 1₂)E2+fxxyE3.

∇Xx∇XyXx = ∇Xx

₁

2(fx+

y

2)E1− 1 2(fy −

x

2)E2+fxyE3

= 1

2(fx+

y

2)xE1+ 1 2(fx+

y

2)∇XxE1−

1 2(fy −

x

2)xE2

−1 2(fy−

x

2)∇XxE2+fxxyE3+fxy∇XxE3

= 1

2(fx+

y

2)xE1+ 1 2(fx+

y

2)∇E1E1+

1 2(fx+

y

2) 2_∇

E3E1

−1 2(fy−

x

2)xE2− 1 2(fy−

x

2)∇E1E2−

1 2(fy−

x

2)(fx+

y

2)∇E3E2

+fxxyE3+fxy∇E1E3 +fxy(fx+

y

2)∇E3E3

= ₁

2fxx− 1 4(fx+

y

2)(fy−

x

2)

E1−

fxy +1₄(fx+y₂)2−1₄

E2

+

fxxy−1₄(fy− x₂)

E3.

Como [Xx, Xy] = 0, temos que

R(Xx, Xy)Xx =∇Xx∇XyXx− ∇Xy∇XxXx,

e ent˜ao,

R(Xx, Xy)Xx =−1₄(fx+y₂)(fy−x₂)E1+

₁

4(fx+

y

2) 2₋3

4

E2+1₄(fy−x₂)E3. Segue que a curvatura seccional de _H3 ´e expressa por

K(Xx, Xy) = hR(X_k_Xx,X_x∧y_X)X_ykx2,Xyi

= 1₄ − 1

(39)

3.2. Superf´ıcies m´ınimas em _H3 32

Al´em disto, por (3.14), temos que

K(Xx, Xy) = detAη+K(Xx, Xy)

= _ω14

fxxfyy+ (fyy−fxx)pq+(p2−q2)fxy−1₄(p2+q2)2−fxy2

+1₄ ₋ _ω12,

logo

ω4K(Xx, Xy) = fxxfyy+ (fyy−fxx)pq+ (p2−q2)fxy − 1₄(p2 +q2)2−fxy2

+ω₄4 −ω2

= fxxfyy+ (fyy−fxx)pq+ (p2−q2)fxy −fxy2 + p2

2 +

q2

2 + 1 4

−p2₋q2₋1 = −(1 +q2₎₍1

2+fxy)−(1 +p2)( 1

2 −fxy)−(fxy2 −fxxfyy−1₄)

+(fyy−fxx)pq

= ω2(f_xy2 ₋fxxfyy−1₄)−(1 +q2)[(fxy +1₂)2−fxxfyy]

−(1 +p2_)[(_f

xy− 1₂)2−fxxfyy] +pq(fyy−fxx).

Observa¸cão 2. Usando essa fórmula para a curvatura seccional J. Inoguchi ([24]), classificou as superf´ıcies flats (i.e., suprf´ıcies comK = 0) invariantes por transla¸cões e F. Dillen junto com J.Van der Veken ([10]) constru´ıram alguns exemplos de superf´ıcies semi-paralelas em_H3.

3.2 Superf´ıcies m´ınimas em

_H

₃

Apresentamos nesta se¸c˜ao alguns resultados sobre superf´ıcies m´ınimas em _H3. Para mais detalhes sobre a teoria de superf´ıcies m´ınimas, veja [32], [9] e [1].

Sabemos que a curvatura m´edia de uma superf´ıcie S ´e dada, em termos dos coefi-cientes da 1a _{e 2}a _{formas fundamentais, por (veja [12], cap´ıtulo 3, pag. 184)}

H = 1

2

EN +GL₋2F M

EG₋F2

. (3.15)

Uma superf´ıcie é m´ınima se H _≡ 0. Se S é o gráfico de uma fun¸cão diferenciável

(40)

somente se,

1 + fy − x₂

2

fxx−2 fy− x₂

fx+y₂

fxy+

1 + fx+y₂

2

fyy = 0. (3.16)

Como consequência da equa¸cão acima, apresentamos dois exemplos de gráficos m´ınimos.

Exemplo 3.10. Assim como no espa¸co Euclidiano R3 os planos f(x, y) = ax+by+c

s˜ao gr´aficos m´ınimos em _H3.

Exemplo 3.11. Os gr´aficos das fun¸c˜oes

f(x, y) = xy₂ +khlog(y+p1 +y2_{) +}_yp

1 +y2i_,

onde k_∈R, também são gráficos m´ınimos em _H3.

Um importante resultado desta teoria ´e o seguinte

Teorema 3.12. N˜ao existe superf´ıcie m´ınima compacta em H3.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista uma superf´ıcie S em H3 m´ınima e compacta. Se

π3 : S → R é a proje¸cão ná terceira coordenada, dada por π3(x, y, z) = z para todo (x, y, z) _∈ S, temos que π3 é cont´ınua e, assim, atinge máximo em S. Considere

p= (a, b, c)_∈S um ponto de máximo para π3 eP o plano z =c. Afirmamos que P é uma superf´ıcie m´ınima e, além disso, S está abaixo de P.

De fato, observe queP é o gráfico da fun¸cão g :R2 →Rdada por g(x, y) =cpara todo (x, y)_∈R2 e, desta forma, gxx =gxy =gyy = 0. Portanto, pela equa¸cão (3.16) P

é uma superf´ıcie m´ınima. Além disso, S_∩P é um fechado de P, pois S é compacta e, portanto, é um fechado de H3 e como p ∈ S ∩P, temos que S∩P não é vazio . Se

q_∈S_∩P, observe queS não é vertical emq, assim, pela Proposi¸cão 3.6S é localmente em q o gráfico de uma fun¸cão diferenciável f : Ω_→_R.

