Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Alfredo Steinbruch

Professor de MatemáticadaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980) e da Pontifícia Universidade Cat6lica do Rio Grande do Sul (de 1969 a 1978)

McGraw-Hill São Paulo

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SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . . IX

Capítulo 1 - MATRIZES

Matriz de ordemm_porn .. . . . 1

Diagonal principal e diagonal secundária. . . 2

Matriz diagonal e matriz unidade. . . • . . . • . • . . . • . . • 2

Matriz zero. . . • . . • • • • • . . . • . . . • . . . • • . . . 3

Matriz oposta de uma matriz. . . • . . . • . . . 3

Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. . . 4

Igualdade de matrizes. . . • . . . . ~ . . . 4

Adição de matrizes . • . . . • . . . 4

Produto de uma matriz por um escalar. . . . • . . . • . . . 5

Produto de uma matriz por outra. . . 6

Matriz transposta. • • • . • • • . . • • • . . . • • . . • . . . 11

Matriz simétrica. . • • • . • . . • . • • • . • . . • • . . • • • • . • • • • • . . . 12

Matriz anti-simétrica • . • • . . . . • . . • • • • • . • . • . • . . . • • . • • . .~ 13

Problema.s . . . . 14

Capítulo 2 - DETERMINANTES Classe de uma permutação. • . . . • . . . . • . . . • . . . .

.

26

Termo principal e termo secundário. . . • . . . 27

Determinante de uma matriz. . . • • . . . 27

Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2! e de 3! ordem 28 Cálculo do determinante de 2! ordem. • . . . • . . . • 29

Vil

VIII Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Cálculo do determinante de 3!! ordem •..••••.••...•.. : . • • . 29

Desenvolvimento de um determinante de ordemnpor uma linha ou por uma coluna. . . • . • • . . • . . . . • • . • . . . • . . . 32

Propriedades dos determinantes . . • . . . • • . • • . . . • . . . . 35

Cálculo de um determinante de qualquer ordem. . . .. . . 42

Problemas . . . • . • . . . • . . . 45

Capítulo 3 - INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa de uma matriz. . . • . • • . . . • . • • . . . • Matriz singular. . . • . . . • . . . . Matriz não-singular . . . • . • . • . . • • • . . • . . . • • . . Propriedades damatriz inversa. . . • . . . . • • . • . . . .' • . • . •. Operações elementares. . • • • • • . . . • • . . . • • • . . . • • . . . . Eq_UI'valA .encla e matrizes . . . . • . • . . • . . . . • . . . • • . . . • .d . Inversão deumamatriz por meio de operações elementares ••.••• Matriz ortogonal. . . • . • . . . • . • . . • . • . . . • . . . . . Problemas .•..•...•..•....••...••...•.. 50 51 51 52 53 54 57 61 61 Capítulo 4 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear. . . • . . . 70

Sistemas de equações lineares. • . • • . . . • . • . . • • • . • • • . . . 71

Sistemas equivalentes ...•.•.••. _~ • • . • • • . . . . • . . • . . • . • . 73

Estudo e solução dos sistemas de equações lineares. • • • . . . 73

Problemas . . . 94

PREFÁCIO

Este livro foi escrito com um objetivo: proporcionar a estudantes os conhecimentos mínimos de matrizes, detenninantes e sistemas de equações lineares, conhecimentos que são indispensáveis para estudar e compreender os conteúdos de várias disciplinas dos Cursos de Engenharia, Administração, Economia, Matemática, Física, Computação etc.

Para cumprir com a sua finalidade, o livro "MATRIZES, DETERMINANTES e SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES" tem três características principais:

1) unidade de tratamento na solução de problemas diferentes. Assim, sem descuidar de casos particulares, o cálculo de determinantes de qualquer ordem, a inversão de matrizes e a solução de m equações lineares com n variáveis, quaisquer que sejam m e n, são feitos utilizando processos análogos;

2) linguagem simples, didática (sacrificando, muitas vezes, o rigorismo em benefício da clareza) e acessível a estudantes de qualquer Curso de nível superior;

3) ênfase na parte prática, contendo 168 problemas resolvidos e propostos, estes com respostas ou roteiros para a solução.

IX

X Matrizes, Detenninant~s e Sistemas de Equações Lineares

o

autor ficará compensado do seu trabalho se este livro contribuir para facilitar a estudantes a compreensão das disciplinas do seu Curso que tenham matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares como pré-requisito.

Críticas, sugestões para a melhoria deste livro, assim como informações sobre eventuais erros, serão bem recebidas no endereço do autor*.

Alfredo Steinbruch

*

Rua Vieira de Castro,275/601-Fone (0512) 31-3288 90.040 - Porto Alegre - RS - BR

CAPITULO 1

I

MATRIZES

1.1 - MATRIZ DE ORDEM m POR n

Chama-serIUltriz de ordemmporn a mo quadro de m x n elementos (em geral, números reais) dispostos em m linhas e n colunas.

a ll alZ al_n a:H a22 ~n

A

= .

• A matriz na qual m'i' n

é

retangular, se representa por A(m,n) e se dizdeor- demm por n ou mx n.