Como em (2.24), defina F : Γ_→_R por

F[u] =1 + uy −x₂

2

uxx−2 uy − x₂

ux+y₂

uxy+

1+ ux+ y₂

2

uyy.

´

E imediato verificar que F _∈ C1(Γ) e que F n˜ao depende de u, o que implica em

∂F

∂u = 0. Al´em disso, fazendo u1 =ux+ y

2 e u2 =uy −

x

2, obtemos

∂F ∂rij

= 1 +u

2

2 −u1u2

−u1u2 1 +u21

!

(41)

que ´e trivialmente uma matriz positiva definida. Logo F satisfaz as hip´oteses do Teorema 2.34.

Como P e S s˜ao superf´ıcies m´ınimas, temos que F[f] = F[g] = 0. Al´em disso, S

est´a abaixo deP, o que implica emf _≤g. Desde quef(q) = g(q), temos pelo Teorema 2.34, queS coincide em Ω com o planoP. Isso mostra que existe uma vizinhan¸ca de q

contida emS_∩P. LogoS_∩P também é um aberto deP e pela conexidade deP temos queS_∩P =P. Mas isso contradiz o fato de S ser compacta, pois P não é limitado.

Assim, n˜ao pode existir tal superf´ıcie.

A seguir, provamos que a única possibilidade de um gráfico em H3 com curvatura média constante ser completo é ele ser m´ınimo.

Teorema 3.13. Não existe gráfico completo com curvatura média constante H ₆= 0 em _H3.

Demonstra¸cão. Suponha que exista um gráfico de uma fun¸cão diferenciávelf :R2 →R

que tenha curvatura m´edia constante H ₆= 0, digamos S = G(f). Considere o caso

H > 0 e tome uma superf´ıcie compacta do tipo esf´erica SH como em [16] (Teorema

3 item 2(a)). Como a transla¸c˜ao ao longo do eixo z ´e uma isometria, podemos mover

SH até que SH não intersecte S. Depois transladamos SH até ela intersectar S pela

primeira vez. Temos queSH∩S´e um fechado deS, e seq∈SH∩S, observe assim como

no Teorema 3.12, queS não é vertical em qentão, pela Proposi¸cão 3.6, S é localmente em q o gráfico de uma fun¸cão diferenciável g : Ω_→R.

Defina, agora, como em (2.24) L: Γ_→R por

L[u] =F[u]₋2ω2H,

onde F é o operador definido no teorema 3.12. Como P e S têm curvatura média constanteH, temos que L[f] =L[g] = 0. De modo análogo a prova do Teorema 3.12,

SH ∩S ´e um aberto de S e, portanto, SH ∩S = S o que contradiz a compacidade de

SH.

ParaH <0, considereg :R2 →Rdefinida porg(x, y) = ₋f(y, x). Temos queG(g) é um gráfico completo e tem curvatura média ₋H que é positiva. Pelo caso anterior, não pode existir talg e, portanto, não pode existir tal f.

Para superf´ıcies m´ınimas que são localmente gráficos, vale também o seguinte re-sultado

(42)

3.3. Estabilidade dos gr´aficos m´ınimos em _H3 35

Demonstra¸cão. E direto verificar que a equa¸cão (3.16) é el´ıptica e tem coeficientes´ polinomiais e então os coeficientes são anal´ıticos.

Logo, pelo Teorema 2.35, temos que u´e anal´ıtica.

Um resultado an´alogo para superf´ıcies m´ınimas no R3 pode ser visto em [9] (Cap´ı-tulo 2, Se¸c˜ao 2.3, Teorema 1).

3.3 Estabilidade dos gr´

aficos m´ınimos em

_H

₃

Nesta se¸cão, fazemos algumas considera¸cões sobre estabilidade dos gráficos m´ınimos em H3. Para mais detalhes sobre a teoria de estabilidade de superf´ıcies m´ınimas, veja [32] e [2].

Defini¸cão 3.15. Uma varia¸cão para um gráfico S = G(f) é uma fam´ılia de gráficos

St = G(ft) com ft = f +th, t ∈ (−ǫ, ǫ) para algum ǫ > 0, onde h : Ω → R ´e uma

fun¸cão qualquer que é C1 e h_|∂Ω ≡0. Definimos a área de St por

A(t) =

Z Z

Ω

ω(t)dxdy,

onde ω(t) = p

1 + (fx+thx+y₂)2+ (fy+thy −x₂)2.

Defini¸cão 3.16. Dizemos que um gráfico S=G(f ) é estável se A′_{(0) = 0} _e _A′′₍₀₎ _>_0,

para toda varia¸c˜ao de S com h n˜ao constante.

O resultado a seguir nos d´a uma caracteriza¸c˜ao para superf´ıcies m´ınimas.

Teorema 3.17. Seja f : Ω → R uma fun¸cão diferenciável. O gráfico de f é uma superf´ıcie m´ınima emH3 se, e somente se, A′(0) = 0 para toda varia¸cão de G(f ). Demonstra¸cão. Da defini¸cão de área acima, temos

A′(t) =

Z Z

Ω

ω(t)−1

(fx+thx+y₂)hx+ (fy+thy −x₂)hy

dxdy

Avaliando em t= 0, integrando por partes e usando o fato que h_|∂Ω ≡0, temos

A′(0) =

Z Z

Ω

ω−1

(fx+y₂)hx+ (fy− x₂)hy

dxdy

= −

Z Z

Ω

_f

x+y2

ω

x+

_f

y−x2

ω

y