• A matriznaqual m = n

é

quadrada,se representa por An(ou A(n, n»' e se diz deordemn.

• Cada elemento de uma matriz A está afetado de dois índices: _~j. O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.

• A matriz A pode ser representada abreviadamente por A

=

[~j]' i variando de 1 a m (i

=

1, 2, •••, m) ej variando de 1 a n (j

=

1, 2, •••, n). Assim, se a matriz tem 2

1

2 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

linhas(m = 2) e 3 colunas (n = 3), ao fixar para i o valor 1 e fazendo

j

variar de 1 a 3, obtém-se:

Fixando, a seguir, para i o valor 2 e fazendo

j

variar de 1 a 3, obtém-se:

isto é:

~1

A(2 3)= A = rall

, L

^a

²¹

~2 ~3

• A matriz

de

ordem m por

1

é uma

matriz-eoluna

ou

vetor-eoluna

e a

matriz . de

ordem 1 por n é uma

matriz-linha

ou

vetor-linha.

Exemplos:

1.2 - DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA

• Numa matriz quadrada A = [a

_ij],de

ordem n, os elementos

~j'

em que i =

^j,

constituem a

diagonal principal.

Assim, a diagonal formada pelos elementos alI' a22' ...,

_~ é

a diagonal principal.

• Numa

matriz quadrada

A

= _[~j]' de

ordem n, os elementos

_~j'

em que i +

j =

n + 1, constituem a

diagonal secwuiária.

Assim, a diagonal formada pelos elementos a1n,

~

n-1'

_~

n-2' ••• 8n1

(1

+ n = 2 + n-l = 3 + n-2 = ... = n +

¹⁾ é

a diagonal secundária.

1.3 - MATRIZ DIAGONAL E MATRIZ UNIDADE

• A matriz quadrada A

= _[~j]

que tem os elementos

_~j =

Oquando

i^>Fj

é uma

matriz diagonal:

Matrizes 3

all O O

O

az2

^O

A

= .

O O

8nn

• A matriz diagonal que tem os elementos

~j

= 1 para i = j é uma

matriz^unida- de.

Indica-se a matriz unidade por

_~

ou simplesmente por I:

1.4 - MATRIZ ZERO

O 1 O

~]

Uma

matriz zero

é a matriz cujos elementos são todos nulos. Indica-se a matriz zero por O.

O=~

^{OO OO}_O

~]

1.5 - MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZ

Matriz oposta

de uma matriz A =

[~j]

é a matriz B =

^[bij] tal

que b

_ij

=

-~j.

Indica-se a matriz oposta

de

A por -A. Exemplo:

[

-A

=

-73

=:J

4 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1.6 - MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORE MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

A matriz quadrada A = [aijl que tem os elementos 8;j = O para i>j éumama- triz triangular superior e a matriz quadrada B

=

[bijl que tem os elementos bjj

=

O para i

<

j éumamatriz triangular inferior. Exemplos:

3 5

O ^B

=[;

_-3 ^O₉⁷

1.7 - IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A

=

_{[8;jl e B}

=

[bijl, de mesma ordem, são iguais se, e somente se, 8;j= bij• Exemplo:

[~

³¹

~J

³¹

~J

1.8 - ADiÇÃO DE MATRIZES

A soma de duas matrizes A

=

_{[8;jl e B}

=

[bijl, de mesma ordem,

é

uma matriz C = [cijl tal que cij

=

8;j

+

bij" Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A

+

B.

Exemplos:

1) [all a 12

al~J

⁺

[~1

^{b 12 b13J = [all+bll a 12+b12} a 13 +b 13]

a21 a22 a23 b21 b22 b23 a21 +b21 a22+b 22 a23+b 23 2)

~

^-1-2O1

1

^{2 +4}

[~

^{-3 OO 221}

-~ ~

^-1-132

~

-

Matrizes 5

1.8.1 - Diferença de duas matrizes

A diferença A-B de duas matrizes, de mesma ordem,

é

defmida por A + (-B).

Exemplo:

r5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ - ~ ~ = ~ ~ ⁺ ~ ~ = ~ ~

1.8.2 - Propriedades da adição de matrizes

Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se:

I) A + (B + C) = (A

+

B) + C Il)A+B=B+A

III) A

+

O = O

+

A

IV) A + (-A) ==-A + A = O

1.9 - PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Se À

é

um escalar, o produto de uma matriz A = [ajjl por esse escalar

é

uma matriz B

=

[bjjl tal que bjj

=

À~j. Indica-se o produto da matriz A por Àpor ÀA. Exemplo:

5

x~

^-2-5 _O

lJ=[5X4

_{5 x 3} ^{5 x(-2)}

5 x (-5)

5

^x

lJ

⁼

[20

5x O 15 -10 -25

~J

1.9.1 - Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar

Para Àe /.I. escalares quaisquer e A e B matrizes de mesma ordem, tem-se:

I) (À/.I.) A::;:: À{/.I.A) II) (À+/.I.) A

=

ÀA + /.I.A ID) (À-/.I.) A

=

ÀA-/.I.A